IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES DANS LES CAT'EGORIES DE MOD`ELES DENIS-CHARLES CISINSKI R'esum'e.Ces notes sont consacr'ees `a la construction des limites homoto- piques, et plus g'en'eralement, des images directes cohomologiques dans u* *ne cat'egorie de mod`eles arbitraire admettant des petites limites projectiv* *es. En outre, la th'eorie des d'erivateurs de Grothendieck est introduite, `a la* * fois en tant que motivation pour l''etude de telles structures, et en tant qu'out* *il de d'emonstration. Table des mati`eres Introduction 1 1. D'erivateurs 3 2. La situation id'eale 12 3. Engendrement par cofibrations 15 4. Restriction aux cat'egories directes 17 5. Hom externes et cofinalit'e 22 6. Prolongement 24 R'ef'erences 35 Introduction Ce papier est le premier d'une s'erie de trois. Son propos est d'introduire la notion de d'erivateur de Grothendieck [10, 11] (notion tr`es proche de celle de th'eorie homotopique, due `a Heller [12]) et d'en donner les principaux (mais p* *as les seuls) exemples : en effet nous montrons ici que toute cat'egorie de mod`el* *es au sens de Quillen donne lieu `a un tel objet. En particulier, nous montrons que toute cat'egorie de mod`eles admettant des petites limites projectives admet des limites homotopiques (et m^eme, plus g'en'eralement, des extensions de Kan homo- topiques `a droite). Le second papier [3] est consacr'e `a des descritions alg'* *ebrico- combinatoires de la th'eorie de l'homotopie des petites cat'egories (dont la ca* *t'egorie homotopique est 'equivalente `a celle des CW -complexes `a homotopie pr`es). Ou* *tre leur simplicit'e, l'int'er^et de ces description est qu'elle sont tr`es li'ees * *`a la structure de d'erivateur, ce qui est exploit'e dans le troisi`eme papier [4]. Dans ce der* *nier, on montre que le d'erivateur HOT associ'e `a la th'eorie de l'homotopie des e* *n- sembles simpliciaux (ou encore des petites cat'egories, etc) est caract'eris'e * *par une propri'et'e universelle. Cette derni`ere induit canoniquement une action de HOT ___________ Date: Septembre 2001. R'evis'e le 27 septembre 2002. 1 2 DENIS-CHARLES CISINSKI sur tout d'erivateur, et tout morphisme cocontinu de drivateurs est compatible une telle action. En regard des r'esultats du pr'esent papier, [4] r'esoud quel* *ques probl`emes de coh'erence homotopique pos'es par Hovey (on obtient une r'eponse positive `a [16, probl`eme 8.13], ainsi qu'une preuve de [16, conjecture 5.6.6]* *, avec leurs variantes point'ees). La notion de d'erivateur donne un cadre axiomatique, sans r'ef'erence `a auc* *une notion de cat'egorie de mod`eles, pour donner un sens `a la celle d'image direc* *te cohomologique, et pour en comprendre le comportement local. Autrement dit, ce formalisme est inspir'e de la th'eorie de la cohomologie des (pr'e)faisceaux* *, ce qui guide l'intuition de sa manipulation certes un peu lourde au premier abord. Cela peut aussi ^etre vu comme une tentative de description des structures ap- paraissant sur les cat'egories homotopiques, g'en'eralisant en un certain sens * *la notion de cat'egorie triangul'ee. Ce cadre est assez riche pour d'ecrire toutes* * les constructions homotopiques abstraites usuelles dans le cas ponctu'e (foncteurs * *de suspension et d'espace de lacets, longues suites exactes, etc.). Il donne un se* *ns `a la notion de foncteurs cohomologiquement propres ou lisses entre petites cat* *'e- gories, lesquels induisent des isomorphismes de changement de base analogues `a ceux de la g'eom'etrie alg'ebrique (voir [10, 70], [11], et aussi [20]). Cela * *offre des interpr'etations et des d'emonstrations g'eom'etriques des th'eor`emes de cofin* *alit'e homotopique, comme par exemple les th'eor`emes A et B de Quillen [23], et des r'esultats de Thomason [24]. Les axiomes que nous donnons ici ne sont pas les seuls possibles. Ils forment seulement le noyau minimal autour duquel on peut entrer en digression. Il suffit par exemple de quelques axiomes suppl'ementaires pour d'efinir une notion naturelle de d'erivateur triangul'e (voir [12, 14, 13]* *). Nous ne d'evelopperons cependant que les aspects les plus utiles `a notre propos, la* *issant une r'edaction plus approfondie `a un travail ult'erieur. Pour la construction des images directes cohomologiques dans les cat'egories de mod`eles, la principale difficult'e r'eside dans le fait qu'en g'en'eral, la* * notion de cat'egorie de mod`eles n'est pas stable par passage aux cat'egories de foncteur* *s. Cependant, si la cat'egorie d'indice est une cat'egorie de Reedy, cette propri'* *et'e est bien v'erifi'ee. Suivant Anderson [1], la strat'egie consiste donc `a plong* *er de mani`ere ad'equate toute cat'egorie de pr'efaisceaux `a valeurs dans une cat'eg* *orie de mod`eles dans une cat'egorie de pr'efaisceaux index'es par une cat'egorie de Re* *edy simple `a manipuler (proposition 6.9). Ce point de vue est celui adopt'e par Ps* *a- rogiannakopoulos [21], mais ce dernier ne semble pas avoir vu que la preuve de 6.9 pose un probl`eme de cofinalit'e homotopique non-trivial, que nous n'avons * *pu r'esoudre qu'en utilisant l'existence d'un Hom externe `a la Dwyer-Kan [6] (pr* *opo- sition 5.5). Une version plus simpliciale de ce type de construction est par ai* *lleurs d'evelopp'ee par Dwyer-Hirschhorn-Kan [7, 8]. Le travail de Chach'olski-Scherer* * [2], bien que ne portant que sur les (co-)limites homotopiques, est aussi `a signale* *r. Ces mthodes permettent en outre de dgager une nouvelle classe de catgories de modles fermes stable par passage aux catgories de foncteurs (6.17). Ces notes sont le fruit de trois expos'es que j'ai donn'es dans le courant d* *u mois de mars 2001 `a l'Institut de Math'ematiques de Jussieu, dans le cadre du groupe de travail Alg`ebre et topologie homotopiques, dont je remercie les organisateu* *rs, IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 3 Alain Brugui`eres, Bernhard Keller et Georges Maltsiniotis, pour leur accueil et leur soutien. 1. D'erivateurs Ce paragraphe se veut ^etre une introduction (rapide mais suffisante pour not* *re propos) `a la th'eorie des d'erivateurs de Grothendieck. Le lecteur pourra trou* *ver une exposition plus compl`ete dans [19]. 1.1. On d'esigne par Cat `a la fois la 2-cat'egorie des petites cat'egories et* * sa 1-cat'egorie sous-jacente, i.e. la cat'egorie des petites cat'egories. On note * *? la cat'egorie vide, et e la cat'egorie ponctuelle (i.e. n'ayant qu'un objet et une* * seule fl`eche). Si A est une petite cat'egorie, on note AO sa cat'egorie oppos'ee. Si* * u : A -! B est un foncteur, et si b est un objet de B, on d'efinit la cat'egorie A=b par Ob A=b = { (a, k) | a 2 Ob A, k 2 Hom B(u(a), b) } , 0 0 Hom A=b (a, k), (a , k ) = { f 2 Hom A(a, a0) | k0f = k }, (a, k), (a0, k0) 2 Ob A=b , la loi de composition 'etant induite par celle de A. Dualement, on d'efinit b\A par b\A = (AO=b)O. On a alors des foncteurs d'oubli canoniques A -! A=b et b\A -! A d'efinis par (a, k) 7- ! a. On v'erifie alors que les carr'es suivants* * sont cart'esiens. A=b _____//A b\A _____//A | | u=b|| |u| b\u|| |u| fflffl| fflffl| fflffl| fflffl| B=b ____//_B b\B _____//B Enfin, si A est une petite cat'egorie, on note pA : A -! e le foncteur canoniq* *ue, et pour chaque objet a de A, a : e -! A le foncteur qui pointe l'objet a. 1.2. Nous renvoyons le lecteur `a [18, XII.3] pour les notions de 2-cat'egorie* * et de 2-foncteur entre 2-cat'egories. Si C est une 2-cat'egorie, on note CO la 2-cat'* *egorie duale de C, i.e. CO a les m^emes objets que C, et si X et Y sont deux objets de C, la cat'egorie Hom__CO(X, Y ) des 1-fl`eches de X vers Y dans CO est la cat'* *egorie Hom__C(Y, X)O, cat'egorie oppos'ee des 1-fl`eches de Y vers X dans C. Une cat'egorie de diagrammes est une 2-sous-cat'egorie pleine Dia de la 2- cat'egorie des petites cat'egories Cat satisfaisant les axiomes suivants. D0 Les cat'egories vide et ponctuelle, ainsi que la cat'egorie 1, associ'ee* * `a l'ensemble ordonn'e {0 < 1}, sont dans Dia . D1 Dia est stable par sommes finies et par produits fibr'es. D2 Pour tout foncteur u : A -! B dans Dia , et pour tout objet b de B, les cat'egories A=b et b\A sont dans Dia . Une cat'egorie de diagrammes est auto-duale si elle v'erifie en outre l'axiome * *sui- vant. D3 Dia est stable par passage `a la cat'egorie oppos'ee (i.e. si A est un ob* *jet de Dia , alors AO est un objet de Dia ). 4 DENIS-CHARLES CISINSKI Une sous-cat'egorie de diagrammes de Dia est une 2-sous-cat'egorie de Dia qui e* *st une cat'egorie de diagrammes. Les exemples essentiels de cat'egories de diagram* *mes sont la cat'egorie Cat toute enti`ere, la cat'egorie Catf des cat'egories fin* *ies, la cat'egorie Ord des ensemble ordonn'es, et la cat'egorie Ordf des ensembles ordo* *nn'es finis. Nous verrons plus loin d'autres exemples plus techniques. D'efinition 1.3. Soit Dia une cat'egorie de diagrammes. Un pr'ed'erivateur de domaine Dia , ou encore un Dia -pr'ed'erivateur est un 2-foncteur contravariant strict D d'efini de Dia dans la 2-cat'egorie CAT des cat'egories (non-n'ecessa* *irement petites), i.e. un 2-foncteur (strict) D : Dia O-! CAT . Il s'agit donc d'une fonction qui `a chaque objet A de Dia associe une cat'egor* *ie D (A), `a chaque foncteur u : A - ! B dans Dia , associe un foncteur, appel'e foncteur image inverse, u* = D(u) : D(B) -! D(A) et `a chaque morphisme de foncteurs dans Dia u ________________________________________________* *____________________________________________________________________@ A ________________________________________________* *____________________________________________________________________@ v associe un morphisme de foncteurs ff* : v* -! u* * * @ ________________________________________________* *____________________________________________________________________@ D (A)_kkffØØ____D_(B)________________________________* *__________________*, _______________________________________________* *_______________________________________________________ v* le tout v'erifiant les conditions de coh'erence suivantes (lesquelles sont par * *ailleurs 'evidentes `a v'erifier dans les exemples que nous consid`ererons). (a)Pour tous foncteurs composables de Dia , A -u-!B -v-!C, (vu)* = u*v* , 1*A= 1D(A) . u ________________________* *____________________________________________________________________@ __________________________* *________________________________##ff'ff (b)Pour toutes 2-fl`eches composables de Dia , A ______________ØØØØ//_B, _________________________* *___________________________________________________________________;@ _______________________* *____________________________________________________________________@ w (fiff)* = ff*fi* , 1*u= 1u* . u _______________________* *__________________________________________v _______________________________________* *____________________________________________________________________@ (c)Pour tout 2-diagramme de Dia , A _______________________________________* *____________________________________________________________________@ u0 v0 (fi ff)* = ff*fi* . Si Dia 0est une sous-cat'egorie de diagrammes de Dia , on note D |Dia0 le Dia 0- pr'ed'erivateur obtenu `a partir de D par restriction. Lorsque cela ne sera pas* * am- bigu, on parlera de pr'ed'erivateurs sans se r'ef'erer `a la cat'egorie de diag* *rammes. IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 5 Notations 1.4. Si A est un objet de Dia , a un objet de A, et F un objet de D(A* *), on notera Fa = a*F (1.1). Si u : A -! B est un foncteur de Dia , et si F est un objet de D (B), on 'ecrira parfois par abus F |A au lieu de u*F . 1.5. Si Dia est une 2-sous-cat'egorie de Cat, on note Dia 0la 2-cat'egorie imag* *e de Dia dans Cat par le foncteur A 7- ! AO. Si Dia est une cat'egorie de diagrammes, et D un Dia -pr'ed'erivateur, le pr'ed'erivateur oppos'e `a D est le Dia 0-pr'e* *d'erivateur DO, d'efini par DO(A) = (D (AO))O , A 2 Ob Dia 0. Exemple 1.6. Si M est une cat'egorie, le Cat-pr'ed'erivateur repr'esent'e par M, encore not'e M, est le 2-foncteur A 7- ! M(A) = Hom__(AO, M) des pr'efaisceaux `a valeurs dans M. Si u : A -! B est un foncteur entre petit* *es cat'egories, le foncteur image inverse u* : M(B) -! M(A) est d'efini par X 7- ! X O u. Exemple 1.7. Un localisateur est un couple (M, W) o`u M est une cat'egorie, et o`u W est une partie de l'ensemble FlM des fl`eches de M. Pour chaque pe- tite cat'egorie A, on note WA la partie de FlM(A) form'ee des morphismes de pr'efaisceaux X -! Y tels que pour tout objet a de A, la fl`eche Xa -! Ya soit dans W. On obtient ainsi un autre localisateur (M(A), WA), et on note D(M,W) (A) = W-1AM(A) = W-1AHom__(AO, M) la localisation de M(A) par WA. On notera parfois Ho M la cat'egorie D(M,W) (e). Pour chaque foncteur u : A -! B entre petites cat'egories, on a vu qu'on a un foncteur image inverse u* : M(B) -! M(A), et on v'erifie imm'ediatement l'in- clusion u*WB WA. On en d'eduit par la propri'et'e universelle de la localisat* *ion un foncteur canonique, encore not'e u* u* : D(M,W) (B) -! D(M,W) (A) . On v'erifie que cela d'efinit un Cat-pr'ed'erivateur D(M,W) , appel'e le pr'ed'* *erivateur associ'e `a (M, W). On dira qu'un localisateur (M, W) est fortement satur'e si* * une fl`eche f de M est un 'el'ement de W `a condition et `a condition seulement que* * son image dans Ho M par le foncteur canonique soit un isomorphisme. Dans ce qui suit, on fixe une cat'egorie de diagrammes Dia . D'efinition 1.8. Soit D un pr'ed'erivateur. Un foncteur u : A -! B dans Dia admet une image directe cohomologique (resp. homologique) dans D si le foncteur u* : D(B) -! D(A) admet un adjoint `a droite (resp. `a gauche), alors not'e u* : D(A) -! D(B) (resp.u! : D(A) -! D(B) ), et appel'e le foncteur image directe cohomologique (resp. homologique) associ'e* * `a u. 6 DENIS-CHARLES CISINSKI 1.9. Lorsque B est la cat'egorie ponctuelle, on note pour chaque objet F de D(A* *), holim AOF , ou encore H*(A, F ), l'image directe cohomologique de F par u dans D (e), appel'ee dans ce cas la limite homotopique de F , o`u encore la cohomolo* *gie de A `a coefficients dans F . Dualement, dans le cas des images directes homologiq* *ues, on obtient des notions de colimite homotopique et d'homologie `a coefficients d* *ans un objet de D . 1.10. Soit D un pr'ed'erivateur. On consid`ere `a pr'esent un 2-diagramme du ty* *pe suivant dans Dia . ____v____// A0 A | | u0|| ff |u| fflffl| fflffl| B0 ____w____//B On en d'eduit par 2-fonctorialit'e le 2-diagramme de cat'egories ci-dessous. * D(A0)Ooo_v_____DO(A) | *BJ OO| u0*|| ffflflflfl u*|| | | D(B0) oo_w*____D (B) Supposons que les foncteurs u et u0 admettent tous deux des images directes cohomologiques dans D . Alors on obtient le morphisme de changement de base induit par ff, fi : w* u* -! u0*v*, * D(A0) oo_v_____D (A) | T" | u0*|| fi1111 u*|| fflffl| fflffl| D(B0) oo_w*____D (B) comme suit. Le morphisme d'adjonction u*u* -! 1D(A) induit un morphisme v* u*u* -! v*, et donc en composant avec ff*u*, un morphisme u0*w* u* -! v*. Comme u0*est par d'efinition un adjoint `a droite de u0*, cela d'efinit bien un morphisme de w* u* vers u0*v*. Cette construction sera utile en particulier dans le cas o`u ff est une iden* *tit'e (i.e. pour les carr'es commutatifs de Dia ), mais aussi dans la situation suiva* *nte. Soient u : A - ! B un foncteur dans Dia , et b un objet de B. On a vu au paragraphe 1.1 qu'on a un foncteur d'oubli j : A=b -! A, d'efini par j(a, k) =* * a, o`u a est un objet de A, et k une fl`eche de u(a) vers b dans B. On obtient donc les 'egalit'es u j(a, k) = u(a) et b pA(a, k) = b, ce qui fait de k un morphism* *e de u j(a, k) vers b pA(a, k). On v'erifie que cela d'etermine un morphisme de fonc* *teurs ff, i.e. un 2-diagramme j A=b _________//A | pA || |u | ff | fflffl| fflffl| e _____b____//B , IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 7 appel'e le 2-diagramme standard associ'e `a (u, b), et par cons'equent, en vert* *u de ce qui pr'ec`ede, un morphisme de changement de base associ'e `a (u, b), b*u* -! pA*j* . D'efinition 1.11. Un d'erivateur faible `a gauche (sous-entendu de domaine Dia ) est un pr'ed'erivateur D satisfaisant les axiomes suivants. Der 1: (a) Si I et J sont deux objets de Dia , alors le foncteur (i*, j*) D (I q J) ----! D (I) x D(J) , induit par les inclusions canoniques i : I -! I q J et j : J -! I q J, e* *st une 'equivalence de cat'egories. (b) D (?) est 'equivalente `a la cat'egorie ponctuelle. Der 2: Pour toute petite cat'egorie A dans Dia , la famille de foncteurs a* ** : D(A) -! D (e), a 2 Ob A, est conservative (i.e. si ' est un morphisme de D (A) tel que pour tout objet a de A, a*' = 'a soit un isomorphisme, alors ' est un isomorphisme). Der 3g: Tout foncteur de Dia admet une image directe cohomologique dans D. Der 4g: Pour tout foncteur u : A - ! B de Dia et tout objet b de B, le morphisme de changement de base b*u* - ! p*j*, induit par le 2- diagramme standard associ'e `a (u, b), j A=b ________//_A | p|| ff u| | | fflffl| fflffl| e_____b____//B , est un isomorphisme. Autrement-dit, pour tout objet F de D(A), on a un isomorphisme canonique (u*F )b ' H*(A=b, F |A=b) = holim(A=b)OF |A=b. Exemple 1.12. Soit M une cat'egorie admettant des petite limites projectives (resp. des limites projectives finies). Alors le pr'ed'erivateur M (resp. M|Cat* *f) est un d'erivateur faible `a gauche. En effet, les axiomes Der 1 et Der 2 sont trivialement v'erifi'es, et l'axiome Der 3g n'est que l'affirmation de l'existe* *nce des extensions de Kan dans M. Enfin, l'axiome Der 4g dit que si u : A -! B est un foncteurs entre petites cat'egories (resp. entre cat'egories finies), alors pou* *r tout objet b de B, et tout foncteur F de AO vers M, on a un isomorphisme canonique lim-A=bOF |A=b ' (u*F )b, ce qui est une des constructions possibles de l'exten* *sion de Kan de u (voir [18, X.3, th'eor`eme 1]). On fixe `a pr'esent un Dia -d'erivateur faible `a gauche D . Sorites 1.13. (a) La cat'egorie D (e) admet des produits finis. (b) Pour toute paire de morphismes composables u : A -! B et v : B -! C de Dia , on a un isomorphisme canonique (v u)* ' v*u*. 8 DENIS-CHARLES CISINSKI D'emonstration. Les axiomes Der 1, (a) et Der 3g impliquent que le foncteur dia- gonal D (e) -! D(e) x D(e) admet un adjoint `a droite, ce qui prouve l'existence de produits binaires dans D (e). Les axiomes Der 1, (b) et Der 3g impliquent que D (e) admet un objet final, ce qui ach`eve la d'emonstration de (a). L'assertio* *n (b) r'esulte imm'ediatement du fait que (v u)* et v*u* sont des adjoints `a droite * *de u*v* = (v u)*. 1.14. Consid'erons le triangle commutatif ci-dessous dans Dia . _____u______// A @ B @@@ ~~~~ v@@ØØ@""~w~~ C On peut le voir comme un carr'e commutatif __v__// A C u || |||| fflffl||| B __w__//C , et donc on obtient un morphisme canonique (1.10) w* -! u*v* . Dans le cas o`u C = e, on a donc en particulier p*B- ! u*p*A, puis en composant avec le foncteur pB*, on obtient un morphisme de foncteurs pB* p*B- ! pA*p*A. D'efinition 1.15. Un morphisme u : A -! B de Dia est une D-'equivalence si la fl`eche pB* p*B- ! pA*p*Aest un isomorphisme dans D (e). Un objet A de Dia est D -asph'erique si pA : A -! e est une D-'equivalence. Un morphisme u : A -! B de Dia est D -asph'erique (resp. D -coasph'erique) si pour tout objet b de B, * *A=b (resp. b\A) est D -asph'erique. Remarque 1.16. Les identit'es sont des D -'equivalence. Si dans un triangle com- mutatif de Dia , deux des trois fl`eches sont des D -'equivalences, alors il en* * est de m^eme de la troisi`eme. Si u : A -! B et v : B -! A sont deux foncteurs dans Dia , et si v u et u v sont des D-'equivalences, alors u et v sont des D-'equiv* *alences. D'autre part, on v'erifie imm'ediatement qu'un objet A de Dia est D-asph'erique* * si et seulement si le foncteur p*A : D(e) -! D(A) est pleinement fid`ele (ce qui s* *igni- fie simplement que pour tout objet X de D(e), la flche canonique X -! pA*p*AX est un isomorphisme). Lemme 1.17. Soit u : A -! B un foncteur dans Dia admettant un adjoint `a droite v : B -! A. On d'esigne par " : u v -! 1B et j : 1A - ! v u les mor- phismes d'adjonction. Alors v* est un adjoint `a droite de u*, et les morphismes j* : u*v* -! 1D(A) et "* : 1D(B) -! v* u* sont les morphismes d'adjonction correspondants. En particulier, si v est pleinement fid`ele, alors u* est plein* *ement fid`ele. IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 9 D'emonstration. C'est une cons'equence formelle de la 2-fonctorialit'e. Proposition 1.18. Soit A un objet de Dia . Si A admet un objet final, alors pour tout objet C de Dia , le foncteur (pA x 1C )* : D(C) -! D(A x C) est pleinement fid`ele. En particulier, pA x 1C est une D -'equivalence, et A * *est D-asph'erique. D'emonstration. Si A admet un objet final, le foncteur pA x 1C admet un adjoint `a droite pleinement fid`ele, `a savoir le foncteur ! x 1C , o`u ! est un objet* * final de A. La proposition r'esulte donc du lemme pr'ec'edent. 1.19. Deux foncteurs u, v : A - ! B sont homotopes s'ils sont dans la m^eme composante connexe de Hom__(A, B). Cela revient `a demander qu'il existe une suite wi, 0 i n de foncteurs de A vers B, et des morphismes de foncteurs wi- ! wi 1, tels que w0 = u et wn = v. Une fl`eche u : A -! B de Dia est une 'equivalence d'homotopie s'il existe une fl`eche v : B - ! A telle que u v et * *1B soient homotopes, et v u et 1A soient homotopes. Un objet A de Dia est contract* *ile si pA est une 'equivalence d'homotopie. La proposition pr'ec'edente implique que pour tout objet A de Dia , la projection A x 1 -! A est un D -'equivalence. On en d'eduit le corollaire suivant. Corollaire 1.20. Si u et v sont deux fl`eches homotopes de Dia , alors u est une D-'equivalence si et seulement si v en est une. En particulier, toute 'equivale* *nce d'homotopie est une D -'equivalence, et tout objet contractile de Dia est D -as* *ph'e- rique. Proposition 1.21. Soit u : A - ! B un foncteur dans Dia . Les assertions suivantes sont 'equivalentes. (a) Le morphisme u est D -asph'erique. (b) Le morphisme p*B- ! u*p*Aest un isomorphisme dans D (B). En particulier, tout morphisme D -asph'erique est une D -'equivalence. D'emonstration. En vertu de l'axiome Der 2, l'assertion (b) est 'equivalente `a* * la suivante. (b')Pour tout objet b de B, le morphisme 1D(e)= b*p*B- ! b*u*p*Aest un isomorphisme dans D (e). Or il r'esulte de l'axiome Der 4g que b*u*p*A' pA=b*p*A=b, le morphisme invoq* *u'e dans (b') s'identifiant alors `a l'un des morphismes d'adjonction du couple de foncteurs adjoints (p*A=b, pA=b*). Cela prouve l''equivalence entre (a) et (b'). Corollaire 1.22. Soit u : A -! B un morphisme D -asph'erique dans Dia tel que les foncteurs pA et pB admettent des images directes homologiques. Alors on a un isomorphisme canonique dans D (e) pA!u* -~-!pB !. D'emonstration. Le morphisme p*B -! u*p*Ainduit par transposition un mor- phisme canonique pA!u* -! pB!, et il r'esulte du lemme de Yoneda que ce dernier est un isomorphisme si et seulement si le premier en est un. 10 DENIS-CHARLES CISINSKI D'efinition 1.23. Soit Dia une cat'egorie de diagrammes. Un Dia -pr'ed'erivateur D est un d'erivateur faible `a droite si D O est un d'erivateur faible `a gauc* *he de domaine Dia 0, ou encore, de mani`ere 'equivalente, s'il satisfait les axiomes * *Der 1 et Der 2, ainsi que ceux qui suivent. Der 3d: Tout foncteur de Dia admet une image directe homologique dans D . Der 4d: Pour tout foncteur u : A - ! B de Dia et tout objet b de B, le morphisme de changement de base p!j* - ! b*u!, induit par le 2- diagramme, j b\A _________//A AI | p || ff |u | | fflffl| fflffl| e _____b____//B , est un isomorphisme. Un d'erivateur est un d'erivateur faible `a gauche et `a droite. Remarque 1.24. Si D est un d'erivateur, un morphisme u : A -! B de Dia est une D-'equivalence si et seulement si le morphisme uO : AO -! BO de Dia0 est une D O-'equivalence. D'autre part, toutes les notions relatives aux d'erivateurs f* *aibles `a gauche se dualisent aux d'erivateurs faibles `a droite. En particulier, on o* *btient l''enonc'e suivant, correspondant au corollaire 1.22. Corollaire 1.25. Soit D un d'erivateur faible `a droite de domaine Dia . On consid`ere un morphisme u : A -! B dans Dia tel que les foncteurs pA et pB admettent des images directes cohomologiques dans D . Si u est D -coasph'erique, alors on a un isomorphisme canonique dans D (e) pB *-~-! pA*u* . D'efinition 1.26. Soit Dia une cat'egorie de diagrammes. Un morphisme de domaine Dia (ou plus simplement un Dia -morphisme) F : D -! D0 est un morphisme de 2-foncteurs (non n'ecessairement strict) d'un Dia -pr'ed'er* *iva- teur D vers un second D 0. Autrement-dit, F consiste en la donn'ee pour chaque objet A de Dia , d'un foncteur F : D(A) -! D0(A) , et pour chaque foncteur u : A -! B dans Dia , d'un isomorphisme de foncteurs D (B) ____F___//_D0(B) | | flF,u : u*F -~-! F u* , u* || flflflflflF,u* *u*|| fflffl| fflff* *l| D (A) ____F___//_D0(A) satisfaisant les conditions de coh'erence suivantes. (a)Pour tout objet A de Dia , flF,1A= 1F . IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 11 (b) Pour toute paire de morphismes composables A -u-!B -v-!C de Dia , le triangle suivant commute. flF,v u u*v* FL________________//_F8u*v*8 LL rrr LLL rrr u*flF,vL&&LLLrrrflF,uv*r u*F v* u _________________________________________________* *______________________________________________________________________@ (c) Pour toute 2-fl`eche A _________________________________________________* *________________________________________________66ff'ffBde Dia , le ca@ _____________________________________________* *_________________________________________________________v flF,v v* F ____//_F v* ff*F|| |F|ff* fflffl| fflffl| u*F _flF,u//_F u* Un Dia -morphisme F est fid`ele (resp. pleinement fid`ele, resp. une Dia -'equi* *va- lence) si pour tout objet A de Dia , le foncteur F : D (A) -! D 0(A) est fid`e* *le, (resp. pleinement fid`ele, resp. une 'equivalence de cat'egories). Un 2-Dia -morphisme ~, d'un Dia -morphisme F : D -! D 0vers un second G : D -! D0, est un 2-morphisme de 2-foncteurs F ________________________________________________* *______________________________________________________________________@ D ________________________________________________* *______________________________________________________________________@ G i.e. c'est la donn'ee pour chaque objet A de Dia d'un morphisme de foncteurs ________________________________________________* *______________________________________________________________________@ D (A) ________________________________________________* *_________ff'~D(A), _____________________________________________* *_______________________________________________________33 G telle que pour tout foncteur u : A -! B dans Dia , le carr'e suivant commute. flF,u u*F ____//_F u* u*~|| |~|u* fflffl| fflffl| u*G _flG,u//_G u* Remarque 1.27. On v'erifie aussit^ot que les pr'ed'erivateurs de domaine Dia fo* *rment ainsi une 2-cat'egorie (avec les lois de composition 'evidentes). Exemple 1.28. Soit (M, W) un localisateur. Pour chaque petite cat'egorie A, on a un foncteur canonique fl : M(A) -! D(M,W) (A), et on v'erifie imm'ediatement que cela d'efinit un Cat-morphisme canonique fl : M -! D(M,W) . Un morphisme de localisateurs F : (M, W) -! (M0, W0) est un foncteur F : M -! M0 tel que F W W0. On v'erifie aussit^ot qu'un tel morphisme induit 12 DENIS-CHARLES CISINSKI canoniquement un Cat-morphisme F : D(M,W) - ! D(M0,W0) . 1.29. Soit F : D -! D0 un Dia -morphisme. Un quasi-inverse de F est un Dia - morphisme G : D0 -! D tel que F G soit isomorphe `a 1D0et G F soit isomorphe `a 1D. En particulier, pour tout objet A de Dia, les foncteurs F : D(A) -! D0(A) * *et G : D0(A) -! D(A) sont alors des 'equivalences de cat'egories quasi-inverses l'* *une de l'autre. La proposition suivante est un 'enonc'e standard, et sa d'emonstrat* *ion, purement soritale, est laiss'ee au lecteur. Proposition 1.30. Un Dia -morphisme est une Dia -'equivalence si et seulement s'il admet un quasi-inverse. 1.31. Soient Dia une cat'egorie de diagrammes, et F : D -! D0 un Dia -morphis- me. Consid'erons un foncteur u : A -! B dans Dia , et supposons qu'il admette des images directes cohomologiques dans D et dans D 0. Alors en proc'edant de mani`ere analogue aux constructions du paragraphe 1.10, on d'efinit un morphisme de foncteurs canonique F u* -! u*F . D(A) ____F____//D0(A) | BJ | u*|| flflflfl|u*| fflffl| fflffl| D(B) ____F____//D0(B) On dira que F est continu, ou encore exact `a gauche, si pour tout foncteur de Dia admettant des images directes cohomologiques dans D et D 0, le morphisme ci-dessus est un isomorphisme. Dualement, on dira que F est cocontinu, ou encore exact `a droite si le Dia 0-morphisme induit par F , F O : DO -! D0O, est conti* *nu. Enfin, F sera dit bicontinu, on encore exact, s'il est `a la fois continu et co* *continu. Exemple 1.32. Soit D un d'erivateur de domaine Dia . Pour chaque objet A de Dia , on d'efinit un d'erivateur D A par D A(B) = D(A x B). Pour chaque foncteur u : A -! B dans Dia, on obtient ainsi un Dia-morphisme exact u* : DB - ! DA , d'efini par les foncteurs (u x 1C )* : D(B x C) -! D(A x C). 2.La situation id'eale 2.1. Si M est une cat'egorie et F une partie de FlM, on note r(F) (resp. l(F)) la classe des fl`eches de M qui v'erifient la propri'et'e de rel`evement `a dro* *ite (resp. `a gauche) relativement `a F. On rappelle qu'une cat'egorie de mod`eles est la donn'ee d'un quadruplet (M, W, Fib, Cof), o`u M est une cat'egorie, et W, Fib, Cof sont des parties de FlM, telle que les axiomes suivants soient v'erifi'es. CM1: La cat'egorie M admet des limites inductives et projectives finies. CM2: W v'erifie la propri'et'e du 2 sur 3 (i.e. si dans un triangle comm* *utatif de M deux fl`eches sont dans W, alors il en est de m^eme de la troisi`em* *e). CM3: W, Fibet Cof sont stables par r'etractes. CM4: Fib\ W r(Cof) et Fib r(Cof \ W). IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 13 CM5: Toute fl`eche f de M se factorise en f = pi et f = qj, o`u p, q 2 Fi* *b, i, j 2 Cof et p, j 2 W. On notera ? l'objet initial de M et * son objet final. Les 'el'ements de Fibser* *ont appel'es des fibrations, ceux de Cof des cofibrations, et un 'el'ement de Fib\W* * (resp. de Cof \ W) sera appel'e une fibration (resp. cofibration) triviale. Un objet X* * de M sera dit fibrant (resp. cofibrant) si X -! * 2 Fib(resp. ? -! X 2 Cof). Un localisateur de Quillen est un localisateur (M, W) tel qu'il existe deux parties Fib, Cof FlM faisant de (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles. Remarque 2.2. Une cat'egorie de mod`eles au sens ci-dessus est une cat'egorie de mod`eles ferm'ee au sens de [22], car une cons'equence de ces axiomes est que Fib\ W = r(Cof), Fib= r(Cof \ W), Cof \ W = l(Fib) et Cof = l(Fib \ W). Proposition 2.3. Tout localisateur de Quillen est fortement satur'e (voir 1.7). D'emonstration. Voir [22, I.5, proposition 1]. Proposition 2.4. Soit (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles. Si A est un * *ob- jet cofibrant et X un objet fibrant de M, alors l'ensemble Hom HoM (A, X) s'ide* *n- tifie canoniquement `a l'ensemble Hom M (A, X) quotient'e par la relation d'hom* *o- topie. En particulier, toute fl`eche A -! X dans Ho M est induite par une fl`ec* *he A -! X de M. D'emonstration. Voir [22, I.1, corollaire 1]. Lemme 2.5. Soient (M, W) un localisateur de Quillen, et A une petite cat'egorie telle que (M(A), WA) soit un localisateur de Quillen. Pour chaque a 2 Ob A, on note a : e -! A le foncteur de la cat'egorie ponctuelle vers A qui pointe l'ob* *jet a. Alors la famille de foncteurs a* : D(M,W) (A) -! D(M,W) (e), a 2 Ob A, est conservative. D'emonstration. Soit OE : X - ! Y une fl`eche de D(M,W) (A). En consid'erant une cat'egorie de mod`eles sur M(A), on peut remplacer X et Y par deux objets respectivement cofibrant et fibrant, ce qui permet de supposer que OE est une f* *l`eche de M(A) (par la proposition 2.4). Les assertions suivantes sont alors 'equivale* *ntes (en vertu de la proposition 2.3). (i)OE est un isomorphisme de D(M,W) (A). (ii)OE 2 WA. (iii)8a 2 Ob A, OEa 2 W. (iv)8a 2 Ob A, OEa est un isomorphisme de D(M,W) (e). D'efinition 2.6. Soient (Mi, Wi, Fibi, Cofi), i = 0, 1, deux cat'egories de mod* *`eles. Un foncteur de Quillen `a droite (resp. un foncteur de Quillen `a gauche) est un foncteur F : M0 -! M1 tel que F (Fib0) Fib1, F (Fib0\ W0) Fib1\ W1, et tel que F * soit fibrant (resp. tel que F (Cof0) Cof1, F (Cof0 \ W0) Cof1\ * *W1, et tel que F ? soit cofibrant). Une adjonction de Quillen de M0 vers M1 est un couple (G, D), o`u D : M0 -! M1 est un foncteur admettant un adjoint `a gauche G, tel que D soit un foncteur de Quillen `a droite (ou de mani`ere 'equivalente* *, tel que G soit un foncteur de Quillen `a gauche). 14 DENIS-CHARLES CISINSKI Proposition 2.7. (i) Soit F : M0 -! M1 un foncteur de Quillen `a gauche (resp. un foncteur de Quillen `a droite). Alors F admet un foncteur d'eriv* *'e `a gauche LF : Ho M0 -! Ho M1 (resp. un foncteur d'eriv'e `a droite RF : Ho M0 -! Ho M1). (ii)Soient F0 : M0 -! M1 et F1 : M1 -! M2 deux foncteurs de Quillen `a droite. Alors le morphisme canonique R(F1F0) -! RF1RF0 est un isomor- phisme. (iii)Si (G, D) est une adjonction de Quillen d'une cat'egorie de mod`eles M0 vers une seconde M1, alors le foncteur LG : Ho M1 -! Ho M0 est l'adjoint `a gauche du foncteur RD : Ho M0 -! Ho M1. D'emonstration. (i) et (ii) r'esultent de [16, lemme 1.1.12] et de [22, I.4, pr* *oposition 1], et (iii) de [22, I.4, th'eor`eme 3]. Lemme 2.8. Soit (Mi,QWi, Fibi,QCofi), i 2QI, une famille deQcat'egories de mod`* *e- les. On pose M = iMi, W = iWi, Fib = iFibi, et Cof = iCofi. Alors (M, W, Fib,QCof) est une cat'egorie de mod`eles. En outre, le foncteur canonique Ho M -! iHo Mi est une 'equivalence de cat'egories. La d'emonstration est laiss'ee au lecteur (la premi`ere assertion est essent* *ielle- ment tautologique, mais la seconde utilise la proposition 2.4, du moins lorsque* * I n'est pas fini). Th'eor`eme 2.9. Soit Dia une cat'egorie de diagrammes. On consid`ere un locali- sateur (M, W) , et on suppose que pour chaque objet A de Dia, on s'est donn'e u* *ne cat'egorie de mod`eles (M(A), WA, FibA, CofA), de telle mani`ere que les condit* *ions suivantes soient v'erifi'ees. (a)Pour tout objet A de Dia , la cat'egorie M admet des limites projectives * *de type AO. (b)Pour tout morphisme u : A -! B de Dia , le foncteur image r'eciproque u* : M(B) -! M(A) respecte les cofibrations. (c)Pour tout morphisme u : A -! B de Dia , et pour tout objet b de B, si on note j : A=b -! A le foncteur d'oubli, le foncteur j* : M(A) -! M(A=b) respecte les fibrations. Alors la restriction D(M,W) |Dia est un d'erivateur faible `a gauche de domaine* * Dia . D'emonstration. On a M(?) = e, d'o`u l''egalit'e D(M,W) (?) = e, ce qui montre la partie (b) de Der 1. Si A et B sont deux objets de Dia , on remarque que les inclusions canoniques A -! AqB et B -! AqB induisent un isomorphisme de cat'egories M(A q B) -! M(A) x M(B), et donc la partie (a) de Der 1 r'esulte du lemme 2.8. Le lemme 2.5 montre l'axiome Der 2. L'axiome Der 3g est une cons'equence directe de la proposition 2.7, (iii), u* *ne fois remarqu'e que si u : A -! B 2 FlDia , le foncteur u* : M(B) -! M(A) admet un adjoint `a droite u* : M(A) -! M(B) gr^ace `a la condition (a), et que le couple (u*, u*) est une adjonction de Quillen par la condition (b). On notera Ru* : D(M,W) (A) -! D(M,W) (B) le foncteur d'eriv'e `a droite du foncteur u* : M(A) -! M(B), qui est donc un adjoint `a droite du foncteur Lu* ' u* : D(M,W) (B) -! D(M,W) (A). IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 15 Il reste donc `a montrer l'axiome Der 4g. Soit u : A -! B une fl`eche de Dia et b 2 Ob B. On a alors le 2-diagramme standard associ'e au couple (u, b) : j A=b ________//_A | p|| ff u| | | fflffl| fflffl| e_____b____//B . Le morphisme de changement de base b*u* -! p*j* est un isomorphisme dans M, et on remarque que u*, p* et j* sont des foncteurs de Quillen `a droite. Com* *me les foncteurs de Quillen `a droite sont stables par composition, le cas o`u u e* *st une identit'e montre que le foncteur b* est aussi un foncteur de Quillen `a droite.* * On obtient de la sorte le diagramme commutatif suivant (dont les isomorphismes verticaux sont justifi'es par la proposition 2.7, (ii)) R(b*u*) _~__//_R(p*j*) o || |o| fflffl| fflffl| Rb*Ru* ____//_Rp*Rj* || || || || || || b*Ru* ______//_Rp*j* , et donc un isomorphisme b*Ru* ' Rp*j*. 3. Engendrement par cofibrations 3.1. Soit M une cat'egorie, et I FlM. On dira que I permet l'argument du petit objet si I est un petit ensemble, et si pout tout 'el'ement A -! B de I, * *le foncteur Hom M (A, . ) commute aux limites inductives index'ees par les ensembl* *es bien ordonn'es filtr'es par un cardinal assez grand (voir [16, d'efinition 2.1.* *2] pour une d'efinition plus pr'ecise). Par exemple, il suffit que les objets A soient * *de pr'esentation finie dans M. Si M est une cat'egorie admettant des petites limites inductives, et si I est* * un ensemble de fl`eches de M permettant l'argument du petit objet, les propri'et'es suivantes sont v'erifi'ees (voir [16, th'eor`eme 2.1.14]) : - toute fl`eche f de M se factorise en f = pi o`u i 2 l(r(I)) et o`u p 2 r(I) ; - tout 'el'ement de l(r(I)) est un r'etracte d'un compos'e transfini `a droite * *d'images directes de sommes d''el'ements de I, et l(r(I)) est la plus petite classe de f* *l`eches de M contenant I et stable par ces op'erations. D'efinition 3.2. Une cat'egorie de mod`eles (M, W, Fib, Cof) est engendr'ee par (I, J) si M admet des petites limites inductives, I et J sont deux ensembles de fl`eches de M permettant l'argument du petit objet, tels que Cof = l(r(I)) et Fib= r(J) (ce qui implique que Cof \ W = l(r(J)) et que Fib\ W = r(I)). Une cat'egorie de mod`eles est engendr'ee par cofibrations s'il existe un cou* *ple (I, J) qui l'engendre. 16 DENIS-CHARLES CISINSKI Proposition 3.3. Soit (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles engendr'ee par un couple (I, J). On se donne un foncteur G : M -! M0admettant un adjoint `a droite D : M0- ! M, et on suppose les conditions suivantes v'erifi'ees. (i)La cat'egorie M0 admet des limites projectives finies et des petites limi* *tes inductives. (ii)Les ensembles GI et GJ permettent l'argument du petit objet. (iii)D(l(r(GJ))) W. On pose W0 = D-1W, Fib0= D-1Fib, et Cof0= l(Fib0\ W0). Alors le quadruplet (M0, W0, Fib0, Cof0) est une cat'egorie de mod`eles engendr'ee par (GI, GJ). D'emonstration. Voir [5, th'eor`eme 3.3] 3.4. Soit M une cat'egorie admettant des sommes, et soit A une petite cat'egori* *e. Pour chaque a 2 Ob A, le foncteur a : e - ! A, * 7- ! a, induit un foncteur a* : M(A) - ! M, lequel admet un adjoint `a gauche a! : M - ! M(A), X 7- ! X a, o`u pour b 2 Ob A, on a a (X a)b = X . HomA(b,a) Si I FlM, on note I A = {X a -! Y a | X -! Y 2 I, a 2 Ob A} . Soit (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles engendr'ee par un couple (I* *, J). On pose FibA = {f 2 FlM(A)| 8a 2 Ob A, fa 2 Fib} et CofA = l(FibA \ WA). Proposition 3.5. (M(A), WA, FibA, CofA) est une cat'egorie de mod`eles engen- dr'ee par le couple (I A, J A). D'emonstration. Soient X 2 Ob M, Y 2 Ob M(A) et a 2 Ob A. On a alors une bijection naturelle Hom M (X, Ya) ' Hom M(A)(X a, Y ), d'o`u on d'eduit facilem* *ent que I A et J A permettent l'argument du petit objet. Consid'eronsQle cas particulierQo`u AQest une cat'egorieQdiscr`ete, i.e. un * *ensemble. Alors M(A) = A M, WA = A W, FibA = A Fib, et CofA = A Cof. Le lemme 2.8 nous donne d'ej`a la structure de cat'egorie de mod`eles. Il ne reste* * donc plus qu'`a montrer que FibA = r(J A) et que FibA \ WA = r(I A), sachant que Fib= r(J) et Fib\ W = r(I), ce qui est imm'ediat en utilisant par exemple les adjonctions (a!, a*) ci-dessus. Le cas g'en'eral va r'esulter du cas discret comme suit. On consid`ere l'ens* *emble Ob A comme une cat'egorie discr`ete, et on a un foncteur d'inclusion canonique* * i : Ob A -! A, d'o`u un foncteur image r'eciproque i* : M(A) -! M(Ob A), et son adjoint `a gauche i! : M(Ob A) -! M(A). On remarque que (i*)-1WObA = WA, (i*)-1FibObA = FibA, i!(I Ob A) = I A, i!(J Ob A) = J A, et enfin que i*(l(r(J A))) l(r(J Ob A)) WObA . La proposition 3.3 permet donc de conclure. Lemme 3.6. Soit u : A -! B un foncteur entre petites cat'egories, et soit b un objet de B. On note j : b\A - ! A le foncteur d'oubli. Alors le foncteur image r'eciproque j* : M(A) -! M(b\A) respecte les cofibrations au sens de la structure de cat'egorie de mod`eles ci-dessus. IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 17 D'emonstration. Soit a un objet de A, et (a0, fi0) un objet de b\A (i.e. a02 A * *et fi02 Hom B(b, u(a0))). On a alors une identification naturelle a Hom A (a0, a) = Hom b\A((a0, fi0), (a, fi)) . fi2HomB(b,u(a)) On en d'eduit que pour tout objet X de M, et pour tout objet a de A, on a a j*(X a) = X (a, fi) . fi2HomB(b,u(a)) Par cons'equent, tout 'el'ement de I A est envoy'e par j* sur une somme d''el'* *ements de I (b\A), ce qui permet d'achever cette d'emonstration. Th'eor`eme 3.7. Soit (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles engendr'ee par cofibrations. Le pr'ed'erivateur D(M,W) associ'e au localisateur (M, W) est u* *n d'e- rivateur faible `a droite de domaine Cat. D'emonstration. Cela r'esulte imm'ediatement de la version duale du th'eor`eme * *2.9, de la proposition 3.5, et du lemme 3.6. 3.8. On rappelle que la cat'egorie des simplexes est la cat'egorie , dont les* * objets sont les ensembles n = {0, . .,.n}, n 0, munis de l'ordre naturel, et dont l* *es fl`eches sont les applications croissantes. La cat'egorie des ensembles simplic* *iaux est la cat'egorie b des pr'efaisceaux d'ensembles sur . Pour n 1, et 0 i n, on note ffiinl'unique injection croissante de n-1 * *vers n qui ne prend pas la valeur i. Pour n 0, on d'efinit un sous-pr'efaisceau @* * n de n par @ 0 = ?, et pour n 1, @ n = [0 i nIm ffiin. On note in : @ n -! n l'inclusion canonique, et I = {in | n 0}. Pour n 1 et 0 k n, on a l'inclusion canonique suivante dans b : jn,k: [i6=kImffiin= kn-! n. On d'efi* *nit alors J = {jn,k| n 1, 0 k n}. On note Cof la classe des monomorphismes de b , Fib= r(J), et on d'efinit W b comme la classe des fl`eches f de b qui admettent une factorisation de la forme f = pi, o`u p 2 r(I), et i 2 l(r(J)). Joyal et Tierney [17] donnent une preuve tout-`a-fait 'el'egante du r'esultat* * bien connu ci-dessous. Th'eor`eme 3.9 (Quillen [22]). ( b, W b, Fib, Cof) est une cat'egorie de mod`el* *es engendr'ee par le couple (I, J). 3.10. On note HOT le pr'ed'erivateur associ'e au localisateur ( b, W b), et Ho* *t = HOT (e). Corollaire 3.11. Le pr'ed'erivateur HOT est un d'erivateur faible `a droite. D'emonstration. Cela r'esulte des th'eor`emes 3.9 et 3.7. 4. Restriction aux cat'egories directes D'efinition 4.1. Une cat'egorie de Reedy est un triplet (A, A+ , A- ), o`u A es* *t une petite cat'egorie, et A+ et A- sont des sous-cat'egories de A, v'erifiant les d* *eux axiomes suivants. 18 DENIS-CHARLES CISINSKI R1 Il existe une application ffi : Ob A -! N telle que pour toute fl`eche * *ff : a - ! a0 de A+ (resp. de A- ) qui n'est pas une identit'e, ffia < ffia0 (r* *esp. ffia > ffia0). R2 Chaque fl`eche ff de A admet une factorisation unique de la forme ff = ff+ ff- , o`u ff+ est une fl`eche de A+ , et ff- une fl`eche de A- . Une cat'egorie A est directe si (A, A, Ob A) est une cat'egorie de Reedy. Elle * *est inverse si AO est directe. On note Dir (resp. Dirf) la 2-sous-cat'egorie pleine de Cat dont les objets * *sont les petites cat'egories directes (resp. les cat'egories directes finies). Remarque 4.2. Si (A, A+ , A- ) est une cat'egorie de Reedy, on a Ob A = Ob A+ = Ob A- . Pour a 2 Ob A, on 'ecrira a+ (resp. a- ) l'objet de A+ (resp. de A- ) correspondant. On v'erifie facilement que les seuls isomorphismes de A sont les identit'es. Exemple 4.3. Soit la cat'egorie des simplexes. On note + la sous-cat'egorie des monomorphismes de , et - la sous-cat'egorie des 'epimorphismes de . Alors le triplet ( , +, -) est une cat'egorie de Reedy. Exemple 4.4. Tout ensemble ordonn'e fini est une cat'egorie directe. Sorites 4.5. (a) Si (A, A+ , A- ) est une cat'egorie de Reedy, il en est de m* *^eme du triplet (AO, (A- )O, (A+ )O). (b)Si (A, A+ , A- ) et (B, B+ , B- ) sont des cat'egories de Reedy, le tripl* *et (A x B, A+ x B+ , A- x B- ) est une cat'egorie de Reedy. (c)Les cat'egories Dir et Dirf sont stables par sommes et produits finis. (d)Pour toute cat'egorie directe A, pour tout foncteur A -! B, et pour tout objet b de B, A=b et b\A sont des cat'egories directes. (e)Toute sous-cat'egorie d'une cat'egorie directe est directe (f)Si A est une cat'egorie directe finie, alors AO est une cat'egorie direct* *e finie ( i.e. elle est aussi inverse). Remarque 4.6. Dir est donc une cat'egorie de diagrammes, et Dirf une cat'egorie de diagrammes auto-duale (les assertions (c) et (e) impliquent que les cat'egor* *ies directes sont stables par produits fibr'es). 4.7. Soit (A, A+ , A- ) une cat'egorie de Reedy, et soit a : e -! A un objet d* *e A. On note @-aA (resp. @+aA) la sous-cat'egorie pleine de a- \A- (resp. de A+ =a+ * *), d'efinie par Ob @-aA = Ob (a- \A- ) \ {(a- , 1a-)} (resp. Ob @+aA = Ob (A+ =a+ ) \ {(a+ , 1a+)}), et ~a : @-aA -! A (resp. ~a : @+aA -! A) le foncteur d'oubli. Si A est une cat'egorie directe, on abr`egera les notations en 'ecrivant @aA pour @+aA (et o* *n re- marque qu'alors @-aA = ?). Si M est une cat'egorie admettant des limites inductives et projectives pert* *i- nentes, on d'efinit deux foncteurs La : M(A) -! M et Ma : M(A) -! M par La = p@-aA!~*aet Ma = p@+aA*~*a. Les foncteurs @-aA -! a\A et @+aA -! A=a IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 19 induisent des morphismes de foncteurs La -! a* -! Ma. En particulier, pour toute fl`eche OE : X -! Y de M(A), on obtient le diagramme suivant dans M. LaX _______________________//Xa____//_//_qYa xMaY MaX_//_MaX qqq qqqq | Laffi|| qqqqq ffia||qqqq |Maffi fflffl| xxqq fflffl|xxqqqq fflffl| LaY ____//_LaY qLaX Xa_____//Ya_______________________//MaY Si (M, W, Fib, Cof) est une cat'egorie de mod`eles, la cat'egorie M admettant des limites inductives et projectives pertinentes, on d'efinit CofA comme la cl* *asse des fl`eches X - ! Y de M(A), telles que pour tout a 2 Ob A, le morphisme LaY qLaX Xa -! Ya soit une cofibration, et FibA comme la classe des fl`eches X -! Y de M(A) telles que pout tout a 2 Ob A le morphisme Xa -! Ya xMaY MaX soit une fibration. On obtient la Proposition 4.8. (M(A), WA, FibA, CofA) est une cat'egorie de mod`eles, et pour tout 'el'ement X -! Y de FibA (resp. de FibA \ WA), et pour tout a 2 Ob A, le morphisme Xa -! Ya est une fibration (resp. une fibration triviale). En outre, si A est une cat'egorie directe, la classe CofA est exactement la c* *lasse des morphismes X - ! Y de M(A) tels que pour tout objet a de A, la fl`eche Xa -! Ya soit une cofibration. D'emonstration. Voir [16, th'eor`eme 5.2.5], ou [15, th'eor`eme 17.3.3]. Lemme 4.9. Soit u : A - ! B un foncteur dont la source est une cat'egorie directe, et soit b un objet de B. On note j : A=b -! A le foncteur d'oubli. Al* *ors le foncteur j* : M(A) -! M(A=b) respecte les fibrations au sens de la structure de cat'egorie de mod`eles d'efinie ci-dessus. D'emonstration. Soit (a, fi) un objet de A=b (i.e. a est un objet de A, et fi un 'el'ement de Hom B (u(a), b)). On remarque qu'on a un isomorphisme de cat'egori* *es canonique A=a ' (A=b)=(a, fi), d'o`u un isomorphisme @aA ' @(a,fi)A=b, et donc un isomorphisme de foncteurs M(a,fi)j* ' Ma, ce qui permet de conclure. Proposition 4.10. Pour tout localisateur de Quillen (M, W) , le pr'ed'erivateur restreint D(M,W) |Dirfest un d'erivateur. Si en outre M admet des petites limites projectives, le pr'ed'erivateur D(M,W) induit un d'erivateur faible `a gauche D(M,W) |Dir. D'emonstration. Cela r'esulte de la proposition 4.8, du lemme 4.9, et du th'eor* *`eme 2.9. 4.11. Soit (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles. On note Mf la sous- cat'egorie pleine de M form'ee des objets fibrants, et Wf = W \ FlMf, ce qui d'efinit un localisateur (Mf, Wf), appel'e le localisateur des objets fibrants * *associ'e `a M, et un morphisme de localisateurs i : (Mf, Wf) - ! (M, W) . On note encore i : D(Mf,Wf) -! D(M,W) le Cat-morphisme induit. Proposition 4.12. Le morphisme i : D (Mf,Wf)|Dirf- ! D(M,W) |Dirfest une Dirf-'equivalence. 20 DENIS-CHARLES CISINSKI Si en outre la cat'egorie M admet des petites limites projectives, alors la * *res- triction aux cat'egories directes i : D (Mf,Wf)|Dir -! D(M,W) |Dir est une Dir* * -'e- quivalence. Cela r'esulte imm'ediatement du lemme ci-dessous (lequel est par ailleurs 'e* *vident si les factorisation de l'axiome CM5 sont suppos'ees fonctorielles). Lemme 4.13. Soit A une petite cat'egorie telle que M(A) admette une structure de cat'egorie de mod`eles (M(A), WA, FibA, CofA) v'erifiant l'inclusion FibA * *{OE 2 Fl M(A) | 8a 2 Ob A OEa 2 Fib}. Alors le foncteur i : W-1f,AMf(A) -! W-1AM(A) est une 'equivalence de cat'egories. D'emonstration. On note comme ci-dessus M(A)f la sous-cat'egorie pleine de M(A) form'ee des objets fibrants, et WA,f = M(A)f \ WA. On obtient alors un triangle commutatif : W-1A,fM(A)f __________k___________//W-1M(A) o77 OOOO oooo OOOO ooo j OOO''O oooo i W-1f,AMf(A) . On sait que k est une 'equivalence de cat'egories (en vertu de [22, I.1, th'eo* *r`eme 1]). On en d'eduit que le foncteur j est fid`ele, et qu'il suffit de montrer qu* *e j est plein et essentiellement surjectif. Soit X -! Y une fl`eche de W-1f,AMf(A). El* *le est repr'esent'ee par un diagramme de Mf(A) du type u1 v1 u3 vn-2 un X = X0 oo___X1 _____//X2oo__. . .___//_Xn-1oo__Xn = Y , o`u les fl`eches ul sont des 'el'ements de Wf,A. Pour chaque l, on choisit une * *co- fibration triviale de but fibrant Xl -! Zl dans M(A), et pour chaque fl`eche Xl- ! Xl 1, le carr'e suivant admet un rel`evement Zl- ! Zl 1 Xl ____//_Xl 1___//_Zl 1 | | | | fflffl| |fflffl Zl________________//* , ce qui donne le diagramme commutatif suivant dans Mf(A) u1 v1 u3 vn-2 un X0 oo___X1 ____//_X2oo__. ._.___//Xn-1oo___Xn | | | | | | | | | | fflffl| fflffl| fflffl| fflffl| fflffl| Z0 os1o_Z1 __t1_//Z2os3o._._.tn-2//_Zn-1snoZno_ , dont les fl`eches verticales sont des 'equivalences faibles, ainsi que les fl`e* *ches sl. Cela montre que j est plein et essentiellement surjectif, et ach`eve donc la d'emons* *tration. IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 21 Proposition 4.14. Soient M et M0deux cat'egories de mod`eles, et F : M -! M0 un foncteur de Quillen `a droite. Alors Il existe un Dirf-morphisme RF : D(M,W) |Dirf-! D(M0,W0)|Dirf, tel que pour chaque cat'egorie directe finie A, le foncteur RF : D(M,W) (A) -! D(M0,W0)(A) soit le foncteur d'eriv'e `a droite du foncteur F : M(A) -! M0(A). Le Dirf-mor- phisme RF est continu d`es que F commute aux limites projectives finies. Si de plus M admet des petites limites projectives, ce dernier se prolonge en un Dir -morphisme RF : D(M,W) |Dir- ! D(M0,W0)|Dir , tel que pour chaque cat'egorie directe A, le foncteur RF : D(M,W) (A) -! D(M0,W0)(A) soit le foncteur d'eriv'e `a droite du foncteur F : M(A) -! M0(A). En outre, si M0admet des petites limites projectives, et si F commute aux limites projective* *s, alors le Dir -morphisme RF est continu. D'emonstration. Dans ce qui suit, Dia d'esigne ou bien la cat'egorie des cat'eg* *ories directes finies, ou bien celle des cat'egories directes. On suppose dans un pre* *mier temps que pour tout objet A de Dia, la cat'egorie M admet des limites projectiv* *es de type AO. On note (Mf, Wf) le localisateur des objets fibrants_associ'e `a M.* * La restriction de F `a Mf d'efinit un morphisme_de localisateurs F : (Mf, Wf) -! (M0, W0), et donc un Cat-morphisme F : D (Mf,Wf)-! D (M0,W0). D'autre part, en vertu de la proposition 4.12, on a une Dia -'equivalence i : D(Mf,Wf) |Dia -! D(M,W) |Dia , ce qui permet de d'efinir RF par le triangle commutatif suivant (en choisissant* * un quasi-inverse de i) : __ D (Mf,Wf)|Dia__________F_________//_D(M0,W0)|Dia PPP nnn77n PPPP nnnn i PPP''PP nnnnRF D(M,W) |Dia . On suppose `a pr'esent qu'en outre, pour tout objet A de Dia , la cat'egorie * *M0 admet des limites projectives de type AO, et que le foncteur F commute aux limites projectives de type AO. On consid`ere un foncteur u : A - ! B dans Dia . Alors les foncteurs u* : M(A) - ! M(B), u* : M0(A) - ! M0(B), F : M(A) -! M0(A) et F : M(B) -! M0(B) sont des foncteurs de Quillen `a droite, et comme le morphisme canonique F u* -! u*F est un isomorphisme de M0(B), on obtient le diagramme commutatif suivant (les isomorphismes verticaux 22 DENIS-CHARLES CISINSKI 'etant les isomorphismes canoniques de la proposition 2.7, (ii)) : R(F u*)__~__//R(u*F ) o|| |o| fflffl| fflffl| RF Ru* _____//Ru*RF . On a ainsi un isomorphisme canonique RF Ru* ' Ru*RF . 5. Hom externes et cofinalit'e 5.1. On fixe pour le moment une cat'egorie de mod`eles M, et un objet cofibrant A de M( O) = Hom__( , M) (au sens de la structure de cat'egorie de mod`eles de la proposition 4.8), tel que pour toute fl`eche m -! n de , le morphisme Am - ! An soit une 'equivalence faible. On note b pfla sous-cat'egorie pleine de b form'ee des ensembles simpliciaux* * de pr'esentation finie (c'est-`a-dire des ensembles simpliciaux K tels que le fonc* *teur Hom b(K, . ) commute aux petites limites inductives filtrantes). On remarque que comme dans la cat'egorie des ensembles, les limites inductives filtrantes c* *om- mutent aux limites projectives finies, la cat'egorie b pf est stable par limite* *s in- ductives finies. Il est en outre 'evident que les simplexes standard n sont de pr'esentation finie, d'o`u on d'eduit que les ensembles simpliciaux @ n, knso* *nt de pr'esentation finie. En fait, on peut montrer qu'un ensemble simplicial est * *de pr'esentation finie si et seulement si l'ensemble de ses simplexes non-d'eg'en'* *er'es est fini. Lemme 5.2. Il existe un foncteur, unique `a isomorphisme unique pr`es, A! : b pf-! M qui commute aux limites inductives finies, tel que pour tout entier positif n, A! n = An. D'emonstration. On rappelle que si K est un ensemble simplicial, et si =K d'esigne la cat'egorie des simplexes au-dessus de K (i.e. les objets de =K so* *nt les couple ( n, u) o`u u 2 Hom b ( n, K) et les fl`eches sont les triangles commuta* *tifs 'evidents), on a un foncteur OEK : =K -! b, ( n, u) 7- ! n, et que le morphisme canonique lim-!OEK - ! K est un isomorphisme. D'autre part, si K est de pr'esentation finie, on peut montrer que K est le conoyau d'une double fl`ec* *he du type L0' L, o`u L et L0sont des sommes finies de pr'efaisceaux repr'esentabl* *es. Comme les pr'efaisceaux repr'esentables sont connexes, les fl`eches de L0vers L* * sont induites par des morphismes entre pr'efaisceaux repr'esentables. On note I la s* *ous cat'egorie pleine de =K engendr'ee par ces fl`eches (lesquelles sont au-dessu* *s de K par le morphisme canonique L -! K), et i : I -! =K l'inclusion. La cat'egorie I est finie, et on v'erifie que le morphisme canonique lim-!i*OEK - ! lim-!OEK * *est un isomorphisme. On en d'eduit que le foncteur i est cofinal (i.e. que pour tout o* *bjet ( n, u) de =K, la cat'egorie ( n, u)\I est connexe). Par suite, toute cat'ego* *rie C admettant des limites inductives finies admet des limites inductives de type * *=K (car si F : =K - ! C est un foncteur l'objet lim-!i*F repr'esente le foncteur X 7- ! lim-HomC (F, X)). On peut `a pr'esent d'efinir le foncteur A! comme suit : si K est un ensemble IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 23 simplicial de pr'esentation finie, on pose A!K = lim-!(A OEK ), et si f : K - * *! L est un morphisme de b pf, il induit un foncteur =f : =K -! =L, d'o`u un morphisme canonique A!f : A!K -! A!L. Lemme 5.3. Pour tout n 0, le morphisme A!(@ n) - ! A!( n) est une cofibration, et pour n 1, 0 i n, les morphismes A!( kn) -! A!( n) sont des cofibrations triviales. D'emonstration. La pr'esentation de @ n dans [9, II.3.9] et l'explicitation d* *e la construction de LnA := L n A montrent que A!(@ n) et LnA sont canonique- ment isomorphes, ce qui montre la premi`ere assertion puisqu'on a suppos'e A cofibrant. On en d'eduit que pour tout monomorphisme i : K - ! L de bpf, A!K -! A!L est une cofibration, car i est un compos'e fini d'images directes de sommes finies d'inclusions du type @ n -! n (cela r'esulte de la d'ecomposition des monomorphismes de b via les foncteurs squelettes (voir [9, IV.2.1.2]), et du fait que l'ensemble des simplexes non-d'eg'en'er'es d'un ensembles simplicia* *l de pr'esentation finie est fini). Pour conclure, il suffit de reproduire telle que* *lle la preuve de [16, proposition 3.6.8]. Proposition 5.4. L'objet cosimplicial A induit un foncteur A* : M -! b , d'efini sur les objets par X 7- ! ( n 7- ! Hom M (An, X)), lequel est un foncte* *ur de Quillen `a droite et commute aux petites limites projectives. En outre, pour to* *ut objet fibrant X de M, l'ensemble ß0A*X s'identifie canoniquement `a l'ensemble Hom HoM (A0, X). D'emonstration. Si K est un ensemble simplicial de pr'esentation finie, et si X* * est un objet de M, on a une bijection naturelle Hom M (A!K, X) ' Hom b (K, A*X) . Cette constatation, le lemme 5.3 et le th'eor`eme 3.9 permettent de montrer que le foncteur A* respecte les fibrations et les fibrations triviales. Il est d'au* *tre part imm'ediat que A* commute aux limites projectives, et donc que A* est un foncteur de Quillen `a droite. Soit X un objet fibrant de M. Comme A*X est un ensemble simplicial fibrant, deux 'el'ements u0 et u1 de (A*X)0 = Hom M (A0, X) sont dans la m^eme compo- sante connexe si et seulement s'il existe h 2 (A*X)1 = Hom M (A1, X) tel que h0 = u0 et h1 = u1. Or L1A = A0 q A0 -! A1 -! A0 est un cylindre de A0, et donc ß0A*X est l'ensemble Hom M (A0, X), quotient'e p* *ar la relation d'homotopie (laquelle ne d'epend pas du cylindre choisi). La propos* *ition 2.4 ach`eve ainsi cette d'emonstration. Proposition 5.5. Soit (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles, la cat'egorie M admettant des petites limites projectives. Pour tout objet X de Ho M, il exis* *te un Dir -morphisme continu, R Hom (X, . ) : D(M,W) |Dir- ! HOT |Dir 24 DENIS-CHARLES CISINSKI tel que le triangle suivant commute (`a isomorphisme pr`es) : R Hom(X, . ) Ho MI _____________//_Hot II xxx III xx HomHoM(X, . )II$$I__xxi0x Ens . D'emonstration. Soit X un objet de M. On choisit une 'equivalence faible de source cofibrante A -! p* OX au sens de la structure de cat'egorie de mod`eles de la proposition 4.8, et on obtient en vertu des propositions 5.4 et 4.14, un Dir -morphisme continu RA* : D(M,W) |Dir- ! HOT |Dir . On pose R Hom (X, . ) = RA*. Comme X ' A0 dans Ho M, on conclut gr^ace `a la seconde assertion de la proposition 5.4. Remarque 5.6. Le morphisme R Hom (X, . ) construit ci-dessus ne d'epend pas du choix de l'objet cosimplicial A, dans le sens o`u si B -! p* OX est une 'equiva* *lence faible de source cofibrante, on aura un isomorphisme RA* ' RB*, ce qu'on peut montrer en utilisant [16, proposition 5.4.1] et l'axiome Der 2. De mani`ere plus conceptuelle, on peut montrer qu'un tel morphisme est d'efini `a isomorphisme unique pr`es, en exhibant une propri'et'e universelle ad'equate (voir la remarq* *ue 6.15). Corollaire 5.7. Soit (M, W, Fib, Cof) une cat'egorie de mod`eles, la cat'egorie* * M admettant des petites limites projectives. Pour tout foncteur HOT -coasph'eriq* *ue entre cat'egories directes, u : A -! B, le morphisme canonique RpB *-! RpA *u* est un isomorphisme dans Ho M. D'emonstration. Comme HOT est un d'erivateur faible `a droite (th'eor`eme 3.11* *), en vertu du corollaire 1.25, on a un isomorphisme RpB *' RpA *u* dans HOT . Soient X un objet de D(M,W) (e), et F un objet de D(M,W) (B). On a alors gr^ace `a la proposition 5.5 : Hom HoM (X, RpB *F )' ß0R Hom (X, RpB *F ) ' ß0RpB *R Hom (X, F ) ' ß0RpA *u*R Hom (X, F ) ' ß0R Hom (X, RpA *u*F ) ' Hom HoM (X, RpA *u*F ) . Le lemme de Yoneda ach`eve ainsi la d'emonstration. 6. Prolongement 6.1. Soit M une cat'egorie de mod`eles. On note i : Mf -! M l'inclusion de la sous-cat'egorie des objets fibrants de M, laquelle induit une 'equivalence de cat'egories i : Ho Mf -! Ho M. On consid`ere un localisateur (M0, W0) et une sous-cat'egorie pleine M00de M0. On suppose que W0 est stable par "2 sur 3" IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 25 (i.e. v'erifie l'axiome CM2). On note j : M00-! M0 l'inclusion, et on d'efinit un localisateur (M00, W00) par W00= j-1W0. On obtient de la sorte un foncteur j : Ho M00-! Ho M0. Pour chaque objet X de M, on choisit une cofibration triviale de but fibrant uX : X -! RX. Il existe alors un unique foncteur R : Ho M -! Ho Mf tel que R(X) = RX sur les objets, et tel que les fl`eches uX d'efinissent un isomorphisme de foncteurs u : 1HoM -! iR. Soit D : M -! M0un foncteur tel que D(Fib\ W) W0 et DMf M00. Si Df : Mf -! M00d'esigne la restriction de D `a Mf, on a donc DWf W00(en vertu de [16, lemme 1.1.12]), et ainsi un foncteur Df : Ho Mf -! Ho M00. On d'efinit D_= DfR, et RD = jD_, ce qui donne le diagramme commutatif suivant : __RD_//_ 0 Ho M K Ho MOO | KKKD_K | R | KKK |j fflffl| KK%%| Ho Mf _D__//_HoM00 . f Le foncteur RD ci-dessus n'est autre que le foncteur d'eriv'e `a droite du fonc* *teur D. Supposons en outre que le foncteur D admette un adjoint `a gauche G : M0- ! M tel que GW0 W. On note encore G : Ho M0- ! Ho M le foncteur localis'e, et G_ : Ho M00-! Ho M celui induit par la restriction de G `a M00. On a alors un triangle commutatif : G_ Ho M00L________________//_HoM99 LL sss (?) LLLLL ssss j L%%L sss G Ho M0 . Soient " : GD -! 1M et j : 1M0 - ! DG les morphismes d'adjonction. Pour chaque objet X de M, on note "_X : G_D_X -! X le morphisme compos'e "RX u-1X GD(RX) ____//_RX___//_X , et pour chaque objet Y de M00, on d'efinit un morphisme j_Y : Y - ! D_G_Y par la composition ''Y DuGY Y ____//_DGY____//_D(RGY ) . On obtient ainsi deux morphismes de foncteurs "_ ''_ G_D_-! 1HoM et 1HoM00 --! D_G_ , gr^ace au fait que pour toute fl`eche f : X -! Y de M, il existe un carr'e commutatif dans M de la forme uX X ____//_RX f|| || fflffl| fflffl| Y __uY//_RY . 26 DENIS-CHARLES CISINSKI Proposition 6.2. Le couple (G_, D_) est une adjonction pour les morphismes "_et j_. D'emonstration. Si X est un objet de M, comme RX est un objet fibrant, et comme uGD(RX) est une cofibration triviale, il existe une fl`eche v : RGD(RX) -! RX telle que v uGD(RX) = "RX dans M. On a alors le diagramme commutatif suivant dans Ho M00. 1D(RX) ____________________________________________* *____________________________________________________________________@ ___________________________________________________* *____________________________________________________________________@ _____________________________))_________________________* *____________________________________________________________________@ D_(X) = D(RX) ____//_DGD(RX) ____//_D(RX) = D_(X) RRR ll66l RRRRDuGD(RX)| lllll ''_D_(X)R((RRRRRfflffl||Dv=D_"_Xlllll D_G_D_(X) Si Y est un objet de M0on a le diagramme commutatif suivant dans Ho M. 1G_(Y ) ____________________________________________* *____________________________________________________________________@ __________________________________________________* *____________________________________________________________________@ __________________________))__________________________* *________________________________G''Y"GY G_(Y ) = G(Y )____//GDG(Y ) _____//G(Y ) = G_(Y ) PPPP | nnn66n PPPP |GDuGY nnnn uGY| G_''_YP((PPPfflffl|n"_G_(Yn)fflffl||nn G_D_G_(Y )___"RGY_//_RGY Ceci prouve l'assertion. Corollaire 6.3. Le foncteur G : Ho M0 -! Ho M est un adjoint `a gauche du foncteur RD : Ho M -! Ho M0. Si en outre pour tout objet Y de M0, le morphisme Y -! DGY -! D(RGY ) est dans W0, alors le foncteur homoto- pique G : : Ho M0- ! Ho M est pleinement fid`ele, et le foncteur j : Ho M00-! Ho M0 est une 'equivalence de cat'egories. D'emonstration. La premi`ere assertion est une sp'ecialisation de la propositio* *n ci- dessus. Pour la seconde, on remarque que l'hypoth`ese implique que les foncteur* *s G et G_sont pleinement fid`eles, puisque les morphismes d'adjonction 1HoM00 -! D_* *G_ et 1HoM0 - ! RD G sont des isomorphismes, et que le foncteur j est essentielle- ment surjectif. Il reste donc `a v'erifier que j est pleinement fid`ele, ce qui* * r'esulte imm'ediatement de la commutativit'e du triangle (?). 6.4. Soit 0la sous-cat'egorie de dont les fl`eches sont les monomorphismes* * de . On a deux inclusions 'evidentes 0 -! et -! Cat, d'o`u un foncteur i : 0-! Cat. Le foncteur i permet de d'efinir un foncteur 0=- : Cat -! Cat, A 7- ! 0=A. Si A est une petite cat'egorie, la cat'egorie 0=A a pour objets* * les couples ( m , ff), o`u ff : m - ! A est un foncteur (i.e. une suite de m fl`e* *ches composables de A), et pour fl`eches f : ( m , ff) - ! ( n, fi) les applicatio* *ns croissantes et injectives f : m - ! n telles que fif = ff. On d'efinit un fo* *ncteur øA : 0=A -! A par øA( m , ff) = ff(m) sur les objets et øAf = fi(f(m) -! n) sur les fl`eches. On obtient ainsi un morphisme de foncteurs ø : 0=- -! 1Cat. IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 27 Lemme 6.5. Pour toute petite cat'egorie A, 0=A est une cat'egorie directe. Le foncteur 0=- commute aux sommes et aux produits fibr'es, et pour tout foncteur u : A -! B, pour tout objet b de B, le morphisme canonique 0=(A=b) -! ( 0=A)=b est un isomorphisme. La d'emonstration est laiss'ee au lecteur. Proposition 6.6. Soit A une petite cat'egorie admettant un objet final !. On forme le carr'e cart'esien suivant dans Cat : __~_//_0 F =A | | fiA| | | fflffl| fflffl| e ___!__//_A . Alors la cat'egorie F est contractile, et pout tout objet , de 0=A, la cat'eg* *orie ,\F est contractile. En particulier, le foncteur ~ est HOT -coasph'erique. D'emonstration. On d'efinit un foncteur D : 0=A -! 0=A par D( m , ff) = ( m+1 , Dff) , o`u ( ff(k) si k m Dff(k) = ! si k = m + 1, et si f : ( m , ff) -! ( n, fi) est une fl`eche de 0=A, on pose ( f(k) si k m Df(k) = n + 1 si k = m + 1. On note : 0=A -! 0=A le foncteur constant de valeur ( 0, !). Les inclusio* *ns m - ! m+1 , k 7- ! k, et 0 -! m , 0 7- ! m + 1 induisent des morphismes de foncteurs 1 0=A _________________________________________________________________* *______________________________________________________________________@ 0=A_________________________________________________________________* *______________________________________________________________________@ D D On remarque ensuite que le foncteur ~ est pleinement fid`ele, que ( 0, !) est un objet de F , et que Im D F , et on obtient des morphismes de foncteurs par restriction des pr'ec'edents 1F ______________________________* *_____________________________________________________ _____________________________________________________________* *______________________________________________________________________@ F _____________________________________________________________* *______________________________________________________________________@ D D Cela implique que F est contractile. Soit , un objet de 0=A. On note , : ,\F - ! ,\F le foncteur constant de valeur (D,, , -! D,), et on d'efinit un foncteur D, : ,\F -! ,\F par D,(i, , -! i) = (Di, , -! D, -! Di) . 28 DENIS-CHARLES CISINSKI On a alors deux morphismes de foncteurs 1,\F , _______________________________________________________________* *____________________________________________________________________@ ,\F _______________________________________________________________* *____________________________________________________________________@ D, D, d'efinis gr^ace au fait que pour toute fl`eche , - ! i dans 0=A, on a un carr* *'e commutatif ,_____//D, | | | | fflffl| fflffl| i_____//Di . On a ainsi montr'e que ,\F est contractile. 6.7. On consid`ere `a pr'esent une cat'egorie de mod`eles (M, W, Fib, Cof), la * *cat'e- gorie M admettant des petites limites projectives, et on note D = D(M,W) le pr'ed'erivateur associ'e. Si (Mf, Wf) d'esigne le localisateur des objets fibra* *nts de M, on note D f= D(Mf,Wf). Si A est une cat'egorie directe on consid`ere M(A) munie de sa structure de cat'egorie de mod`eles de Reedy (voir la proposition 4.8). On sait en outre que D |Dir est un d'erivateur faible `a gauche (proposition 4.10). Lemme 6.8. Soit u : A -! B un foncteur entre petites cat'egories. On suppose que A est une cat'egorie directe. (i)Pour toute fibration (resp. fibration triviale) X - ! Y de M(A), et pour tout objet b de B, le morphisme (u*X)b -! (u*Y )b est une fibration (resp. une fibration triviale) de M. (ii)Le foncteur u* : M(A) - ! M(B) admet un foncteur d'eriv'e `a droite Ru* : D (A) - ! D (B), lequel est un adjoint `a droite du foncteur image inverse u* : D(B) -! D(A). (iii)Pour tout objet b de B, le morphisme de changement de base b*Ru* -! Rp*j*, induit par le 2-diagramme standard j A=b _________//A | p || ff |u | | fflffl| fflffl| e _____b____//B , est un isomorphisme dans D (e). D'emonstration. Soit b 2 B. Avec les notations de (iii), on a un isomorphisme canonique b*u* ' p*j* dans M. Or les foncteurs p* et j* sont des foncteurs de Quillen `a droite en vertu de la proposition 4.8 et du lemme 4.9. Cela montre le point (i), et on en d'eduit le point (ii) par le corollaire 6.3. Pour montrer le point (iii), on remarque que R(p*j*) - ! Rp*Rj* = Rp*j* est un isomorphisme par la proposition 2.7 (ii), et que R(b*u*) ' b*Ru* car le foncteur b* : M(B) - ! M respecte les 'equivalences faibles. L'isomorphisme b*u* ' p*j* induit donc un isomorphisme b*Ru* ' Rp*j*. IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 29 Proposition 6.9. Pour toute petite cat'egorie A, le foncteur ø*A : D(A) -! D( 0=A) est pleinement fid`ele et admet un adjoint `a droite RøA* : D( 0=A) -! D(A) . Le Cat-morphisme D f- ! D est une Cat-'equivalence. D'emonstration. Soit X un objet de M(A). On se donne une 'equivalence faible de but fibrant ø*AX - ! Y dans M( 0=A), et on va montrer que le morphisme induit par adjonction X -! øA*Y est une 'equivalence faible. Pour chaque objet a de A, on a le 2-diagramme standard j 0 0=A=a ________//_ =A | p|| fffififfiffifffffiA| | | fflffl| fflffl| e ______a______//_A , et un isomorphisme canonique a*øA *' p*j*. On veut donc montrer que la fl`eche Xa -! p*j*Y est une 'equivalence faible de M, ou encore qu'elle induit un isomo* *r- phisme dans Ho M (en vertu de la proposition 2.3). On a en outre l'identificati* *on p*j*Y = Rp*j* ø*AX dans Ho M (par les lemmes 4.9 et 6.8). Formons le carr'e cart'esien suivant dans Cat : __~_//_0 F =A=a | q| fiA=a| | | |fflffl fflffl| e ______//_A=a . (a,1a) Par la proposition 6.6, on sait que F est une cat'egorie contractile, et donc D* * - asph'erique, ce qui donne un isomorphisme canonique 1HoM - ! Rq*q*, et que le foncteur ~ est HOT -coasph'erique, ce qui implique par le corollaire 5.7 qu* *e le morphisme canonique Rp* -! Rq*~* est un isomorphisme. Vu que ~*j* ø*A= q* a*, on en d'eduit les isomorphismes suivants dans Ho M : Xa ' Rq*q*Xa ' Rq*q* a*X ' Rq*~*j* ø*AX ' Rp*j* ø*AX . Le lemme 6.8, (i) permet d'appliquer le corollaire 6.3 pour G = ø*Aet D = øA* (la cat'egorie Mf(A) jouant le r^ole de M00), ce qui ach`eve la d'emonstration. Corollaire 6.10. Pour toute petite cat'egorie A, la cat'egorie D(A) est localem* *ent petite (autrement-dit, pour toute paire X, Y d'objets de D (A), Hom D(A)(X, Y )* * est un petit ensemble). Th'eor`eme 6.11. Sous les hypoth`eses du num'ero 6.7, le pr'ed'erivateur D est * *un d'erivateur faible `a gauche de domaine Cat. D'emonstration.`Soit (Ai)iQune famille de petites cat'egories. Alors le foncteur canonique D ( iAi) - ! iD (Ai) est une 'equivalence de cat'egories. En effet, 30 DENIS-CHARLES CISINSKI comme il est 'evident qu'il est biunivoque sur les objets, il suffit de v'erifi* *er qu'il est pleinement fid`ele, ce qui se d'eduit du carr'e commutatif suivant ` Q D( iAi) ________//iD (Ai) (` ifiAi)*|| |Qifi*Ai| ` fflffl| Q fflffl| D( i 0=Ai)_____//iD ( 0=Ai) , ` Q car les foncteurs ( iøAi)* = ø*`iAiet iø*Aisont pleinement fid`eles (proposi- ` 0 Q 0 tion 6.9), et le foncteur D ( i =Ai) - ! iD ( =Ai) est une 'equivalence * *de cat'egories en vertu du lemme 2.8. Etant donn'e que l'on sait d'ej`a que D (?) * *= e, cela montre en particulier l'axiome Der 1. Montrons l'axiome Der 2. Soit A une petite cat'egorie. Si OE est une fl`eche* * de D (A) telle que pour tout objet a de A, OEa soit un isomorphisme de D (e), alors pour tout objet , de 0=A, (ø*AOE), est un isomorphisme, et donc ø*AOE est un * *iso- morphisme de D( 0=A). Comme le foncteur ø*Aest pleinement fid`ele (proposition 6.9), on en d'eduit que OE est un isomorphisme. Soit u : A - ! B un foncteur entre petites cat'egories. On a alors le carr'e commutatif suivant : 0=u 0 0=A_____// =B fiA|| |fiB| fflffl| fflffl| A ___u___//_B . On d'efinit un foncteur Ru* : D(A) -! D(B) comme le compos'e R( 0=u)* 0 D( 0=A) ________//_D( =B) OO| | fi*A|| |RfiB*| Ru* = RøB *R( 0=u)*ø*A . | fflffl| D (A) _____Ru_____//_D(B) * La pleine fid`elit'e du foncteur ø*A(proposition 6.9) et le lemme 6.8, (ii) mon* *trent que ce foncteur est un adjoint `a droite du foncteur u* : D (B) -! D (A), ce q* *ui montre Der 3g. Il reste donc `a montrer l'axiome Der 4g. Soit u : A -! B un foncteur entre petites cat'egories, et b un objet de B. On a le 2-diagramme standard associ'e * *`a (u, b), j A=b _________//A | p || ff |u | | fflffl| fflffl| e _____b____//B IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 31 ainsi que le carr'e cart'esien ci-dessous. 0=j 0 0=A=b _____// =A fiA=b|| fiA| fflffl| fflffl|| A=b ___j____//A On retrouve en les composant le 2-diagramme standard associ'e au couple (uøA, b* *). 0=j 0 0=A=b ________//_=A | q|| fffififfiffifffiufiA| | | fflffl| fflffl| e_______b______//B En vertu du lemme 6.8, on a un isomorphisme b*R(uøA)* ' Rq*( 0=j)*. Comme les foncteurs ø*A et ø*A=bsont pleinement fid`eles, on obtient les isomorphismes canoniques ci-dessous, ce qui ach`eve la d'emonstration. b*Ru* ' b*Ru*RøA* ø*A ' b*R(uøA)*ø*A ' Rq*( 0=j)*ø*A ' Rp*RøA=b*( 0=j)*ø*A ' Rp*RøA=b*ø*A=bj* ' Rp*j* . Proposition 6.12. Soient (M0, W0, Fib0, Cof0) une cat'egories de mod`eles, et F* * : M -! M0 un foncteur de Quillen `a droite. On note D 0le pr'ed'erivateur associ'e au localisateur (M0, W0). Alors Il existe un Cat-morphisme RF : D -! D0 , tel que pour chaque petite cat'egorie A, le foncteur RF : D(A) -! D0(A) soit le foncteur d'eriv'e `a droite du foncteur F : M(A) -! M0(A). En outre, si M0 admet des petites limites projectives, et si F commute aux limites projectives, alors le Cat-morphisme RF est continu. D'emonstration._La restriction de F `a Mf d'efinit un_morphisme de localisateurs F : (Mf, Wf) -! (M0, W0), et donc un Cat-morphisme F : Df -! D0. D'autre part, en vertu de la proposition 6.9, on a une Cat-'equivalence_i : Df -! D. On choisit un quasi-inverse i-1 de i, et on d'efinit RF par RF = F i-1. Supposons qu'en outre M0 admette des petites limites projectives, et que F commute aux limites projectives, et consid'erons une petite cat'egorie A. Alors le morphisme canonique RF RøA* - ! RøA*RF est un isomorphisme, car pour 32 DENIS-CHARLES CISINSKI chaque objet a de A, en regard du 2-diagramme standard j 0 0=A=a _________// =A | p|| ffiffiffiffifffffiA| | | fflffl| fflffl| e_______a______//A , on a des isomorphismes a*RøA* ' Rp*j* dans Ho M et Ho M0, et comme on sait que RF |Dir est continu (par la proposition 4.14), on obtient des isomorphismes a*RF RøA* ' RF a*RøA* ' RF Rp*j* ' Rp*j*RF ' a*RøA* RF , ce qui permet de conclure en utilisant Der 2. Si u : A -! B est un foncteur entre petites cat'egories, on a un carr'e com* *mu- tatif dans Cat 0=u 0 0=A_____// =B fiA|| |fiB| fflffl| fflffl| A ___u___//_B , et Ru* = RøB *R( 0=u)*ø*A. On en d'eduit les identifications suivantes dans D0* *(B), RF Ru* = RF RøB *R( 0=u)*ø*A' RøB *R( 0=u)*ø*ARF = Ru*RF, ce qui ach`eve la d'emonstration. Remarque 6.13. Si on note encore M le pr'ed'erivateur repr'esent'e par M, on a * *un Cat -morphisme canonique de localisation fl : M -! D , ainsi que son analogue fl0 : M0 -! D 0, et le Cat-morphisme RF d'efini dans la proposition ci-dessus peut alors ^etre vu comme le Cat-morphisme d'eriv'e `a droite du Cat-morphisme F : M -! M0, i.e. pour tout Cat-morphisme G : D -! D0, on a une bijection canonique Hom (RF, G) ' Hom (fl0F, G fl) . Les propositions 2.7, (ii) et 6.12 montrent qu'on d'efinit ainsi un 2-pseudo-fo* *ncteur de la 2-cat'egorie des cat'egories de mod`eles admettant des petites limites pr* *ojec- tives, avec pour 1-fl`eches les foncteurs de Quillen `a droite, et pour 2-fl`ec* *hes les morphismes de tels foncteurs, vers celle des d'erivateurs faibles `a gauche. Proposition 6.14. Pour tout objet X de Ho M, il existe un Cat -morphisme continu, R Hom (X, . ) : D -! HOT , tel que le triangle suivant commute (`a isomorphisme pr`es) : R Hom(X, . ) Ho MI _____________//_Hot II xxx III xx HomHoM(X, . )II$$I__xxi0x Ens . IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 33 D'emonstration. Soit X un objet de M. On choisit une 'equivalence faible de source cofibrante A -! p* OX au sens de la structure de cat'egorie de mod`eles de la proposition 4.8, et on obtient en vertu des propositions 5.4 et 6.12, un * *Cat- morphisme continu RA* : D - ! HOT . On pose R Hom (X, . ) = RA*. Comme X ' A0 dans Ho M, on conclut gr^ace `a la seconde assertion de la proposition 5.4. Remarque heuristique 6.15 (unicit'e du Hom externe). On rappelle que le foncte* *ur nerf N : Cat -! b est d'efini par A 7- ! ( n 7- ! Hom Cat( n, A)) , et que si on pose W1 = N -1W b, on peut montrer que le morphisme de lo- calisateurs induit N : (Cat , W1 ) -! ( b, W b) d'efinit une Cat -'equival* *ence D(Cat,W1 )-! HOT (voir [4]). Dans ce qui suit, on consid`ere le mod`ele de HOT donn'e par (Cat , W1 ). On peut alors montrer que pour toute petite cat'egorie A, on a un isomorphisme canonique dans Hot : LpA !p*A(e) ' A. En outre, pour chaque pr'efaisceau F sur A `a valeur dans Cat, on peut consid'erer sa cat'egor* *ie fibr'ee associ'ee KF , et noter oeF : KF - ! A la projection canonique (qui est donc une fibration au sens cat'egorique du terme). On v'erifie qu'on a alors un isomorphisme canonique dans HOT (A) : LoeF!p*KF(e) ' F (voir [4]). Cela permet de d'efinir pour chaque objet X de D (e) et chaque objet Y de D (A), un foncteur HOT (A)O- ! Ens , F 7- ! Hom D(e)(X, RpKF *oe*FY ) . Or pour tout Cat-morphisme R Hom (X, . ) v'erifiant les propri'et'es demand'ees* * dans la proposition ci-dessus, on a les bijections naturelles suivantes : Hom D(e)(X, RpKF *oe*FY')ß0R Hom (X, RpKF *oe*FY ) ' Hom Hot(e, R Hom (X, RpKF *oe*FY )) ' Hom Hot(e, RpKF *oe*FR Hom (X, Y )) ' Hom HOT(A)(LoeF!p*KF(e), R Hom (X, Y )) ' Hom HOT(A)(F, R Hom (X, Y )) . Cela montre que le foncteur F 7- ! Hom D(e)(X, RpKF *oe*FY ), est repr'esent'e * *par l'objet R Hom (X, Y ), et donc que pour chaque objet X de Ho M, le Cat-mor- phisme continu R Hom (X, . ) d'efini dans la proposition ci-dessus est unique `a isomorphisme unique pr`es. Corollaire 6.16. Pour tout foncteur HOT -coasph'erique entre petites cat'egori* *es, u : A -! B, le morphisme canonique RpB *- ! RpA *u* est un isomorphisme dans Ho M. D'emonstration. On proc`ede comme pour la preuve du corollaire 5.7 en utilisant cette fois la proposition 6.14. Scholie 6.17. On rappelle qu'une cat'egorie de mod`eles est propre `a droite si l'image r'eciproque de toute 'equivalence faible par une fibration est une 'equ* *ivalence faible. Une cat'egorie de mod`eles M est propre `a gauche si MO est propre `a d* *roite, et elle est propre si elle est propre `a droite et `a gauche. Par exemple la ca* *t'egorie 34 DENIS-CHARLES CISINSKI des ensembles simpliciaux est propre, et si A est un anneau, les deux structures de cat'egorie de mod`eles d'efinies sur la cat'egorie des complexes de A-module* *s [16, th'eor`emes 2.3.11 et 2.3.13] sont propres. La proposition 6.9 implique le r'es* *ultat suivant. Th'eor`eme. Soit M une cat'egorie de mod`eles admettant des petites limites pro- jectives, dont les cofibrations sont exactement les monomorphismes. Si M est propre `a droite, alors pour toute petite cat'egorie A, M(A) admet une structure de cat'egorie de mod`eles dont les cofibrations sont les monomorphismes et dont les 'equivalences faibles sont les 'el'ements de WA. D'emonstration. Si A est une petite cat'egorie, on note CofA la classe des mono- morphismes de M(A), i.e. des fl`eches f telles que pour tout a 2 Ob A, fa 2 Cof, et FibA = r(CofA \ WA). On veut montrer que (M(A), WA, FibA, CofA) est une cat'egorie de mod`eles, sachant que cela est v'erifi'e lorsque la cat'egorie d'* *indice est directe. Les axiomes CM1, CM2 et CM3 sont imm'ediats. Comme le foncteur ø*A respecte les cofibrations et les cofibrations triviales, on a les inclusions øA *Fib 0=A FibA et øA*Fib 0=A\ W 0=A r(CofA ) \ WA FibA\ WA . D'autre part, comme le foncteur øA * est un adjoint `a droite, il respecte les monomorphismes, et donc les cofibrations. On en d'eduit facilement gr^ace `a la pleine fid'elit'e du foncteur ø*A : M(A) - ! M( 0=A) que toute fl`eche f de M(A) admet une factorisation en une cofibration i suivie d'un 'el'ement p de r(CofA ) \ WA FibA \ WA. Le lemme du r'etracte [16, lemme 1.1.9] permet alors de montrer la partie manquante de CM4. Soit f : X - ! Y une fl`eche de M(A). On va montrer que f admet une factorisation en une cofibration tri- viale suivie d'une fibration. On choisit une cofibration triviale de but fibrant k : ø*AY -! Y 0dans M( 0=A), puis une factorisation de kø*Af en une cofi- bration triviale j : ø*AX -! X0 suivie d'une fibration q : X0 -! Y 0. Les propositions 2.3 et 6.9 impliquent que øA*j et øA*k sont des 'equivalences faib* *les, et donc que ce sont des cofibrations triviales. D'autre part, øA*q est une fibr* *ation. On forme le diagramme commutatif suivant dans M(A) (dans lequel on consid`ere l'isomorphisme canonique 1M(A) ' øA*ø*Acomme une 'egalit'e). ______fiA*j______________________________________* *_____________________________ X_@__ ____________________________________________* *_________________________________ ___@@______________________________________________* *________________________ __i___@_______""__________________________ ______________________Z//_øX0 _________________* A f__________________________________________|| __________________________p|cart'esienfiA*q| ________________|| ØØ________________fflffl|fflffl|0 Y _fi___//øA*Y A*k Comme p est l'image r'eciproque de la fibration øA*q, p 2 FibA, et comme i e* *st un monomorphisme, la propret'e `a droite de M et le lemme 6.8, (i) impliquent q* *ue i 2 CofA \ WA, ce qui prouve l'assertion. On a ainsi montr'e l'axiome CM5. IMAGES DIRECTES COHOMOLOGIQUES 35 R'ef'erences [1]D. W. Anderson. Fibrations and geometric realizations. 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