Sur les sous-modules instables des alg`ebres instables G'erald Gaudens et Lionel Schwartz May 10, 2002 Abstract Cet article fait suite `a une pr'epublication de Laurent Piriou et du second auteur [7]. Il contient des r'esultats reli'es `a la conjecture de * *fini- tude, plus pr'ecisement `a la structure du treillis des sous-modules insta- bles d'une alg`ebre instable r'eduite. Le premier r'esultat, d^u au second auteur, montre que les sous-modules instables de l'alg`ebre de Dick- son sont, soit l'alg`ebre toute enti`ere, soit petits vis `a vis de l'alg`* *ebre. Le second r'esultat, d^u au premier auteur, montre que la s'erie des so- cles d'une alg`ebre instable connexe r'eduite non-triviale est infinie, ce* *ci avait 'et'e conjectur'e par le second auteur dans [13].Un outil important, d^u au second auteur, est la construction et l'action de certaines op'era- tions de Steenrod sur des classes appartenant `a des alg`ebres instables. 1 Introduction Soit F la cat'egorie des foncteurs de la cat'egorie des F2-espaces vectoriels de dimension finie vers la cat'egorie de tous les F2-espaces vectoriels. Soit IE l'objet de F d'efini par la formule W 7! FHom2(W,E) , o`u le membre de droite est l'ensemble des fonctions (applications ensemb- listes) de Hom (W, E) dans F2. Le foncteur IE repr'esente le foncteur F 7! 1 F (E)* de la cat'egorie F vers la cat'egorie E. Il y a une 'equivalence naturel* *le de foncteurs : Hom F (F, IE ) ~=F (E)* . Il en r'esulte que les foncteurs IE sont des objets cog'en'erateurs injectifs d* *e la cat'egorie F. Le foncteur IE est l'image par l''equivalence f : U=N il ~=F! , construite dans [3], de la cohomologie modulo 2, H*E, du 2-groupe ab'elien 'el'ementaire E. Une motivation de cet article est un r'esultat G. Powell [11] qui porte sur la structure des sous-objets des foncteurs IE . Dans toute la suite on posera d = dim (E). Soit D(d) l'alg`ebre de Dickson, c'est-`a-dire l'alg`ebre des 'el'ements invari* *ants sous l'action du groupe lin'eaire GL d(F2) dans l'alg`ebre polynomiale H*E ~= F2[x1, . .,.xd]. Le foncteur associ'e `a l'alg`ebre de Dickson via l''equivale* *nce U=N il ~=F! associe `a l'espace vectoriel W l'ensemble des fonctions GL (E)- invariantes de Hom (W, E) dans F2, on le note Dd. Ce foncteur est en un certain sens [11] une brique 'el'ementaire pour IE . Le premier r'esultat de cet article montre qu'un sous-foncteur de Dd est, soit Dd tout entier, soit petit en un sens ad hoc par rapport `a Dd. Pour ^etre plus pr'ecis, il faut rappeler les notations pour les objets simples de la cat'egorie F. Ils sont index'es par les partitions ~ qui sont 2-r'eguli`eres po* *ur les colonnes, c'est-`a-dire telles que la partition conjugu'ee ~ soit stricteme* *nt d'ecroissante, ou de mani`ere 'equivalente, telles que 0 ~i- ~i+1 1 pour tout i. Soit S~ le foncteur simple associ'e `a la partition ~. On renvoie `a [4* *], [5], [7] section 2, pour des d'etails. Les objets simples qui apparaissent comme sous-quotients de IE sont ceux qui correspondent aux partitions ~ dont la partition conjugu'ee ~ est de longueur au plus d, o`u d est la dimension de E. En fait les foncteurs simples correspondant `a des partitions de longueur exactement d sont sous-quotients de IE , mais pas de IW avec W de dimension strictement inf'erieure `a celle de E, [4], [2]. Th'eor`eme 1.1 Soit Dd le foncteur de Dickson. Soit OE un morphismePnon- trivial de Dd IE dans IW , avec dim (W ) d. Supposons que OE = i=Ti=1~i, o`u les morphismes ~i sont induits par des applications lin'eaires surjectives W -! E dont les noyaux sont deux `a deux distincts. Le noyau de OE ne contient pas comme sous-quotient de foncteurs simples S~, dont la partition conjugu'ee ~ = (~1, . .,.~d) soit telle que ~d log2(T + 1). 2 Cet 'enonc'e peut s'appliquer `a tous les sous-foncteurs de Dd. En effet, comme les foncteurs IW sont des objets cog'en'erateurs injectifs pour la cat'egorie * *F, tout sous-objet de Dd est intersection de noyaux d'applications de Dd dans IW , W prenant des dimensions arbitraires. Les applications sont du type d'ecrit dans 1.1, en autorisant des applications singuli`eres. Un argument suppl'ementaire est donc n'ecessaire pour tenir compte de ces derni`eres. C'est la suite exacte suivante : * * {0} -! !E D(d) -! D(d) -!s s2End(E)-GL(E)H E . Ici, !E est l''el'ement de Dickson sup'erieur , qui est le produit de toutes les classes non-nulles de degr'e 1 dans H*E. Cette classe est annul'ee par s* pour toute application singuli`ere s. De plus, comme les applications s sont singuli`eres leur image est contenue dans un facteur H*V de H*E avec dim(V ) < dim (E). Donc les facteurs simples qui apparaissent comme sous- quotient de D(d) mais pas de !E D(d) sont associ'es `a des partitions ~ dont la partition associ'ee est de longueur inf'erieure strictement `a d - 1. On peut donc se ramener `a ne consid'erer que des applications du type de celles d'ecri* *tes dans 1.1 sur D(d) ou sur !E D(d) car les foncteurs simples qui ne sont pas pris en compte en travaillant sur !E D(d) sont tels que ~d = 0. On obtient : Corollaire 1.2 Soit Dd le foncteur de Dickson, et F un sous-foncteur de Dd. Alors : o soit le foncteur F est Dd tout entier; o soit il existe une constante K telle que F ne contient pas comme sous- quotient de foncteur simple S~, dont la partition conjugu'ee (~1, . .,.~d) soit telle que ~d > K. Il r'esulte du travail de G. Powell que ce r'esultat peut s''etendre. En effet,* * le foncteur IE est somme directe finie de sous-objets ind'ecomposables. Chaque facteur injectif ind'ecomposable admet une filtration par des sous-objets du type de Dd, auxquels le th'eor`eme peut s''etendre [11]. Le corollaire 1.2 avait 'et'e formul'e (sans d'emonstration) en appendice dans la version pr'eliminaire de [10]. G. Powell l'y a reformul'e, 'etendu et d'emontr'e au moyen d'autres techniques. La formulation finale donn'ee dans cet article est r'ecente. Ce probl`eme peut ^etre pos'e, de mani`ere 'equivalente, dans la cat'egorie des mo* *d- ules instables sur l'alg`ebre de Steenrod, c'est en fait dans ce cadre que nous 3 allons travailler. On a rappel'e plus haut que la cat'egorie des modules insta- bles quotient'ee par la sous-cat'egorie des modules nilpotents est 'equivalente* * `a la cat'egorie de foncteurs analytiques, c'est-`a-dire limite directe de foncteu* *rs polynomiaux ([3], part 1). Le probl`eme se traduit alors comme suit : Proposition 1.3 Soit OE une application non nulle de modulesPinstables de D(d) dans H*W , avec dim (W ) d. Supposons que OE = i=Ti=1~i, o`u les ~i sont des applications d'alg`ebres deux `a deux distinctes et injectives. Soit x 2 D(d)\{0} qui admet pour unique vecteur de poids maximal la partition ~, de partition conjugu'ee ~ = (~1, . .,.~d). Si ~d > log2(T + 1), alors l''el'eme* *nt OE(x) est non-nul. On dit ici que x admet pour unique vecteur de poids maximal la partition ~ si le module instable r'eduit A2x, A2 d'esignant l'alg`ebre de Steenrod modulo 22, a pour unique quotient simple dans U=N il l'objet simple S~ [7]. Les pr'e- cisions qui nous seront utiles sont rappel'es plus loin. L'id'ee est qu'un 'el'* *ement v'erifiant les hypoth`eses du corollaire "d'etecte" dans le foncteur correspon- dant un facteur simple S~. Un corollaire 'equivalent `a 1.2 a 'evidemment lieu dans la cat'egorie des modules instables sur l'alg`ebre de Steenrod. Passons maintenant au second r'esultat. La s'erie de Loewy de l'objet M de U=N il ~=F! est d'efinie it'erativement de la mani`ere suivante : o Soc0M = {0}; o Soc1M est le plus grand objet semi-simple de M (somme directe d'objets simples), Soc1M est le socle de M, qu'on note aussi SocM; o pour n 0, Soc n+1M est l'image r'eciproque par la projection M ! M=Soc nM de Soc1(M=Soc nM). On obtient ainsi une filtration de M : {0} = Soc0M Soc1M ... SocnM... M La s'erie de Loewy d'un objet de U=N il est convergente, M est limite directe des Soc nM. Lorsqu'un module instable K admet une structure d'alg`ebre instable, sa s'erie de Loewy est soumise `a des restrictions : Th'eor`eme 1.4 Soit K une alg`ebre instable. On a l'alternative suivante: 4 o Soit K est localement nilpotente (le sous-module de K constitu'e par les 'el'ements de degr'e strictement positif est dans N il); o Soit la s'erie de Loewy (dans U=N il) de K ne stabilise pas. Une alg`ebre instable r'eduite non-triviale est donc un module instable r'eduit de longueur infinie. La d'emonstration de tout ce qui pr'ec`ede d'epend du r'esultat qui suit, pour lequel on commence par rappeler et introduire des notations. Notations : Pour tout entier n de d'ecomposition 2-adique 2a1+ . .+.2ah, on note ff(n) = h la longueur de sa d'ecomposition 2-adique, (n) pour mini,i6=j(ai, |ai- aj|), et C(n) pour min i(ai). On a C(n) (n). Proposition 1.5 Soient ffi, `, n, k des entiers non nuls. Supposons que : o ff(n) ff(`) o (n) > log2(ffi) o k > 2log2(n) + log2(ffi). Alors il existe une op'eration de Steenrod `(ffi, n, `, k), telle que pour toute alg`ebre instable K et pout tout 'el'ement de degr'e ffi dans K : k` `(ffi, n, `, k)(xn) = x2 . L'op'eration `(ffi, n, `, k) est donc universelle. Dans la section 2 on d'emontrera 1.5. Dans les sections 3 et 4 on donne des r'esultats interm'ediaires concernant 1.1, 1.2 et 1.3. Les sections 5 et 6 ach`event les d'emonstrations de 1.1 `a 1.3. La section 7 on d'emontre 1.4. 2 D'emonstration de la proposition 1.5 Cette section donne la d'emonstration de 1.5. Cette proposition permettra, dans la section 5 la transition entre la section 4 et les 'enonc'es 3.1 et 3.2.* * Elle sera aussi utilis'ee dans la derni`ere section. Pour d'emontrer le proposition 1.5, il suffit de construire l'op'eration `(ffi, n, `, k) dans le cas o`u x est* * 'ffi, l''e'ement non nul de degr'e ffi de l'alg`ebre instable libre en un g'en'erateu* *r de 5 degr'e ffi. Cette alg`ebre est isomorphe `a H*(K(Z=2, ffi), Z=2), la cohomologie d'un espace d'Eilenberg-MacLane K(Z=2, ffi). Le sous-module instable engendr'e par 'ffiest F (ffi), le module instable libre- ment engendr'e en degr'e ffi. Rappelons que l'alg`ebre de Steenrod A2 est une alg`ebre de Hopf, et que son dual A*2est une alg`ebre polyn^omiale en des g'en'erateurs ,ide degr'e 2i- 1 [9]. L'op'eration Qa(ffi) est d'efinie comme l''el'ement dual du mon^ome ,ffiadans la base duale de la base mon^omiale de A*2. En particulier Qs(2t) est l'op'eration Pst[8]. Les op'erations Qa(ffi) v'erifient: o |Qa(ffi)| = ffi(2a - 1), b b o Qa(n)('2ffi) est non nul si et seulement si n = k2 avec k = 0, . .,.ffi et b 2a+b Qa(ffi2b)('2ffi) = 'ffi , pour tout entier b. P o (Qa(n)) = i+j=n Qa(i) Qa(j) Pour d'emontrer la seconde propri'et'e, on utilise la coaction de Milnor ([9], [2,section 1]) qu'on note ~ selon l'usage : ~ : M -! M ^A*2 le produit tensoriel 'etant compl'et'e. Si u est la classe de degr'e 1 dans H*B* *Z=2, on a pour tout entier m 0 : m X 2i+m m ~(u2 ) = u ,i . i 0 Le lemme qui suit permet de calculer ~ sur un produit tensoriel : Lemme 2.1 On a : ~(x y) = (Id Id ~)(Id ø Id)(~(x) ~(y)) ø d'esignant l''echange des second et troisi`eme facteurs, et ~ le produit de l'alg`ebre duale de l'alg`ebre de Steenrod. L'unique morphisme de modules instables de F (ffi) sur H*(BZ=2 ffi) qui envoie m 'ffisur le produitmx1, . .,.xffiest injectif. L'image par ce morphisme de '2ffi* *est m 2m (x1 . .x.ffi)2= x21 . .x.ffi. La deuxi`eme propri'et'e d'ecoule alors du calcul* * de m * la coaction de Milnor sur u2 dans H BZ=2 et du lemme pr'ec'edent : 6 m X 2i1+m 2iffi+m 2m 2m ~((x1 . .x.ffi)2) = x1 . .x.ffi ,i1 . .,.iffi i1,...,iffi m 2m j On voit qu'un terme de la forme ,2i1. .,.iffine peut ^etre 'egal `a ,a que si ij 2 {0, a}, ce qui impose j = k2m , o`u k est le cardinal de l'ensemble des indices ij 'egaux `a a. Ceci prouve la seconde propri'et'e. La troisi`eme propr* *i'et'e se d'eduit sans difficult'e du fait que le coproduit de l'alg`ebre de Steenrod * *est dual du produit dans l'alg`ebre duale, qui est polyn^omiale : < (Qa(n)), ,I ,J >=< Qa(n), ,I+J > o`u I et J sont des multi-indices. Par d'efinition de Qa(ffi), cette quantit'e est non nulle si et seulement si ,I* *+J = ,ffia, i.e si et seulement si ,I ,J = ,i ,j avec i + j = ffi. Des consid'era* *tions pr'ec'edentes, on d'egage facilement le lemme suivant, qui guidera la suite des calculs. Lemme 2.2 Les op'erations Qn(j) ob'eissent aux r`egles de calcul suivantes : Pour tous entiers a et n, et pour tout entier b tel que 2b > ffi2a, on a a+2b 2a+n+2b Qn(ffi2a)('2ffi ) = 'ffi , et en particulier, pour n = b - a, a+2b 2a+b+1 Qb-a(ffi2a)('2ffi ) = 'ffi . Soient n et ` deux entiers de d'ecompositions 2-adiques respectives n = 2a1+ . .+.2ah et ` = 2ff1+ . .+.2ffs, avec h s. On suppose que les exposants ai et ffi sont rang'es en ordre croissant. Pla,cons nous d'abord dans le cas particulier o`u ff(n) = h = ff(`). On pose alors : `(ffi, n, `, k) = i=h,...,1Qk+ffi-ai(ffi2ai) . Dans cette formule on commence, `a gauche, par Qk+ffh-ah(ffi2ah). La condition sur l'entier k dans 1.5 implique que toutes les quantit'es k + ffi - ai sont positives et non-nulles. Les r`egles de calcul 'enonc'ees plus haut montrent que a1 n Qk+ff1-ai(ffi2a1) agit uniquement sur le facteur '2ffide 'ffi. Plus pr'ecis'em* *ent, le calcul de Qk+ff1-a1(ffi2a1) sur 'nffis'effectue comme suit : a1+...+2ah Qk+ff1-a1(ffi2a1)('nffi) = Qk+ff1-a1(ffi2ai)('2ffi ) , 7 donc X a1 a2 * *ah Qk+ff1-a1(ffi2a1)('nffi) = Qk+ff1-a1(i)('2ffi) Qk+ff1-a1(j)('2ff+...+2* *i) . i+j=ffi2a1 Dans la somme, le second membre du produit est non nul seulement quand j = 0. En effet il s''ecrit : X at t=2,...,hQk+ff1-a1(it)('2ffi) , i2+...+ih=j et on a toujours it j ffi2a1. Et par ailleurs ffi2a1 < 2at, pour t 6= 1, c* *ar log2(ffi) < (n). On obtient donc : a2+...+2ah+2k+ff1 Qk+ff1-a1(ffi2a1)('nffi) = '2ffi . On applique alors l'op'eration Qk+ff2-a2(ffi2a2). Pour effectuer le calcul comme pr'ec'edement on doit avoir ffi2a2 < 2atpour t > 2, et ffi2a2 < 2k+ff1. La seco* *nde condition est assur'ee par k > 2log2(n) + log2(ffi) (le facteur 2 est superflu dans ce cas). On poursuit ainsi it'erativement le calcul. Dans le cas g'en'eral, on a s < h, et on peut choisir pour `(ffi, n, `, k) l'op* *'eration: `(ffi, n, `, k) = Qk+ffs-ah-h+s(ffi2ah+h-s) x `0x i=s-1,...,1Qk+ffi-ai(ffi2a* *i) . avec `0= i=h-s-1,...,0Qah+i-as+i(ffi2as+i) . Le calcul est analogue `a celui men'e ci-dessus sauf que, dans la partie du calcul correspondant `a `0 et l'in'egalit'e k > 2log2(n) + log2(ffi). 3 R'esultats interm'ediaires Cette section 'enonce des r'esultats interm'ediaires en vue de 1.1 `a 1.3. Soit m une application lin'eaire surjective d'un espace vectoriel W sur l'espace vectoriel E. L'application induite m* : H*E - ! H*W est un monomor- phisme, il l'est en particulier par restriction sur D(d). Il r'esulte de l'inje* *ctivit'e de H*W dans la cat'egorie K [6] que toute application d'alg`ebre instable ~ de D(d) dans H*W est restriction d'un morphisme d'alg`ebres instables de H*E dans H*W . De plus, si ~ est est un monomorphisme, il en est de 8 m^eme pour tous les prolongements de ~ `a H*E. Une application de modules instables OE : D(d) - ! H*W se prolonge, par injectivit'e de H*W dans la cat'egorie U, en une application de modules instables OE : H*E -! H*W . Le th'eor`eme d'Adams-Gunawardena-Miller, Lannes-Zarati [1], [6] affirme que OE est somme de morphismes d'alg`ebres de D(d) dans H*W . De fa,con imag'ee les 'enonc'es qui suivent disent le noyau d'un morphisme de modules insta- bles de H*E dans H*W - qui est g'en'erique en un sens ad'equat- ne peut pas contenir d''el'ements trop compliqu'es des invariants de Dickson de H*E. Th'eor`eme 3.1 Soit OE une application non-nulle de modules instablesPde D(d) dans H*W , avec dim (W ) dim (E). Supposons que OE = i=Ti=1~i, o`u les applications ~i sont des applications d'alg`ebres injectives deux `a de* *ux distinctes de D(d) dans H*W . Soient x et p deux 'el'ements non nuls de D(d). Alors pour tout entier n tel que ff(n) log2(T +1) et (n) > log2(|p|), l''el'ement OE(xnp) est non nul. On peut prendre x = !E , (n) a 'et'e d'efini dans l'introduction. Voici une variante du r'esultat pr'ec'edent o`u l'on s'affranchit du fait que x soit un i* *n- variant de Dickson : Proposition 3.2 Soit OE une application non-nulle de modulesPinstables de H*E dans H*W , avec dim (W ) dim (E). Supposons que OE = i=Ti=1~i, o`u les applications ~i sont des applications d'alg`ebres injectives deux `a de* *ux distinctes de D(d) dans H*W . Soit p un 'el'ement non nul de H*E, alors pour tout entier n tel que ff(n) log2(T + 1) et (n) est assez grand, OE((x1 . .x.d)np) est non nul. 4 L'ind'ependance lin'eaire des caract`eres Les deux r'esultats pr'eliminaires suivants reposent sur l'ind'ependance lin'ea* *ire des caract`eres. On y conserve les hypoth`eses faites dans les 'enonc'es de la section 3 sur les applications ~i. Lemme 4.1 Soit x 2 D(d) \ {0}, sous les hypoth`eses faites ci-dessus sur les ~i les 'el'ements ~i(x) sont deux `a deux distincts. Le r'esultat a lieu 'egale* *ment pour x = x1 . .x.d. 9 Soit x 2 D(d) \ {0}, supposons que ~i(x) = ~j(x) pour i 6= j. Les images ~i(E*) et ~j(E*) sont distinctes par hypoth`ese. On peut donc trouver une application `* : H*W - ! H*E telle que `* O ~i est l'identit'e, et `* O ~j n'est pas injective. On obtient alors x = `* O ~j(x). Mais `* O ~j est induite par une application lin'eaire non-inversible ~ : E - ! E. On a donc x = ~*(x), et pour tous les automorphismes ff et fi de E on a aussi x = ff* O ~* O fi*(x). Soient, pour i = 1, . .,.h, des automorphismes ffiet fii, et soit ~i = fiiO~Off* *i. On a : x = ~*1O ~*2O . .O.~*h(x) . Mais comme ~ n'est pas injective, on peut choisir, d`es que h d, les auto- morphismes ffi et fii de telle mani`ere que ~h O . .O.~1 soit nulle. On obtient alors x = 0 ce qui est exclu par hypoth`ese. La d'emonstration dans le cas x = x1 . .x.dest laiss'ee au lecteur. Lemme 4.2 Soient x, p 2 D(d) \ {0}. Parmi T entiers successifs il existe au moins une valeur ` avec 0 < ` T et telle que OE(x`p) n'est pas nul. Le r'esultat a lieu 'egalement si x = x1 . .x.d. On consid`ere : i=TX X OE(xnp) = ~i(xnp) = ~i(x)n~i(p) , i=1 i=1,...,T posons ai = ~i(x), bi = ~i(p). On va montrer que la somme i=TX biani i=1 ne peut ^etre nulle pour toute valeur de n. L'hypoth`ese d'injectivit'e des applications ~i implique que les 'el'ements ai ne sont pas nuls, et d'apr`es le lemme pr'ec'edent ils sont deux `a deux distincts. Si cette somme est nulle pour toute valeur de n le crit`ere d'ind'ependance lin'eaire de caract`eres implique* * que tous les coefficients bi sont nuls, or ils ne le sont pas car les applications * *~i sont injectives. Plus pr'ecis'ec'ement, supposons que la somme i=TX biani i=1 10 soit nulle pour T valeurs successives de l'entier n. Le d'eterminant du syst`eme lin'eaire obtenu est un d'eterminant de Van der Monde en les ai, il est non- nul comme les ai sont deux `a deux distincts. L'argument montre que pour T valeurs successives de n on ne peut avoir OE(xnp) = 0. Soit ` tel que OE(x`p) 6= 0. Cette valeur ` peut ^etre choisie telle que 0 < ` T et par cons'equent telle que ff(`) log2(T + 1). 5 D'emonstration de 3.1 et de 2.2 Commen,cons par 3.1. Soit ffi le degr'e de x. On suppose donn'e un entier n satisfaisant aux hypoth`eses de 2.1, i.e tel que ff(n) log2(T + 1). D'apr`es la proposition 1.5, pour tout entier k tel que k > 2log2(n) + log2(ffi), et tout entier ` tel que 1 ` T , et donc que ff(`) ff(n), il existe une op'eration k` de Steenrod ` telle que `(xn) = x2 . D'apr`es le lemme 4.2, k 'etant fix'e, k` il existe une valeur 1 ` T telle que OE(x2 p) 6= 0. On va montrer que k` pour l'op'eration ` construite en section 2 on a `(xnp) = x2 p, et donc que k` OE(xnp) 6= 0, car on a suppos'e que OE(x2 p) 6= 0. Les op'erations en facteur dans ` sont de la forme Qt(ffi2b) avec b C(n). On a : X Qt(ffi2b)(xnp) = Qt(i)(xn)Qt(j)(p) . i+j=ffi2b Le terme Qt(j)(p) est nul d`es que l'exc`es (au sens de la base de Milnor) de Qt(j), soit j, est strictement sup'erieur `a |p|. La somme ci-dessus se r'eduit donc `a : X Qt(ffi2b)(xnp) = Qt(ffi2b - j)(xn)Qt(j)(p) . j |p| Le terme Qt(ffi2b - j)(xn) est nul d`es que la plus grande puissance de 2, soit 2C(n) avec la notation introduite dans l'introduction, qui divise n ne divise pas ffi2b - j. En effet les op'erations de Milnor non nulles sur xn sont n'ecessairement duales de mon^omes de la forme m2C(n). Or on a par hypoth`ese j |p| < 2C(n) 2b, et le r'esultat suit. On remarquera que la condition p 2 D(d) n'a pas 'et'e utilis'ee. On passe maintenant `a la d'emonstration de 3.2 , qui utilise la remarque pr'ec'edente. Soit Qi l'op'eration de Milnor [8]. On a la formule suivante : i=d-1Y Qi (x1 . .x.d) = !E . i=1 11 Cette formule se d'emontre en observant que les deux classes ont le m^eme degr'e. Puis on montre que le terme de gauche est divisible par toutes les formes lin'eaires de degr'e 1. En effet, le terme de gauche est invariant par l* *es permutations des variables et par les transvections, donc il l'est par tout le groupe lin'eaire. Pour d'emontrer qu'il est invariant par les transvections on utiliseQle fait que les Qisont des d'erivations, et que par cons'equent le prod* *uit i=d-1 i=1 Qi est nul sur tout m^onome de degr'e d en les variables xi divisible au moins par un carr'e. Plus g'en'eralement on a : Lemme 5.1 Soit n un entier tel que (n) > d. Alors il existe une op'eration ø telle que : ø((x1 . .x.d)n) = !nE . Soit n = 2a1+. .+.2ah, l''ecriture 2-adique de l'entier n. On utilise l'op'erat* *ion : i=hYj=d-1Y ( Qj(2ah-i+1)) . i=1 j=1 Q j=d-1 Notons `i = j=1 Qj(2ah-i+1). En utilisant la condition (n) > d, et la m 2m formule Qn(2m )(x2 ) = (Qn(1)(x)) , on obtient que : a1 n-2a1 `1(xn) = !2E x , puis que : a a a a `2`1(xn) = !2E1+2 1xn-2 1-2 2 , et ainsi de suite. Les d'etails de la d'emonstration sont laiss'es au lecteur. Enfin on montre que, pourvu que (n) > d et que |p| < 2C(n), on a : ø((x1 . .x.d)np) = !nEp , donc que : OE(ø((x1 . .x.d)np)) = OE(!nEp) 6= 0 , et finalement que : OE((x1 . .x.d)np) 6= 0 . Pour conclure cette section on fait une remarque n'ecessaire `a la suite, o`u le poids (on renvoie `a [7]) d'un 'el'ement x est not'e w(x). On conserve les hypoth`eses pr'ec'edentes sur p. 12 Lemme 5.2 Supposons que w(p) = ff(|p|). Alors w(OE((x1 . .x.d)np)) = w((x1 . .x.d)np) . Le degr'e ` de !nEp v'erifie ff(`) = w(!nEp). En effet, comme infi6=j|ai- aj| (n) > d on a ff(|!nE|) = w(!nE). Par hypoth`ese w(p) = ff(|p|), et |p| < 2C(n), l''egalit'e suit [7]. Le poids de OE((x1 . .x.d)np) est sup'erieur ou 'egal `a* * celui de `(OE((x1 . .x.d)np)) = OE(!nEp), lui m^eme sup'erieur ou 'egal `a ff(|OE(!nE* *p)|) = ff(n(2d - 1) + |p|) = ff(n)d + w(p) = hd + w(p). Le r'esultat suit car cette quantit'e majore w((x1 . .x.d)np) donc OE(w((x1 . .x.d)np)). 6 D'emonstration de la proposition 1.3 On reprend les notations et les hypoth`eses de 1.3, on va montrer que dans le module engendr'e par x il y a des classes, pr'ecisement celles correspondant aux F -g'en'erateurs semi-standards dans la terminologie de [7], auxquelles on peut appliquer le th'eor`eme 3.1. Ceci donne le r'esultat. Soit x 2 D(d) \ {0} de poids n, admettant la partition ~ pour seul vecteur de poids maximal, ~ 'etant une partition 2-r'eguli`ere pour les colonnes de l'enti* *er n dont la partition conjugu'ee ~ est de longueur d. Soit S~ l'objet simple associ'e `a ~. On va montrer que x ne peut ^etre dans le noyau de OE si ~d log2(T + 1). Rappelons deux r'esultats sur les F -g'en'erateurs semi-standards. Un F - g'en'erateur semi-standard de S~ est un 'el'ement de la forme : fl(j) w~(fl) := i=di=1^1 j ~iu2 , o`u les fl(j) sont deux `a deux distincts. Notons t pour ~1, et h pour ~d, t h. On peut supposer que x s'identifie dans le quotient simple du module qu'il engendre au F -g'en'erateur semi-standard, associ'e `a une suite fl = (fl(1), . .,.fl(t)) que l'on supposera d'ecroissante. Par un argument com- binatoire facile cette classe s''ecrit n'ecessairement d'apr`es le corollaire 3* *.12 de [7] sous la forme suivante : fl(1)+...+2fl(h) (x1 . .x.d)2 z + y , o`u y est un 'el'ement dont le poids est strictement inf'erieur `a celui de x, * *soit inf'erieur `a n - 1. La d'emonstration du th'eor`eme est une cons'equence direc* *te du lemme suivant. 13 Lemme 6.1 Sous des hypoth`eses convenables sur la suite des fl(i) il existe fl(1)+...+2fl(h) une op'eration ` telle que `(x) = (!E )2 z 6= 0, et ff(|`(x)|) = n. En reprenant la d'emonstration du lemme 5.1, on obtient une op'eration ø telle que fl(1)+...+2fl(h) ø(x) = (!E )2 z + ø(y) . Les conditions sur les constantes fl(i) qui garantissent l'existencePde ø sont * *les suivantes. Il faut que la constante (`) associ'ee `a l'entier ` = i=1,...,h2* *fl(i) P t soit telle que (`) > d, et que i=h+1 ~i2fl(i)< 2fl(h), ce qui correspond `a * *la condition |p| < 2C(`). Rappelons quelques propri'et'es suppl'ementaires du poids ([2], [13, Part 2], [7]). Un module instable r'eduit est dit de poids w(M) inf'erieur ou 'egal `a ! s'il est nul dans les degr'es d tels que ff(d) > !. Un 'el'ement d'un module instable r'eduit est dit de poids inf'erieur ou 'egal `a ! si le module * *qu'il engendre est de poids inf'erieur ou 'egal `a !, on a toujours ff(|x|) !(x) * *|x| et w(xy) w(x) + w(y), pour tout x et y dans une alg`ebre instable. En particulier, w(xn) nw(x). Lemme 6.2 ([2], [12], A.2 de [7]) Soit M un module r'eduit, x 2 M de poids !. Il existe un 'el'ement z 2 A2x de poids p et tel que ff(|x|) = w(x). On peut donc trouver une op'eration telle que ff(| (z)|) = w(z), en parti- culier (z) est non-nul. On peut la construire `a partir d'op'erations Ptsavec s = fl(i), i > h, t = fl(i) + u, u = 0, . .,.~i- 1. Si i=tXu=~i-1X 2fl(k)> 2fl(i)+u, i=k+1 u=0 pour h k t, alors | | + |z| < 2fl(h). Et : fl(1)+...+2fl(h) O ø(x) = (!E )2 (z) + O ø(y) , soit ` = O ø, par construction ff(|`(x)|) = n. L''el'ement O ø(y) est nul, 'etant de poids au plus n - 1 dans un degr'e h tel que ff(h) = n. On peut alors appliquer `a l''el'ement pr'ec'edent le th'eor'eme 3.1, avec un choix judicieux* * des constantes fl(i), et pourvu que h = ~d log2(T + 1). Ceci donne 1.3. 14 7 La s'erie de Loewy des alg`ebres instables Contrairement `a la cat'egorie U, la cat'egorie U=N il poss`ede, ainsi qu'il a 'et'e dit plus haut, nombre d'objets simples. Ceci conduit naturellement `a consid'erer la s'erie de Loewy des objets de U=N il ~=F!. Par abus de langage on d'esignera par s'erie de Loewy d'un module instable sa s'erie de Loewy comme objet de U=N il. Proposition 7.1 (12) La s'erie de Loewy d'un objet M de U=N il est con- vergente : M est limite directe des SocnM. Remarque 7.2 On peut 'evidemment d'efinir une suite croissante de sous- modules dans un module instable de la mani`ere d'ecrite plus haut en consid- 'erant les objets simples dans U, c'est-`a-dire les suspensions du module trivi* *al F2. Mais dans ce cas la filtration n'est pas convergente, la limite est le plus grand sous-module localement fini. Lorsqu'un module instable K admet une structure d'alg`ebre instable, sa s'erie de Loewy est soumise `a des restrictions fortes. On montre : Th'eor`eme 7.3 Soit K une alg`ebre instable. On a l'alternative suivante: o Soit K est localement nilpotente (le sous-module de K constitu'e par les 'el'ements de degr'e strictement positif est dans N il); o Soit la s'erie de Loewy (dans U=N il) de K ne stabilise pas. Par exemple, l'alg`ebre de Dickson a une s'erie de Loewy infinie. La d'emon- stration repose sur la proposition 1.5 qui permet de construire sur l'alg`ebre K, dans le cas o`u elle n'est pas localement nilpotente, une filtration qui mi- nore en un certain sens la s'erie de Loewy de K. Plus pr'ecis'ement, on utilise le crit`ere suivant, qui est une cons'equence directe de la d'efinition de la s* *'erie de Loewy, et qui permet de minorer la longeur de la s'erie de Loewy d'un module. Lemme 7.4 Soit M un objet de U=N il. Si M admet une filtration: {0} M0 M1 ... Mn M telle que toutes les inclusions soient strictes, et toutes les extensions in- duites par les inclusions Mi=Soc iMi Mi+1=Soc iMi+1 soient essentielles dans U=N il, alors la s'erie de Loewy de M est au moins de longueur n + 1. 15 Pour d'emontrer 7.3, il suffit de se donner une alg`ebre instable r'eduite K non concentr'ee en degr'e 0, et de montrer que sa s'erie de Loewy dans U=N il ne stabilise pas. Soit K une telle alg`ebre; il existe par hypoth`ese un 'el'ement* * x de k ` K tel que x2 est non nul pour tout k et donc tel que x est non nul pour tout `. Rappelons que l'on a toujours ff(|x|) !(x) |x| et w(xy) w(x)+w(y), pour tout x et y dans K. En particulier, w(xn) nw(x). Si M est un module instable qui n'est pas r'eduit, on d'efinit son poids comme celui du quotient de M par son plus grand sous-module nilpotent. On fera ci-dessous l'hypoth`ese que tous les modules rencontr'es sont r'eduits, on peut toujours se ramener `a cette situation, `a l'aide du foncteur de localisation r [13]. Les d'etails sont laiss'es au lecteur. On peut supposer (6.2) que ff(|x|) = w(x). Soit ffi = |x| et soit r = log2ffi. * *On d'efinit: n(k) = ki=02i(r+1). On a ff(ffin(k)) = (k + 1)! car 2r+1 > ffi, il suit que : tn(k) w(x2 ) = (k + 1)! . Pour tout entier t, on a: ff(2tn(k)) = k et (2tn(k)) = min{t, r + 1} . D`es que h > 2log2(n(k + 1)) + log2(ffi) et t r + 1, le quadruplet (ffi, 2tn(* *k + 1), n(k), h) satisfait aux hypoth`eses de la proposition 1.5, et on a : r+1n(k+1) n(k)2h `(ffi, 2tn(k + 1), n(k), h)(x2 ) = x . Pour tout entier k, on fixe un entier `(k) tel que `(k) > 2log2(n(k + 1)) + log2(ffi), et afin d'all'eger les notations, on note r+1n(p) `k,t= `(ffi, 2t+r+1n(k + 1), n(k), `(k)) et yp = x2 . Les relations pr'ec'edentes s''ecrivent : t 2`(p) `p+1,t(y2p+1) = yp . `(p) On note aussi `k au lieu de `k,0et on a `p+1(yp+1) = y2p . On consid`ere alors le sous-module Kp de K engendr'e par {xn(i); 0 i p}. On a clairement Kp Kp+1. On va montrer que la filtration {Kp}p2N induit une filtration sur K dans U=N il satisfaisant aux hypoth`eses de la proposition 7.4. On commence par observer : 16 Lemme 7.5 Le poids du module Kp est (p + 1)!. En particulier Kp est trivial dans le degr'e des 'el'ements xn(k), k > p. Le point essentiel est le suivant. Lemme 7.6 Pour tout entier p, le sous-module Kp=Soc pKp n'est pas facteur t direct dans Kp+1=Soc pKp+1. De plus, pour tout entier t, y2p+1n'est pas dans Socp+1Kp+1. On va montrer ce lemme par r'ecurrence sur p. Pour p = 0, on doit regarder l'inclusion K0 = K0=Soc 0K0 K1=Soc 0K1 = K1 . Le poids du module K0 est 'egal `a ! (le poids de x) qui est strictement inf'erieur `a ff(|y1|) = 2! et K0 est donc trivial dans le degr'e 2!. Comme par ailleurs on a : `(0) `1(y1) = y20 l'inclusion ne peut ^etre scind'ee dans U=N il. On aurait sinon une application `(0) OE telle que OE(`1(y1)) = `1(OE(y1)) = 0 et OE(`1(y1)) = y20 6= 0. t Le fait que y21n'est pas dans SocK1 r'esulte de ce que SocK0 est facteur direct t 2`(0) dans SocK1. En effet, si y21est dans SocK1, alors y0 serait 'egalement dans t 2`(0) SocK0 du fait de la relation `1,t(y21) = y0 . Mais comme on vient de le voir, cette relation implique que SocK0 SocK1 est non scind'ee, ce qui est une contradiction. Supposons maintenant la propri'et'e vraie `a l'ordre p. On consid`ere l'inclusion : Kp+1=Soc p+1Kp+1 Kp+2=Soc p+1Kp+2 . D'apr`es l'hypoth`ese de r'ecurrence, l''el'ement yp+1 n'est pas dans Socp+1Kp+* *1, donc yp+2 n'est pas dans Socp+1Kp+2. On a la relation : `(p+1) `p+2(yp+2) = y2p+1 . Un raisonnement identique `a celui tenu pour p = 0 montre que l'inclusion consid'er'ee est non scind'ee dans U=N il. D'autre part, les relations t 2`(p+1) `p+2,t(y2p+2) = yp+1 17 t montrent que y2p+2ne se projette pas dans Soc(Kp+2=Soc p+1Kp+2), en util- isant un argument identique `a celui donn'e pour p = 0 une fois encore. Ceci t est est 'equivalent au fait que y2p+2n'est pas dans Socp+2Kp+2. Ceci montre l''enonc'e au rang p + 1, et donc, par r'ecurrence, le lemme 7.5. On peut alors appliquer la proposition 7.4 qui montre que la s'erie de Loewy de K est au moins de longueur p pour tout entier p, et donc la s'erie de Loewy de K est infinie, ce qui ach`eve la d'emonstration du th'eor`eme. 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