Suites de Sturm, indice de Maslov et p'eriodicit'e de Bott Jean Barge et Jean Lannes Comme l'indique le titre ci-dessus, le travail pr'esent'e dans ce m'emoire revi* *site des sujets fort classiques. Il est reli'e aux travaux de nombreux auteurs, notamment : Richard W. Sharpe, Max Karoubi, Andrew Ranicki, Fran,cois Latour... En particulier l'influence de l'article [Lt] de notre ami Fran,cois Latour est primordiale ; nous lui d'edions ce m'emoire `a l'occasion de son soixanti`eme anniversaire. 1. Introduction L'objet de ce chapitre est de justifier le titre de notre m'emoire. . . et de r'esumer son contenu. 1.1. Interpr'etation de la th'eorie des suites de Sturm en termes de signatures et d'indice de Maslov Commen,cons par rappeler la th'eorie des suites de Sturm (voir par exemple [Lg]). Soit A et B deux polyn^omes de R[T ]. On suppose que A et B sont premiers entre eux et que A(0) et A(1) sont non-nuls. On consid`ere l'application de paires d'espaces topologiques A(t) ([0, 1], {0, 1}) ! (P1(R), P1(R) - {0}) , t 7! _____ ; B(t) on note ff cette application et deg (ff) son degr'e. La th'eorie des suites de Sturm fournit un algorithme pour calculer ce degr'e ; dans le cas classique on prend B = A0, l'entier deg (ff) est alors le nombre de racines du polyn^ome A dans l'intervalle ]0, 1[ (remarquer que lorsque l'on a ff(t0) = 0 alors on a ff0(t0) = 1). L'algorithme d'Euclide fournit deux suites finies de polyn^omes (p0, p1, p2, . .,.pm ) et (q1, q2, . .,.qm ) v'erifiant les relations suivantes* * : - p0 = A et p1 = B ; - pk-1 + pk+1 = qkpk , pour 1 k m avec la convention pm+1 = 0 ; - pm 2 R[T ]x= Rx . On observera que les deux premi`eres relations impliquent " # " #" # " # " # A q1 -1 q2 -1 qm -1 pm (1) = . . . . B 1 0 1 0 1 0 0 On suppose que l'on a pk(0) 6= 0 et pk(1) 6= 0 pour 1 k m et on note W(i), i = 0, 1, le nombre de changement de signes dans la suite de nombres r'eels (p0(i), p1(i), p2(i), . .,.pm (i)) . 2 Dans ce cas le th'eor`eme de Sturm nous dit que le degr'e de ff est donn'e par la formule deg (ff) = W(0) - W(1) . Nous nous proposons maintenant de r'e'ecrire cette formule en faisant ap- para^itre des signatures de formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees* * `a coefficients r'eels. On pose 2 3 q1 -1 0 . . .. . . . . .. . . 66-1 q2 -1 0 . . . . . .. .7. 660 -1 q3 -1 0 . . .. .7.77 S = 66. .... .. . .. . .. . .. . .. .7.7; 66. .... .0 -1 qm-2 -1 077 4. . .. . .. .0. -1 qm-1 -15 . . .. . .. .... . 0 -1 qm 2 3 p1 0 0 . . .. . . . . .. . . 66p2 p2 0 0 . . . . . .. .7. 66p3 p3 p3 0 0 . . .. .7.77 P = 66. . . . . . . . .. . .. . . . . .. .7.7. 66pm-2 pm-2 pm-2 . . .pm-2 0 0 77 4pm-1 pm-1 pm-1 . . .pm-1 pm-1 0 5 pm pm pm . . .pm pm pm On constate que l'on a 2 3 p0p1 0 0 . . . . . . . . . . . . 660 p1p2 0 0 . . . . . . . . .7 6 0 0 p2p3 0 0 . . . . . .77 tP SP = 66 77 66. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . .7 . 64. . .. . . 0 0 pm-3 pm-2 0 0 77 . . .. . . . . .0 0 pm-2 pm-1 0 5 . . .. . . . . .. . . 0 0 pm-1 pm Cette 'egalit'e implique pm d'etS = A (ce qui montre en particulier que les matrices S(0) et S(1) sont inversibles) et (2) 2 deg(ff) = sgn(S(1)) - sgn(S(0)) (la notation sgn( ) d'esignant la signature d'une matrice sym'etrique inversible `a coefficients r'eels). 3 [Voici une d'emonstration de la formule (2), l'eg`erement diff'erente de celle * *qui est implicite dans [Lg], valable quant `a elle sous la seule hypoth`ese que A(0) et A(1) sont* * non-nuls (A et B 'etant toujours premiers entre eux). On pose 2 3 p1 0 0 . . .. .... .. . . 66p2 1 0 0 . . .. ....7. 66p3 0 1 0 0 . . .. .7.77 Q = 66. . .. . .. .... .. .... .. .7.7. 66pm-2 0 0 . . .1 0 0 77 4pm-1 0 0 . . .0 1 0 5 pm 0 0 . . .0 0 1 On constate que l'on a 2 3 p0p1 0 0 0 . . . 0 0 660 q2 -1 0 . . . . . . . .7. 6 0 -1 q3 -1 0 . . . . .7.7 tQSQ = 66 77 66. . .. . .. .... .. . . . . . . .7. . 640 . . .0 -1 qm-2 -1 0 77 0 . . .. . .0 -1 qm-1 -1 5 0 . . .. .... . 0 -1 qm Cette 'egalit'e montre que lorsque l'on a ff(t0) = 0 alors le corang de S(t0) e* *st 'egal `a 1 (remarquer que le d'eterminant du bloc diagonal inf'erieur de la matrice de dro* *ite est 'egal `a p-1mB) et que l'on a la formule sgn(S(t+0)) - sgn(S(t-0)) = sgn(ff(t+0)) - sgn(ff(t-0)) qui implique la formule (2). D'ecodons la notation. Pour ffl strictement positi* *f suffisamment petit la forme S(t0+ffl) (resp. S(t0-ffl)) est non-d'eg'en'er'ee et sa signatur* *e est ind'ependante de ffl ; on note sgn(S(t+0)) (resp. sgn(S(t-0))) cette signature. La notation s* *gn( ) d'esigne dans le membre de droite l'application "signe" de R-{0} dans { 1} ; on d'efinit* * sgn(ff(t+0)) et sgn(ff(t-0)) comme pr'ec'edemment.] Nous interpr'etons enfin l'entier deg(ff) comme un indice de Maslov. On munit l'espace vectoriel R2 de sa structure symplectique canonique et l'on consid`ere P1(R) comme l'espace de ses lagrangiens ; on choisit 1, c'est-`a-dire le lagrangien R x 0, comme point base de P1(R). L'entier deg (ff) appara^it alors comme l'indice de Maslov du chemin de lagrangiens ff (ff est "presque" un lacet car ses extr'emit'es appartiennent `a P1(R) - {0} qui est un voisinage contractile de 1). 'Epiloguons sur les formules (1) et (2). La formule (1) montre que le chemin ff est obtenu en faisant subir des transformations symplectiques "'el'ementaires", 4 d'ependant de t, au lagrangien R x 0. La formule (2) dit que l'indice de Maslov de ff est la (demi-)diff'erence des signatures en 0 et 1 d'une "forme de Sturm" S(t) qui est une fonction explicite des transformations symplec- tiques 'el'ementaires pr'ec'edentes ; on rappelle, ce qui sera important pour les g'en'eralisations que nous avons en t^ete, que les formes S(0) et S(1) sont non-d'eg'en'er'ees. Nous pouvons `a pr'esent parler du contenu principal de notre m'emoire : nous y expliquons comment le remplacement dans la th'eorie pr'ec'edente, - de l'anneau R par n'importe quel anneau (disons commutatif) r'egulier (dans lequel 2 est inversible), - de l'espace projectif P1 par les grassmanniennes lagrangiennes - et du groupe SL 2par les groupes symplectiques, conduit `a une d'emonstration du th'eor`eme fondamental de la K-th'eorie her- mitienne d^u `a Karoubi [Ka1] (pour une version plus g'en'erale de ce th'eor`em* *e, dans le cadre de la K-th'eorie hermitienne "`a la Quillen", voir [Ka4][Ka5]). 1.2. 'Enonc'e du th'eor`eme fondamental de la K-th'eorie hermitienne * *et esquisse de notre d'emonstration Soit R un anneau (disons commutatif). On note Ln la n-i`eme grassmannienne lagrangienne ; Ln(R) est donc l'ensem- ble des lagrangiens de l'espace symplectique Rn (Rn)* (la notation (Rn) * d'esigne le dual du R-module Rn), cet ensemble est "point'e" par le lagrangien Rn. On note L la limite directe des foncteurs Ln suivant les applications de "stabilisation" Ln ! Ln+1 (on 'ecrit Rn+1 (Rn+1) *= (Rn (Rn) *) (R R*) et l'on fait correspondre `a un 'el'ement de Ln(R) l''el'ement R de Ln+1(R)) ; tout comme les foncteurs Ln le foncteur L est "point'e". On note Fn le foncteur qui associe `a l'anneau R l'ensemble des formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees sur Rn (Rn) *, cet ensemble est po* *int'e par la forme hyperbolique. On note F la limite directe des foncteurs Fn suivant les applications de stabilisation Fn ! Fn+1 (on 'ecrit `a nouveau Rn+1 (Rn+1)* = (Rn (Rn)*) (R R*), cette fois la stabilisation est la somme orthogonale avec la forme hyperbolique sur R R*) ; le foncteur F est "point'e". 5 Le th'eor`eme fondamental de la K-th'eorie hermitienne peut s''enoncer, sous une forme provisoirement un peu vague, de la fa,con suivante : Th'eor`eme F. Si l'anneau R est r'egulier et si 2 est inversible dans R, alors on a une bijection naturelle : (ss0 L)(R) ~=(ss0F)(R) . Expliquons la notation. Soit X un foncteur d'efini sur la cat'egorie des an- neaux (disons commutatifs) et `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles, on note ss0X le foncteur qui associe `a l'anneau R l'ensemble quotient de X (R), co'egalisateur des 'evaluations en 0 et 1, disons d0 et d1, de X (R[T ]) dans X (R). Supposons maintenant que X est point'e (c'est-`a-dire qu'il peut ^etre enrichi en un foncteur `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles point'es), on note dans ce cas X le foncteur qui associe `a R le sous-ensemble de X (R[T ]) form'e des ff v'erifiant d0ff = d1ff = * (la notation * d'esignant le point bas* *e). Sous les hypoth`eses du th'eor`eme F, l'ensemble (ss0F)(R) a un avatar tr`es concret que l'on explicite ci-apr`es. On consid`ere `a nouveau un anneau (com- mutatif) arbitraire R. On identifie le groupe des automorphismes du R- module Rn (Rn) *avec GL 2n(R) ; on dispose donc d'une action (`a droite) du groupe GL 2n(R) sur l'ensemble Fn(R) et en passant `a la limite directe d'une action du groupe GL (R) sur l'ensemble F(R). Il est clair que l'application naturelle de F(R) dans (ss0F)(R) se factorise par une application naturelle de l'ensemble quotient F(R)=EGL (R) dans (ss0F)(R), EGL (R) d'esignant le sous-groupe de GL (R) engendr'e par les matrices 'el'ementaires. On mon- tre dans [Ka1][Oj1] que cette derni`ere application est une bijection si R est r'egulier et si 2 est inversible dans R. Pour une d'emonstration tr`es 'el'emen* *taire dans le cas o`u R est un corps de caract'eristique diff'erente de 2, voir par e* *xem- ple [Oj2]. On observera que l'on a dans ce cas particulier EGL (R) = SL(R) et que le quotient F(R)=SL (R) s'identifie au produit fibr'e de I(R) et Rx au- dessus de Rx =Rx2, I(R) d'esignant l'id'eal fondamental de l'anneau de Witt W(R) (celui de la th'eorie des formes quadratiques !). Nous esquissons maintenant notre d'emonstration du th'eor`eme F. La partie essentielle de celle-ci consiste `a d'efinir, sous les hypoth`eses du th'eor`em* *e, une application "indice de Maslov", de (ss0 L)(R) dans (ss0F)(R). Soit L un R-module libre de dimension finie ; on note H(L) l'espace symplec- tique L L*. Soit ff(T ) un lagrangien de R[T ] R H(L) avec ff(0) = ff(1) = L. 6 Nous commen,cons par montrer que, sous les hypoth`eses du th'eor`eme, et quitte `a stabiliser (c'est-`a-dire remplacer L par L L0, avec L0un R-module libre de dimension finie), on peut 'ecrire " # " # " # 1 0 1 q1(T ) 1 0 (3) ff(T ) = . . . .L q0(T ) 1 0 1 q2m (T ) 1 q0(T ), q1(T ), . .,.q2m (T ) d'esignant une suite de formes bilin'eaires sym'* *etriques alternativement d'efinies sur R[T ] R L et R[T ] R L*. On parvient `a l''ecrit* *ure (3) en deux 'etapes. La r'egularit'e de R sert `a garantir que l''evaluation e* *n 0, K0(R[T ]) ! K0(R), est un isomorphisme ; ceci entra^ine que l'on peut 'ecrire ('eventuellement apr`es stabilisation) ff(T ) = (T ).L , (T ) d'esignant un automorphisme symplectique de R[T ] R H(L) tel que (0) est l'identit'e de H(L). On se convainc que l'on peut supposer, quitte toujours `a stabiliser, que (T ) est un produit d'automorphismes sym- plectiques 'el'ementaires en utilisant le fait que l''evaluation en 0, -W1(R[T* * ]) ! -W1(R), est un isomorphisme pour tout anneau R dans lequel 2 est inversible (pour la d'efinition du foncteur -W1, voir la d'emonstration du lemme 3.3). Pour le confort du lecteur et la coh'erence de notre m'emoire nous explicitons une d'emonstration de ce r'esultat (d^u encore `a Karoubi) en appendice, en suivant Paul Balmer et William Pardon. Nous montrons ensuite que si l'on stabilise encore alors on peut 'ecrire " #" # 1 0 1 Y (T ) * (4) ff(T ) = . L S(T ) 1 0 1 S(T ) et Y (T ) d'esignant des formes bilin'eaires sym'etriques d'efinies resp* *ec- tivement sur R[T ] R L et R[T ] R L*. On peut en fait, le "lacet" ff 'etant 'ecrit sous la forme (3), expliciter la stabilisation 'evoqu'ee ci-dessus et la* * forme bilin'eaire sym'etrique S(T ) : Soient L un R-module libre de dimension finie et (q0, q1, . .,.q2m-1 ) une sui* *te finie de formes bilin'eaires sym'etriques alternativement d'efinies sur L et L* ** ; on pose M = L___L*___L___L*_-z._._.L*_____"= L L0 2m facteurs 7 et on note S(q0, q1, . .,.q2m-1 ) la forme bilin'eaire sym'etrique sur M (que n* *ous appelons une forme de Sturm) dont la matrice est la suivante 2 3 q0 1 0 661 -q 1 0 7 66 1 77 660 1 q2 1 0 77 66 ... ... ... ... ... 77 . 66 0 1 -q 1 0 77 64 2m-3 77 0 1 q2m-2 1 5 0 1 -q2m-1 On constate que l'on peut prendre pour S(T ) la forme bilin'eaire sym'etrique S(q0(T ), q1(T ), . .,.q2m-1 (T )) (d'efinie sur R[T ] R M). Revenons maintenant `a l''ecriture (4). On observe que l'on a S(0)Y (0)+1 = 0 et S(1)Y (1) + 1 = 0 si bien que S(0) et S(1) sont inversibles et que le lacet ff est homotope `a extr'emit'es fixes au lacet " # " -1 -1 # 1 0 1 -((1 - T )S(0) + T S(1) ) * (5) . L . (1 - T )S(0) + T S(1) 1 0 1 Nous montrons enfin que la classe dans (ss0F)(R) de la forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee sur L L* de matrice " # S(1) 0 0 -S(0) -1 est ind'ependante du choix de S(T ) (il est facile de se convaincre de ce que cette classe est ind'ependante du choix d'un isomorphisme L Rn) et est un invariant de la classe d'homotopie de ff. Il faut voir l'application " # S(1) 0 classe deff 7! classe de -1 0 -S(0) comme un "indice de Maslov" Mas : (ss0 L)(R) ! (ss0F)(R) (d'efini au moins si R est r'egulier et 2 inversible dans R) ; il est clair que Mas est un homomorphisme de mono"ides ab'eliens si l'on munit la source et 8 le but des lois de mono"ide d'efinies "par juxtaposition". Une fois l'indice de Maslov d'efini, on se convainc facilement de ce qu'il est injectif et surjectif* * en contemplant la formule (5). 1.3. Relation avec la p'eriodicit'e de Bott Soit X un espace topologique compact ; on note C(X) l'alg`ebre de Banach des fonctions, disons complexes, continues sur X. Les ensembles L(C(X)) et F(C(X)) s'identifient respectivement aux ensem- bles d'applications continues de X dans les ensembles L(C) et F(C) munis de leur topologie naturelle. On montre que les ensembles de classes d'homotopie d'applications libres [X, L(C)] et [X, F(C)] sont naturellement en bijection par une m'ethode parall`ele `a celle que nous venons de d'ecrire pour le th'eor`eme fondamental * *de la K-th'eorie hermitienne. Comme la bijection de [X, F(C)] sur [X, L(C)] est induite par une application canonique de F(C) sur L(C), on en d'eduit que l'on a une 'equivalence d'homotopie (tout aussi canonique) L(C) ~=F(C). L'ensemble de lacets qui appara^it dans ce contexte est d'efini comme le sous- ensemble de L(C(X x [0, 1])) constitu'e des 'el'ements ff dont les 'evaluations en 0 et 1 sont constantes, 'egales au point base. L'analogue de l''ecriture (3) est ici bien plus facile `a obtenir et ne n'ecessite pas de stabilisation : par exemple, l'argument d'invariance homotopique du -W1 est remplac'e par un simple argument de continuit'e. L''equivalence d'homotopie L(C) ~= F(C) s'identifie `a l'une des huit de la p'eriodicit'e de Bott r'eelle. En effet, on a un hom'eomorphisme L(C) ~=Spq =U et une 'equivalence d'homotopie F(C) ~=U=O, Spq d'esignant la limite directe des groupes unitaires quaternionniens Spq (n) (Spq (n) est un sous-groupe compact maximal du groupe symplectique Spn(C), dans la litt'erature Spq (n) est souvent not'e Sp (n)), U d'esignant la limite directe des groupes unitaires U(n) et O la limite directe des groupes orthogonaux euclidiens O(n). Dans [Ka1] Karoubi met en place une version du th'eor`eme F pour les alg`ebres de Banach r'eelles munies d'une anti-involution et en d'eduit `a la fois les huit 'equivalences d'homotopie de la p'eriodicit'e de Bott r'eelle et les deux de la p'eriodicit'e de Bott complexe. La d'emonstration du th'eor`eme F que nous avons d'ecrite dans le paragraphe pr'ec'edent est quant `a elle inspir'ee * *de la m'ethode des "transversales lagrangiennes" 'elabor'ee par Fran,cois Latour 9 dans [Lt] qui montre que cette m^eme m'ethode donne mutatis mutandis les dix 'equivalences d'homotopie de la p'eriodicit'e de Bott 'evoqu'ees ci-dessus. 1.4. Plan du m'emoire Chapitre 1. Introduction Chapitre 2. Alg`ebre lin'eaire symplectique Le coeur de ce chapitre est la proposition 2.2.4 qui dit qu'un lagrangien de l'espace symplectique hyperbolique H(L) qui s''ecrit " #" # " # 1 0 1 q1 1 0 = . . . .L q0 1 0 1 q2m 1 avec (q0, q1, . .,.q2m ) une suite de formes bilin'eaires sym'etriques alternat* *ive- ment d'efinies sur L et L*, est transverse "apr`es stabilisation" au graphe de la forme de Sturm S(q0, q1, . .,.q2m-1 ) (qui est un lagrangien de l'espace sym- plectique hyperbolique H(L L0) avec L0= L* L . . .L*). En d'epit de sa rusticit'e cet 'enonc'e est le point de d'epart de tout le m'emoire. Chapitre 3. Sur la "composante connexe" du point base dans la lagran- gienne infinie L'objet principal de ce chapitre est de d'emontrer la proposition 3.1. Soit un lagrangien de H(L), la proposition en question dit notamment que sous les hypoth`eses du th'eor`eme F et "quitte `a stabiliser", les conditions suiva* *ntes sont 'equivalentes : - il existe un lagrangien de H(L) tranverse `a la fois `a L* et `a ; - il existe un lagrangien ff de H(R[T ] R L) avec ff(0) = L et ff(1) = . Chapitre 4. 'Enonc'e et d'emonstration du th'eor`eme fondamental de la K-th'eorie hermitienne Nous avons largement 'evoqu'e le contenu principal de ce chapitre en 1.2. Les relations entre Th'eor`eme F et p'eriodicit'e de Bott, 'evoqu'ees en 1.3, sont d'etaill'ees en 4.7. 10 Chapitre 5. Suites de Sturm et H2 de l'homomorphisme hyperbolique On montre dans ce chapitre comment utiliser certaines id'ees des chapitres 2, 3 et 4 pour obtenir des variantes des r'esultats de Sharpe [Sh]. On montre par exemple que l'on a une suite exacte de groupes naturelle H2(EGL (R) ; Z) ! H2(ESp (R) ; Z) ! V(R) ! K1(R) , V(R) d'esignant le groupe ab'elien associ'e au mono"ide ab'elien F(R)=EGL (R) (la loi de mono"ide 'etant induite par la somme orthogonale, pour une autre d'efinition de V(R) voir 4.5) et ESp (R) d'esignant le sous-groupe "'el'ementai* *re" du groupe symplectique infini. Chapitre 6. G'en'eralisations Comme nous l'avons d'ej`a dit en 1.3, l''equivalence d'homotopie (topologique) L(C) ~=F(C) s'identifie `a l'une des huit de la p'eriodicit'e de Bott r'eelle * *; on traite en particulier au chapitre 6 de huit analogues alg'ebriques des th'eor`e* *mes de Bott en question dont le th'eor`eme F est le prototype. On d'ecrit huit foncteurs Li, i 2 Z=8, d'efinis sur la cat'egorie des anneaux commutatifs et `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles point'es et huit bijections naturelles 8 >><(ss0 Li)(R) pour i 0 (mod 2) (ss0Li+1)(R) ~= > >: G (ss0 m Li)(R) pour i 1 (mod 2) (avec la restriction "R r'egulier et contenant 1_2" dans le premier cas et "R contenant 1_2" dans le second), l'ensemble ( Gm Li)(R) 'etant d'efini comme le "noyau" de l''evaluation en 1, Li(R[T, T -1]) ! Li(R). Ce chapitre est avant tout une reformulation dans notre langage de r'esultats bien connus dans la litt'erature du sujet - `a laquelle nous renverrons pour la d'emonstration de la plupart des 'enonc'es. Appendice A. Technologie des formes de Sturm On v'erifie dans cet appendice un certain nombre d''enonc'es techniques concer- nant les formes de Sturm auxquels on s'est r'ef'er'e dans le corps du m'emoire. 11 Appendice B. D'emonstration de la proposition 2.4.4 On v'erifie dans cet appendice une formule, d'ecrite `a la fin du chapitre 2, qui raffine l''enonc'e 2.2.4 'evoqu'e plus haut. Cette formule montre que l'on a "apr`es stabilisation" " # " # " # " # " #" #" # 1 0 1 q1 1 q2m+1 1 0 1 Y 1 0 0 -G*-1 . . . = q0 1 0 1 0 1 S 1 0 1 Z 1 G 0 pour toute suite (q0, q1, . .,.q2m+1 ) de formes bilin'eaires sym'etriques alte* *rna- tivement d'efinies sur L et L* (avec m 1), S, Y , Z et G 'etant des fonctions explicites de (q0, q1, . .,.q2m+1 ). Appendice C. Sur le graphe bipartite associ'e `a la relation de transversalit'e des lagrangiens Un graphe bipartite est d'etermin'e par la donn'ee de deux ensembles S1 et S2 et d'un sous-ensemble A (l'ensemble des ar^etes) du produit S1 x S2. En prenant pour S1 et S2 l'ensemble Ln(R) et pour A l'ensemble des couples de lagrangiens transverses on obtient un graphe bipartite, disons Gn(R) ; le graphe bipartite auquel fait r'ef'erence le titre de l'appendice, est une limite directe ad'equate des Gn(R) (comparer avec [No]). On interpr`ete dans cet appendice, en termes de ce graphe, la notion de "suite de Sturm" et un certain groupe ab'elien A(R) introduit au chapitre 5 (dont le "calcul" est le r'esultat principal du chapitre 5). Appendice D. Invariance homotopique du -W1 Nous avons d'ej`a 'evoqu'e l'objet de cet appendice en 1.2 (entre les formules (3) et (4)). 1.5. Conseils de lecture pour le lecteur press'e Le lecteur press'e commencera par prendre connaissance de l''enonc'e de la proposition 2.2.4 (dont la d'emonstration est tout `a fait 'el'ementaire). En pr'evision, nous avons fait en sorte que cet 'enonc'e soit "self-contained". Il pourra, si n'ecessaire, se faire une id'ee concr`ete de la signification de la * *propo- sition 2.2.4 en lisant les 'enonc'es 2.4.3 et 2.4.4 qui en sont un raffinement. Il se rendra alors directement `a la proposition 3.1 ; cette fois la lecture de* * la d'emonstration est conseill'ee. 12 Apr`es cette d'emonstration, il passera au chapitre 4 o`u il lira les paragraph* *es 4.1 et 4.2 : E'nonc'e pr'ecis du th'eor`eme fondamental de la K-th'eorie hermi- tienne, th'eorie "alg'ebrique" de l'indice de Maslov, d'emonstration du th'eo- r`eme fondamental de la K-th'eorie hermitienne. Ignorant en premi`ere lecture les paragraphes 4.3, 4.4, 4.5 et 4.6, il parcourra ensuite les paragraphes 4.7 et 4.8 puis le chapitre 6. La lecture du chapitre 5 n'ecessite la lecture pr'ealable du paragraphe 4.5 du chapitre 4 dans lequel est introduit le groupe V(R) de Karoubi ; le lecteur press'e lira les paragraphes 5.1 et 5.4. Les appendices ont un caract`ere technique, `a l'exception de l'appendice C par lequel on pourra terminer une lecture rapide du m'emoire. Avertissement Anneaux commutatifs versus anneaux avec anti-involution Consid'er'es comme des foncteurs d'efinis sur la cat'egorie des anneaux commu- tatifs et `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles, les foncteurs F et L, et leur g'en'eralisations (voir chapitre 6), sont des ind-Z-sch'emas (en fait limi* *te inductive de suites de Z-sch'emas "classiques") dont les points complexes sont les espaces classifiants de la p'eriodicit'e de Bott r'eelle. C'est ce point de* * vue "g'eom'etrique" qui est `a l'origine du choix que nous avons fait : Dans ce m'emoire les anneaux seront suppos'es commutatifs (sauf mention expresse du contraire). Cependant, comme le cadre naturel de la K-th'eorie hermitienne est celui des anneaux avec anti-involution (un anneau commutatif n''etant pas autre chose qu'un anneau avec anti-involution dont l'anti-involution est triviale !), nous avons veill'e, dans la mesure du possible, `a ce que nos constructions et arguments puissent s'adapter `a ce cadre-l`a. Compte tenu du choix ci-dessus, le mot "anneau" signifiera dans ce m'emoire "anneau commutatif" (sauf mention expresse du contraire). Cependant nous nous r'eservons le droit de laisser tra^iner parfois l'adjectif "commutatif" ap* *r`es le substantif "anneau". 13 2. Alg`ebre lin'eaire symplectique 2.1. D'efinitions et notations Soient R un anneau commutatif et L un R-module libre de dimension finie. La notation L* d'esigne le R-module dual de L : L* = Hom R (L, R). Espaces symplectiques hyperboliques On note H(L) le R-module L L* muni de la forme bilin'eaire altern'ee ((x, ,), (y, j)) 7! - (on dit que H(L) est l'espace symplectique hyperbolique associ'e `a L et que la forme bilin'eaire ci-dessus est sa forme symplectique). D'efinition-Proposition 2.1.1. On note oe : L L* ! L* L l'isomorphisme de R-modules (x, ,) 7! (,, -x). Il s'identifie `a l'isomorphisme de H(L) dans H(L)* induit par la forme symplectique : - = <(x, ,), oe (y, j)> . Consid'er'e comme un isomorphisme de H(L) dans H(L*), oe pr'eserve les formes symplectiques. Groupes symplectiques On note Sp L le groupe constitu'e des automorphismes du R-module H(L) qui pr'eservent la forme symplectique. Nous consid'ererons tr`es souvent un endomorphisme du R-module H(L) comme une matrice, carr'ee d'ordre 2, d'homomorphismes de R-modules * " L L # L a c L* b d avec a 2 Hom R (L,L), b 2 Hom R (L,L*), c 2 Hom R (L*,L), d 2 Hom R (L*,L*). Nous dirons qu'une telle matrice est une matrice de type (L, L*) x (L, L*). 14 Plus g'en'eralement : Terminologie. Soient (X1, X2, . .,.Xm ) et (Y1, Y2, . .,.Yn) deux suites finies de R-modules. Nous appellons matrice de type (X1, X2, . .,.Xm ) x (Y1, Y2, . .,.Yn) une ma- trice `a m colonnes et n lignes dont le coefficients sur la i-`eme colonne et la j-`eme ligne est un homomorphisme de Xi dans Yj. " # a c Revenons au groupe SpL . Un endomorphisme de H(L) appartient `a b d SpL si et seulement si l'on a " # " # " # d* -c* a c 1 0 = -b* a* b d 0 1 (la notation ( )* d'esigne ici le dual d'un homomorphisme de R-modules et l'on identifie L** avec L). Il est `a remarquer que l''egalit'e ci-dessus est 'equiv* *alente `a la suivante " #" # " # a c d* -c* 1 0 = . b d -b* a* 0 1 Voici maintenant des exemples d''el'ements de SpL . On note GL L le groupe des automorphismes du R-module L. L'application de GL L dans SpL , " # a 0 a 7! *-1 , 0 a est un homomorphisme de groupes que l'on note H. Soit q : L ! L* (resp. q : L* ! L) un homomorphisme de R-modules. L'automorphisme " # " # 1 0 1 q (resp. ) q 1 0 1 du R-module H(L) appartient `a SpL si et seulement si l'on a q = q*. On ob- servera qu'un tel q s'identifie `a une forme bilin'eaire sym'etrique sur L (res* *p. L*) ; nous noterons SL (resp. SL*) le sous-module de Hom R(L, L*) (resp. Hom R(L*, L)) constitu'e des homomorphismes q v'erifiant q = q*. Les auto- morphismes symplectiques de H(L) du type pr'ec'edent sont dits 'el'ementaires ; nous noterons ESp L le sous-groupe de SpL qu'ils engendrent. 15 On note Spn le groupe alg'ebrique, d'efini sur Z, dont le groupe des R-points est SpRn (on observera que Sp1 s'identifie `a SL 2). On note ESp n le foncteur R 7! ESp Rn, d'efini sur la cat'egorie des anneaux commutatifs et `a valeurs dans la cat'egorie des groupes. Soient L et L0 deux R-modules libres de dimension finie. L'espace sym- plectique hyperbolique H(L L0) est canoniquement isomorphe `a la somme orthogonale H(L) H(L0) ; cet isomorphisme induit des monomorphismes, tout aussi canoniques, Sp L x SpL0 ! Sp L L0, ESp L x ESp L0 ! ESp L L0, SpL ! SpL L0, ESp L ! ESp L L0, et en particulier des applications de "sta- bilisation", Sp n ! Sp n+1, ESp n ! ESp n+1. On note Sp (resp. ESp ) le foncteur limite directe des foncteurs Sp n(resp. ESp n) suivant ces applica- tions. Lagrangiens Un lagrangien de l'espace symplectique H(L) est un sous-module v'erifiant les deux propri'et'es suivantes : - est facteur direct ; - est 'egal `a son orthogonal (pour la forme symplectique) : = ? . On observera que ces propri'et'es impliquent que le sous-module est un R-module projectif de type fini dont le rang est 'egal `a la dimension de L (voir le point (a) de la proposition 2.1.5 ci-apr`es). Nous noterons LL l'ensemble des lagrangiens de H(L) ; L et L* sont deux exemples d''el'ements de LL. Soit X un 'el'ement de LL ; nous noterons UX le sous-ensemble de LL constitu'e des lagrangiens transverses `a X. On rappelle que l'on dit que deux sous-modules E0 et E00d'un R-module E sont transverses, ou que E0 est transverse `a E00, si l'on a E0 + E00= E ; cette relation binaire est not'ee E0 t E00. On a donc avec cette notation UX = { ; t X}. La paire {L, L*} est un exemple de paire de lagrangiens transverses Les deux propositions suivantes sont imm'ediates : 16 Proposition 2.1.2. Les deux applications suivantes sont bijectives : " # " # 1 0 1 q * SL ! UL* , q 7! .L ; SL* ! UL , q 7! .L . q 1 0 1 Proposition 2.1.3. Soit q une forme bilin'eaire sym'etrique sur L, alors les deux conditions suivantes sont 'equivalentes : " # 1 0 (i) .L est transverse `a L ; q 1 (ii)q est non-d'eg'en'er'ee. Plus pr'ecis'ement, soient q une forme bilin'eaire sym'etrique sur L et r une forme bilin'eaire sym'etrique sur L*, alors les deux conditions suivantes sont 'equivalentes : " # " # 1 0 1 r * (i) les deux lagrangiens .L et .L co"incident ; q 1 0 1 (ii)q et r (vus comme des homomorphismes) sont inverses l'un de l'autre. Variante : " # " # 1 0 1 r * (i) on a l''egalit'e .L = L ; q 1 0 1 (ii)q et -r (vus comme des homomorphismes) sont inverses l'un de l'autre. Scholie 2.1.4. L'application " # 1 0 SL ! UL* , q 7! .L q 1 induit une bijection, du sous-ensemble de SL constitu'eTdes formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees, sur l'intersection UL UL*. Le point (b) de la proposition 2.1.5 ci-dessous g'en'eralise la proposition 2.* *1.2 ci-dessus. Dans son 'enonc'e appara^it subrepticement l'espace symplectique hyperbolique H(X), avec X un R-module projectif de type fini, dont la d'efinition est l'extension 'evidente de celle que nous avons donn'ee plus haut dans le cas o`u X est libre. 17 Proposition 2.1.5. Soit X un lagrangien de H(L). Soient iX : X ! H(L) l'inclusion de X dans H(L) et pX : H(L) ! X* l'homomorphisme compos'e de l'isomorphisme oe : H(L) ! H(L) *induit par la forme symplectique (voir 2.1.1) et de l'homomorphisme i*X. Alors : (a) La suite de R-modules pX * 0 - --! X - iX--!H(L) ---! X ---! 0 est exacte. (b) Les ensembles suivants sont canoniquement en bijection, non-vides et munis d'une structure canonique d'espace affine sous le R-module des formes bilin'eaires sym'etriques sur X* : - l'ensemble UX des lagrangiens de H(L) transverses `a X ; - l'ensemble des sections R-lin'eaires s de pX telles que la forme bilin'eai* *re altern'ee (,, j) 7! s(,) . s(j) de X* est nulle (la notation - . - d'esigne ici la forme bilin'eaire altern'ee de H(L)) ; - l'ensemble des isomorphismes de R-modules H(X) ~=H(L) pr'eservant les formes symplectiques et prolongeant iX . (c) Les trois conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) X est un R-module libre ; (ii)il existe un isomorphisme de R-modules L ~=X ; (iii)il existe un automorphisme symplectique de H(L) tel que l'on a X = .L. D'emonstration. Le point (a) est clair. Passons au point (b). Nous laissons au lecteur le soin d'expliciter les applica- tions que ce point affirme ^etre des bijections et nous v'erifions que le deuxi* *`eme ensemble est non vide et muni d'une structure canonique d'espace affine sous le R-module des formes bilin'eaires sym'etriques sur X*. Soit l'ensemble des sections R-lin'eaires de pX . L'ensemble n'est pas vide puisque X* est projectif ; de plus poss`ede une structure canonique 18 d'espace affine sous Hom R(X*, X) (que l'on peut voir comme le R-module des formes bilin'eaires sur X*). Soient AX* le sous-module de Hom R(X*, X) constitu'e des formes bilin'eaires altern'ees et a : ! AX* l'application qui associe `a une section s la forme bilin'eaire altern'ee (,, j) 7! s(,) . s(j) ;* * soit u un 'el'ement de Hom R(X*, X), on constate que l'on a : a(s + u) = a(s) + (u - u*) , en d'autres termes que a est une application affine dont l'application lin'eaire sous-jacente est l'application, disons "a, u 7! u - u* de Hom R(X*, X) dans AX* . Le fait que a-1(0) n'est pas vide r'esulte maintenant du fait que "a est surjective pour tout R-module projectif de type fini X. Ceci est clair si X est libre : une matrice carr'ee "altern'ee" `a coefficients dans R est une "antisym'etris'ee" ; le cas g'en'eral en d'ecoule. Comme a est affine, a-1(0) e* *st bien un espace affine sous le noyau de "a, `a savoir le R-module des formes bilin'eaires sym'etriques sur X*. Venons-en enfin au point (c). L'implication (i) ) (ii) est facile : si X est libre alors L et X ont m^eme dimension. L'implication (ii) ) (iii) r'esulte essentiellement du point (b) : soient ff : L ! X un isomorphisme de R- modules, H(ff) : H(L) ! H(X) l'isomorphisme symplectique induit et : H(X) ! H(L) un isomorphisme symplectique prolongeant iX donn'e par le point (b), alors on a X = ( O H(ff)) . L. Enfin l'implication (iii) ) (i) est triviale. Scholie-D'efinition 2.1.6. Soit OE : L ! H(L) un homomorphisme"de# a R-modules ; un tel homomorphisme s'identifie `a une matrice de type b (L) x (L, L*). Les conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) L'homomorphisme OE est injectif et son image est un lagrangien. (ii)Il existe"un#automorphisme symplectique"# de H(L) tel que l'on a 1 a OE = ; en d'autres termes est la premi`ere colonne d'une "ma- 0 " # b a c trice symplectique" . b d h i (iii)On a a*b = b*a et il existe un homomorphisme de R-modules u v : h i" a# H(L) ! L tel que l'on a u v = 1. b 19 (iv) On a a*b = b*a et le couple (b, b*) consid'er'e comme un homomor- phisme de complexes de cha^ines, du complexe L -a! L dans le complexe * L* -a! L*, est une 'equivalence d'homotopie. Nous appelons plongement lagrangien de L dans H(L) un homomorphisme de R-modules qui v'erifie les conditions 'equivalentes ci-dessus. L''equivalence (i) ) (ii) r'esulte du point (c) de 2.1.5 ; l'implication (ii) ) (iii) est imm'ediate. Nous v'erifions ci-apr`es (iii) ) (ii) et (iv) ) (iii). D'emonstration de (iii) ) (ii). On constate que l'on a " #" # " # u v a -v* 1 vu* - uv* = . -b* a* b u* 0 1 Si l'on ahuv* =ivu* alorshl'affaireiest entendue. Dans le cas g'en'eral on remplace u v par u0 v0 avec u0= u - flb* et v0 = v + fla*, fl d'esignant un homomorphisme de L* dans L. On constate que l'on a u0v0*- v0u0*= uv* - vu* - (fl - fl*) ; on peut prendre par exemple fl = uv*. D'emonstration de (iv) ) (iii). Si (b, b*) est une 'equivalence d'homotopie alors il existe en particulier des homomorphismes v : L* ! L et u : L ! L tels que l'on a 1 - vb = ua. 2.2. Formes de Sturm Soit L un R-module libre de dimension finie. Soit q un 'el'ement de SL (resp. SL*), on note E0(q) (resp. E1(q)) l'auto- morphisme symplectique 'el'ementaire de H(L) introduit en 2.1 ; on a donc : " # " # 1 0 1 q E0(q) = , E1(q) = . q 1 0 1 20 Produit d'automorphismes symplectiques 'el'ementaires et rela- tion de r'ecurrence lin'eaire Cet intertitre 'enigmatique fait r'ef'erence `a l''enonc'e 2.2.2 ci-dessous. Soit k un entier relatif. On pose 8 < L pour k pair, Lk = : L* pour k impair. D'efinition 2.2.1. Nous appelons suite de Sturm sur L la donn'ee : - de deux entiers (relatifs) m et n avec m n - et d'une suite`finie q_= (qm , . .,.qk, . .,.qn) d''el'ements de la r'eun* *ion disjointe SL SL* avec qk 2 SLk pour m k n. Nous appelons type de la suite de Sturm q_le couple d'entiers (m, n). L'entier l = n - m + 1 est appel'e longueur de la suite q_; nous le noterons parfois |q* *_|. Remarque. La notion de suite de Sturm est intimement reli'ee `a celle de suite de lagrangiens cons'ecutivement transverses. Voir Proposition C.1. Soit q_= (qm , . .,.qk, . .,.qn) une suite de Sturm sur L, on pose E(q_) = Ep(m)(qm )Ep(m+1)(qm+1 ) . .E.p(n)(qn) , avec p(k) = 0 pour k pair et p(k) = 1 pour k impair (E(q_) est donc un 'el'ement de ESp L). On note enfin oek : H(L) ! H(Lk) l'isomorphisme symplectique qui est l'identit'e pour k pair et l'isomorphisme oe (voir 2.1.1) pour k impair. Cette terminologie et ces notations introduites, nous pouvons 'enoncer la proposition suivante dont la v'erification est imm'ediate : 21 Proposition 2.2.2. Soit q_ = (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur` L. Soit (xm-1 , xm , . .,.xk, . .,.xn, xn+1) une suite d''el'ements de L L* a* *vec xk 2 Lk pour m - 1 k n + 1. On fixe k, avec m k n ; les deux conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) La suite (xk-1, xk, xk+1) v'erifie xk-1 + (-1)kqkxk + xk+1 = 0 , en consid'erant xk-1 et xk+1 comme des 'el'ements de L*k. (ii)La suite (xk-1, xk, xk+1) v'erifie (xk-1, xk) = (-1)k-1(oek-1 O E(qk) O oe-1k)(xk, xk+1) , en consid'erant (xk-1, xk) comme un 'el'ement de H(Lk-1) et (xk, xk+1) comme un 'el'ement de H(Lk). Si la condition (i) est v'erifi'ee pour m k n, alors on a (n-m+1)(m+n-2)_ -1 (xm-1 , xm ) = (-1) 2 (oem-1 O E(q_) O oen )(xn, xn+1) , en consid'erant (xm-1 , xm ) comme un 'el'ement de H(Lm-1 ) et (xn, xn+* *1) comme un 'el'ement de H(Ln). 22 Formes de Sturm La proposition 2.2.2 conduit `a la proposition 2.2.3 ci-dessous, un peu plus conceptuelle, dont l''enonc'e fait intervenir les "formes de Sturm". On reprend les notations de 2.2.2. nL On pose Lm,n = Lk et on note S(q_), la forme bilin'eaire sym'etrique sur le k=m R-module libre Lm,n dont la matrice est la suivante : 2 Lm Lm+1 . . . . . . . . .. . . Ln 3 L*m (-1)m qm 1 0 0 0 0 0 L*m+1 66 1 (-1)m+1 qm+1 1 0 0 0 0 77 . . . 66 0 1 . . . 1 0 0 0 77 . . . 66 . . . 0 1 . . . . . .. . . . . .77 . . . 66 . . . . . . 0 . . . . . . 1 . . .77 . . . 4 . . . . . . . . . . . . 1 . . . 1 5 L*n 0 0 0 0 0 1 (-1)nqn (en clair : les coefficients diagonaux sont les homomorphismes (-1)kqk, les coefficients qui bordent la diagonale sont les homomorphismes qui identi- fient Lk `a L*k 1, tous les autres coefficients sont nuls) ; c'est cette forme bilin'eaire sym'etrique que nous appelons forme de Sturm associ'ee `a la suite de Sturm q_. Signalons que ce type de forme appara^it notamment comme forme d'intersection de certains "plombages" [HNK, x8]. On fera enfin les observations suivantes : - Lm+1,n s'identifie `a un sous-module de Lm,n et donc aussi `a un sous-module de l'espace symplectique hyperbolique H(Lm,n) ; - le sous-module L?m+1,n(orthogonal de Lm+1,n pour la forme symplectique) s'identifie `a la somme directe Lm,n L*m Lm,n L*m,n= H(Lm,n) ; - le quotient L?m+1,n=Lm+1,n, muni de la forme bilin'eaire altern'ee induite par celle de H(Lm ), s'identifie `a l'espace symplectique hyperbolique H(Lm ). 23 Proposition 2.2.3. Soit q_ = (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L ; soit qn+1 un 'el'ement de SLn+1, on note (q_, qn+1) la suite de Sturm (sur L) (qm , qm+1 , . .,.qn, qn+1). Soit X(q_) le graphe de S(q_) dans l'espace sy* *m- plectique hyperbolique H(Lm,n) ; ce graphe est un lagrangien qui v'erifie les propri'et'es suivantes : (a) X(q_) est transverse `a L*m,n; (b) X(q_) est transverse `a L?m+1,netTl'image du compos'e de l'homomor- phisme (injectif) X(q_) L?m+1,n! L?m+1,n=Lm+1,n et de l'isomorphisme symplectique canonique L?m+1,n=Lm+1,n ~=H(Lm ) est oem (E(q_).Ln) ; (c) X(q_) est transverse `a oem (E(q_, qn+1).Ln+1) Lm+1,n . [Dans l'expression E(q_) . Ln (resp. E(q_, qn+1) . Ln+1) qui appara^it dans l'* *'enonc'e de la propri'et'e (b) (resp. (c)), Ln (resp. Ln+1) doit ^etre consid'er'e comme un so* *us-module de H(L), `a savoir, selon nos conventions, le lagrangien L si n est pair (resp. im* *pair) ou le lagrangien L* si n est impair (resp. pair).] D'emonstration. La propri'et'e (a) est 'evidente. V'erifions la propri'et'e (b). On note ' l'inclusion de Lm+1,n dans Lm,n. - La transversalit'e X(q_) t L?m+1,nest impliqu'ee par la surjectivit'e de l'ho* *mo- morphisme '* O S(q_) : Lm,n ! L*m+1,n. Celle-ci est due au fait que le bloc obtenu `a partir de la matrice de S(q_) "en supprimant la premi`ere ligne et la derni`ere colonne" est "triangulaire sup'erieur avec des 1 sur la diagonale". On observera incidemment que l''egalit'e X(q_) +TL?m+1,n= H(Lm,n) implique "en passant `a l'orthogonal" l''egalit'e X(q_) Lm+1,n = 0 . T ? * - L'intersection X(q_)" Lm+1,n#est l'image du noyau de ' O S(q_), disons N, 1 * par l'homomorphisme : Lm,n ! Lm,n Lm,n = H(Lm,n) . S(q_) Soit x_un 'el'ement de Lm,n ; on a donc x_= (xm , xm+1 , . .,.xn) avec xk 2 Lk pour m k n. On constate que x_appartient `a N si et seulement si l'on a xk-1 + (-1)kqkxk + xk+1 = 0 (en consid'erant xk-1 et xk+1 comme des 'el'ements de L*k) pour m + 1 k n en convenant que l'on a xn+1 = 0. On en d'eduit que la projection canonique de Lm,n sur Ln induit un isomorphisme, disons ae, de N sur Ln. 24 Soient maintenant x_= (xm , xm+1 , . .,.xn) un 'el'ement de N et xm-1 l''el'em* *ent de Lm-1 d'efini par l''equation xm-1 + (-1)m qm xm + xm+1 = 0, on constate que l'image de xn par le compos'e des homomorphismes ci-dessous " # 1 ae-1 S(q_) T ? ? Ln - --! N -----! X(q_) Lm+1,n---! Lm+1,n=Lm+1,n ~=H(Lm ) est l''el'ement (xm , -xm-1 ) de H(Lm ) (on consid`ere ici xm-1 comme un 'el'e* *ment de L*m). Or on a (xm , -xm-1 ) = (-1)m-1 (oem O oe-1m-1)(xm-1 , xm ) (en con- sid'erant (xm-1 , xm ) comme un 'el'ement de H(Lm-1 )) si bien que la formule finale de la proposition 2.2.2 montre que le compos'e ci-dessus est aussi, au signe pr`es, le compos'e des homomorphismes ci-dessous E(q_) oem Ln ---! H(L) - --! H(L) ---! H(Lm ) (n-m-1)(m+n-2)_ (le signe est (-1) 2 ). Ceci ach`eve la v'erification du point (b). V'erifions enfin la propri'et'e (c). Comme les deux lagrangiens oem (E(q_).Ln)* * et oem (E(q_).(E(qn+1).Ln+1)) de H(Lm ) sont tranverses, la propri'et'e (c) r'esu* *lte de la propri'et'e (b) et du point suivantT: soient X un sous-module de H(Lm,n) transverse `a L?m,n, Y l'image de X L?m+1,ndans H(Lm ) et un sous-module de H(Lm ), alors on a l''equivalence X t ( Lm+1,n) () Y t . Dans la suite du m'emoire nous utiliserons essentiellement le point (c) de la proposition 2.2.3, et ceci dans le cas o`u m est pair et n impair. Pour le confort du lecteur nous explicitons ci-dessous, ab initio, l''enonc'e correspo* *n- dant. Cet 'enonc'e dit en particulier que si un lagrangien de H(L) est obtenu en faisant subir au lagrangien L une suite de transformations symplectiques 'el'ementaires, alors il existe "une stabilisation" de H(L) en H(L L0), pour un L0 convenable, qui contient un lagrangien `a la fois transverse au lagrangien stabilis'e L0 et au langrangien (L L0)*. 25 Proposition 2.2.4. Soit L un R-module libre de dimension finie. Soit un lagrangien de l'espace symplectique hyperbolique H(L) avec " #" # " #" # 1 0 1 q1 1 q2m-1 1 0 = . . . .L , q0 1 0 1 0 1 q2m 1 (q0, q1, . .,.q2m-1 , q2m ), m 1, d'esignant une suite de formes bilin'eair* *es sym'etriques alternativement d'efinies sur L et L*. On pose L0 = L*___L___L*___L_-z._._.L*_____"et on note S la forme bilin'eaire 2m-1 facteurs sym'etrique sur L L0 qui, lorsque on la consid`ere comme un homomor- phisme de L___L*___L___L*_-z._._.L*_____"dans L*___L___L*___L_-z._._.L______", a 2m facteurs 2m facteurs pour matrice 2 3 q0 1 0 661 -q 1 0 7 66 1 77 660 1 q2 1 0 77 66 ... ... ... ... ... 77 . 66 0 1 -q 1 0 77 64 2m-3 77 0 1 q2m-2 1 5 0 1 -q2m-1 Alors les deux lagrangiens suivants de l'espace symplectique hyperbolique H(L L0) : " # 1 0 0 - .(L L ) (le graphe de S) S 1 - L0 (le "stabilis'e" de ) sont transverses. 26 2.3. R'eduction symplectique, formes g'en'eratrices On commente dans ce paragraphe la propri'et'e (b) de la proposition 2.2.3. Le lecteur averti aura remarqu'e que la formulation de cette propri'et'e fait intervenir, sans les nommer, les notions de r'eduction symplectique et de forme g'en'eratrice, notions que nous rappelons ci-apr`es. R'eduction symplectique Soient L et L0 deux R-modules libres de dimension finie et X un lagrangien de H(L L0) avec X t L0? (L0 s'identifie `a un sous-module de L L0 et donc aussi `a un sous-module de H(L L0), L0? d'esigne son orthogonal pour la forme symplectique)T; on observera que l'on a L0 L0? et que X t L0? implique XT L0 = 0 . Soit Y l'image du compos'e de l'homomorphisme (injectif) X L0? ! L0? =L0 et de l'isomorphisme symplectique canonique L0?=L0~= H(L) , alors Y est un lagrangien de H(L) que l'on appelle le r'eduit symplectique de X. [Il est clair que l'on a Y Y ?, pour se convaincre de ce que Y est un lagran* *gien de H(L) on montre que l'homomorphisme canonique H(L)=Y ! Y *induit par la forme symplecti* *que est un isomorphismeTet que Y est un R-module projectif de type fini. D'etaill* *ons. On pose Z = X L0?; on a donc un isomorphisme canonique Z ~=Y . On constate que * *l'on dispose de deux suites exacte de R-modules 0 ----! Z ----! X --f--!L0* ----! 0 , * 0 ----! L0 --f--! X* ----! H(L)=Y ----! 0 , f d'esignant l'homomorphisme induit par la forme symplectique (qui est surject* *if `a cause de la condition de transversalit'e X t L0?). On en d'eduit que Z (et donc Y ) est* * un R-module projectif de type fini et que l'on a un isomorphisme canonique H(L)=Y ~=Z*. On* * v'erifie enfin que le compos'e cet isomorphisme et de l'isomorphisme Z* ~=Y *est l'homo* *morphisme 'evoqu'e plus haut.] Formes g'en'eratrices Soient L un R-module libre de dimension finie et un lagrangien de H(L). Soient L0 un R-module libre de dimension finie et S une forme bilin'eaire sym'etrique sur L L0. On constate que les deux conditions suivantes sont 'equivalentes : 27 (a-i)L'homomorphisme compos'e pr 0* L L0 --S-! L* L0* ---! L , pr d'esignant la projection canonique, est surjectif. (a-ii)Le graphe de S et L0? sont transverses dans H(L L0). Le graphe de S est un lagrangien de H(L L0) ; si la condition (a-ii) est sati* *s- faite alors on peut consid'erer son r'eduit symplectique, qui est un lagrangi* *en de H(L). On dit que S est une forme g'en'eratrice pour le lagrangien si ce r'eduit symplectique est . Soient S une forme g'en'eratrice de au sens pr'ec'edent et un lagrangien de H(L). Comme nous l'avons d'ej`a dit (fin de la d'emonstration de 2.2.3) les conditions suivantes sont 'equivalentes : (b-i) et sont deux lagrangiens transverses de H(L) ; (b-ii) L0et le graphe de S sont deux lagrangiens transverses de H(L L0). On observera incidemment que les conditions (a-i) et (a-ii) ci-dessus sont encore 'equivalentes `a la suivante : (a-iii)Il existe un lagrangien de H(L) tel que le graphe de S est transverse `a L0 dans H(L L0). Nous pouvons maintenant paraphraser la propri'et'e (b) de la proposition 2.2.3, disons dans le cas o`u m est pair et n impair qui correspond `a la pro* *po- sition 2.2.4 : On reprend les notations de 2.2.4. La propri'et'e (b) de la proposition 2.2.3 dit que S est une forme g'en'eratrice pour le lagrangien " #" # " # 1 0 1 q1 1 q2m-1 * = . . . .L q0 1 0 1 0 1 de l'espace symplectique hyperbolique H(L). (Par construction le lagrangien est transverse au lagrangien ce qui conduit `a la proposition 2.2.4.) 28 2.4. Raffinements de la proposition 2.2.4 La proposition 2.1.2 implique : Lemme 2.4.1. Soit L un R-module libre de dimension finie ; soient un lagrangien de H(L) et S une forme bilin'eaire sym'etrique sur L. Les conditions suivantes sont 'equivalentes : " # 1 0 (i) Les lagrangiens et .L sont transverses. S 1 (ii)Il existe une forme bilin'eaire sym'etrique Y sur L* telle que l'on a " # " # 1 0 1 Y * = .L . S 1 0 1 De plus si ces conditions sont v'erifi'ees, alors la forme Y est uniquement d'etermin'ee en fonction de et S. On revient maintenant sur l''enonc'e 2.2.4. D'apr`es le lemme pr'ec'edent il ex* *iste une forme bilin'eaire sym'etrique Y sur (L L0)*, uniquement d'etermin'ee en fonction de la suite (q0, q1, . .,.q2m-1 , q2m ), telle que l'on a : " # " # 1 0 1 Y 0 * L0= .(L L ) . S 1 0 1 On explicite cette forme Y dans la proposition 2.4.3 ci-apr`es. L''enonc'e 2.4.3 est une sp'ecialisation du point (d) de l''enonc'e 2.4.2 ci-dessous. La v'erifi* *cation de l''enonc'e 2.4.2 ne pr'esente pas de difficult'es : Proposition 2.4.2. Soient L0, M et L1 trois R-modules libres de dimension finie. Soit S une forme bilin'eaire sym'etrique sur L0 M L1 ; on note respectivement S0 et S1 les restrictions de S `a L0 M et M L1 et U l'homomorphisme de L0 M dans (M L1) * induit par S. On suppose que U est inversible ; on note (S) l'isomorphisme symplectique compos'e des isomorphismes symplectiques suivants : ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 0 -U-1 1 0 S1 1 U* 0 S0 1 H(M L1) ------! H(M L1) -----------! H(L0 M) ------! H(L0 M) . 29 L'inversibilit'e de U fait que le graphe de S, qui est un lagrangien de l'espace symplectique H(L0 (M L1)), est transverse au sous-module (M L1) ? ; on peut donc consid'erer son r'eduit symplectique, qui est un lagrangien de l'espace symplectique H(L0) (voir 2.3), que l'on note . Alors : (a) L'homomorphisme compos'e (S) projection M inclusion-----!H(M -L1)--!H(L0 M) -----! H(M) est l'oppos'e de l'inclusion de M dans H(M). (b) L'homomorphisme compos'e (S) projection L1 inclusion-----!H(M -L1)--!H(L0 M) -----! H(L0) est un monomorphisme dont l'image est et l'homomorphisme compos'e (S) projection* L1 inclusion-----!H(M -L1)--!H(L0 M) -----! M est nul. (c) Le lagrangien M de H(L0 M) est l'image par (S) du lagrangien M L1 de H(M L1) : M = (S).(M L1) . (d) On a dans H(L0 M) : " #" # 1 0 1 -U-1 S1U*-1 * M = .(L0 M) . S0 1 0 1 30 Proposition 2.4.3 (raffinement de la proposition 2.2.4). Soit L un R-module libre de dimension finie. Soit un lagrangien de l'espace symplectique hy- perbolique H(L) avec " #" # " #" # 1 0 1 q1 1 q2m-1 1 0 = . . . .L , q0 1 0 1 0 1 q2m 1 (q0, q1, . .,.q2m-1 , q2m ) d'esignant une suite de formes bilin'eaires sym'etr* *iques alternativement d'efinies sur L et L*. On pose 2 3 q0 1 0 661 -q 1 0 7 66 1 77 60 1 q2 1 0 77 S = 666 ... ... ... ... ... 77 ; 66 0 1 -q 1 0 77 64 2m-2 77 0 1 q2m-1 1 5 0 1 -q2m S est donc une matrice de type (L, L*, L, L*, . .,.L)x (L*, L, L*, L, . .,.L)(et _________-z________" _________-z________" 2m+1 termes 2m+1 termes l'on a S = S(q0, q1, . .,.q2m-1 , q2m ) avec la notation introduite en 2.2). On introduit 'egalement les matrices extraites de S, suivantes : - S0 obtenue en supprimant la derni`ere ligne et la derni`ere colonne (on a donc S = S(q0, q1, . .,.q2m-1 )), - S1 obtenue en supprimant la premi`ere ligne et la premi`ere colonne (on a donc S1 = S(q1, q2, . .,.q2m )), - U obtenue en supprimant la premi`ere ligne et la derni`ere colonne. On pose L0= L*___L___L*___L_-z._._.L*_____". On consid`ere respectivement S0, 2m-1 facteurs S1 et U, comme une forme bilin'eaire sym'etrique sur L L0, une forme bilin'eaire sym'etrique sur (L L0)* et comme un automorphisme de L L0. Alors on a dans H(L L0) l''egalit'e de lagrangiens suivante : " #" # 1 0 1 -U-1 S1U*-1 0 * L0 = .(L L ) . S0 1 0 1 31 On continue `a raffiner la proposition 2.2.4. Soient L un R-module libre de dimension finie. Soient m 1 un entier et q_= (q0, q1, . .,.q2m+1 ) une suite de formes bilin'e* *aires sym'etriques alternativement d'efinies sur L et L*. On note st : Sp L! Sp L0,2m-1le monomorphisme de groupes canonique (la notation L-,- est introduite en 2.2). On observera que l'on a E(q0, q1, . .,.q2m ).L = E(q0, q1, . .,.q2m , q2m+1 ).L et E(q_).L L1,2m-1= st(E(q_)).L0,2m-1 . Comme nous l'avons d'ej`a dit la proposition 2.2.4 montre qu'il existe une forme bilin'eaire sym'etrique Y sur L*0,2m-1, uniquement d'etermin'ee en fonc- tion de q_, telle que l'on a " # " # 1 0 1 Y * st(E(q_)).L0,2m-1 = .L0,2m-1 S(q0, q1, . .,.q2m-11) 0 1 (cet Y a 'et'e explicit'e en 2.4.3). On en d'eduit qu'il existe une forme bilin* *'eaire sym'etrique Z sur L0,2m-1 et un isomorphisme G de L0,2m-1 sur L*0,2m-1, toujours uniquement d'etermin'es en fonction de q_, tels que l'on a " # " #" #" # 1 0 1 Y 1 0 0 -G*-1 st(E(q_)) = . S(q0, q1, . .,.q2m-11) 0 1 Z 1 G 0 La proposition 2.4.4 ci-apr`es permet d'expliciter Z et G (et Y ). On pose : - S = S(q0, q1, . .,.q2m+1 ), - S0 = S(q0, q1, . .,.q2m-1 ) (S0 est la matrice extraite de S obtenue en supprimant les deux derni`eres lignes et les deux derni`eres colonnes), - S1 = S(q1, q2, . .,.q2m ) (S1 est la matrice extraite de S obtenue en supprimant la premi`ere et la derni`ere ligne, la premi`ere et la derni`ere colonne), - S2 = S(q2, q3, . .,.q2m+1 ) (S2 est la matrice extraite de S obtenue en supprimant les deux premi`eres lignes et les deux premi`eres colonnes). 32 On introduit 'egalement les matrices extraites de S, suivantes : - U1, carr'ee d'ordre 2m, obtenue en supprimant la premi`ere et la derni`ere lignes et les deux derni`eres colonnes, - U2, carr'ee d'ordre 2m, obtenue en supprimant les deux premi`eres lignes, la premi`ere et la derni`ere colonnes, - U3, carr'ee d'ordre 2m - 1, obtenue en supprimant les deux premi`eres lignes, la derni`ere ligne, la premi`ere colonne et les deux derni`eres co- lonnes (le bloc U3 est "l'intersection" des blocs U1 et U2). On consid`ere S0, S2, comme des formes bilin'eaires sym'etriques sur L0,2m-1 et S1 comme une forme bilin'eaire sym'etrique sur L*0,2m-1. On consid`ere U1 comme un automorphisme de L0,2m-1, U2 comme un automorphisme de L*0,2m-1et U3 comme un isomorphisme de L1,2m-1 sur L*0,2m-2. On introduit enfin la matrice de type (L, L1,2m-1) x (L*0,2m-2, L) suivante : " # 0 U3 F = m-1 ; (-1) 0 on consid`ere F comme un isomorphisme de L0,2m-1 sur L*0,2m-1. Proposition 2.4.4. L'image de E(q_) par le monomorphisme de groupes canonique SpL ! SpL0,2m-1co"incide avec le produit suivant : " # " #" #" # " # " # 1 0 U-11 0 1 -S1 U*2 0 1 0 0 F *-1 . S0 1 0 U*1 0 1 0 U-12 S2 1 -F 0 La v'erification de cette formule est renvoy'ee `a l'appendice B. 33 3. Sur la "composante connexe" du point base dans la lagrangienne infinie Les mots "composante connexe" ci-dessus font r'ef'erence `a la condition (v) de la proposition 3.1 ci-apr`es. Afin que l''enonc'e de cette condition soit irr'eprochable, il nous faut clarifier au pr'ealable quelques notations* * et conventions. Soient R un anneau (commutatif) et L un R-module libre de dimension finie. On rappelle que les notations LL, Sp L, GL L, ESp L, SL,. . . qui apparaissent ci-dessous et dans les 'enonc'es 3.1, 3.2 et 3.3, ont 'et'e introduites en 2.1. Soit A une R-alg`ebre commutative. On pose LL(A) = LA RL ; l'application A 7! LL(A) est un foncteur de la cat'egorie des R-alg`ebres (commutatives) vers la cat'egorie des ensembles (c'est en fait un R-sch'ema). On d'efinit pareillement les foncteurs en groupes, A 7! SpL (A) := SpA RL , GL L (A) := GL A RL et ESp L(A) := ESp A RL (les deux premiers sont des R-sch'emas en groupes). On consid`ere le diagramme suivant de la cat'egorie des R-alg`ebres --d0- R --d1- R[T ] , - -s-! s d'esignant l'homomorphisme structurel, et d0 , d1 les homomorphismes d''evaluation en 0 et 1 ; on observera que les compos'es d0 O s et d1 O s sont l'identit'e. Soit maintenant X un foncteur du type pr'ec'edent, nous identifions ci-apr`es X (R) `a un sous-objet de X (R[T ]) via X (s) et nous notons simple- ment , 7! ,(0) et , 7! ,(1) les applications d''evaluation X (d0) et X (d1). 34 Proposition 3.1. Soient R un anneau et L un R-module libre de dimension finie. Soit un 'el'ement de LL ; on consid`ere les conditions suivantes : (i) il existe un 'el'ement X de LL tel que l'on a X t L* et X t ; " # 1 0 (ii)il existe un 'el'ement S de SL tel que l'on a .L t ; S 1 (iii)il existe"un#'el'ement"S#de SL et un 'el'ement Y de SL* tels que l'on a 1 0 1 Y * = .L ; S 1 0 1 (iv) appartient `a ESp L.L ; (v) il existe un 'el'ement ff de LL(R[T ]) avec ff(0) = L et ff(1) = . Alors : (a) On a les implications (i) () (ii) () (iii) =) (iv) =) (v). (b) On a l'implication (iv) =) (ii) "apr`es stabilisation". En clair, la condi- tion (iv) implique qu'il existe un R-module"libre#de dimension finie L0 et un 1 0 0 0 0 'el'ement S de SL L0 tels que l'on a .(L L ) t ( L ) dans H(L L ). S 1 (c) On a l'implication (v) =) (iv) "apr`es stabilisation" lorsque R est r'egul* *ier et 2 inversible dans R. En clair, la condition (v) implique sous ces hypoth`es* *es qu'il existe un R-module libre de dimension finie L0tel que lagrangien L0 de H(L L0) appartient `a ESp L L0.(L L0). D'emonstration du point (a). Celle-ci est tr`es 'el'ementaire : L''equivalence (i) () (ii) r'esulte de la proposition 2.1.2. L''equivalence (ii) () (iii) est le point principal du lemme 2.1.2 (qui lui aussi r'esulte de la proposition 2.1.2). D'emonstration de (iv) =) (v). Supposons que l'on a, avec les notations du paragraphe 2, = E(qm , qm+1 , . .,.qn) . L. On prend pour ff le lagrangien E(T qm , T qm+1 , . .,.T qn).(R[T ] R L) de H(R[T ] R L). D'emonstration du point (b). Le point (b) est simplement une forme affaiblie de la proposition 2.2.4 (observer que tout 'el'ement de ESp L.L peut s''ecrire E(q0, q1, . .,.q2m ).L, quitte `a prendre q0 = 0). 35 Commentaire Le lecteur a peut ^etre vu l'apparition des formes de Sturm dans la d'emonstrat* *ion du point (b) de la proposition 3.1 comme un deus ex machina. L'objet de ce commentaire * *est d'essayer de le convaincre qu'une telle apparition n'est pas si myst'erieuse. L'argument que nous avons utilis'e pour d'emontrer ce point (b) est tr`es rusti* *que et il n'est pas difficile de v'erifier qu'il s'adapte au cadre des anneaux avec anti-involu* *tion ; on note (ba-i) la version "avec anti-involution" du point (b). Soit m 1 un entier. On note V la Z-alg`ebre librement engendr'ee par des ind'* *etermin'ees "non-commutatives", Q0, Q1, . .,.Q2m ; on munit V de l'anti-involution qui est * *l'identit'e sur ces ind'etermin'ees. Soit le lagrangien de l'espace symplectique hyperbolique H(V) d'efini par ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ = 1Q 0 1 Q1 . .1. Q2m-1 1 0 .V . 0 1 0 1 0 1 Q2m 1 L''enonc'e (ba-i) dit qu'il existe un entier n 1 et une matrice, disons S, de* * taille n x n, `a coefficients dans V et `a sym'etrie hermitienne, telle que l'on a ~ ~ (T ) 1S 01.Vn t ( Vn-1) dans H(Vn). La proposition 2.2.4 dit que l'on peut prendre pour S la matrice de* * Sturm 2 3 Q0 1 0 661 -Q1 1 0 7 660 1 Q2 1 0 77 66 .. .. .. .. .. 77 66 . . . . . 77 64 0 1 -Q2m-3 1 0 77 0 1 Q2m-2 1 5 0 1 -Q2m-1 (et donc n = 2m). Pourrait-on exhiber une matrice S de taille plus petite ? La * *r'eponse est non. Voici pourquoi. Soit P un polyn^ome de R[T ], sans racines multiples* * dans C, avec P (0) 6= 0 et P (1) 6= 0, de degr'e 2m, alors la th'eorie classique des su* *ites de Sturm (voir chapitre 1) et la th'eorie de l'indice de Maslov alg'ebrique (voir chapit* *re 1 et 4) montrent qu'il existe un homomorphisme d'anneaux avec anti-involution ffl : V !* * R[T ] (l'anneau commutatif R[T ] est muni de son anti-involution triviale, ffl est ju* *ste une suite (q0, q1, . .,.q2m-1) de polyn^omes de R[T ], qui est une l'eg`ere modification * *de la suite des quotients de la th'eorie de Sturm) telle que le nombre, disons N, de z'eros de * *P dans l'intervalle ]0, 1[ est donn'e par la formule 2N = sgn((S O ffl)(0)) - sgn((S O ffl)(1)) ; En prenant P avec N = 2m on voit que l'on a forc'ement n 2m. 36 Montrons pour terminer ce commentaire que la relation (T ) implique r'eciproqu* *ement le point (b) de la proposition 3.1 (ou mutatis mutandis l''enonc'e (ba-i)). ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ Soit AB CD l'image de l''el'ement 1Q 0 1 Q1 . .1. Q2m-1 1 0 de Sp1* *(V) 0 1 0 1 0 1 Q2m 1 dans Spn(V) ; on observe que la relation (T ) 'equivaut au fait que la matrice* * B - SA est inversible. Cette observation faite, on obtient (b) en invoquant cette fois un* *e sp'ecialisation ffl : V ! Md(R), Md(R) d'esignant l'anneau (non-commutatif pour d > 1) des mat* *rices d x d `a coefficients dans un anneau commutatif R, muni de l'anti-involution d* *onn'ee par la transposition des matrices. Nous laissons les d'etails au lecteur. D'emonstration du point (c). Elle est cons'equence des deux lemmes ci-apr`es. Lemme 3.2. Soit ff un 'el'ement de LL(R[T ]) avec ff(0) = L. Si l'anneau R est r'egulier alors il existe un R-module libre de dimension finie L0 et un 'el'ement de SpL L0(R[T ]) avec (0) = 1 tels que l'on a ff L0= . (L L0) dans LL L0(R[T ]). D'emonstration. Si ff est un R[T ]-module libre alors le point (c) de la propo- sition 2.1.5 dit qu'il existe un 'el'ement de SpL(R[T ]) tel que l'on a ff =* * .L et quitte `a remplacer par (0)-1 l'on peut supposer (0) = 1. Il suffit donc de montrer que ff est "stablement0libre", c'est-`a-dire qu'il existe un entier n0tel que ff R[T ]n est un R[T ]-module libre, en d'autres termes que la classe de ff (qui est a priori un R[T ]-module projectif de type fini) dans* * le groupe de Grothendieck eK0(R[T ]) est nulle. Comme ff(0) est un R-module libre, cette classe est bien nulle lorsque l'anneau R est r'egulier puisque da* *ns ce cas l''evaluation en 0, eK0(R[T ]) ! eK0(R), est un isomorphisme (voir par exemple [Bs1]). Lemme 3.3. Soit un 'el'ement de Sp L(R[T ]) avec (0) = 1. Si 2 est inversible dans l'anneau R alors il existe un R-module libre de dimension finie L0, un 'el'ement de ESp L L0(R[T ]) et un 'el'ement de GL L L0(R[T ]) tels que l'on a = H( ) dans SpL L0(R[T ]) . (On rappelle que l'on dispose d'inclusions canoniques des groupes SpL (R[T ]) et GL L L0(R[T ]) dans le groupe SpL L0(R[T ]), la seconde 'etant not'ee H, vo* *ir 2.1.) 37 D'emonstration. Soit R un anneau, disons commutatif, arbitraire. On sait que ESp (R) est le sous-groupe d'eriv'e de Sp (R) (voir par exemple [Bs2]). Il en r'esulte que le sous-ensemble ESp(R)H(GL (R)) du groupe Sp(R), constitu'e des produits eH(g) avec e dans ESp (R) et g dans GL (R), est un sous-groupe, que ce sous-groupe est distingu'e et que le groupe quotient Sp(R) = ESp (R)H(GL (R)) est ab'elien ; ce groupe quotient est not'e -W1(R). On se convainc sans difficult'es du point suivant : Le fait qu'il existe, pour* * tout 'el'ement de SpL(R[T ]) avec (0) = 1, L0, et , comme ci-dessus, 'equivaut au fait que l''evaluation en 0, -W1(R[T ]) ! -W1(R), est un monomorphisme (et du coup un isomorphisme). Or ceci est le cas d`es que l'on suppose 2 inversible dans l'anneau R (voir Appendice D). Il est maintenant facile d'achever la d'emonstration du point (c). Soit ff un 'el'ement de LL(R[T ]) avec ff(0) = L et ff(1) = . Si l'anneau R est r'egulier et 2 inversible dans R alors il existe d'apr`es les deux lemmes pr'ec'edents un R-module libre de dimension finie L0et un 'el'ement de ESp L L0(R[T ]) tels que l'on a ff L0= .(L L0) dans LL L0(R[T ]) (observer que H( ) stabilise le lagrangien L L0 pour tout dans GL L L0(R[T ])). En 'evaluant en 1, on obtient L0= (1) . (L L0). Sur l'hypoyh`ese "2 inversible dans R " Soit K un foncteur d'efini sur la cat'egorie des anneaux, disons commutatifs. On dit que R est K-rigide si l''evaluation en 0, K(R[T ]) ! K(R), est un isomorphisme. La d'emonstration que nous venons de donner du point (c) de la proposition 3.1 conduit `a au scholie suivant : Scholie 3.4. On consid`ere les conditions (iv) et (v) de la proposition 3.1. Alors on a l'implication (v) =) (iv) "apr`es stabilisation" lorsque l'anneau R est K0-rigide et -W1-rigide. La justification de ce scholie est la suivante : il existe des anneaux (raison- nables) dans lesquels 2 n'est pas inversible et qui sont cependant -W1-rigide. Voici des exemples d'anneaux qui satisfont les hypoth`eses de 3.4. Soit A un anneau de Dedekind (ou plus g'en'eralement un anneau "localement princi- pal") Grunewald, Mennicke et Vaserstein montrent dans [GMV] que l''evalua- tion en (0, 0 . .,.0), KSp 1(A[T1, T2, . .T.n]) ! KSp 1(A) est un isomorphisme (la notation KSp 1(-) d'esigne le K1 symplectique, voir Appendice D) ; ceci implique que l'anneau A[T1, T2, . .T.n] (avec n 0) est KSp 1-rigide et a for- tiori -W1-rigide. D'autre part A[T1, T2, . .T.n] est r'egulier, et donc a fort* *iori 38 K0-rigide, si l'anneau A est lui-m^eme r'egulier. On voit donc que l'anneau R = A[T1, T2, . .T.n] (avec n 0) satisfait les hypoth`eses de 3.4 lorsque l'anneau A est de Dedekind. En particulier, on peut faire R = Z dans le scholie 3.4. 3.5. Relations entre la proposition 3.1 et la th'eorie de Ranicki [Ra4] [Ra1] Soit un 'el'ement de LL . On suppose tout d'abord que la condition (iii) de 3.1 est satisfaite : il existe un 'el'ement S de SL et un 'el'ement Y de SL* tels que l'on a " # " # 1 0 1 Y * = .L . S 1 0 1 " #" # 1 -Y 1 0 L'automorphisme symplectique induit un isomorphisme 0 1 -S 1 de formations " # 1 -Y * (H(L); , L*) ~= (H(L); L*, .L ) . 0 1 L'isomorphisme symplectique oe : H(L) ! H(L*) (voir 2.1.1) induit un iso- morphisme de formations " # " # 1 -Y * * * 1 0 * (H(L); L*, .L ) ~= (H(L ); L , .L ) 0 1 Y 1 " # 1 0 * * (attention, est ci-dessus une matrice de type (L , L) x (L , L) !). Y 1 On constate donc que (la classe d'isomorphisme de) la formation (H(L); , L*) est le bord au sens de [Ra1] de (la classe d'isomorphisme de) la forme bilin'eaire sym'etrique Y . On se propose maintenant d'expliquer comment la th'eorie de Ranicki im- plique le point (b) de la proposition 3.1. On suppose que la condition (iv) de 3.1 est satisfaite : il existe un 'el'ement de ESp L tel que l'on a = .L. 39 On commence par montrer (en suivant Ranicki) que la classe de la formation (H(L); , L*) dans le groupe V-1(R) de [Ra1] est nulle. On observe que l'application, disons flL, de ESp L dans V-1(R), qui associe `a un 'el'ement de SpL la classe de la formation (H(L); , L*) dans le groupe V-1(R) est un homomorphisme de groupes et que pour tout R-module L0de dimension finie le diagramme suivant SpL ___________SpL-L0 flL@@ flL L0 @R V-1(R) , dans lequel la fl`eche horizontale d'esigne l'homomorphisme de stabilisation, est commutatif. Le fait que flL( ) est nul pour 2 ESp L r'esulte de ce que le groupe V-1(R) est commutatif et de ce que est produit de commutateurs dans SpL L0 d`es que la dimension de L0 est assez grande. Le point (iii) de la proposition 1.6.5 de [Ra4] affirme ensuite que la forma- tion (H(L); , L*) est "stablement isomorphe au bord d'une forme". D'apr`es le lemme 2.2 de [Ra1] (version bilin'eaire) ceci 'equivaut `a l'existence d'un R-module de dimension finie L0 et d'un lagrangien X de H(L L0) trans- verse `a la fois `a L0 et `a (L L0)*. En d'autres termes, satisfait la condition (i) de 3.1 "apr`es stabilisation". Signalons pour conclure ce paragraphe que la proposition 1.7.1 de [Ra4] traite de "l'unicit'e" de la forme dont la classe d'isomorphisme stable de la formation (H(L); , L*) est le bord ; nous reviendrons sur cette question en 4.4. 3.6. Compl'ements : formes primitives, formes d'enlacement L'objet principal de ce paragraphe est de parvenir `a l''enonc'e 3.6.2.4 que no* *us utiliserons en 4.6. 3.6.1. Formes primitives Soit L un R-module libre de dimension finie. Soit un lagrangien de H(L) ; soient respectivement ff : ! L et fi : ! L* les restrictions `a des projections sur L et L*. Le fait que la restriction `a 40 de la forme symplectique est nulle 'equivaut `a la commutativit'e du diagramme suivant ff ---! L ?? ?? fi?y ?yfi* * L* --ff-! * . Si l'on interpr`ete les fl`eches horizontales de ce diagramme comme des com- plexes de cha^ines (de R-modules) et les fl`eches verticales comme un ho- momorphisme de complexes, alors on constate que cet homomorphisme est une 'equivalence d'homotopie. Cette observation est classique, elle g'en'eralise l'implication (i) =) (iv) de 2.1.6 : Soient : H( ) ! H(L) un isomorphisme"# ff fl symplectique prolongeant l'inclusion de dans L (voir 2.1.5) et la fi ffi matrice de dans les d'ecompositions H( ) = * et H(L) = L L* alors l'homomorphisme de complexes (-fl*, -fl) est un inverse homotopique de l'homomorphisme de complexes (fi, fi*). Soit maintenant Y une forme bilin'eaire sym'etrique d'efinie sur un module libre de dimension finie M. Nous dirons que Y est une forme primitive au sens strict pour le lagrangien s'il existe un diagramme commutatif --ff-! L ?? ?? OE1?y ?yOE0 M --Y-! M* tel que (OE1, OE0) est une 'equivalence d'homotopie (le diagramme ci-dessus 'et* *ant interpr'et'e comme pr'ec'edemment) et que l'on a fi = OE*0OE1 . On observera que cette derni`ere 'egalit'e signifie que l'on a une factorisation d''equivale* *nces d'homotopie (fi, fi*) = (OE*0, OE*1) O (OE1, OE0) ou encore que le diagramme su* *ivant ff X________________-LX XX || X X X X OE1 || X X X X OE0 | XX X X | X XX X | |XX X X X X | | X XX XXz X X XXXz fi|| |fi*| , , M ___Y_________,_,_M*- || OE*0 ||,,, ,, OE*1, , , , , | , , , , | , , ,, | , , , , | , , , , |?_______ff*______-,|?,,,9,,9 L* * 41 est commutatif. Pour un exemple illustrant la notion de forme primitive au sens strict voir le point (a) de la proposition A.5.2. Nous dirons que Y est une forme primitive pour le lagrangien s'il existe une forme bilin'eaire sym'etrique S sur"L telle#que Y est une forme primitive au sens strict pour 1 0 le lagrangien . , en d'autres termes s'il existe une 'equivalence -S 1 d'homotopie (OE1, OE0) comme ci-dessus telle que l'on a fi - Sff = OE*0OE1 . Remarques. - L'existence de l''equivalence d'homotopie (OE1, OE0) entra^ine que les R-mod* *ules M* et L M sont isomorphes et donc que est stablement libre. - Soit L0un R-module libre de dimension finie ; les conditions suivantes sont 'equivalentes : - Y est une forme primitive (resp. une forme primitive au sens strict) pour le lagrangien ; - Y est une forme primitive (resp. une forme primitive au sens strict) pour le lagrangien L0 de H( L0). - Soit Q une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee d'efinie sur un m* *odule libre de dimension finie ; les conditions suivantes sont 'equivalentes : - Y est une forme primitive pour le lagrangien ; - Y Q est une forme primitive pour le lagrangien . - Si Y est une forme primitive (resp. une forme primitive au sens strict) pour alors il en est de m^eme pour toute forme bilin'eaire sym'etrique isomorphe `a Y . Ces deux derni`eres remarques soul`event la question de l'unicit'e d'une forme primitive pour un lagrangien donn'e. Pour une r'eponse, voir 4.4.4. Pour la question de l'existence, voir le commentaire `a la fin de 3.6.1. L''enonc'e 3.6.1.1 ci-apr`es est imm'ediat. Il illustre la notion de forme pri* *mitive d'un lagrangien et montre que celle-ci est intimement reli'ee `a la proposition 3.1 et `a la th'eorie de Ranicki 'evoqu'ee en 3.5. 42 Proposition 3.6.1.1 Soit un 'el'ement de LL. On suppose qu'il existe un R-module libre de dimension finie L0 et des formes bilin'eaires sym'etriques S et Y d'efinies respectivement sur L L0 et (L L0)* tels que l'on a " # " # 1 0 1 Y 0 * L0 = .(L L ) . S 1 0 1 Alors Y est une forme primitive pour . ~ ~ (On peut v'erifier 'egalement que la somme orthogonale Y S1 10, forme d'efin* *ie sur (L L0)* (L L0 (L L0)*), est primitive au sens strict.) La proposition suivante peut ^etre vue comme une r'eciproque de la pr'ec'edente* * : Proposition 3.6.1.2. Soient un 'el'ement de LL et Y une forme bilin'eaire sym'etrique sur un R-module libre de dimension finie M. Si Y est une forme primitive pour , alors il existe - une forme bilin'eaire sym'etrique S sur L M L* - un isomorphisme U de (L M L*) * sur M L L* tels que l'on a " # " # 1 0 1 U* (Y "L)U * * M L* = . (L M L ) S 1 0 1 dans H(L M L*), "L d'esignant la forme bilin'eaire sym'etrique hyperbolique sur L L*. D'emonstration. Compte tenu des remarques faites plus haut on peut supposer que* * est~~ libre et par cons'equent l'image d'un plongement lagrangien de L dans H(L), dis* *ons ab. Il est clair aussi que l'on peut supposer que Y est une forme primitive au sens* * strict. Cette hypoth`ese se traduit alors de la fa,con suivante : Il existe un diagramme commutatif de R-modules L --a--! L ? ? f1?y ?yf0 M --Y--!M* tel que (f1, f0) est une 'equivalence d'homotopie entre les complexes L a!L et * *M Y! M* et que l'on a b = f*0f1. 43 Soient (g1, g0) un inverse homotopique de (f1, f0) et k une homotopie entre l'i* *dentit'e du complexe L a!L et le compos'e (g1, g0) O (f1, f0), c'est-`a-dire un endomorphis* *me de L avec g0f0- 1 = ak et g1f1- 1 = ka. Soit S la forme bilin'eaire sym'etrique sur L M* * L* dont la matrice, de type (L, M, L*) x (L*, M*, L), est la suivante 2 3 0 f*0 k* - 4f0 Y g*15 . k g1 0 On commence par v'erifier que dans l'espace symplectique hyperbolique H(L M * * L*), les lagrangiens ~ ~ M L* , 1S 01. (L M L*)* sont transverses (ce qui doit ^etre le cas si l''egalit'e de 3.6.1.2 est satisf* *aite). Soient A et B les matrices suivantes, de types respectifs (L, M, L*)x(L, M, L*) et (L, M, L*)x(L** *, M*, L) : 2 3 2 3 a 0 0 b 0 0 A = 40 1 05 , B = 40 0 05 . 0 0 1 0 0 0 La transversalit'e en question 'equivaut `a l'inversibilit'e de la matrice B - * *SA . On a : 2 3 2 3 b f*0 k* f*0f1 f*0k* B - SA = 4f0a Y g*15= 4 Y f1 Y g*15 ka g1 0 g1f1 - 1 g1 0 2 3 2 3 0 f*0 k* 1 0 0 = 4 0 Y g*154f1 1 05 . -1 g1 0 0 0 1 ~ * *~ ~ ~ Or la matrice f0Y kg*est inversible. En effet, sa "transpos'ee" f0 Y est in* *versible : 1 k g1 voir par exemple la d'emonstration du lemme D.2.2 (lointain cousin du lemme de * *Schanuel). On 'ecrit ensuite : ~ ~~ -1~ M L* = S1 01 10 A (B -1SA) . (L M L*)* . On pose Q = A (B - SA)-1 ; il s'agit donc une forme bilin'eaire sym'etrique * *sur (L M L*)*. On a : 2 3 f*1Y f1 f*1Y f*1g*1- 1 (B - SA)* Q (B - SA) = (B - SA)*A = 4 Y f1 Y g*1 5 ; g1f1 - 1 g1 0 2 32 3 2 3 2 3 1 -f*1 0 f*1Y f1 f*1Y f*1g*1- 1 1 0 0 0 0 -1 4 0 1 054 Y f1 Y g*1 5 4-f1 1 05 = 4 0 Y g*15 ; 0 0 1 g1f1 - 1 g1 0 0 0 1 -1 g1 0 44 2 3 2 32 32 32 3 2 3 -1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 g1 0 -1 0 0 0 0 1 4 0 1 05 4g*1 1 054 0 Y g*1540 1 054 0 1 05= 40 Y 05 . 0 0 1 0 0 1 -1 g1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 Ces 'egalit'es conduisent `a celle de 3.6.1.2 en prenant 2 32 32 3 1 0 0 1 g1 0 0 -1 0 U-1 = (B - SA) 4-f1 1 0540 1 054 1 0 05 0 0 1 0 0 1 0 0 1 (la derni`ere matrice du produit ci-dessus est de type (M, L, L*) x (L, M, L*)). Commentaire. Les propositions 3.6.1.1 et 3.6.1.2 fournissent l'addendum `a la proposition 3.1 suivant : Soit un lagrangien de H(L), les conditions suivantes sont 'equivalentes : - il existe un R-module libre de dimension finie L0 et un 'el'ement S de SL L0 tels que l'on a " # 1 0 0 0 .(L L ) t ( L ) S 1 dans H(L L0) ; - poss`ede une forme primitive. En d'autres termes, on peut rajouter une sixi`eme condition aux cinq de la proposition 3.1. 3.6.2. Lagrangiens et formes d'enlacement (Pour un expos'e plus complet et plus conceptuel sur le sujet voir [Ra5, x3].) On suppose dans ce paragraphe que l'anneau (commutatif) R est int`egre ; on note K son corps des fractions. Un R-module d'enlacement est un R-module C, admettant une r'esolution projective 0 ! P1 ! P0 ! C ! 0 avec P0 et P1 de type fini, muni d'une application bilin'eaire sym'etrique C x C ! K=R non-d'eg'en'er'ee, c'est-`a-dire, dans ce contexte, telle que l'homomorphisme induit C ! Hom R(C, K=R) est un isomorphisme. Une telle application 45 bilin'eaire sym'etrique est appel'ee forme d'enlacement. On observera que C est de torsion (puisqu'il en est ainsi pour Hom R(C, K=R) lorsque C est de type fini) si bien que les modules projectifs de type fini P0 et P1 qui ap- para^issent ci-dessus ont m^eme rang. On trouvera ci-apr`es des exemples de formes d'enlacement. R'esidu d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-singuli`ere Soit P un R-module projectif de type fini muni d'une forme bilin'eaire sym'e- trique S (que l'on identifie encore avec un homomorphisme de P dans son dual P *) non-singuli`ere. Rappelons la terminologie. Les deux conditions suivantes sont 'equivalentes : (i)L'homomorphisme S : P ! P *est injectif. (ii)La forme bilin'eaire sym'etrique K R S, d'efinie sur le K-espace vectoriel K R P est non-d'eg'en'er'ee. On dit que S est non-singuli`ere si elles sont satisfaites. La forme bilin'eaire sym'etrique (K R S) -1 : K R P *x K R P *! K induit par restriction une application P *xP *! K qui induit `a son tour une application bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee cokerS x cokerS ! K=R . Le R-module cokerS muni de cette forme d'enlacement est un R-module d'enlacement que nous appelons le r'esidu (ou le conoyau, voir [BLLV]) de P ou de S et que nous notons r'esP ou r'esS . R'esidu d'un couple de lagrangiens d'intersection triviale Soit L un R-module libre de dimension finie. Soient et deux lagrangiens de l'espace symplectique hyperbolique H(L). Les deux conditions suivantes sont 'equivalentes : T (i)On a = 0 dans H(L). (ii)Les deux lagrangiens K R et K R de H(K R L) sont transverses. 46 On suppose que ces conditions sont satisfaites. On note ss le projecteur sur K R parall`element `a K R du K-espace vectoriel symplectique K R H(L) ; la compos'ee H(L) x H(L) - --! H(K R L) x H(K R L) - 1xss--!H(K R L) x H(K R L) ---! K , la derni`ere fl`eche d'esignant la forme symplectique de H(K R L), induit une application bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee H(L)=( + ) x H(L)=( + ) ! K=R . Le R-module quotient H(L)=( + ) muni de cette forme d'enlacement est un R-module d'enlacement que nous appelons le r'esidu du couple de lagrangiens ( , ) et que nous notons r'es( , ). On observera que l'on a r'es( , ) = -r'es( , ). Expliquons la notation. Soit C un R-module d'enlacement, nous notons -C le R-module d'enlacement obtenu en changeant la forme d'enlacement en son oppos'ee. " # a Exemple. Soit OE = un plongement lagrangien de L dans H(L) ; soit b son image. Les quatre conditions suivantes sont 'equivalentes : (i)L'endomorphisme a est injectif. (ii)L'endomorphisme K R a est inversible. T * (iii)On a L = 0 dans H(L). (iv) Les deux lagrangiens K R et K R L* de H(K R L) sont transverses. On suppose ces conditions satisfaites. La forme bilin'eaire sym'etrique (la sym'etrie est due au fait que l'on a a*b = b*a) (K R b) O (K R a) -1: K R L x K R L ! K induit par restriction une application L x L ! K qui induit `a son tour une application bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee cokera x cokera ! K=R . 47 Le R-module cokera muni de cette forme d'enlacement est un R-module d'enlacement que nous notons [_ba]. Le lecteur se convaincra sans difficult'es de ce que le R-module d'enlacement r'es( , L*) est canoniquement isomorphe `a [_ba]. Remarque. Le r'esidu d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-singuli`ere, d'efi* *nie disons sur un R-module libre de dimension finie, est en fait le r'esidu d'un co* *u- ple de lagrangiens d'intersection triviale. En effet, soit S une forme bilin'ea* *ire sym'etrique non-singuli`ere d'efinie sur un R-module libre de dimension finie L et soit le graphe de S, que l'on consid`ere comme un lagrangien de H(L), alors le r'esidu de S s'identifie au r'esidu du couple (L, ). Pareillement, so* *it Y une forme bilin'eaire sym'etrique non-singuli`ere d'efinie sur L* et soit * *le graphe de Y , que l'on consid`ere comme un lagrangien de H(L), alors le r'esidu de Y s'identifie au r'esidu du couple ( , L*). L''enonc'e suivant, dont la v'erification est laiss'ee au lecteur, g'en'eralise* * l'ob- servation pr'ec'edente : Proposition 3.6.2.1. Soit ( , ) un couple de lagrangiens de H(L) d'inter- section triviale. On suppose qu'il existe un lagrangien X de H(L) transverse `a la fois `a et `a ; on note dX ( , ) la forme bilin'eaire sym'etrique sur X* "diff'erence entre et " (on rappelle, voir 2.1.5, que l'ensemble des lagrangiens transverses `a X poss`ede une structure canonique d'espace affine sous le R-module des formes bilin'eaires sym'etriques sur X*, dX ( , ) est d'efinie par l''egalit'e = + dX ( , )). Alors la forme dX ( , ) est non- singuli`ere et l'on a un isomorphisme de R-modules d'enlacement r'es( , ) ~=-r'esdX ( , ) . Le point (b) de la proposition ci-dessous est un cas particulier de la propo- sition ci-dessus. Proposition 3.6.2.2. Soit un lagrangien de H(L). On suppose qu'il existe, un R-module libre de dimension finie L0, une forme bilin'eaire sym'etrique S sur L L0et une forme bilin'eaire sym'etrique Y sur (L L0)* tels que l'on a " # " # 1 0 1 Y 0 * L0 = .(L L ) . S 1 0 1 48 Alors : (a) Les deux conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) l'intersection de et L* est triviale ; (ii)Y est non-singuli`ere. (b) Si ces conditions sont satisfaites, on a un isomorphisme de R-modules d'enlacement r'es( , L*) ~= r'esY . Pour nous faire pardonner d'avoir saut'e la d'emonstration de 3.6.2.1, donnons celle du point (b) de 3.6.2.2. Elle r'esulte de la concat'enation de la suite suivante d'isomorphismes de R-modules d'enlacement : r'es( , L*) ~=r'es( L0, L* L0*) ~= " #" # " # 1 0 1 Y 0 * 0 * 1 Y 0 * 0 * r'es( .(L L ) , (L L )) ~=r'es( .(L L ) , (L L )) S 1 0 1 0 1 ~=r'esY . " # a Proposition 3.6.2.3. Soit un plongement lagrangien de L dans H(L) b avec a injectif ; soit son image. Soit Y une forme bilin'eaire sym'etrique non-singuli`ere d'efinie sur un R-module libre de dimension finie. Alors les conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) On a un isomorphisme de R-modules d'enlacement b [ __] ~= r'esY . a (ii)La forme Y est une forme primitive pour le lagrangien . D'emonstration. On v'erifie l'implication (i) =) (ii) ; la v'erification de l'* *im- plication inverse est sans surprises. Soit M le R-module libre sur lequel est 49 d'efini Y . Soit f un isomorphisme de R-modules de cokera sur cokerY . Cet homomorphisme s'ins`ere dans un diagramme de R-modules 0 ---! L - -a-! L - --! cokera ---! 0 ?? ?? ?? f1?y f0?y f?y 0 ---! M - Y--! M* - --! cokerY ---! 0 dans lequel les lignes sont exactes ; par construction le couple (f1, f0) est * *une 'equivalence d'homotopie entre les complexes L !a L et M !Y M*. Supposons maintenant que f pr'eserve les formes d'enlacement. Dans ce cas, on a, pour tous x et y dans L : - 2 K ; on identifie ci-dessus L avec un sous-module de K R L et les notations f0, Y , b et a d'esignent en fait les applications K R f0, K R Y , K R b et K R a. La relation ci-dessus s''ecrit encore (avec le m^eme type de conventions) : - 2 K ; l'application f*0f1a-1-ba-1 : L ! K R L* prend donc en fait ses valeurs dans L*. On note q : L ! L* l'homomorphisme induit ; cet homomorphisme est sym'etrique, par exemple parce que a*qa est sym'etrique et que a est injectif. L''egalit'e f*0f1 = b + qa signifie bien que Y est une forme primitive pour le lagrangien . La proposition 3.6.1.2 et l'implication (i) =) (ii) de la proposition 3.6.2.3 entra^inent l''enonc'e que nous avions en vue : " # a Proposition 3.6.2.4. Soit un plongement lagrangien de L dans H(L) b avec a injectif ; soit son image. On suppose qu'il existe une forme bilin'ea* *ire sym'etrique non-singuli`ere Y d'efinie sur un R-module libre de dimension finie M dont le r'esidu est isomorphe au R-module d'enlacement [_ba]. Alors il existe une forme bilin'eaire sym'etrique S sur L M L* et un isomorphisme U de (L M L*) * sur M L L* tels que l'on a " # " # 1 0 1 U* (Y "L)U * * M L* = . (L M L ) . S 1 0 1 50 4. Le th'eor`eme fondamental de la K-th'eorie hermitienne,a`la Karoubi-Villamayor 4.1. 'Enonc'e L''enonc'e du th'eor`eme en question n'ecessite quelques pr'eparatifs. Soit L un R-module libre de dimension finie. On note FL l'ensemble des formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees sur L L* ; nous consid'erer* *ons souvent une telle forme comme une matrice (sym'etrique) de type (L, L*) x (L*, L). L'ensemble FL poss`ede un "point base" naturel, `a savoir la forme bilin'eaire sym'etrique_hyperbolique sur L L* que nous notons "L : " # 0 1 "L = . 1 0 Soient L et L0deux modules libres de dimension finie, on note (q, q0) 7! q q0 l'application de FL x FL0 dans FL L0 induite par la somme orthogonale et l'isomorphisme canonique (L L*) (L0 L0*) ~=(L L0) (L L0)*. On pose FRn = Fn(R). On note F la limite directe des foncteurs Fn suivant les applications (dites de stabilisation), Fn ! Fn+1, q 7! q "R . Comme les applications de stabilisation "pr'eservent les points base", le foncteur F est point'e, c'est-`a-dire qu'il peut ^etre enrichi en un foncteur `a valeurs d* *ans la cat'egorie des ensembles point'es. Soit X un foncteur d'efini sur la cat'egorie des anneaux (disons commutatifs) et `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles, on note ss0X le foncteur qui assoc* *ie `a l'anneau R l'ensemble quotient de X (R), co'egalisateur des 'evaluations en 0 et 1 de X (R[T ]) dans X (R) : d0 (ss0X )(R) := colim(X (R[T ]) ' X (R)) . d1 On dit que deux 'el'ements ,0 et ,1 de X (R) sont homotopes s'ils ont m^eme image dans (ss0X )(R) ; on 'ecrit dans ce cas ,0 ~ ,1. L'image (la classe d'homotopie) dans (ss0X )(R) d'un 'el'ement , de X (R) est not'ee [, ]. 51 Convention. Soit X un foncteur du type pr'ec'edent, il sera souvent com- mode de noter ,(T1, T2, . .,.Tn) un 'el'ement de X (R[T1, T2, . .,.Tn]) (en fai* *t, dans ce qui suit le nombre n d'ind'etermin'ees v'erifiera 0 n 2). Soient F1, F2, . .,.Fm , des polyn^omes de R[T1, T2, . .,.Tn] et F : R[T1, T2, . .,.Tm* * ] ! R[T1, T2, . .,.Tn] l'homomorphisme d'anneaux correspondant, il sera 'egale- ment commode de noter ,(F1, F2, . .,.Fm ) l''el'ement X (F )(,(T1, T2, . .,.Tn)) de X (R[T1, T2, . .,.Tm ]). Fixons maintenant l'anneau R, les d'efinitions ci-dessus se "sp'ecialisent" de fa,con 'evidente aux foncteurs d'efinis sur la cat'egorie des R-alg`ebres (comm* *u- tatives). Le foncteur A 7! FA RL , que nous notons encore FL, est un tel foncteur ; on peut donc consid'erer l'ensemble (ss0FL)(R) qui pour all'eger sera aussi not'e ss0FL . Structure de (ss0F)(R) On commence par introduire l'application de stabilisation de ss0FL dans (ss0F)(R). Proposition-D'efinition 4.1.1. Soient L un R-module libre de dimension n et b un isomorphisme de Rn sur L. Alors la compos'ee de l'application de ss0FL dans (ss0Fn)(R) induite par b et de l'application canonique de (ss0Fn)(R) dans (ss0F)(R) est ind'ependante du choix de b ; on la note st: ss0FL ! (ss0F)(R) . Scholie 4.1.2. Soit f : L ! L0 un isomorphisme entre R-modules libres de dimension finie. Alors le diagramme suivant f* ss0FL __________ss0FL0- st@@ st @R (ss0F)(R) dans lequel f* d'esigne l'application induite par f , est commutatif. Ces 'enonc'es sont cons'equence des deux lemmes suivants : 52 Lemme 4.1.3. Soient L un R-module libre de dimension finie et a un automorphisme"de#L ; soient "(a) l'automorphisme de L" L* de#matrice a 0 a 0 a , g(a) l'automorphisme de L L de matrice -1 , F l'auto- 0 a*-1 0 a morphisme q 7! "(a)* O q O "(a) de FL et s l'application q 7! q "L de FL dans FL L . Alors : (a) Le diagramme FL --s-! FL L ?? ?? Fa?y ?yFg(a) FL --s-! FL L est commutatif. (b) L'automorphisme g(a) est 'el'ementaire. Lemme 4.1.4. Soient L un R-module libre de dimension finie et g un automorphisme de L (un 'el'ement de GL L ). Si g est 'el'ementaire, alors il existe un automorphisme fl de R[T ] R L (un 'el'ement de GL R[T] RL) avec fl(0) = 1 et fl(1) = g . D'emonstration. L''enonc'e 4.1.4 est 'evident. Le point (a) de 4.1.3 r'esulte du fait que "(a) pr'eserve "L : "(a)* O "L O "(a) = "L. Le point (b) de 4.1.3 est bien connu, on a par exemple : " # " # " #" # " #" # " # a 0 1 0 1 -a-1 1 0 1 0 1 1 1 0 = . 0 a-1 a 1 0 1 a 1 -1 1 0 1 -1 1 On constate ensuite que la somme orthogonale fait de (ss0F)(R) un groupe ab'elien : 53 Proposition-D'efinition 4.1.5. Il existe une unique application (ss0F)(R) x (ss0F)(R) ! (ss0F)(R) qui fait commuter le diagramme ss0FL x ss0FL0 ---! ss0FL L0 ?? ?? stxst?y ?yst (ss0F)(R) x (ss0F)(R) ---! (ss0F)(R) pour tous R-modules libres de dimension finie, L et L0, la fl`eche horizontale sup'erieure 'etant induite par la somme orthogonale. Cette application fait de (ss0F)(R) un groupe ab'elien dont le point base est l''el'ement neutre. D'emonstration. Le seul point qui ne d'ecoule pas de la proposition 4.1.1 ou de la d'efinition m^eme du foncteur F est l'existence d'un inverse ; celle-ci d'ecoule du lemme suivant (prendre M = L L*) : Lemme 4.1.6. Soient M un R-module libre et q une forme bilin'eaire sym'e- trique non-d'eg'en'er'ee sur M. Alors on a q -q-1 ~ "M dans FM . D'emonstration. Contempler l'identit'e " #" # " # " # 1 0 q 0 1 q-1 q 1 = q-1 1 0 -q-1 0 1 1 0 (que l'on peut voir comme un cas particulier de A.4.1 !). On introduit maintenant les foncteurs "espaces de lacets", `a la Karoubi- Villamayor. Soit X un foncteur d'efini sur la cat'egorie des anneaux (disons commutatifs) et `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles point'es. On note X le foncteur, du m^eme type, qui associe `a un anneau R le sous-ensemble de X (R[T ]) form'e des 'el'ements ff v'erifiant d0ff = d1ff = * : X (R[T ]) ( X )(R) := {ff ; d0ff = d1ff = *} . 54 Quelques rappels concernant les ensembles de lagrangiens : - On choisit comme point base de LL, le lagrangien L. - Soient L et L0 deux modules libres de dimension finie, on note ( , 0) 7! 0l'application de LL xLL0dans LL L0 induite par la somme orthogonale et l'isomorphisme canonique (L L*) (L0 L0*) ~=(L L0) (L L0)*. - On pose LRn = Ln(R). On note L la limite directe des foncteurs Ln suivant les applications (dites de stabilisation), Ln ! Ln+1, 7! R. Comme les applications de stabilisation pr'eservent les points base, le foncteur L est point'e. Comme pr'ec'edemment, la d'efinition de X se sp'ecialise, apr`es avoir fix'e l'anneau R, aux foncteurs d'efinis sur la cat'egorie des R-alg`ebres (commuta- tives). Le foncteur A 7! LL(A) := LA RL est un tel foncteur ; on peut donc consid'erer les ensembles ( LL)(R) et (ss0 LL)(R) qui pour all'eger seront aussi not'es LL et ss0 LL . Structure de (ss0 L)(R) On a mutatis mutandis : Proposition-D'efinition 4.1.7. Soient L un R-module libre de dimension n et b un isomorphisme de Rn sur L. Alors la compos'ee de l'application de ss0 LL dans (ss0 Ln)(R) induite par b et de l'application canonique de (ss0 Ln)(R) dans (ss0 L)(R) est ind'ependante du choix de b ; on la note st : ss0 LL ! (ss0 L)(R) . Proposition-D'efinition 4.1.8. Il existe une unique application (ss0 L)(R) x (ss0 L)(R) ! (ss0 L)(R) qui fait commuter le diagramme ss0 LL x ss0 LL0 ---! ss0 LL L0 ?? ?? stxst?y ?yst (ss0 L)(R) x (ss0 L)(R) ---! (ss0 L)(R) pour tous R-modules libres de dimension finie, L et L0, la fl`eche horizontale sup'erieure 'etant induite par la somme orthogonale. Cette application fait de (ss0 L)(R) un mono"ide ab'elien dont le point base est l''el'ement neutre. 55 Nous sommes enfin en mesure d''enoncer le th'eor`eme fondamental de la K-th'eorie hermitienne `a la Karoubi-Villamayor ; cet 'enonc'e sera pr'ecis'e en 4.2.8 et 4.2.10. Th'eor`eme 4.1.9. Si l'anneau R est r'egulier et si 2 est inversible dans R, alors il existe un isomorphisme naturel de mono"ides ab'eliens (ss0 L)(R) ~=(ss0F)(R) . Commentaire On abstrait dans ce commentaire quelques points communs aux constructions que nous avons faites dans ce paragraphe. D'efinition 4.1.10. On note C la cat'egorie suivante : - un objet de C est la donn'ee (R; L) d'un anneau R et d'un R-module libre de dimension finie L ; - un C-morphisme de (R; L) dans (R0; L0) est la donn'ee (f; i, r) d'un homomorphisme d'anneaux f : R ! R0 et de deux homomorphismes de R0-modules, i : R0 R L ! L0et r : L0! R0 R L, avec r O i = 1 (si bien que R0 R L s'identifie `a un facteur direct de L0). Soit R un anneau fix'e ; on note C(R) la sous-cat'egorie de C dont les mor- phismes sont les morphismes (f; i, r) avec f = idR. En clair : - un objet de C(R) est un R-module libre de dimension finie ; - un C(R)-morphisme de L dans L0est un couple d'homomorphismes de R-modules, i : L ! L0 et r : L0 ! L, avec r O i = 1 (si bien que L s'identifie `a un facteur direct de L0). Si l'on consid`ere l'ensemble ordonn'e N comme une cat'egorie alors l'applica- tion n 7! Rn induit un foncteur de N dans C(R) dont l'image sera not'ee N(R). Proposition-D'efinition 4.1.11. Soit un foncteur de C dans la cat'egorie des ensembles ; soient Tn (n 2 N) et T les foncteurs de la cat'egorie des anneaux commutatifs dans la cat'egorie des ensembles, d'efinis par Tn(R) = (Rn) , T (R) = colim (Rn) N(R) (ou encore T = colimN Tn ). 56 Soit L un R-module libre de dimension finie n ; soit TL le foncteur de la cat'egorie des R-alg`ebres dans la cat'egorie des ensembles d'efini par TL(A) = (A R L). Soit enfin b un isomorphisme de Rn sur L. Alors la compos'ee de l'application de ss0TL := (ss0TL)(R) dans (ss0Tn)(R) induite par b et de l'application canonique de (ss0Tn)(R) dans (ss0T )(R) est ind'ependante du choix de b ; on la note st: ss0TL ! (ss0T )(R) . 4.2. D'emonstrations Dans ce paragraphe R est un anneau r'egulier dans lequel 2 est inversible (on dira aussi "contenant 1_2"). Le point essentiel de la d'emonstration du th'eor`eme 4.1.9 est la d'efinition * *de l'application de (ss0 L)(R) dans (ss0F)(R), `a savoir "l'indice de Maslov", qui s'av`erera au bout du compte ^etre un isomorphisme de mono"ides ab'eliens. L'indice de Maslov d'un lacet de lagrangiens Soit ff (que l'on notera 'egalement ff(T )) un 'el'ement de LL, on dira aussi un lacet de LL (en L) ; ff est donc un lagrangien de LL(R[T ]) avec ff(0) = ff(1) = L. Ce lagrangien appartient `a la composante connexe, au sens de la condition (v) de la proposition 3.1, du lagrangien R[T ] R L : Consid'erer le lagrangien ff(UT ) = ff(T )(U) de LL(R[T, U]) = LL(R[T ][U]). Comme l'anneau R[T ] h'erite de l'anneau R la propri'et'e d'^etre r'egulier et de contenir 1_2, on p* *eut appliquer le point (c) de la proposition 3.1. On sait donc qu'il existe un R-module libre de dimension finie L0 et une forme bilin'eaire sym'etrique S(T ) sur R[T ] R (L L0) tels que l'on a " # 1 0 0 ff(T ) (R[T ] R L0) t .(R[T ] R (L L )) S(T ) 1 57 ce que l'on peut 'ecrire sous la forme plus concise suivante : " # 1 0 0 ff L0 t .(L L ) . S(T ) 1 On rappelle que la condition de transversalit'e ci-dessus 'equivaut `a l'existe* *nce d'une forme bilin'eaire sym'etrique Y (T ) sur R[T ] R (L L0)*, uniquement d'etermin'ee par la donn'ee du lagrangien ff(T ) L0et de la forme S(T ), telle que l'on a : " #" # 1 0 1 Y (T ) 0 * ff L0= .(L L ) . S(T ) 1 0 1 On observe enfin que les formes S(0) et S(1) sont inversibles puisque l'on a ff(0) = L et ff(1) = L ; leurs inverses sont respectivement -Y (0) et -Y (1) (voir 2.1.3). On consid`ere maintenant la forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee S(1) -S(0) -1 d'efinie sur (L L0) (L L0)*(il s'agit donc d'un 'el'ement de FL L0) : Proposition-D'efinition 4.2.1. Soit ff un lacet de LL. Soient L0 un R-module libre de dimension finie et S(T ) une forme bilin'eaire sym'etrique sur R[T ] R (L L0) tels que l'on a " # 1 0 0 ff L0 t .(L L ) . S(T ) 1 Alors l''el'ement st([S(1) -S(0) -1]) de (ss0F)(R), image de la forme bili- n'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee S(1) -S(0) -1par la compos'ee FL L0 ---! ss0FL L0 --st-! (ss0F)(R) , est ind'ependant du choix de L0 et S(T ) ; on le note Mas (ff) et on l'appelle l'indice de Maslov du lacet ff : Mas (ff) = st([S(1) -S(0) -1]) . 58 D'emonstration. On pose S(1) -S(0) -1= Mas (ff; L0, S(T )). On montre tout d'abord que st([Mas (ff; L0, S(T ))]) ne d'epend pas du choix de S(T ). Cette ind'ependance est cons'equence du lemme 4.2.2 ci-apr`es et du lemme 4.1.6. Le lemme 4.2.2, qui est en germe dans [Lt], est le point-clef de la d'emonstration de la proposition 4.2.1. Lemme 4.2.2. Soient Si(T ), i = 0, 1, deux formes bilin'eaires sym'etriques sur R[T ] R (L L0) telles que la condition de transversalit'e de 4.2.1 est v'erifi'ee. Alors les deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees* * sur L L0, S1(0) -S0(0)-1 et S1(1) -S0(1)-1, sont homotopes dans FL L0. D'emonstration. On 'ecrit " # " # 1 0 1 Y0(T ) 0 * ff L0= .(L L ) . S0(T ) 1 0 1 On a " # " # " # 1 0 1 0 1 Y0(T ) 0 * 0 .(L L ) t (L L ) -S1(T ) 1 S0(T ) 1 0 1 ce qui 'equivaut au fait que l'endomorphisme (S0(T ) - S1(T ))Y0(T ) + 1 de (L L0)*est inversible ou encore que la forme bilin'eaire sym'etrique sur (L L0) (L L0)*(de matrice) " # S1(T ) - S0(T ) 1 1 Y0(T ) est non-d'eg'en'er'ee. On a donc par d'efinition m^eme " # " # S1(0) - S0(0) 1 S1(1) - S0(1) 1 ~ 1 Y0(0) 1 Y0(1) dans FL L0. On conclut en se souvenant que l'on a Y0(i) = -S0(i)-1 pour i = 0, 1 et en utilisant l'identit'e " #" #" # " # 1 s0 s1 - s0 1 1 0 s1 0 = -1 0 1 1 -s-10 s0 1 0 -s0 (que l'on peut voir `a nouveau comme un cas particulier de A.4.1 !). 59 Il n'est pas difficile maintenant d'achever la d'emonstration de l'ind'ependance de st([Mas (ff; L0, S(T ))]) par rapport `a S(T ). L'homotopie S1(0) -S0(0)-1 ~ S1(1) -S0(1)-1 dans FL L0 implique la suivante Q0 := (S1(0) -S0(0)-1 ) (S0(1) -S1(0)-1 ) ~ Q1 := (S1(1) -S0(1)-1 ) (S0(1) -S1(0)-1 ) dans FL L0 L L0. D'apr`es 4.1.1 l'image de Q0 dans (ss0F)(R) co"incide avec celle de la forme (S0(1) -S0(0)-1 ) (S1(0) -S1(0)-1 ). Or on a S1(0) -S1(0)-1 ~ "L L0 d'apr`es 4.1.6. On constate donc que l'on a st([Mas (ff; L0, S0(T ))]) = st([Q0]) dans (ss0F)(R). On a pareillement st([Mas (ff; L0, S1(T ))]) = st([Q1]) , d'o`u l''egalit'e st([Mas (ff; L0, S0(T ))]) = st([Mas (ff; L0, S1(T ))]) . Compte tenu de ce qui pr'ec`ede, l'ind'ependance de st([Mas (ff; L0, S(T ))]) par rapport `a L0 tient aux observations ci-apr`es. Soient L00un R-module libre de dimension finie et q une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'* *ee sur L00, on observe tout d'abord que l'on a " # 1 0 0 00 ff L0 L00 t .(L L L ) . S(T ) q 1 On constate ensuite que l''el'ement Mas (ff; L0 L00, S(T ) q) de FL L0 L00est la somme orthogonale de l''el'ement Mas (ff; L0, S(T )) de FL L0 et de l''el'em* *ent q -q-1 de FL00. On conclut en invoquant `a nouveau le lemme 4.1.6. 60 Scholie 4.2.3. Soit ff un lacet de LL. Soient L0 un R-module libre de di- mension finie, S(T ) une forme bilin'eaire sym'etrique sur R[T ] R (L L0) et Y (T ) une forme bilin'eaire sym'etrique sur R[T ] R (L L0)* tels que l'on a " #" # 1 0 1 Y (T ) 0 * ff L0= .(L L ) . S(T ) 1 0 1 Alors les formes Y (0) et Y (1) sont non-d'eg'en'er'ees et l'on a Mas (ff) = st( [ -Y (1)-1 Y (0) ] ) = - st( [ Y (1) -Y (0)-1] ) . D'emonstration. Le seul point `a v'erifier est la derni`ere 'egalit'e, c'est-`* *a-dire l''enonc'e suivant : Lemme 4.2.4. Soit L un R-module libre de dimension finie muni de deux formes sym'etriques non-d'eg'en'er'ees q0 et q1. Alors on a dans (ss0F)(R) : st( [ -q-11 q0 ] ) = - st( [ q1 -q-10] ) . Ce lemme r'esulte du lemme 4.1.6 et du fait que "L* s'identifie `a "-1L. Exemple. Nous avons tout fait pour que la proposition suivante soit v'erifi'ee (voir Proposition 2.2.3) : Proposition 4.2.5. Soit ff un lacet de LL. On suppose qu'il existe une suite de Sturm (q0(T ), q1(T ), . .,.q2m-1 (T ), q2m (T )) sur R[T ] R L telle que l* *'on a " # " # " #" # 1 0 1 q1(T ) 1 q2m-1 (T ) 1 0 ff(T ) = . . . .L . q0(T ) 1 0 1 0 1 q2m (T ) 1 On note q_(T ) la sous-suite de Sturm (q0(T ), q1(T ), . .,.q2m-1 (T )). Alors les formes de Sturm S(q_(0)) et S(q_(1)) sont non-d'eg'en'er'ees et l'on a Mas (ff) = st( [ S(q_(1)) -S(q_(0))-1] ) . 61 Proposition-D'efinition 4.2.6. Si deux lacets ff0 et ff1 de LL sont homo- topes alors on a Mas (ff0) = Mas (ff1). On note encore Mas : ss0 LL ! (ss0F)(R) l'application induite par l'application LL ! (ss0F)(R) , ff 7! Mas (ff). D'emonstration. Soit ff(T, U) une "homotopie (`a extr'emit'es fixes)" entre ff0(T ) et ff1(T ). A nouveau, l'anneau R[T, U] h'erite de l'anneau R la pro- pri'et'e d'^etre r'egulier et de contenir 1_2si bien que l'on peut appliquer le* * point (c) de la proposition 3.1 : Il existe un R-module libre de dimension finie L0 et une forme bilin'eaire sym'etrique S(T, U) sur R[T, U] R (L L0) tels que l'on a " # 1 0 0 ff(T, U) (R[T, U] R L0) t .(R[T, U] R (L L )) S(T, U) 1 ou plus concis'ement " # 1 0 0 ff(T, U) L0 t .(L L ) . S(T, U) 1 Le fait que l'on a ff(0, U). L = L et ff(1, U). L = L implique `a nouveau que les deux formes bilin'eaires sym'etriques S(0, U) et S(1, U), d'efinies sur R[U] R (L L0), sont non-d'eg'en'er'ees. On constate donc que l''el'ement S(1, U) -S(0, U)-1 de FR[U] R(L L0)est une homotopie entre les 'el'ements S(1, 0) -S(0, 0)-1 et S(1, 1) -S(0, 1)-1 de FL L0, dont les images dans (ss0F)(R) sont res- pectivement Mas (ff0) et Mas (ff1). La v'erification de la proposition suivante ne pr'esente plus de difficult'es : Proposition-D'efinition 4.2.7. Les applications Mas : ss0 LL ! (ss0F)(R) induisent un homomorphisme de mono"ides ab'eliens que l'on note encore Mas : (ss0 L)(R) ! (ss0F)(R) et que l'appelle toujours l'indice de Maslov. 62 Voici maintenant une des formes pr'ecises du th'eor`eme 4.1.9 que nous avions promises : Th'eor`eme 4.2.8. Soit R un anneau r'egulier dans lequel 2 est inversible. Alors l'indice de Maslov Mas : (ss0 L)(R) ! (ss0F)(R) est un isomorphisme de mono"ides ab'eliens. D'emonstration. La proposition 3.1 montre que tout 'el'ement de (ss0 L)(R) est repr'esent'e par un lacet ff de LL, pour un certain R-module libre de dimension finie L, de la forme suivante : " #" # 1 0 1 Y (T ) * ff(T ) = .L . S(T ) 1 0 1 Soient " # " # 1 0 1 Yi(T ) * ffi(T ) = .L , Si(T ) 1 0 1 i = 0, 1, deux lacets de ce type. On constate que si l'on a S0(0) = S1(0) et S0(1) = S1(1) alors les lacets ff0 et ff1 sont homotopes : Consid'erer l'homotopie " # " # 1 0 1 (1 - U)Y0(T ) + U Y1(T ) * .L (1 - U)S0(T ) + U S1(T ) 1 0 1 (se souvenir de ce que l'on a Yi(j) = -Si(j)-1 pour i = 0, 1 et j = 0, 1). On voit donc en particulier que le lacet ff(T ) ci-dessus est homotope au lacet ~(T ) d'efini par " # " -1 -1 # 1 0 1 -((1 - T )S(0) + T S(1) ) * ~(T ) = .L . (1 - T )S(0) + T S(1) 1 0 1 Ce qui pr'ec`ede conduit `a la d'efinition d'un inverse pour l'indice de Maslov. Soit L un R-module libre de dimension finie, muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees q0 et q1. On note `(q0, q1) le lacet de LL d'ef* *ini par la formule " # " # 1 0 1 -((1 - T )q-10+ T q-11) * `(q0, q1)(T ) = .L . (1 - T )q0 + T q11 0 1 63 Les propri'et'es suivantes sont imm'ediates : (P1) L'indice de Maslov du lacet `(q0, q1) est l'image de q1 -q-10dans (ss0F)(R). (P2) Pour toute forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee q sur L, le lac* *et `(q, q) est le lacet constant (en L) de LL. (P3) Soit L0 un R-module libre de dimension finie, muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees q00 et q01. Alors le * * lacet `(q0 q00, q1 q01) de LL L0 est la somme orthogonale du lacet `(q0, q1) de LL et du lacet `(q00, q01) de LL0. On note `L : FL ! LL L* l'application q 7! `("L, q). La proposition ci- dessous est essentiellement cons'equence des propri'et'es (P2) et (P3) : Proposition-D'efinition 4.2.9. Il existe une unique application, que l'on note ` : (ss0F)(R) ! (ss0 L)(R) , qui fait commuter le diagramme FL - `L--! LL L* ?? ? ?y ??y ss0FL ss0 LL L* ?? ?? st?y ?yst (ss0F)(R) - -`-! (ss0 L)(R) pour tout R-module libre de dimension finie L. Cette application est un homomorphisme de mono"ides ab'eliens. Remarque. Il est clair que la d'efinition de l'application ` : (ss0F)(R) ! (ss0 L)(R), contrairement `a celle de l'indice de Maslov, ne n'ecessite aucune hypoth`ese sur l'anneau R. On d'emontre le th'eor`eme 4.2.8 en v'erifiant en fait l''enonc'e encore plus p* *r'ecis suivant : 64 Th'eor`eme 4.2.10. Soit R un anneau r'egulier dans lequel 2 est inversible. Alors les applications ` : (ss0F)(R) ! (ss0 L)(R) , Mas : (ss0 L)(R) ! (ss0F)(R) sont des isomorphismes de mono"ides ab'eliens inverses l'un de l'autre. D'emonstration. On a d'ej`a vu que tout 'el'ement de (ss0 L)(R) est repr'esent'e par un lacet du type `(q0, q1). Ceci montre que l'application ` : (ss0F)(R) ! (ss0 L)(R) est surjective. On a en effet : - st([`(q0, q1)]) = st([`(q0 q-10, q1 q-10)]) d'apr`es (P2) et (P2) ; - st([`(q0 q-10, q1 q-10)]) = st([`("L, q1 q-10)]) d'apr`es 4.1.6. On constate d'autre part que la compos'ee Mas O ` est l'identit'e. En effet, so* *it q un 'el'ement de FL, on a : - (Mas O `)(st([q])) = st([q -"L*]) d'apr`es (P1) (observer que "-1L s'identifie `a "L*) ; - st([q -"L*]) = st([q]) d'apr`es le lemme 4.2.11 ci-apr`es, dont la v'eri* *fi- cation est laiss'ee au lecteur, et le lemme 4.1.4. Lemme 4.2.11. Soit L un R-module libre de dimension finie. Alors il existe un automorphisme 'el'ementaire e de L L* tel que l'on a : -"L = e*O "L O e. 4.3. Indice de Maslov d'un quasi-lacet de lagrangiens On 'etend dans ce paragraphe la d'efinition de l'indice de Maslov que l'on a donn'ee dans le paragraphe 4.2 pour les lacets de LL bas'es en L, aux chemins ff(T ) (la terminologie est sans surprises : on appelle chemin de LL un 'el'ement de LR[T] L) dont les "extr'emit'es" ff(0) et ff(1) sont transverse* *s `a L* (en d'autres termes on remplace le point base L par son "voisinage ouvert contractile" UL*). qu On appelle quasi-lacet un tel chemin et on note LL l'ensemble des quasi- lacets de LL : qu * * LL(R[T ]) LL := {ff ; ff(0) t L , ff(1) t L } . 65 qu On introduit mutatis mutandis les foncteurs A 7! ( LL)(A), d'efinis sur la cat'egorie des R-alg`ebres (commutatives). qu L'inclusion naturelle de LL dans LL, disons i, admet une r'etraction tout aussi naturelle, disons r, qui est d'efinie de la fa,con suivante. Soit ff un q* *uasi- lacet. Puisque ff(i), i = 0, 1, est transverse `a L*, il existe un unique 'el'e* *ment s(i) de SL tel que l'on a " # 1 0 ff(i) = .L ; s(i) 1 on pose " # 1 0 (rff)(T ) = .ff(T ) . -((1 - T )s(0) + T s(1))1 On observera que les applications i et r sont compatibles avec les applications de stabilisation (induites par les applications LL ! LL L0 , 7! L0). On constate que l''el'ement " # 1 0 .ff(T ) -U((1 - T )s(0) + T s(1)) 1 qu de ( LL)(R[U]) est une homotopie entre ff et (i O r)ff ; d'o`u : Proposition 4.3.1. Les applications i et r induisent des bijections, inverses qu l'une de l'autre, entre ss0 LL et ss0 LL . On suppose maintenant que R est un anneau r'egulier dans lequel 2 est in- versible. Soit ff un quasi-lacet de LL, on d'efinit l'indice de Maslov de ff comme celui du lacet rff ; on le note encore Mas (ff) : Mas (ff) := Mas (rff) . qu D'apr`es 4.3.1 et 4.2.6 l'application LL ! (ss0F)(R) , ff 7! Mas (ff) se qu factorise `a travers ss0 LL . La d'efinition de l'indice de Maslov d'un quasi-lacet est exactement faite pour que l'on puisse remplacer dans l''enonc'e 4.2.3 le mot lacet par le mot quasi- lacet : 66 Proposition 4.3.2. Soit ff un quasi-lacet de LL. Soient L0un R-module libre de dimension finie, S(T ) une forme bilin'eaire sym'etrique sur R[T ] R (L L0) et Y (T ) une forme bilin'eaire sym'etrique sur R[T ] R (L L0)* tels que l'on a " #" # 1 0 1 Y (T ) 0 * ff L0= .(L L ) . S(T ) 1 0 1 Alors les formes Y (0) et Y (1) sont non-d'eg'en'er'ees et l'on a Mas (ff) = st( [ -Y (1)-1 Y (0) ] ) = - st( [ Y (1) -Y (0)-1] ) . D'emonstration. Observer que l'on a " # " # 1 0 1 Y (T ) 0 * rff L0= .(L L ) . S(T ) - ((1 - T )S(0) + T S(1))1 0 1 Exemple. La proposition 4.3.2 conduit `a la variante suivante de la proposition 4.2.5 : Proposition 4.3.3. Soit ff un quasi-lacet de LL. On suppose qu'il existe une suite de Sturm (q0(T ), q1(T ), . .,.q2m-1 (T ), q2m (T )) sur R[T ] R L t* *elle que l'on a " # " # " #" # 1 0 1 q1(T ) 1 q2m-1 (T ) 1 0 ff(T ) = . . . .L . q0(T ) 1 0 1 0 1 q2m (T ) 1 On note q_(T ) la sous-suite de Sturm (q1(T ), q2(T ), . .,.q2m (T )). Alors les formes de Sturm S(q_(0)) et S(q_(1)) sont non-d'eg'en'er'ees et l'on a Mas (ff) = st( [ S(q_(1))-1 -S(q_(0)) ] ) . D'emonstration. On utilise les propositions 2.4.3 et 4.3.2, et le lemme suivant* * : Lemme 4.3.4. Soit L un R-module libre de dimension finie muni de deux formes sym'etriques non-d'eg'en'er'ees q0 et q1 ; soit a(T ) un automorphisme de R[T ] R L. Alors on a dans (ss0F)(R) : st( [ (a(1)*q1a(1)) -(a(0)*q0a(0))-1] ) = st( [ q1 -q-10] ) . 67 D'emonstration. On a [ (a(1)*q1a(1)) -(a(0)*q0a(0))-1] ~ [ (a(0)*q1a(0)) -(a(0)*q0a(0))-1] dans FL et st( [ (a(0)*q1a(0)) -(a(0)*q0a(0))-1] ) = st( [ q1 -q-10] ) dans (ss0F)(R) d'apr`es le scholie 4.1.2. Remarque. Comme nous ne cessons de le r'ep'eter, tout chemin ff de LL s''ecrit "apr`es stabilisation" : " #" # 1 0 1 Y (T ) * ff = .L ; S(T ) 1 0 1 ff est un quasi-lacet si et seulement si Y (0) et Y (1) sont inversibles, ce que nous supposons ci-apr`es. Posons : " # " # " # 1 Y (T ) * 1 0 1 Y (T ) * fi = .L ; fl (T, U) = .L ; 0 1 US(T ) 1 0 1 fi est un quasi-lacet et fl une homotopie de quasi-lacets entre ff et fi. Enfin, comme en 4.2, fi est homotope "`a extr'emit'es fixes" au quasi-lacet " # 1 (1 - T )Y (0) + T Y (1) * ~ = .L . 0 1 Nous pouvons donc paraphraser la d'efinition de l'indice de Maslov d'un quasi- lacet de la fa,con suivante. Tout quasi-lacet ff de LL est homotope "apr`esT stabilisation" `a un chemin fi de UL dont les extr'emit'es sont dans UL UL*. Dans l'espace affine UL (voir 2.1.5) le chemin fi est quant `a lui homotope `a extr'emit'esTfixes `a "la droite affine" joignant fi(0) `a fi(1). Si l'on id* *entifie UL UL* avec l'ensemble des formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'eres * *sur L (voir 2.1.4) alors l'indice de Maslov de ff est "la diff'erence des extr'emit* *'es" de fi : Mas (ff) = st( [ fi(1) -fi(0)-1] ) . 68 4.4. Commentaires sur la d'efinition de l'indice de Maslov, relation avec la th'eorie de Ranicki (suite) L''enonc'e 4.4.1 ci-dessous appara^it en filigrane dans notre th'eorie de l'ind* *ice de Maslov ; bien que tr`es 'el'ementaire, il y joue un r^ole non n'egligeable. * *Nous nous proposons dans ce paragraphe d'expliciter sa relation avec la proposition 1.7.1 de [Ra4]. Lemme 4.4.1. Soient S0, S1, deux formes bilin'eaires sym'etriques sur L et Y0, Y1, deux formes bilin'eaires sym'etriques sur L* telles que l'on a " #" # " #" # 1 0 1 Y0 * 1 0 1 Y1 * .L = .L . S0 1 0 1 S1 1 0 1 Alors la forme bilin'eaire sym'etrique sur L L* (de matrice) " # S1 - S0 1 1 Y0 est non-d'eg'en'er'ee. Consid'erons maintenant la forme bilin'eaire sym'etrique sur L* L L* (de matrice) suivante : 2 3 0 1 0 S = 641 S1 - S0 175 . 0 1 Y0 " # 0 1 Cette matrice contient deux blocs diagonaux inversibles, et " # 1 S1 - S0 S1 - S0 1 , si bien que l'on dispose de deux "identit'es du trin^ome" (voir 1 Y0 A.4.1). On v'erifie que ces identit'es s''ecrivent : 2 3 2 3 0 1 0 Y1 0 0 (F.1) S = U*0641 S1 - S0 075U0 ; S = U*1640 S1 - S0 175U1 0 0 Y0 0 1 Y0 avec U0 et U1 deux automorphismes "triangulaires" de L* L L*. 69 Remarque. On peut retrouver ce qui pr'ec`ede `a l'aide de la "technologie des formes de Sturm" (Appendice A) : La suite (-Y1, S0 - S1, Y0) est une suite de Sturm sur L de type (-1, 1) et l''* *egalit'e de 4.4.1 implique la suivante : (F.2) E(-Y1, S0 - S1, Y0) .L* = L* . L'implication (iv) =) (i) du point (a) de la proposition A.2.1 montre que la fo* *rme de Sturm S(S0 - S1, Y0) est non-d'eg'en'er'ee. Comme l'on a (F.3) S(qm , qm+1 , . .,.qn) = -D*S(-qm , -qm+1 , . .,.-qn)D pour toute suite de Sturm (qm , qm+1 , . .,.qn), D d'esignant la matrice diagon* *ale de coefficients (-1)m , (-1)m+1 , . .,.(-1)n, on retrouve bien (de fa,con un tanti* *net p'edante !) le lemme 4.4.1. On applique ensuite la proposition A.4.2 `a la suite de Sturm (* *0, S0-S1, Y0) (toujours de type (-1, 1)). Le point (a) montre qu'il existe un automorphisme t* *riangulaire U00de L* L L* tel que l'on a : ~ ~ S(0, S0 - S1, Y0) = U0*0S(0, S00- S1)-0Y U00 0 car l'on a @r(0, S0-S1) = 0 ; le point (b) montre qu'il existe un automorphisme* * triangulaire U01de L* L L* tel que l'on a : ~ ~ S(0, S0 - S1, Y0) = U0*1-Y10 S(S 0 U01 0 - S1, Y0) car l'on a @g(S0 - S1, Y0) = -Y1 d'apr`es (F.2). On retrouve alors (F.2) `a l'a* *ide de (F.3). Les formules (F.1) conduisent `a l''enonc'e suivant : Lemme 4.4.2. On reprend les hypoth`eses du lemme 4.4.1. Alors il existe deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees Q0 et Q1 sur L L* et un automorphisme ("'el'ementaire") U de L* L L* tels que l'on a Y1 Q1 ~= U* (Y0 Q0) U . Enfin, en invoquant l'identit'e " # " # " #" # 1 0 1 Y * 1 0 1 Y -q-1 * ( .L ) M = .(L M) , S 1 0 1 S q 1 0 1 q d'esignant une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'e sur un R-module libre de dimension finie M (cet argument est un avatar de celui utilis'e `a la fin de la d'emonstration du lemme 4.2.2), on obtient : 70 Proposition 4.4.3. Soit un lagrangien de H(L). On suppose qu'il existe deux R-modules libres de dimension finie L0i, i = 0, 1, et des formes bilin'eai* *res sym'etriques Si, Yi, d'efinies respectivement sur L L0iet (L L0i)*, tels que l'on a " #" # 1 0 1 Yi 0 * L0i= .(L Li) Si 1 0 1 pour i = 0, 1. Alors il existe deux formes bilin'eaires sym'etriques non- d'eg'en'er'ees Qi, i = 0, 1, d'efinies sur deux R-modules libres de dimension finie L00i, et un isomorphisme U de (L L00)* L000sur (L L01)* L001tels que l'on a Y1 Q1 ~= U* (Y0 Q0) U . Compte tenu de la discussion de 3.5, on retrouve la proposition 1.7.1 de [Ra4]. En invoquant la proposition 3.6.1.2, on obtient la variante suivante de 4.4.3 : Proposition 4.4.4. Soit un lagrangien de H(L). Si Y0 et Y1 sont deux formes primitives pour , alors il existe deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees Q0 et Q1, d'efinies sur des R-modules libres de dimension finie, telles que les formes bilin'eaires sym'etriques Y0 Q0 et Y1 Q1 sont isomorphes. On conclura ce paragraphe en observant que la proposition 4.4.3 (ou 4.4.4) pourrait ^etre l'un des ingr'edients d'une d'efinition alternative de l'indice * *de Maslov. 4.5. Un avatar du groupe (ss0F)(R) : le groupe V(R) de Karoubi Nous avons d'efini, dans le paragraphe 4.2 (resp. 4.3), l'indice de Maslov des lacets (resp. quasi-lacets) de lagrangiens, comme `a valeurs dans le groupe (ss0F)(R), en supposant R r'egulier et contenant 1_2. Nous allons voir dans ce paragraphe que sous ces m^emes hypoth`eses le groupe (ss0F)(R) est iso- morphe au groupe V(R), introduit par Karoubi, dont la d'efinition est "plus alg'ebrique". Grosso modo, V(R) est le groupe universel dans lequel vit la "diff'erence formelle" des classes d'isomorphisme "simultan'e" de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees d'efinies sur un m^eme R-module li* *bre 71 de dimension finie (`a dire vrai, notre d'efinition diff`ere l'eg'erement de ce* *lle de Karoubi qui d'efinit V(R) en termes de modules projectifs de rang fini et de formes quadratiques non-d'eg'en'er'ees [Ka2]). On constatera donc au bout du compte que l'indice de Maslov peut ^etre consid'er'e comme un invariant `a valeurs dans le groupe V(R). Dans ce paragraphe la notation R d'esigne un anneau (commutatif) arbitraire. . . sauf mention expresse du contraire. 4.5.1. Le groupe V(R) On consid`ere tout d'abord les couples (L; q) du type suivant : - L est un R-module libre de dimension finie ; - q est une forme bilin'eaire sym'etrique sur L que l'on suppose non- d'eg'en'er'ee. On dit que deux couples de ce type, (L; q), (L0; q0), sont isomorphes s'il exis* *te un isomorphisme de R-modules a : L ! L0tel que l'on a q = q0.a, la notation q0. a d'esignant le compos'e a* O q0O a : L ! L* (on dit alors que les deux couples sont isomorphes par a) ; nous notons [L; q], ou simplement [q], la classe d'isomorphisme de (L; q). La somme orthogonale fait de l'ensemble de ces classes d'isomorphisme un mono"ide (ab'elien) que l'on note MW lib(R) ; on note GW lib(R) le groupe de Grothendieck associ'e (GW lib(R) est le groupe de Grothendieck-Witt de R d'efini en termes de modules libres de dimension finie et de formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees, la notation GW* * (R) est r'eserv'ee au groupe de Grothendieck-Witt d'efini en termes de modules projectif de rang fini et de formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ee* *s). On consid`ere ensuite les triples (L; q0, q1) du type suivant : - L est un R-module libre de dimension finie ; - q0 et q1 sont des formes bilin'eaires sym'etriques sur L que l'on suppose non-d'eg'en'er'ees. On dit `a nouveau que deux triples de ce type, (L; q0, q1), (L0; q00, q01), sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de R-modules a : L ! L0 tel que l'on a q0 = q00. a, q1 = q01. a (on dit alors que les deux triples sont iso- morphes par a) ; nous notons [L; q0, q1], ou simplement [q0, q1], la classe 72 d'isomorphisme de (L; q0, q1). On note MW lib1(R) le mono"ide (ab'elien) de ces classes d'isomorphismes pour la somme orthogonale ; on note GW lib1(R) le groupe de Grothendieck associ'e. On note d : GW lib1(R) ! GW lib(R) "l'application bord", [q0, q1] 7! [q1] - [* *q0]. On note enfin V(R) le quotient de GW lib1(R) par "les relations de Chasles", c'est-`a-dire le quotient par le sous-groupe engendr'e par les 'el'ements de la forme [L; q0, q1] + [L; q1, q2] - [L; q0, q2] . La classe dans V(R) de (L; q0, q1) est encore not'ee [L; q0, q1] ou [q0, q1]. On observera que l'on a dans V(R) les relations [L; q, q] = 0 et [L; q1, q0] = -[L; q0, q1]. Cette derni`ere relation conduit `a l''enonc'e suivant : Proposition 4.5.1.1. L'homomorphisme (de mono"ides) canonique MW lib1(R) ! V(R) est surjectif (en clair, tout 'el'ement de V(R) est de la forme [L; q0, q1]). Relations entre le groupe V(R) et les groupes GW lib(R) et K1(R) On note I(R) le noyau de l'homomorphisme "dimension", de GW lib(R) dans Z, qui associe `a la classe de (L; q) la dimension de L (il n'est pas diffi- cile de se convaincre de ce que I(R) est aussi le noyau de l'homomorphisme GW (R) ! K0(R) qui associe `a la classe de (P ; q) la classe du R-module pro- jectif de rang fini P ). L'homomorphisme d : GW lib1(R) ! GW lib(R) induit un homomorphisme de V(R) dans I(R) que l'on note encore d. Soit (L; q0, q1) un R-module libre de dimension n muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees ; q-10O q1 est un automorphisme de L dont on peut consid'erer le "D'eterminant", qui est un 'el'ement de K1(R). Rappelons la d'efinition de cette notion. Soient a un automorphisme de L et b un isomorphisme de Rn sur L. La classe dans K1(R) de l''el'ement b-1 O a O b de GL n(R) est ind'ependante du choix de b. On l'appelle le D'eterminant de a et on la note D'eta ; la majuscule est l`a pour distinguer ce D'eterminant du d'eterminant habituel (dont la d'efinition n'ecessite l'hypoth`ese "R com- mutatif") que nous notons d'eta. On d'efinit un homomorphisme de V(R) 73 dans K1(R), que l'on note encore D'et, en associant `a la classe de (L; q0, q1) le D'eterminant de q-10O q1. Soit L un R-module libre de dimension n muni d'une forme bilin'eaire sym'etri- que non-d'eg'en'er'ee q . Soit b un isomorphisme de Rn sur L ; b* O q O b peut ^etre consid'er'e comme un 'el'ement de GL n(R) si l'on identifie (Rn)* avec Rn (moins p'edamment, b* O q O b est la matrice de q dans la base b !). La classe, modulo le sous-groupe de K1(R) constitu'e des 'el'ements de la forme k*k , du D'eterminant de b*O q O b est ind'ependante du choix de b. On l'appelle encore D'eterminant de q et on la note D'etq . Si l'on note additivement la loi de groupe de K1(R) et o : K1(R) ! K1(R) l'automorphisme k 7! k* alors le quotient implicitement 'evoqu'e plus haut peut ^etre not'e K1(R)=(1 + o). On d'efinit un homomorphisme de GW lib(R) dans K1(R)=(1 + o), que l'on note encore D'et, en associant `a la classe de (L; q) le D'eterminant de q . La v'erification de l''enonc'e suivant est imm'ediate Proposition 4.5.1.2. Le diagramme de groupes ab'eliens V(R) ---d! I(R) ?? ?? D'et?y ?yD'et K1(R) ---! K1(R)=(1 + o) est commutatif. (On verra plus tard, Corollaire 4.5.1.5, que dans certains cas ce diagramme est en fait cart'esien.) On en vient maintenant `a l''etude des relations entre le groupe V(R) et les groupes I(R) et K1(R) On commence par analyser le noyau de d. Soit [L; q0, q1] un 'el'ement de V(R). Supposons d([L; q0, q1]) = 0. Alors il existe un R-module libre de dimension finie L0 muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee * *q0 tel que (L L0; q0 q0) et (L L0; q1 q0) sont isomorphes. Compte tenu du fait que l'on a [L; q0, q1] = [L L0; q0 q0, q1 q0] dans V(R), nous pouvo* *ns supposer que (L; q0) et (L; q1) sont isomorphes. On fait alors intervenir la proposition suivante : 74 Proposition-D'efinition 4.5.1.3. Soit L un R-module libre de dimension finie muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee q. (a) L'application GL L ! V(R) , a 7! [L; q, q.a] est un homomorphisme de groupes. (b) Il existe un unique homomorphisme de K1(R) dans V(R), ind'ependant du choix de L et q, que nous notons , tel que l'homomorphisme du point pr'ec'edent est le compos'e GL L - D'et--!K1(R)- --! V(R) . (c) Le compos'e K1(R) ---! V(R) -D'et--!K1(R) est l'endomorphisme 1 + o. D'emonstration du point (a). Elle r'esulte des relations [q, q.(aa0)] = [q, q.a0] + [q.a0, q.(aa0)] et [q, q.a] = [q.a0, (q.a).a0] . D'emonstration du point (b). Soient (L; q), (L0; q0) et (L00; q00) trois R-modu* *les libres de dimension finie munis de formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en* *'e- r'ees ; soient a un automorphisme de L et a0 un automorphisme de L0. On a les relations [L; q, q.a] = [L L0 L00; q q0 q00, (q q0 q00).(a 1 1)] , [L0; q0, q0.a0] = [L L0 L00; q q0 q00, (q q0 q00).(1 a0 1)] * * . En utilisant le point (a) on obtient [L0; q0, q0.a0] - [L; q, q.a] = [L L0 L00; q q0 q00, (q q0 q00).(a-1 * * a0 1)] . 75 Si l'on a D'eta = D'eta0 et que la dimension de L00est assez grande, alors, d'apr`es la d'efinition m^eme du foncteur K1, l'automorphisme a-1 a0 1 de L L0 L00est un produit de commutateurs ; comme le groupe V(R) est ab'elien, le point (a) montre que le second membre de la relation ci-dessus est nul. Ceci ach`eve la d'emonstration du point (b). La v'erification du point (c) est laiss'ee au lecteur. Ce qui pr'ec`ede conduit `a la proposition suivante : Proposition 4.5.1.4. La suite de groupes ab'eliens K1(R) ---! V(R) --d-! I(R) ---! 0 est exacte. Soit R un anneau commutatif. L'homomorphisme canonique Rx = GL 1(R) ! K1(R) poss`ede une r'etraction tout aussi canonique, l'homomorphisme d'et: K1(R) ! Rx ; on a donc une d'ecomposition en somme directe K1(R) := SK1(R) Rx . On note encore d'etles homomorphismes compos'es V(R) - D'et--!K1(R)--d'et-!Rx et I(R) --D'et-!K1(R)=(1 + o) -d'et--!Rx =Rx2 . Corollaire 4.5.1.5. Soit R un anneau commutatif avec SK 1(R) = 0 (par exemple un corps ou un anneau euclidien). Alors le diagramme commutatif de groupes ab'eliens V(R) --d-! I(R) ?? ?? d'et?y ?yd'et Rx ---! Rx =Rx2 est cart'esien (en d'autres termes, les homomorphismes d et d'etinduisent un isomorphisme de V(R) sur le produit fibr'e de I(R) et Rx au-dessus de Rx =Rx2). D'emonstration. Le point (c) de 4.5.1.3 permet de se convaincre de ce que le noyau de : Rx = K1(R) ! V(R) est le sous-groupe { 1} ; l''enonc'e 4.5.1.5 en r'esulte. 76 Remarque. La proposition 4.5.1.4 dit en particulier que l'homomorphisme d : V(R) ! I(R) est surjectif. Nous verrons au chapitre 5 qu'il n'en est pas en g'en'eral de m^eme pour l'homomorphisme D'et: V(R) ! K1(R) (ce sera un sous-produit de l''enonc'e 5.4.1, voir aussi le premier commentaire `a la fin du chapitre 5). La d'efinition m^eme de l'homomorphisme conduit `a l''enonc'e suivant : Propostion 4.5.1.6. Soit (L; q0, q1) un R-module libre de dimension finie muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees ; soient a0, a* *1 : L0! L deux isomorphismes de R-modules. Alors on a dans V(R) la relation suivante : [L0; q0.a0, q1.a1] = [L; q0, q1] + (D'et(a1 O a-10)) . On explique `a pr'esent le rapport entre le groupe I(R) et le groupe de Witt de l'anneau R. On d'egage `a cette occasion le lemme 4.5.1.7 ; son scholie aura son r^ole `a jouer au chapitre 5. Le lemme 4.5.1.10 est de la m^eme veine ; son scholie sera quant `a lui utilis'e en 4.5.2. Soit L un R-module libre de dimension finie, on rappelle que l'on note "L la forme bilin'eaire sym'etrique hyperbolique sur L L*. On note Wlib(R) le quotient de GW lib(R) par le sous-groupe engendr'e par ["R ], ou ce qui revient au m^eme par les ["L ] (Wlib(R) est le groupe de Witt de R d'efini en termes de modules libres de dimension finie et de formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees, la notation W(R) est r'eserv'ee au groupe de Witt d'efini en termes de modules projectif de rang fini et de formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees). On observe que le groupe I(R) introduit plus haut peut aussi ^etre vu comme le noyau de l'homomorphisme "dimension modulo 2", de Wlib(R) dans Z=2. Soit (L; q) un R-module libre de dimension paire muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee alors le D'eterminant de * *sa classe dans I(R) est le Discriminant de q, disons Disq, d'efini par dimL_ Dis q = (-1) 2 D'etq (dans cette formule la loi du groupe K1(R)=(1 + o) est not'ee multiplicative- ment et -1 d'esigne l'image de -1 par l'homomorphisme compos'e Rx ! K1(R) ! K1(R)=(1 + o)). 77 Par d'efinition la classe des formes hyperboliques (associ'ees `a des R-modules libre de dimension finie) est nulle dans Wlib(R) ; le lemme ci-apr`es montre en particulier qu'il en est de m^eme de la classe des formes "neutres" c'est-`a-di* *re, dans notre contexte, des (L; q) tels qu'il existe un facteur direct libre de L qui est son propre orthogonal par rapport `a q . On en d'eduit que le groupe Wlib(R) est isomorphe au quotient du mono"ide MW lib(R) par le sous-mono"ide constitu'e des classes des formes neutres (on d'efinit d'ailleurs classiquement Wlib(R) comme ce quotient). Lemme 4.5.1.7. Soient L un R-module libre de dimension finie et q une forme bilin'eaire sym'etrique sur L*. Alors les deux R-modules libres de di- mension finie munis de forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee suivants " # " # " # " # 0 1 * 0 1 * 0 1 * 0 1 (L L*; ) (L L ; ) , (L L ; ) (L L ; ) , 1 q 1 q 1 0 1 q sont isomorphes par un automorphisme 'el'ementaire de L L* L L*. D'emonstration. Soient 2 3 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 61 q 0 07 61 0 0 07 Q = 640 0 0 175 , Q0= 640 0 0 175 , 0 0 1 q 0 0 1 q les matrices, de type (L, L*, L, L*) x (L*, L, L*, L), des formes bilin'eaires * *sym'etriques de l''enonc'e. On consid`ere le produit suivant de matrices de type (L, L*, L, L*)* *x(L, L*, L, L*) : 2 3 2 3 1 0 -1 -q 1 0 0 0 60 1 0 07 60 1 0 07 P = 640 0 1 075640 0 1 075 ; 0 0 0 1 0 1 0 1 P est la matrice, de type (L, L*, L, L*) x (L, L*, L, L*), d'un automorphisme '* *el'ementaire de L L* L L*. On v'erifie que l'on a tP QP = Q0. Scholie 4.5.1.8. Soient L un R-module libre de dimension finie et q une forme bilin'eaire sym'etrique sur L*. Alors on a dans V(R) l''egalit'e : " # " # 0 1 0 1 [L L*; , ] = 0 . 1 0 1 q 78 En effet, on a dans V(R) " # " # 0 1 0 1 [L L*; , ] = 1 0 1 q " # " # " # " # 0 1 0 1 0 1 0 1 [(L L*) (L L*); , ] 1 0 1 q 1 q 1 q et le second membre est nul d'apr`es 4.5.1.6. Remarque. Si 2 est inversible dans R alors le lemme 4.5.1.7 admet une version moins sophistiqu'ee puisque l'on a " # " #" q # " # 1 0 0 1 1 -_2 0 1 = . -q_2 1 1 q 0 1 1 0 Cette remarque et l'identit'e de la d'emonstration du lemme 4.1.6 conduisent au lemme suivant : Lemme 4.5.1.9. Soit (L; q) un R-module libre de dimension finie muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee. Si 2 est inversible dans* * R, alors les deux R-modules libres de dimension finie munis de forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee suivants " # " # q 0 * 0 1 (L L*; -1 ) , (L L ; ) , 0 -q 1 0 sont isomorphes par un automorphisme 'el'ementaire de L L*. Voici la version "sophistiqu'ee" de ce lemme : Lemme 4.5.1.10. Soit (L; q) un R-module libre de dimension finie muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee. Alors les deux R-modules libres de dimension finie munis de forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er* *'ee suivants " # " # q 0 * 0 1 (L L*; -1 ) (L; q) , (L L ; ) (L; q) , 0 -q 1 0 sont isomorphes par un automorphisme 'el'ementaire de L L* L. 79 D'emonstration. Soient 2 3 2 3 q 0 0 0 1 0 Q = 40 -q-1 05 , Q0= 41 0 05 , 0 0 q 0 0 q les matrices, de type (L, L*, L)x(L*, L, L*), des formes bilin'eaires sym'etriq* *ues de l''enonc'e. On consid`ere le produit suivant de matrices de type (L, L*, L) x (L, L*, L) : 2 3 2 3 1 0 0 1 0 1 P = 4-q 1 05 40 1 05 ; 0 -q-1 1 0 0 1 P est la matrice, de type (L, L*, L) x (L, L*, L), d'un automorphisme 'el'ement* *aire de L L* L. On v'erifie que l'on a tP QP = Q0. Scholie 4.5.1.11. Soit (L; q0, q1, q2) un R-module libre de dimension finie muni de trois formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees. Alors : (a) On a dans V(R) l''egalit'e " # " # 0 1 q1 0 [L; q0, q1] = [L L*; , -1 ] . 1 0 0 -q0 (b) Les deux formes bilin'eaires sym'etriques sur ((L L*) (L L*)) (L L*) ((q1 -q-10) (q2 -q-11)) (q1 -q-11) , ((q2 -q-10) "L) (q1 -q-11) sont isomorphes par un automorphisme 'el'ementaire. V'erifions par exemple le point (a). On a dans V(R) : [L; q0, q1] = [L (L* L); q0 (-q-10 q0), q1 (-q-10 q0)] = [(L L*) L; "L q0, (q1 -q-10) q0] = [L L*; "L , q1 -q-10] ; la deuxi`eme relation s'obtenant `a l'aide du lemme 4.5.1.10 et de la propositi* *on 4.5.1.6. Scholie 4.5.1.12. Soit (L; q0, q1) un R-module libre de dimension finie muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees. Alors on a dans V(R) la relation suivante : [ L*; -q-10, -q-11] = - [ L; q0, q1 ] . 80 4.5.2. Liens entre les groupes V(R) et (ss0F)(R) Soit L un R-module libre de dimension finie. Le groupe GL L* op`ere, `a droite, sur l'ensemble FL de fa,con C-naturelle (la d'efinition de la cat'egorie C est donn'ee en 4.1.10). Pr'ecisons un peu ce que nous entendons par l`a. Les correspondances L 7! FL et L 7! GL L* induisent des foncteurs d'efinis sur la cat'egorie C et `a valeurs respectivement dans la cat'egorie des ensembl* *es et celle des groupes, et l'action FL x GL L* ! FL est une transformation naturelle. En passant `a la limite directe sur N(R) (voir encore 4.1.10) on obtient une action, `a droite, du groupe GL (R) sur l'ensemble F(R) (naturelle en R). Les liens 'evoqu'es dans le titre de ce sous-paragraphe font intervenir l'en- semble quotient F(R)=EGL (R), EGL (R) d'esignant le sous-groupe de GL (R), constitu'e des "matrices 'el'ementaires". Pour all`eger la notation on pose V0(R) = F(R)=EGL (R). La somme orthogonale fait de V0(R) un mono"ide ab'elien. Remarque. Le mono"ide ab'elien V0(R) n'est pas en g'en'eral un groupe. Le lecteur v'erifiera par exemple que V0(Z=2) est isomorphe `a Z=2 muni de la multiplication. Ce genre de pathologie dispara^it si l'on travaille avec des formes quadratiques plut^ot que des formes bilin'eaires sym'etriques [Ka2] et en particulier si l'on suppose que 2 est inversible dans R (voir ci-dessous). Le lemme suivant, qui est une variante de la proposition 4.1.1 et dont la d'emonstration est identique, sera implicitement utilis'e `a plusieurs reprises ci-apr`es : Lemme 4.5.2.1. Soient L un R-module libre de dimension n et b un iso- morphisme de Rn sur L. Alors la compos'ee de l'application de FL dans Fn(R) induite par b, et des applications canoniques de Fn(R) dans F(R) et de F(R) dans V0(R), est ind'ependante du choix de b. Proposition-D'efinition 4.5.2.2. (a) Les applications FL ! V(R) , q 7! [L L*; "L, q ] induisent un homomorphisme de mono"ides, que nous notons OE, de V0(R) dans V(R) ; cet homomorphisme est surjectif. 81 On suppose maintenant que 2 est inversible dans R. Alors : (b) Le mono"ide V0(R) est un groupe. (c) Les applications `a valeurs dans FL , (L; q0, q1) 7! (L L*; q1 -q-10) induisent un homomorphisme de groupes, que nous notons ffi0, de V(R) dans V0(R). (d) Les homomorphismes de groupes, OE:V0(R) ! V(R) et ffi0:V(R) ! V0(R), sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre. D'emonstration du point (a). La factorisation `a travers V0(R) de l'application FL ! V(R) , q 7! [L; "L, q ] r'esulte de la proposition 4.5.1.6. Le fait que OE est un homomorphisme de mono"ides est 'evident. Le fait que OE est surjectif est une paraphrase du point (a) de 4.5.1.11. D'emonstration du point (b). On utilise le lemme 4.5.1.9. D'emonstration du point (c). On utilise `a nouveau le lemme 4.5.1.9. D'emonstration du point (d). Le compos'e OE O ffi0 est l'identit'e d'apr`es le * *point (a) de 4.5.1.11. Le fait que le compos'e ffi0 O OE est aussi l'identit'e r'esu* *lte essentiellement du lemme ci-dessous, dont la d'emonstration est laiss'ee au lecteur : Lemme 4.5.2.3. Soit L un R-module libre de dimension finie. Alors (L L*; "L) et (L L*; -"L) sont isomorphes par un automorphisme 'el'emen- taire de L L*. Remarque. Le point (b) du scholie 4.5.1.11 conduit `a la proposition suivante : Proposition 4.5.2.4. L'homomorphisme OE : V0(R) ! V(R) induit un iso- morphisme du groupe de Grothendieck associ'e au mono"ide ab'elien V0(R) sur le groupe ab'elien V(R), pour tout_anneau commutatif R. Soient q0 et q1 deux 'el'ements de F(R), il est clair que si q0 et q1 sont iso- morphes par un 'el'ement de EGL (R) alors il existe un 'el'ement ff de F(R[T ]) avec ff(0) = q0 et ff(1) = q1. On dispose donc d'une application canonique, disons fl, de V0(R) dans (ss0F)(R), qui est par d'efinition un homomorphisme surjectif de mono"ides, de groupes si 2 est inversible dans R. 82 Le th'eor`eme suivant est implicite dans [Ka1] : Th'eor`eme 4.5.2.5. Si 2 est inversible dans R et si R est K1-rigide, alors l'homomorphisme de groupes canonique fl : V0(R) ! (ss0F)(R) est un isomorphisme. D'emonstration. Il faut montrer que fl est injectif. Nous suivons [Oj1]. Soient q0 et q1 deux 'el'ements de F(R) tels qu'il existe un 'el'ement ff de F(R[T ]) * *avec ff(0) = q0 et ff(1) = q1. D'apr`es [Oj1] (pour un argument plus direct dans le cas d'un corps, voir par exemple [Oj2]) si 2 est inversible dans R alors il existe un 'el'ement fi de GL (R[T ]), avec fi(0) = 1, tel que l'on a ff = q0.fi (on consid`ere ici q0 comme un 'el'ement de F(R[T ])). Si R est K1-rigide alors fi(1) appartient `a EGL (R) ce qui montre bien que les classes de q0 et q1 dans V0(R) co"incident. Nous notons ffi l'application de V(R) dans (ss0F)(R) qui associe `a la classe de (L; q0, q1) la classe de (L L*; q1 -q-10) ; on v'erifie comme pr'ec'edemment que ffi est un homomorphisme de groupes. Par d'efinition, dans le cas o`u 2 est inversible dans R, ffi est le compos'e ffi0O fl ; le point (d) de la propos* *ition 4.5.2.2 et le th'eor`eme 4.5.2.5 donnent donc : Corollaire 4.5.2.6. Si 2 est inversible dans R et si R est K1-rigide alors l'homomorphisme de groupes canonique ffi : V(R) ! (ss0F)(R) est un isomorphisme. 4.5.3. Retour sur la d'efinition de l'indice de Maslov On suppose `a nouveau que l'anneau R est r'egulier et contient 1_2. Compte tenu du corollaire 4.5.2.6 nous pouvons red'efinir l'indice de Maslov des lacets (quasi-lacets) de lagrangiens comme `a valeurs dans le groupe V(R) (on observera que la seconde 'egalit'e du point (a) de l''enonc'e ci-dessous ut* *ilise le lemme 4.2.4 ou le scholie 4.5.1.12) : 83 Proposition-D'efinition 4.5.3.1. Soit L un R-module de dimension finie ; soit ff un chemin de LL. Soient L0 un R-module libre de dimension finie, S(T ) une forme bilin'eaire sym'etrique sur R[T ] R (L L0) et Y (T ) une forme bilin'eaire sym'etrique sur R[T ] R (L L0)* tels que l'on a " #" # 1 0 1 Y (T ) 0 * ff L0= .(L L ) . S(T ) 1 0 1 Alors : (a) Si ff est un lacet, on a dans V(R) : ffi-1 (Mas (ff)) = [ S(0) , S(1) ] = -[ Y (0) , Y (1) ] . (b) Si ff est un quasi-lacet, on a dans V(R) : ffi-1 (Mas (ff)) = -[ Y (0) , Y (1) ] . L'application compos'ee ffi-1 OMas , d'efinie sur l'ensemble des (classes d'hom* *o- topie) de lacets ou quasi-lacets de lagrangiens, et `a valeurs dans V(R), est encore appel'ee indice de Maslov et not'ee 'egalement Mas . On consid`ere enfin les homomorphismes compos'es d O Mas et D'etO Mas , respectivement `a valeurs dans I(R) et K1(R). Il para^it raisonnable d'appeler encore indice de Maslov (`a valeurs dans I(R)) l'invariant d O Mas ; pour abr'eger, nous le noterons aussi mas . Les 'egalit* *'es des points (a) et (b) de la proposition ci-dessus se sp'ecialisent de la fa,con suivante : (a-bis) Si ff est un lacet, on a dans I(R) : mas (ff) = [ S(1) ] - [ S(0) ] = [ Y (0) ] - [ Y (1) ] . (b-bis) Si ff est un quasi-lacet, on a dans I(R) : mas (ff) = [ Y (0) ] - [ Y (1) ] . La proposition ci-dessous montre que l'invariant D'etO Mas est quant `a lui facilement accessible : 84 " # a(T ) Proposition 4.5.3.2. Soit L un R-module de dimension finie. Soit b(T ) un plongement lagrangien de R[T ] R L dans H(R[T ] R L) ; soit ff son image. On suppose que ff est un quasi-lacet de LL , c'est-`a-dire que les endomorphismes de L, a(0) et a(1), sont inversibles. Alors on a dans K1(R) : (D'etO Mas )(ff) = D'eta(0) - D'eta(1) (la loi du groupe ab'elien K1(R) 'etant not'ee "additivement"). D'emonstration. On reprend les notations de 4.5.3.1. On pose " # " # a(T ) 0 b(T ) 0 A(T ) = , B(T ) = 0 1 0 0 (matrices de type (R[T ] R L, R[T ] R L0) x (R[T ] R L, R[T ] R L0)) et U(T ) = B(T ) - S(T )A(T ). L''egalit'e " #" # 1 0 1 Y (T ) 0 * ff L0= .(L L ) S(T ) 1 0 1 'equivaut au fait que U(T ) est inversible et que l'on a Y (T ) = A(T ) U(T )-1. On en d'eduit Y (0)-1Y (1) = U(0) A(0)-1A(1) U(1)-1, ce qui entra^ine D'et(Y (0)-1Y (1)) = D'et(A(0) -1A(1)) + D'et(U(1) -1U(0)) dans K1(R). Comme l'anneau R est K1-rigide (ce que l'on peut paraphraser en disant que l'application naturelle K1(R) ! (ss0GL )(R) est un isomor- phisme), le terme D'et(U(1) -1U(0)) est nul. 4.6. Indice de Maslov et formes d'enlacement sur k[T ] (k un corps) Ce paragraphe se veut une illustration de la th'eorie g'en'erale de l'indice de Maslov. Dans ce paragraphe l'anneau (commutatif) R est un corps (on observera que le scholie 3.4 permet d''eviter de supposer que la caract'eristique est diff'e* *rente de 2). On rappelle que dans ce cas le groupe V(R) est isomorphe au produit fibr'e I(R) x Rx via les homomorphismes d et d'et(Corollaire 4.5.1.5). Rx=Rx2 85 Soit k un corps ; soit A un polyn^ome de k[T ]. On suppose que A est s'eparable (c'est-`a-dire que toutes les racines de A dans une cl^oture alg'ebrique de k s* *ont simples, ou encore que A est premier avec son d'eriv'e A0)"et que#A(0) et A(1) A(T ) sont non-nuls. Sous ces hypoth`eses la matrice colonne 0 peut ^etre A (T ) vue comme un plongement lagrangien de k[T ] dans H(k[T ]) et l'image de ce plongement, que nous notons ffA , comme un quasi-lacet de L1(k) = P1(k) (le "point base" de P1(k) est 1, son "voisinage ouvert contractile" UL* de la th'eorie g'en'erale est ici P1(k) - {0}). Proposition 4.6.1. Soit k un corps ; soit A un polyn^ome de k[T ]. On suppose que A est s'eparable et que A(0) et A(1) sont non-nuls. On note E la k-alg`ebre 'etale k[T ]=A(T ) et ` la classe de T dans E ; on note bi, i = 0, 1* *, la forme bilin'eaire sym'etrique sur E, (x, y) 7! trE=k((i-`)xy). Alors les formes b0 et b1 sont non-d'eg'en'er'ees et l'indice de Maslov dans V(k) du quasi-lacet ffA est donn'e par la formule : -Mas (ffA ) = [E ; b0, b1] . En particulier la composante de Mas (ffA ) dans I(k) est donn'ee par la formule* * : -mas (ffA ) = [E ; b1] - [E ; b0] (sa composante dans kx est simplement A(0)_A(1)). Exemple 4.6.2. Sp'ecialisons au cas k = R. Dans ce cas la R-alg`ebre 'etale E est isomorphe `a un produit Y Y R x C , ,2R i2C R d'esignant l'ensemble des racines r'eelles de A et C l'ensemble des paires de racines complexes (non-r'eelles) conjugu'ees. En observant que les formes sur C, (z1, z2) 7! trC=R(flz1z2) avec fl 2 Cx sont toutes isomorphes (par exemple parce que fl est un carr'e) et que trR=Rest l'identit'e, on constate que l'on a X -mas (ffA ) = < 1 - , , , > ,2R 86 (on consid`ere ci-dessus I(R) comme un id'eal de W(R)). Enfin, puisque I(R) est isomorphe `a Z via l'application w 7! 1_2sgnw, cette formule est 'equivale* *nte au fait que le nombre de racines r'eelles de A dans l'intervalle ]0, 1[ est 'e* *gale `a -1_2sgnmas (ffA ). La proposition 4.6.1 est un cas particulier de la proposition 4.6.4. Celle-ci est cons'equence de la proposition 3.6.2.4 et de la proposition 4.6.3 ci-apr`es dans laquelle on d'egage le ph'enom`ene suivant, sp'ecifique `a l'anneau k[T ]* * : Tout k[T ]-module d'enlacement est naturellement_isomorphe au r'esidu d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-singuli`ere (au sens de 3.6.2). Pour 'enoncer la proposition 4.6.3 il est commode d'introduire l'application "r'esidu" de k(T )=k[T ] dans k dont voici une d'efinition ad hoc. On note r la r'etraction k-lin'eaire de k(T ) dans k[T ] qui associe `a une fraction ration* *nelle f sa partie enti`ere. L'application k(T ) ! k[T ] , f 7! r(T f) - T r(f) est en fait `a valeurs dans k ; on note ae : k(T ) ! k l'application k-lin'eaire indu* *ite (ae est l'oppos'e du r'esidu `a l'infini de f ou la somme des r'esidus en deho* *rs de l'infini). Il est manifeste que ae(k[T ]) est nul si bien que ae se factori* *se par une application k-lin'eaire de k(T )=k[T ] dans k que nous notons encore ae. L'application ae induit, pour tout k[T ]-module de torsion E, un isomorphisme de k[T ]-modules ~= E : Hom k[T](E, k(T )=k[T ]) -! Hom k(E, k) naturel en E . (On observera qu'un telle transformation naturelle est n'eces- sairement induite par l'application k-lin'eaire k(T)=k[T](1) ; si l'on exhibe* * a priori, par des arguments d'alg`ebre homologique, un isomorphisme naturel alors on est conduit `a la formule que nous avons donn'ee pour ae.) Il est bien connu que les deux cat'egories suivantes sont 'equivalentes : (1) la cat'egorie des k[T ]-modules de type fini et de torsion ; (2) la cat'egorie des k-espaces espaces vectoriels de dimension finie munis d'un endomorphisme. Pareillement, ce qui pr'ec`ede montre que les deux notions suivantes sont 'equivalentes (nous ne parlons pas de cat'egories pour ne pas avoir `a pr'eciser les morphismes !) : 87 ("1)la notion de k[T ]-module d'enlacement ; ("2)la notion de k-espace vectoriel de dimension finie muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee et d'un endomorphisme auto-ad- joint (pour cette forme). Explicitons la correspondance entre ces deux notions (dans le sens ("1) ! ("2)). Soit E un k[T ]-module d'enlacement ; soit fi : E x E ! k(T )=k[T ] sa forme d'enlacement. Alors le k-espace vectoriel sous-jacent `a E est de dimension finie, la forme k-bilin'eaire sym'etrique ae O fi : E x E ! k est non d'eg'en'e* *r'ee et la multiplication par T est un endomorphisme de k-espace vectoriel qui est auto-adjoint pour cette forme. L''enonc'e 4.6.3 ci-dessous reprend une partie de la discussion ci-dessus ; la v'erification des deux derniers points est laiss'ee au lecteur. Proposition-d'efinition 4.6.3. Soit E un k[T ]-module d'enlacement. On note u l'endomorphisme x 7! T x du k-espace vectoriel sous-jacent `a E ; on pose E* = Hom k(E, k). Soit fi : E x E ! k(T )=k[T ] la forme d'enlacement de E. On note b : E x E ! k la forme k-bilin'eaire sym'etrique ae O fi ; on note encore b l'application k-lin'eaire de E dans E* qui lui cor- respond. Alors : - la dimension du k-espace vectoriel E est finie ; - b est non-d'eg'en'er'ee ; - u est auto-adjoint par rapport `a b : b O u = u* O b ; - la forme k[T ]-bilin'eaire, que l'on note E , d'efinie sur le k[T ]-module de dimension finie k[T ] k E par l'homomorphisme compos'e k[T ] k E -T-1-1-u---!k[T ] k-E1-b-!k[T ] k E* ~= Hom k[T](k[T ] k E, k[T ]) est sym'etrique et non-singuli`ere ; - le r'esidu de la forme E est naturellement isomorphe au k[T ]-module d'enlacement E . 88 Proposition"4.6.4.# Soit L un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit A un plongement lagrangien de k[T ] k L dans H(k[T ] k L) ; soit ff B son image. On suppose que ff est un quasi-lacet de LL , c'est-`a-dire que les endomorphismes de L, A(0) et A(1), sont inversibles. Alors l'endomorphisme A est injectif (si bien que le k[T ]-module d'enlacement [B_A] est d'efini, voir 3.6.2). Soit fi la forme d'enlacement de [B_A] ; soient E le k-espace vectoriel de dimension finie sous-jacent `a [B_A] (ou au k[T ]-module de type fini et de torsion cokerA) et bi, i = 0, 1, la forme bilin'eaire sym'etrique sur E, (x, y)* * 7! (ae O fi)((i - T )x, y ). Alors les formes b0 et b1 sont non-d'eg'en'er'ees et * *l'indice de Maslov dans V(k) du quasi-lacet ff est donn'e par la formule -Mas (ff) = [ b0 , b1 ] . D'emonstration. L'injectivit'e de A est claire : s'il existe un 'el'ement t0 * *de k tel que A(t0) est inversible alors d'etA est un polyn^ome non-nul de k[T ]. On s'int'eresse maintenant `a l'indice de Maslov du quasi-lacet ff. On abr`ege la notation [B_A]en . La proposition 3.6.2.4 dit qu'il existe une forme bilin'eaire sym'etrique sur k[T ] k (L E L*) et un isomorphisme U de (k[T ] k (L E L*))*sur k[T ] k(E L L*) tels que l'on a, dans l'espace symplectique H(k[T ] k (L E L*)) : ff k[T ] k (E L*) = " #" # 1 0 1 U* ( "k[T] kE)U * * . (k[T ] k (L E L )) . 1 0 1 On en d'eduit d'apr`es la proposition 4.3.2, ou le point (b) de la proposition 4.5.3.1, et le lemme 4.3.4, ou la proposition 4.5.1.6 (invoquer alors la K1- rigidit'e de R) : -Mas (ff) = [ (0) "L , (1) "L ] ; or on a [ (0) "L , (1) "L ] = [ (0), (1)]. D'emonstration de la proposition 4.6.1. Compte tenu de la proposition 4.6.4, la proposition 4.6.1 r'esulte de ce que l'on a A0P ae (____ ) = tr(P (`)) , A 89 pour tout polyn^ome P de k[T ]. Cette formule est classique, on peut s'en convaincre de la fa,con suivante. Soient `1, `2, . .,.`n les racines de A dans une extension de scindement de A, on a dans cette extension : A0P Xn P (T ) Xn P (`i) Xn 1 Xn ae (____ ) = ae (______ ) = ae (______ ) = P (`i) ae (______ ) = P * *(`i) . A i=1 T - `i i=1 T - `i i=1 T - `i i=1 Questions de signes On suppose `a nouveau dans cette digression que R est un anneau r'egulier dans lequel 2 est inversible. Soit ff un lacet de LL en L (L d'esignant, comme d'habitude, un R-module libre de dimension finie) "stablement" de la forme " #" # 1 0 1 Y (T ) * ff = .L . S(T ) 1 0 1 Nous avons d'efini l'indice de Maslov de ff, disons dans V(R), par la formule : Mas (ff) = [ S(0) , S(1) ] = -[ Y (0) , Y (1) ] . Le fait que nous ayons choisi, dans notre exposition initiale, de privil'egier * *la forme S plut^ot que la forme Y explique les signes disgracieux qui apparaissent en divers endroits et tout particuli`erement dans l'exemple 4.6.2. Insistons lourdement. Le fait qu'un lacet "alg'ebrique" de P1(R) induit un lacet "topologique" fournit une application canonique de (ss0 P1)(R) dans ss1(P1(R); 1) = H1(P1(R); Z). Si l'on oriente P1(R) en identifiant l'ouvert P1(R) - {1} avec R et en orientant "positivement" R alors on obtient un isomorphisme, disons !p, de ss1(P1(R); 1) sur Z tel que le diagramme (ss0 P1)(R) - --! ss1(P1(R); 1) ?? ?? mas?y ?y!p 1_sgn I(R) - 2--! Z est anticommutatif. 90 Voici cependant un contexte dans lequel notre convention est raisonnable. On consid`ere l'application canonique, disons c : (ss0 Sp n)(R) ! (ss0 Ln)(R), obtenue en faisant agir le groupe Sp n sur le point base de Ln. D'apr`es la proposition 4.5.3.2, l'application compos'ee Mas O c : (ss0 Sp n)(R) ! V(R) est `a valeurs dans le noyau de l'homomorphisme D'et: V(R) ! K1(R). Nous notons V(1)(R) ce noyau. On observera incidemment que si R est un corps alors V(1)(R) s'identifie, d'apr`es le corollaire 4.5.1.5, au carr'e de l'id'ea* *l fon- damental I(R) (vu comme un id'eal de W(R) ou GW (R)) : V(1)(R) = I2(R). On dispose donc d'un homomorphisme naturel de (ss0 Sp n)(R) dans V(1)(R) que nous notons encore Mas ; on observera au passage que la d'efinition de cet indice de Maslov ne n'ecessite pas l'hypoth`ese "R r'egulier" (seule l'invarian* *ce homotopique du -W1 est utilis'ee). On sp'ecialise maintenant au cas n = 1 et R = R. Comme pr'ec'edemment, le fait qu'un lacet "alg'ebrique" de SL2(R) induit un lacet "topologique" fournit une application canonique de (ss0 SL 2)(R) dans ss1SL 2(R) = ss1SO 2(R) = H1(SO 2(R); Z). Si l'on oriente "trigonom'etriquement" SO 2(R) alors on obtient un isomorphisme, disons !t, de ss1SL 2(R) sur Z tel que le diagramme (ss0 SL 2)(R) ---! ss1SL 2(R) ?? ?? Mas?y ?y!t 1_sgn I2(R) -4--! Z est cette fois commutatif. 4.7. Versions topologiques du th'eor`eme 4.2.10 On prend R = C. Dans ce cas, les ensembles L(C) et F(C) poss`edent une topologie naturelle (au sens na"if). On note topL(C) l'espace des lacets topologiques de l'espace point'e L(C) (comme tous les ensembles L(R), l'en- semble L(C) est muni d'un point base), c'est-`a-dire l'espace (topologique) constitu'e des applications continues ff : [0, 1] ! L(C) avec ff(0) = ff(1) = ** * . En rempla,cant dans la d'efinition de l'application `Cn : FCn ! LCn (Cn)* (qui pr'ec`ede l''enonc'e 4.2.9) l'ind'etermin'ee T par un point t de [0, 1] et* * en passant `a la limite directe en n on obtient une application continue (point'ee) de F(C) dans topL(C) que l'on note `top. Voici l'un des 'enonc'es auxquels le titre du paragraphe fait r'ef'erence. 91 Th'eor`eme 4.7.1. L'application `top: F(C) ! topL(C) est une 'equivalence d'homotopie. Cette 'equivalence d'homotopie s'identifie `a l'une des huit de la p'eriodicit* *'e de Bott r'eelle. En effet, on a un hom'eomorphisme L(C) ~= Spq=U et une 'equivalence d'homotopie F(C) ~= U=O, Spq d'esignant la limite directe des groupes unitaires quaternionniens Spq (n) (Spq (n) est un sous-groupe com- pact maximal du groupe symplectique Sp n(C), dans la litt'erature Spq (n) est souvent not'e Sp (n)), U d'esignant la limite directe des groupes unitaires U(n) et O la limite directe des groupes orthogonaux euclidiens O(n). Nous nous proposons de montrer qu'il est tr`es facile d'adapter la d'emonstration que nous avons donn'ee du th'eor`eme 4.2.10 pour obtenir une d'emonstration du th'eor`eme 4.7.1. Compte tenu de la proposition ("folklorique") 4.7.2 ci-dessous, le th'eor`eme 4.7.1 est impliqu'e par le th'eor`eme 4.7.3 ci-apr`es (qui est d'ailleurs plus* * proche de l''enonc'e 4.2.10 que ne l''etait 4.7.1). Ci-apr`es la notation [-, -] d'esigne l'ensemble des classes d'homotopie libre_ d'applications. Proposition 4.7.2. Soit f : Y ! Z une application continue entre deux CW-complexes. Si le groupe fondamental de chaque composante connexe de Z est engendr'e par un nombre fini d''el'ements alors les deux conditions suivan* *tes sont 'equivalentes : (i) pour tout CW-complexe fini X l'application [X, Y ] ! [X, Z] induite par f est une bijection ; (ii)f est une 'equivalence d'homotopie. Nous laissons la d'emonstration de la proposition ci-dessus en exercice au lecteur ; signalons cependant que Jean-Pierre Serre nous a communiqu'e un exemple, venant de la th'eorie des groupes, qui montre que la restriction sur l'espace Z n'est pas superflue. Th'eor`eme 4.7.3. Pour tout espace compact X, l'application [X, F(C)] ! [X, topL(C)] induite par `top, est une bijection. 92 D'emonstration. Comme dans la cas alg'ebrique le point essentiel de cette d'emonstration est la d'efinition d'un indice de Maslov Mas : [X, topL(C)] ! [X, F(C)] . On rappelle que les notations SCn et S(Cn)*et la notation matricielle pour les automorphismes symplectiques sont introduites en 2.1. On pose ci-apr`es SCn = Sn(C) et S(Cn)*= ~Sn(C) ; ces ensembles sont munis de leurs topologies naturelles. On rappelle que l'on pose FCn = Fn(C) et LCn = Ln(C) ; ces ensembles sont 'egalement munis de leurs topologies naturelles si bien que F(C) et L(C) sont limite directe comme espaces topologiques des Fn(C) et Ln(C) (ce point est d'ej`a implicite dans la d'efinition de l'application `top). On rappelle enfin que la notation matricielle pour les 'el'ements de Fn(C) est introduite au tout d'ebut de ce chapitre. Voici le pendant topologique des d'efinitions 4.2.1, 4.2.6 et 4.2.7 : Proposition-D'efinition 4.7.4. Soient n 1 un entier, X un espace compact et ff : X x [0, 1] ! Ln(C) une application continue avec ff(x, 0) = ff(x, 1) = Cn pour tout x dans X. (a) Il existe un entier n0 0 et une application continue S : X x [0, 1] ! Sn+n0(C) tels que l'on a " # 0 1 0 n n0 ff(x, t) Cn t .(C C ) S(x, t) 1 pour tout (x, t) dans X x [0, 1]. (b) Soit S comme ci-dessus. Alors les deux formes bilin'eaires sym'etriques S(x, 0) et S(x, 1) sont non-d'eg'en'er'ees pour tout x dans X et l'image par l'application canonique [X, Fn+n0(C)] ! [X, F(C)] de la classe d'homotopie de l'application " # S(x, 1) 0 X ! Fn+n0(C) , x 7! -1 0 -S(x, 0) est ind'ependante du choix de n0 et S ; on la note Mas (ff) et on l'appelle l'indice de Maslov de ff. 93 (c) L'indice de Maslov Mas (ff) ne d'epend que la classe, disons [ff], de ff da* *ns [X, topLn(C)]. On note Mas : [X, topLn(C)] ! [X, F(C)] l'application [ff] 7! Mas (ff). Ces applications induisent une application que l'on note encore Mas : [X, topL(C)] ! [X, F(C)] et que l'on appelle toujours l'indice de Maslov. D'emonstration. Les d'emonstrations des points (b) et (c) sont exactement les m^emes, mutatis mutandis, que dans le cas alg'ebrique. La structure de la d'emonstration du point (a) que nous allons expliciter est 'egalement la m^eme que dans le cas alg'ebrique. Cette d'emonstration co^ute cependant moins cher dans le cas topologique : en particulier les arguments de K0-rigidit'e et de -W1-rigidit'e sont remplac'es par de simples arguments de continuit'e. Pour une autre d'emonstration du point (a) voir [Lt]. Notre d'emonstration du point (a) invoque les lemmes 4.7.5 et 4.7.8 ci-apr`es et la proposition 2.2.4. Le lemme suivant est l'analogue du lemme 3.2 : Lemme 4.7.5. Soient n 1 un entier, X un espace compact et ff : X x [0, 1] ! Ln(C) une application continue avec ff(x, 0) = Cn pour tout x dans X. Alors il existe une application continue : X x [0, 1] ! Spn(C) avec (x, 0) = 1 pour tout x dans X telle que l'on a ff(x, t) = (x, t) . Cn pour tout (x, t) dans X x [0, 1]. D'emonstration. Comme la grassmannienne lagrangienne Ln(C) s'identifie `a un sous-espace de la grassmannienne des n-plans dans C2n, l'application ff d'efinit un C-fibr'e vectoriel de dimension n de base X x [0, 1]. Ce fibr'e est trivial puisque par hypoth`ese sa restriction `a X x{0} est triviale. On conclut de la m^eme mani`ere que dans la d'emonstration du lemme 3.2 en invoquant le point (c) de la proposition 2.1.5 (l'anneau R est ici celui des fonctions continues sur X x [0, 1] `a valeurs complexes). Remarque. Dans le cas o`u la base est suppos'ee compacte le th'eor`eme d'homo- topie pour les fibr'es vectoriels, utilis'e ci-dessus, r'esulte bien d'un simple 94 argument de continuit'e. En effet il est alors 'equivalent `a l''enonc'e 4.7.6* * ci- dessous, qui comme on va le voir peut se d'emontrer par un tel argument. Soit n 1 un entier, on note Mn(C) l'alg`ebre des endomorphismes de Cn ; on no* *te Pn(C) le sous-espace de l'espace Mn(C) constitu'e des projecteurs. Proposition 4.7.6. Soient n 1 un entier, X un espace compact et p : Xx[0, 1] * *! Pn(C) une application continue. Alors il existe une application continue u : X ! GL n* *(C) telle que l'on a p(x, 1) = u(x) O p(x, 0) O u(x)-1 pour tout x dans X. D'emonstration. La clef de cette proposition est le lemme suivant : Lemme 4.7.7. Soit E un espace de Banach. Soient p0 et p1 deux projecteurs (cont* *inus) de E ; on pose u(p0, p1) = p1Op0+(1-p1)O(1-p0) (u(p0, p1) est donc un endomorph* *isme de E). Si l'on a l'in'egalit'e kp1 - p0k < k2p0 - 1k-1alors u(p0, p1) est inversible e* *t l'on a : p1 = u(p0, p1) O p0 O u(p0, p1)-1 . D'emonstration. On observe que l'on a pour tous p0 et p1 les deux 'egalit'es su* *ivantes : - p1Ou(p0, p1) = u(p0, p1)Op0 (les deux membres sont tous deux 'egaux `a p* *1Op0) ; - u(p0, p1) - 1 = (p1 - p0) O (2p0 - 1) . Avec ce lemme la d'emonstration de la proposition est ais'ee : la compacit'e de* * l'espace X x [0, 1] implique qu'il existe un entier n 1 tel que l'on a kp(x, k_+_1_n) - p(x, k_n)k < k2p(x, k_n) - 1k -1 pour tout x dans X et k = 0, 1, . .n.- 1. Lemme 4.7.8. Soient n 1 un entier, X un espace compact et : X x [0, 1] ! Sp n(C) une application continue avec (x, 0) = 1 pour tout x dans X. Alors il existe un entier m 0 et des applications conti- nues q2i: X x [0, 1] ! Sn(C), q2i+1: X x [0, 1] ! S~n(C), i = 0, 1, . .m., et a : X x [0, 1] ! GL n(C) telles que l'on a " # " # " #" # 1 0 1 q1(x, t) 1 q2m+1 (x, t)a(x, t) 0 (x, t) = . . . *-1 q0(x, t)1 0 1 0 1 0 a(x, t) pour tout (x, t) dans X x [0, 1]. 95 " # a c D'emonstration. Soit Sp0n(C) l'ouvert de Spn(C) constitu'e des 'el'ements b d avec a inversible ; on observe que cet ouvert est hom'eomorphe au produit Sn(C) x ~Sn(C) x GL n(C) via l'application " #" #" # 1 0 1 r a 0 (q, r, a) 7! *-1 . q 1 0 1 0 a Compte tenu de cette observation et de l'identit'e " #" #" # " #" # " # a 0 1 0 1 v 1 0 1 ava* a 0 = *-1 -1 *-1 0 a*-1 u 1 0 1 a ua 1 0 1 0 a le lemme 4.7.8 est cons'equence du suivant (prendre pour G le groupe des applications continues de X dans Sp n(C), muni de la topologie compacte- ouverte, et pour U l'ouvert constitu'e des applications `a valeurs dans Sp0n(C)* *) : Lemme 4.7.9. Soient G un groupe topologique et U un ouvert de G con- tenant l''el'ement neutre. Soit ff : [0, 1] ! G une application continue avec ff(0) = 1. Alors il existe un entier n 1 et des applications continues ffi : [0, 1] ! U (avec ffi(0) = 1), i = 0, 1, . .n.- 1, telles que l'on a ff(t) = ff0(t)ff1(t) . .f.fn-1(t) pour tout t dans [0, 1]. D'emonstration. En voici une de tr`es concr`ete. Soient n et i des entiers av* *ec n 1 et 0 i n - 1, on note ffi l'application continue de [0, 1] dans G (v'erifiant * *ffi(0) = 1) d'efinie par 8 ><1 pour t i_n, ffi(t) = >ff(_in)-1ff(t)pour i_n t i+1_n, :ff(_i-1 i+1_ i+1_ n ) ff( n )pour t n . On a tout fait pour avoir ff(t) = ff0(t)ff1(t) . .f.fn-1(t) et si n est assez g* *rand les ffi sont `a valeurs dans U. Nous sommes maintenant en mesure de d'emontrer le point (a) de 4.7.4 : Soit ff : X x[0, 1] ! Ln(C) une application continue avec ff(x, 0) = ff(x, 1) = Cn pour tout x dans X. D'apr`es les lemmes 4.7.5 et 4.7.8, il existe un entier m (que l'on peut supposer sup'erieur ou 'egal `a 1) et des applications continu* *es 96 q2i: X x [0, 1] ! Sn(C), q2i+1: X x [0, 1] ! ~Sn(C), i = 0, 1, . .m., telles que l'on a " # " # " # 1 0 1 q1(x, t) 1 0 n ff(x, t) = . . . . C q0(x, t)1 0 1 q2m (x, t)1 pour tout (x, t) dans X x [0, 1]. La proposition 2.2.4 nous dit que l'on peut prendre pour S(x, t) la forme de Sturm S(q0(x, t), q1(x, t), . .,.q2m-1 (x, t))* * (et donc pour n0 l'entier (2m - 1)n). Fin de la d'emonstration du th'eor`eme 4.7.3. A nouveau, elle est exactement la m^eme, mutatis mutandis, que dans le cas alg'ebrique. Soit X un espace compact ; on note `top*: [X, F(C)] ! [X, topL(C)] l'application induite par l'application `top: F(C) ! topL(C). On constate que la composition Mas O `top*est l'identit'e et on montre que `top* est surjective. G'en'eralisations `a la Latour - Si l'on remplace dans ce qui pr'ec`ede C par R on obtient l''equivalence d'homotopie F(R) ~= topL(R). Cette 'equivalence d'homotopie s'identifie `a nouveau l'une des huit de la p'eriodicit'e de Bott r'eelle. En effet, on a cette fois un hom'eomorphisme L(R) ~=U=O et une 'equivalence d'homotopie F(R) ~=Z x BO . - Les constructions faites dans ce m'emoire avec des anneaux commutatifs se g'en'eralisent aux anneaux munis d'une anti-involution. Soit conj : C ! C la conjugaison complexe ; si l'on remplace dans la d'emonstration du th'eor`eme 4.7.3 l'anneau commutatif C par l'anneau avec anti-involution (C, conj) alors on obtient une 'equivalence d'homotopie F(C, conj) ~= topL(C, conj). Celle- ci s'identifie `a l''equivalence d'homotopie "non-triviale" de la p'eriodicit'e* * de Bott complexe. En effet, on constate que l'on a un hom'eomorphisme L(C, conj) ~=U et une 'equivalence d'homotopie F(C, conj) ~=Z x BU . Fran,cois Latour d'emontre dans le m^eme esprit, `a la fois les huit 'equivalen* *ces d'homotopie de la p'eriodicit'e de Bott r'eelle et les deux de la p'eriodicit'e* * de Bott complexe [Lt]. 97 4.8. Bande-annonce du chapitre 6 Nous esquissons dans ce dernier paragraphe ce que sera le chapitre 6. Pour 'etayer notre propos nous commen,cons par revenir sur la p'eriodicit'e de Bott complexe. Soit n 1 un entier. On note Gn le foncteur de la cat'egorie des anneaux commutatifs dans celle des ensembles qui associe `a un anneau commutatif R l'ensemble des pro- jecteurs de Rn Rn ; on choisit comme point base de Gn(R) le projecteur sur Rn 0 parall`element `a 0 Rn . On dispose d'une application point'ee naturelle Gn(R) ! Gn+1(R) (le lecteur devinera sans peine la d'efinition de cette application. . . et pourra v'erifier qu'il a devin'e juste en se reportan* *t au chapitre 6 o`u le foncteur Gn r'eappara^itra sous la notation Ke0,n) ; on note G(R) la limite directe des ensembles point'es Gn(R) suivant ces applications. On note Gm GL n le foncteur, disons du m^eme type que Gn, qui associe `a R le sous-ensemble de GL n(R[T, T -1]) constitu'e des 'el'ements ff avec ff(1) = * *1. On note `n : Gn ! Gm GL 2n la transformation naturelle qui associe `a un projecteur p de Rn Rn l'automorphisme (T p + 1 - p) O (T p0 + 1 - p0)-1 de R[T, T -1] R (Rn Rn), p0 d'esignant le point base de Gn(R). (On observera que Gn est un sch'ema affine, d'efini sur Z, et que la transfor- mation naturelle `n est induite par un morphisme de sch'emas Gn x Gm ! GL 2n "envoyant Gn x1 sur 1" ; cette observation justifie la notation que nous avons adopt'ee.) En passant `a la limite directe en n on obtient une transformation naturelle ` : G ! Gm GL . On fait maintenant R = C. Les ensembles G(C) et GL (C) poss`edent des topologies naturelles et en rempla,cant dans la d'efinition de la transformation 98 naturelle ` l'ind'etermin'ee T par un complexe de module 1 on obtient une application continue `top: G(C) ! topGL (C) ; on identifie ici l'espace de lacets topGL (C) avec l'espace des applications continues du cercle S1 (vu comme l'ensemble des complexes de module 1) dans GL (C). On verra au chapitre 6 que l''enonc'e suivant (qui r'eappara^itra sous le num'e* *ro 6.1.3) est essentiellement une cons'equence du calcul du groupe K1(R[T, T -1]) ([Bs1],[Sw], . . . ) : 4.8.1. Pour tout anneau R, l'application induite par la transformation naturelle ` induit une bijection ` : (ss0G)(R) ! (ss0 Gm GL )(R) . Il est apparu tr`es clairement, d`es les d'ebuts de la K-th'eorie alg'ebrique (* *voir par exemple [Bs1][Sw]), que le r'esultat 'evoqu'e ci-dessus concernant le groupe K1(R[T, T -1]) 'etait un proche parent de celui de la p'eriodicit'e de Bott complexe. Compte tenu des 'equivalences d'homotopie G(C) ~= Z x BU et GL (C) ~= U, le th'eor`eme de p'eriodicit'e de Bott complexe est 'equivalent `a l''enonc'e suivant : Th'eor`eme 4.8.2. L'application `top: G(C) ! topGL (C) est une 'equivalence d'homotopie. ou encore au suivant (invoquer 4.7.2) : Th'eor`eme 4.8.3. Pour tout espace compact X, l'application [X, G(C)] ! [X, topGL (C)] induite par `top, est une bijection. Nous sommes maintenant en mesure d'esquisser le contenu du chapitre 6. 99 Les 'enonc'es 4.7.1 et 4.8.1 sont deux des dix 'enonc'es de la p'eriodicit'e d* *e Bott (deux pour la p'eriodicit'e de Bott complexe et huit pour la p'eriodicit'e de Bott complexe) ; on traitera au chapitre 6 de dix analogues alg'ebriques dont 4.2.10 et 4.8.1 sont les prototypes. On verra en particulier appara^itre huit foncteurs Li, i 2 Z=8, d'efinis sur la cat'egorie des anneaux commutatifs et `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles point'es et huit bijections naturelles 8 >><(ss0 Li)(R) pour i 0 (mod 2) (BR i) (ss0Li+1)(R) ~= > >: G (ss0 m Li)(R) pour i 1 (mod 2) (avec la restriction "R r'egulier et contenant 1_2" dans le premier cas et "R contenant 1_2" dans le second), les foncteurs Gm Li 'etant d'efinis de la m^e* *me mani`ere que le foncteur Gm GL . Le slogan est le suivant : les lacets qui appara^issent dans le cas o`u i est pair sont d'efinis en termes de polyn^omes* * en T tandis que ceux qui appara^issent dans le cas o`u i est impair sont d'efinis en termes de polyn^omes en T et T -1. Exemple. Les foncteurs L6 et L7 sont ceux que nous avons not'es L et F pr'ec'edemment et l'isomorphisme naturel (BR 6) est celui de 4.2.10. Exemple. L'analogue topologique de l'isomorphisme naturel (BR 7) est une 'equivalence d'homotopie L0(C) ~= topL7(C) qui s'identifie `a l''equivalence d'homotopie ZxBO ~= top(U=O). Rappelons que celle-ci est aussi un avatar de l''equivalence d'homotopie L6(R) ~= topL7(R) que nous avons rencontr'ee (et v'erifi'ee) en 4.7. Nous esp'erons que cet exemple intriguera le lecteur ! 100 5. Suites de Sturm et H2 de l'homomorphisme hyperbolique On montre dans ce chapitre comment utiliser certaines id'ees des chapitres pr'ec'edents pour obtenir des variantes des r'esultats de Sharpe [Sh]. Dans ce chapitre, l'anneau (commutatif) R est a priori arbitraire. 5.1. L'extension centrale canonique de ESp (R).GL (R) par V(R) On revient sur le d'ebut du paragraphe 2.1. Soit L un R-module libre de dimension finie. Les trois homomorphismes de groupes " # a 0 H : GL L ! SpL , a 7! *-1 , 0 a " # " # 1 0 1 q E0 : SL ! SpL , q 7! , E1 : SL* ! SpL , q 7! , q 1 0 1 induisent un homomorphisme du produit semi-direct (SL * SL*) o GL L dans SpL. Pr'ecisons. Le groupe GL L agit `a gauche sur SL et SL*, et donc sur le coproduit de groupes SL * SL*, via les applications GL Lx SL ! SL , (q, a) 7! a*-1qa-1 ; GL L x SL* ! SL* , (q, a) 7! aqa* ; le produit semi-direct ci-dessus est relatif `a cette action. Nous notons aeL : (SL * SL*) o GL L! SpL l'homomorphisme canonique 'evoqu'e plus haut ; par d'efinition, l'image de aeL est le sous-groupe ESp L.GL L de SpL engendr'e par les sous-groupes ESp L et GL L (on identifie ici GL L avec son image par H). Pour all`eger la notation nous posons L = ESp L . GL L ; nous posons 'egalement eeL= (SL * SL*) o GL L (la justification de cette curieuse double tilde ne va pas tarder !). On "centralise" maintenant la suite exacte aeL 1 ---! ker aeL---! eeL- --! L ---! 1 . Soit [eeL, keraeL] le sous-groupe (distingu'e) de eeL constitu'e des produits * *de commutateurs d''el'ements de eeLet de keraeL ; nous notons respectivement e L 101 et AL les groupes quotients eeL=[eeL, keraeL] et keraeL=[eeL, keraeL], nous not* *ons ss : e L! Sp L l'homomorphisme induit par aeL . Nous avons tout fait pour que la suite exacte 1 - --! AL ---! e L- -ss-! L ---! 1 soit une extension centrale. Pour une interpr'etation de AL en termes d'homo- logie de graphe, voir l'appendice C. Il est clair que les applications L 7! eeL, L 7! e Let L 7! AL induisent des foncteurs de la cat'egorie C(R) (voir d'efinition 4.1.10) dans la cat'egorie des groupes. Comme dans les chapitres pr'ec'edents, nous posons, een(R) = eeRn, ee(R) = colim ee(R), e (R) = en , e(R) = colim e (R), (R) = n , N n n R N n n R (R) = colim n(R), An(R) = ARn , A(R) = colim An(R). On observera N N que le fait qu'un automorphisme de L induit l'identit'e de AL entra^ine que l'on a aussi A(R) = colimAL ; nous notons encore st: AL ! A(R) l'homo- C(R) morphisme de "stabilisation". L'extension centrale 1 ---! A(R) ---! e(R) - -ss-! (R) ---! 1 limite directe des extensions centrales 1 ---! An(R) - --! e n(R) --ss-! n(R) ---! 1 est l'extension centrale `a laquelle fait r'ef'erence le titre de ce paragraphe* * ; en effet, le r'esultat principal du chapitre 5 est que le groupe ab'elien A(R) est canoniquement isomorphe `a V(R). Les homomorphismes ~ : V(R) ! A(R) et ~ : A(R) ! V(R) On d'efinit ces deux homomorphismes ci-apr`es et l'on formule les 'enonc'es qui entra^inent que ce sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre. La plupart des d'emonstrations est renvoy'ee en 5.2 et 5.3. 102 On va commencer par d'efinir ~ ; mais avant cela il nous faut introduire un peu de terminologie et de notation. Soit L un R-module libre de dimension finie. La suite de Sturm (qm , . .,.qk, . .,.qn) sur L avec qk = 0 pour m k n est appel'ee la suite de Sturm nulle de type (m, n) et est not'ee 0_m,n. Nous appelons suite de Sturm augment'ee sur L, la donn'ee (q_; a) = (qm , . .,.qk, . .,.qn ; a) d'une suite de Sturm (qm , . .,.qk, . .,.qn) sur L et d'un 'el'ement a de GL L. Nous appelons type de (q_; a) le type de q_. Nous posons : E(q_; a) = E(q_) H(a) . Nous notons respectivement eeE(q_; a) et eE(q_; a) le produit des 'el'ements de la suite (qm , . .,.qk, . .,.qn ; a) dans eeL et son image dans e L. On a donc aeL (eeE(q_; a)) = E(q_; a) et ss (eE(q_; a)) = E(q_; a). Les applications (q_;* * a) 7! eeE(q e ee e __; a), E(q_; a), E(q_; a), respectivement `a valeurs dans les groupes L, * * L et L sont par d'efinition surjectives ; nous dirons qu'un 'el'ement ` de eeL (resp. fl de e L, resp. de ESp L.GL L) est repr'esent'e par (q_; a) si l'o* *n a ` = eeE(q_; a) (resp. fl = eE(q_; a), resp. = E(q_; a)). On observera que l'application (q_; a) 7! eeE(q_; a) n'est pas bijective car l'on n'impose pas q* *ue tous les qk de la suite de Sturm q_soient non-nuls. Nous dirons enfin qu'une suite de Sturm augment'ee (q_; a) est une relation symplectique sur L si elle repr'esente l''el'ement trivial de L : E(q_; a) = 1 ; on observera que dans ce* * cas l''el'ement a est fonction de la suite de Sturm q_puisque l'on a H(a) = E(q_)-1. Proposition 5.1.1. Soit L un R-module libre de dimension finie ; soit (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) une relation symplectique sur L avec m 1. Alors la forme de Sturm S(q0, q1, . .,.q2m-1 ) est non-d'eg'en'er'ee. D'emonstration. L''egalit'e E(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) = 1 entra^ine en particul* *ier E(q0, q1, . .,.q2m-1 ) . L* = L* si bien que l'on peut invoquer l'implication (ii) =) (i) du point (a) la proposition A.2.1. Remarque. Pour un raffinement de la proposition 5.1.1 voir le scholie A.2.2. 103 Exemple. La forme de Sturm S(0_0,2m-1) est non-d'eg'en'er'ee. On a en effet E(0_0,2m-1; 1) = 1. On en vient maintenant `a la d'efinition de ~. Soit (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) une relation symplectique sur L avec m 1. D'apr* *`es ce qui pr'ec`ede le R-module libre L0,2m-1est muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees, `a savoir les formes de Sturm S(0_0,2m-1) et S(q0, q1, . .,.q2m-1 ) ; on dispose donc d'un 'el'ement du groupe V(R) que l'on note ~L(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) : ~L(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) := [L0,2m-1; S(0_0,2m-1), S(q0, q1, . .,.q2m-1 * *)] . Proposition-D'efinition 5.1.2. Soit L un R-module libre de dimension finie. Il existe un unique homomorphisme de groupes ~L : keraeL ! V(R) tel que l'on a ~L (Eee(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a)) = ~L(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) pour toute relation symplectique (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) sur L avec m 1. Commentaires Expliquons l'origine de la d'efinition ci-dessus. On commence par observer qu'une relation symplectique sur L, disons (q_; a), donne naissance `a un lacet de LL en L. D'etaillons. L''egalit'e E(q_; a) = 1 entra^ine E(q_).L = L, on pose ff = E(T q_).L (la notation T q_d'esigne la suite de Sturm sur R[T ] R L obtenue en multipliant chaque 'el'ement de la suite q_par T ) ; ff est donc un 'el'ement de LL(R[T ]) avec ff(0) = L et ff(1) = L, c'est-`a-dire un lacet en L. On constate que ff ne d'epend en fait que de l''el'ement ` = eeE(q_; a) de keraeL repr'esent'e par (q* *_; a). On suppose ensuite que R est r'egulier et contient 1_2afin de disposer de la th'eorie de l'indice de Maslov du paragraphe 4.2. Nous avons tout fait pour que le diagramme ~L keraeL ---! V(R) ?? ? ?y ??yffi ss0 LL -Mas--!(ss0F)(R) 104 dans lequel la fl`eche verticale de gauche d'esigne l'application qui associe `* *a ` la classe d'homotopie de ff (l'application ffi est introduite juste avant le corol* *laire 4.5.2.6), soit commutatif. Rappelons enfin que sous les hypoth`eses faites ci-dessus concernant R, les homomorphismes Mas et ffi sont tous deux des isomorphismes. Exemple. On prend R = Z et L = Z ; on a donc SpL = SL 2(Z). On a dans SL2(Z) : _" # " #! 3 " # 1 0 1 -1 -1 0 = ; 1 1 0 1 0 -1 (1, -1, 1, -1, 1, -1; -1) est donc une relation symplectique sur Z. On con- state que l'image de l''el'ement correspondant de keraeZ par l'homomorphisme ~Z, dont la proposition-d'efinition 5.1.2 affirme l'existence, est un g'en'erat* *eur de V(Z). D'etaillons un peu. Les trois homomorphismes qui apparaissent ci-dessous sont des isomorphismes : 1_sgn V(Z) -d!I(Z) -! I(R) -2--! Z (pour le premier voir 4.5.1.5, pour le second voir par exemple [MH]) et l'on constate que les signatures des matrices de Sturm 2 3 2 3 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 661 0 1 0 0 07 61 1 1 0 0 07 660 1 0 1 0 077 660 1 1 1 0 077 660 0 1 0 1 0777 , 66600 1 1 1 0777 40 0 0 1 0 15 40 0 0 1 1 15 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 sont respectivement 0 et 2 (pour la premi`ere il s'agit d'un ph'enom`ene g'en'e* *ral, voir 5.2.5). Proposition-D'efinition 5.1.3. L'homomorphisme ~L : keraeL ! V(R) est trivial sur le sous-groupe [eeL, keraeL]. Nous notons encore ~L : AL ! V(R) l'homomorphisme induit. 105 Proposition-D'efinition 5.1.4. Soient L et L0 deux R-modules libres de dimension finie. Alors le diagramme suivant AL __________-AL L0 ~L@@ ~L L0 @R V(R) dans lequel la fl`eche horizontale d'esigne l'application induite par le C(R)- morphisme canonique de L dans L L0, est commutatif. Nous notons ~ : A(R) ! V(R) l'homomorphisme de groupes ab'eliens induit par les homomorphismes ~L . D'emonstration. Elle r'esulte de l'observation ci-apr`es. Soient L0 et L00deux R-modules libres de dimension finie ; soient q0_= (q0m, q0m+1, . .,.q0n* *) et q00_= (q00m, q00m+1, . .,.q00n) deux suites de Sturm de m^eme type, respectivem* *ent sur L0 et L00. On pose L = L0 L00et on note q0_ q00_la suite de Sturm (q0m q00m, q0m+1 q00m+1, . .,.q0n q00n). Alors la forme de Sturm S(q0_ q00_* *) est isomorphe `a la somme orthogonale S(q0_) S(q00_) via l'isomorphisme canonique de Lm,n sur L0m,n L00m,n. On passe maintenant `a la d'efinition de l'homomorphisme ~ : V(R) ! A(R) ; il s'agit du pendant (voir les commentaires suivant l''enonc'e 5.1.2) * * de l'homomorphisme ` introduit `a la fin de 4.2. Nous notons respectivement eeE0: SL ! eeL, eeE1: SL* ! eeL, eeH: GL L ! eeL, les homomorphismes canoniques et Ee0, Ee1, He les compos'es de ces homo- morphismes et de l'homomorphisme de passage au quotient eeL! e L. Soit q une forme bilin'eaire"sym'etrique#non-d'eg'en'er'ee sur L. Nous notons 0 -q-1 m(q) l''el'ement de SpL et nous posons q 0 em(q) = eE0(q) eE1(-q-1) eE0(q) (me(q) est donc un 'el'ement de e L) ; on constate que l'on a dans SpL : ss (me(q)) = m(q) (ce qui montre que m(q) appartient `a ESp L). Il pourra ^etre utile d'observer que l'on a em(q)-1= em(-q). 106 Soient q0 et q1 deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees sur L * *; on a dans SpL : " # q-11q0 0 m(q1)m(-q0) = -1 , 0 q1q0 si bien que l'on constate que l''el'ement de e L em(q1)me(-q0) eH(q-10q1) appartient au noyau de ss, `a savoir AL . Proposition-D'efinition 5.1.5. Il existe un unique homomorphisme de groupes ~ : V(R) ! A(R) tel que l'image par ~ de la classe dans V(R) d'un R-module libre de dimension finie muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees (L; q0, * *q1) est l'image dans A(R) de l''el'ement em(q1)me(-q0) eH(q-10q1) de AL : ~([L; q0, q1]) := st(me(q1)me(-q0) eH(q-10q1)) . Proposition 5.1.6. L'homomorphisme compos'e ~ O ~ : V(R) ! V(R) est l'identit'e. Th'eor`eme 5.1.7. L'homomorphisme ~ : V(R) ! A(R) est surjectif. La proposition 5.1.6 et le th'eor`eme 5.1.7 impliquent : Th'eor`eme 5.1.8. Les deux homomorphismes de groupes ab'eliens ~ : V(R) ! A(R) , ~ : V(R) ! A(R) sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre. 107 5.2. D'emonstrations concernant l'homomorphisme ~ Celles-ci mettent en oeuvre la "technologie des formes de Sturm" (Appendice A). D'emonstration de la proposition 5.1.2 L'unicit'e de ~L r'esulte de ce que tout 'el'ement de keraeL peut ^etre repr'es* *ent'e par une relation symplectique de la forme (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a), avec m 1, quitte `a prendre q0 = 0 ou q2m-1 = 0. Le fait que l'application ~L est bien d'efinie r'esulte de la proposition suiva* *nte : Proposition 5.2.1. Soit (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) une relation symplectiq* *ue sur L avec m 2. On suppose qk0 = 0 avec 1 k0 2m - 2 si bien que (q0, q1, . .,.qk0-2, qk0-1+ qk0+1, qk0+2, . .,.q2m-1 ; a) est encore une re* *lation symplectique sur L. Alors les 'el'ements ~L(q0, q1, . .,.q2m-1 ) , ~L(q0, q1, . .,.qk0-2, qk0-1+ qk0+1, qk0+2, . .,.q* *2m-1 ) de V(R) sont 'egaux. D'emonstration. On suppose tout d'abord 1 < k0 < 2m - 2. On applique dans ce cas le corollaire A.4.4 `a la sous-suite de Sturm (qk0-1, qk0). On a e(qk0-1, 0) = -1, @r(qk0-1, 0) = -qk0-1 et @g(qk0-1, 0) = 0. Le corollaire A.4.4 dit que la forme S(q0, q1, . .,.q2m-1 ) est isomorphe `a la somme orthogonale S(q0, q1, . .,.qk0-2, qk0-1+ qk0+1, qk0+2, . .,.q2m-1 ) S(qk0-1, 0) par un isomorphisme explicite, disons A : L0,2m-1 ! L0,2m-3 Lk0-1,k0, et pareillement que la forme S(0_0,2m-1) est isomorphe `a la somme orthogonale S(0_0,2m-3) S(0_k0-1,k0) par un isomorphisme explicite, disons A0 : L0,2m-1! L0,2m-3 Lk0-1,k0. Le corollaire A.4.4 montre 'egalement que D'et(AOA-10) est trivial. On en d'eduit, gr^ace `a la proposition 4.5.1.6, que l'on a dans V(R) l''egalit'e ~L(q0, q1, . .,.q2m-1 ) = ~L(q0, q1, . .,.qk0-2, qk0-1+ qk0+1, qk0+2, . .,.q2m* *-1 ) + [S(0_k0-1,k0), S(qk0-1, 0)] . 108 Or le scholie 4.5.1.8 (en 'echangeant les r^oles de L et L*) dit que l'on a [S(0_k0-1,k0), S(qk0-1, 0)] = 0 dans V(R). Dans le cas k0 = 1 (resp. k0 = 2m - 2) on applique le point (a) (resp. (b)) de la proposition A.4.2 `a la sous-suite (q0, q1) (resp. (q2m-2 , q2m-1 )). On v'erifie enfin que ~L est un homomorphisme de groupes. Soient ` et ~ deux 'el'ements de keraeL repr'esent'es respectivement par des relations symplectiqu* *es (q_; a) = (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) et (r_; b) = (r0, r1, . .,.r2n-1; b) ; l''e* *l'ement `~ est donc repr'esent'e, d'apr`es la d'efinition m^eme du groupe eeL, par la rel* *ation symplectique (q0, q1, . .,.q2m-1 , a*-1r0a-1, ar1a*, . .,.ar2n-1a*; ab) . On pose a . r_= (a*-1r0a-1, ar1a*, . .,.ar2n-1a*) et l'on note (q_, a . r_) la suite de Sturm, disons de type (0, 2(m + n) - 1), sous-jacente `a la relation symplectique ci-dessus. Le point (b) de la proposition A.4.2 et la proposition 4.5.1.6 montrent que l'on a [S(0_0,2(m+n)-1), S(q_, a . r_)] = [S(0_0,2m-1), S(q_)] + [S(0_0,2n-1), S(* *a . r_)] dans V(R) (observer notamment que l'on a @r(q_) = 0). Comme les formes S(a . r_) et S(r_) sont isomorphes par l'automorphisme a a*-1 . .a. a*-1 de L0,2n-1= L L* . . .L* qui pr'eserve la forme S(0_0,2n-1), on obtient bien l''egalit'e ~L(q_, a . r_; ab) = ~L(q_; a) + ~L(r_; b) , c'est-`a-dire ~L(`~) = ~L(`) + ~L(~). Interlude La d'emonstration de la proposition 5.1.2 termin'ee, nous nous proposons de d'ecrire les homomorphismes compos'es ~L D'et ~L d keraeL -! V(R) --! K1(R) , keraeL -! V(R) -! I(R) . La proposition suivante est le pendant de la proposition 4.5.3.2 : 109 Proposition 5.2.2. Soit (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) une relation symplectiq* *ue sur L avec m 1. Alors on a dans K1(R) : D'et([L0,2m-1; S(0_0,2m-1), S(q0, q1, . .,.q2m-1 )]) = D'et(a) . D'emonstration. On pose q_= (q0, q1, . .,.q2m-1 ). Le point (c) du scholie A.3.2 dit que l'on a D'et(S(0_)-1O S(q_)) = D'et(a*) (0_'etant une abbr'eviation pour 0_0,2m-1). "En transposant" cette 'egalit'e on obtient D'et(S(q_)OS(0_)-1) = D'et(a) ; or on a, par d'efinition m^eme du K1(R), D'et(S(q_) O S(0_)-1) = D'et(S(0_)-1O S(q_)). Scholie 5.2.3. L'homomorphisme compos'e ~L D'et keraeL- --! V(R) - --! K1(R) co"incide avec le suivant keraeL ---! eeL---! GL L --D'et-!K1(R) (les premi`ere et deuxi`eme fl`eches d'esignent respectivement l'inclusion et la projection canonique). Nous nous int'eressons maintenant `a l'homomorphisme d O ~L que nous note- rons aussi ~~L: keraeL ! I(R). Dans ce chapitre I(R) est consid'er'e comme lib "l'id'eal fondamental" de W (R) : le noyau de l'homomorphisme "dimension modulo 2" (voir 4.5.1). Proposition 5.2.4. Soit (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) une relation symplectiq* *ue sur L avec m 1. Alors on a dans I(R) : d ([L0,2m-1; S(0_0,2m-1), S(q0, q1, . .,.q2m-1 )]) = [S(q0, q1, . .,.q2m-1 * *)] (la notation [S(q0, q1, . .,.q2m-1 )] d'esigne ici la classe de Witt de la form* *e de Sturm S(q0, q1, . .,.q2m-1 )). D'emonstration. L''enonc'e ci-dessus r'esulte du lemme suivant : 110 Lemme 5.2.5. Soit L un R-module libre de dimension finie ; soit m 1 un entier. Alors il existe un automorphisme 'el'ementaire U du R-module libre L0,2m-1 tel que l'on a S(0_0,2m-1) = U* ("L___"L___._.-."Lz________") U . m facteurs D'emonstration. Par r'ecurrence sur m en appliquant la proposition A.4.2 (a) ou (b) (observer que l'on a "L = S(0_0,1)). Scholie 5.2.6. Soit (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) une relation symplectique sur L av* *ec m 1. Alors on a dans K1(R)=(1 + o) : Dis ([S(q0, q1, . .,.q2m-1 )]) = D'et(a) (la notation Dis est d'efinie dans la discussion qui suit 4.5.1.6). Scholie 5.2.7. L'homomorphisme de groupes ~~L : keraeL ! I(R) est caract'eris'e par le fait que l'on a ~~L(Eee(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a)) = [S(q0, q1, . .,.q2m-1 )] pour toute relation symplectique (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) sur L avec m 1. Nous achevons notre discussion concernant ~~L par l''enonc'e 5.2.8 ci-apr`es qui explicite la valeur de ~~Lsur un 'el'ement ` de keraeL repr'esent'e par une relation symplectique (q_; a) = (qm , qm+1 , . .,.qn; a) avec |q_| 4. Observo* *ns tout de suite que cette restriction est inoffensive, en effet, si l'on a |q_| * * 3 alors ` est trivial ; plus pr'ecis'ement, pour |q_| 2 on a (q_; a) = (0_; 1)* * (0_ d'esignant la suite de Sturm nulle de m^eme type que q_) et pour |q_| = 3 on a (q_; a) = (qm , 0, -qm ; 1). Afin d''enoncer 5.2.8, introduisons la terminolo* *gie suivante : disons qu'une suite de Sturm q0_est une sous-suite de la suite de Sturm q_si elle est la restriction de cette suite `a un sous-intervalle de [m, * *n]. Proposition 5.2.8. Soit (q_; a) = (qm , qm+1 , . .,.qn ; a) une relation sym- plectique sur L avec |q_| 4 ; soit q0_une sous-suite de q_avec |q0_| 0 mod * * 2 et |q0_| |q_| - 2 . Alors la forme de Sturm S(q0_) est non-d'eg'en'er'ee et l* *'on a dans I(R) : ~~L(Eee(q_; a)) = [S(q0_)] . 111 D'emonstration. V'erifions par exemple l''egalit'e ci-dessus dans le cas m impa* *ir et n pair. D'apr`es 5.2.5 on a ~~L(Eee(q_; a)) = [S(0, q_, 0)] (la notation (0,* * q_, 0) d'esigne la suite de Sturm de type (m - 1, n + 1) dont les premier et dernier termes sont nuls et dont q_est une sous-suite). D'apr`es le point (a) de A.2.2, S(q_) est non-d'eg'en'er'ee et d'apr`es la seconde partie de A.4.5 on a [S(0, q* *_, 0)] = [S(q_)]. Pour exactement les m^emes raisons S(q0_) est non-d'eg'en'er'ee et on* * a [S(q_)] = [S(q0_)]. Remarque. Le lecteur attentif aura observ'e que nous n'avons invoqu'e ci- dessus que la seconde partie de A.4.5. Si l'on utilise toute la force de A.4.5 alors on obtient une formule plus pr'ecise (dans V(R)) : ~L (Eee(q_; a)) = [S(00_), S(q0_)] + ffl (D'eta) , 00_d'esignant la suite de Sturm nulle de m^eme type que q0_et ffl d'esignant la valeur dans l'ensemble {0, 1} d'une fonction des types respectifs de q_et q0_ qu'il n'est pas difficile d'expliciter. D'emonstration de la proposition 5.1.3 La d'emonstration "naturelle" utilise l''enonc'e A.4.4 (voir la remarque ci- apr`es). Nous d'ecrivons ci-dessous une d'emonstration ad hoc qui utilise seule- ment A.4.2 et ce que nous savons d'ej`a sur ~L (que nous avons appris en utilisant. . . A.4.4). Soit (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) une relation symplectique sur L avec m 1 ; on pose w = eeE(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a). On doit v'erifier les trois points suivan* *ts : - ~L (Hee(b)wHee(b-1)) = ~L (w) pour tout b dans GL L ; - ~L (Eee0(q)wEee0(-q)) = ~L (w) pour tout q dans SL ; - ~L (Eee1(q)wEee1(-q)) = ~L (w) pour tout q dans SL*. Le premier point tient au fait, d'ej`a invoqu'e, que les formes de Sturm S(b*-1q0b-1, bq1b*, . .,.bq2m-1 b*) , S(q0, q1, . .,.q2m-1 ) 112 sont isomorphes par un automorphisme de L0,2m-1 qui pr'eserve la forme S(0_0,2m-1). Passons au deuxi`eme point. L''el'ement eeE0(q)wEee0(-q) de keraeL est repr'esent'e par la relation symplectique sur L de type (-2, 2m + 1) (ou ce qui revient au m^eme de type (0, 2m + 3)) suivante : (q, 0, q0, q1, . .,.q2m-1 , -q.a, 0 ; a) . On a donc : ~L (Eee0(q)wEee0(-q)) = [S(0_-2,2m+1), S(q, 0, q0, q1, . .,.q2m-1 , -q.a, 0)* *] . En utilisant le point (b) de A.4.2 et 4.5.1.6 on obtient : ~L (Eee0(q)wEee0(-q)) = [S(0_-2,2m-1), S(q, 0, q0, q1, . .,.q2m-1 )] + [S(0_2m,2m+1), S(-q.a, 0)] * * , puis ~L (Eee0(q)wEee0(-q)) = [S(0_-2,2m-1), S(q, 0, q0, q1, . .,.q2m-1 )] en utilisant 4.5.1.8. En utilisant `a nouveau le point (b) de A.4.2 et 4.5.1.6 on obtient : ~L (Eee0(q)wEee0(-q)) = [S(0_-2,-1), S(q, 0)] + [S(0_0,2m-1), S(q0, q1, . .,.q2m-1 )] * * , puis ~L (Eee0(q)wEee0(-q)) = [S(0_0,2m-1), S(q0, q1, . .,.q2m-1 )] en utilisant une fois encore 4.5.1.8. La v'erification du troisi`eme point est analogue. Remarque. On esquisse dans cette remarque une d'emonstration unifi'ee des deux 'enonc'es obtenus en rempla,cant dans 5.1.2 et 5.1.3 l'homomorphisme ~L par l'homomorphisme ~~L. On note MW libg(R) l'ensemble des classes d'isomorphisme de formes sym'e- triques (pas n'ecessairement non-d'eg'en'er'ees, le "g" en indice est pour "g'e* *n'e- ralis'e") d'efinies sur des R-modules libres de dimension finie ; la somme or- thogonale fait de MW libg(R) un mono"ide ab'elien. On note Wlibg(R) le quotient 113 de ce mono"ide par le sous-mono"ide constitu'e des classes d'isomorphisme des formes neutres (qui elles sont non-d'eg'en'er'ees). On constate que Wlib(R) s'identifie au groupe des 'el'ements inversibles de Wlibg(R). Par des arguments analogues `a ceux utilis'es au d'ebut de la d'emonstration de 5.1.2, on se convainc tout d'abord de ce qu'il existe une unique application, ensembliste, f : eeL! Wlibg(R) telle que l'on a f (Eee(q0, q1, . .,.q2m-1 ; a)) = [S(q0, q1, . .,.q2m-1 )] pour toute suite de Sturm augment'ee (q0, q1, . .,.q2m-1 ; a) sur L avec m 1. On se convainc ensuite, gr^ace `a la proposition A.4.4, de ce que cette appli- cation f poss`ede la propri'et'e suivante : f (`~`0) = f (``0) + f (~) pour tous ` et `0 dans eeLet tout ~ dans keraeL . On d'efinit enfin ~~Lcomme la restriction de f `a keraeL (~~Lest bien `a valeurs dans I(R)) ; la propri'et'e ci-dessus de f implique `a la fois que ~~L est un homomorphisme et que cet homomorphisme est "central". D'emonstration de la proposition 5.1.6. Cette proposition est une traduction de l''enonc'e technique suivant : Proposition 5.2.10. Soit (L; q0, q1) un R-module libre de dimension finie muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees. Alors on a dans V(R) : ~L (me(q1)me(-q0) eH(q-10q1)) = [L; q0, q1] . D'emonstration. Posons w = em(q1)me(-q0) eH(q-10q1) (w est donc un 'el'ement de AL) ; w est repr'esent'e par la relation symplectique sur L de type (0, 4) suivante : (q1, -q-11, q1 - q0, q-10, -q0 ; q-10q1) . On a par d'efinition : ~L(w) = [S(0_0,5), S(q1, -q-11, q1 - q0, q-10, -q0, 0)] . 114 En utilisant comme pr'ec'edemment le point (b) de A.4.2, 4.5.1.6 et 4.5.1.8 on obtient : ~L(w) = [S(0_0,3), S(q1, -q-11, q1 - q0, q-10)] . En utilisant successivement les points (b) et (a) de A.4.2, on constate que la forme de Sturm S(q1, -q-11, q1-q0, q-10) est isomorphe `a la somme orthogonale S(q1) S(0, q1) S(q-10), ou encore `a la somme orthogonale " # 0 1 (q1 -q-10) , 1 q1 par un automorphisme 'el'ementaire de L0,3= (L L*) (L L*). Comme S(0_0,3) est isomorphe `a la somme orthogonale "L "L par un automorphisme 'el'ementaire de ce m^eme module (Lemme 5.2.5), il vient : " # 0 1 ~L(w) = ["L, q1 -q-10] + ["L, ] . 1 q1 On conclut en invoquant le point (a) de 4.5.1.11 et 4.5.1.8. 5.3. D'emonstrations concernant l'homomorphisme ~ D'emonstration de la proposition 5.1.5. On doit tout d'abord v'erifier que l'application MW lib1(R) ! A(R) , [L; q0, q1] 7! st(me(q1)me(-q0) eH(q-10q1)) est un homomorphisme de mono"ides (pour la d'efinition de la notation MW lib1(R) se reporter `a 4.5.1). Cette propri'et'e r'esulte du lemme suivant* * : Lemme 5.3.1. Soient L et L0 deux R-modules libres de dimension finie. Alors il existe deux R-modules libres de dimension finie, M et M0, tels que tout 'el'ement de e Let tout 'el'ement de e L0commutent dans e L M L0 M0 . D'emonstration. Comme les extensions 1 - --! AL ---! e L- -ss-! L ---! 1 115 sont fonctoriellement scind'ees sur GL L (via eHL), on est ramen'e `a v'erifier* * que tout 'el'ement de ss-1(ESp L) et tout 'el'ement de ss-1(ESp L0) commutent dans e L M L0 M0. On peut se convaincre de cette propri'et'e en faisant les obser- vations suivantes : - L'application "commutateur", d'efinie sur ss-1(ESp L M ) x ss-1(ESp L0 M0) et `a valeurs dans e L M L0 M0 , est en fait `a valeurs dans AL M L0 M0 . - Cette application ss-1(ESp L M ) x ss-1(ESp L0 M0) ! AL M L0 M0 est com- pos'ee de ss x ss et d'une application ESp L M x ESp L0 M0! AL M L0 M0 . - Cette derni`ere application se factorise `a son tour par une application bilin'eaire ESp L M =[ESp L M , ESp L M ] x ESp L0 M0=[ESp L0 M0, ESp L0 M0] ! AL M L0 M0 . - Les homomorphismes ESp L=[ESp L, ESp L] ! ESp L M =[ESp L M , ESp L M ] et ESp L0=[ESp L0, ESp L0] ! ESp L0 M0=[ESp L0 M0, ESp L0 M0] sont triviaux si les dimensions de M et M0 sont assez grandes. On doit ensuite v'erifier que l'homomorphisme MW lib1(R) ! A(R) "passe au quotient par les relations de Chasles". En fait ces relations sont d'ej`a v'eri* *fi'ees avant de stabiliser. Soit (L; q0, q1, q2) un R-module libre de dimension finie muni de trois formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees alors on a da* *ns le groupe ab'elien AL : me(q2)me(-q1) eH(q-11q2)me(q1)me(-q0) eH(q-10q1) = me(q2)me(-q1)me(q1)me(-q0) eH(q-10q1)He(q-11q2) parce que me(q1)me(-q0) eH(q-10q1) est dans le centre de e Let : me(q2)me(-q1)me(q1)me(-q0) eH(q-10q1)He(q-11q2) = em(q2)me(-q0) eH(q-10q2) parce que me(-q1) est l'inverse de me(q1). D'emonstration du th'eor`eme 5.1.7. Cette d'emonstration n'est pas tout `a fait celle dont nous avions r^ev'ee ; c'* *est le pourquoi des petits caract`eres. Nous commen,cons par esquisser la d'emonstration dont nous avions r^ev'ee. Soit m 1 un entier. Soit q_= (q0, q1, . .,.q2m, q2m+1) une suite de Sturm sur* * L de type (0, 2m + 1) ; cette suite de Sturm "se stabilise" en une suite de Sturm sur L0,* *2m-1que 116 nous notons Q_= (Q0, Q1, . .,.Q2m, Q2m+1) : Qk est la somme orthogonale de qk * *et de la forme nulle sur L1,2m-1ou L*1,2m-1suivant la parit'e de k. La proposition 2* *.2.4 (on observera que la pr'esence de la forme q2m+1, qui n'appara^it pas dans 2.2.4, * *est inoffensive puisque E1(q2m+1) fixe L) dit que le lagrangien E0(-S(q0, q1, . .,.q2m-1)) E(Q_).L0,2m-1 de H(L0,2m-1) est transverse au lagrangien L0,2m-1. Posons P(q_) = eE0(-S(q0, q1, . .,.q2m-1)) eE(Q_) em(S(0_0)) , 0_0d'esignant ci-dessus la suite de Sturm sur L nulle de type (0, 2m - 1) ; P(* *q_) est donc un 'el'ement de e L0,2m-1qui v'erifie : ss (P(q_)).L*0,2m-1t L0,2m-1 . En d'autres termes, ss (P(q_)) appartient au sous-ensemble Sp1L0,2m-1de SpL0,2* *m-1, la nota- tion Sp1Md'esignant, pour tout R-module~libre~de dimension finie M, le sous-en* *semble de SpM constitu'e des 'el'ements = ab cdavec d inversible. On observe qu'un te* *l 'el'ement s''ecrit ~ -1~~ ~ ~ *-1 ~ = 10 cd1 b1d*01 d0 0d ; en fait l'application Sp1M! SM* x SM x GLM , 7! (cd-1, bd*, d*-1) est une b* *ijection dont l'inverse est l'application (Y, Z, J) 7! E1(Y ) E0(Z) H(J). Cette 'egalit* *'e montre que Sp1Mest contenu dans ESpM .GL M et que la projection ss : e M! ESpM .GL M poss* *`ede une section sur Sp1M, disons s, d'efinie par s( ) = eE1(cd-1) eE0(bd*) eH(d*-1) . L''el'ement P(q_) s(ss (P(q_))-1appartient donc `a AL0,2m-1; nous notons R(q_)* * son image dans A(R). Nous avions pens'e d'emontrer, a priori, la proposition suivante : Proposition 5.3.2. Soit m 1 un entier. Soit L un R-module libre de dimension* * finie. Pour tout suite de Sturm q_sur L de type (0, 2m + 1) on a R(q_) = 0. Le fait que la proposition 5.3.3 ci-apr`es est satisfaite est l'une des raison* *s de croire qu'il en est de m^eme pour la proposition 5.3.2. On observera que 5.3.3 implique 5.3.2.* * . . une fois 5.1.7 d'emontr'e (ce que nous finirons bien par faire !). Proposition 5.3.3. Soit m 1 un entier. Soit L un R-module libre de dimension* * finie. Pour tout suite de Sturm q_sur L de type (0, 2m + 1) on a ~(R(q_)) = 0. D'emonstration. Soit n la dimension de L. On fait intervenir, comme `a la fi* *n de la d'emonstration de la proposition B.2 (Appendice B), l'anneau U qui repr'esente* * le foncteur 117 qui associe `a un anneau commutatif R l'ensemble des suites de Sturm sur Rn de * *type (0, 2m+1) ; l'anneau U est isomorphe `a un anneau de polyn^omes, `a coefficient* *s dans Z, en (m + 1)n(n + 1) ind'etermin'ees. Soit Q_la suite de Sturm sur Un repr'esent'ee * *par l'identit'e de U, il est clair que pour d'emontrer la proposition 5.3.3 il suffit de v'erif* *ier que l'on a ~(R(Q_)) = 0. L'avantage d'avoir remplac'e R par U est le suivant : L'homomorphisme canonique* * Z ! U induit un isomorphisme K1(Z) ~=K1(U) si bien que l'on a SK1(U) = 0 et que l'on * *peut invoquer la proposition 4.5.1.5. Avant de poursuivre, observons que nous pouvons pousser encore plus loin notre * *avantage si nous acceptons dans l''enonc'e 5.3.3 de faire l'hypoth`ese "1_22 R". En effe* *t sous cette hypoth`ese on peut remplacer U par U[1_2]. Le corollaire 4.5.2.6 montre que l'a* *nneau U[1_2] est V-rigide. On en d'eduit ~(R(Q_)) = ~(R(0_)), 0_d'esignant la suite de Sturm* * nulle de type (0, 2m + 1) sur (U[1_2])n: consid'erer l''el'ement ~(R(T Q_)) de V(U[1_2][T ]).* * Or par d'efinition m^eme R(0_) est trivial. Revenons maintenant `a la v'erificationde l''egalit'e ~(R(Q_)) = 0 dans V(U). C* *ompte tenu de 4.5.1.5, il suffit de v'erifier que l'on a (d'etO ~)(R(Q_)) = 0 dans Ux et (* *d O ~)(R(Q_)) = 0 dans I(U). La premi`ere 'egalit'e se d'emontre par un argument de rigidit'e ana* *logue `a celui utilis'e pr'ec'edemment. Passons `a la seconde (nous posons ~~= d O ~) : Proposition 5.3.4. Soit m 1 un entier. Soit L un R-module libre de dimension * *finie. Pour tout suite de Sturm q_sur L de type (0, 2m + 1) on a ~~(R(q_)) = 0. D'emonstration. Posons ss (P(q_)) = E1(Y ) E0(Z) H(J) ; Y , Z et J sont donc de* *s fonctions de q_. L''el'ement R(q_) de A(R) est repr'esent'e par la relation symplectique * *sur L0,2m-1de type (-2, 2m + 5) suivante : (-Z, -Y, -S(0, q1, . .,.q2m-1), Q1, Q2, . .,.Q2m, Q2m+1, S(0_0), -S(0_0)-1, S(* *0_0), 0 ; J-1) (se rappeler que AL0,2m-1est central dans e L0,2m-1). D'apr`es 5.2.7, ~~(R(q_)) est la classe de Witt de la forme de Sturm associ'ee * *`a la suite de Sturm de type (0, 2m + 5) suivante : (-S(0, q1, . .,.q2m-1), Q1, Q2, . .,.Q2m, Q2m+1, S(0_0), -S(0_0)-1, S(0_* *0), 0) . En utilisant trois fois successivement le point (b) de A.4.2 et le fait que la * *forme -S(0_0)-1 est hyperbolique (Lemme 5.2.5) on voit que ~~(R(q_)) est la classe de Witt de l* *a forme de Sturm associ'ee `a la suite de Sturm de type (0, 2m) suivante : (-S(0, q1, . .,.q2m-1), Q1, Q2, . .,.Q2m) . Posons S = S(-S(0, q1, . .,.q2m-1), Q1, Q2, . .,.Q2m). Le domaine de d'efinitio* *n de S est le R-module libre L0,2m-1 (L* L*1,2m-1) (L L1,2m-1) (L* L*1,2m-1) . . .(L L1,2m-* *1) 118 soit encore le R-module libre (L0,2m-1 L1,2m) (L1,2m-1)1,2m . Par d'efinition, la restriction de S au facteur (L1,2m-1)1,2mest la forme de St* *urm S(0_00), 0_00d'esignant la suite de Sturm nulle de type (1, 2m) sur L1,2m-1. Cette forme* * est non- d'eg'en'er'ee d'apr`es le point (a) de A.2.1. On peut donc appliquer la propos* *ition A.4.1 (Identit'e du trin^ome), celle-ci dit dans ce cas que S est isomorphe `a la som* *me orthogo- nale de la restriction de S au facteur L0,2m-1 L1,2m, disons S1,1, et de S(0_0* *0), et ceci m^eme si L0,2m-1 L1,2met (L1,2m-1)1,2mne sont pas orthogonaux par rapport `a S. D'etaillons un peu. Soit S1,2l'homomorphisme induit par S de L0,2m-1 L1,2mdans (L1,2m-1)*1,2m, on constate que S1,2est compos'e de la projection de L0,2m-1 L* *1,2msur L0,2m-1, de la projection de L0,2m-1sur L1,2m-1, de l'isomorphisme canonique L1* *,2m-1~= (L*1,2m-1)*et de l'inclusion (L*1,2m-1)*dans (L1,2m-1)*1,2mcomme premier facteu* *r ; on en d'eduit S*1,2S(0_00)-1S1,2= 0 : cette 'egalit'e est essentiellement 'equival* *ente `a l''egalit'e @g(0_00) = 0. On identifie maintenantLla classe d'isomorphismeLde la forme S1,1* *. On note ' l'isomorphisme de L-(2m-1),0= 2m-1k=0L-k sur L0,2m-1= 2m-1k=0Lk, somme di* *recte des isomorphismes (-1)k'k, 'k d'esignant l'identification canonique Lk = L-k ; * *on note ' 1 l'isomorphisme de L-(2m-1),2m= L-(2m-1),0 L1,2msur L0,2m-1 L1,2m, somme directe de ' et de l'identit'e de L1,2m. On constate que l'on a (' 1)*S1,1(' 1) = S(-q2m-1, -q2m-2 . .,.-q1, 0, q1, q2, . .q.2m-1, q2* *m) . On a donc obtenu, au bout du compte, l'isomorphisme de formes bilin'eaires sym'* *etriques non-d'eg'en'er'ees suivant : S(-S(0, q1, . .,.q2m-1), Q1, Q2, . .,.Q2m) ~= S(-q2m-1, -q2m-2 . .,.-q1, 0, q1, q2, . .q.2m-1, q2m) S(0_00) * * . Puisque S(0_00) est hyperbolique (Lemme 5.2.5), la classe de Witt du premier me* *mbre est 'egale `a celle de S(-q2m-1, -q2m-2 . .,.-q1, 0, q1, q2, . .q.2m-1, q2m). T* *oujours d'apr`es 5.2.7, on a [S(-q2m-1, -q2m-2 . .,.-q1, 0, q1, q2, . .q.2m-1, q2m)] = ~~L(eeE(-q2m-1, -q2m-2 . .,.-q1, 0, q1, q2, . .q.2m-1, q2m, 0, -q2m ;* * 1)) , or l''el'ement de eeLqui appara^it au second membre est trivial. Expliquons maintenant comment la proposition 5.3.2 conduirait `a une d'emonstra* *tion du th'eor`eme 5.1.7. La proposition 5.3.2 est 'equivalente `a la suivante : 119 Proposition 5.3.5. Soit m 1 un entier. Soit L un R-module libre de dimension * *finie. Soit q_= (q0, q1, . .,.q2m, q2m+1) une suite de Sturm sur L de type (0, 2m + 1)* *. Alors il existe une forme bilin'eaire sym'etrique Y sur L*0,2m-1, une forme bilin'eaire * *sym'etrique Z sur L0,2m-1et un automorphisme J de L0,2m-1tels que l'on a "stablement" (en cla* *ir, dans e L0,2m-1 M, pour M un R-module libre dimension assez grande) : Ee(q_) = eE0(S(q0, q1, . .,.q2m-1)) eE1(Y ) eE0(Z) eH(J) em(-S(0_0)) * * , 0_0d'esignant ci-dessus la suite de Sturm nulle de type (0, 2m - 1). (On obervera que si l'on a une telle formule alors Y , Z et J sont tous trois u* *niquement d'etermin'es en fonction de q_; pour une explicitation de ce type de formule da* *ns SpL0,2m-1 voir 2.4.4.) L''enonc'e ci-dessus admet la variante suivante : Corollaire 5.3.6. Soit m 1 un entier. Soit L un R-module libre de dimension f* *inie. Soit q_= (q0, q1, . .,.q2m, q2m+1) une suite de Sturm sur L de type (0, 2m + 1)* *. Alors il existe une forme bilin'eaire sym'etrique Y sur L*0,2m-1, une forme bilin'eaire * *sym'etrique Z sur L0,2m-1et un automorphisme K de L0,2m-1tels que l'on a "stablement" : eE(q_) = eE0(S(q0, q1, . .,.q2m-1)) eE1(Y ) eE0(Z) em(-S(0_0)) eH(K) * * . D'emonstration (de 5.3.5 =) 5.3.6). On a eH(J) em(-S(0_0)) = em(-J . S(0_0)) eH* *(J) dans le groupe e L0,2m-1. On en d'eduit eH(J) em(-S(0_0)) = em(-S(0_0)) eH(K) ~ ([J . S* *(0_0), S(0_0)]) en posant K = S(0_0)-1J*-1S(0_0). Or ~ ([J .S(0_0), S(0_0)]) est "stablement" t* *rivial d'apr`es 4.5.1.6. En effet l''egalit'e de 5.3.5 implique que D'et(J) est trivial (observ* *er que l'homo- morphisme canonique de eeL0,2m-1dans GLL0,2m-1induit un homomorphisme de e L0,2* *m-1 dans K1(R)). D'emonstration de l'implication 5.3.6 =) 5.1.7. Soit (q_; a) = (q0, q1, . .,.q* *2m, q2m+1 ; a) une relation symplectique sur L de type (0, 2m + 1). On pose S = S(q0, q1, . .,* *.q2m-1) et S0 = S(0_0). On r'e'ecrit l''egalit'e de 5.3.6 de la fa,con suivante : eE(q_) eH(K-1) em(S0) = eE0(S) eE1(Y ) eE0(Z) (ici et ci-dessous la stabilisation est implicite). L''egalit'e E(q_) = H(a-1) * *fait que l'image dans SpL0,2m-1du premier membre, vue comme~une~matrice de type (L0,2m-1, L*0,2m* *-1)x (L0,2m-1, L*0,2m-1), est de la forme 0B C0 . Il est donc de m^eme pour l'imag* *e dans SpL0,2m-1du second membre. Ceci implique que S est inversible et que l'on a Y =* * -S-1 et Z = S. En effet, on constate que l'on a : ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 1 Y 1 0 1 + Y Z Y S 1 0 1 Z 1 = S + (1 + SY )Z1 + SY . 120 On a donc eE(q_) = em(S) em(-S0) eH(K) , ou encore eE(q_; a) = ~ ([L0,2m-1; S0, S ]) eH(a0) , a0'etant un automorphisme de L0,2m-1. On ach`eve en projetant `a nouveau dans S* *pL0,2m-1. La projection du premier membre est triviale et celle du second est H(a0), ce q* *ui force a0= 1 : eE(q_; a) = ~ ([L0,2m-1; S0, S ]) (on observera incidemment que cette formule est bien en accord avec 5.2.8.). Voil`a pour la d'emonstration r^ev'ee, nous en venons `a pr'esent `a la d'emons* *tration r'eelle. Notre strat'egie est de d'emontrer une version de la proposition 5.3.5 pour m =* * 1 (Propo- sition 5.3.8), ce qui suffira `a notre bonheur. Proposition 5.3.7 (Relations de Sharpe). Soit L un R-module libre de dimension * *finie. (a) Soit q une forme bilin'eaire sym'etrique sur L. Alors l''el'ement suivant d* *e AL L* ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE0( q 0 )Ee1( 0 1 )Ee0(- q 0 )Ee1(- 0 1 )He( 1 0 ) 0 0 1 0 0 0 1 q q 1 est nul dans A(R). En d'autres termes, il existe un R-module libre de dimension* * finie M (ne d'ependant en fait que de L) tel que l'on a ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ eE0(q), eE1( 01 10) ] = eE1( 00 0q)He( -1q 01) dans e L L* M (la notation [ , ] au premier membre d'esigne le commutateur, on* * ob- servera que les deux facteurs du second membre commutent). (b) Soit q une forme bilin'eaire sym'etrique sur L*. Alors l''el'ement suivant * *de AL L* ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE1( q 0 )Ee0( 0 1 )Ee1(- q 0 )Ee0(- 0 1 )He( 1 -q ) 0 0 1 0 0 0 1 q 0 1 est nul dans A(R). En d'autres termes, il existe un R-module libre de dimension* * finie M (ne d'ependant en fait que de L) tel que l'on a ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ eE1(q), eE0( 01 10) ] = eE0( 00 0q)He( 1q 01) dans e L L* M (on observera que les deux facteurs du second membre commutent). 121 D'emonstration du point~(a).~Le~scholie~4.5.1.8 (en 'echangeant les r^oles de L* * et L*) dit que la classe de (L L*; 0110 , q110) dans V(R) est nulle. Il en est donc de m^e* *me pour son image par ~ dans A(R) : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ st(Ee0( q1 10)Ee1(- 01-1q )Ee0( q0 00)Ee1( 01 10)Ee0(- 0110)He( 1q 01)) = 0 * * . Or on a dans AL L* : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ee0( q 1 )Ee1(- 0 1 )Ee0( q 0 )Ee1( 0 1 )Ee0(- 0 1 )He( 1 0 ) = 1 0 1 -q 0 0 1 0 1 0 q 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE0( q 0 )Ee1( 0 1 )Ee0(- 0 1 )He( 1 0 )Ee0( q 1 )Ee1(- 0 1 ) = 0 0 1 0 1 0 q 1 1 0 1 -q ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE0( q 0 )Ee1( 0 1 )Ee0(- q 0 )Ee1(- 0 1 )He( 1 0 ) 0 0 1 0 0 0 1 q q 1 (pour la premi`ere 'egalit'e se rappeler que l'action par conjugaison de e L L** *sur AL L* est triviale, pour la seconde que e L L*est un quotient de eeL L*qui est d'efin* *i comme un produit semi-direct). D'emonstration du point (b). Le scholie 4.5.1.8 implique comme pr'ec'edemment : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ st(Ee0( 00 0q)Ee1( 01 10)Ee0(- 000q)Ee1(- q110)He( 10 q1)) = 0 ; on peut 'egalement obtenir cette relation en faisant L = L* dans (a) et en util* *isant l'isomorphisme de AL* L sur AL L* induit par l'isomorphisme 'evident de L* L * *sur L L*. On en d'eduit le point (b) gr^ace `a un argument de dualit'e plus subti* *l que l'on d'ecrit ci-dessous. Les isomorphismes (naturels) Coe On observe tout d'abord que les applications L 7! L* et (i, r) 7! (r*, i*) d'ef* *inissent un endofoncteur covariant_de la cat'egorie C(R). On rappelle que nous notons oe : H(L) ! H(L*) l'isomorphisme symplectique (x, ,* *) 7! (,, -x). Nous notons Coe: SpL! SpL*, l'isomorphisme de groupes OE 7! oe O OE O oe-1 ; Co* *epeut ^etre consid'er'e comme un isomorphisme naturel entre les foncteurs, de C(R) dans la * *cat'egorie des groupes, L 7! SpL et L* 7! SpL*. Si l'on consid`ere respectivement GL L, SL et SL*, GL L*, SL et SL*, comme des * *sous- groupes de SpL et SpL*, on constate que l'isomorphisme Coeinduit les isomorphis* *mes a 7! a*-1, q 7! -q et q07! -q0. Ceci conduit `a introduire l'isomorphisme de groupes* *, que nous 122 notons encore Coe, de eeLdans eeL*, v'erifiant Coe(eH(a)) = eH(a*-1), Coe(eE0(q* *)) = eE1(-q) et Coe(eE1(q0)) = eE0(-q0). Nous avons tout fait pour que le diagramme ee aeL L ----! SpL ?? ? yCoe ?yCoe ee aeL* L* ----! SpL* soit commutatif, l'isomorphisme Coeinduit donc des isomorphismes, keraeL ! kera* *eL*, e L! e L*et AL ! AL*, que nous notons toujours Coe. Soit enfin b un isomorphisme de L sur L*. Nous notons cb l'automorphisme de eeL* *com- pos'e de Coeet de l'isomorphisme de eeL*sur eeLinduit par b-1 ; on a donc, cb(e* *H(a)) = eH(b-1a*-1b), cb(eE0(q)) = eE1(-b-1qb*-1) et cb(eE1(q0)) = eE0(-b*q0b). L'autom* *orphisme cb induit des automorphismes de keraeL, e Let AL, que nous notons toujours cb. On obtient maintenant le point (b) de la proposition 5.3.7 en observant que l'o* *n a dans AL L* (ne pas confondre coeet Coe!) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ coe(Ee0( 00 0q)Ee1( 01 10)Ee0(- 000q)Ee1(- q110)He( 10 q1)) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE1( -q 0 )Ee0( 0 1 )Ee1( q 0 )Ee0(- 0 1 )He( 1 q ) 0 0 1 0 0 0 1 -q 0 1 (et en changeant q en -q). Voici la version promise de la proposition 5.3.5 pour m = 1 ; on observera que * *la projection dans SpL L* du second membre de la formule qu'elle contient est bien le produit* * qui appara^it dans la proposition 2.4.4 (pour m = 1). Proposition 5.3.8. Soit L un R-module libre de dimension finie. Soit (q0, q1, q* *2, q3) une suite de Sturm sur L de type (0, 3). Alors il existe un R-module libre de dimen* *sion finie M (ne d'ependant que de L) tel que l'on a Ee(q0, q1, q2, q3) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ * * ~ eE0( q0 1 ) eH( 1 q1 ) eE1( q1 -1 ) eH( 1 0 ) eE0( q2 1 ) em(- 0 * *1 ) 1 -q1 0 1 -1 -q2 q2 1 1 -q3 1 0 dans e L L* M (le premier membre appartient `a e Let le second `a e L L*, la pr* *oposition dit, en clair, que leurs images dans e L L* M sont 'egales). D'emonstration. On a par d'efinition : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ em( 01 10) = eE0( 01 10) eE1(- 0110) eE0( 01 10) . 123 En appliquant le point (a) de la proposition 5.3.7, il vient (apr`es stabilisat* *ion) : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ee0(q2) em( 0 1 ) = eE0( 0 1 ) eE1( 0 -1 ) eH( 1 0 ) eE0( q2 1 )* * . 1 0 1 0 -1 -q2 q2 1 1 0 En appliquant le point (b) de la proposition 5.3.7, il vient (apr`es stabilisat* *ion) : ~ ~ eE1(q1) eE0(q2) em( 0 1 ) = 1 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE0( 0 1 ) eH( 1 q1 ) eE1( q1 -1 ) eH( 1 0 ) eE0( q2 1 ) * * . 1 -q1 0 1 -1 -q2 q2 1 1 0 Il en r'esulte (apr`es stabilisation) : ~ ~ eE0(q0) eE1(q1) eE0(q2) em( 0 1 ) = 1 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE0( q0 1 ) eH( 1 q1 ) eE1( q1 -1 ) eH( 1 0 ) eE0( q2 1 ) * * . 1 -q1 0 1 -1 -q2 q2 1 1 0 On ach`eve en observant que l'on a (apr`es stabilisation) : ~ ~ ~ ~ ~ ~ em( 01 10) eE0( 00 -0q ) = eE1(q3) em( 0 1 ) . 3 1 0 On se convainc de cette relation en appliquant les points (b) et (a) de la prop* *osition 5.3.7 (et la variante de ce point obtenue en faisant L = L*, 'evoqu'ee au d'ebut de l* *a d'emonstration du point (b)) ; on montre en fait que l'on a (apr`es stabilisation) : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ eE1( 0 1 ) eE0(- 0 1 ) eE1(q3)Ee0( 0 1 ) eE1(- 0 1 ) = eE0( 0 0 ) * * . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 -q3 Corollaire 5.3.9. Soit L un R-module libre de dimension finie. Soient (q0, q1, * *q2, q3; a) une relation symplectique~sur~L de type (0, 3). Alors la forme bilin'eaire sym'* *etrique sur L L* de matrice q01-q1 est non-d'eg'en'er'ee et l'on a dans A(R) : 1 ~ ~ ~ ~ st(Ee(q0, q1, q2, q3; a)) = ~([L L*; 0110 , q01-1q ]) . 1 D'emonstration. Sp'ecialiser au cas m = 1 les d'emonstrations des implications* * 5.3.5 =) 5.3.6 et 5.3.6 =) 5.1.7 que nous avons donn'ees pr'ec'edemment. 124 Corollaire 5.3.10. Soit L un R-module libre de dimension finie. Soient (q0, q1,* * . .,.q6) une suite de Sturm sur L de type (0, 6). Alors il existe - une suite de Sturm (Q0, Q1, . .,.Q4) sur L L* de type (0, 4) - un automorphisme ('el'ementaire) F de L L* - un R-module libre de dimension finie M (ne d'ependant que de L) tels que l'on a eE(q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6) = eE(Q0, Q1, Q2, Q3, Q4; F ) dans e L L* M. D'emonstration. La proposition 5.3.8 montre qu'il existe des formes bilin'eaire* *s sym'etriques Q00, Q01, Q02, Q000, Q001, Q002, sur L L* ou (L L*)*, et des automorphismes* * 'el'ementaires F 0, F 00, de L L*, tels que l'on a (apr`es stabilisation) : * * ~ ~ eE0(q0) eE1(q1) eE0(q2) eE1(q3) = eE0(Q00) eE1(Q01) eE0(Q02) eH(F 0) em(* *- 0 1 ) * * 1 0 et * * ~ ~ eE0(-q6) eE1(-q5) eE0(-q4) = eE0(Q000) eE1(Q001) eE0(Q002) eH(F 00) em(-* * 0 1 ) * * 1 0 ou encore ~ ~ eE0(q4) eE1(q5) eE0(q6) = em( 0 1 ) eH(F 00-1) eE0(-Q00) eE1(-Q00) eE0(* *-Q00) . 1 0 2 1 * * 0 On conclut en multipliant membre `a membre. L''enonc'e ci-dessus conduit par r'ecurrence au suivant (observer que l'on a 4 * * 6 !) : Corollaire 5.3.11. Soient L un R-module libre de dimension finie et w un 'el'em* *ent de e L. Alors il existe - un R-module libre de dimension finie L0 - une suite de Sturm augment'ee (q0, q1, . .,.q4; a) sur L L0de type (0, 4) tels que l'on a w = eE(q0, q1, q2, q3, q4; a) dans e L L0. En d'autres termes, tout 'el'ement de e(R) est repr'esent'e par un* *e suite de Sturm augment'ee de type (0, 4). Nous sommes maintenant en mesure de d'emontrer la surjectivit'e de l'homomorphi* *sme ~. Soit w un 'el'ement de e(R). D'apr`es 5.3.11, w est repr'esent'e par une suite* * de Sturm augment'ee de type (0, 4) : w = st(Ee0(q0) eE1(q1) eE0(q2) eE1(q3) eE0(q4) eH(a)) . 125 Si w appartient `a A(R), alors w peut ^etre en fait repr'esent'e par une relati* *on symplectique de type (0, 3). En effet on a w = st(Ee0(q0) eE1(q1) eE0(q2) eE1(q3) eH(a) eE0(q4.a)) (sans hypoth`ese sur w) et w = st(Ee0(q0 + q4.a) eE1(q1) eE0(q2) eE1(q3) eH(a)) puisque AL est central dans e L. Le corollaire 5.3.9 montre alors que w est bi* *en dans l'image de l'homomorphisme ~. 5.4. Interpr'etation de l'isomorphisme A(R) ~=V(R) en termes d'homologie des groupes On rappelle que l'on a K1(R) = H1(GL (R); Z) et K2(R) = H2(EGL (R); Z) (la notation EGL (R) d'esignant le sous-groupe de GL (R) engendr'e par les matrices 'el'ementaires). On pose pareillement KSp 1(R) = H1(Sp (R); Z) et KSp 2(R) = H2(ESp (R); Z). L'objet principal de ce paragraphe est de mon- trer que l'isomorphisme A(R) ~=V(R) du th'eor`eme 5.1.8 conduit `a l''enonc'e suivant : Th'eor`eme 5.4.1. Le groupe V(R) prend place dans une suite exacte naturelle de groupes ab'eliens : K2(R) - --! KSp 2(R) ---! V(R) ---! K1(R) - --! KSp 1(R) dans laquelle : - les homomorphismes K2(R) ! KSp 2(R) et K1(R) ! KSp 1(R) sont induits par l'homomorphisme hyperbolique H : GL (R) ! Sp (R) (qui envoie EGL (R) dans ESp (R)) - l'homomorphisme V(R) ! K1(R) est l'homomorphisme D'etde 4.5.1.2 - l'homomorphisme KSp 2(R) ! V(R) est l'image de la classe carac- t'eristique de l'extension centrale 1 ---! A(R) ---! e(R) - -ss-! (R) ---! 1 par la composition H2( (R); A(R)) ! H2(ESp (R); A(R)) ! Hom (KSp 2(R), A(R)) ! Hom (KSp 2(R), V(R)) (la derni`ere fl`eche 'etant induite par l'homomorphisme ~). 126 Pour faire d'eriver cet 'enonc'e de l''enonc'e 5.1.8, il sera commode de dispos* *er de la notion d'homologie "relative" des groupes (discrets), et pour l'interpr'eter, de disposer de la notion d'extension centrale relative. D'efinition de l'homologie relative des groupes Cette d'efinition est sans surprises. Soit G un groupe (discret), on note Co(G) la r'esolution libre standard du Z[G]-module trivial Z (on peut voir Co(G) comme le complexe de cha^ines associ'e au G-ensemble simplicial EG) ; on a donc pour tout Z[G]-module M, disons `a droite, et tout entier n, Hn(G ; M) = Hn(M Z[G]Co(G)). Soit maintenant ae : H ! G un homomorphisme de groupes (discrets). On rel note Co (ae) le c^one de l'homomorphisme de Z[G]-complexes, induit par ae, de rel Z[G] Z[H]Co(H) dans Co(G) ; Co (ae) est donc un Z[G]-complexe de cha^ines, Z[G]-libre en chaque degr'e. Soient M un Z[G]-module `a droite (resp. `a gauche) et n un entier, on pose : rel rel Hn (ae ; M) = Hn(M Z[G]Co (ae)) rel (resp. Hnrel(ae ; M) = H-n (Hom Z[G](Co (ae), M)) ) . On a donc, par d'efinition, une longue suite exacte ae* rel . .-.! Hn(H ; M) -! Hn(G ; M) -! Hn (ae ; M) ae* -! Hn-1 (H ; M) -! Hn-1 (G ; M) -! . . . (resp. une longue suite exacte analogue en cohomologie). rel n On observera que si ae est une inclusion alors Hn (ae ; M) et Hrel(ae ; M) sont classiquement not'es Hn(G, H ; M) et Hn(G, H ; M)). Proposition 5.4.2 (Formule de Hopf). Soit ae : H ! G un homomorphisme de groupes. Si ae est surjectif, alors : rel (a) Le groupe H1 (ae ; Z) est trivial. (b) On a un isomorphisme canonique rel H2 (ae ; Z) ~= kerae=[H, kerae] , [H, kerae] d'esignant le sous-groupe (distingu'e) de H constitu'e des produits * *de commutateurs d''el'ements de H et de kerae. 127 En d'autres termes la "centralis'ee" de la suite exacte ae 1 - --! kerae ---! H - --! G ---! 1 s'identifie `a une extension centrale de la forme suivante : rel ae 1 - --! H2 (ae ; Z)---! H =[H, kerae] ---! G ---! 1 . D'emonstration. Le point (a) est 'evident. Passons au point (b). Soit ae : rel H ! G un homomorphisme de groupes. Comme le Z[G]-complexe Co (ae) est Z[G]-libre en chaque degr'e, on dispose d'une suite spectrale du premier quadrant : rel rel E2p,q= Hp(G ; HqCo (ae)) =) Hp+q(ae ; Z) . Si ae est surjectif, alors on a 8 rel <0 pour q 1 , HqCo (ae) = : Hq-1(ker ae ; Z)pour q 2 . Le point (b) en r'esulte (comme d'ailleurs le point (a)). Esquisse d'une th'eorie des extensions centrales relatives Soit ae : H ! G un homomorphisme de groupes ; soit A un groupe ab'elien. On appelle extension centrale de ae par A la donn'ee d'une extension centrale 1 ---! A - --! Ge --ss-!G - --! 1 et d'un homomorphisme eae: H ! Ge avec ss O eae= ae (c'est `a cette notion que font r'ef'erence les mots "extensions centrales relatives" de l'intertitre * *ci- dessus, il faut voir eaecomme une "trivialisation" de l'image r'eciproque par ae de l'extension centrale ci-dessus). Soient H ?? eaei ?yae 1 ---! A - --! Gei --ssi-!G - --! 1 , 128 i = 0, 1, deux extensions centrales de ae par A, disons e0 et e1. Un isomor- phisme de e0 sur e1 est un isomorphisme de groupes OE : eG0! eG1qui induit l'identit'e de A et de G et qui v'erifie OE O eae0= eae1. Ces d'efinitions pos'ees, la th'eorie des extensions centrales relatives se d'e* *ve- loppe comme dans le cas "absolu" : Soit e une extension centrale de ae par A ; e poss`ede une classe caract'eristi* *que, disons O(e), appartenant `a H2rel(ae ; A) (A muni de l'action triviale de G). [ Soit ss : eG! G l'homomorphisme de groupe surjectif sous-jacent `a e, on peut* * d'efinir O(e) en observant que le groupe H2rel(ss ; A) poss`ede, d'apr`es 5.4.2, une "cl* *asse canonique" correspondant, via l'isomorphisme H2rel(ss ; A) ~=Hom (A, A), `a l'identit'e de* * A (une sorte de classe de Thom). ] Soient e0 et e1 deux extensions centrales de ae par A ; e0 et e1 sont isomorphes si et seulement si l'on a O(e0) = O(e1). On d'efinit mutatis mutandis la notion d'extension centrale universelle d'un homomorphisme de groupes. On v'erifie notamment les deux points suivants : - Un homomorphisme de groupes ae : H ! G poss`ede une extension cen- rel trale universelle si et seulement si H1 (ae ; Z) est trivial, en d'autres terme* *s si l'homomorphisme ae* : H1(H ; Z) ! H1(G ; Z) est surjectif. - Sous cette hypoth`ese, l'extension centrale universelle de ae est une extensi* *on rel centrale de ae par H2 (ae ; Z) dont la classe caract'eristique correspond, via rel rel rel l'isomorphisme H2rel(ae ; H2 (ae ; Z)) ~=Hom (H2 (ae ; Z), H2 (ae ; Z)), `a l'* *identit'e. D'emonstration du th'eor`eme 5.4.1 La proposition suivante est une illustration du point (b) de la proposition 5.4.2 : Proposition 5.4.3. Soit ae : ee(R) ! (R) l'homomorphisme de groupes limite directe des homomorphismes de groupes aeRn : een(R) ! n(R). Alors rel le groupe d'homologie H2 (ae ; Z) est naturellement isomorphe au groupe A(R). Corollaire 5.4.4. Soit encore H : GL (R) ! (R) l'homomorphisme de groupes induit par l'homomorphisme hyperbolique H : GL (R) ! Sp(R). rel Alors le groupe d'homologie H2 (H ; Z) (que l'on peut noter 'egalement H2( (R), GL (R) ; Z) si l'on identifie GL (R) `a un sous-groupe de (R)) est naturellement isomorphe au groupe A(R). 129 D'emonstration. On consid`ere le diagramme commutatif d'homomorphismes de groupes suivant ee(R) --ae-! (R) ?? ? ?y ??y1 GL (R) --H-! (R) dans lequel la fl`eche verticale de gauche d'esigne la projection canonique. La proposition 5.4.5 ci-dessous, qui 'enonce un cas particulier d'un r'esultat d^u* * `a rel Stanislaw Betley, et le lemme des cinq montrent que les groupes H2 (ae ; Z) rel et H2 (H ; Z) sont naturellement isomorphes. Proposition 5.4.5. La projection canonique de ee(R) sur GL (R) induit un isomorphisme sur les groupes d'homologie Hn( ee(R); Z) ~= Hn(GL (R); Z) pour tout entier n. D'emonstration. On suit Betley [Be, Exemple 4.4]. On dispose d'une suite spectrale du premier quadrant : E2p,q= colimnHp(GL n(R) ; Hq(SRn * SRn* ; Z)) =) Hp+q( ee(R); Z) . La proposition r'esulte de que l'on a 8 > >: G ss0 m Li pour i 1 (mod 2) (pour des 'enonc'es plus pr'ecis, voir 6.2.2.4 et 6.2.3.7). Les foncteurs L6 et L7 sont ceux que nous avons not'es respectivement L et F dans les chapitres pr'ec'edents ; la relation entre les foncteurs ss0F et ss0 SL y a 'et'e 'etudi'* *ee en grands d'etails. Le lecteur se convaincra de ce que la liste L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 pourrait raisonnablement ^etre not'ee ZxBO O O=GL GL =Sp ZxBSp Sp Sp =GL GL =O . [En fait nous trichons un peu ; pour que cette notation soit vraiment adapt'ee il faudrait remplacer les foncteurs L2 et L6 par leur versions "'epaisses", dis* *ons eL2et Le6, qui sont `a L2 et L6 ce qu'est le foncteur Ke0 au foncteur K0, il faudrait aussi remplacer la cat'egorie des anneaux commutatifs par celle des anneaux commutatifs dans lesquels 2 est inversible.] 142 Le lecteur se convaincra 'egalement de ce que les ensembles Li(C) poss`edent une topologie naturelle et que l'on a huit 'equivalences d'homotopie L0(C) L1(C) L2(C) L3(C) L4(C) L5(C) L6(C) L7(C) ~= ~= ~= ~= ~= ~= ~= ~= ZxBO O O=U U=Spq ZxBSpq Spq Spq =U U=O , la notation O, U et Spq d'esignant dans la liste ci-dessus la limite directe en n, respectivement, des groupes orthogonaux euclidiens O(n), des groupes unitaires U(n) et des groupes unitaires quaternionniens Spq (n) (Spq (n) est un sous-groupe compact maximal du groupe symplectique Sp n(C), dans la litt'erature Spq (n) et Spq sont souvent not'es Sp (n) et Sp). Ceci justifie le sous-titre "p'eriodicit'e de Bott r'eelle" de ce paragraphe (v* *oir 4.8). Avertissement Dans ce paragraphe tous les anneaux (commutatifs) seront suppos'es con- tenir 1_2. Cette hypoth`ese permet de ne pas distinguer, les notions de forme bilin'eaire sym'etrique et de forme quadratique (et les groupes orthogonaux qui vont avec), les notions de forme bilin'eaire antisym'etrique et de forme bilin'eaire altern'ee. Elle appara^it par ailleurs dans la plupart des 'enonc'e* *s de la litt'erature auxquels nous ferons r'ef'erence. Compte tenu de l'hypoth`ese ci-dessus, les mots "anneau (commutatif)" si- gnifieront dans ce paragraphe "anneau (commutatif) contenant 1_2". Cepen- dant dans les 'enonc'es o`u cette hypoth`ese jouera un r^ole important nous insisterons lourdement et la rappellerons. 6.2.1. D'efinition des foncteurs Li D'efinition du foncteur L0 Soit R un anneau (commutatif) et L un R-module libre de dimension finie. On note H+(L) le R-module libre L L* muni de sa forme bilin'eaire sym'e- trique hyperbolique ; cette forme sera not'ee "+L(elle 'etait not'ee "L depuis le d'ebut du chapitre 4, mais "-Lva aussi appara^itre dans ce paragraphe). On note L0,L l'ensemble des facteurs directs P de H+(L) H+(L) tels que la restriction `a P de la somme orthogonale "+L "+Lest non-d'eg'en'er'ee ; on choisit pour point base de L0,Lle facteur direct H+(L) 0. L'ensemble L0,L s'identifie 'egalement `a l'ensemble des projecteurs du R-module H+(L) H+(L) 143 qui sont auto-adjoints pour la forme "+L "+L; le point base de L0,Lest alors le projecteur sur H+(L) 0 parall`element `a 0 H+(L). On constate `a nouveau que la correspondance L 7! L0,Lest un foncteur de la cat'egorie C dans la cat'egorie des ensembles point'es ; on pose : L0(R) = colimL0,Rn . N(R) Relation avec le groupe de Grothendieck-Witt Soit P un 'el'ement de L0,L. Par d'efinition, P est muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee, `a savoir la restriction de "+L "+L; on peut do* *nc consid'erer sa classe, que l'on note [P ], dans le groupe de Grothendieck-Witt GW +(R) de l'anneau R (ce groupe est 'evoqu'e en 4.5.1, il est g'en'eralement not'e GW (R), le "+" en exposant est l`a pour le distinguer de son "analogue antisym'etrique" qui appara^itra bient^ot et qui sera quant `a lui not'e GW -(* *R)). On note gw +: L0 ! GW + la transformation naturelle induite par les appli- cations L0,L! GW +(R) , P 7! [P ] - [P0]. Proposition 6.2.1.1. Pour tout anneau R contenant 1_2, la transformation naturelle gw + induit une bijection (ss0L0)(R) ~= (ss0GW +)(R) . D'emonstration. Elle tout `a fait semblable `a celle de la proposition 6.1.1. S* *oit L un R-module libre de dimension finie. On note OL le groupe orthogonal de la forme "+L. Le groupe OL L op`ere sur l'ensemble L0,L de fa,con C- naturelle. En passant `a la limite directe sur N(R) on obtient une action du groupe O(R) sur l'ensemble L0(R) (naturelle en R) ; on note respectivement O\L0 et EO \L0 les foncteurs qui associent `a un anneau R les ensembles quotients O(R)\L0(R) et EO (R)\L0(R) (le sous-groupe EO (R) de O(R) est "l'analogue sym'etrique" du sous-groupe ESp (R) de Sp(R)). Il est clair que la transformation naturelle gw + admet la factorisation suivante : L0 ! EO \L0 ! O\L0 ! GW +(R) . On montre que les deux transformations naturelles de droite sont des isomor- phismes fonctoriels (quitte `a remplacer la cat'egorie des anneaux commutatifs 144 par celle des anneaux commutatifs contenant 1_2) ; la proposition en r'esulte car il est `a nouveau 'evident que la transformation naturelle de gauche induit un isomorphisme fonctoriel ss0L0 ~=ss0(EO \K0). Les d'etails sont les m^emes, mutatis mutandis, que ceux de la d'emonstration de 6.1.1, la seule diff'erence qui vaille la peine d'^etre signal'ee est la sui* *vante : le fait que tout module projectif de rang fini est facteur direct dans un module libre de dimension finie est remplac'e par l''enonc'e ci-dessous. Lemme 6.2.1.2. Soit R un anneau contenant 1_2. Soit P un R-module pro- jectif de rang fini muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee * *p. Alors il existe un R-module projectif de rang fini Q muni d'une forme bili- n'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee q et un R-module libre de dimension fini L tel que la somme orthogonale p q est isomorphe `a la forme hyperbolique "+L. D'emonstration. Soit P 0un R-module projectif de rang fini tel que P P 0 est libre ; on pose Q = P * (P 0 P 0*) et q = -p-1 "+P0(la notation "+P0 d'esigne la forme hyperbolique sym'etrique sur P 0 P 0*). Le lemme 4.5.1.9 implique que l'on a un isomorphisme p q ~="+P P0. D'efinition du foncteur L1 Comme nous l'avons d'ej`a dit, on note OL le groupe orthogonal de la forme "+L. On pose On(R) = ORn . On note O ou L1 la limite directe des foncteurs On (observer que la musique est toujours la m^eme : la correspondance L 7! OL est un foncteur d'efini sur la cat'egorie C). Relation avec la K-th'eorie orthogonale On note ko1 : O(R) ! KO 1(R) l'homomorphisme d'ab'elianisation du groupe O(R). La transformation naturelle ko1 induit l`a encore une bijection (ss0L1)(R) ~= (ss0KO 1)(R), au moins si l'on suppose 2 inversible dans R, puisque le sous-groupe d'eriv'e de O(R) est "le sous-groupe 'el'ementaire" EO (R) (voir par exemple [Bs2], nous avons fait allusion `a la d'efinition de EO (R) dans la d'emonstration de la proposition 6.2.1.1). D'efinition des foncteurs Li pour i = 2, 3, 4, 5, 6, 7 La d'efinition de chacun de ces foncteurs fait intervenir des formes bilin'eair* *es ffl-sym'etriques non-d'eg'en'er'ees avec ffl = 1. On passe de la d'efinition d* *e Li `a celle de Li+4 en changeant ffl en -ffl (nous dirons "en changeant la sym'etrie" ou "par changement de sym'etrie"). 145 - Commen,cons par le cas i = 4. Soit L un R-module libre de dimension finie ; on note H-(L) le R-module L L* muni de sa forme antisym'etrique hyperbolique (appel'ee forme symplectique au chapitre 2 o`u H-(L) est sim- plement not'e H(L)) ; cette forme sera not'ee "-L. On note L4,Ll'ensemble des sous-modules P de H-(L) H-(L) telle que la restriction `a P de la somme orthogonale "-L "-Lest non-d'eg'en'er'ee (L4,Lpeut ^etre 'egalement d'efini en * *ter- mes de projecteurs auto-adjoints) et on choisit H-(L) 0 comme point base de L4,L. L'ensemble point'e L4(R) est la limite directe sur N(R) des L4,Rn. On dispose `a nouveau d'une transformation naturelle gw - : L4 ! GW -, GW -(R) d'esignant le groupe de Grothendieck-Witt d'efini en termes de modules projectifs de type fini munis de formes bilin'eaires antisym'etriques non-d'eg'en'er'ees. - Le foncteur L5 est le foncteur qui associe `a un anneau (commutatif) R le groupe sympectique infini Sp(R). Comme nous l'avons d'ej`a dit, les foncteurs L6 et L7 sont respectivement les foncteurs L et F introduits au paragraphe 4.1. Rappelons que LL est l'ensemble des lagrangiens de H-(L) (point'e par L) et que FL est l'ensemble des formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees sur L L* (point'e par "* *+L). Appliquons le "principe de changement de sym'etrie" : - Le foncteur L2 est la limite directe sur N(R) du foncteur qui associe `a un R-module libre de dimension finie L l'ensemble des lagrangiens de H+(L) (point'e par L). - Le foncteur L3 est la limite directe sur N(R) du foncteur qui associe `a un R-module libre de dimension finie L l'ensemble des formes bilin'eaires anti- sym'etriques non-d'eg'en'er'ees sur L L* (point'e par la forme hyperbolique). Foncteurs en groupes ab'eliens attach'es aux foncteurs Li A chaque foncteur Li, i 2 Z=8, est attach'e un foncteur (toujours d'efini sur la cat'egorie des anneaux commutatifs) en groupes ab'eliens Ai, ainsi qu'une transformation naturelle ai : Li ! Ai qui induit, pour tout anneau (commu- tatif) R, une bijection (ss0Li)(R) ! (ss0Ai)(R) (Proposition 6.2.1.5 ci-apr`es). 146 En voici la liste : L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 | | | | | | | | gw + | ko1| u+ | v- | gw - | ksp | u- | v+| | | | | | 1| | | |? |? |? |? |? |? |? |? GW + KO 1 U+ V- GW - KSp 1 U- V+ . - Le groupe V+(R) est le groupe V(R) introduit en 4.5.1 ; la transformation naturelle v+ est induite par les applications FL ! V(R) , q 7! [L L*; "+L, q * *]. Le groupe V-(R) et la transformation naturelle v- sont d'efinis "en changeant la sym'etrie". Les groupes U (R) ont eux aussi 'et'e introduits par Karoubi ([Ka2], I, Ap- pendice 3). - Rappelons par exemple la d'efinition de U-(R). On consid`ere les triplets (E; 0, 1) avec E un R-module libre de dimension finie muni d'une forme bilin'eaire antisym'etrique non-d'eg'en'er'ee et 0, 1 deux lagrangiens de E. Le groupe U-(R) est le quotient du groupe ab'elien libre engendr'e par les classes d'isomorphismes de tels triplets, disons [E; 0, 1], par les relations ci-dessous : [E; 0, 1] + [E0; 00, 01] = [E E0; 0 00, 1 01] ; [E; 0, 1] + [E; 1, 2] = [E; 0, 2] . La transformation naturelle u- : L6 ! U- est obtenue en associant `a un lagrangien de H-(L) la classe dans U-(R) du triplet (H-(L); L, ). - Le groupe U+(R) et la transformation naturelle u+ : L2 ! U+ sont d'efinis "en changeant la sym'etrie". Le groupe V(R) introduit en 4.5.1 a 'et'e d'efini en termes de R-modules li- bres de dimension finie muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non- d'eg'en'er'ees. Si l'on remplace dans cette d'efinition les modules libres de * *di- mension finie par des modules projectifs de rang fini, on obtient a priori un nouveau groupe, disons Vproj(R). Pareillement, si l'on remplace dans la d'efinition du groupe U-(R) l'hypoth`ese "E libre de dimension finie" par "E projectif de rang fini", on obtient a priori un nouveau groupe, disons U-,proj(R). La proposition ci-dessous dit que ces g'en'eralisations sont en 147 fait illusoires ; cependant, il sera commode par la suite de disposer des d'efinitions "projectives" des groupes V(R) et U-(R) (originalement adopt'ees par Karoubi). Proposition 6.2.1.3. Pour tout anneau R, les homomorphismes naturels V(R) ! Vproj(R) , U-,proj(R) sont des isomorphismes. D'emonstration. On traite seulement le cas du groupe V(R) ; l'autre cas se traite de mani`ere analogue. On constate pour commencer que le lemme 6.2.1.2 admet le scholie suivant : Scholie 6.2.1.4. Soit P un R-module projectif de rang fini muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee p. Alors il existe un R-module projec* *tif de rang fini Q muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee q tel que le R-module P Q est libre (de dimension finie). (Le lecteur attentif aura observ'e que l'hypoth`ese "R contient 1_2" n'est plus n'ecessaire dans ce scholie). Soit maintenant i : V(R) ! Vproj(R) l'homomorphisme naturel dont il est question dans l''enonc'e 6.2.1.3. On d'efinit un homomorphisme naturel, disons r : Vproj(R) ! V(R), de la fa,con suivante. Soit (P ; p0, p1) un R- module projectif de rang fini muni de deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees. Soit (Q; q) un R-module projectif de rang fini muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee tel que le R-module P Q est libre. On constate tout d'abord que la classe du triplet (P Q; p0 q, p1 q) dans V(R) est ind'ependante du choix de (Q; q). En effet, soit (Q0; q0) un autre choix, on a [P Q0; p0 q0, p1 q0] - [P Q; p0 q, p1 q] = [P Q0 P Q; p0 q0 p1 q, p1 q0 p0 q] ; il n'est pas difficile de se convaincre de ce que le second membre est nul en invoquant la proposition 4.5.1.6 : les deux formes bilin'eaires sym'etriques du second membre sont isomorphes par un isomorphisme "'el'ementaire". On constate ensuite que l'application (P ; p0, p1) 7! [P Q; p0 q, p1 q] passe au quotient pour donner l'homomorphisme promis r : Vproj(R) ! V(R). On constate enfin que les deux compos'es r O i et i O r sont l'identit'e. 148 Proposition 6.2.1.5. Pour tout anneau R contenant 1_2, les transformations naturelles ai : Li ! Ai induisent des bijections (ss0Li)(R) ~=(ss0Ai)(R) . D'emonstration. Les cas i = 0 et i = 1 ont d'ej`a 'et'e trait'es. En fait la st* *ructure de l'argument est la m^eme dans les deux cas. Insistons lourdement. Posons A0i(R) = EO (R)\Li(R), i = 0, 1 ; nous avons observ'e que la transformation OE naturelle ai admettait une factorisation de la forme Li ~ai-!A0i-!Ai, constat'e que ~aiinduisait un isomorphisme fonctoriel ss0Li ~=ss0A0iet v'erifi'e (dans le OE cas i=1 en consultant la litt'erature) que l'application A0i(R) -! Ai(R) est une bijection pour tout anneau R contenant 1_2. On proc`ede de la m^eme fa,con dans les six autres cas. Nous traitons en d'etails ci-apr`es les cas i = 7 et i = 6 ; les cas i = 4, 5, 3 sont trait'es "par changement de sym'etrie". Cas i = 7. On prend pour A07le foncteur F=EGL 'etudi'e en 4.5.2 sous le nom de V0. On a montr'e alors (Proposition 4.5.2.2) que v+ admettait une OE factorisation de la forme F(R) -! F(R)=EGL (R) -! V(R) et que OE 'etait une bijection pour tout anneau R contenant 1_2. Cas i = 6. On prend pour A06le foncteur ESp \L . La d'efinition de ce dernier est sans surprises : soit L un R-module libre de dimension finie, alors le groupe Sp L op`ere sur l'ensemble LL de fa,con C-naturelle. La proposition 6.2.1.8 ci-apr`es, tr`es semblable `a la proposition 4.5.2.2, dit que la transf* *or- OE - mation naturelle u- admet une factorisation de la forme L -! ESp \L -! U et que la transformation naturelle OE est un isomorphisme fonctoriel. Avant d'en arriver `a la proposition 6.2.1.8, nous introduisons une terminolo- gie et deux d'efinitions (qui nous seront utiles par ailleurs), et 'enon,cons d* *eux lemmes (le second est ad hoc, le premier sera 'egalement invoqu'e plus tard). Terminologie. Soit M un module muni d'une forme bilin'eaire ffl-sym'etrique ; nous appelons isom'etrie de M un automorphisme de ce module qui pr'eserve la forme bilin'eaire. Cette terminologie est assez raisonnable dans le cas ffl * *= 1, beaucoup moins dans le cas ffl = -1, mais nous n'avons pas trouv'e mieux ! D'eterminant d'un automorphisme (d'un module projectif de rang fini). Nous rappelons bri`evement la d'efinition de cette notion (la d'efinition dans le cas particulier d'un automorphisme d'un module libre de dimension finie a d'ej`a 149 'et'e rappel'ee en 4.5.1). Soient P un R-module projectif de rang fini et OE un automorphisme de P . Soient Q un R-module projectif de rang fini et n un entier tels que P Q est isomorphe `a Rn ; le D'eterminant de OE (ob- server que le D est majuscule), not'e D'etOE, est l'image de OE idQ par le compos'e d'un isomorphisme du groupe GL P Q sur le groupe GL n(R), induit par un isomorphisme de P Q sur Rn, et des homomorphismes canoniques GL n(R) ! GL (R) et GL (R) ! K1(R). D'eterminant d'une isom'etrie (d'un module projectif de rang fini muni d'une forme ffl-sym'etrique non-d'eg'en'er'ee). Nous rappelons bri`evement la d'efin* *ition de cette notion en nous limitant au cas antisym'etrique. Soient P un R- module projectif de rang fini muni d'une forme bilin'eaire antisym'etrique non-d'eg'en'er'ee et une isom'etrie de P . Soient Q un R-module projectif de rang fini muni d'une forme bilin'eaire antisym'etrique non-d'eg'en'er'ee et* * n un entier tels que la somme orthogonale P Q est isomorphe `a H-(Rn) (la "version antisym'etrique" de 6.2.1.2 affirme l'existence d'un tel Q) ; le D'eterminant de , encore not'e D'et , est cette fois l'image de idQ par le compos'e d'un isomomorphisme du groupe des isom'etries de P Q sur le groupe Sp n(R), induit par une isom'etrie de P Q sur H-(Rn), et des homomorphismes canoniques Spn(R) ! Sp(R) et Sp(R) ! KSp 1(R). La d'emonstration du lemme suivant est laiss'ee en exercice au lecteur : Lemme 6.2.1.6. Soient P un R-module projectif de rang fini muni d'une forme bilin'eaire antisym'etrique non-d'eg'en'er'ee et une isom'etrie de P .* * On suppose que P poss`ede un lagrangien qui est invariant par ; on note OE l'automorphisme de induit par . Alors on a l''egalit'e : D'et = H (D'etOE) , H d'esignant ci-dessus l'homomorphisme de K1(R) dans KSp 1(R) induit par l'homomorphisme symplectique de GL (R) dans Sp (R). En particulier si induit l'identit'e de alors D'et est trivial. Le lemme 6.2.1.7 ci-dessous, qui est le pendant du lemme 4.5.2.1, sera im- plicitement utilis'e `a plusieurs reprises ci-apr`es ; il s'agit encore d'une * *variante de la proposition 4.1.1 (d'emonstration comprise). On pose U0-(R) = ESp (R)\L(R). 150 Lemme 6.2.1.7. Soient L un R-module libre de dimension n et b un iso- morphisme de Rn sur L. Alors la compos'ee de l'application de LL dans Ln(R) induite par b, et des applications canoniques de Ln(R) dans L(R) et de L(R) dans U0-(R), est ind'ependante du choix de b. Ce lemme a notamment les cons'equences suivantes : - La somme orthogonale fait de U0-(R) un mono"ide ab'elien dont l''el'ement neutre est la classe du point base de L(R). - On l''egalit'e U0-(R) = (ESp (R).GL (R))\L(R) et l'action de Sp(R) sur L(R) induit une action de -W1(R) sur U0-(R). Cette action est fid`ele. En effet le lemme 6.2.1.6 implique que le sous-groupe d'isotropie, pour l'action de Sp(R), de tout point de L(R), est contenu dans ESp(R).GL (R). [On rappelle que l'on identifie GL (R) `a un sous-groupe de Sp(R) via l'homomor* *phisme hyperbolique et que le sous-ensemble ESp(R).GL (R) de Sp(R) constitu'e des prod* *uits d''el'ements de ESp(R) et de GL(R) est un sous-groupe distingu'e ; le groupe -W* *1(R) est le quotient Sp(R)=(ESp (R).GL (R)), il s'identifie au conoyau de H : K1(R) ! KSp1(* *R) (en particulier il est ab'elien).] Voici enfin la proposition annonc'ee : Proposition 6.2.1.8. (a) Les applications LL ! U-(R) , 7! [H-(L); L, ] induisent un homomorphisme de mono"ides, disons OE, de U0-(R) dans U-(R). (b) Le mono"ide U0-(R) est un groupe. (c) L'homomorphisme OE : U0-(R) ! U-(R) est un isomorphisme de groupes. D'emonstration. La v'erification du point (a) est tr`es semblable `a celle du point (a) de 4.5.2.2. On remarque que l'application SpL ! U-(R) , a 7! [H-(L); , a . ] est un homomorphisme de groupes ; puisque le groupe U-(R) est ab'elien cet homomorphisme est nul sur le sous-groupe d'eriv'e de SpL . 151 Point (b). On peut se convaincre de ce que U0-(R) est un groupe de bien des fa,cons. En voici une qui a l'avantage d'exhiber l'oppos'e d'un 'el'ement. Soit L un R-module libre de dimension finie. On note s l'automorphisme (x, ,) 7! (-x, ,) du R-module H-(L) = L L* ; on constate que s est une "anti-isom'etrie" de H-(L), en clair que l'on a s* O "-LO s = -"-L. Soient et deux lagrangiens de H-(L), transverses l'un `a l'autre ; on va voir que la somme dans le mono"ide ab'elien U0-(R) des classes de et s( ) est l''el'ement neutre. On commence par montrer que cette somme, dis- ons !( , ), est ind'ependante du choix de et . L''el'ement !( , ) de U0-(R) est repr'esent'e, via l'isomorphisme H-(L) H-(L) ~= H-(L L), par le lagrangien __s( ) de H-(L) H-(L) "somme directe externe" de et s( ) : __s( ) = ( 0) (0 s( )). On constate que __s( ) est transverse au graphe de s, disons , qui est 'egalement un lagrangien de H-(L) H-(L). Soit ( 0, 0) un autre couple de lagrangiens de H-(L) trans- verses l'un `a l'autre ; ce qui pr'ec`ede montre qu'il existe un isom'etrie a de H-(L) H-(L) qui est l'identit'e sur et qui envoie __s( ) sur 0__s( 0) (invoquer par exemple le point (b) de 2.1.5). Comme le D'eterminant dans KSp 1(R) de l'isom'etrie a est trivial (invoquer par exemple le lemme 6.2.1.6), on a bien !( , ) = !( 0, 0). On montre enfin !( , ) = 0 en prenant ( 0, 0) = (L, L*) et en observant que la classe de L* dans U0-(R) est nulle (invoquer s'il le faut la proposition 2.1.3 et le fait qu'il existe des formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees sur L) Avant de passer au point (c), quelques observations : Soit E un R-module libre de dimension finie muni d'une forme bilin'eaire an- tisym'etrique non-d'eg'en'er'ee. Soient et deux lagrangiens de E transverses l'un `a l'autre : E = . Alors il existe une unique isom'etrie de E sur H-( ) induisant l'identit'e de et envoyant sur * (invoquer `a nouveau le point (b) de 2.1.5). On note a( , ) cette isom'etrie. On note A( , ) la compos'ee des isom'etries suivantes : a( , ) a( , )- - - - E E ---------! H ( ) H ( ) ~=H ( ) = H (E) (les trois premiers symboles ci-dessus d'esigne la somme orthogonale et `a l'extr`eme droite E n'est plus qu'un R-module) et __ le lagrangien de E E somme directe externe de et (d'efini comme ci-dessus). On constate que l'on a tout fait pour que l'image du lagrangien __ par l'isom'etrie A( , ) soit le lagrangien E de H-(E). 152 Ces observations faites, on v'erifie le point (b) de la proposition. Soient 0, 1 deux lagrangiens de E ; soit 0 un lagrangien de E transverse `a 0. On a dans U-(R) la suite d''egalit'es suivantes : [E; 0, 1] = [E E; 0 __ 0, 1 __ 0] = [H-(E); A( 0, 0)( 0 __ 0), A( 0, 0)( 1 __ 0)] = [H-(E); E, A( 0, 0)( 1 __ 0)] . Ceci montre d'ej`a que l'homomorphisme OE : U0-(R) ! U-(R) est surjectif. En fait nous avons mieux : (1) La classe dans U0-(R) du lagrangien A( 0, 0)( 1 __ 0) de H-(E), disons ffi(E; 0, 1; 0), ne d'epend pas du choix de 0. (2) L'application (E; 0, 1) 7! ffi(E; 0, 1; 0) induit un homomorphisme de mono"ides ab'eliens, disons ffi : U-(R) ! U0-(R), qui est l'inverse de OE. Nous justifions ces deux affirmations ci-apr`es. On commence par faire les trois constatations suivantes : (3) Pour tout couple ( , ) de lagrangiens de E transverses l'un `a l'autre, on a ffi(E; , ; ) = 0. (4) L'application (E; 0, 1; 0) 7! ffi(E; 0, 1; 0) pr'eserve la som* *me orthogonale. En clair : soit (E0; 00, 01; 00) un quadruplet du m^eme type que (E; 0, 1; 0), alors on a dans U0-(R) l''egalit'e ffi(E E0; 0 00, 0 00; 0 00) = ffi(E; 0, 1; 0) + ffi(E0; 00, 01; 00)) * * . (5) Soient 0, 1, 2 trois lagrangiens de E ; soit 0, 1 deux lagrangiens de E respectivement transverses `a 0 et 1. Alors on a dans U0-(R) l''egalit'e suivante ffi(E; 0, 2; 0) + ffi(E; 1, 1; 1) = a . (ffi(E; 0, 1; 0) + ffi(E; 1, 2; 1)) , a d'esignant l'image dans -W1(R) du D'eterminant (appartenant `a KSp 1(R)) de l'isom'etrie de E E E E "qui 'echange les premier et troisi`eme facteurs" et la notation - . - d'esignant au second membre l'action de -W1(R) sur U0-(R) 'evoqu'ee plus haut. 153 Comme cette action est fid`ele, on voit en faisant 0 = 1 = 2 et en utilisant (3) que a est nul. Compte tenu de (3), on a donc : (6) ffi(E; 0, 2; 0) = ffi(E; 0, 1; 0) + ffi(E; 1, 2; 1) * * . En faisant 0 = 1 dans (6) et en utilisant (3) on justifie l'affirmation (1). On peut donc poser ffi(E; 0, 2; 0) = ffi(E; 0, 2) ; (4) et (6) montrent al* *ors que l'application (E; 0, 1) 7! ffi(E; 0, 1) induit bien un homomorphisme de mono"ides ab'eliens ffi : U-(R) ! U0-(R). On ach`eve maintenant de justifier (2). On a tout fait pour que l'application compos'ee OE O ffi soit l'identit'e ; on s'int'eresse donc `a l'application com* *pos'ee ffi OOE. Soient L un R-module de dimension finie et un lagrangien de H-(L) ; on note x la classe de dans U0-(R). L''el'ement (ffi O OE)(x) de U0-(R) est repr'esent'e par le lagrangien A(L, L*)( __L*) de H-(L L*), disons . Soit le lagrangien de H-(L L*) image du lagrangien L* via l'isomorphisme H-(L) H-(L*) ~=H-(L L*) ; la classe de dans U0-(R) est x. On constate qu'il existe un isom'etrie de H-(L L*), disons B, ind'ependante de , telle que l'on a = B( ) ; on a donc (ffi O OE)(x) = b . x, b d'esignant l'image dans -W1(R) du D'eterminant de B. On conclut comme pr'ec'edemment : on voit que b est nul en prenant = L. Remarque. Le corollaire 6.2.1.9 ci-dessous est `a comparer aux 'enonc'es 4.5.2.6 et 4.5.2.5 ; la partie de l''enonc'e 6.2.1.9 concernant la seconde tran* *s- formation naturelle peut ^etre vue comme une g'en'eralisation du point (c) de la proposition 3.1. Corollaire 6.2.1.9. Pour tout anneau r'egulier R, contenant 1_2, les trans- formations naturelles u- : L ! U- et L ! ESp \L induisent des bijections (ss0L)(R) ~=U-(R) , (ss0L)(R) ~=ESp (R)\L(R) . D'emonstration. Les hypoth`eses faites sur R garantissent que cet anneau est U--rigide (pour s'en convaincre le lecteur est invit'e `a se reporter `a 6.2.3.* *1), en d'autres termes que la surjection canonique U-(R) ! (ss0U-)(R) est une bijection. 154 R'ecapitulation Nous avons vu lors de la d'emonstration de la proposition 6.2.1.5 que les huit transformations naturelles ai : Li ! Ai admettent des factorisations de la forme suivante : L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 # # # # # # # # EO \L0 EO \L1 EO \L2 L3=EGL ESp\L4 ESp\L5 ESp \L6 L7=EGL # # # # # # # # GW + KO1 U+ V- GW - KSp1 U- V+ (en r'ealit'e, nous avons seulement trait'e des cas i = 0, 1, 7, 6, comme d'hab* *i- tude les autres cas sont trait'es "par changement de sym'etrie") et que dans ce diagramme les huit transformations naturelles du bas sont des isomorphismes fonctoriels (quitte `a remplacer, pour certaines valeurs de i, la cat'egorie des anneaux commutatifs par celle des anneaux commutatifs contenant 1_2). Le lecteur a d^u d'ej`a devin'e la g'en'eralisation des 'enonc'es 4.5.2.5-6 et * *6.2.1.9 : Pour tout anneau r'egulier R contenant 1_2, on a des isomorphismes (ss0Li)(R) ~= A0i(R) ~=Ai(R) (la liste des foncteurs A0iest la ligne du milieu du diagramme ci-dessus). 6.2.2. Relation entre Li+1 et SLi pour i 0 (mod 2) Relation entre L1 et SL0 On dispose d'une transformation C-naturelle ("S-lacet typique") `L : L1,L! SL0,L dont la d'efinition est d'etaill'ee ci-apr'es. Soit a un automorphisme de "+L. On consid`ere les deux automorphismes suivants de "+L "+L: " # " # a 0 1 0 , 0 1 0 a (matrices de type (H+(L), H+(L)) x (H+(L), H+(L))) et l'on fait les observa- tions suivantes : - Ces deux automorphismes fixent le point base de L0,L: " # " # a 0 + + 1 0 + + .(H (L) 0) = H (L) 0 , .(H (L) 0) = H (L) 0 . 0 1 0 a 155 " # " # " # 1 0 a 0 -1 0 -1 - On a = J J avec J = . 0 a 0 1 1 0 - Soient O2Lle groupe orthogonal de "+L "+Let h : GL"L L ! O2Lle#compos'e de u 0 l'homomorphisme hyperbolique GL L L ! OL L , u 7! *-1 (matrice 0 u de type (L L, (L L)*)x(L L, (L L)*)) et de l'isomorphisme OL L ~= O2L induit par l'isomorphisme"canonique#"+L L~= "+L "+L. On constate que l'on 0 -1 a J = h(j) avec j = (matrice de type (L, L) x (L, L)). 1 0 " #" # " # 1 0 1 -1 1 0 - On a j = . 1 1 0 1 1 1 On obtient donc un 'el'ement `L(a) de SL0,Len posant " # a 0 -1 + `L(a)(T ) = h(j(T )) h(j(T )) . (H (L) 0) 0 1 (voir les excuses pr'esent'ees juste avant la d'efinition de la transformation naturelle ` : K1 ! SK0) avec comme pr'ec'edemment " #" # " # 1 0 1 -T 1 0 j(T ) = . T 1 0 1 T 1 Les transformations naturelles `L induisent par passage `a la limite directe sur N(R) une transformation naturelle ` : L1 ! SL0 . Th'eor`eme 6.2.2.1. Pour tout anneau r'egulier R, contenant 1_2, la transfor- mation naturelle ` induit une bijection (ss0L1)(R) ~= (ss0 SL0)(R) . D'emonstration. Elle s'articule autour des lemmes 6.2.2.2 et 6.2.2.3 ci-apr`es (le lecteur obervera que le lemme 6.2.2.2 et de la m^eme veine que le lemme 3.2). 156 Lemme 6.2.2.2. Soient L un R-module libre de dimension finie et ff un 'el'ement de L0,L(R[T ]) avec ff(0) = H+(L) 0. Si l'anneau R est r'egulier et contient 1_2alors il existe un R-module libre de dimension finie L0 et une isom'etrie de R[T ] R (H+(L L0) H+(L L0)), avec (0) = 1, tels que l'image de ff dans L0,L L0(R[T ]) est . (H+(L L0) 0). D'emonstration. En clair ff est un sous-module de R[T ] R (H+(L) H+(L)) avec ff(0) = H+(L) 0 tel que la restriction de R[T ] R ("+L "+L) `a ff est non-d'eg'en'er'ee ; pareillement son orthogonal ff? est un sous-module de R[T ] R (H+(L) H+(L)) avec ff? (0) = 0 H+(L) tel que la restriction de R[T ] R ("+L "+L) `a ff? est non-d'eg'en'er'ee. L'hypoth`ese "R est r'egulier et contient 1_2" assure la GW +-rigidit'e de l'* *anneau R. En effet, on a une suite exacte de foncteurs 0 ! I ! GW + ! K0 ! 0 , l'hypoth`ese "R est r'egulier" assure qu'il est K0-rigide et l'hypoth`ese "R c* *on- tient 1_2" qu'il est I-rigide (voir Th'eor`eme 6.2.3.1) ; on pourrait alternat* *ive- ment invoquer la suite exacte K0 ! GW + ! W ! 0. Cette GW +-rigidit'e fait qu'il existe un R-module libre de dimension finie L0 et deux isomorphismes de R[T ]-modules OE : R[T ] R (H+(L) 0 H+(L0) 0) ! ff R[T ] R (H+(L0) 0) , _ : R[T ] R (0 H+(L) 0 H+(L0)) ! ff? R[T ] R (0 H+(L0)) , pr'eservant les formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees induites p* *ar R[T ] R ("+L "+L "+L0 "+L0). Compte tenu de l''egalit'e ff ff? = R[T ] R (H+(L) H+(L)) la somme directe OE _ s'identifie `a une isom'etrie de R[T ] R (H+(L L0) H+(L L0)) telle que l'image de ff dans L0,L L0(R[T ]) est . (H+(L L0) 0). On ach`eve en rempla,cant s'il le faut (T ) par (T ) O (0)-1. Le lemme ci-dessus permet de d'efinir, sous l'hypoth`ese "R est r'egulier et contient 1_2", une r'etraction naturelle r : (ss0 SL0)(R) ! (ss0L1)(R) de l'application ss0` : 157 Soit ff un S-lacet de L0,Lbas'e en H+(L) 0 ; soit L0 un R-module libre de dimension finie et une isom'etrie de R[T ] R (H+(L L0) H+(L L0)), avec (0) = 1, tels que l'image de ff dans SL0,L L0est . (H+(L L0) 0). La condition (1).(H+(L L0) 0) = H+(L L0) 0 montre que (1) induit une isom'etrie de H+(L L0), disons OE(1). On v'erifie que l'image, disons [OE(1)-* *1], de OE(1)-1 par l'application compos'ee OL L0 ~=ORdim(L L0)! O(R) ! (ss0O)(R) = (ss0L1)(R) , l'isomorphisme ci-dessus 'etant induit par le choix d'un isomorphisme L L0 ~=Rdim(L L0), est ind'ependante des choix faits et ne d'epend que la classe [ff] de ff dans ss0 SL0,L ; on pose rL([ff]) = [OE(1)-1]. Les applications rL : ss0 SL0,L! (ss0L1)(R) induisent une application de (ss0 SL0)(R) dans (ss0L1)(R) que l'on note r. Il est clair que l'on a tout fait pour que la com- position r O ss0` soit l'identit'e. Le lemme ci-dessous entra^ine que l'application r est injective et donc que r et ss0` sont des bijections inverses l'une de l'autre. Lemme 6.2.2.3. Soit L un R-module libre de dimension finie. Soient i, i = 0, 1, deux isom'etries de R[T ] R (H+(L) H+(L), avec i(0) = 1 et i(1) . (H+(L) 0) = H+(L) 0 ; on note ffi, i = 0, 1, les deux S-lacets i. (H+(L) 0) de L0,L(bas'es en H+(L) 0). Si les deux isom'etries de H+(L) induites par 0(1) et 1(1) co"incident alors les images de ff0 et ff1 dans SL0,L L sont homotopes. D'emonstration. Soit U une ind'etermin'ee. Il existe une isom'etrie, disons C(U), de R[U] R (H+(L) H+(L) H+(L) H+(L)) avec 2 3 c1,1(U) 0 0 c1,4(U) 6 0 1 0 0 7 C(U) = 64 0 0 1 0 75 , c4,1(U) 0 0 c4,4(U) 2 3 2 3 1 0 0 0 0 0 0 -1 60 1 0 07 60 1 0 0 7 C(0) = 640 0 1 075 , C(1) = 640 0 1 0 75 0 0 0 1 1 0 0 0 (pour s'en convaincre proc'eder comme lors de la d'efinition du S-lacet typique `L : L1,L! SL0,L). On pose ~ ~ ~ -1 ~ A(T, U) = 1(T0) 01C(U) 1(T )0 0(T )01C(U)-1 . ((H+(L) 0) (H+(L) 0)) * * , 158 les matrices ci-dessus 'etant de type ((H+(L) H+(L)), (H+(L) H+(L))) x ((H+(L) H+(L)), (H+(L) H+(L))). On constate que A(T, U) s'identifie `a une homotopie entre les images dans SL0,L L de ff0 et ff1. En effet on a ~ -1 ~ C(1) 1(T )0 0(T )01C(1)-1.((H+(L) 0) (H+(L) 0)) = (H+(L) 0) (H+(L) 0) pour tous 0 et 1, et ~ -1 ~ ~ -1 ~ C(U) 1(1)0 0(1) 01C(U)-1 = 1(1)0 0(1) 01 sous l'hypoth`ese de l''enonc'e 6.2.2.3. R'ecapitulation Le point (a-0) de l''enonc'e ci-dessous est la reprise de l''enonc'e 6.2.2.1 et* * le point (a-6) est contenu dans l''enonc'e 4.2.10 ; les points (a-4) et (a-2) sont obtenus "par changement de sym'etrie" (d'emonstrations comprises). Th'eor`eme-D'efinition 6.2.2.4. Pour tout anneau r'egulier R, contenant 1_2: (a-0) La transformation naturelle ` : L1 ! SL0 induit une bijection (ss0L1)(R) ~= (ss0 SL0)(R) . (a-4) La transformation naturelle "analogue" ` : L5 ! SL4 induit une bijection (ss0L5)(R) ~= (ss0 SL4)(R) . (a-6) La transformation naturelle ` : L7 ! SL6 induit une bijection (ss0L7)(R) ~= (ss0 SL6)(R) . (a-2) La transformation naturelle "analogue" ` : L3 ! SL2 induit une bijection (ss0L3)(R) ~= (ss0 SL2)(R) . 159 6.2.3. Relation entre Li+1 et Gm Li pour i 1 (mod 2) Notre traitement de ces relations n'ecessite quelques rappels pr'ealables : Rappels sur les homomorphismes hyperboliques et les groupes de Witt Soit i un entier modulo 4. On note i 7! 2 . i l'homomorphisme de Z=4 dans Z=8 induit par la multiplication par 2 de Z dans Z. On dispose pour tout anneau R de huit homomorphismes naturels "hyper- boliques" h2.i: K0(R) ! A2.i(R) , h2.i+1: K0(R) ! A2.i+1(R) d'efinis ci-apr`es. - L'homomorphisme h0 : K0(R) ! GW +(R) associe `a la classe dans K0(R) d'un R-module projectif de rang fini P , la classe dans GW +(R) de H+(P ) (cette notation d'esigne le R-module projectif de rang fini P P *muni de sa forme bilin'eaire sym'etrique hyperbolique). - On passe maintenant `a la d'efinition de h6 . On adopte la "d'efinition pro- jective" du groupe U-(R) (Proposition 6.2.1.3). L'homomorphisme h6 est cette fois l'application [P ] 7! [H-(P ); P, P *]. - Les homomorphismes h4 : K0(R) ! GW -(R) et h2 : K0(R) ! U+(R) sont d'efinis "par changement de sym'etrie". - L'homomorphisme h5 : K1(R) ! KSp 1(R) est l'ab'elianis'e de l'homo- morphisme hyperbolique H : GL (R) ! Sp(R). - L'homomorphisme h7 : K1(R) ! V+(R) est l'homomorphisme not'e en 4.5.1.3. - Les homomorphismes h1 : K1(R) ! KO 1(R) et h3 : K1(R) ! V-(R) sont `a nouveau d'efinis "par changement de sym'etrie". Les groupes de Witt sont les conoyaux des homomorphismes hyperboliques : 160 - On note Wproji(R) le conoyau de l'homomorphisme h2.i. On a donc quatre suites exactes tautologiques : K0(R) --h0-! GW +(R) - --! Wproj0(R)- --! 0 , K0(R) --h2-! U+(R) - --! Wproj1(R)- --! 0 , K0(R) --h4-! GW -(R) - --! Wproj2(R)- --! 0 , K0(R) --h6-! U-(R) - --! Wproj3(R)- --! 0 . - On note Wlibi(R) le conoyau de l'homomorphisme h2.i-1. On a donc quatre suites exactes tautologiques : K1(R) - h0--! KO 1(R) ---! Wlib1(R) ---! 0 , K1(R) - h2--! V-(R) ---! Wlib2(R) ---! 0 , K1(R) - h4--!KSp 1(R) ---! Wlib3(R) ---! 0 , K1(R) - h6--! V+(R) ---! Wlib0(R) ---! 0 . Le lecteur observera que Wlib3(R) est le groupe qui est not'e -W1(R) aux chapitres 1 et 3 et dans l'appendice D, et que le groupe Wlib0(R) est le groupe I(R) qui appara^it en 4.5.1.1 (le group Wlib(R) qui appara^it de fa,con ad hoc apr`es 4.5.1.6 est juste une extension de Z=2 par I(R)). Le groupe Wproj0(R) est quant `a lui le groupe de Witt habituel, habituellement not'e W(R). Th'eor`eme 6.2.3.1. Tout anneau contenant 1_2est Wproji-rigide et Wlibi-rigide, pour i = 0, 1, 2, 3. D'emonstration. Ces rigidit'es sont classiques et d^ues `a Karoubi et Ranicki : - Pour la Wproji-rigidit'e nous conseillons les r'ef'erences post'erieures [Oj1* *] et [Ba]. - La Wlib0-rigidit'e (I-rigidit'e) est, par exemple, cons'equence du th'eor`eme* * 1 de [Oj1]. - La Wlib3-rigidit'e (-W1-rigidit'e) est l'objet de l'appendice D. - Les Wlibi-rigidit'e, i = 1, 2, sont obtenues "par changement de sym'etrie". 161 Relation entre L0 et Gm L7 On commence par exhiber un Gm -lacet typique. Soient L un R-module libre de dimension finie et p un projecteur auto-adjoint (relativement `a "+L "+L) de H+(L) H+(L) (c'est-`a-dire un 'el'ement de L0,L) ; pour all`eger la notation on pose ci-dessous M = H+(L) H+(L) et on note N le R[T, T -1]-module R[T, T -1] R (L L). L'homomorphisme compos'e Tp+(1-p) -1 "+L "+L -1 * R[T, T -1] R M ------! R[T, T ] R M ----! R[T, T ] R M s'identifie `a une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee, disons ~(p)* *, sur N N* ; ~(p) est donc un 'el'ement de L7,N. Soit p0 le point base de L0,L(en clair le projecteur sur H+(L) 0 parall`element `a 0 H+(L)), on constate que l'on a ~(p0) = ~* O "+NO ~, ~ d'esignant l'automorphisme de N N* dont la matrice dans la d'ecomposition N N* = (R[T, T -1] R L) (R[T, T -1] R L) * -1 * (R[T, T -1] R L) (R[T, T ] R L) est la matrice diagonale diag(T, 1, 1, 1). On pose : `L(p) = ~*-1 O ~(p) O ~-1 ; on obtient ainsi une application point'ee_ `L : L0,L! Gm L7,L L C-naturelle en L. Par passage `a la limite directe sur N(R) on obtient finale- ment la transformation naturelle promise : ` : L0 ! Gm L7 . Th'eor`eme 6.2.3.2. Pour tout anneau R, contenant 1_2, la transformation naturelle ` induit une bijection (ss0L0)(R) ~= (ss0 Gm L7)(R) . 162 D'emonstration. On commence par exhiber un homomorphisme ~`: GW +(R) ! ( Gm V)(R) tel que le diagramme suivant gw+ + L0(R) - --! GW (R) ?? ? ?y` ??y~` Gm v+ ( Gm L7)(R) ----! ( Gm V)(R) est commutatif. On adopte la "d'efinition projective" du foncteur V (Proposition 6.2.1.3). Soit P un R-module projectif de rang fini muni d'une forme bilin'eaire sym'e- trique non-d'eg'en'er'ee, disons q. L'homomorphisme ~`associe `a la classe dans GW +(R) de (P ; q) la classe dans V(R[T, T -1]) du triplet (P ; q, T q) (classe qui appartient bien au noyau de l''evaluation en 1, V(R[T, T -1]) ! V(R)). Le seul point un peu subtil dans la v'erification de la commutativit'e du diagramme est le suivant : On a dans ( Gm V)(R) V(R[T, T -1) l''egalit'e ~`([H+(L)]) = h7([~]), [~] d'esignant la classe dans K1(R[T, T -1]) de l'automorphisme ~ du R[T, T -1]- module R[T, T -1] R (L L L* L*), de matrice diag(T, 1, 1, 1), qui intervient "comme terme correctif" dans la d'efinition de `. Arm'e du diagramme commutatif ci-dessus, on reprend maintenant le cours de la d'emonstration du th'eor`eme 6.2.3.2. Comme les applications ss0(gw +) et ss0( Gm v+) sont des bijections (Proposi- tion 6.2.1.5) il suffit de montrer que ss0~`est un isomorphisme. Pour s'en convaincre on consid`ere le diagramme commutatif de groupes ab'eliens suivant, dont les lignes sont exactes : K0(R) - h0--! GW +(R) ---! Wproj0(R) - --! 0 ?? ? ? ?y~` ??y~` ??y~~` Gm h7 ( Gm K1)(R) ----! ( Gm V)(R) ---! ( Gm Wlib0)(R)- --! 0 ; 163 l'homomorphisme ~`: K0(R) ! ( Gm K1)(R) qui appara^it ci-dessus a 'et'e d'efini lors de la d'emonstration du th'eor`eme 6.1.3, l'homomorphisme ~~` est l'homomorphisme induit entre les conoyaux respectifs de h0 et Gm h7. "En passant au ss0", on obtient le diagramme du m^eme type suivant : (ss0K0)(R) -ss0h0--!(ss0GW +)(R) ---! Wproj0(R) - --! 0 ?? ? ? ?yss0~` ??yss0~` ??y~~` Gm h7 (ss0 Gm K1)(R) -ss0----!(ss0 Gm V)(R) ---! ( Gm Wlib0)(R)- --! 0 . Il faut signaler que l'on utilise ici la Wproj0-rigidit'e et la Wlib0-rigidit'e* * des an- neaux contenant 1_2(Th'eor`eme 6.2.3.1). Dans ce diagramme les deux fl`eches verticales de gauche et de droite sont des isomorphismes. Pour la premi`ere il s'agit d'un avatar du th'eor`eme 6.1.3. Pour la seconde on peut invoquer [Ka3, Th'eor`eme 3.9] ; il s'agit aussi d'un avatar du th'eor`eme 4.1 de [Ra3] ou du th'eor`eme 5.1 de [OP]. Ceci montre que l'homomorphisme ss0~`: (ss0GW +)(R) ! (ss0 Gm V)(R) est surjectif. On montre qu'il est injectif en en exhibant une r'etraction. Cette r'etraction est induite par un "homomorphisme r'esidu", r : V(R[T, T -1]) ! GW +(R), dont la d'efinition, d'etaill'ee ci-apr`es, suit de tr`es pr`es [OP] (et [Sw]). D'efinition du r'esidu r : V(R[T, T -1]) ! GW +(R) Soit L un R-module libre de type fini. On pose : L[T, T -1] = R[T, T -1] R L , L[T ] = R[T ] R L . Soit ff une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee sur le R[T, T -1]-m* *odule L[T, T -1] ; on observera que cette forme peut ^etre identifi'ee `a un isomor- phisme de R[T, T -1]-modules ff : L[T, T -1] ! L*[T, T -1]. On suppose tout d'abord que l'on a ff(L[T ]) L*[T ]. On note dans ce cas C(ff) le conoyau de l'homomorphisme de R[T ]-module, de L[T ] dans L*[T ], induit par ff : C(ff) := coker( L[T ] -ff!L*[T ] ) ; d'apr`es [Sw, Lemma 16.7] le R[T ]-module C(ff) est un R-module projectif de rang fini. Cet R-module est muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique non- d'eg'en'er'ee, induite par l'application compos'ee suivante : -1 -1 ae L*[T ] x L*[T ] L*[T, T -1] x L*[T, T -1] ff-!R[T, T ] -! R , 164 ae d'esignant l'homomorphisme qui associe `a tout polyn^ome de Laurent le coefficient de T -1(ci-dessus ff-1 est consid'er'ee comme une forme bilin'eaire sym'etrique sur L*[T, T -1]). On revient au cas g'en'eral. Il est clair qu'il existe toujours un entier d tel que l'on a (T 2dff)(L[T ]) L*[T ] ; on constate, en faisant OE = T 2dff et _ = T iddans le lemme 6.2.3.3 ci-apr`es, que l''el'ement [C(T 2dff)] - d [H+(L)] de GW +(R) ne d'epend pas de l'entier d, mais seulement de la forme ff (on rappelle que la notation H+(L) d'esigne le module L L* muni de sa forme bilin'eaire sym'etrique hyperbolique canonique). Cette diff'erence est le r'esi* *du d'Ojanguren-Panin [OP]. Soient maintenant ff0 et ff1 deux formes bilin'eaires sym'etriques non-d'e- g'en'er'ees sur le R[T, T -1]-module L[T, T -1] et d un entier tel que l'on a (T 2dffi)(L[T ]) L*[T ] pour i = 0, 1. D'apr`es ce qui pr'ec`ede l''el'e* *ment [C(T 2dff1)] - [C(T 2dff0)] de GW +(R) ne d'epend pas de l'entier d, mais seul* *e- ment des formes ff0 et ff1 ; on constate en fait qu'il ne d'epend que de la cla* *sse [ff0, ff1] dans le groupe V(R[T, T -1]). On d'efinit l'homomorphisme r par la formule : r ([ff0, ff1]) = [C(T 2dff1)] - [C(T 2dff0)] . On en vient enfin au lemme promis ci-dessus. Soient L et L0deux R-modules libres de m^eme dimension finie ; soit _ un isomorphisme de R[T, T -1]- modules de L[T, T -1] sur L0[T, T -1], avec _(L[T ]) L0[T ]. On note encore C(_) le conoyau de l'homomorphisme de R[T ]-modules de L[T ] dans L0[T ] induit par _ ; toujours d'apr`es [Sw, Lemma 16.7] le R[T ]-module C(_) est un R-module projectif de rang fini. Lemme 6.2.3.3. Soit L un R-module libre de dimension finie. Soient OE une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee sur le R[T, T -1]-module L[T, T* * -1] avec OE(L[T ]) L*[T ] et _ un automorphisme de cet R[T, T -1]-module avec _(L[T ]) L[T ]. Alors on a un isomorphisme de R-modules munis de formes bilin'eaires sym'etriques : C(_*OE_) C(OE) H+(C(_)) . D'emonstration. La factorisation _*OE_ = (_*OE) O _ fournit une suite exacte canonique de R[T ]-modules et a fortiori de R-modules : _*OE * * 0 ---! C(_) ---! C(_ OE_) ---! C(_ OE) ---! 0 ; 165 on identifie C(_) `a un sous-module de C(_*OE_) via _*OE. On fait alors les constatations suivantes : - La restriction `a C(_) de la forme bilin'eaire sym'etrique dont est muni C(_*OE_) est nulle. En d'autres termes, C(_) est contenu dans son orthogonal : C(_) C(_) ?. - Le quotient C(_) ?=C(_), muni de la forme bilin'eaire induite par celle de C(_*OE_), est isom'etrique `a C(OE). - Le R-module C(_) est facteur direct dans C(_) ?. - Le R-module C(_) ? est facteur direct dans C(_*OE_) (observer que la suite exacte de R-modules ci-dessus est scindable si bien que l'homo- morphisme de R-modules C(_*OE_) ! (C(_))*, dont C(_) ? est le noyau, est surjectif). Soit P un suppl'ementaire de C(_) dans C(_) ?. Par construction P , muni de la forme bilin'eaire restriction de celle de C(_*OE_), est isom'etrique `a C(OE* *) ; on a donc une d'ecomposition en somme orthogonale C(_*OE_) = P P ?. Par construction encore C(_) est un lagrangien de P ? ; puisque 2 est inversible P ? est isom'etrique `a H+(C(_)). Il nous reste enfin `a v'erifier que le r'esidu r que nous venons de d'efinir induit bien une r'etraction (ss0 Gm V)(R) ! (ss0GW +)(R) de l'application ss0~`: (ss0GW +)(R) ! (ss0 Gm V)(R). Ceci r'esulte de la constatation ci-apr`e* *s. Soient (P ; p) et (Q, q) deux R-modules projectifs de rang fini muni de formes bilin'eaires sym'etriques non-d'eg'en'er'ees, avec P Q libre. On pose L = P Q et ff = T p + q. On peut voir ff comme une forme bilin'eaire sym'etrique non- d'eg'en'er'ee sur L[T, T -1] ; on a ff(L[T ]) L[T ] si bien que C(ff) est d'e* *fini. On constate que l'on a un isomorphisme canonique C(ff) ~=(P ; p). Relation entre L6 et Gm L5 Pour d'efinir un Gm -lacet typique, il convient dans ce paragraphe d'introduire un foncteur Le6qui est `a L6 ce qu'est eK0qui est `a K0 (voir 6.1). Soit L un R-module libre de dimension finie. On note Le6,Ll'ensemble des couples ( , ) de lagrangiens de H-(L) transverses l'un `a l'autre (c'est-`a- dire tels que l'on a H-(L) = ) ; on choisit comme point base de cet 166 ensemble le couple (L, L*). On peut voir 'egalement Le6,Lcomme l'ensemble des projecteurs p du R-module H-(L) qui satisfont l''equation p] = 1 - p, p] d'esignant l'adjoint de p par rapport `a la forme "-L(en clair p] = ("-L)-1Op*O* *"-L, "-L'etant consid'er'ee comme un homomorphisme de H-(L) dans son dual) point'e par le projecteur sur L parall`element `a L*, disons p0. Il est clair que la correspondance L 7! Le6,Lest un foncteur d'efini sur la cat'egorie C et `a valeur dans la cat'egorie des ensembles point'es. On pose comme d'habitude Le6(R) = colimN(R)Le6,Rn. On observera que la transfor- mation naturelle de eL6dans L6 qui associe `a un projecteur son image induit un isomorphisme fonctoriel ss0Le6~= ss0L6. On d'efinit la transformation naturelle "lacet typique" ` : eL6! Gm L5 en associant `a un projecteur p de H-(L) v'erifiant p] = 1 - p l'automorphisme (T p + 1 - p) O (T p0 + 1 - p0)-1 de la forme "-R[T,T-1] RLet en passant `a limite directe sur N(R) (comparer avec 6.1). Th'eor`eme 6.2.3.4. Pour tout anneau R, contenant 1_2, la transformation naturelle ` induit une bijection (ss0Le6)(R) ~= (ss0 Gm L5)(R) ou encore une bijection (ss0L6)(R) ~= (ss0 Gm L5)(R) . D'emonstration. La structure de cette d'emonstration est la m^eme que celle du th'eor`eme 6.2.3.2. On commence par exhiber un homomorphisme ~`: U-(R) ! ( Gm KSp 1)(R) 167 tel que le diagramme suivant eL6(R) -eu---! U-(R) ?? ? ?y` ??y~` Gm ksp1 G ( Gm L5)(R) -----! ( m KSp 1)(R) dans lequel eu-d'esigne la compos'ee de u- et de la transformation naturelle eL6(R) ! L6(R), est commutatif. Soit E un R-module libre de dimension finie muni d'une forme bilin'eaire antisym'etrique non-d'eg'en'er'ee ; soient 0 et 1 deux lagrangiens de E. On choisit tout d'abord deux lagrangiens 0 et 1 respectivement transverses `a 0 et 1, ou, ce qui revient au m^eme, deux projecteurs p0 et p1, v'erifiant p]0= 1 - p0 et p]1= 1 - p1, d'images respectives 0 et 1 (la notation ( )] d'esigne l'adjoint par rapport `a la forme dont E est muni). On consid`ere ensuite l'isom'etrie suivante de R[T, T -1] R E := (T p1 + 1 - p1) O (T p0 + 1 - p0)-1 . On consid`ere enfin le D'eterminant D'et de l'isom'etrie dans le groupe KSp 1(R[T, T -1]) (la d'efinition de ce D'eterminant est rappel'ee avant l''eno* *nc'e 6.2.1.6) ; comme (1) est l'identit'e, D'et appartient au sous-groupe ( Gm KSp 1)(R). Le lemme 6.2.1.6 (en fait la derni`ere phrase de son 'enonc'e) implique que D'et est ind'ependant du choix de p0 et p1. Il n'est pas difficile non plus de se convaincre de ce que D'et ne d'epend que de la classe [E; 0, 1] de (E; 0, 1) dans U-(R). L'homomorphisme promis ~`: U-(R) ! ( Gm KSp 1)(R) est l'application [E; 0, 1] 7! D'et . Arm'e du diagramme commutatif ci-dessus, on reprend maintenant le cours de la d'emonstration du th'eor`eme 6.2.3.4. Comme les applications ss0(eu-) et ss0( Gm ksp1) sont des bijections (Proposi- tion 6.2.1.5) il suffit de montrer que ss0~`est un isomorphisme. Pour s'en convaincre on consid`ere le diagramme commutatif de groupes 168 ab'eliens suivant, dont les lignes sont exactes : K0(R) --h6-! U-(R) - --! Wproj3(R) ---! 0 ?? ? ? ?y~` ??y~` ??y~~` Gm h5 ( Gm K1)(R) ----! ( Gm KSp 1)(R) - --! ( Gm Wlib3)(R)---! 0 ; l'homomorphisme ~`: K0(R) ! ( Gm K1)(R) qui appara^it ci-dessus a 'et'e d'efini lors de la d'emonstration du th'eor`eme 6.1.3, l'homomorphisme ~~` est l'homomorphisme induit entre les conoyaux respectifs de h6 et Gm h5. "En passant au ss0", on obtient le diagramme du m^eme type suivant : (ss0K0)(R) -ss0h6--! (ss0U-)(R) ---! Wproj3(R) ---! 0 ?? ? ? ?yss0~` ??yss0~` ??y~~` Gm h5 (ss0 Gm K1)(R) ss0-----!(ss0 Gm KSp 1)(R)---! ( Gm Wlib3)(R) ---! 0 . On utilise ici la Wproj3-rigidit'e et la Wlib3-rigidit'e des anneaux contenant * *1_2 (Th'eor`eme 6.2.3.1). Comme nous l'avons d'ej`a dit, la fl`eche verticale de droite du diagramme ci-dessus est un isomorphisme. La fl`eche ~~` en est un aussi d'apr`es [Ka2, Th'eor`eme 3.11] ; ce r'esultat est encore un avatar du th'eor`eme 4.1 de [Ra3]. Ceci montre que l'homomorphisme ss0~`: (ss0U-)(R) ! (ss0 Gm KSp 1)(R) est surjectif. Comme pr'ec'edemment, on montre qu'il est injectif en en exhibant une r'etrac- tion, induite par un "homomorphisme r'esidu", r : KSp 1(R[T, T -1]) ! U-(R) dont nous expliquons la d'efinition ci-dessous. D'efinition du r'esidu r : KSp 1(R[T, T -1]) ! U-(R) Soient L un R-module libre de dimension finie et ff une isom'etrie * *de H-(L)[T, T -1] (on reprend les notations introduites dans la d'emonstration du th'eor`eme 6.2.3.2 lors de la d'efinition du r'esidu r : V(R[T, T -1]) ! GW +(* *R)) ; pour all`eger la notation on pose ci apr`es M = H-(L) et b = "-L. On 'ecrit ff = _1 O _-10, avec _0 et _1 deux automorphismes du R[T, T -1]- module M[T, T -1] satisfaisant la condition _i(M[T ]) M[T ]. On observera 169 qu'il existe toujours une telle 'ecriture : prendre par exemple _0 = T didavec d un entier suffisamment grand. On pose OEi = _*iO (R[T, T -1] R b) O _i, i = 0, 1 ; OEi est donc une forme bilin'eaire antisym'etrique non-d'eg'en'ere sur M[T, T -1]. Puisque ff est une isom'etrie OE0 et OE1 co"incident ; on pose OE = OE0 = OE1 = (ff; _0, _1). On constate que OE satisfait la condition OE(M[T ]) M*[T ] (on consid`ere ici* * OE comme un isomorphisme de R[T, T -1]-modules OE : M[T, T -1] ! M*[T, T -1]). On peut donc proc'eder comme lors de la d'efinition du r'esidu d'Ojanguren- Panin. On consid`ere le conoyau, que l'on note C(OE), de l'homomorphisme de R[T ]-modules, de M[T ] dans M*[T ], induit par OE ; ce conoyau, vu comme un R-module, est projectif de rang fini et muni d'une forme bilin'eaire non- d'eg'en'er'ee, qui ici est antisym'etrique. Comme dans la d'emonstration du lemme 6.2.3.3, on note C(_i) le conoyau de l'endomorphisme de M[T ] induit par _i, i = 0, 1. En lisant la d'emonstration en question avec des lunettes antisym'etriques on voit que C(_i) s'identifie `a un lagrangien de C(OE). On constate donc au bout du compte que l''ecriture ff = _1 O _-10fournit un triplet (C(OE); C(_0), C(_1)) du type de ceux consid'er'es dans la d'efinition * *du groupe U-(R) (version "projective", voir 6.2.1.3) ; la classe de ce triplet dans U-(R) est not'ee rL(ff; _0, _1) : rL(ff; _0, _1) = [C(OE); C(_0), C(_1)] . Proposition-D'efinition 6.2.3.6. (a) L''el'ement rL(ff; _0, _1) du groupe U-(R) ne d'epend que de l'isom'etrie f* *f ; on le note rL(ff). (b) L'application rL : Sp L(R[T, T -1]) ! U-(R) est un homomorphisme de groupes. (c) Il existe un unique homomorphisme de groupes, not'e r : KSp 1(R[T, T -1]) ! U-(R) , tel que l'homomorphisme rL est le compos'e r O D'et. (d) L'homomorphisme compos'e ~` G -1 r - U-(R) ---! ( m KSp 1)(R) KSp 1(R[T, T ])- --! U (R) est l'identit'e. 170 D'emonstration. Nous v'erifions les points (a), (b) et (d) et laissons la v'er* *i- fication (facile) du point (c) au lecteur. La v'erification du point (d) ach`eve la d'emonstration du th'eor`eme 6.2.3.4. Point (a). Il s'agit de montrer que l'on a l''egalit'e rL(ff; _0 O u, _1 O u) = rL(ff; _0, _1) pour tout automorphisme u du R[T, T -1]-module M[T, T -1] satisfaisant (_i O u)(M[T ]) M[T ], i = 0, 1. On a (ff; _0 O u, _1 O u) = u* O (ff; _0, _1) O u ; on doit donc comparer les classes dans U-(R) des triplets (C(OE); C(_0), C(_1)) et (C(u* O OE O u); C(_0 O u), C(_1 O u)). Premi`ere 'etape : on suppose u(M[T ]) M[T ]. On reprend la lecture anti- sym'etrique de la d'emonstration du lemme 6.2.3.3 (en rempla,cant _ par u). Celle-ci nous apprend que le R-module C(u) s'identifie `a un facteur direct de C(u* O OE O u) (identification que l'on s'empresse de faire), que l'on a les inclusions C(u) C(u)? , C(u) C(_0 O u) et C(u) C(_1 O u), et enfin que l'on a un isomorphisme (en un sens 'evident) de triplets : (C(u* O OE O u); C(_0 O u), C(_1 O u)) (C(OE); C(_0), C(_1)) (H-(C(u)); C(u), C(u)) (comparer avec [Ka2], Appendice 3, Lemme 2). On a donc l''egalit'e voulue [C(u* O OE O u); C(_0 O u), C(_1 O u)] = [C(OE); C(_0), C(_1)] . Deuxi`eme 'etape : on traite le cas g'en'eral. On introduit un automorphisme v de M[T, T -1] tel que l'on a (u O v)(M[T ]) M[T ] et v(M[T ]) M[T ] (prendre par exemple v = T didavec d un entier assez grand). D'apr`es la premi`ere 'etape on a `a la fois rL(ff; _0 O (u O v), _1 O (u O v)) = rL(ff; _0* *, _1) et rL(ff; _0 O (u O v), _1 O (u O v)) = rL(ff; _0 O u, _1 O u)) . Point (b). Le point (a) acquis, la v'erification du point (b) devient ais'ee. Soient ff et fi deux isom'etries de M[T, T -1]. On observe qu'il existe trois automorphismes _i, i = 0, 1, 2 du R[T, T -1]-module M[T, T -1] tels que l'on a, ff = _1 O _-10, fi = _2 O _-11et _i(M[T ]) M[T ] (l`a encore prendre par exemple _1 = T didavec d un entier assez grand). On constate que l'on a (ff; _0, _1) = (fi; _1, _2) = (fi O ff; _0, _2) ; on note OE cette valeur commune. On a rL(ff) = [C(OE); C(_0), C(_1)], rL(fi) = [C(OE); C(_1), C(_2)] et rL(fi O ff) = [C(OE); C(_0), C(_2)], ce qui implique rL(fi O ff) = rL(ff) + * *rL(fi) (relation de Chasles). Point (d). La proposition 6.2.1.8 dit en particulier que tout 'el'ement de U-(R), disons x, est repr'esentable par un triplet de la forme (H-(L); 0, 1) 171 (on peut m^eme imposer 0 = L mais nous n'en avons pas besoin ici). On rap- pelle la d'efinition de ~`(x) : soit pi, i = 0, 1, un projecteur de H-(L) d'ima* *ge i avec p]i= 1 - pi, alors ~`(x) est le D'eterminant dans KSp 1(R[T, T -1]) de l'isom'etrie (T p1 + 1 - p1) O (T p0 + 1 - p0)-1de H-(L)[T, T -1]. Soit ff cette isom'etrie ; on a donc ff = _1 O _-10avec _i = T pi+ 1 - pi, i = 0, 1. On constate que l'on a l''egalit'e (ff; _0, _1) = T "-Let l'isomorphisme de triplets (C( (ff; _0, _1)); C(_0), C(_1)) ~= (H-(L); 0, 1). Ceci implique bien l''egalit'e r(~`(x)) = x . R'ecapitulation Les points (a-7) et (a-5) de l''enonc'e ci-dessous sont respectivement la repri* *se des 'enonc'es 6.2.3.2 et 6.2.3.4. Les points (a-3) et (a-1) sont obtenus "par changement de sym'etrie" (d'emonstrations comprises). Th'eor`eme-D'efinition 6.2.3.7. Pour tout anneau R contenant 1_2: (a-7) La transformation naturelle ` : L0 ! Gm L7 induit une bijection (ss0L0)(R) ~= (ss0 Gm L7)(R) . (a-3) La transformation naturelle "analogue" ` : L4 ! Gm L3 induit une bijection (ss0L4)(R) ~= (ss0 Gm L3)(R) . (a-5) La transformation naturelle ` : eL6! Gm L5 induit une bijection (ss0L6)(R) ~= (ss0 Gm L5)(R) . (a-1) La transformation naturelle "analogue" ` : Le3 ! Gm L2 induit une bijection (ss0L2)(R) ~= (ss0 Gm L1)(R) . Epilogue Les cas i = 0 et i = 3 de l''enonc'e ci-dessous jouent un r^ole crucial dans nos d'emonstrations des th'eor`emes 6.2.3.2 et 6.2.3.4 : 172 Th'eor`eme 6.2.3.8. Soit R un anneau contenant 1_2. Les applications ~~` Wlibi(R) Wproji(R) -c--! Wlibi(R[T, T -1]) , i = 0, 1, 2, 3, c d'esignant l'inclusion canonique, sont des isomorphismes. Les cas i = 0, 2 et i = 1, 3 de cet 'enonc'e sont respectivement l'objet de [Ka3, Th'eor`eme 3.9] et [Ka2, Th'eor`eme 3.11]. Compte tenu de "l'invariance homotopique des groupes de Witt", le th'eor`eme 6.2.3.8 est aussi un corollaire du th'eor`eme 4.1 de [Ra3] (qui est plus g'en'eral). Les cas i = 0, 2 sont aus* *si implicitement trait'es dans [OP]. Dans les cas i = 0, 2, Karoubi proc`ede par localisation et Ranicki "par lin'earisation" ; Ojanguren et Panin combinent 'el'egamment les deux m'ethodes. Ranicki d'eduit le cas i = 1, 3 du pr'ec'edent en invoquant [Ra3] ; Karoubi invoque quant `a lui [Ka1] et [Ka5]. Il nous semblerait souhaitable, pour une question d'esth'etique, de disposer d'un traitement par lin'earisation dans tous les cas. 173 Appendice A. Technologie des formes de Sturm On rassemble (un peu en vrac) dans cet appendice quelques 'enonc'es techniques dont la plupart font intervenir les formes de Sturm. A.1. Version matricielle de la proposition 2.2.2 Soit L un R-module libre de dimension finie. Soit un 'el'ement de H(L). On note " # cfL,L( ) cfL,L*( ) cfL*,L( ) cfL*,L*( ) sa matrice dans la d'ecomposition H(L) = L L* (observer que suivant la convention habituelle l'indice de la ligne est en premi`ere position et celui de la colonne en seconde). Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. On pose (n-m+1)(m+n-2)_ e(q_) = (-1) 2 cfLm-1,Ln(E(q_)) ; e(q_) est donc un homomorphisme de Ln dans Lm-1 . On pose l = n-m+1 (on rappelle que nous appelons cet entier la longueur de q_et que nous le notons parfois |q_|). On observera que l'on a les congruences suivantes : (n_-_m_+_1)(m_+_n_-_2)_ l(l + 1) l(l + 1) _______ + lm _______ + ln mod 2 . 2 2 2 On a tout fait pour que l''enonc'e suivant soit v'erifi'e : Proposition A.1.1. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. Alors les conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) E(q_).Ln = Lm ; (ii)e(q_) = 0. La th'eorie classique des suites de Sturm (que nous avons rappel'ee dans l'introduction) fait intervenir deux suites finies de polyn^omes : "la suite des quotients" (. .,.qk, . .).et "la suites des restes" (. .,.pk, . .).. Les s* *uites de Sturm que nous avons d'efinies en 2.2.1 sont les analogues, dans notre contexte, de la suite des quotients. Nous consid'erons ci-apr`es les analogues de la suite des restes. 174 Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. Soient x un 'el'ement` de Ln et (xm-1 , xm , . .,.xk, . .,.xn, xn+1) la suite d''el'ements de L L*, * *avec xk 2 Lk pour m - 1 k n + 1, uniquement d'etermin'ee, par les "conditions finales" xn+1 = 0 et xn = x et par les relations de r'ecurrence lin'eaire xk-1 + (-1)kqkxk + xk+1 = 0 pour m k n (xk-1 et xk+1 sont consid'er'es ici comme des 'el'ements de L*k). La proposition 2.2.2 nous dit que l'on a xm-1 = e(q_)x et plus g'en'eralement xk = e(qk+1, . .,.qn)x pour m - 1 k n (avec la convention e(qk+1, . .,.qn) = 1Ln pour k = n). Posons pk = e(qk+1, . .,.qn), pk est donc un homomorphisme de Ln dans Lk ; convenons que pn+1 est l'homomorphisme nul de Ln+1 dans Ln. Il est clair que`(pm-1 , pm , . .,.pk, . .,.pn, pn+1) est* * la suite d''el'ements de Hom (Ln, L) Hom (Ln, L*), avec pk 2 Hom (Ln, Lk) pour m - 1 k n + 1, uniquement d'etermin'ee, par les "conditions finales" pn+1 = 0 et pn = 1 et par les relations de r'ecurrence lin'eaire pk-1 + (-1)kqkpk + pk+1 = 0 pour m k n (pk-1 et pk+1 sont consid'er'es ici comme des 'el'ements de Hom (Ln, L*k)). La suite (pm-1 , pm , . .,.pn) est l'analogue dans notre contex* *te de la suite des restes de la th'eorie classique des suites de Sturm. La discussion pr'ec'edente conduit `a l''enonc'e suivant : Proposition A.1.2. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. Alors on a : 2 3 2 3 e(qm+1 , . .,.qn) -e(q) 66 7 6 __7 6e(qm+2 , . .,.qn)77 66 0 77 S(q_) 666 ... 77 = 66 ...77 64 e(qn) 775 6640 775 1 0 (la forme de Sturm S(q_) est consid'er'ee ci-dessus comme une matrice de type (Lm , Lm+1 , . .,.Ln) x (Lm-1 , Lm , . .,.Ln-1), la premi`ere matrice colonne e* *st une matrice de type (Ln) x (Lm , Lm+1 , . .,.Ln), la seconde une matrice de type (Ln) x (Lm-1 , Lm , . .,.Ln-1)). Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. On pose ~q_= (-qn, -qn-1, . .,.-qm ) ; ~q_est donc aussi une suite de Sturm sur L, disons de type (-n, -m). 175 L''egalit'e E(q_)-1= E(~q_) implique la suivante : |q_|_ * e (~q_) = (-1) 2 e (q_) . On en d'eduit une proposition A.1.2-bis : Proposition A.1.3. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. Alors on a : 2 3 2 3 1 0 66 * 7 6 7 6 e(qm ) 77 66 0 77 S(q_) 666 ... 77= 66 ...77 64e(qm , . .,.qn-2)*7756640775 e(qm , . .,.qn-1)* -e(q_)* (la forme de Sturm S(q_) est consid'er'ee ci-dessus comme une matrice de type (Lm , Lm+1 , . .,.Ln) x (Lm+1 , Lm+2 , . .,.Ln+1), la premi`ere matrice colonne comme une matrice de type (Ln) x (Lm , Lm+1 , . .,.Ln), la seconde comme une matrice de type (Ln) x (Lm+1 , Lm+2 , . .,.Ln+1)). A.2. Sur les formes de Sturm non-d'eg'en'er'ees L''equivalence (i) () (ii) du point (a) de la proposition ci-dessous appara^it de fa,con r'ecurrente dans notre m'emoire. Proposition-D'efinition A.2.1. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. (a) Les conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) la forme de Sturm S(q_) est non-d'eg'en'er'ee ; (ii)les deux lagrangiens E(q_).Ln et Lm de H(L) sont transverses : E(q_).Ln t Lm ; (iii)il existe un 'el'ement qn+1 de SLn+1 tel que l'on a E(q_, qn+1).Ln+1 = Lm ; (iv) il existe un 'el'ement qm-1 de SLm-1 tel que l'on a E(qm-1 , q_).Ln = Lm-1* * ; (v) l'homomorphisme e(q_) est inversible. 176 (b) Si les conditions 'equivalentes du point (a) sont v'erifi'ees alors les for* *mes bilin'eaires sym'etriques qn+1 et qm-1 qui apparaissent dans les conditions (ii* *i) et (iv) sont uniquement d'etermin'ees en fonction de q_ ; on les note res- pectivement @d(q_) et @g(q_). Ces formes sont respectivement, au signe pr`es, les coefficients diagonaux en bas `a droite et en haut `a gauche de la matrice S(q_)-1: - (-1)n+1 @d(q_) s'identifie `a l'homomorphisme compos'e S(q_)-1 Ln+1 = L*n ---! L*m,n----! Lm,n ---! Ln = L*n+1 , - (-1)m-1 @g(q_) s'identifie `a l'homomorphisme compos'e S(q_)-1 Lm-1 = L*m ---! L*m,n----! Lm,n ---! Lm = L*m-1 , l'homomorphisme Lm,n ! Ln (resp. Lm,n ! Lm ) 'etant la projection canonique et l'homomorphisme L*n! L*m,n(resp. L*n! L*m,n) son dual. D'emonstration. Nous d'emontrons l''equivalence des deux premi`eres condi- tions du point (a) ; le lecteur v'erifiera qu'elles sont encore 'equivalentes a* *ux trois derni`eres. On reprend l'argument de la d'emonstration du point (c) de 2.2.3 : soientTX un sous-module de H(Lm,n) transverse `a L?m+1,n, Y l'image de X L?m+1,ndans H(Lm ) et un sous-module de H(Lm ), alors on a l''equivalence X t ( Lm+1,n) () Y t . On prend pour X le graphe X(q_) de S(q_) et pour le sous-module Lm de H(Lm ), on obtient alors, d'apr`es le point (b) de 2.2.3 : - X(q_) t Lm,n dans H(Lm,n) () oem (E(q_).Ln) t Lm dans H(Lm ), ou encore : - X(q_) t Lm,n dans H(Lm,n) () E(q_).Ln t Lm dans H(L). Or la premi`ere condition de transversalit'e ci-dessus est 'equivalente `a la condition (i). 177 Passons au point (b). La premi`ere partie est 'evidente. Le calcul de @d(q_) et @g(q_) est cons'equence des propositions A.1.1, A.1.2 et A.1.3. D'etaillons par exemple le calcul de @d(q_). On pose : 2 3 e(qm+1 , . .,.qn, qn+1) 66 7 6e(qm+2 , . .,.qn, qn+1)77 P = 666 ... 77 64 e(qn, qn+1) 775 e(qn+1) (cette matrice colonne est consid'er'ee ci-apr`es comme une matrice de type (L*n) x (Lm , Lm+1 , . .,.Ln)). On a d'apr`es A.1.1 et A.1.2 : 2 2 3 3 0 66 6 7 7 66 66077 77" # 66 S(q_) 66...77 77P 66 66077 77 1 = 0 ; 66 4 5 777 4h i 1 5 0 0 . . .0 1 (-1)n+1qn+1 on en d'eduit : 2 3 2 3 0 0 667 6 7 6077 h i 66077 P = -S(q_)-1666...77, (-1)n+1qn+1 = 0 0 . . .0 1 S(q_)-166...77. 640775 6640775 1 1 Scholie A.2.2. Soient m et n deux entiers avec m + n 1 mod 2 et n - m 3. (a) Soit (qm , qm+1 , . .,.qn; a) une relation symplectique sur L. Alors les fo* *rmes de Sturm S(qm , qm+1 , . .,.qn), S(qm , qm+1 , . .,.qn-2), S(qm+1 , qm+2 , . .* *,.qn-1) et S(qm+2 , qm+3 , . .,.qn) sont non-d'eg'en'er'ees. (b) Soit (qm , qm+1 , . .,.qn-2) une suite de Sturm sur L telle que la forme de Sturm S(qm , qm+1 , . .,.qn-2) est non-d'eg'en'er'ee. Alors il existe deux for* *mes bilin'eaires sym'etriques qn-1 et qn , respectivement d'efinies sur Ln-1 et Ln , et un automorphisme a de L, uniquement d'etermin'es, tels que la suite de Sturm augment'ee (qm , qm+1 , . .,.qn; a) est une relation symplectique sur L. 178 A.3. Calcul de D'eterminants (La d'efinition du D'eterminant, `a valeur dans K1(R), d'un automorphisme d'un R-module libre de dimension finie, est rappel'ee dans la discussion pr'e- c'edent l''enonc'e 4.5.1.2.) Soient L et L0deux R-modules libres de dimension finie ; soient f et g deux homomorphismes de L dans L0. Nous 'ecrirons f ~ g s'il existe un automor- phisme a de L et un automorphisme a0 de L0, tous deux de D'eterminant 1, tels que l'on a g = a0O f O a. Proposition A.3.1. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. Alors on a : " # 0 -e(q) S(q_) ~ __ , 1 0 S(q_) 'etant consid'er'e comme un homomorphisme de Lm,n dans L*m,net la d'ecomposition en blocs de la matrice de droite correspondant aux d'ecomposi- tions en sommes directes Lm,n = Lm,n-1 Ln et L*m,n= Lm-1 Lm,n-1 . D'emonstration. La proposition A.1.2 montre que l'on a 2 3 1 0 0 0 0 . . .0 e(qm+1 , . .,.qn) 660 1 0 0 0 . . .0 e(qm+2 , . .,.qn)7 66 .. 77 660 0 1 0 0 . . .0 .. 777 S(q_) 666 0 0 1 0 0 . . . .. 77= 66 ... ... ... ... ... ... 77 66 . . .0 0 1 0 e(qn-1, qn)777 4 . . .0 0 1 e(qn) 5 . . .0 0 1 2 3 (-1)m qm 1 0 0 0 . . .0 -e(q_) 66 1 (-1)m+1 qm+1 1 0 0 . . .0 0 7 66 0 1 (-1)m+2 qm+2 1 0 . . .0 0 77 66 0 0 1 . . .. .... .0 0 77 66 . . . 0 0 1 . . .. .0. 0 77 . 66 . . . 0 0 1 . . .0 0 77 64 . . . . . 77 . . . .. .. .. .. .. 5 . . .0 0 1 0 179 On conclut en observant que la matrice au second membre admet une d'ecom- position en blocs, correspondant aux d'ecompositions en sommes directes Lm,n = Lm,n-1 Ln et L*m,n= Lm-1 Lm,n-1, de la forme " # . -e(q_) , U 0 U d'esignant une matrice triangulaire sup'erieure avec des 1 sur la diagonale. Scholie A.3.2. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L de longueur paire ; soit 0_ la suite de Sturm nulle de m^eme type. Alors : (a) S(0_) est inversible ; (b) on a 2 3 1 0 S(0_)-1O S(q_) ~ 4 |q_|_ 5 , 0 (-1) 2e(q_) la d'ecomposition en blocs de la matrice de droite correspondant `a la d'ecompo- sition en somme directe Lm,n = Lm,n-1 Ln et e(q_) 'etant consid'er'e comme un endomorphisme de Ln ; (c) si S(q_) est inversible, on a 8 < D'et(cfL*,L*(E(q))) pour m pair(et n impair), D'et(S(0_)-1O S(q_)) = : __ D'et(cfL,L(E(q_))) pour m impair (et n pair). A.4. Identit'e du trin^ome et formes de Sturm Le titre de ce paragraphe fait r'ef'erence aux 'enonc'es A.4.2 et A.4.3 ci-apr`* *es. Mais avant d'en arriver l`a, il nous faut d'abord r'eviser. . . la th'eorie de l''equation du second degr'e. Proposition-D'efinition A.4.1 (Identit'e du trin^ome). Soit M un R-module muni d'une forme bilin'eaire sym'etrique F . On suppose que l'on a M = N P , avec N et P deux sous-modules de M, si bien que F s'identifie `a une matrice de type (N, P ) x (N*, P *) : " # A B F = * . B C 180 Si A est inversible (en d'autres termes si la restriction de F `a N est non- d'eg'en'er'ee) on a " # " # " #" # A B 1 0 A 0 1 A-1B = * -1 * -1 . B* C B A 1 0 C - B A B 0 1 Nous appelons cette 'egalit'e, l'identit'e du trin^ome ; elle s''ecrit encore " # A 0 F = U(F ; N, P*) * -1 U(F ; N, P ) 0 C - B A B en posant " # 1 A-1B U(F ; N, P ) = ; 0 1 U(F ; N, P ) est un automorphisme 'el'ementaire de M que nous appelons l'automorphisme de l'identit'e du trin^ome. Proposition A.4.2. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L ; soit r un entier avec m < r < n. (a) On suppose S(qm , . .,.qr) non-d'eg'en'er'ee. Alors l'identit'e du trin^ome s''ecrit " # S(qm , . .,.qr) 0 S(q_) = U* U 0 S(qr+1 - @d(qm , . .,.qr), qr+2, . .,.qn) (en posant U = U(S(q_); Lm,r, Lr+1,n)). (b) On suppose S(qr+1, . .,.qn) non-d'eg'en'er'ee. Alors l'identit'e du trin^o* *me s''ecrit " # S(qm , . .,.qr-1, qr - @g(qr+1, . .,.qn) 0 S(q_) = U* U 0 S(qr+1, . .,.qn) (en posant U = U(S(q_); Lr+1,n, Lm,r)). D'emonstration. Cons'equence de la seconde partie du point (b) de la propo- sition A.2.1. 181 Proposition A.4.3. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L ; soient r et s deux entiers avec m < r s < n. On suppose S(qr, . .,.qs) non-d'eg'en'er'ee. On pose : - U = U(S(q_); Lr,s, Lm,r-1 Ls+1,n) ; - S0 = S(qm , . .,.qr-2, qr-1 - @g(qr, . .,.qs)) ; - S00= S(qs+1 - @d(qr, . .,.qs), qs+2, . .,.qn) ; - e = e(qr, . .,.qs) (consid'er'e ici comme un homomorphisme de L*s+1dans Lr-1). On introduit la matrice de type (Lm , Lm+1 , . .,.Lr-1) x (L*s+1, L*s+2, . .,.L* **n) suivante 2 3 0 . . .0 e-1 6 0 . . .0 0 7 B = 664 77 . . . .. . .. . .. .5. 0 . . .0 0 Alors l'identit'e du trin^ome s''ecrit 2 3 S0 0 B* S(q_) = U* 640 S(qr, . .,.qs)0 75U B 0 S00 (la matrice qui appara^it au second membre est de type (Lm,r-1, Lr,s, Ls+1,n) x (L*m,r-1, L*r,s, L*s+1,n)). D'emonstration. On introduit les matrices suivantes, de type respectif (L*r) x (L*r, L*r+1, . .,.L*s) et (L*s) x (L*r, L*r+1, . .,.L*s) : 2 3 2 3 1 0 667 6 7 6077 66077 Cr = 666...77 , Cs = 66...77 . 640775 6640775 0 1 On constate que v'erifier la proposition revient `a calculer les produits de matrices C*rS(qr, . .,.qs)-1Cr , C*sS(qr, . .,.qs)-1Cs , C*sS(qr, . .,.qs)-1Cr (autrement dit `a d'eterminer les coefficients situ'es dans les quatre coins de la matrice"sym'etrique" S(qr, . .,.qs)-1). Les deux premiers calculs ont d'ej`a 182 'et'e faits (point (b) dehla propositioniA.2.1). Passons au dernier. Posons C*sS(qr, . .,.qs)-1Cr = cs,r(il s'agit l`a d'une matrice de type (L*r) x (Ls)* *) ; la proposition A.1.2 implique l''egalit'e cs,re(qr, . .,.qs) = -1. Corollaire-D'efinition A.4.4. On reprend les notations et hypoth`eses de la proposition pr'ec'edente. On introduit en outre les notations suivantes : On pose l = s - r + 1, qct_= (qr, . .,.qs) et on note qbd_= (qbdm, qbdm+1, . .* *,.qbdn-l) la suite de Sturm sur L d'efinie par 8 >>>qk pour m k r - 2 , >>> >> (-1)le(qs+1 - @r(qct_))e*pour k = r , >>> >>>(-1)le-1*qk+le-1 pour r + 1 k n - l et k - r pair, >: l * (-1) eqk+le pour r + 1 k n - l et k - r impair. On note A(q_; r, s) : Lm,n ! Lm,n-l Lr,sl'isomorphisme compos'e des iso- morphismes suivants : Lm,n U-!Lm,n ~=Lm,r-1 Lr,s Ls+1,n~=Lm,r-1 Ls+1,n Lr,s -1-D-1-!L ~ m,r-1 Lr,n-l Lr,s= Lm,n-l Lr,s , D : Ls+1,n ! Lr,n-ld'esignant l'isomorphisme dont la matrice, dans les d'ecompositions canoniques de Ls+1,n et Lr,n-l, est la matrice diagona* *le diag(e*-1, e, e*-1, e, . .).. Alors on a : S(q_) = (A(q_; r, s))*(S(qbd_) S(qct_)) A(q_; r, s) . Exemple. Voici une application des 'enonc'es A.4.2 et A.4.4 (la d'efinition du groupe ab'elien V(R) et de l'homomorphisme : K1(R) ! V(R) est donn'ee en 4.5.1) : Proposition A.4.5. Soit (qm , qm+1 , . .,.qn ; a) une relation symplectique sur L avec m + n 1 mod 2 et n - m 3. Soient respectivement q_, qg_, qd_et qct_les suites de Sturm (qm , qm+1 , . .,.qn), (qm , qm+1 , . .* *,.qn-2), (qm+1 , qm+2 , . .,.qn-1) et (qm+2 , qm+3 , . .,.qn) ; soient respectivement 0* *_, 0g_, 0d_ et 0ct_les suites de Sturm nulles de m^eme type. 183 Alors on a dans V(R) les 'egalit'es suivantes (les formes de Sturm qui appa- raissent ci-dessous sont non-d'eg'en'er'ees d'apr`es le point (a) de A.2.2) : [S(0_), S(q_)] = [S(0g_), S(qg_)] = [S(0d_), S(qd_)] = [S(0ct_), S(qct_)]+(-1)m* * (D'eta) . En particulier les classes de Witt des formes de Sturm S(q_), S(qg_), S(qd_) et S(qct_) co"incident. D'emonstration. Les 'egalit'es [S(0_), S(q_)] = [S(0g_), S(qg_)] et [S(0_), * *S(q_)] = [S(0g_), S(qg_)] r'esultent de la proposition A.4.2, du scholie 4.5.1.5 et du l* *emme 4.5.1.8. V'erifions un peu plus en d'etails l''egalit'e [S(0_), S(q_)] = [S(0ct_), S(qct_)] + (-1)m (D'eta) . Pour fixer les id'ees nous supposons m pair (et donc n impair). Par d'efinition m^eme des applications @r et @g, on a @g(qct_) = qm et @r(qct_* *) = qn ; on a donc S(qbd_) = "L (la notation qbd_est introduite dans l''enonc'e A.4.4). D'autre part, l''egalit'e dans SpL : " # " # " # 1 -qn a-1 0 1 0 E(qct_) = * 0 1 0 a -qm 1 montre que l'on a e(qct_) = a-1. On met maintenant le corollaire A.4.4 en oeuvre ; pour all`eger la notation on pose A(q_; m+1, n-1) = A(q_). On a dans V(R) la suite d''egalit'es suivantes : [S(0ct_), S(qct_)] = ["L S(0ct_), "L S(qct_)] = [S(0_) . A(0_)-1, S(q_) . * *A(q_)-1] = [S(0_), S(q_) . (A(q_)-1A(0_))] = [S(0_), S(q_)] + [S(q_), S(q_) . (A(q_)-1A(* *0_))] = [S(0_), S(q_)] + (D'et(A(q_)-1A(0_))) . Le corollaire A.4.4 montre 'egalement que l'on a D'et(A(q_)-1A(0_)) = D'et( a*-1). On conclut en observant que l''egalit'e E(q_)H(a) = 1 (dans SpL ) implique D'eta* = D'eta et que l'on a (-1) = 0, -1 d'esignant ici l''el'ement de K1(R) image de -1 par l'homomorphisme Rx ! K1(R). 184 A.5. Formes de Sturm et r'esidu de formes bilin'eaires sym'etriques Le titre ci-dessus fait r'ef'erence au point (b) du corollaire A.5.2 ci-apr`es. Proposition A.5.1. Soit q_= (qm , qm+1 , . .,.qn) une suite de Sturm sur L. Soit f : Ln ! Lm,n-1 l'homomorphisme dont la matrice est la suivante : 2 3 e(qm+1 , . .,.qn) 66e(q , . .,.q7) 66 m+2. 77n7 4 .. 5 e(qn) (il s'agit d'une matrice de type (Ln) x (Lm , Lm+1 , . .,.Ln-1)). Soient, i1 : Ln ! Lm,n, p1 : Lm,n ! Lm,n-1, i0 : L*m ! L*m,net p0 :"L*m#! L*m,n, les"# f h i 1 homomorphismes dont les matrices sont respectivement , 1 -f , h i 1 0 et 0 1 (de types respectifs (Ln) x (Lm,n-1, Ln)), (Lm,n-1, Ln) x (Lm,n-1)), (L*m)x(L*m,n, L*m+1,n)) et (L*m, L*m+1,n)x(L*m+1,n)). Soit U : Lm,n-1 ! L*m+1,n l'isomorphisme dont la matrice est obtenue `a partir de la matrice de Sturm S(q_) en supprimant la derni`ere colonne et la premi`ere ligne (il s'agit d'une "matrice triangulaire sup'erieure avec des 1 sur la diagonale"). Alors : (a) Le diagramme suivant p1 0 - --! Ln - i1--!Lm,n - --! Lm,n-1 ---! 0 ?? ? ? ?y-e(q_) ??yS(q_) ??yU p0 * 0 - --! L*m - i0--!L*m,n- --! Lm+1,n ---! 0 est commutatif et ses lignes sont exactes. (b) Le couple (i1, i0) consid'er'e comme un homomorphisme de complexes de -e(q_) S(q_) cha^ines, du complexe Ln - ! L*m dans le complexe Lm,n -! L*m,n, est une 'equivalence d'homotopie. D'emonstration. La commutativit'e du diagramme du point (a) est un avatar de la proposition A.1.2 (tout particuli`erement la commutativit'e du carr'e de gauche) ; l'exactitude de ses lignes est 'evidente. On observera incidemment que ce point (a) est aussi intimement reli'e `a la proposition A.3.1. Passons * *au 185 point (b). L'homomorphisme de complexes (i1, i0) est injectif et son conoyau est le complexe Lm,n-1 -U! L*m+1,nqui est manifestement acyclique ; (i1, i0) est donc une 'equivalence d'homologie. C'est une 'equivalence d'homotopie parce que les R-modules Ln, L*m, Lm,n et L*m,nsont libres. Corollaire A.5.2. Soit r 1 un entier ; soit q_= (q1, q2, . .,.q2r) une suite de Sturm sur L de type (1, 2r). On pose : " # " # a 1 = E(q_).L , = E(q) b __ 0 (dans la deuxi`eme 'egalit'e E(q_) est consid'er'e comme une matrice de type (L,"L*)#x (L, L*), et les deux matrices colonnes sont de type (L) x (L, L*) ; a est un plongement lagrangien dont l'image est ). b (a) La forme bilin'eaire sym'etrique -S(q_) est une forme primitive (voir 3.6.1) pour le lagrangien . (b) Si l'on suppose que R est int`egre et que a est injectif alors S(q_) est no* *n- singuli`ere et l'on a un isomorphisme de R-modules d'enlacement b [ __] ~= - r'esS(q_) a (voir 3.6.2). D'emonstration. On reprend les notation de la proposition A.5.1 (avec m = 1 et n = 2r). On constate que l'on a e(q_) = (-1)ra et i*0i1 = (-1)rb ; le point (a) en d'ecoule. Le point (b) est une "sp'ecialisation" du point (a) (voir 3.6.2.3). 186 Appendice B. D'emonstration de la proposition 2.4.4 On reprend les notations introduites pour 'enoncer cette proposition. On pose en outre : - q_= (q0, q1, . .,.q2m+1 ) (q_est donc une suite de Sturm sur L de type (0, 2m + 1)) ; " # a c * * - E(q0, q1, . .,.q2m+1 ) = (matrice de type (L, L ) x (L, L )) ; b d " # a 0 - A = (matrice de type (L, L1,2m-1) x (L, L1,2m-1)) ; 0 1 " # b 0 * * - B = (matrice de type (L, L1,2m-1) x (L , L1,2m-1)) ; 0 0 " # c 0 * * - C = (matrice de type (L , L1,2m-1) x (L, L1,2m-1)) ; 0 0 " # d 0 * * * * - D = (matrice de type (L , L1,2m-1) x (L , L1,2m-1)). 0 1 La proposition 2.4.4 dit en clair que l'on a " # " # " #" # " # " # " # A C 1 0 U-11 0 1 -S1 U*2 0 1 0 0 F *-1 = * -1 . B D S0 1 0 U1 0 1 0 U2 S2 1 -F 0 Cette 'egalit'e implique en particulier B-S0A = -U*1U-12F ; c'est cette 'egalit* *'e que l'on commence par v'erifier. Proposition B.1. Pour toute suite de Sturm q_sur L de type (0, 2m + 1), on a : B - S0A = -U*1U-12F . D'emonstration. Le second membre est par d'efinition ind'ependant de q0 et q2m+1 et il n'est pas difficile de se convaincre qu'il est en est de m^eme du premier membre ; on peut donc supposer q0 = 0. 187 On a les d'ecompositions en blocs suivantes : " # " # U3 Q2m -1 U-13 -U-13Q2m U2 = ; U2 = ; 0 1 0 1 la matrice Q2m d'efinie par la premi`ere d'ecomposition est une matrice "co- lonne" de type (L) x (L*, L, . .,.L). On pose ffl = (-1)m-1 (en clair, ffl = (-1)m-1 idL, idL d'esignant l'identit'e de L) ; on constate que l'on a la d'eco* *m- position en blocs suivante : " # -U-13Q2m ffl1 U-12F = . ffl 0 On en d'eduit que les 2m - 1 derni`eres colonnes de U*1U-12F sont celles de S0 qui co"incident bien avec celles de S0A - B . Il reste donc `a expliciter la premi`ere colonne de U*1U-12F c'est-`a-dire le produit " # -U-13Q2m ffl U*1 . ffl On utilise pour cela la proposition A.1.2 (appliqu'ee `a la suite de Sturm (q1, q2, . .,.q2m )) qui implique que l'on a 2 3 affl " # 66077 -U-13Q2m 66 77 S1 = 6 07 1 66.77 4 ..5 0 et que le coefficient sur la premi`ere ligne de U-13Q2m est bffl. On obtient : 2 3 -b 66a 77 " # 6 7 -U-13Q2m ffl 660 77 U*1 = 6 7 . ffl 660 77 64...75 0 Le second membre est bien la premi`ere colonne de S0A - B si l'on a q0 = 0. Ce qui ach`eve la d'emonstration de la proposition B.1. 188 On d'eduit maintenant de la proposition B.1 une proposition B.1-bis par une m'ethode analogue `a celle qui nous a permis de passer de l''enonc'e A.1.2 `a l''enonc'e A.1.3. L''egalit'e de B.1 peut s''ecrire B(q_) - S0(q_)A(q_) = -U*1(q_)U-12(q_)F (q_) ; le saut conceptuel est le suivant : ci-dessus B, S0, A. . . sont consid'er'es c* *omme des transformations naturelles entre foncteurs (nous laissons au lecteur de pr'eciser les cat'egories source et but de ces foncteurs !). Soit q_= (q0, q1, . .,.q2m+1 ) une suite de Sturm sur L de type (0, 2m + 1), on note q_0la suite de Sturm sur L* de type (0, 2m + 1) suivante : q_0= (q2m+1 , q2m , . .,.q0) . La proposition B.1 donne l''egalit'e ( B.1(q_0)) B(q_0) - S0(q_0)A(q_0) = -U*1(q_0)U-12(q_0)F (q_0) que l'on va r'e'ecrire en tenant compte des observations ci-apr`es. On a E(q_0) = oe E(q_)-1 oe-1 (l'isomorphisme symplectique oe : H(L) ! H(L*) est introduit en 2.1.1) ; on en d'eduit " # a*(q) b*(q) E(q_0) = * __ * __ , c (q_)d (q_) E(q_0) 'etant consid'er'e comme une matrice de type (L*, L) x (L*, L). Soit l'isomorphisme de L0,2m-1 sur (L*)0,2m-1 de matrice 2 3 0 0 0 . . .. . .. . .0 0 1 660 0 0 . . .. . .. . .0 -1 0 7 66 77 660 0 0 . . .. . .. . .1 0 0 77 66. . .. . .. .... .. . .. . .. .... .. .7.7 66. . .. . .. .... .. . .. . .. .... .. .7.7 66. . .. . .. .... .. . .. . .. .... .. .7.7 660 0 -1 . . .. . .. . .0 0 0 77 64 77 0 1 0 . . .. . .. . .0 0 0 5 -1 0 0 . . .. . .. . .0 0 0 (des 1 sur l'antidiagonale, des 0 partout ailleurs). On constate que l'on a : 189 " # " # 0 0 -1 0 1 0 - *O B(q_0) O = * , O A(q ) O = * ; 0 c (q_) __ 0 a (q_) - * O S0(q_0) O = -S2(q_) ; - -1 O U1(q_0) O = U*2(q_) , -1 O U*2(q_0) O = U1(q_) ; - * O F (q_0) O = -F *(q_) . Compte tenu des observations pr'ec'edentes, l''egalit'e ( B.1(q_0)) conduit `a l''egalit'e qui appara^it ci-dessous : Proposition B.2. Pour toute suite de Sturm q_sur L de type (0, 2m + 1), on a : " # " # 0 0 1 0 *-1 * + S2 * = U2U1 F . 0 c* 0 a On revient `a la d'emonstration de la proposition 2.4.4. La proposition B.1 implique qu'il existe deux formes bilin'eaires sym'etriques, disons encore Y et Z, d'efinies respectivement sur L*0,2m-1et L0,2m-1, uniquement d'etermin'ees en fonction de q_, telles que l'on a " # " # " #" # " # " # " # A C 1 0 U-11 0 1 Y U*2 0 1 0 0 F *-1 = * -1 . B D S0 1 0 U1 0 1 0 U2 Z 1 -F 0 En prenant l'inverse des deux membres on obtient : " # D* -C* = -B* A* " #" #" # " # " #" # 0 -F -1 1 0 U*-12 0 1 -Y U1 0 1 0 F * 0 -Z 1 0 U2 0 1 0 U*-11 -S0 1 ou encore " # " #" # 0 F *-1 D* -C* 0 -F -1 = -F 0 -B* A* F * 0 " #" # " # " #" # " # 1 0 U*-12 0 1 -Y U1 0 1 0 0 -F -1 . -Z 1 0 U2 0 1 0 U*-11 -S0 1 F * 0 190 Or on a " #" # " # " # 0 F *-1 D* -C* 0 -F -1 F *-1A*F * F *-1B*F -1 = * * * -1 = -F 0 -B* A* F * 0 F C F F D F 2" # " #3 1 0 0 0 66 * * 7 660" a # "0 b #777 4 0 0 1 0 5 0 c* 0 d* et donc 2" # " #3 1 0 0 0 66 * * 7 66"0 a# "0 b #777= 4 0 0 1 0 5 0 c* 0 d* " #" # " # " #" # " # 1 0 U*-12 0 1 -Y U1 0 1 0 0 -F -1 . -Z 1 0 U2 0 1 0 U*-11 -S0 1 F * 0 Cette derni`ere 'egalit'e entra^ine la suivante " # " # 0 0 1 0 *-1 * + Z * = U2U1 F . 0 c* 0 a En comparant avec celle de la proposition B.2 on obtient " # 1 0 (Z - S2) * = 0 . 0 a On en d'eduit Z = S2 en invoquant le fait que a est "g'en'eriquement" inversible. Pr'ecisons un peu. Soit n la dimension du R-module libre L ; soit U le quotient de l'anneau de polyn^omes Z[ Ti,j,k; 1 i, j n , 0 k 2m + 1 ] par l'id'eal engendr'e par les polyn^omes Ti,j,k- Tj,i,k(U est donc encore iso- morphe `a un anneau de polyn^omes). Soit Q_ la suite de matrices n x n `a coefficients dans U suivante : Q_ = ([Ti,j,0], [Ti,j,1], . .,.[Ti,j,2m+1]) ; on consid`ere Q_ comme une suite de Sturm sur Un de type (0, 2m + 1). On constate que l'endomorphisme a(Q_) de Un est inversible sur le corps des fractions de U, en effet si l'on fait toutes les variables 'egales `a 0 alors d* *'eta(Q_) devient 'egal `a 1. On en d'eduit Z(Q_) = S2(Q_) et donc Z(q_) = S2(q_) par sp'ecialisation. 191 " # 1 0 Remarque. L''egalit'e (Z - S2) * = 0 montre imm'ediatement que les 0 a 2m-1 premi`eres colones de Z-S2 sont nulles ; puisque Z-S2 est sym'etrique, il en est de m^eme pour 2m - 1 premi`eres lignes. Soit ! le coefficient dans le coin en bas `a droite de Z - S2, alors on a en outre ! a* = 0. Ce qui pr'ec`ede revient `a montrer en invoquant l'anneau "universel" U que cette derni`ere 'egalit'e implique ! = 0. Cet argument utilise implicitement que l'anneau R est commutatif. Dans le cas o`u R est un anneau avec une anti-involution non n'ecessairement triviale, on peut remplacer U par la Z-alg`ebre librement en- gendr'ee par des ind'etermin'ees "non-commutatives", Q0, Q1, . .,.Q2m+1 , mu- nie de l'anti-involution qui est l'identit'e sur ces ind'etermin'ees (voir le * *com- mentaire qui suit la d'emonstration du point (b) de la proposition 3.1). On peut achever la d'emonstration de la proposition 2.4.4 `a l'aide de la pro- position 2.4.3, mais on peut plus directement s'appuyer sur la proposition suivante : Proposition B.3. Pour toute suite de Sturm q_sur L de type (0, 2m + 1), on a : S1 = U1AF -1U2 . D'emonstration. On a la d'ecomposition en blocs suivante : " # 1 Q1 U1 = ; 0 U3 la matrice Q1 d'efinie par la d'ecomposition ci-dessus est une matrice "ligne" de type (L*, L, . .,.L) x (L). On constate que l'on a la d'ecomposition en blocs suivante : " # Q1 affl + Q1U-13Q2m U1AF -1U2 = . U3 Q2m Or on a la d'ecomposition en blocs suivante : " # Q1 ffi S1 = . U3 Q2m avec 8 <1 pour m = 1 , ffi = : 0 pour m 2 . 192 L''egalit'e de B.3 est donc 'equivalente `a la suivante : affl + Q1U-13Q2m = ffi qui elle r'esulte de l''egalit'e 2 3 affl " # 66077 -U-13Q2m 66 77 S1 = 6 07 1 66.77 4 ..5 0 que nous avons d'ej`a utilis'ee dans la d'emonstration de B.1. 193 Appendice C. Sur le graphe bipartite associ'ea`la relation de transversalit'e des lagrangiens On commence par observer que la notion de suite de Sturm est intimement reli'ee `a celle de suite de lagrangiens cons'ecutivement transverses. Pr'ecis* *'e- ment, on constate que l'on a l''enonc'e suivant dont la v'erification est laiss* *'ee au lecteur : Proposition C.1. Soit L un R-module libre de dimension finie. Soient m et n deux entiers (relatifs) avec m n. Soit ( m-1 , m , m+1 , . .,. n) une suite finie de lagrangiens de l'espace symplectique H(L) avec m-1 = Lm-1 . Les conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) On a k-1 t k pour m k n. (ii)Il existe une suite de Sturm (qm , qm+1 , . .,.qn) sur L de type (m, n) te* *lle que l'on a k = E(qm , qm+1 , . .,.qk) . Lk pour m k n. De plus si la condition (i) est satisfaite alors la suite de Sturm qui appara^it dans la condition (ii) est uniquement d'etermin'ee. On introduit ensuite le graphe bipartite associ'e `a la relation de transver- salit'e des lagrangiens (comparer avec [No]). Celui-ci est d'efini ci-dessous comme un complexe simplicial de dimension 1 (un graphe combinatoire dans la terminologie de [Se]) ; on identifie un tel complexe avec sa r'ealisation g'eom'etrique. Soit L un R-module libre de dimension finie. On note GL le graphe dont l'ensemble des sommets est l'ensemble LL x {0, 1} et dont l'ensemble des ar^etes est constitu'e des parties `a deux 'el'ements {( , i), ( , j)} de LL x * *{0, 1} avec i 6= j et t . Le graphe GL est muni d'une ar^ete "distingu'ee", que l'on note aL , `a savoir celle qui joint les sommets (L, 0) et (L*, 1). L'avantage du "d'edoublement" de LL qui appara^it dans la d'efinition ci-dessus est de permettre la "stabilisation". Soit L0 un R-module libre de dimension finie, alors l'application de LLx{0, 1} dans LL L0x{0, 1}, ( , i) 7! ( L0i, i), avec L00= L0et L01= L0*, induit un plongement du graphe GL dans le graphe GL L0 et ce plongement pr'eserve l'ar^ete distingu'ee. 194 Comme d'habitude, on pose Gn(R) = GRn et G(R) = colimnGn(R) ; G(R) est un graphe bipartite muni d'une ar^ete distingu'ee. Par construction le graphe GL est muni d'une action du groupe symplectique SpL. On note GlibLle sous-graphe "plein" de GL dont les sommets sont les ( , i) avec libre ; la proposition 2.1.5 montre que l'action de SpL sur GlibL est transitive. On note GcLla composante connexe de aL dans GL . La premi`ere partie de l''enonc'e ci-apr`es est impliqu'ee par la proposition C.1, la deuxi`* *eme est imm'ediate (on rappelle que l'on note L le sous-groupe de SpL engendr'e par ESp L et H(GL L )) : Proposition C.2. Le graphe GcLest le sous-graphe "plein" de GL dont les sommets sont les ( , i) avec 2 ESp L.L ; l'action de SpL sur GL induit une action transitive de L sur GcL. Nous expliquons maintenant la relation entre le groupe AL, introduit en 6.1, et l'homologie des graphes GcLou GlibL. Rappelons bri`evement la d'efinition de ce groupe. L'homomorphisme canonique de (SL * SL*) o GL L dans SpL est not'e aeL ; AL est le groupe qui "remplace" keraeL lorsque l'on "centralise" la suite exacte aeL 1 - --! keraeL ---! (SL * SL*) o GL L - --! im aeL := L- --! 1 . Proposition C.3. On a des isomorphismes de groupes canoniques : AL ~= H0( L ; H1(GcL; Z)) ~= H0(Sp L; H1(GlibL; Z)) . D'emonstration. On note G1 et G2 les deux sous-groupes de SpL constitu'es des 'el'ements qui"pr'eservent#respectivement les lagrangiens L* et L, en clair a c des 'el'ements qui v'erifient respectivement c = 0 et b = 0. On fait les b d observations suivantes : T - On a G1 G2 = H(GL L ) (cette intersection est le sous-groupe de Sp L constitu'es des 'el'ements qui pr'eservent l'ar^ete aL de GL). - Le produit semi-direct (SL * SL*) o GL L s'identifie `a la somme amalgam'ee G1 * G2 . G1\G2 195 - Les graphes GlibLet GcLs'identifient respectivement aux graphes bipartites associ'es aux triades de groupes (Sp L; G1, G2) et (im aeL ; G1, G2) (une triade de groupes est un groupe muni de deux sous-groupes) : GlibL= G(Sp L; G1, G2) , GcL= G(im aeL ; G1, G2) . La d'efinition du graphe bipartite G(- ; -, -) est rappel'ee dans la discussion ci-apr`es. Cette discussion est une simple compilation d''enonc'es qui appa- raissent dans [Se]. Compte tenu des observations pr'ec'edentes, la proposition C.3 est cons'equence de la proposition C.4. Sur le graphe d'une triade de groupes Soit G un groupe muni de deux sous-groupes G1 et G2. On associe `a cette donn'ee un graphe bipartite, que l'on note G(G ; G1, G2), d'efini de la fa,con suivante : ` - L'ensemble des sommets est la r'eunion disjointe G=G1 G=G2. - L'ensemble des ar^etes est le sous-ensemble du produit G=G1 x G=G2 (pro- duit qui`s'identifie bien `a un sous-ensemble des parties `a deuxT'el'ements de G=G1 G=G2 !) constitu'e des couples (fl1, fl2) avec p-11(fl1) p-12(fl2) 6=* * ;, pi d'esignant l'application de passage au quotient de G dans G=Gi (i = 1, 2). Le graphe G(G ; G1, G2) est muni d'une ar^ete distingu'ee, que l'on note a, `a savoir celle qui joint les sommets p1(1) et p2(1) que l'on note s1 et s2. T -1 La condition p-11(fl1)T p2 (fl2) 6= ; ci-dessus est 'equivalente `a la condi- tion q-11(fl1) T q-12(fl2) 6= ;, qi d'esignant l'application de passage au quo- tient de G=(G1 G2) dans G=Gi (i = 1, 2). L'int'er^et de cette observationT est le suivant.T Pour tout couple (fl1, fl2) le sous-ensemble q-11(fl1) q-12(* *fl2) de G=(G1 G2) a au plus un 'el'ement siTbien que l'ensemble des ar^etes de G(G ; G1, G2) s'identifie avec G=(G1 G2). Par construction G(G ; G1, G2) est muni d'une action du groupe G (qui pr'eserve la structure de graphe bipartite). Les sous-groupes d'isotropieTdes sommets s1 et s2, et de l'ar^ete a, sont respectivement G1, G2 et G1 G2 ; l'action de G, sur l'ensemble des sommets de "type 1", sur l'ensemble des sommets de "type 2", et sur l'ensemble des ar^etes, est transitive. 196 Proposition C.4. Soit G un groupe muni de deux sous-groupes G1 et G2. L'homomorphisme canonique de G1 * G2 dans G est not'e ae ; son image, en G1\G2 d'autres termes le sous-groupe de G engendr'e par G1 et G2, est not'ee im ae. (a.1) On a un isomorphisme canonique, G-'equivariant, de graphes bipartites : G(G ; G1, G2) ~= G ximaeG(im ae ; G1, G2) . (a.2) On a un isomorphisme canonique (de G-ensembles et d'ensembles point'es) : ss0(G(G ; G1, G2) ; a) ~= G= imae . (b.1) On a un isomorphisme de groupes canonique : ss1(G(G ; G1, G2) ; a) ~= kerae . (b.2) L'action du groupe kerae sur G(G1 * G2 ; G1, G2) (induite par celle G1\G2 du groupe G1 * G2) est libre (et pr'eserve la structure de graphe bipartite). G1\G2 Soit G(ae) : G(G1 * G2 ; G1, G2) ! G(G ; G1, G2) l'application de graphes G1\G2 bipartites induite par ae ; G(ae) induit un isomorphisme de graphes bipartites* * : kerae \ G(G1 * G2 ; G1, G2) ~= G(im ae ; G1, G2) , G1\G2 G(G1 * G2 ; G1, G2) est simplement connexe (en d'autres termes est un G1\G2 arbre) et G(ae) est "le" rev^etement universel de G(im ae ; G1, G2). D'emonstration de (a.2). Compte tenu de (a.1) il suffit de montrer que le graphe G(G ; G1, G2) est connexe si G est engendr'e par G1 et G2. Ceci r'esulte de l'observation suivante : soient g un 'el'ement de G et i un 'el'em* *ent de {1, 2}, alors l'ensemble des sommets s tels que {pi(g), s} est une ar^ete e* *st 'egal `a p3-i(g Gi). D'emonstration de (b.1). Il est clair que l'on peut supposer im ae = G. On pose X = G(G ; G1, G2), X1 = X -G=G2 et X2 = X -G=G1 (G=Gi, i = 1, 2, est un sous-ensemble de l'ensemble des sommets de X) ; Xi est un ouvertT de X qui se r'etracte par d'eformationTG-'equivariante sur G=Gi, X1 X2 s'identifie au produit G=(G1 G2)x]0, 1[. On consid`ere la construction de Borel EG xG X. Le th'eor`eme de Van Kampen, appliqu'e au recouvrement 197 ouvert {EG xG Xi}i=1,2, montre que le groupe fondamental de EG xG X est canoniquement isomorphe `a la somme amalgam'ee G1 * G2. La suite exacte G1\G2 de groupes associ'ee au rev^etement galoisien EG x X ! EG xG X s'identifie `a une suite exacte de la forme : ae 1 ---! ss1(G(G ; G1, G2) ; a)---! G1 * G2 ---! G - --! 1 . G1\G2 Remarques et compl'ements - On peut condenser les points (a.2) et (b.1) de la proposition C.4 en disant que l'on a une suite exacte ae 1 ! ss1(G(G ; G1, G2) ; a) ! G1 * G2 ! G ! ss0(G(G ; G1, G2) ; a) ! * G1\G2 de groupes et d'ensembles point'es. - Soit X un espace topologique connexe (et localement connexe par arcs) point'e, admettant un rev^etement universel, disons X" ; on suppose que X est muni d'une action d'un groupe G (sans condition de point base). Alors le groupe ss1(EG xG X) s'identifie au sous-groupe des hom'eomorphismes de "X, disons G", dont l'action sur X" "rel`eve" celle de G sur X . En effet, on constate que l'action "diagonale" de "Gsur EGxX" est libre, que l'application EG x "X! EG xG"X" est un rev^etement et que l'espace EG xG"X" s'identifie `a l'espace EG xG X. - On constate que le groupe -W1(R) est isomorphe, au moins en tant qu'en- semble point'e, `a ss0(Glib(R) ; a) (le lecteur a d^u d'ej`a devin'e la signifi* *cation des notations Glib(R) et a : Glib(R) est le graphe limite directe des graphes GlibRnet a est la limite directe de leurs ar^etes distingu'ees) ; pour une expl* *icita- tion de l'isomorphisme en question voir D.1. Plus g'en'eralement, l'ensemble point'e ss0(G(R) ; a) est naturellement en bijection avec l'ensemble quotient ESp(R)\L(R) (on a montr'e en 6.2.1 que la somme orthogonale fait de cet ensemble un groupe ab'elien, isomorphe au groupe U-(R), voir 6.2.1.8). On pr'ecise et justifie cette affirmation ci-apr`es. On identifie L(R) avec l'ensemble des sommets de "type 0" du graphe bipar- tite G(R). L'affirmation pr'ecise est la suivante : (A) L'application compos'ee L(R) ,! G(R) i ss0(G(R) ; a) induit une bijection d'ensembles point'es ESp (R)\L(R) ~=ss0(G(R) ; a). 198 On passe maintenant `a la justification de (A). Comme tout lagrangien d'un espace symplectique H(L) poss`ede un lagrangien transverse (point (b) de 2.1.5), l'application en question dans (A) est surjective. Il reste `a 'etudier* * la relation d''equivalence qu'elle induit sur L(R). Avant cela, on rappelle une notation introduite au chapitre 4 et on introduit une notation ad hoc : - Soient L et L0deux R-modules libres de dimension finie ; la somme ortho- gonale et l'isomorphisme H(L) H(L0) ~=H(L L0) induisent une application LL x LL0 ! LL L0, not'ee ( , 0) 7! 0. On observera que cette "loi de composition" est, en un sens 'evident, associative. - Soient L un R-module libre de dimension finie et 0, 1 deux lagrangiens de l'espace symplectique H(L) ; on 'ecrit ci-dessous 0 ~ 1 si les deux sommets ( 0, 0) et ( 1, 0) du graphe bipartite GL sont dans la m^eme composante connexe. On observera que l'on a 0 ~ 1 si et seulement il existe deux suites finies de lagrangiens de H(L), ( 1, 2, . .,. n) et ( 0, 1, . .,. n+1), avec n 1, 0 = 0, n+1 = 1 et k t k 1 pour 1 k n ( 0 et 1 sont "joints par un chemin d'ar^etes de longueur 2n"). La relation d''equivalence ~ ci-dessus v'erifie : (1) Soient 0, 1 deux lagrangiens de H(L) et 0 un lagrangien de H(L0), alors on a l'implication 0 ~ 1 ) 0 0~ 1 0 et 0 0 ~ 0 1 . (2) Pour tout lagrangien 0de H(L0) il existe un R-module de dimension finie L00et un lagrangien 00de H(L00) tels que l'on a 0 00~ L0 L00. (3) Pour tous lagrangiens 0, 1 de H(L) et tout lagrangien 0de H(L0) avec 0 0~ 1 0, il existe un R-module de dimension finie L00tel que l'on a 0 L0 L00~ 1 L0 L00. (4) Soit un lagrangien de H(L), alors on a l'implication ~ L () 2 ESp L.L (la notation ESp L.L d'esigne l'orbite de l'action du sous-groupe ESp L de SpL sur l'ensemble LL). On obtient le point (1) en changeant les suites de lagrangiens ( 1, 2, . .,. n) et ( 0, 1, . .,. n+1), 'evoqu'ees plus haut, en ( 1 0, 2 0, . .,. n 0) et ( 0 0, 1 0, . .,. n+1 0), 0 d'esignant un lagrangien de H(L0) transverse `a 0 (la variante avec 0 `a gauche est 'evidente). Le point (2) est un scholie de la d'emonstration du point (b) de 6.2.1.8. Le point (3) r'esulte des points (1) et (2). Le point (4) est un avatar de la proposition C.1. 199 Le lecteur se convaincra sans peine que ces quatre points impliquent que deux sommets ( 0, 0) et ( 1, 0) de G(R) sont dans la m^eme composante connexe, si et seulement si ils sont dans la m^eme orbite sous l'action de ESp (R). 200 Appendice D. Invariance homotopique du -W1 Soit R un anneau (commutatif) ; on pose -W1(R) = coker ( H : K1(R) ! KSp 1(R) ) . Reformulons un peu plus concr`etement cette d'efinition : On sait que ESp (R) est le sous-groupe d'eriv'e de Sp (R) (voir par exem- ple [Bs2]). Il en r'esulte que le sous-ensemble ESp (R)H(GL (R)) du groupe Sp(R), constitu'e des produits eH(g) avec e dans ESp (R) et g dans GL (R), est un sous-groupe, que ce sous-groupe est distingu'e et que le groupe quotient ESp(R) = ESp (R)H(GL (R)) est ab'elien ; il est clair que l'on a : -W1(R) = Sp (R) = ESp (R)H(GL (R)) . L'objet de cet appendice est d'expliciter une d'emonstration du th'eor`eme suivant : Th'eor`eme D (Karoubi). Soit R un anneau dans lequel 2 est inversible. Alors l'homomorphisme naturel -W1(R) ! -W1(R[T ]) est un isomorphisme. L''evaluation en 0 fournit un homomorphisme naturel -W1(R[T ]) ! -W1(R) qui est une r'etraction du pr'ec'edent. Il suffit donc de montrer que l'homo- morphisme naturel -W1(R) ! -W1(R[T ]) est surjectif : c'est que nous ferons en D.4. Le r'esultat que nous avons utilis'e en 3.3 est en fait l'injectivit'e* * de l''evaluation en 0. Notre preuve du th'eor`eme D suit de tr`es pr`es la m'ethode de lin'earisation * *(voir D.3) qu'emploie Balmer dans [Ba] o`u il d'emontre, dans un cadre l'eg`erement diff'erent du notre, un r'esultat tout `a fait analogue. Cependant, pour rester dans notre cadre, nous sommes amen'es en outre `a utiliser de fa,con cruciale un lemme (voir D.2) d^u `a Pardon [Pa]. D.1. Sur l'invariant de Witt d'un lagrangien libre Cet invariant est d'efini dans l''enonc'e suivant ; la v'erification des affirm* *ations qu'il contient est imm'ediate. 201 Proposition-D'efinition D.1.1. (a) Soient L un R-module libre de dimension finie n et b un isomorphisme de Rn sur L. Alors l'homomorphisme de Sp L dans -W1(R), compos'e, de l'isomorphisme de SpL sur Spn(R) induit par b, de l'inclusion de Spn(R) dans Sp(R) et de l'homomorphisme de passage au quotient Sp(R) ! -W1(R), ne d'epend pas du choix de b. Nous le notons w. (b) Soient en outre, un lagrangien libre de H(L) et un automorphisme symplectique de H(L) tel que l'on a = . L (l'existence d'un tel est garantie par le point (c) de la proposition 2.1.5). Alors l''el'ement w( ) de -W1(R) ne d'epend que de (et pas du choix de ). Nous l'appelons l'invariant de Witt de et nous le notons w( ). Voici les premi`eres propri'et'es de cet invariant : Proposition D.1.2. (a) Soit L un R-module libre de dimension finie. Alors on a w(L) = 0 et w(L*) = 0. (b) Soient OE : L ! L0 un isomorphisme de R-modules libres de dimension finie et un lagrangien libre de H(L). Alors on a w(H(OE) . ) = w( ). (c) Soient L un R-module libre de dimension finie, un lagrangien libre de H(L) et un 'el'ement de SpL . Alors on a w( . ) = w( ) + w( ). (d) Soient L et L0 deux R-modules libres de dimension finie ; soient un lagrangien libre de H(L) et 0 un lagrangien libre de H(L0). Alors on a w( 0) = w( ) + w( 0). En particulier on a w( L0) = w( ). (e) Soit L un R-module libre de dimension finie ; soient et 0deux lagran- giens libres de H(L), transverses l'un `a l'autre. Alors on a w( ) = w( 0). D'emonstration. Les seules propri'et'es `a m'eriter, peut-^etre, une d'emonstra* *tion sont la seconde partie de (a) et (e). Soit q : L ! L* une forme bilin'eaire sym'etrique non-d'eg'en'er'ee ; on se convainc de l''egalit'e w(L*) = 0 en contemplant la suivante : " #" # 1 -q-1 1 0 L* = . L . 0 1 q 1 202 Pour se convaincre de (e) on peut observer qu'il existe un 'el'ement de SpL tel que l'on a `a la fois = . L et 0= . L* (on peut voir l'existence d'un tel comme une cons'equence du point (c) de la proposition 2.1.5 et de la proposition 2.1.2) et appliquer (c). Remarque. Le point (e) de D.1.2 ne sera pas utilis'e dans la suite de cet appendice ; il est l`a en fait pour nous permettre d'honorer une promesse faite `a la fin de l'appendice C : Soit LlibLle sous-ensemble de LL constitu'e des lagrangiens libres (on rap- pelle que la notation LL d'esigne l'ensemble des lagrangiens de l'espace sym- plectique H(L) et que ceux-ci sont a priori seulement projectifs). D'apr`es le point (e) de D.1.2, l'application w : LlibL! -W1(R) que l'on vient de d'efinir induit une application, disons encore w : ss0(Glib(R) ; a) ! -W1(R) (le graphe Glib(R), et son ar^ete distingu'ee a, sont introduits dans l'appendice C). Cell* *e-ci r'ealise l'isomorphisme (d'ensembles point'es) 'evoqu'e dans la remarque finale de l'appendice C. Venons-en maintenant `a des consid'erations plus terre `a terre. En pratique, un lagrangien libre de H(L) est donn'e comme l'image d'un""plongement# a lagrangien" de L dans H(L) (voir 2.1.5 et 2.1.6) ; soit (notation de 2.1.6) b un tel plongement, on pose : " # " # a a w( ) = w(im ) b b " # " # a a (et on appelle encore w( ) l'invariant de Witt de ). b b " # " # a a0 Soient L, L0 deux R-modules libres de dimension finie et , 0 deux b b plongements lagrangiens, respectivement de L dans H(L) et de L0dans H(L0) ; nous abr'egerons le plus souvent ci-apr`es la relation " # " # a a0 w( ) = w( 0 ) b b en " # " # a a0 ~ 0 b b (nous dirons alors que les deux plongements lagrangiens sont 'equivalents). 203 On constate que cette relation v'erifie en particulier les propri'et'es suivant* *es : Proposition D.1.3."#Soient L et L0 deux R-modules libres de dimension a finie ; soit un plongement lagrangien de L dans H(L). Alors on a : b " # " # a uav 0 0 (1) ~ *-1 pour tous isomorphismes u : L ! L et v : L ! L ; b u bv " # " # a a * * (2) ~ pour tout homomorphisme q : L ! L avec q = q ; b b + qa " # " # a -w*-1b * (3) ~ pour tout isomorphisme w : L ! L ; b wa 2" #3 " # 6 a 0 7 a 6 0 1 7 (4) ~ 66" #77, les matrices carr'ees dans la matrice colonne de b 4 b 0 5 0 0 droite 'etant de type respectif (L, L0) x (L, L0) et (L, L0) x (L*, L0*). Remarque Notons PlL l'ensemble des plongements lagrangiens de L dans H(L). L'inva- riant de Witt a w : PlRn ! -W1(R) n2N est par d'efinition surjectif ; il n'est pas difficile de`se convaincre de ce q* *ue que -W1(R) est, au moins comme ensemble point'e, quotient de n2NPlRn par la relation d''equivalence engendr'ee les "'equivalences 'el'ementaires" du type (* *1), (2), (3) et (4) ci-dessus. D.2. Le lemme de Pardon L''enonc'e suivant, d^u `a Pardon, est lui moins 'evident que les pr'ec'edents. 204 Lemme D.2.1."#Soient L et L0 deux R-modules libres de dimension finie. a Soient un plongement lagrangien de L dans H(L) et b 0 L0 --a-! L0 ?? ? ?yf1 ??yf0 L --a-! L un diagramme commutatif de R-homomorphismes tel que le couple (f1, f0), consid'er'e comme un homomorphisme de complexes de cha^ines, du complexe 0 a L0- a! L0 dans le complexe L -! L, est une 'equivalence d'homotopie. " # a0 0 0 Alors * est un plongement lagrangien de L dans H(L ) et l'on a f0bf1 " # " # a a0 ~ * . b f0bf1 " # a0 D'emonstration. Pour se convaincre de ce que * est un plongement f0bf1 lagrangien de L0 dans H(L0) on contemple le diagramme 0 L0 --a-! L0 ?? ? ?yf1 ??yf0 L --a-! L ?? ? ?yb ??yb* * L* --a-! L* ?? ? ?yf*0 ??yf*1 0* * L0* --a-! L0 et la condition (iv) de 2.1.6. La seconde partie du lemme se v'erifie en trois 'etapes. 205 Premi`ere 'etape. On suppose que le couple (f1, f0) est un isomorphisme (de complexes de cha^ines). On conclut dans ce cas en invoquant la propri'et'e (1) de D.1.3 : " # " # " # a f-10af1 a0 ~ * = * . b f0bf1 f0bf1 Deuxi`eme 'etape. On consid`ere deux 'equivalences d'homotopie (f1, f0) et 0 (g1, g0), du complexe L -a! L dans le complexe L0 -a! L0, qui sont homo- topes. On constate alors que l'on a " # " # a0 a0 ~ * . f*0bf1 g0bg1 En effet, l'hypoth`ese "(f1, f0) et (g1, g0) homotopes" se traduit par l'existe* *nce d'un homomorphisme h : L0! L avec g0 - f0 = ah et g1 - f1 = ha0 ; on en d'eduit (en utilisant l''egalit'e a*b = b*a) que l'on a g*0bg1 = f*0bf1 + qa0 a* *vec q = f*0bh + h*b*f0 + h*a*bh. On conclut en observant que l'on a q = q* et en invoquant la propri'et'e (2) de D.1.3. Troisi`eme 'etape. On traite le cas g'en'eral. On pose " # " # " # " # " # a 0 b 0 0 a0 0 f0 0 f1 0 A = , B = , A = , F0 = , F1 = , 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 le type respectifs de ces matrices 'etant (L, L0) x (L, L0), (L, L0) x (L*, L0** *), (L0, L) x (L0, L), (L0, L) x (L, L0), (L0, L) x (L, L0) et on consid`ere les de* *ux plongements lagrangiens, respectivement de L L0 dans H(L L0) et de L0 L dans H(L0 L), suivants : " # 2 A0 3 " # A 6" * # 7 A0 , 4 f0bf1 0 5= * . B F0BF1 0 0 La propri'et'e (4) de D.1.3 donne : " # " # " # " # a A a0 A0 ~ , * ~ * . b B f0bf1 F0BF1 Or l'implication (i) ) (iii) du lemme ci-apr`es (tr`es vaguement apparent'e au lemme de Schanuel) dit que l'homomorphisme (F1, F0), du complexe 0 A L0 L -A! L0 L dans le complexe L L0 -! L L0, est homotope `a un isomorphisme. On peut donc conclure `a l'aide du r'esultat de chacune des deux premi`eres 'etapes. 206 Lemme D.2.2. Soient Po = ( P1 -d! P0 ) et Qo = ( Q1 -d! Q0 ) deux com- plexes de longueur 1, de R-modules ; soit fo : Po ! Qo un homomorphisme de tels complexes. On pose Eo = ( Z -1! Z ) ; on consid`ere Eo comme un complexe de longeur 1 (concentr'e en degr'es 0 et 1) de Z-modules. On note respectivement, i : Po ! Po Q0 Eo , p : Po Q0 Eo ! Po , j : Qo ! Qo P0 Eo et q : Qo P0 Eo ! Qo , les inclusions et projections (de complexes de R-modules) canoniques. Les conditions suivantes sont 'equivalentes : (i) fo est une 'equivalence d'homotopie ; (ii)il existe un isomorphisme Fo : Po Q0 Eo ! Qo P0 Eo (de complexes)"tel que#l'on a fo = q O Fo O i (en d'autres termes Fo est de fo . la forme ) ; . . (iii)l'homomorphisme j O fo O p : Po Q0 Eo ! Qo" P0# Eo (en fo 0 d'autres termes l'homomorphisme "stabilis'e" ) est homotope `a 0 0 un isomorphisme. D'emonstration. La v'erification des implications (ii) ) (iii) ) (i) est facile* * : - L'implication (ii) ) (iii) r'esulte de l''egalit'e j O fo O p = (j O q) O Fo* * O (i O p) et du fait que"les#endomorphismes i O p et j O q (en d'autres termes les endo- 1 0 morphismes ) sont homotopes `a l'identit'e. 0 0 - L'implication (iii) ) (i) r'esulte du fait que les homomorphismes p et j sont des 'equivalences d'homotopie (respectivement d'inverses i et q). La v'erification de l'implication (i) ) (ii) est plus technique : La condition (i) se traduit par l'existence d'un homomorphisme de complexes go * *: Qo ! Po et de deux homomorphismes h : P0 ! P1 et k : Q0 ! Q1 tels que l'on a g0f0 - 1 =* * dh, g1f1 - 1 = hd, f0g0 - 1 = dk et f1g1 - 1 = kd. 207 On constate que le diagramme ~ ~ d 0 0 1 ~ P1~ Q0------! P0 ~Q0 ~ f1 k ?? ??f0 f0g0 - 1 d g0y y 1 g0 Q1 P0------!~~Q0 P0 d 0 0 1 est commutatif et on observe que les fl`eches verticales de ce diagramme sont d* *es isomor- phismes. En effet~: ~~ ~ ~ ~~ ~ - les produits f1dgk g1 -h et g1 -h f1 k sont des matrices triangul* *aires 0 -d f0 -d f0 d g0 sup'erieures avec des 1 sur la diagonale (elles sont m^eme l'identit'e si les h* *omomorphismes d sont injectifs) ; ~ ~ ~ ~~ ~ - on a l''egalit'e f01f0g0g- 1 = f0 -1 1 g0 . 0 1 0 0 1 L'implication (i) ) (ii) r'esulte de la contemplation du diagramme ci-dessus. D.3. Lin'earisation `a la Balmer [Ba] Proposition D.3.1. Soient L un R-module libre de dimension finie et OE un plongement lagrangien de R[T ] R L dans H(R[T ] R L). Alors il existe un R-module libre de dimension finie L0tel que OE est 'equivalent `a un plongement lagrangien de R[T ] R (L L0) dans H(R[T ] R (L L0)) de la forme " # a , b0 + T b1 a, b0, b1, d'esignant respectivement un R-endomorphisme de L L0 et deux formes bilin'eaires sur L L0. Cette proposition r'esulte de la proposition D.1.3 et du lemme D.3.2 ci-apr`es. Pour 'enoncer celui-ci, il sera commode de disposer des notations introduites ci-dessous."# a(T ) Soit un 'el'ement de PlR[T] RL. b(T ) Soit k un entier naturel, on note ak (resp. bk) le "coefficient" de T kdans a(T* * ) (resp. b(T )) : en clair, (ak)k2N (resp. (bk)k2N) est la suite d'endomorphismesP de L (resp.Pde formes bilin'eaires sur L) d'efinie par a(T ) = k2NT kak (resp. b(T ) = k2NT kbk). 208 Soient m, n deux entiers naturels, on 'ecrit " # " # a(T ) m deg , b(T ) n pour dire que l'on a ak = 0 pour k > m et bk = 0 pour k > n. " # a(T ) Lemme D.3.2. Soit un 'el'ement de PlR[T] RL. On suppose b(T ) " # " # a(T ) m deg , b(T ) n m et n d'esignant deux entiers naturels avec 1 m n. On note respectivement,"A(T#)"et ff(T#) les endomorphismes de R[T ] R (L L) a(T ) 0 1 0 de matrices et m , B(T ) et fi(T ) les formes bilin'eaires sur 0 1 -T " 1 # " # b(T ) 0 0 T n-m bn R[T ] R (L L) de matrices et n-m * n-m * . 0 0 T bn T am bn On pose enfin : " # " #" # A"(T ) 1 0 A(T )ff(T ) B"(T ) = fi(T )1 B(T )ff(T ) . Alors : " # A"(T ) (a) La matrice " appartient `a PlR[T] R(L L). B (T ) (b) On a " # " # "A(T ) m deg " . B (T ) n - 1 D'emonstration du point (a). Il suffit de se convaincre de ce que la forme bilin'eaire fi(T ) est sym'etrique. Pour cela observer que l''egalit'e a*(T )b(* *T ) = b*(T )a(T ) implique en particulier l''egalit'e a*mbn = b*nam . D'emonstration du point (b). On calcule et on constate : " # " n n-m # "A(T ) = a(T ) 0 , "B(T ) = b(T ) - T bn T bn . -T m 1 T n-mb*ma(T ) - T na*mbn T n-ma*mbn 209 D.4. D'emonstration du th'eor`eme D On montre que l'homomorphisme naturel -W1(R) ! -W1(R[T ]) est surjectif sous l'hypoth`ese 1_22 R. Compte tenu de la proposition D.3.1 (et du fait que tout 'el'ement de -W1(R[T ]) est un invariant de Witt), il suffit de v'erif* *ier l''enonc'e suivant : Proposition D.4.1. On consid`ere un 'el'ement de PlR[T] RL de la forme " # a , b0 + T b1 a, b0, b1, d'esignant respectivement un R-endomorphisme de L et deux formes bilin'eaires sur L. Si l'on suppose 2 inversible dans R alors on a : " # " # a a ~ . b0 + T b1 b0 La d'emonstration (toujours fortement inspir'ee par [Ba]) que nous donnons ci- apr`es de cette proposition est un tantinet absconse pour la raison suivante : nous avons tenu `a repousser le plus possible l'intervention de l'hypoth`ese 1_ 22 R ! " # a Proposition D.4.2. Soit un 'el'ement de PlR[T] RL comme b0 + T b1 pr'ec'edemment. Alors il existe : - une forme bilin'eaire sym'etrique fi sur L, - un couple (u, v) d'endomorphismes de L avec au = v a , b0u = v*b0 , - un entier naturel n et une suite (hk)k n d'endomorphismes de L avec uk = hka , vk = ahk , b0hk = (b0hk)* , tels que l'on a " # " # " # a 1 0 a = . b0 + T b1 T fi 1 b0 (1 + T u) 210 D'emonstration. Soit " # a c(T ) (T ) = b0 + T b1 d(T ) X X avec c(T ) = T kck et d(T ) = T kdk un 'el'ement de Sp R[T] RLdont la k2N k2N premi`ere colonne est le plongement lagrangien de l''enonc'e (les ck et dk, k 2* * N, sont donc respectivement des formes bilin'eaires sur L* et des endomorphismes de L*, nuls pour k assez grand). On 'ecrit " # " # 1 0 ff fl 2 (T ) (0) -1 + T (mod T ) . 0 1 fi ffi " # " # " # ff fl 0 c1 d*0 -c*0 On a donc par d'efinition = * * et en particulier fi ffi b1 d1 -b0 a ff = -c1b*0; on a d'autre part ff + ffi* = 0, fi = fi* et fl = fl* (ce sont l`a les "'equations" de l'alg`ebre de Lie du groupe symplectique). La congruence ci-dessus implique la suivante : " # " # 1 0 ff fl 2 (T ) (0) + T (0) (mod T ) ; -T fi 1 0 ffi on en d'eduit, compte tenu du fait que l'on a ffi = b0c*1, l''egalit'e " # " # " # 1 0 a a = * . -T fi 1 b0 + T b1 b0 (1 + T c1b0) On pose u = c*1b0 et v = c1b*0. On constate que l'on a bien au = v a et b0u = v*b0 ; pour se convaincre de la premi`ere 'egalit'e on observe que l''ega* *lit'e ac*(T ) = c(T )a (c'est l`a une des "'equations" du groupe symplectique, voir le d'ebut du paragraphe 2) implique en particulier ac*1= c1a*. On pose 'egalement " # 1 0 (T ) = (T ) ; -T fi 1 on a donc " # a c(T ) (T ) = b(T ) e(T ) avec b(T ) = b0(1 + T u) = (1 + T v*)b0. 211 On 'ecrit l''egalit'e e*(T )a - (c*(T )b(T )) = 1 (`a nouveau 'equation du grou* *pe symplectique) sous la forme e*(T )a - (c*(T )b0)(1 + T u) = 1 . Sous cette forme, elle peut ^etre vue comme une 'egalit'e dans End (L)[T ] ; el* *le implique la suivante dans End (L)[[T ]] : e*(T )a(1 + T u)-1 - c*(T )b0 = (1 + T u)-1 que l'on transforme en (e*(T )(1 + T v)-1)a - c*(T )b0 = (1 + T u)-1 en utilisant l''egalit'e au = va. On pose enfin : X1 e*(T )(1 + T v)-1 = (-1)kT khk . k=0 Soit n un entier tel que l'on a ck = 0 pour k n ; l''egalit'e ci-dessus montre que l'on a uk = hka pour k n. Pareillement l''egalit'e ae*(T ) - c(T )b*(T ) = 1 implique a(e*(T )(1 + T v)-1) - c(T )b*0 = (1 + T v)-1 et vk = ahk pour k n. De plus, le fait que la forme bilin'eaire b(T )e*(T ) (sur R[T ] L) est sym'etr* *ique et l''egalit'e b0(e*(T )(1 + T v)-1) = (1 + T v*)-1(b(T )e*(T ))(1 + T v)-1 montrent que les formes bilin'eaires b0hk (sur L) sont sym'etriques. " # a Proposition D.4.3. Soit un plongement lagrangien de L dans H(L). b Soient (u, v) un couple d'endomorphismes de L avec au = v a , bu = v*b , n un entier naturel et (hk)k n une suite d'endomorphismes de L avec uk = hka , vk = ahk , bhk = (bhk)* . 212 " # a (a) Soit P un polyn^ome de R[T ] avec P (0) = 1. Alors est un bP (u) plongement lagrangien de L dans H(L). (b) Soient P , Q deux polyn^omes de R[T ] avec P (0) = 1, Q(0) = 1 et P Q (mod T n). Alors on a : " # " # a a ~ . bP (u) bQ(u) (c) Soient P , Q deux polyn^omes de R[T ] avec P (0) = 1, Q(0) = 1. Alors on a : " # " # a a ~ 2 . bP (u) b(P Q )(u) D'emonstration du point (a). On consid`ere (u, v) comme un endomorphisme du complexe de cha^ines L - a! L. Les 'egalit'es un = hna et vn = ahn montrent que la puissance n-i`eme de cet endomorphisme est homotope `a z'ero. Soit Q un polyn^ome de R[T ] avec P Q 1 (mod T n) ; d'apr`es ce qui pr'ec`ede l'endomorphisme Q((u, v)) O P ((u, v)) = P ((u, v)) O Q((u, v)) = ((P Q)(u), (P Q)(v)) est homotope `a l'identit'e. L'endomorphisme P ((u, v)) = (P (u), P (v)) est donc une 'equivalence d'homotopie. On conclut en contem- plant le diagramme L --a-! L ?? ? ?yP(u) ??yP(v) L --a-! L ?? ? ?yb ??yb* * L* --a-! L* et la condition (iv) de 2.1.6. D'emonstration du point (b). Soient P un polyn^ome de R[T ], ~ un 'el'ement de R et k n un entier ; on a " # " # " # a a a = ~ b(P (u) + ~uk) bP (u) + (~bhk)a bP (u) (on peut invoquer la propri'et'e (2) de D.1.3 puisque par hypoth`ese la forme bilin'eaire bhk est sym'etrique). 213 D'emonstration du point (c). On observe que l'on a " # " # a a = * ; b(P Q2)(u) Q(v) (bP (u))Q(u) puisque, comme on l'a vu ci-dessus, (Q(u), Q(v)) est une auto-'equivalence d'homotopie du complexe de cha^ines L -a! L, on peut appliquer D.2.1. On suppose enfin 1_22 R. On d'emontre la proposition D.4.1 en invoquant les propositions D.4.2 et D.4.3, et l'argument habituel : il existe une s'erie formelle S dans Z[1_2][[X]] avec S(0) = 1 et S2 = 1 + X. 214 R'ef'erences [Ba] P. Balmer, Witt cohomology, Mayer-Vietoris, homotopy invariance and the Gersten conjecture, K-Theory 23 (2001), 15-30. [BLLV] J. Barge, J. Lannes, F. Latour et P. Vogel, -sph`eres, Ann. Sci. E'c. Norm. Sup., 7 (1974), 463-505. [Bs1] H. Bass, Algebraic K-theory, W. A. Benjamin, Inc., NewYork-Amster- dam 1968. [Bs2] H. Bass, Unitary algebraic K-theory, Algebraic K-theory, III: Hermitian K-theory and geometric applications, Seattle 1972 (proceedings), pp. 57-265, Springer L. N. M., 343 (1973). [Be] S. Betley, Homology of GL (R) with coefficients in a functor of finite degree, J. Algebra 150 (1992), 73-86. [GMV] F. Grunewald, J. Mennicke et L. Vaserstein, On symplectic groups over polynomial rings. Math. Z. 206 (1991), 35-56. [HNK] F. Hirzebruch, W. D. Neumann et S. S. 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