PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES ET EXTENSIONS DE KAN D'ERIV'EES DENIS-CHARLES CISINSKI R'esum'e.On d'emontre que pour toute petite cat'egorie A, le d'erivateur * *HOT A associ'e `a la th'eorie de l'homotopie des pr'efaisceaux en petites cat'e* *gories (ou en ensembles simpliciaux) sur A est caract'eris'e par une propri'et'e uni* *verselle. On en d'eduit un r'esultat analogue pour les variantes ponctu'ees HOT o,A* *(i.e. avec un objet nul) de ces objets. Une cons'equence imm'ediate du cas o`u * *A est la cat'egorie finale est que HOT (resp. HOT o) est muni d'une unique str* *uc- ture mono"idale dont l'objet unit'e est le point e (resp. la sph`ere S0),* * d'efinie comme il se doit par le produit cart'esien (resp. le ^-produit). Cela imp* *lique que tout d'erivateur (resp. tout d'erivateur ponctu'e) est canoniquement * *muni d'une unique action de HOT (resp. de HOT o). Toute cat'egorie de mod`eles* * don- nant lieu `a un d'erivateur, ces r'esultats permettent une preuve des con* *jectures de coh'erence homotopique pos'ees par Hovey [7]. Table des mati`eres Introduction 1 1. Densit'e homotopique du plongement de Yoneda 3 2. Calcul local : isomorphismes de changement de base 8 3. La propri'et'e universelle de HOT A 11 4. La propri'et'e universelle de HOT o,A 19 5. Sorites mono"idaux : D-alg`ebres et D-modules 27 6. Cat'egories de mod`eles mono"idales : conjectures de Hovey 35 R'ef'erences 38 Introduction Dans Pursuing stacks [3], Grothendieck 'enonce une hypoth`ese inspiratrice `a propos de la cat'egorie Hot des CW -complexes `a homotopie pr`es : la sous-cat'* *egorie pleine des endofoncteurs de Hot form'ee des auto-'equivalences est 'equivalente* * `a la cat'egorie finale. Autrement dit, toute auto-'equivalence de Hot est isomorp* *he `a l'identit'e, et le seul endomorphisme de l'identit'e est l'identit'e. Consid* *'erons un cas plus trivial : la cat'egorie des ensembles Ens. Si C et C0 sont deux cat'eg* *ories, d'esignons par Hom__!(C, C0) la cat'egorie des foncteurs de C vers C0 qui commu* *tent aux petites limites inductives. L''evaluation sur l'ensemble final e induit pour toute petite cat'egorie admettant des petites limites inductives une 'equivalen* *ce ___________ Date: 27 septembre 2002. 1 2 DENIS-CHARLES CISINSKI de cat'egories Hom__!(Ens , C) -~-!C . En particulier, on a une 'equivalence de cat'egories Hom__!(Ens , Ens) ' Ens p* *ar laquelle l'identit'e de Ens correspond `a l'ensemble final. En particulier, 1En* *s est un objet final de la cat'egorie Hom__!(Ens , Ens), ce qui implique l'analogue d* *e l'hy- poth`ese inspiratrice pour la cat'egorie des ensembles. L''equivalence de cat'e* *gories ci-dessus est un cas particulier de la th'eorie des extensions de Kan `a gauche qui caract'erise la cat'egorie des pr'efaisceaux d'ensembles sur une petite cat* *'egorie A par une propri'et'e universelle : pour toute cat'egorie C admettant des petit* *es limites inductives, la composition avec le plongement de Yoneda de A dans Ab induit une 'equivalence de cat'egories Hom__!(Ab, C) -~-!Hom__(A, C) . Autrement dit, le 2-foncteur C 7- ! Hom__(A, C) est repr'esent'e par Ab dans la* * 2- cat'egorie des cat'egories admettant des petite limites inductives. Cette propr* *i'et'e universelle a une interpr'etation g'eom'etrique : cela signifie que la cat'egor* *ie des pr'efaisceaux sur A est la cat'egorie des faisceaux d'ensembles sur elle m^eme * *pour la topologie canonique. Le but de ce texte est d''etablir des r'esultats analogues pour des äc t'ego* *ries admettant des petites limites inductives homotopiques", et une notion ad'equate de pr'efaisceaux sur une petite cat'egorie dans cette situation (3.24 et 3.26)1* *. C'est dans cette optique que Grothendieck [3, 4] a d'egag'e la notion de d'erivateur,* * d'ej`a introduite dans [10, 1]. Le r^ole de la cat'egorie des pr'efaisceaux sur A est * *jou'e dans ce contexte par le d'erivateur HOT Aassoci'e `a la th'eorie de l'homotopi* *e des pr'efaisceaux en petites cat'egories (ou de mani`ere 'equivalente, en ensembles* * sim- pliciaux) sur A. L'ingr'edient essentiel pour la caract'erisation de HOT A par* * une propri'et'e universelle est la d'efinition axiomatique de la th'eorie de l'homo* *topie des petites cat'egories d'egag'ee par Grothendieck [3] par la notion de localisateu* *r fonda- mental. Les localisateurs fondamentaux sont des classes de fl`eches de la cat'e* *gorie Cat des petites cat'egories v'erifiant certains axiomes de descente (dont l''en* *onc'e du th'eor`eme A de Quillen [15] est une sp'ecialisation). Le th'eor`eme princip* *al de [2] est que les 'equivalences faibles usuelles de Cat (appel'ees ici 1-'equival* *ences) forment le localisateur fondamental minimal. Or toute th'eorie cohomologique (en un sens ad'equat) sur Cat d'efinit canoniquement un localisateur fondamental. En particulier, tout d'erivateur D d'efinit canoniquement une classe de D-'equival* *ences qui se r'ev`elent former un localisateur fondamental (3.7). Une fois constat'e * *que le plongement de Yoneda est homotopiquement dense (1.15), un simple calcul local des extensions de Kan homotopiques, fond'e sur le yoga des isomorphismes de changement de base (2.4), permet alors de prouver la propri'et'e universelle. En second lieu, on 'etend cette propri'et'e universelle aux d'erivateurs ponctu'es* * (i.e. admettant un objet nul). Si C est une cat'egorie admettant des petites limites * *in- ductives et un objet final ?, d'esignons par Co la cat'egorie des objets point'* *es de C. On a un foncteur canonique (adjoint `a gauche du foncteur d'oubli) ?+ : C -! Co ___________ 1Le cas o`u A est la cat'egorie finale est en fait d'emontr'e par A. Heller [* *5] dans la cadre des th'eories homotopiques, m^eme si l''enonc'e n'est pas d'egag'e de la m^eme mani* *`ere. PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 3 qui associe `a tout objet X de C, l'objet X+ = X q ?. On v'erifie facilement que pour toute cat'egorie C0 admettant des petites limites inductives et un objet n* *ul, la composition par ?+ induit une 'equivalence de cat'egories Hom__!(Co, C0) -~-!Hom__!(C, C0) . On d'emontre un 'enonc'e analogue pour les d'erivateurs (4.17), ce qui a pour c* *orol- laire la propri'et'e universelle annonc'ee (4.19 et 4.21). Ces propri'et'es uni* *verselles sont exploit'ees pour d'efinir une structure mono"idale canonique sur HOT (et * *sur sa variante ponctu'ee HOT o), laquelle se r'ev`ele ^etre celle d'efinie par le* * produit cart'esien (resp. le ^-produit). On construit de m^eme une action canonique de HOT (resp. de HOT o) sur tout d'erivateur (resp. sur tout d'erivateur ponctu'* *e). Enfin, le th'eor`eme principal de [1] 'etant qu'`a toute cat'egorie de mod`eles* * est as- soci'e un d'erivateur, on utilise ces r'esultats pour d'emontrer les deux conje* *ctures de coh'erence homotopique pos'ees par Hovey [7, 5.6.6 et 5.7.5]. On peut montrer qu'`a tout d'erivateur v'erifiant certaines conditions d'exac* *ti- tude (i.e. `a toute th'eorie homotopique r'eguli`ere au sens de Heller [5]) est* * uni- versellement associ'ee un d'erivateur triangul'e (voir [6]), c'est `a dire un d* *'erivateur ponctu'e dans lequel les notions de carr'e homotopiquement cart'esien et de car* *r'e homotopiquement cocart'esien co"incident. Ce r'esultat s'applique `a HOT , ce * *qui implique que le d'erivateur triangul'e correspondant est canoniquement muni d'u* *ne structure mono"idale sym'etrique, et agit non moins canoniquement sur tout d'e- rivateur triangul'e. Dans une r'edaction ult'erieure, on g'en'eralisera le r'es* *ultat de stabilisation de Heller `a un d'erivateur ponctu'e g'en'eral, et on d'eduira de* * la pro- pri'et'e universelle d'egag'ee ici une preuve de l'analogue en termes de d'eriv* *ateurs triangul'es de la conjecture d'unicit'e de Margolis [13] (ce qui impliquera en * *par- ticulier que le d'erivateur triangul'e universel construit abstraitement par He* *l- ler est 'equivalent aux d'erivateurs triangul'es associ'es aux cat'egories de m* *od`e- les stables des spectres de Bousfield-Friedlander et des spectres sym'etriques * *de Hovey-Shipley-Smith). On renvoie `a [1] pour les notions de cat'egorie de diagrammes Dia, de d'eriv* *ateur de domaine Dia, et de Dia-morphisme. D'une mani`ere g'en'erale, il est conseill* *'e au lecteur de parcourir [1] afin de se familiariser avec les diff'erentes terminol* *ogies. 1. Densit'e homotopique du plongement de Yoneda 1.1. On rappelle que b d'esigne la cat'egorie des ensembles simpliciaux, et Wb * *les 'equivalences faibles simpliciales [2, 2.1.1]. Le foncteur nerf N : Cat- ! b permet de d'efinir les 1-'equivalences par W1 = N -1Wb . On obtient ainsi un morphisme de localisateurs : N : (Cat, W1 ) -! ( b, Wb ) . D'autre part, on a un foncteur i : b -! Cat [2, 1.3.2], et des 'equivalences faibles naturelles i N -~-! 1Cat et N i -~-! 1b 4 DENIS-CHARLES CISINSKI (voir [2, 2.1.15 et 2.2.3]). Cela implique aussit^ot que le foncteur nerf indui* *t une 'equivalence entre les pr'ed'erivateurs induits N : D(Cat,W1 )~--!D(b ,Wb). On pose HOT = D(Cat,W1.)L''equivalence ci-dessus implique que cette notation n'est pas contradictoire avec celle de [1, 3.10] (du moins `a 'equivalence pr`* *es). Il r'esulte de [17] et de [1, th'eor`eme 6.11] et de son dual que HOT est un d'er* *ivateur de domaine Cat. On d'esigne encore par Hot la cat'egorie HOT (e). Cette derni`* *ere est donc 'equivalente `a celle des CW -complexes `a homotopie pr`es. Enfin, si A est une petite cat'egorie, on note HOT OA= (HOT A)O. Autrement dit, HOT OAest le d'erivateur qui associe `a chaque petite cat'egorie X, la cat'egorie homotop* *ique HOT (A x XO) O, localis'ee de Hom__(AO x X, Cat)O. Si I est une petite cat'egorie, on appellera encore 1-'equivalences les fl`e* *ches de Hom__(I, Cat) qui sont des 1-'equivalences de Cat argument par argument. Les r'esultats de ce paragraphe sont r'edig'es en terme d'1-'equivalences mais n'ut* *ilisent en fait que les axiomes de localisateur fondamental [3, 12] (lesquels sont v'er* *ifi'es par W1 en vertu de [2, th'eor`eme 2.1.13] ou encore de la remarque 3.8). 1.2. Soit A une petite cat'egorie. Pour chaque foncteur F : AO -! Cat (resp. F : A -! Cat), on note R i(F ) : r F -! A (resp. `(F ) : F -! A ) R la fibration (resp. la cofibration) associ'ee. La constructionRde F est expli* *cit'ee dans [2, 1.2.1], et r F est d'efinie par la formule r F = ( F O)O. Soient A et X deux petites cat'egories. On consid`ere un foncteur F : X - ! Hom__(AO, Cat), i.e.un foncteur X x AO -! Cat. On obtient alors deux foncteurs R r F : X -! Cat et F : AO -! Cat , un isomorphisme canonique au-dessus de A x X : R ~ R r F _________________//r F JJJ ttt R``(F)JJJJJ tttt $$J zzttr`(F) A x X . En composant avec la projection X x A -! A, on obtient une fibration R $(F ) : r F -! A , et en composant avec la projection X x A -! X, une cofibration R ß(F ) : r F -! X . D'autre part, on a un foncteur hA : A -! bA= Hom__(AO, Ens) Hom__(AO, Cat) , induit par le plongement de Yoneda de A dans bAet l'inclusion de la cat'egorie * *des ensembles (vus comme des cat'egories discr`etes) dans Cat. On peut aussiRvoir hA comme un objet de HOT OA(A) = (HOT (AO x A))O. La cat'egorie r hA admet une descritption explicite : c'est la cat'egorie FlA des fl`eches de A. La fibr* *ation PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 5 s = '(hA) est le foncteur ös urce", et la cofibration t = ß(hA), le foncteur üb* * t". En particulier, on a un morphisme de foncteurs canonique s -! t. On fixe `a pr'esent une petite cat'egorie A. Lemme 1.3. Les fibres des foncteurs R R $(hA) : r hA -! A et ß(hA) : r hA -! A sont asph'eriques. En particulier, le premier est coasph'erique, et le second e* *st asph'erique. R D'emonstration.Pour chaque objet a de A, (hA(a)) = a\A est une cat'egorie asph'erique, car elleRadmet un objet initial. Or ces cat'egories sont les fibre* *s de la fibration $(hA) : r hA - ! A. L'identification ß(hA)O = $(hAO) ach`eve ainsi cette d'emonstration. 1.4. Soit X une petite cat'egorie. On note 1] = 1X] : Cat=X -! Hom__(X, Cat) le foncteur qui associe `a chaque X-cat'egorie C le foncteur 1](C) : X -! Cat , x 7- ! C=x . On a d'autre part un foncteur 1] = 1]X : Hom__(X, Cat) -! Cat=X associant `a chaque foncteur F de X vers Cat la X-cat'egorie R 1](F ) = ( F, `(F )) . On a en outre des morphismes naturels "F : 1]1](F ) -! F et jC : C -! 1]1](C) . Le morphisme "F est d'efini pour chaque objet x de X par les foncteurs canoniqu* *es [2, 1.3.7] R R ( F )=x ' F |X=x -! lim-!F |X=x ' F (x) . R Plus concr`etement, si (a, x0, u : x0 ! x) est un objet de F=x (i.e. u est une fl`eche de X et a est un objet de F (x0), "F (x)(a, x0, u) = F (u)(a). Le morph* *isme jC est le foncteur au-dessus de X R C -! 1](C) , c 7- ! (c, pC (c)) (o`u pC : C - ! X est le morphisme structural). La v'erification de l''enonc'e ci-dessous est laiss'ee au lecteur. Lemme 1.5. Les foncteurs 1] et 1] forment un couple de foncteurs adjoints avec pour co-unit'e " et pour unit'e j. Lemme 1.6. Le morphisme de foncteurs " est une 1-'equivalence naturelle. D'emonstration.Si F est un foncteur de X vers Cat, et si x est un objet de X,Rle foncteur "F (x) est l'adjoint `a gauche de l'inclusion canonique F (x) -! ( F * *)=x (`(F ) est une cofibration), ce qui implique aussit^ot que c'est une 1-'equival* *ence (en vertu de [2, corollaire 1.1.9]). 6 DENIS-CHARLES CISINSKI 1.7. On appelle 1-'equivalences les fl`eches de Cat=X dont l'image par le fonct* *eur 1] est une 1-'equivalence. Autrement dit, un X-foncteur C - ! C0 est une 1- 'equivalence si et seulement si pour tout objet x de X, le foncteur C=x -! C0=x est une 1-'equivalence de Cat. Lemme 1.8. Le morphisme de foncteurs j est une 1-'equivalence naturelle. D'emonstration. Il r'esulte de [2, proposition 1.1.12] que le foncteur 1] respe* *cte les 1-'equivalences. L'assertion r'esulte donc imm'ediatement du lemme 1.6. 1.9. Soit u : X - ! Y un foncteur entre petites cat'egories. On note Cat=u : Cat =X -! Cat=Y le foncteur d'oubli par u. On d'esigne alors par u] : Hom__(AO, Cat=X) -! Hom__(AO x Y, Cat) le foncteur compos'e Cat=u O Hom__(AO, Cat=X) ---! Hom__(A , Cat=Y ) 1Y] --! Hom__(AO, Hom__(Y, Cat)) ' Hom__(AO x Y, Cat* *), et par u] : Hom__(AO x Y, Cat) -! Hom__(AO, Cat=X) le foncteur compos'e Hom_(AOxu,Cat) O Hom__(AO x Y, Cat) ---------! Hom__(A x X, Cat) 1]X O ' Hom__(AO, Hom__(X, Cat)) ---! Hom__(A , Cat=X). On appelle encore 1-'equivalences les fl`eches de Hom__(AO, Cat=X) qui sont des 1-'equivalences de Cat=X argument par argument. Lemme 1.10. Le foncteur u] est un adjoint `a gauche de u]. D'emonstration. Il suffit de montrer l'assertion dans le cas o`u A est la cat'e* *gorie finale. Le foncteur Cat=u admet un adjoint `a droite d'efini par le changement * *de base le long de u. Par cons'equent, il r'esulte du lemme 1.5 que u]admet un adj* *oint `a droite, et il suffit de montrer que u] est isomorphe `a ce dernier. Or cela * *r'esulte imm'ediatement du fait que pour tout foncteur F de Y vers Cat, le carr'e R R u*F ____//_F `(u*F)|| `(F)|| fflffl| fflffl| X ___u___//Y est cart'esien [2, 1.2.1]. Lemme 1.11. Les foncteurs u] et u] respectent les 1-'equivalences. D'emonstration. Il suffit de nouveau de montrer l'assertion dans lorsque A est * *la cat'egorie finale. Le cas de u]r'esulte imm'ediatement de [2, proposition 1.2.4* *]. Pour ce qui est de u], il suffit de v'erifier que le foncteur Cat=u respecte les 1-'* *equiva- lences. Soit C -! C0 un foncteur au-dessus de X tel que pour tout objet x de X, C=x -! C0=x soit une 1-'equivalence. Alors pour tout objet y de Y , le foncteur C=y -! C0=y est encore une 1-'equivalence. En effet, vu que les 1-'equivalences forment un localisateur fondamental [2, th'eor`eme 2.1.13], il suffit de v'erif* *ier que PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 7 ce foncteur est asph'erique au-dessus de X=y. Or pour tout objet (x, v : u(x) !* * y) de X=y, le foncteur (C=y)=(x, v) ' C=x -! C0=x ' (C0=y)=(x, v) est une 1-'equivalence, ce qui prouve l'assertion. 1.12. Soit u : X -! Y un foncteur entre petites cat'egories. En vertu du lemme 1.11 appliqu'e `a 1X et `a u, le foncteur 1]Xu] : Hom__(AO x X) -! Hom__(AO x Y, Cat) respecte les 1-'equivalences, et donc en passant `a la cat'egorie homotopique (* *i.e. en inversant les 1-'equivalences), on obtient de la sorte un foncteur not'e u[ : HOT A (XO) -! HOT A (Y O) . Th'eor`eme 1.13 (Grothendieck [3]). Le foncteur u[ est un adjoint `a gauche du foncteur image inverse associ'e `a uO : XO -! Y O (uO)* : HOT A (Y O) -! HOT A (XO) . De mani`ere 'equivalente, le foncteur (u[)O : HOT OA(X) -! HOT OA(Y ) est un adjoint `a droite du foncteur image inverse associ'e `a u u* : HOT OA(Y ) -! HOT OA(X) . D'emonstration.En vertu des lemmes 1.5, 1.6 et 1.8, les foncteurs 1] et 1] in- duisent au niveau des cat'egories homotopiques des 'equivalences de cat'egories quasi-inverses l'une de l'autre. D'autre part, il r'esulte des lemmes 1.10 et 1* *.11 que les foncteurs u] et u] induisent un couple de foncteurs adjoints en passant aux cat'egories homotopiques. L'assertion en r'esulte aussit^ot. Remarque 1.14. Ce th'eor`eme implique en particulier que siRX est une petite cat'egorie, et si F est un foncteur de X dans Cat, alors F est la colimite hom* *o- topique de F , ce qui est l'un des r'esultats de Thomason [16]. Proposition 1.15. Pour toute petite cat'egorie X, et pour tout objet F de la cat'egorie HOT OA(X), il existe un isomorphisme fonctoriel F -~-! ß(F )* $(F )*(hA) . D'emonstration.Soit F un objet de HOT OA(X), i.e.un foncteur F de AOx X dans Cat. Explicitons le foncteur R $(F )*(hA) : AO -! Cat . R Si a est un objet de A, on v'erifie que ( hA)(a) s'identifie canoniquement `a * *la cat'egorie a\A. On en d'eduit le carr'e cart'esien suivant. R ( $(F )*(hA))(a)____//a\A | | | | R|fflffl fflffl| r F __$(F)_____//_A 8 DENIS-CHARLES CISINSKI Autrement dit, on a les identifications canoniques suivantes : R R ffl R R $(F )*(hA) (a) = $(F )*(hA) (a) ' a r F ' r F |(a\A)OxX. En vertu du lemme 1.6 et de [2, proposition 1.2.6], on a donc une 1-'equivalence dans Hom__(AO, Cat=X) : R O ] R O O R $(F )*(hA) ' 1A]1AO( F ) -! F . Par cons'equent, le lemme 1.11 appliqu'e `a l'identit'e de X et une nouvelle ap* *pli- cation du lemme 1.6 nous donnent deux nouvelles 1-'equivalences naturelles R R ] 1X] $(F )*(hA) -! 1X] F = 1X]1X F -! F . R Or 1X] $(F )*(hA) est la construction de ß(F )* $(F )*(hA) d'efinie par le th'e* *or`eme 1.13. 2. Calcul local : isomorphismes de changement de base 2.1. On rappelle que si A est une petite cat'egorie, pA d'esigne l'unique fonct* *eur de A vers la cat'egorie finale e. Lemme 2.2. Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Dia. On consid`ere un foncteur p : X -! Y dans Dia. Alors pour tout objet y de Y , le morphisme de changement de base j*p* -! p=y*i* associ'e au carr'e cart'esien X=y _i__//_X | p=y|| |p| fflffl| fflffl| Y=y _j__//_Y est un isomorphisme. D'emonstration. Le morphisme (y, 1y)*j*p* -! (y, 1y)*p=y*i* est un isomorphis- me. En effet, comme (y, 1y) est un objet final de Y=y, en vertu de [1, lemme 1.* *17], le foncteur image inverse (y, 1y)* s'identifie au foncteur image directe pY=y*,* * et donc on obtient une fl`eche (y, 1y)*j*p* = y*p* -! pX=y*i* ' (y, 1y)*p=y*i* qui se r'ev`ele ^etre un isomorphisme (c'est l'axiome Der 4g). Si (y0, u : y0! * *y) est un objet de Y=y, en regard des isomorphismes X=y0' (X=y)=(y0, u), si on forme les carr'es cart'esiens 0 i (X=y)=(y0, u)_~__//_X=y0i__//_X=y____//X | (p=y)=(y0,u)|| p=y0|| p=y|| |p| fflffl| ~ fflffl| fflffl| fflffl| (Y=y)=(y0, u)____//_Y=y0j0_//_Y=y_j__//Y , ce qui pr'ec`ede nous donne des isomorphismes canoniques (y0, u)*j*p* ' (y0, 1y0)*j0*j*p* ' (y0, 1y0)*p=y0*i0*i* ' (y0, u)*p=y*i** * . L'axiome Der 2 permet ainsi de conclure. PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 9 Lemme 2.3. Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Dia. On consid`ere une cofibration p : X -! Y dans Dia, et apr`es avoir choisi un objet y de Y , * *on forme le carr'e cart'esien suivant. Xy __k__//X q|| |p| fflffl| fflffl| e___y__//Y Alors le morphisme de changement de base y* p* -! q* k* est un isomorphisme. D'emonstration.Si y est un objet final de Y , alors k est une inclusion pleine, et admet un adjoint `a gauche h. On en d'eduit par 2-fonctorialit'e que h* est un adjoint `a gauche de k* (voir [1, lemme 1.17]) et donc que k* ' h*, d'o`u un isomorphisme b* p* ' pX * ' q* k*. Dans le cas g'en'eral, on forme les carr'es cart'esiens __k_________________________________________* *______________________________________ ________________________________________________* *______________________________________________________________________@ ____________________________________________________* *_________________________________________________________________ _________________________&&___________________________* *___________ij Xy __________//X=y__________//X | | q | p=y| |p | | | fflffl| fflffl| |fflffl e ___________//_____________88_______Y=y//_Y. ___(y,1y)_____________________________________________* *______________________________________________________________________@ __________________________________________________* *______________________________________________________________________@ _____________________________________________* *______________________________________________________________________@ y Celui de gauche correspond `a la situation que l'on vient d'examiner, et celui * *de droite induit un isomorphisme de changement de base (2.2). On en d'eduit les isomorphismes canoniques suivants y*p* = (y, 1y)*l*p* ' (y, 1y)*p=y*j* ' q*i*j* = q*k* , ce qui ach`eve la d'emonstration. Proposition 2.4. Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Dia . On consid`ere un carr'e cart'esien dans Dia __u_//_ X0 X q|| |p| fflffl| fflffl| Y 0__v__//Y , dans lequel p (et donc q) est une cofibration. Alors le morphisme de changement de base v* p* -! q* u* est un isomorphisme. D'emonstration.Cela r'esulte de l'axiome Der2 et du calcul des fibres dans ce c* *as (cf. le lemme ci-dessus). 10 DENIS-CHARLES CISINSKI Remarque 2.5. Le calcul ci-dessus s'inscrit dans le cadre plus g'en'eral de la * *th'eorie des foncteurs propres. Il admet une version duale (ici en termes de fibrations), laquelle se g'en'eralise en une th'eorie des foncteurs lisses (voir [3, 70], [* *4] et [11]). Proposition 2.6. Soit Dia une 2-cat'egorie de diagrammes, et F : D -! D0 un Dia -morphisme entre d'erivateurs faibles `a gauche. Pour que F soit exact `a gauche, il faut et il suffit que pour tout objet A de Dia, la fl`eche canonique F pA *-! pA* F soit un isomorphisme dans D0(e). D'emonstration. Il est 'evident que c'est une condition n'ecessaire. Supposons * *que la condition ci-dessus soit v'erifi'ee, et consid'erons un foncteur u : A -! B* * dans Dia . On veut montrer que la fl`eche canonique F u* -! u* F est un isomorphisme dans D0(B). En vertu de l'axiome Der 2, il suffit de v'erif* *ier que pour tout objet b de B, la fl`eche b* F u* ' F b* u* -! b* u* F est un isomorphisme de D0(e). L'expression du foncteur b* u* obtenue gr^ace au changement de base de l'axiome Der 4g nous ram`ene en fin de compte au cas o`u B est la cat'egorie ponctuelle, ce qui permet d'invoquer l'hypoth`ese. 2.7. On rappelle que si D est un pr'ed'erivateur de domaine Dia, pour tout fonc* *teur u : A -! B dans Dia, on d'efinit un Dia-morphisme image inverse u* : DB - ! DA par les foncteurs (u x 1C )* : DB (C) = D(B x C) -! D(A x C) = DA(C) . Proposition 2.8. Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Dia . Pour tout foncteur u : A -! B dans Dia, le Dia-morphisme image inverse u* : DB - ! DA est exact `a gauche. En particulier, pour tout objet A de Dia, les images di* *rectes cohomologiques se calculent argument par argument. D'emonstration. En vertu de la proposition 2.6, il suffit de v'erifier que pour* * tout objet C de Dia, le morphisme de changement de base associ'e au carr'e cart'esien ux1C A x C ____//_B x C pr1|| pr1|| fflffl| fflffl| A ____u____//B est un isomorphisme dans D(A). Or cela r'esulte aussit^ot de la proposition 2.4 puisque B x C est un cat'egorie cofibr'ee au-dessus de B. Proposition 2.9. Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Dia . On consid`ere un triangle commutatif dans Dia ffi X ___________//_Y @@ " @@ """ p@@ØØ@"""q"" S , PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 11 dans lequel p et q sont des cofibrations. Les assertions suivantes sont 'equiva* *lentes. (a) Pour tout objet s de S, le foncteur OEs : Xs -! Ys est une D-'equivalence. (b) Pour tout objet s de S, le foncteur OE=s : X=s -! Y=s est une D- 'equivalence. (c) Le morphisme canonique q* q* -! p* p* est un isomorphisme dans D(S). (d) Le foncteur OE* : D(Y ) -! D(X) est pleinement fid`ele sur la sous-cat'eg* *orie pleine de D(Y ) form'ee des objets isomorphes `a un objet du type q*F , F 2 Ob D(S). D'emonstration.L''equivalence de (a) et de (b) r'esulte de [1, corollaire 1.20]* * ap- pliqu'e `a aux inclusion du type Xs -! X=s, et l''equivalence entre (c) et (d) * *se v'erifie imm'ediatement. Il suffit donc de montrer que les assertions (a) et (c* *) sont 'equivalentes. En vertu du lemme 2.3, pour chaque objet s de S, on a un carr'e cart'esien Xs _____//X pXs|| |p| fflffl| fflffl| e___s__//S qui induit un isomorphisme s* p* p* ' pXs* p*Xss*. De m^eme, on a un isomor- phisme s* q* q* ' pYs*p*Yss*. On en d'eduit (gr^ace `a l'axiome Der 2) que l'as* *sertion (c) est v'erifi'ee si et seulement si pour tout s 2 Ob S, le morphisme pYs* p*Ys-! pXs* p*Xs est un isomorphisme de D(e), ce qui ach`eve la d'emonstration. Corollaire 2.10. Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Dia. On con- sid`ere une cofibration p : X -! Y dans Dia. Les deux assertions suivantes sont 'equivalentes. (a) Le foncteur p* : D(Y ) -! D(X) est pleinement fid`ele. (b) Toutes les fibres de p sont D-asph'eriques. 3. La propri'et'e universelle de HOT A 3.1. On rappelle qu'un localisateur fondamental [2] est une classe W de fl`eches de Cat v'erifiant les axiomes suivants (on appelle W-'equivalences les 'el'emen* *ts de W). LF1 La classe W est faiblement satur'ee. LF2 Toute petite cat'egorie admettant un objet final est asph'erique. LF3 Pour toute petite cat'egorie C, et tout triangle commutatif _____u______// A @ B @@@ ~~~~ ff@ØØ@@""fi~~~ C , si u est asph'erique au-dessus de C, alors u est une W-'equivalence. L'axiome LF1 signifie que W contient les identit'es, que dans tout triangle com- mutatif de Cat, si deux fl`eches sur les trois sont des 'equivalences faibles, * *alors il en est de m^eme de la derni`ere, et que si i et r sont deux fl`eches composables t* *elles 12 DENIS-CHARLES CISINSKI que ri = 1 et ir 2 W, alors r est une W-'equivalence. Pour la compr'ehension des axiomes LF2 et LF3, on rappelle qu'une petite cat'egorie A est asph'erique * *si l'unique foncteur de A vers la cat'egorie finale est une W-'equivalence. Enfin,* * en reprenant les notations ci-dessus, u est asph'erique au-dessus de C (on dira en* *core C-asph'erique) si c'est une W-'equivalence localement au-dessus de C, i.e. si p* *our tout objet c de C, le foncteur A=c -! B=c est une W-'equivalence. 3.2. Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Cat. On rappelle qu'une fl`eche A -! B de Cat est une D-'equivalence si elle induit un isomorphisme en cohomologie `a coefficients constants dans D, i.e. si le morphisme canonique pB*p*B- ! pA*p*A est un isomorphisme dans D(e) (cf. [1, d'efinition 1.15]). Proposition 3.3. Pour toute petite cat'egorie A, le foncteur canonique Hom__(AO, Cat) -! HOT (A) commute aux produits finis. D'emonstration. Cela r'esulte facilement du fait que les 'equivalences faibles * *com- mutent aux produits finis (voir par exemple [2, 1.1.6]). Proposition 3.4. Soient A et B deux petites cat'egories. On a des isomorphismes canoniques dans Hot. pAO!p*AOB ' A x B ' pA!p*AB D'emonstration.REn effet, si B d'esigne le foncteur constant de A vers Catde va* *leur B, B = A x B. Cela donne le premier isomorphisme. Le second r'esulte de la proposition 3.3 et de la preuve de [2, proposition 1.2.6]. Corollaire 3.5. La classe des HOT -'equivalences co"incide avec celle des 1-'eq* *ui- valences. D'emonstration. Il r'esulte trivialement des propositions 3.3 et 3.4 que la cla* *sse des HOT O-'equivalences co"incide avec celle des 1-'equivalences. Or pour tout d'erivateur D, les notions de DO-'equivalence et de D-'equivalence sont les m^e* *mes (par un simple argument de transposition) Soit D un d'erivateur faible `a gauche de domaine Cat. Lemme 3.6. On consid`ere le triangle commutatif de Cat ci-dessous. _____u______// A @ B @@@ ~~~~ ff@ØØ@@""fi~~~ C Les assertions suivantes sont 'equivalentes. (i)Pour tout objet c de C, le foncteur A=c -! B=c est une D-'equivalence. (ii)Le morphisme canonique fi*p*B- ! ff*p*Aest un isomorphisme. PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 13 D'emonstration.On proc`ede comme pour la d'emonstration du cas particulier qu'est [1, proposition 1.21]. Pour tout objet c de C, en vertu de l'axiome Der 4g, on a un carr'e commutatif canonique dont les fl`eches verticales sont des i* *so- morphismes c*fi*p*B_____//_c*ff*p*A o|| |o| fflffl| fflffl| pB=c*p*B=c___//_pA=c*p*A=c . Le lemme r'esulte donc imm'ediatement de l'axiome Der 2. Proposition 3.7. Les D-'equivalences forment un localisateur fondamental. D'emonstration.La v'erification de la faible saturation est imm'ediate. L'axiome LF2 r'esulte aussit^ot de [1, proposition 1.18]. Montrons, l'axiome LF3. Soit ______u_____// A @ B @@@ ~~~~ ff@@ØØ@""fi~~~ C un triangle commutatif dans Cat. Si u est WD-asph'erique au-dessus de C, le lemme ci-dessus nous donne un isomorphisme de foncteurs fi*p*B- ! ff*p*A. On en d'eduit aussit^ot un isomorphisme pB*p*B' pC*fi*p*B' pC*ff*p*A' pA*p*A, ce qui ach`eve la d'emonstration. Remarque 3.8. Le corollaire 3.5 et la proposition 3.7, redonnent une preuve plus conceptuelle de [2, th'eor`eme 2.1.13], `a savoir du fait que les 1-'equivalenc* *es forment un localisateur fondamental. Cela peut donc aussi ^etre vu comme une nouvelle preuve du th'eor`eme A de Quillen. Th'eor`eme 3.9. Les 1-'equivalences forment le localisateur fondamental mini- mal. En particulier, tout localisateur fondamental contient W1 . D'emonstration.Voir [2, th'eor`eme 2.2.11]. Corollaire 3.10. Toute 1-'equivalence est une D-'equivalence. D'emonstration.Cela r'esulte aussit^ot du th'eor`eme 3.9 et de la proposition 3* *.7. 3.11. Un d'erivateur `a gauche est un d'erivateur faible `a gauche D de domaine* * Cat tel que pour tout triangle commutatif de Cat _____u______// A @ B @@@ ~~~~ ff@ØØ@@""fi~~~ C , si le foncteur u est coasph'erique au-dessus de C au sens de W1 (i.e. si pour tout objet c de C, le foncteur c\A -! c\B est dans W1 ), alors le morphisme canonique pB* fi* -! pA* ff* 14 DENIS-CHARLES CISINSKI est un isomorphisme dans D(e)2. Proposition 3.12. Tout d'erivateur de domaine Cat est un d'erivateur `a gauche. D'emonstration. Soit D un d'erivateur de domaine Cat. Si _____u______// A @ B @@@ ~~~~ ff@ØØ@@""fi~~~ C est un C-morphisme coasph'erique au-dessus de C au sens de W1 , en vertu du co- rollaire 3.10 et de l''enonc'e dual du lemme 3.6, on a un isomorphisme de fonct* *eurs ff!p*A' fi!p*B. Par transposition, cela nous donne un isomorphisme de foncteurs pB *fi* ' pA*ff*. Corollaire 3.13. Le d'erivateur HOT est un d'erivateur `a gauche. 3.14. On note ß0 : Hot -! Ens le foncteur öc mposantes connexes". Un d'erivateur faible `a gauche D est enrichi `a gauche si pour tout objet X de D, il existe un Cat -morphisme exact `a gauche Hom__D(X, ?) : D - ! HOT et un isomorphisme naturel en Y 2 Ob D(e) : ß0Hom__D(X, Y ) ' Hom D(e)(X, Y ) . Par exemple, si M est une cat'egorie de mod`eles ferm'ee admettant des petites limites projectives, le d'erivateur faible `a gauche associ'e DM [1, th'eor`em* *e 6.11] est enrichi `a gauche [1, proposition 6.14]. Proposition 3.15. Tout d'erivateur faible `a gauche enrichi `a gauche est un d'erivateur `a gauche. D'emonstration. Soit D un d'erivateur faible `a gauche enrichi `a gauche, et so* *it _____u______// A @ B @@@ ~~~~ ff@ØØ@@""fi~~~ C un triangle commutatif de Cat. Si u est coasph'erique au-dessus de C au sens de W1 , alors il r'esulte du corollaire 3.13 que pour tout objet X de D et tout ob* *jet F de D(C), on a des isomorphismes canoniques : Hom D(e)(X, pB*fi*F')ß0Hom__D(X, pB*fi*F ) ' ß0pB *fi* Hom__D(X, F ) ' ß0pA* ff*Hom__D(X, F ) ' ß0Hom__D(X, pA* ff*F ) ' Hom D(e)(X, pA* ff*F ) . ___________ 2On peut en fait montrer que tout d'erivateur faible `a gauche de domaine Cat* *est un d'erivateur `a gauche. Cela r'esulte d'une g'en'eralisation ad'equate du th'eor`eme 3.9 fai* *sant intervenir la propri'et'e de densit'e homotopique exprim'ee par la proposition 1.15. Cela dem* *ande cependant l''elaboration d'une machinerie plus lourde que celle d'evelopp'ee dans [2]. PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 15 Le lemme de Yoneda implique donc aussit^ot que pB *fi*F -! pA *ff*F est un isomorphisme. Corollaire 3.16. Tout pr'ed'erivateur associ'e `a un localisateur de Quillen ad* *met- tant des petites limites projectives est un d'erivateur `a gauche. 3.17. On fixe `a pr'esent un d'erivateur faible `a gauche D de domaine Cat, ain* *si qu'une petite cat'egorie A. On suppose en outre que l'une des hypoth`eses suiva* *ntes est v'erifi'ee. H1 D est un d'erivateur `a gauche. H2 La cat'egorie A est la cat'egorie ponctuelle. 3.18. Soit un objet de D(A). Pour chaque petite cat'egorie X, on d'efinit un foncteur ! : Hom__(AO x X, Cat)O -! D(X) par la formule !(F ) = ß(F )* $(F )*( ) sur les objets. Si p : F - ! G est un morphismeRde Hom__(AO x X, Cat), on a le diagramme commutatif ci-dessous (o`u q = r p). R r F $(F)____| CCCi(F)C __ |q CCC ""___ Rfflffl|C!! A o$(G)ro_G i(G)_//X On obtient ainsi un morphisme !(p) : !(G) -! !(F ) comme le compos'e !(G) = ß(G)*$(G)*( ) -! ß(G)*q*q*$(G)*( ) ' ß(F )*$(F )*( ) = !(F ) . Lemme 3.19. La construction ci-dessus d'efinit un morphisme de pr'ed'erivateurs ! : Hom__(AO, Cat)O -! D . D'emonstration.Soient , : X0 -! X un foncteur entre petites cat'egories, et F un objet de Hom__(X x AO, Cat)O. On obtient les carr'es cart'esiens suivants : R u, R r ,*F _________//r F ______________________ ______________________ _____|______________________________________|_________* *__________________________________ _______|r`(,*F)|________________________________________* *___________r`(F)|________________________________________ ____________________ | ___________________________* *___________ ________fflffl|___________________fflffl|________________* *___________ i(,*F)_______________________________i(F)____________________A* */x/X0_A x X ________________________________________________________* *_____1Ax, ________________________________________________________* *__________________|| _______________________________________________________* *___________________pr|pr| ______________________________________________________* *______________________________2|2| _$$________________________________yy_______________* *_______________________fflffl|fflffl| X0 ______,_____//_X . Comme ß(F ) est une cofibration, en vertu de la proposition 2.4, on a un isomor- phisme canonique dans D(X0) ,* ß(F )* ' ß(,*F )* u*,, 16 DENIS-CHARLES CISINSKI ce qui induit, avec l''egalit'e $(F ) u, = $(,*F ), les identifications suivant* *es ,* !(F )= ,* ß(F )* $(F )*( ) ' ß(,*F )* u*,$(F )*( ) = ß(,*F )* $(,*F )*( ) = !(,*F ) . Si , est une identit'e, alors il en est de m^eme de u,, et ß(,*F ) = ß(F ). On * *en d'eduit aussit^ot que dans ce cas l'isomorphisme ci-dessus est l'identit'e de !(F ). O* *n v'erifie par ailleurs en explicitant la construction des morphismes de changement de base que si ,0: X00-! X0 est un second morphisme de Cat, le triangle 'evident suivant commute ,*,0* !(FN)___________________//7!,*,0*(F7) NNN pppp NNNN pppp NN''N ppp ,* !,0*(F ) (cela r'esulte du fait que les morphismes de changement de base se öc mposent" en un sens ad'equat [10]). Pour achever la d'emonstration, il reste `a v'erifie* *r la compatibilit'e des isomorphismes ,* ! ' !,* aux 2-morphismes. Consid'erons `a pr'esent une 2-fl`eche de Cat ffl _______________________________________________* *____________________________________________________________________@ X0 _______________________________________________* *____________________________________________________________________@ , On peut la voir comme une fl`eche j : X00= X0x 1 -! X telle que jffi0 = Ø et jffi1 = ,, ffie : X0 -! X0x 1 d'esignant le foncteur x 7- ! (x, e). Si F e* *st un foncteur de X `a valeurs dans Hom__(AO, Cat), on obtient d'apr`es ce qui pr'ec`* *ede un isomorphisme canonique j* !(F ) ' !(j*F ) . L'image de ce dernier par le foncteur canonique D(X x 1) -! Hom__( 1 O, D(X)) est un diagramme commutatif de la forme ci-dessous dans D(X0). ~ * ! * ,* !(F )______ffi*1j* !(F_)_//ffi1 (j F ) | | | | | | fflffl| fflffl|~ fflffl| Ø* !(F )______ffi*0j* !(F_)_//ffi*0 !(j*F ) Il suffit donc de montrer que le carr'e suivant commute dans D(X0). ~ ! * *____ ! * ffi*1 !(j*F_)_//_ (ffi1j_F_)_ (, F ) | | | | | | fflffl|~ fflffl| fflffl| ffi*0 !(j*F_)_//_ !(ffi*0j*F_)__ !(Ø*F ) PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 17 Or si G est un foncteur de X0x 1 vers Hom__(AO, Cat), le morphisme ß(ffi*1G)*u*ffi1-! ß(ffi*0G)*u*ffi0 R R s'explicite comme suit. Il existe un foncteur _ : r ffi*0G -! r ffi*1G, indu* *it par les foncteurs G(a,x,0)-! G(a,x,1), a 2 Ob A, x 2 Ob X0, tel que ß(ffi*0G) = ß(f* *fi*1G)_ (_ est cart'esien au-dessus de A, et cocart'esien au-dessus de X0). On a en out* *re un 2-morphisme structural uffi0-! uffi1_, ce qui induit un morphisme ß(ffi*0G)*ß(ffi*1G)*u*ffi1= _*ß(ffi*1G)*ß(ffi*1G)*u*ffi1-! _*u*ffi1-! u* **ffi0. Par adjonction on obtient bien une fl`eche ß(ffi*1G)*u*ffi1-! ß(ffi*0G)*u*ffi0.* * Une v'eri- fication explicite montre que le carr'e suivant commute ffi*1ß(G)*___//ß(ffi*1G)*u*ffi1 | | | | fflffl| fflffl| ffi*0ß(G)*___//ß(ffi*0G)*u*ffi0, ce qui ach`eve la d'emonstration. Lemme 3.20. Pour toute petite cat'egorie X, le foncteur ! : Hom__(X x AO, Cat)O -! D(X) envoie les 1-'equivalences sur des isomorphismes. D'emonstration.Supposons dans un premier temps que X soit la cat'egorie ponc- tuelle. Sous l'hypoth`ese H1, cela r'esulte de l''enonc'e dual de [2, propositi* *ons 1.2.6 et 1.1.12] et de la d'efinition m^eme de d'erivateur `a gauche donn'ee ici, et * *sous l'hypoth`ese H2, c'est une cons'equence du corollaire 3.10. Le cas g'en'eral en* * r'esulte gr^ace `a l'axiome Der 2 et au lemme 3.19. Proposition 3.21. Le morphisme de pr'ed'erivateurs ! : Hom__(AO, Cat)O -! D induit un Cat-morphisme exact `a gauche ! : HOT OA- ! D . D'emonstration.Les lemmes 3.19 et 3.20 montrent qu'on obtient bien ainsi un morphisme de pr'ed'erivateurs. Soient X une petite cat'egorie, et F un objet de HOT OA(X), i.e.un foncteur de X x AO vers Cat. On va montrer que le morphisme canonique !(pX *F ) -! pX* !(F ) est un isomorphisme dans D(e), ce qui est suffisant pour conclure en vertu de la proposition 2.6. Or dans HOT OA, pX *F est repr'esent'e par le foncteur R R F : AO -! Cat , a 7- ! Fa , R R ce qui donne l'identification !(pX *F ) = ß( F )*R$( F )*( ). La d'emonstrat* *ion s'ach`eveRainsi par une tautologie : leRfoncteur ß( F ) est le foncteur canoni* *que r F - ! e, ce qui donne l''egalit'e ß( F ) = pX ß(F ), d'o`u un isomorphisme 18 DENIS-CHARLES CISINSKI R R canonique ß( F )* ' pX *ß(F )*, et l''egalit'e $( F ) = $(F ) am`ene `a l'iso* *mor- phisme attendu. Lemme 3.22. Les objets et !(hA) sont canoniquement isomorphes. R D'emonstration. On a d'ej`a remarqu'e que r hA = FlA, ß(hA) correspondant au foncteur üb t" t : FlA -! A, et $(hA) au foncteur ös urce" s : FlA -! A. On veut donc montrer que ' s* t* . On a un morphisme de foncteurs s -! t, d'o`u un morphisme de foncteurs t* -! s*. Comme t est une cofibration `a fibres asph'eriques (lemme 1.3), le foncteur t* : D(A) -! D(FlA) est pleinement fid`ele (corollaire 2.10). On obtient ainsi un morphisme ' t* t* -! t* s* . Pour montrer que c'est un isomorphisme, il suffit de le tester sur les fibres (* *axiome Der 2). Soit a un objet de A. Alors la fibre de a au-dessus de t est la cat'ego* *rie A=a, et en vertu du lemme 2.3, on a un isomorphisme (t* s* )a ' pA=a* |A=a. Comme A=a admet (a, 1a) comme objet final, on a aussi par 2-fonctorialit'e pA=a* |A=a* * ' a, d'o`u a ' (t* s* )a. 3.23. On note DER !fla 2-sous-cat'egorie de la 2-cat'egorie PREDER des pr'ed'* *eriva- teurs de domaine Cat dont les objets sont les d'erivateurs faibles `a gauche, d* *ont les 1-fl`eches sont les Cat-morphismes exacts `a gauche, et dont les 2-fl`eches* * les 2-Cat-morphismes. Si D et D0 sont deux d'erivateurs faibles `a gauche, on note Hom__!(D, D0) la cat'egorie des 1-morphismes de D vers D0 dans DER !f. On note enfin DER !la 2-sous-cat'egorie pleine de DER !fform'ee des d'erivateurs `a gau* *che. Th'eor`eme 3.24. Soit A une petite cat'egorie. Le 2-foncteur DER !- ! CA T , D 7- ! D(A) est repr'esent'e par HOT OA. Autrement-dit, pour tout d'erivateur `a gauche D,* * il existe une 'equivalence de cat'egories naturelle Hom__!(HOT OA, D) -~-!D(A) . Dans le cas o`u A est la cat'egorie ponctuelle cette repr'esentabilit'e s''eten* *d `a DER !f, i.e.pour tout d'erivateur faible `a gauche D, on a une 'equivalence de cat'egor* *ies naturelle Hom__!(HOT O, D) -~-!D(e) . D'emonstration. On fixe un d'erivateur faible `a gauche D, et une petite cat'eg* *orie A satisfaisant l'une des hypoth`eses H1 ou H2 (3.17). On d'efinit un foncteur " : Hom__!(HOT OA, D) -! D(A) de la mani`ere suivante. Si F : HOT OA-! D est un morphisme de DER !f, il se sp'ecialise en un foncteur F : HOT OA(A) = HOT (AO x A)O -! D(A) , PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 19 et on pose "(F) = F(hA). D'autre part, en vertu de la proposition 3.21 on a un foncteur # : D(A) -! Hom__!(HOT OA, D) , 7- ! !. Il r'esulte de la proposition 1.15, du lemme 3.22, et de la construction m^em* *e de # (3.18) que ces deux foncteurs sont des 'equivalences de cat'egories quasi-inv* *erses l'une de l'autre. 3.25. L''enonc'e pr'ec'edent admet bien entendu une version duale en termes de d'erivateurs `a droite. On note DER f!la 2-sous-cat'egorie de PREDER dont les* * ob- jets sont les d'erivateurs faibles `a droite de domaine Cat, les 1-fl`eches, le* *s Cat- morphismes exacts `a droite, et les 2-fl`eches, les 2-Cat-morphismes. Si D et D0 sont deux d'erivateurs faibles `a droite, alors Hom__!(D, D0) est la sous-cat'e* *gorie pleine de Hom__(D, D0) dont les objets sont les Cat-morphismes exacts `a droite* *. On d'esigne enfin par DER !la 2-sous-cat'egorie pleine de DER f!dont les objets so* *nt les d'erivateurs `a droite, i.e. les pr'ed'erivateurs D de domaine Cat tels que DO * *soit un d'erivateur `a gauche. Corollaire 3.26. Soit A une petite cat'egorie. Pour tout d'erivateur `a droite * *D, il existe une 'equivalence de cat'egories canonique Hom__!(HOT A, D) -~-!D(AO) . Si A = e est la cat'egorie ponctuelle, cette 'equivalence s''etend aux d'erivat* *eurs faibles `a droites. Autrement dit, pour tout d'erivateur faible `a droite D, on* * a une 'equivalence de cat'egories canonique Hom__!(HOT , D) -~-!D(e) . D'emonstration.On a des 'equivalences de cat'egories O O O O Hom__!(HOT A, D) ' Hom__!(HOT OA, DO)' D (A ) ' D(A ) , ce qui prouve le corollaire. Corollaire 3.27. Toute auto-'equivalence de HOT est un objet final de la cat'e* *gorie Hom__!(HOT , HOT ). En particulier, toute auto-'equivalence de HOT est isomor* *phe `a l'identit'e, et le seul endomorphisme de l'identit'e est l'identit'e. D'emonstration.Les 'equivalences Hom__!(HOT , D) ' D(e) sont d'efinies par le * *fonc- teur F 7- ! F(e), o`u e est l'objet final de Cat (et donc de Hot en vertu de la proposition 3.3). Dans le cas o`u D = HOT , on en d'eduit aussit^ot l'assertion. 4. La propri'et'e universelle de HOT o,A 4.1. On fixe pour le moment une cat'egorie de diagrammes Dia . Sauf mention explicite du contraire, tous les (pr'e-)d'erivateurs consid'er'es seront de dom* *aine Dia. Un Dia-morphisme G : D -! D0est un adjoint `a gauche d'un Dia-morphisme D : D0- ! D s'il existe des 2-Dia -morphismes " : GD -! 1D0 et j : 1D -! DG tels que D"jD = 1D et "G Gj = 1G . On v'erifie que pour qu'un Dia-morphisme D : D0 -! D admette un adjoint `a gauche G, il faut et il suffit que pout tout objet A de Dia, le foncteur D : D0(A) -! D(A) admette un adjoint `a gauche. 20 DENIS-CHARLES CISINSKI Lemme 4.2. Soient i : D0 -! D une inclusion pleine de pr'ed'erivateurs ( i.e. un Dia -morphisme tel que pour tout objet A dans Dia , le foncteur D0(A) - ! D(A) soit une inclusion pleine). On suppose que i admet un adjoint `a gauche a : D -! D0. Tout foncteur dans Dia admettant une image directe homologique (resp. cohomologique) dans D en admet une dans D0. Si D est un d'erivateur faib* *le `a droite (resp. faible `a gauche), il en est de m^eme de D0. D'emonstration. Soit u : A -! B un foncteur dans Dia. Supposons que u admette une image directe homologique dans D. Pour F dans D0(A) et G dans D0(B), on a les bijections canoniques suivantes, lesquelles montrent que u admet aussi une image directe homologique dans D0. Hom D0(A)(F, u*G)' Hom D(A)(iF, iu*G) ' Hom D(A)(iF, u*iG) ' Hom D(B)(u!iF, iG) ' Hom D0(B)(au!iF, G) . Supposons cette fois que u admette une image directe cohomologique dans D, et fixons un objet G de D0(A). Si F -! F 0est une fl`eche de D(B) dont l'image par a est un isomorphisme, on obtient le diagramme commutatif suivant (dont toutes les fl`eches se r'ev`elent ^etre des bijections). Hom D(B)(F 0, u*iG)____//_HomD(B)(F, u*iG) offlffl| offlffl| Hom D(A)(u*F 0, iG)____//_HomD(B)(u*F, iG) offlffl| offlffl| Hom D0(A)(au*F 0, G)__//_HomD0(B)(au*F, G) offlffl| offlffl| Hom D0(A)(u*aF 0, G)~_//_HomD0(B)(u*aF, G) Comme l'image de la fl`eche canonique u*iG -! iau*G par a est un isomorphisme, ce qui pr'ec`ede implique que cette derni`ere est un isomorphisme dans D(B). Ma* *is alors pour tout objet F de D0(B), on obtient les bijections canoniques suivante* *s. Hom D0(A)(u*F, G)' Hom D(A)(iu*F, iG) ' Hom D(A)(u*iF, iG) ' Hom D(B)(iF, u*iG) ' Hom D(B)(iF, iau*iG) ' Hom D0(B)(F, au*iG) Il est `a pr'esent clair que si D v'erifie l'axiome Der 3d (resp. Der 3g), alor* *s il en est de m^eme de D0. L'explicitation des images directes homologiques (resp. cohomologiques) dans D0en fonction de leurs analogues dans D donn'ee ci-dessus permet de v'erifier facilement l'axiome Der 4d (resp. Der 4g) dans D0 d`es qu'i* *ls sont v'erifi'es dans D. C'est enfin un exercice facile de v'erifier que si D v'* *erifie les axiomes Der 1 et Der 2, alors il en est de m^eme de D0. PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 21 4.3. On rappelle qu'un foncteur j : U - ! A est une immersion ouverte si c'est une inclusion pleine faisant de U un crible de A (i.e. pour tout objet a de A, * *s'il existe une fl`eche de source a et de but un objet de U, alors a est dans U). Un foncteur i : Z - ! A est une immersion ferm'ee si c'est un inclusion pleine de faisant de Z un cocrible de A (ou de mani`ere 'equivalente, si iO : ZO -! AO est une immersion ouverte). Par exemple le foncteur t : e -! 1 qui pointe l''el'em* *ent 0 (resp. s : e -! 1 qui pointe l''el'ement 1) est une immersion ouverte (resp. ferm'ee). Les immersions ouvertes sont stables par composition et par changement de base. Proposition 4.4. Soit D un d'erivateur faible `a droite. Pour tout foncteur ple* *ine- ment fid`ele u : A -! B dans Dia, le foncteur image directe u! : D(A) -! D(B) est pleinement fid`ele. Si en outre u est une immersion ouverte, alors l'image * *es- sentielle du foncteur u! est form'ee des objets F de D(B) tels que pour tout ob* *jet b de B qui n'est pas dans A, b*F est un objet initial de D(e). D'emonstration.Il s'agit de montrer que pour tout objet F de D(A), le mor- phisme F - ! u*u!F est un isomorphisme. En vertu de l'axiome Der 2, il suffit de v'erifier que pour tout objet a de A, a*F - ! a*u*u!F est un isomorphisme dans D(e). Or la pleine fid'elit'e de u implique le foncteur canonique a\A - ! * *a\B est un isomorphisme, et donc l'axiome Der 3d implique qu'on a un isomorphisme canonique a*F = Fa = pa\A!F |a\A ' pa\B!(u*F )|a\B ' (u!F )u(a)= a*u*u!F . Si u est une immersion ouverte, et si b : e -! B est un objet de B qui n'est pas dans A, on a un carr'e cart'esien ? ____//_A | u| | | fflffl| fflffl| e___b_//B et comme u est en particulier une fibration, l''enonc'e dual de la proposition * *2.4, donne un isomorphisme canonique pour tout objet F de D(A) : ? = p?!F |? ' b*u!F . On en d'eduit aussit^ot la seconde assertion. 4.5. Un d'erivateur faible `a droite D est pr'eponctu'e si la cat'egorie D adme* *t un objet final ? et si pour tout objet A de Dia, le foncteur 1A x s : A ' A x e -! A x 1 admet une image directe cohomologique pleinement fid`ele dans D dont l'image essentielle est form'ee des objets F tels que (1A x t)*F soit un objet * *final de D(A) (on v'erifie en effet dans ce cas que pour tout A dans Dia, D(A) admet un objet final, `a savoir p*A?, car le foncteur p*Aadmet un adjoint `a gauche).* * Il est remarquable que tout d'erivateur est un d'erivateur faible `a droite pr'epo* *nctu'e (4.4). Un d'erivateur faible `a droite est ponctu'e s'il est pr'eponctu'e et si* * la cat'egorie D(e) admet un objet nul (i.e. `a la fois initial et final), alors not'e 0. Dans* * ce cas, pour tout A dans Dia, p*A0 est un objet nul de D(A). En effet, le Dia-morphisme p*A : D - ! DA est exact `a droite (par l''enonc'e dual de 2.8), ce qui implique en particulier que p*A0 est aussi un objet initial. On peut d'efinir dualement * *les notions de d'erivateur faible `a gauche pr'eponctu'e et ponctu'e. 22 DENIS-CHARLES CISINSKI Soit D un d'erivateur faible `a droite pr'eponctu'e. Pour chaque objet A de * *Dia, on note Do(A) la sous-cat'egorie pleine de D(A x 1) form'ee des objets F tels que (1A x s)*F soit isomorphe `a 0. On v'erifie aussit^ot que cela d'efinit un * *sous- pr'ed'erivateur Do de D 1. 4.6. On note = 1 x 1, le sous-ensemble ordonn'e de form'e des couples (i, j) 6= (0, 0), et i : -! l'inclusion. Si D est un d'erivateur faible `* *a droite et A un objet de Dia, un objet F de D(A x ) est (homotopiquement) cocart'esien s'il est dans l'image essentielle du foncteur (1A x i )!(lequel est pleinement * *fid`ele en vertu de 4.4). Comme les images directes homologiques se calculent argument par argument dans DA (2.8), on remarque gr^ace `a l'axiome Der 2 qu'un objet F de DA( ) est cocart'esien si et seulement si pour tout objet a de A, a*F est un objet cocart'esien de D( ). En utilisant les axiomes Der 2 et Der 3d, on v'erif* *ie facilement qu'un objet F de D( ) est cocart'esien si et seulement si le morphis* *me canonique p !i*F -! F0,0est un isomorphisme dans D(e). Lemme 4.7. Soient u : A -! B et v : -! B deux foncteurs dans Dia. On suppose que x = v(0, 0) n'est pas dans l'image de u ni dans celle de vi , et qu* *'il existe une sous-cat'egorie pleine C de E satisfaisant les conditions suivantes : (a)u et v se factorisent par C ; (b)le foncteur ~v: -! x\(C r {x}) induit par v admet un adjoint `a droite. Alors pour tout objet F de D(A), v*u!F est un objet cocart'esien de D( ). D'emonstration. La proposition 4.4 appliqu'ee `a l'inclusion de C dans B montre qu'on peut supposer que B = C, ce qui sera le cas dans la suite de cette preuve. Notons D = x\(B r {x}) et w : D - ! l'adjoint `a droite de ~v. Alors par 2-fonctorialit'e, w* est un adjoint `a droite de ~v*. Autrement dit, on a une i* *denti- fication canonique ~v*= w!. En cons'equence, on a des identifications canoniques p !~v*= p !w!' pD!. Soit u0: A -! B r {x} la factorisation de u par l'inclusion k : B r {x} -! B. Le morphisme canonique u0!-! k*k!u0!est un isomorphisme (gr^ace `a la proposition 4.4 appliqu'ee `a k). On en d'eduit des identificatio* *ns : u! = (ku0)! ' k!u0!' k!k*k!u0!' k!k*u!. Notons j : D - ! B r {x} le foncteur d'oubli. On a les 'egalit'es kj~v= vi (o`u i est l'inclusion de dans ). On e* *n d'eduit les relations i*v* = ~v*j*k*. On obtient donc des isomorphismes canoniques p !i*v*u!' p !~v*j*k*k!u0!' pD!j*k*k!u0!' pD!j*k*u!. Or il r'esulte de l'axiome Der 3d que le foncteur pD !j*k*u! s'identifie canoni* *que- ment `a x*k!k*u!' x*u!= (0, 0)*v*u!, ce qui ach`eve la d'emonstration. Proposition 4.8. Soit = 1 x 2. On note ui : - ! (0 i 2) le foncteur correspondant `a 1 1xffii2(ffii2'etant l'unique application stri* *ctement croissante de 1 vers 2 qui ne prend pas la valeur i). On consid`ere enfin un objet F de D( ), tel que u*0F soit un objet cocart'esien de D( ). Alors u*2F est un objet cocart'esien de D( ) si et seulement si u*1F en est un. D'emonstration. Soit Z le sous-ensemble ordonn'e de form'e des couples (i, j) tels que (i, j) 6= (0, 0), (0, 1), et soit j : Z - ! l'inclusion. En vertu de* * la proposition 4.4, le foncteur j! : D(Z) - ! D( ) est pleinement fid`ele, et on v'erifie facilement gr^ace au lemme ci-dessus que l'image essentielle de j!est * *form'ee PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 23 des objets F de D( ) tels que u*0F et u*iF soient cocart'esiens pour i = 1 ou i = 2. Lemme 4.9. Soit F un objet de D( ) tel que le morphisme induit F1,1- ! F0,1, soit un isomorphisme dans D(e). Si i d'esigne l'inclusion de dans , le morphisme canonique F1,0' (i!F )1,0-! (i!F )0,0est un isomorphisme. R'ecipro- quement, si F est un objet de D( ) tel que les morphismes F1,''-! F0,'', j = 0,* * 1, soient des isomorphismes, alors F est cocart'esien. D'emonstration.Soit p : -! 1 le morphisme d'efini par p(", j) = j. Ce dernier admet un adjoint `a droite j d'efini par j(j) = (1, j). En particulier, le morp* *hisme de foncteurs de l'identit'e de vers jp induit en posant G = j*F , une fl`eche* * de F vers p*G, laquelle se r'ev`ele ^etre un isomorphisme (gr^ace `a l'hypoth`ese * *faite sur F et `a l'axiome Der 2). On peut donc supposer que F = p*G pour un objet G de D( 1). Par 2-fonctorialit'e, p* est un adjoint `a gauche de j*, ce qui signifie* * encore que p* = j!. Comme p 1!est l''evaluation en 0, on en d'eduit que p !F = p !p*G ' p !j!G ' p 1!G ' G0 = F1,0. La r'eciproque r'esulte de la pleine fid'elit'e de i! et d'une nouvelle utilisa* *tion de l'axiome Der 2. Lemme 4.10. L'inclusion i : Do -! D 1 admet un adjoint `a gauche a. D'emonstration.Il suffit de montrer que les inclusions Do(A) -! D 1(A) = D(A x 1) admettent un adjoint `a gauche. Quitte `a remplacer D par DA, on voit qu'on peut se contenter du cas o`u A = e est la cat'egorie finale (cela ne sert qu'`a all'* *eger les notations). On a un foncteur image directe cohomologique (1 1 x s)* : D( 1) -! D( ) . Si j : -! d'esigne l'inclusion, on a deux foncteurs adjoints j! : D( ) -! D( ) et j* : D( ) -! D( ) . On d'efinit un foncteur a : D( 1) -! Do(e) par a = (1 1 x t)*j!j*(1 1 x s)* : le foncteur j! est pleinement fid`ele (4.4) et la description de l'image essentiel* *le de (1 1 x s)* montre que pour tout objet F de D( 1), on a un objet cocart'esien aF de D( ) dont l'image dans D(e) est de la forme ci-dessous. s*F _______//? | | | | fflffl| fflffl| t*F _____//t*iaF Autrement dit, t*iaF est le quotient homotopique de s*F -! t*F . En particulier, a est un foncteur de D( 1) vers Do(e). Si F est un objet de D( 1), on a des isomorphismes canoniques (1 1 x s)*j!j*(1 1 x s)*F ' (1 1 x s)*(1 1 x s)*F ' F , 24 DENIS-CHARLES CISINSKI et un morphisme (1 1 x s)* -! (1 1 x t)* induit par la 2-fl`eche t - ! s, ce qui d'efinit un morphisme naturel jF : F - ! iaF . Si F est un objet de Do(e), j*(1 1 x s)*iF est un diagramme dont l'image dans D(e) est de la forme F0 - F1 -~-!? , d'o`u on d'eduit gr^ace `a 4.9 que le morphisme canonique j!j*(1 1 x s)*iF -! (1 1 x p 1)*iF ' (1 1 x t)*iF est un isomorphisme. L'isomorphisme canonique (1 1 x t)*(1 1 x t)*iF - ! iF induit donc un isomorphisme "F : aiF -! F . On v'erifie alors que a et i forme* *nt un couple de foncteurs adjoints avec pour co-unit'e ", et pour unit'e j. Proposition 4.11. Soit D un d'erivateur faible `a droite pr'eponctu'e (resp. un d'erivateur). Alors Do est un d'erivateur faible `a droite ponctu'e (resp. un d* *'erivateur ponctu'e). D'emonstration. Cela r'esulte aussit^ot des lemmes 4.2 et 4.10 et du fait que D* * 1 est un d'erivateur faible `a droite pr'eponctu'e (resp. un d'erivateur). Exemple 4.12. Vu que HOT est un d'erivateur, on obtient de la sorte un d'eriva* *teur ponctu'e HOT o, et on pose Hoto = HOT o(e). Ce d'erivateur peut aussi ^etre obt* *enu par une voie plus classique : HOT oest le d'erivateur associ'e au localisateur* * de Quillen (Cato, W1 ) form'e de la cat'egorie des petites cat'egories point'ees e* *t de la classe des 1-'equivalences. Cette affirmation n'est qu'un 'enonc'e de strictifi* *cation : une fois choisi l'objet final ? de HOT correspondant `a l'objet final de Cat(c* *e qui a un sens en vertu de 3.3), la cat'egorie HOT o(A) est 'equivalente `a la sous-ca* *t'egorie pleine de HOT (A x 1) form'ee des objets F tels que (1A x s)*F = p*A? (et non pas seulement (1A x s)*F ' p*A?). On peut bien entendu aussi le d'efinir `a par* *tir de la cat'egorie des ensembles simpliciaux point'es, ou encore de celle des esp* *aces topologiques point'es, etc. Exemple 4.13. Si D est un d'erivateur faible `a droite pr'eponctu'e, alors pour* * tout objet A de Dia, il en est de m^eme de DA, et on v'erifie aussit^ot que DA,o= Do* *,A. 4.14. Soit D un d'erivateur faible `a droite pr'eponctu'e. Le Dia-morphisme ima* *ge inverse t* : D 1 -! D induit un Dia-morphisme d'oubli U : Do -! D. Lemme 4.15. Le Dia -morphisme d'oubli U : Do -! D admet un adjoint `a gauche ?+ : D -! Do. D'emonstration. Quitte `a remplacer D par DA, il suffit encore une fois de v'er* *ifier que le foncteur d'oubli U : Do(e) - ! D(e) admet un adjoint `a gauche. Le foncteur image directe homologique t! : D(e) -! D( 1) est pleinement fid`ele et admet pour image essentielle les objets F tels que s*F soit un objet initial de D(e). Si X est un objet de D(e), on note X+ = ? q t!X (o`u ? est un objet final* * de D( 1). On va v'erifier que X 7- ! X+ est un adjoint `a gauche de U. On remarque que p* 1= s!. Par cons'equent, pour tout objet Y de D0o(e), on a : Hom D( 1)(?, iY')Hom D( 1)(s!?, iY ) ' Hom D(e)(?, s*iY ) ' Hom D(e)(?, ?) = {1?} . PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 25 Si X est un objet de D(e), on obtient donc Hom Do(e)(X+ , Y')Hom D( 1)(? q t!X, iY ) ' Hom D( 1)(?, iY ) x Hom D( 1)(t!X, iY ) ' Hom D(e)(X, t*iY ) = Hom D(e)(X, UY ) , ce qui ach`eve la d'emonstration. Lemme 4.16. Pour tout d'erivateur faible `a droite ponctu'e D, le Dia-morphisme ?+ : D -! Do est une 'equivalence. D'emonstration.Quitte `a remplacer D par DA pour chaque A dans Dia, il suffit de montrer que le foncteur ?+ : D(e) -! Do(e) est une 'equivalence de cat'egor* *ies. On constate que i?+ est isomorphe au foncteur t!: en effet, comme 0 = ? est un objet initial, pour tout objet F de D( 1), 0 q F = F . Par cons'equent, le fonc* *teur ?+ est pleinement fid`ele. Il est imm'ediat qu'il est aussi essentiellement sur* *jectif : Do(e) est exactement l'image essentielle du foncteur t!(cf. 4.4). Proposition 4.17. Soit D un d'erivateur faible `a droite pr'eponctu'e. Pour tout d'erivateur faible `a droite ponctu'e D0, le foncteur induit par ?+ : D -! Do Hom__!(Do, D0) -! Hom__!(D, D0) est une 'equivalence de cat'egories. Autrement dit, Do est le d'erivateur faibl* *e `a droite ponctu'e universel associ'e `a D. D'emonstration.Soit : D -! D0 un Dia-morphisme exact `a droite. Il induit un Dia-morphisme o : Do -! D0obtenu par les compositions 1 0 a 0 U 0 Do -i!D 1 --! D 1 --! Do -! D . On va montrer que le morphisme canonique a 1 - ! a 1ia est un isomor- phisme. En vertu de l'axiome Der 2, il suffit de le v'erifier dans D0(e). On d'* *esigne par v l'unique application strictement croissante de vers x 1 qui ne prend pas les valeurs (1, 1, 0) et (0, 1, 0). On a un foncteur canonique (1 x s)* : D0( ) -! D0( x 1) et un foncteur image inverse v* : D0( x 1) -! D0( ) . En les composant, on d'efinit donc un foncteur b0 : D0( ) -! D0( ). Soit Z le sous-ensemle ordonn'e de form'e des couples (i, j) 6= (0, 0), et soit k : Z -! l'inclusion. On d'efinit ainsi un foncteur b = k!k*b0 : D( ) -! D( ) . Notons j : -! l'inclusion. Si F est un objet de D( 1), comme est exact `a droite, G = (j!j*(1 1 xs)*F ) est un objet cocart'esien de D0( ), et en vert* *u du lemme 4.7 bG est un objet de D0( ) v'erifiant les hypoth`eses de la proposition 26 DENIS-CHARLES CISINSKI 4.8 et dont l'image dans D0(e) est un diagramme commutatif de la forme s* 1F ________// ?___________//_0 | | | | | | fflffl| fflffl| fflffl| t* 1F _____//t* 1iaF____//_t*ia 1F . On en d'eduit aussit^ot un isomorphisme canonique a 1F ' a 1iaF . Consid'e- rons `a pr'esent un foncteur u : A -! B dans Dia. On a alors les isomorphismes canoniques suivants dans D0(B). u!a 1i ' au! 1i ' a 1u!i ' a 1iau!i ' a 1iu!ai ' a 1iu! Gr^ace au lemme 4.7, on a ainsi prouv'e que o est exact `a droite. On a en out* *re un isomorphisme canonique o ?+ ' . En effet, pour tout objet A de Dia, et tout objet F de D(A), on a un carr'e cocart'esien (au sens usuel) dans D0(A) (c* *ar commute aux sommes finies) : ? _________//_0 | | | | fflffl| fflffl| F q ? ____//_ oF+ . Par un raisonnement similaire, on constate que si est un Dia-morphisme exact `a droite de Do vers D0, alors on a un isomorphisme canonique ( ?+ )o ' . Il * *est donc clair que le foncteur Hom__!(D, D0) -! Hom__!(Do, D0) , 7- ! o est un quasi-inverse du foncteur 7- ! ?+ . 4.18. On suppose `a pr'esent que Dia = Cat. On appelle d'erivateurs ponctu'es `a droite les d'erivateurs `a droite de domaine Cat qui sont aussi ponctu'es. Corollaire 4.19. Soit A une petite cat'egorie. Pour tout d'erivateur ponctu'e `a droite D il existe une 'equivalence de cat'egories naturelle Hom__!(HOT o,A, D) -~-!D(AO) . Pour tout d'erivateur faible `a droite et ponctu'e D de domaine Cat, il existe * *une 'equivalence de cat'egories canonique Hom__!(HOT o, D) -~-!D(e) . D'emonstration. Cela r'esulte aussit^ot de la proposition pr'ec'edente appliqu'* *ee `a HOT A et du corollaire 3.26. 4.20. On appelle dualement d'erivateurs ponctu'es `a gauche les d'erivateurs `a* * gauche qui sont aussi ponctu'es. Corollaire 4.21. Soit A une petite cat'egorie. Pour tout d'erivateur ponctu'e `a gauche D, il existe une 'equivalence de cat'egories Hom__!(HOT Oo,A, D) -~-!D(A) . PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 27 Pour tout d'erivateur faible `a gauche ponctu'e D de domaine Cat, il existe une 'equivalence de cat'egories canonique Hom__!(HOT Oo, D) -~-!D(e) . 5. Sorites mono"idaux : D-alg`ebres et D-modules Dans cette section, on fixe une cat'egorie de diagramme Dia (m^eme si seul le cas Dia = Cat nous int'eresse ici). 5.1. On d'esigne par e le pr'ed'erivateur ponctuel, i.e. le pr'ed'erivateur con* *stant de valeur la cat'egorie poncuelle. On remarque que pour tout pr'ed'erivateur D, Hom__(D, e) est 'equivalente `a la cat'egorie ponctuelle. D'autre part, le 2-fo* *ncteur D 7- ! D(e) est repr'esentable par e dans PREDER . Autrement dit, on a une 'equivalence de cat'egories canonique Hom__(e, D) ' D(e). Cette derni`ere sera * *con- sid'er'ee comme une 'egalit'e. Autrement dit, si X est un objet de D(e), on note encore X : e -! D le Dia-morphisme correspondant. Soient D et D0deux pr'ed'erivateurs (de domaine Dia). On d'efinit un pr'ed'er* *iva- teur D x D0par A 7- ! D(A) x D0(A) . On v'erifie aussit^ot que DxD0est le 2-produit de D et D0dans PREDER . Autreme* *nt dit, pour tout pr'ed'erivateur D00, le foncteur induit par les projections cano* *niques Hom__(D00, D x D0) -! Hom__(D00, D) x Hom__(D00, D0) est une 'equivalence de cat'egories (c'est en fait un isomorphisme de cat'egori* *es). Il est remarquable que si D et D0sont des d'erivateurs faibles `a droite, alors* * il en est de m^eme de D x D0, et les projections vers D et D0sont exactes `a droites.* * En outre pour tout d'erivateur faible `a droite D00, le foncteur canonique Hom__!(D00, D x D0) -! Hom__!(D00, D) x Hom__!(D00, D0) est encore un isomorphisme de cat'egories. On peut d'autre part d'efinir pour tous pr'ed'erivateurs D et D0un pr'ed'eriv* *ateur Hom (D, D0) par A 7- ! Hom (D, D0)(A) = Hom__(D, D0A) i.e. comme le compos'e des 2-foncteurs A 7- ! D0Aet Hom__(D, ?). On remarque aussit^ot que pour tout pr'ed'erivateur D, on a une 'equivalence de pr'ed'eriva* *teurs canonique Hom (e, D) ' D. Proposition 5.2. Pour tous pr'ed'erivateurs D, D0et D00, il existe une 'equival* *ence de cat'egories canonique s : Hom__(D x D0, D00) -~-!Hom__(D, Hom (D0, D00)) . D'emonstration.On d'efinit le foncteur s comme suit. Soit un Dia-morphisme de D x D0 vers D00. Si A et B sont deux cat'egories dans Dia , et si p (resp. q) d'esigne la projection de A x B sur A (resp. sur B), on peut former le foncteur compos'e (p*,q*) 0 00 00 æ( )(A, B) : D(A)xD0(B) ----! D(AxB)xD (AxB) --! D (AxB) = DA(B) . 28 DENIS-CHARLES CISINSKI Pour chaque objet F de D(A), on note s( )(A, B)(F ) : D0(B) -! D00A(B) le foncteur G 7- ! æ( )(A, B)(F, G). Si v : B -! B0 est un foncteur dans Dia, l'isomorphisme structural (1A x v)* ' (1A x v)* induit un isomorphisme de foncteurs v*s( )(A, B0)(F ) ' s( )(A, B)(F )v*. On v'erifie sans difficult'es q* *ue ces donn'ees d'efinissent un Dia-morphisme s( )(A)(F ) de D0 vers D00A. Il est d'au* *tre part imm'ediat que cette construction est naturelle en F . On a ainsi d'efini un foncteur s( )(A) : D(A) -! Hom__(D0, D00A) = Hom (D0, D00)(A) . Pour tout foncteur u : A -! A0 dans Dia , les isomorphismes structuraux (u x 1B )* ' (u x 1B )*, B 2 Ob Dia , induisent un isomorphisme de fonc- teurs u*s( )(A0) ' s( )(A)u*. Cela d'efinit le Cat-morphisme s( ). Construisons `a pr'esent un foncteur e : Hom__(D, Hom (D0, D00)) -! Hom__(D x D0, D00) . Si est un Dia-morphisme de D vers Hom__(D0, D00), `a chaque cat'egorie A dans Dia et chaque objet F de D(A), le Dia -morphisme (F ) d'efinit en particulier un foncteur D0(A) -! D00(A x A). La diagonale ffiA : A -! A x A induit un foncteur image inverse ffi*A : D00(AxA) -! D00(A) et donne donc par composition un foncteur "( )(A)(F ) : D0(A) -! D00(A) . Cette construction est naturelle en F et induit par cons'equent un foncteur "( )(A) : D(A) -! Hom__(D0(A), D00(A)) , F 7- ! "( )(A)(F ) . Cela d'efinit donc un foncteur e( )(A) : D(A) x D0(A) -! D00(A). On v'erifie que pour tout foncteur u : A -! B dans Dia, l'isomorphisme structural u* ' u* induit un isomorphisme (u* x u*)"( )(B) ' "( )(A)u*. Cela d'efinit de la sorte un Dia-morphisme e( ) : D x D0- ! D00. On v'erifie alors explicitement que e et s sont des 'equivalences de cat'egories quasi-inverses l'une de l'autre. Corollaire 5.3. Pour tous pr'ed'erivateurs D, D0 et D00, il existe une 'equival* *ence de pr'ed'erivateurs canonique Hom (D x D0, D00) ' Hom (D, Hom (D0, D00)) . 5.4. Soit D un pr'ed'erivateur. Une structure pr'emono"idale sur D est la donn'* *ee d'un produit tensoriel , i.e. d'un Dia-morphisme : D x D -! D, d'un objet unit'e I, i.e. d'un objet I de D(e), et de 2-Dia -morphismes a : O (1D x ) -! O ( x 1D) , l : O (I x 1D) -! 1D , r : O (1D x I) -! 1D . Pour chaque objet A de Dia , et tout couple (F, G) d'objets de D(A), on note F G = (F, G) le produit tensoriel de F et de G. Si A et B sont deux objets de Dia , et F et G des objets de D(A) et D(B) respectivement, on note F G le prod* *uit tensoriel ext'erieur de F et G, c'est-`a-dire F G = p*F q*G dans D(A x B), o`u p (resp. q) d'esigne la projection de A x B vers A (resp. vers B). Le produ* *it PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 29 tensoriel ext'erieur `a gauche par un objet F de D(A) d'efinit un Dia-morphisme F ? : D -! DA qui n'est autre que s( )(F ) (cf. 5.2). Dualement, si ø d'esig* *ne l'automorphisme d''echange des facteurs de D x D, le produit tensoriel ext'erie* *ur `a droite par G d'efinit un Dia -morphisme ? G : D -! DB correspondant `a s( Oø)(G). Les 2-Dia -morphismes a, l et r d'efinissent des morphismes fonctori* *els aF,G,H : F (G H) -! (F G) H , lF : I F -! F , rF : F I -! F . En outre, pour tout foncteur u : A - ! B dans Dia , on a des isomorphismes d'efinis dans la structure de Dia-morphisme de flu : u* O ' O (u* x u*) . Une structure mono"idale sur un pr'ed'erivateur D est une structure pr'emono"id* *ale ( , I, a, l, r) dont la restriction `a chacune des cat'egories D(A) est une str* *ucture de cat'egorie mono"idale. Cela revient `a demander que a, l et r soient des iso* *mor- phismes et induisent les diagrammes commutatifs attendus : le pentagone de Mac Lane et les deux diagrammes de compatibilit'e entre l et r (voir [9, p. 252] et* * [8]). On v'erifie alors que les isomorphismes flu d'efinissent des structures de fonc* *teurs mono"idaux sur les foncteurs image inverse u*, et que tous les 2-morphismes in- duits par les 2-fl`eches de Dia sont des 2-morphismes de foncteurs mono"idaux. * *De mani`ere 'equivalente, se donner une structure mono"idale sur D revient `a se d* *onner pour chaque objet A de Dia, une structure de cat'egorie mono"idale sur D(A) d'o* *b- jet unit'e (IA = p*A(I)), pour chaque foncteur u : A -! B dans Dia, une structu* *re de foncteur mono"idal sur le foncteur image inverse u* : D(B) -! D(A), et pour chaque 2-fl`eche u _______________________________________________* *______________________________________________________________________@ A _______________________________________________* *______________________________________________________________________@ v dans Dia, une structure de morphisme de foncteurs mono"idaux sur ff*, * * @ _______________________________________________* *______________________________________________________________________@ D(B) _______________________________________________* *_________44ff'ff*D(A), ____________________________________________* *__________________________________________________________ u* le tout de mani`ere compatible aux diff'erentes compositions dans Dia (c'est-`* *a- dire de telle mani`ere que les produits tensoriels sur chacune des cat'egories * *D(A) d'efinissent de la sorte un Dia -morphisme etc.). Un pr'ed'erivateur mono"idal * *est un pr'ed'erivateur muni d'une structure mono"idale. Un tressage sur un pr'ed'erivateur mono"idal D est la donn'ee d'un 2-Dia -iso* *mor- phisme t : -! Oø (o`u ø est l'automorphisme d''echange des facteurs de DxD) dont la restriction `a chacune des cat'egorie D(A) est un tressage de la struct* *ure de cat'egorie mono"idale (voir loc. cit.). Un pr'ed'erivateur mono"idal tress'e* * est un pr'ed'erivateur mono"idal muni d'un tressage. Un pr'ed'erivateur mono"idal sym'etrique est un pr'ed'erivateur mono"idal muni d'un tressage t tel que t2 = 1 (voir loc. cit.). Une structure mono"idale sur un pr'ed'erivateur D est exacte `a droite (resp.* * `a 30 DENIS-CHARLES CISINSKI gauche) si pour tout objet A de Dia et tout objet F de D(A), le produit tensori* *el ext'erieur `a gauche et `a droite par F sont des Dia -morphismes exacts `a droi* *te (resp. `a gauche). Un d'erivateur mono"idal faible `a droite (resp. `a gauche) * *est un d'erivateur faible `a droite (resp. `a gauche) muni d'une structure mono"idale * *exacte `a droite (resp. `a gauche). On d'efinit de m^eme les notions de d'erivateur mo* *no"idal tress'e ou sym'etrique faible `a droite (resp. `a gauche). Exemple 5.5. Le pr'ed'erivateur final e est un d'erivateur mono"idal sym'etriqu* *e. Exemple 5.6. Si D est un pr'ed'erivateur, End (D) = Hom (D, D) est un pr'ed'eri* *vateur mono"idal strict (ni sym'etrique ni tress'e en g'en'eral). Le produit tensoriel* * ext'erieur est d'efini par la composition des endomorphismes "gradu'es par Dia" de D : si A et B sont deux objets de Dia, et si : D -! DA et : D -! DB sont deux Dia -morphismes, est le morphisme compos'e A D -! DA --! (DB )A = DAxB . L'objet unit'e est bien entendu l'identit'e de D. 5.7. Soient D et D0 deux d'erivateurs faibles `a droite de domaine Dia. On d'ef* *init un sous-pr'ed'erivateur plein Hom !(D, D0) de Hom (D, D0) par A 7- ! Hom !(D, D0)(A) = Hom__!(D, D0A) . Pour voir que c'est un sous-pr'ed'erivateur, il suffit de constater que pour to* *ut foncteur u : A -! B dans Dia, le Dia-morphisme u* : DB - ! DA est exact `a droite (2.8). Proposition 5.8. Si D et D0 sont deux d'erivateurs faibles `a droite, alors il * *en est de m^eme de Hom !(D, D0). Si en outre D0 est ponctu'e (resp. dans le cas o* *`u Dia = Cat, si en outre D0 est un d'erivateur `a droite), alors Hom !(D, D0) es* *t aussi ponctu'e (resp. un d'erivateur `a droite). D'emonstration. L'axiome Der 1 r'esulte du fait que le 2-foncteur Hom__!(D, ?) * *com- mute aux produits finis (voir 5.1). L'axiome Der 2 r'esulte du fait les Dia -mo* *r- phismes sont compatibles aux images inverses, et que si et sont deux Dia- morphisme de D vers D0, et si ff est un 2-Dia -morphisme de vers , alors ff est un isomorphisme si et seulement si pour tout A dans Dia , et tout objet X de D(A), ffX : X - ! X est un isomorphisme dans D(A). Les axiomes Der 3d et Der 4d sont quant `a eux cons'equences du fait que Hom__!(D, ?) est un 2- foncteur. Autrement dit, si u : A -! B est une fl`eche de Dia, le Dia-morphisme u! : DA -! DB d'efini par les foncteurs (u x 1C )! : D0(A x C) -! D0(B x C) , C 2 Ob Dia , est un adjoint `a gauche du Dia-morphisme u* : D0B- ! D0A. Par cons'equent, par 2-fonctorialit'e, le foncteur Hom__!(D, u!) : Hom__!(D, D0A) -! Hom__!(D, D0B) est l'adjoint `a gauche du foncteur Hom__!(D, u*) : Hom__!(D, D0B) -! Hom__!(D, D0A) , PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 31 lequel n'est autre que le foncteur image inverse u* : Hom !(D, D0)(B) -! Hom !(D, D0)(A) . On en d'eduit que tous les isomorphismes de foncteurs faisant intervenir des fo* *nc- teurs image inverse et des foncteurs image directe homologique dans D0induisent des isomorphismes analogues dans Hom !(D, D0). Cela montre l'axiome Der 4d et implique aussi que si D0 est un d'erivateur `a droite, il en est de m^eme de Hom !(D, D0). Pour prouver le cas ponctu'e, on remarque que Hom__!(D, D0) admet un objet nul (`a savoir le Dia-morphisme constant de valeur 0). Il suffit donc * *de montrer que le Dia -morphisme s* : D -! D 1 est exact `a droite. Comme s* est pleinement fid`ele, en vertu de l''enonc'e dual de la proposition 2.6, cela* * revient `a montrer que si A est un objet de Dia, et si F est un objet de D(A x 1) tel que (1A x t)*F = 0, alors t*(pA x 1 1)!F = 0. Or en vertu de l''enonc'e dual de* * la proposition 2.4, on a un isomorphisme canonique t*(u x 1 1)!F ' pA!(1A x t)*F , et comme u!respecte l'objet nul, cela ach`eve la d'emonstration. Remarque 5.9. La m^eme preuve montre que si D0est un d'erivateur faible `a gauc* *he, alors pour tout pr'ed'erivateur D, Hom (D, D0) est un d'erivateur faible `a dro* *ite. Si en outre D est aussi un d'erivateur faible `a droite, l'inclusion canonique Hom !(D, D0) Hom (D, D0) est exacte `a droite. Corollaire 5.10. Pour tout d'erivateur faible `a droite D, End !(D) = Hom !(D, * *D) est un d'erivateur mono"idal faible `a droite. D'emonstration.On sait gr^ace `a la proposition ci-dessus que End !(D) est un d'erivateur faible `a droite. Il est imm'ediat que la structure mono"idale cano* *nique sur End (D) d'ecrite dans l'exemple 5.6 se restreint en une structure mono"idale sur End !(D). Comme les images directes homologiques se calculent argument par argument dans End !(D), on s'aper,coit aussit^ot que cette structure est exacte* * `a droite. 5.11. Si D et D0sont deux pr'ed'erivateurs mono"idaux, un Dia-morphisme mono"id* *al : D -! D0 est la donn'ee d'un triplet ( , c, u), o`u est un Dia-morphisme, c est un 2-Dia -isomorphisme de O ( x ) vers O , et i un isomorphisme de l'objet unit'e de D0 vers l'image de l'objet unit'e de D par , dont les res- trictions : D(A) - ! D0(A), A 2 Ob Dia, sont des foncteurs mono"idaux (forts) au sens de loc. cit. Si en outre D et D0sont des pr'ed'erivateurs mono"* *idaux tress'es, on dira que est un Dia -morphisme tress'e si chacun des foncteurs : D(A) - ! D0(A), A 2 Ob Dia , sont des foncteurs mono"idaux tress'es. Un 2-Dia -morphisme mono"idal entre Dia-morphismes mono"idaux est un 2-Dia -mor- phisme compatible aux produits tensoriels et aux identit'es au sens de loc. cit* * (le tressage n'intervient pas au niveau des 2-morphismes). Soit D un pr'ed'erivateur mono"idal (resp. mono"idal tress'e) fix'e. Une D-al* *g`ebre (resp. une D-alg`ebre tress'ee) est un pr'ed'erivateur mono"idal (resp. un mono* *"idal tress'e) muni d'un Dia -morphisme mono"idal (resp. tress'e) i de D vers D0. Si * *D0 et D00sont deux D-alg`ebres (resp. deux D-alg`ebres tress'ees), un D-morphisme (resp. un D-morphisme tress'e) est un Dia-morphisme mono"idal (resp. tress'e) de D0 vers D00compatible avec les structures de D-alg`ebres i et i0 sur D0 et D* *00 32 DENIS-CHARLES CISINSKI respectivement, c'est-`a-dire muni d'un 2-Dia -morphisme mono"idal de i vers i* *0. Un 2-D-morphisme entre D-morphismes est un 2-Dia -morphisme mono"idal com- patible aux structures de D-alg`ebres. On v'erifie aussit^ot qu'avec ces d'efin* *itions, les D-alg`ebres (resp. les D-alg`ebres tress'ees) forment une 2-cat'egorie. Si * *en outre D est un d'erivateur faible `a droite, on d'efinit de mani`ere analogue les 2-c* *at'egories des D-alg`ebres faibles `a droite et des D-alg`ebres tress'ees faibles `a droit* *e. Exemple 5.12. Pour tout pr'ed'erivateur mono"idal D, End (D) est une D-alg`ebre (le morphisme structural est d'efini par le produit tensoriel via la correspond* *ance de la proposition 5.2). Si D est un d'erivateur faible `a droite, cette structu* *re se restreint en une structure de D-alg`ebre faible `a droite sur End !(D). Exemple 5.13. Pour tout pr'ed'erivateur mono"idal D et tout foncteur u : A -! B dans Dia, le Dia-morphisme image inverse u* : DB - ! DA est mono"idal, et si en outre D est tress'e, alors u* est tress'e. Cependant, si D est un d'erivateur m* *ono"idal faible `a droite, le Dia-morphisme u! : DA -! DB n'est pas mono"idal en g'en'er* *al. Si on impose que u est une fibration, la relation de u! avec le produit tensori* *el appara^it sous la forme d'une formule de projection comme ci-dessous. Proposition 5.14. Soient D, D0 et D00trois d'erivateurs faibles `a droite. On se donne un Dia-morphisme de D x D0 vers D00(on note F G pour (F, G)). On suppose que pour tout objet X de D(e), le Dia-morphisme X ? : D0- ! D00 induit par ( 5.2) est exact `a droite. Alors pour toute fibration p : A -! B * *dans Dia , pour tout objet F de D(B) et tout objet G de D0(A), on a un isomorphisme canonique p!(p*F G) -~-!F p!G dans D00(B). D'emonstration. On a un morphisme canonique p*F G -! p*F p*p!G -~- p*(F p!G) , ce qui induit un morphisme p!(p*F G) - ! F p!G. Soit b un objet de B. Formons le carr'e cart'esien suivant. Ab __i_//_A q|| p|| fflffl| fflffl| e___b_//_B En vertu de l''enonc'e dual du lemme 2.3, on a un isomorphisme de changement de base q!i* ' b*p!. On obtient alors les isomorphismes canoniques suivants. b*p!(p*F G) ' q!i*(p*F G) ' q!(i*p*F i*G) ' q!(q*b*F i*G) = q!(b*F i*G) ' b*F q!i*G = b*F q!i*G ' b*F b*p!G ' b*(F p!G) L'axiome Der 2 ach`eve donc la d'emonstration. 5.15. Soit D un pr'ed'erivateur mono"idal. Un D-module (`a droite) D0est la don* *n'ee d'un triplet ( , a, l), o`u est un Dia-morphisme de D0x D vers D0, et a : O (1D0x ) -! O ( x 1D) , r : O (1D0x I) -! 1D0 , PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 33 sont des 2-Dia -isomorphismes, satisfaisant les conditions de coh'erence attend* *ues (en fait, simplement l'associativit'e par un pentagone de Mac Lane et un tri- angle commutatif exprimant la trivialit'e de l'action de l'unit'e de D). De man* *i`ere 'equivalente, en vertu de la proposition 5.2, cela revient `a se donner une str* *ucture de D-alg`ebre sur End (D0). Comme dans le cas des structures mono"idales, si F * *est un objet de D(A) et G un objet de D0(B), on peut d'efinir des produits ext'erie* *urs F ? : D0- ! D0 et ? G : D -! D0B. Si D est un d'erivateur faible `a droite, un D-module faible `a droite est un d* *'erivateur faible `a droite D0muni d'une structure de D-module telle que les Cat-morphismes de la forme F ? et ? G soient exacts `a droite. Un morphisme de D-modules est un couple ( , c), o`u : D0- ! D00est un Dia- morphisme, et c : O (1D x ) -! O est un 2-Dia -isomorphisme satisfaisant des conditions de coh'erence analogues `a celles impos'ees pour les Dia-morphis* *mes mono"idaux. On d'efinit de m^eme une notion de 2-morphisme entre morphismes de D-modules, ce qui permet de d'efinir une 2-cat'egorie des D-modules. Exemple 5.16. Tout pr'ed'erivateur D est canoniquement muni d'une structure de End (D)-module : l'identit'e de End (D) d'efinit gr^ace `a la proposition 5.* *2 un unique Dia-morphisme D x End (D) -! D, ce qui d'efinit la structure de module (en prenant pour a et r les identit'es). On v'erifie aussit^ot que si D est un * *d'erivateur faible `a droite, cette action se restreint en une action exacte `a droite de E* *nd !(D) sur D. 5.17. On consid`ere une 2-sous-cat'egorie DER ] de PREDER . Si D et D0sont deux objets de DER ], on note Hom__](D, D0) la cat'egorie des 1-morphismes de D vers* * D0 dans DER ]. On suppose que pour tous D et D0dans DER ], le foncteur canonique Hom__](D, D0) -! Hom__(D, D0) est pleinement fid`ele et que toute Dia-'equivalence est dans DER ]. On suppose* * que le 2-foncteur D 7- ! D(e) est repr'esentable dans DER ], i.e. qu'il existe un o* *bjet HOT ] de DER ] et des 'equivalences de cat'egories naturelles en D : Hom__](HOT ], D) -~-!D(e) . On suppose aussi que pour tout foncteur u : A -! B dans Dia , et pour tout objet D de DER ], le Dia-morphisme image inverse u* : DB - ! DA est dans DER ]. Cela permet de d'efinir des pr'ed'erivateurs Hom ](D, D0) par A 7- ! Hom ](D, D0)(A) = Hom__](D, D0A) . On fait enfin l'hypoth`ese que pour tous D et D0dans DER ], Hom ](D, D0) est da* *ns DER ]. Soient D1, . .,.Dn est une familleQfinie d'objets de DER ], et D un objet de * *DER ]. On consid`ere un Dia-morphisme de iDi vers D. Pour chaque i, 0 i n, si Fj est un objet de Dj(Aj) pour j 6= i (o`u les Aj sont des objets de Dia), on n* *ote (F1, . .,.Fj-1, ?, Fj+1, . .,.Fn) : Di- ! DQ i6=jAj 34 DENIS-CHARLES CISINSKI le Dia -morphisme d'efini par les foncteurs d'etermin'es pour chaque objet Ai de Dia par Fi7- ! (p*1F1, . .,.p*j-1Fj-1, p*iFi, p*j+1Fj+1, . .,.p*nFn) , Q n o`u pk : lAl- ! Ak d'esignent les projections. On note Hom__](D1, . .,.Dn; D* *) la sous-cat'egorie pleine de Hom__(D1x. .x.Dn, D) form'ee des Dia-morphismes tels que les Dia-morphismes de la forme (F1, . .,.Fj-1, ?, Fj+1, . .,.Fn) soient da* *ns DER ]. On peut alors d'efinir un pr'ed'erivateur Hom n](D1, . .,.Dn; D) par A 7- ! Hom n](D1, . .,.Dn; D)(A) = Hom__n](D1, . .,.Dn; DA) . Lemme 5.18. Pour tout n 2 et tout i, 0 i n, il existe des 'equivalences de cat'egories canoniques Hom__n](D1, . .,.Dn; D) ' Hom__n-1](D1, . .,.bDi, . .,.Dn; Hom ](Di, D))* * , (D1, . .,.bDi, . .,.Dn) d'esignant le n - 1-uplet dans lequel manque le facteur* * Di. D'emonstration. Cela r'esulte de l'explicitation de l''equivalence de cat'egori* *es de la proposition 5.2. Lemme 5.19. Pour tout objet D de DER ], il existe une Dia-'equivalence naturelle Hom ](HOT ], D) ' D . D'emonstration. Pour chaque objet A de Dia, on a une Dia-'equivalence canonique Hom ](HOT ], D)(A) = Hom__](HOT ], DA) ' DA(e) = D(A) . Il suffit donc de v'erifier que cela d'efinit bien un Dia-morphisme. Or l''equi* *valence Hom__](HOT ], D) ' D(e) est n'ecessairement le foncteur compos'e Hom__](HOT ], D) Hom__(HOT ], D) -! Hom__(e, D) ' D(e) , o`u le second foncteur est celui induit par l'objet de HOT ](e) correspondant * *`a l'identit'e de HOT ]. On en d'eduit facilement l'assertion. Lemme 5.20. Soit n 1 un entier. Il existe une 'equivalence de cat'egories naturelle Pour tout objet D de DER ] Hom__n](HOT ], . .,.HOT ]; D) ' D(e) . D'emonstration. On proc`ede par r'ecurrence sur n. Si n = 1, l'assertion est v'* *erifi'ee par hypoth`ese. Si n > 2, on obtient gr^ace aux lemmes 5.18 et 5.19 les 'equiva* *lences de cat'egories suivantes Hom__n](HOT ], . .,.HOT ];'D)Hom_n-1](HOT ], . .,.HOT ]; Hom ](HOT ], D)) ' Hom__n-1](HOT ], . .,.HOT ]; D) , ce qui ach`eve la d'emonstration. 5.21. Soit D un objet de DER ]. Une ]-structure mono"idale sur D est une struc- ture mono"idale sur D dont le produit tensoriel est un objet de Hom__](D, D). P* *ar exemple, pour tout objet D de DER ], la structure mono"idale de End (D) induit * *une ]-structure mono"idale sur End ](D) = Hom ](D, D). Si D0 est un objet de DER ], une ]-structure de D-module est une structure de D-module dont l'action est un objet de Hom__](D x D0, D0). PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 35 On note I] l'objet de HOT ](e) correspondant `a l'identit'e de HOT ]. Th'eor`eme 5.22. On se place sous les hypoth`eses de 5.17. (i)Le pr'ed'erivateur HOT ]est muni d'une unique ]-structure mono"idale dont l'objet unit'e est I]. En outre, cette structure mono"idale est sym'etrique* *, et l''equivalence canonique Hom ](HOT ], HOT ]) ' HOT ] est mono"idale. (ii)Tout objet de DER ]admet canoniquement une ]-structure de HOT ]-module. Tout morphisme de DER ] est un morphisme de HOT ]-modules. Tout 2-mor- phisme de DER ] est un 2-morphisme de HOT ]-modules. (iii)Tout objet de DER ]muni d'une ]-structure mono"idale est une HOT ]- alg`ebre. Tout morphisme mono"idal de DER ] entre objet mono"idaux est un morphisme de HOT ]-alg`ebres. Tout 2-morphisme mono"idal entre morphisme mono"idaux de DER ] est un 2-morphisme de HOT ]-alg`ebres. (iv)Tout objet de DER ]muni d'une ]-structure mono"idale tress'ee est une HOT ]-alg`ebre tress'ee. Tout morphisme tress'e de DER ]entre objet mono"i* *daux tress'es est un morphisme de HOT ]-alg`ebres tress'ees. D'emonstration.En vertu du lemme 5.20, il suffit de prouver l'assertion dans le* * cas o`u DER ] est la 2-cat'egorie des pr'ed'erivateurs de domaine Dia. Le pr'ed'eri* *vateur HOT ] est alors le d'erivateur ponctuel e, et le th'eor`eme est une trivialit'e. Remarque 5.23. En vertu du corollaire 3.26 (resp. 4.19) et de la proposition 5.* *8, le th'eor`eme ci-dessus s'applique `a la 2-cat'egorie des d'erivateurs faibles * *`a gauche (resp. des d'erivateurs ponctu'es faibles `a gauche). On a alors HOT ] = HOT (* *resp. HOT ] = HOT o), et l'objet unit'e de HOT (resp. de HOT o) est l'objet final de* * Hot (resp. la sph`ere S0). En effet, l'explicitation de l''equivalence Hom__!(HOT * *, HOT ) ' Hot (resp. Hom__!(HOT , HOT o) ' Hot o) envoie l'identit'e de HOT (resp. ?+ * *) sur l'objet final de Hot (resp. sur la sph`ere S0). 6. Cat'egories de mod`eles mono"idales : conjectures de Hovey Proposition 6.1. Soit M une cat'egorie de mod`eles mono"idale (sym'etrique) au sens de [7, 4.2.6]. Alors le d'erivateur associ'e DM admet une structure mono"* *idale (sym'etrique) exacte `a droite, et la structure de cat'egorie mono"idale (sym'e* *trique) induite sur la cat'egorie homotopique Ho M = DM (e) est celle d'efinie dans [7, th'eor`eme 4.3.2]. D'emonstration.Soit X un objet de M. Les foncteurs X ?, ? X : M -! M sont des foncteurs de Quillen `a gauche. En particulier, ils respectent donc les cofibrations, les cofibrations triviales, et les 'equivalences faibles entre ob* *jets co- fibrants. Si Mc d'esigne la sous-cat'egorie des objets cofibrants de M, pour to* *ute petite cat'egorie A, on d'efinit un foncteur : Hom__(AO, Mc) x Hom__(AO, Mc) -! Hom__(AO, M) en posant (F G)(a) = F (a) G(a), a 2 Ob A. Ce foncteur respecte les 'equivalences faibles, et en vertu de l''equivalence de pr'ed'erivateurs canoni* *que 36 DENIS-CHARLES CISINSKI DMc ' DM [1, proposition 6.9], induit de la sorte un Cat-morphisme L : DM x DM -! DM , lequel se r'ev`ele ^etre le foncteur d'eriv'e (total) `a gauche de . La propri* *'et'e univer- selle du foncteur d'eriv'e total `a gauche [14, chap. I, 4, d'efinition 1], l'* *'enonc'e dual de [1, proposition 2.7 (ii)], et l'axiome Der 2 montrent aussit^ot que la struc* *ture mono"idale sur Hom__(AO, M) induit une structure mono"idale sur DM (A). Pour la m^eme raison, les foncteurs image inverse sont canoniquement munis d'une struc- ture mono"idale, ainsi que les images inverses de 2-morphismes. Autrement dit, DM est ainsi muni d'une structure mono"idale. Si en outre M est tress'ee (resp. sym'etrique), la propri'et'e universelle des foncteurs d'eriv'es totaux `a gauc* *he induit de m^eme une structure tress'ee. Il est clair que la structure mono"idale (sym'* *etrique) induite sur DM (e) est celle construite dans [7, th'eor`eme 4.3.2]. Pour conclu* *re, il suffit donc de v'erifier que pour toute petite cat'egorie A, et tout pr'efaisce* *au F sur A `a valeurs dans M, les Cat-morphismes ? L F et F L ? sont exacts `a droite. Or l'axiome Der 2, et le fait que les images directes homologiques se c* *al- culent argument par argument dans DA (2.8) montrent qu'il suffit de traiter le cas A = e. L'assertion est alors une cons'equence imm'ediate de l''enonc'e dual* * de [1, proposition 6.12] appliqu'e aux foncteurs ? F et F ?. Corollaire 6.2. La structure mono"idale exacte `a droite canonique sur HOT est celle induite par le produit cart'esien. D'emonstration. Le produit cart'esien d'ensembles simpliciaux fait de b une str* *uc- ture de cat'egorie de mod`eles mono"idale sym'etrique. On en d'eduit par la pro* *po- sition pr'ec'edente une structure mono"idale exacte `a droite sur HOT ' Db . O* *r en vertu de la proposition 3.3, l'objet unit'e de cette structure est l'objet fina* *l de Hot . L'assertion r'esulte donc aussit^ot de la remarque 5.23. Remarque 6.3. Ce corollaire est en fait une cons'equence imm'ediate des proposi- tions 3.3 et 3.4. Corollaire 6.4. La structure mono"idale exacte `a droite canonique sur HOT o est celle induite par le ^-produit. D'emonstration. Le ^-produit d'ensembles simpliciaux point'es fait de bo une cat'egorie de mod`eles mono"idale (sym'etrique) dont l'objet unit'e est la 0-sp* *h`ere. La proposition ci-dessus et la remarque 5.23 permettent donc de conclure. Proposition 6.5. Soit M une cat'egorie de mod`eles admettant des petites limites inductives. L'action de Hot sur Ho M d'efinie par la propri'et'e universelle de* * HOT (th'eor`eme 5.22) co"incide avec celle d'efinie par [7, th'eor`eme 5.5.3]. Si e* *n outre M admet un objet nul, alors l'action de Hoto sur Ho M d'efinie par la propri'et* *'e universelle de HOT oco"incide avec celle d'efinie par [7, th'eor`eme 5.7.3]. D'emonstration. On consid`ere un objet cosimplicial A de M. On suppose qu'il est cofibrant pour la structure de Reedy [7, th'eor`eme 5.2.5], et que pour tout en* *tier n 0, le morphisme An -! A0 est une 'equivalence faible. On note A!= A ? : b - ! M PROPRI'ET'ES UNIVERSELLES 37 l'unique foncteur de la cat'egorie des ensembles simpliciaux vers M qui commute aux petites limites inductives et qui prolonge A. C'est un foncteur de Quillen * *`a gauche [7, corollaire 5.4.4], et donc en vertu de l''enonc'e dual de [1, propos* *ition 6.12], il induit un Cat-morphisme exact `a droite A L ? : HOT -! DM . Or il r'esulte du corollaire 3.26 que ce Cat-morphisme est celui induit par l'o* *bjet A0. Ces identifications sont fonctorielles en A, et le corollaire 3.26 permet d* *'une mani`ere g'en'erale de v'erifier que l'action de Hot d'efinie par Hovey sur Ho * *M est celle induite par la propri'et'e universelle en ne consid'erant que l'action ho* *mo- topique de l'objet final 0 sur M, ce qui rend les v'erifications triviales. Des arguments analogues permettent de traiter le cas o`u M admet un objet nul. Corollaire 6.6. Si M est une cat'egorie de mod`eles mono"idale (sym'etrique), alors le foncteur mono"idal (sym'etrique) de Hot vers Ho M d'efini par [7, 5.6.* *5] est la restriction du Cat-morphisme mono"idal (sym'etrique) canonique de HOT vers DM . De m^eme, si M admet en outre un objet nul, le foncteur mono"idal (sym'etrique) de Hot overs Ho M d'efini par [7, 5.7.4] est la restriction du Ca* *t- morphisme mono"idal (sym'etrique) canonique de HOT overs DM . D'emonstration.Le Cat-morphisme mono"idal de HOT (resp. de HOT o) vers DM est le Cat-morphisme exact `a droite d'efini par l'objet unit'e de DM (e) = Ho * *M. De m^eme, le foncteur mono"idal de Hot (resp. de Hot o) vers Ho M d'efini dans [7] est induit par l'action de Hot (resp. de Hoto) sur l'objet unit'e de Ho M. * *La proposition pr'ec'edente implique donc que ce dernier est isomorphe au foncteur induit par le morphisme de HOT vers DM . Il est par ailleurs imm'ediat que les structures de foncteurs mono"idaux co"incident3. On peut `a pr'esent d'emontrer la conjecture de coh'erence de Hovey [7, 5.6.* *6]. Corollaire 6.7. Soit M une cat'egorie de mod`eles mono"idale d'objet unit'e S. On consid`ere un ensemble simplicial K. Les isomorphismes naturels de Ho M, d'efinis pour tout objet X de M par X L (S L K) ' (X L S) L X ' X L K , d'efinissent un 2-morphisme de morphismes de Hot-modules. D'emonstration.La propri'et'e universelle de HOT permet d'invoquer le th'eor`e* *me 5.22 avec HOT ]= HOT (5.23). En vertu de la proposition 6.1 et du corollaire 6.6, ces isomorphismes sont donc des 2-morphismes induits par restriction de 2-morphismes entre Cat-morphismes exacts `a droite, ce qui implique aussit^ot l'assertion. De m^eme, la propri'et'e universelle de HOT oimplique la variante ponctu'ee * *de l''enonc'e pr'ec'edent (c'est-`a-dire [7, conjecture 5.7.5]). ___________ 3Le th'eor`eme 5.22 et cette d'emonstration redonnent en fait une preuve de [* *7, th'eor`emes 5.6.5 et 5.7.4] en 'evitant la v'erification de diagrammes de coh'erence non triviaux. 38 DENIS-CHARLES CISINSKI Corollaire 6.8. Soit M une cat'egorie de mod`eles mono"idale ponctu'ee d'objet unit'e S, et soit K un ensemble simplicial point'e. Les isomorphismes naturels * *de Ho M, d'efinis pour tout objet X de M par X L (S L K) ' (X L S) L X ' X L K , d'efinissent un 2-morphisme de morphismes de Hoto-modules. Remarque 6.9. Les cons'equences de ces deux 'enonc'es donn'ees dans [7] peuvent bien entendu ^etre montr'ees directement en termes de de d'erivateurs. R'ef'erences [1]D.-C. Cisinski. Images directes cohomologiques dans les cat'egories * * de mod`eles. Pr'epublication, 2001. [2]D.-C. Cisinski. Le localisateur fondamental minimal. Pr'epublication, 2002. [3]A. Grothendieck. Pursuing stacks. Manuscrit, 1983. [4]A. Grothendieck. D'erivateurs. Manuscrit, ~1990. [5]A. Heller. Homotopy theories. Memoirs of the Amer. Math. Soc., 71(383), 198* *8. [6]A. Heller. Stable homotopy theories and stabilization. J. Pure. Appl. Algeb* *ra, 115 :113-130, 1997. [7]M. Hovey. Model Categories. Math. surveys and monographs, Vol. 63. Amer. Ma* *th. Soc., 1999. [8]A. Joyal, R. Street. Braided tensor categories. Adv. Math., 102, 1993. [9]S. Mac Lane. Categories for the working mathematician. Graduate texts in Ma* *thematics. Springer-Verlag, 1998. Second edition. [10]G. Maltsiniotis. 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