SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES



                          DONGHUA JIANG



       R'esum'e.Dans cet article, on donne des restrictions sur la struc-
       ture d'un module instable, qui doivent ^etre v'erifi'ees pour que celui-
       ci soit la cohomologie r'eduite d'un espace. On commence par une
       'etude sur la structure des sous-modules de  sH~*(B(Z=2) d; Z=2),
       i.e., les modules instables dont la filtration nilpotente est de lon-
       gueur 1. Ensuite, on g'en'eralise le r'esultat aux modules instables
       dont la filtration nilpotente est de longueur finie, et qui v'erifie une
       condition suppl'ementaire. Le r'esultat dit que sous certaines hy-
       poth`eses, la cohomologie r'eduite d'un espace ne contient pas de
       lacunes de longueur arbitrairement grande. Ce r'esultat est obtenu
       par application du c'el`ebre th'eor`eme d'Adams sur l'invariant de
       Hopf et de la classification des modules instables injectifs.
         Ce travail est effectu'e sous la direction de L. Schwartz.



                         1. Introduction


  En topologie alg'ebrique, pour distinguer les espaces, on introduit

des invariants, tels que l'homologie, la cohomologie et l'homotopie des

espaces. Nous nous int'eressons dans cet article `a la cohomologie r'eduite

des espaces en tant que module instable sur l'alg`ebre de Steenrod.

  Un probl`eme central sur les modules instables est de savoir quand un

tel module est la cohomologie r'eduite d'un espace. Un r'esultat c'el`ebre

de J. F. Adams impose des restrictions fortes `a un module instable pour

qu'il soit la cohomologie r'eduite d'un espace. Voici le r'esultat d'Adams

dont il est question :


Th'eor`eme 1. (Adams, [1]) Soit X un espace ou un spectre, k   4,
                                  i                            2k
soitPx  2  Hn (X; Z=2) tel que Sq2 x  =  0, 8 i  <  k, alors Sq  x  2
           2i
  i<kIm (Sq  ).

D'efinition 1. Un module sur l'alg`ebre de Steenrod M est un module

instable si pour tout 'el'ement x 2 M, Sqix = 0, 8 i > |x|. Ici, |x|

d'esigne le degr'e de x.


D'efinition 2. Par lacune de longueur d dans un module instable M,

on entend une suite d'entiers I = {i, . .,.i + d - 1} telle que Mj = {0},
                                  1




2                          DONGHUA JIANG


si j 2 I, Mi-1 6= {0}, Mi+d 6= {0}. On note cette lacune par (i-1, i+d)

ou (i - 1, i + d - 1].


  Issue du th'eor`eme d'Adams, une question int'eressante est de savoir

si dans la cohomologie mod 2 d'un espace, il peut exister ou non des

lacunes de longueur arbitrairement grande.

  Dans cet article, on d'emontre que c'est impossible sous certaines

hypoth`eses suppl'ementaires sur la structure de module instable.

  Nous  devons  rappeler,  pour  'enoncer  ces  conditions,  diverses

d'efinitions. Rappelons qu'un module M est connexe si M0 = {0}.


D'efinition 3. La suspension d'un module instable M est le module

 M tel que ( M)0 = {0} et ( M)n = Mn-1 , 8 n   1.


D'efinition 4. Un module instable M est r'eduit si le morphisme Sq0 :

M ! M d'efini par Sq0(x) = Sq|x|(x) = x2, 8 x 2 M, est injectif.


  On va se restreindre dans la suite `a 'etudier des modules instables

dont l'enveloppe injective est somme directe finie d'objets injectifs

ind'ecomposables.  D'apr`es  la  classification  des  U-injectifs  (Lannes-

Schwartz, [5]), on sait que pour un tel module instable r'eduit M, il

existe d, ffd tels que M se plonge dans H*(B(Z=2) d; Z=2) ffd. Si M

est connexe, on peut supposer ffd = 1. Donc pour 'etablir une pro-

pri'et'e pour les modules instables r'eduits, il suffit de le faire pour les

sous-modules instables de H*(B(Z=2) d; Z=2) ffd. Dans la suite on sup-

posera ffd = 1, les d'emonstrations s''etendont sans probl`eme.


D'efinition 5. (Schwartz, [8]) Un module instable M est s-nilpotent

s'il est l'union de ses sous-modules ayant une filtration finie dont les

quotients sont des s-`eme suspensions.


  Soit U la cat'egorie des modules instables. On d'esigne N ils la sous-

cat'egorie ab'elienne pleine de U  des modules s-nilpotents. La sous-

cat'egorie N ils est 'epaisse (voir [2], [9]). On a une filtration de U :

                . . .  N il2   N il1 = N   N il0 = U.

  Soit nils : U  ! N ils l'adjoint `a droite de l'inclusion N ils ,! U,

nilsM  est le plus grand sous-module d'un module instable M  dans

N ils et on a la filtration nilpotente de M :

                . . .  nil2M   nil1M   nil0M = M.


Proposition 1. ([4], [7]) Soit M un module instable. Alors

                       nilsM=nils+1M =  sRs

est la s-`eme suspension d'un module instable r'eduit.




            SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES            3


D'efinition 6. La filtration nilpotente d'un module instable M est de

longueur finie s'il existe un n   0 tel que nilnM = 0.


D'efinition 7. Soit M un module instable connexe r'eduit non trivial.

On d'esigne par n1 < n2 < . . .les degr'es n tels que Mn 6= {0}. Suppo-

sons que M se plonge dans H*(B(Z=2) d; Z=2). M sera dit de type

T , si en degr'e sup'erieur ou 'egal `a n1, il contient une lacune de longueur


        l   max {2d+4, nj+1 - nj, j = 1, . .,.1 + (d - 1)2d-2}.


Remarque. Le module M est n'ecessairement infini car M est r'eduit

connexe non trivial.


Th'eor`eme  2.  Soit  un  module  instable  connexe  M  qui  est  une

suspension it'er'ee d'un sous-module instable connexe de type T  de

H*(B(Z=2) d; Z=2). Alors M n'est pas r'ealisable, i.e., il n'existe au-

cun espace X tel que M = ~H*(X; Z=2).


  En fait le th'eor`eme d'Adams s'applique aussi aux spectres. Il en est

donc de m^eme du th'eor`eme pr'ec'edent, la suspension it'er'ee peut ^etre

positive ou n'egative et le module n'est ni la cohomologie r'eduite d'un

espace ni la cohomologie r'eduite d'un spectre.

  Une g'en'eralisation de ce th'eor`eme est faite sous certaines hypoth`eses

pour les modules instables connexes ayant une filtration nilpotente de

longueur finie.


D'efinition 8. Un module instable connexe M dont la filtration nilpo-

tente est de longueur finie est de type T , si

  1) M est non nul dans des degr'es arbitrairement grands ;

  2) Les quotients nilsM=nils+1M non triviaux s''ecrivent sous la forme

 miRmi, Rmi r'eduits, i = 1, . .,.t, m1 < . .<.mt, alors l'un des Rmi

(que l'on note Rm ) est non-trivial dans les degr'es n1 < n2 < . . .,

et on suppose qu'il existe d tel que tous les Rmi  se plongent dans

H*(B(Z=2) d; Z=2) ffd;

  3) On suppose alors qu'en degr'e sup'erieur ou 'egal `a m + n1, M

contient une lacune de longueur


       l   max {mt2d+4, nj+1 - nj, j = 1, . .,.1 + (d - 1)2d-2}.


Condition 1. Soit M un module instable connexe dont la filtration

nilpotente est de longueur finie. On d'esigne par  miRmi les quotients

nilsM=nils+1M non triviaux, i = 1, . .,.t, m1 < . .<.mt.

  On dira que M v'erifie la condition 1 si

                mi+1 - mi 6= 1, 2, 4, 8,1   i   t - 1,

                   mi+2 - mi 6= 8,     1   i   t - 2,




4                          DONGHUA JIANG


c'est-`a-dire, mj - mi = 2fin'a pas de solution pour 1   i, j   t et

0   fi   3.

Th'eor`eme 3. Tout module instable connexe M dont la filtration nil-

potente est de longueur finie, qui est de type T  et v'erifie la condition

1, n'est pas r'ealisable, i.e., il n'existe aucun espace ou spectre X tel

que M = ~H*(X; Z=2).

Corollaire 1. La longueur des lacunes ne peut pas ^etre arbitrairement

grande dans un module instable connexe r'ealisable dont la filtration

nilpotente est de longueur finie et v'erifie la condition 1.

  Dans cet article, on suppose que tous les modules sont de dimension

finie en chaque degr'e, que leur enveloppe injective est somme directe fi-

nie de modules injectifs r'eduits. Les r'esultats obtenus sont cons'equences

du th'eor`eme d'Adams et de la classification de Lannes-Schwartz.

  Voici quelques d'etails sur le plan de cet article. Dans la section 2,

on d'efinit des op'erations Qst, s, t   0. La section 3 contient un r'esultat

combinatoire. En utilisant ce r'esultat, le th'eor`eme 2 est d'emontr'e dans

la section 4. Ensuite, le th'eor`eme 3 est d'emontr'e dans la section 5.

La derni`ere section contient des g'en'eralisations pour le cas p premier

impair. Il y a un appendice `a la fin sur les op'erations de Steenrod.


                  2. Les op'erations Qst, s, t   0


  Dans cette section, on d'efinit les op'erations Qst, s, t   0 et on donne

bri`evement leur propri'et'es utilis'ees dans les sections suivantes. Pour

plus de d'etails sur ces op'erations, on renvoie les lecteurs `a l'appendice.

D'efinition 9. Les op'erations Qst, s, t   0 sont d'efinies r'ecursivement

comme suit : s

  1. Qs0= Sq2 ;
                  t+s+1    2t+s+1s
  2. Qst+1= QstSq2     - Sq     Qt.


Notation 1. On note souvent Q0tpar Qt, qui est la notation usuelle

de l'op'eration de Milnor concern'ee.

  Pour 'etablir les propri'et'es de ces op'erations Qst, on a besoin d'intro-

duire quelques notations.

Notation 2. Le symbole (n1, . .,.nd) d'esignera le mon^ome un1  . . .

und ou xn11. .x.ndddans H*(B(Z=2) d; Z=2) qui s'identifie `a F2[u] d ou

F2[x1, . .,.xd], u et les xi 'etant de degr'e 1. Un tel mon^ome sera dit

basique.

Notation 3. Comme d'habitude, Sq0 d'esigne l'op'eration d'efinie dans

un module instable par Sq0x = Sq|x|x. On a donc Sqs0(n1, . .,.nd) =




            SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES            5


(2sn1,P. .,.2snd),  et  Im (Sqs0)  est  l'ensemble  des  'el'ements  x   =
       s             s             *        d
  i2I(2 n(i)1, . .,.2 n(i)d)  de  H (B(Z=2)  ; Z=2).  Ici,  I  est  un  en-
semble de d-uplets i, qu'on 'ecrit (n(i)1, . .,.n(i)d), n(i)ffpeut ^etre

nul.


Lemme 1. Soit M un module instable, on a pour tout n   1,

                 Sq2nSq0x = Sq0Sqnx,     8 x 2 M.


  De la d'efinition de Qstet de Sq0, on d'eduit que :


Lemme 2. Soit M un module instable, on a 8 x 2 M,

                  Qs+rtSqs0x = Sqs0Qrtx,     8 r, s, t.

En particulier,

                    QstSqs0x = Sqs0Q0tx,     8 s, t.


Corollaire 2. 1. Soit M un module instable, on a 8 x 2 M,

  QsrQstSqs0x = QstQsrSqs0x, 8 t, r   0 ; (Qst)2Sqs0x = 0.

  2. Pour M, N deux modules instables,

  Qst(x   y) = Qstx   y + x   Qsty, 8 x 2 Sqs0(M), y 2 Sqs0(N).

  3. Si u est le g'en'erateur de H1(B(Z=2); Z=2),
                                          t+1   2s(2l+2t+1)
  QstSqs0u2l= 0 et QstSqs0u2l+1= Sqs0u2l+2   = u         .


                  3. Un r'esultat combinatoire


  Dans cette section, on 'etablit d'abord un r'esultat combinatoire. En-

suite, on l'applique `a un 'el'ement quelconque de H*(B(Z=2) d; Z=2)

pour obtenir des contraintes impos'ees par certaines conditions d'annu-

lation induites par l'existence de lacunes.    P

  Soit un 'el'ement x 2 H*(B(Z=2) d; Z=2), x =   i2I(n(i)1, . .,.n(i)d)

somme des mon^omes basiques deux `a deux distincts (n(i)1, . .,.n(i)d),

i 2 I.

  Pour commencer, on d'efinit quelques notations combinatoires.


D'efinition 10. Soit l   0. On dira qu'il y a un l-'echange entre deux

mon^omes basiques s'il existe i, j tels que ces deux mon^omes constituent

une paire de la forme

    (u1, . .,.ui-1, 2ui+ 1 , ui+1, . .,.uj-1, 2uj + 2l+1, uj+1, . .,.ud)

et

    (u1, . .,.ui-1, 2ui+ 2l+1, ui+1, . .,.uj-1, 2uj + 1, uj+1, . .,.ud).


Remarque. C'est l'annulation sous l'action de l'op'eration Ql sur un

'el'ement x qui sugg`ere cette d'efinition, puisque l'op'eration Ql est une

d'erivation.




6                          DONGHUA JIANG


D'efinition 11. On dira qu'il y a une (l, s)-cha^ine, l   s, entre deux

mon^omes basiques ff et fi d'un 'el'ement x 2 H*(B(Z=2) d; Z=2) s'il

existe des mon^omes basiques

                      ff0 = ff, ff1, . . ., fft = fi

de cet 'el'ement tels qu'il y ait un m-'echange, l   m   s, entre ffi et

ffi+1, 8 i = 0, 1, . .,.t - 1.

D'efinition 12. Un sous-ensemble de l'ensemble des mon^omes basiques

d'un 'el'ement x 2 H*(B(Z=2) d; Z=2) est une (l, s)-classe, l    s,

si pour tout mon^ome basique ff dans ce sous-ensemble, et pour tout

m, l   m   s, il existe un mon^ome fi dans ce sous-ensemble et un

m-'echange entre ff et fi.

Remarque. C'est l'annulation sous l'action des op'erations Qm , l

m     s, sur un 'el'ement x qui sugg`ere cette d'efinition, puisque les

op'erations Qm  sont des d'erivations.

  Voici une propri'et'e fondamentale des (l, s)-classes :

Proposition   2.  Pour  toute  (l, s)-classe  d'un  'el'ement  x   2

H*(B(Z=2) d; Z=2), on a s - l   d - 2.

D'emonstration. On dira qu'un 'el'ement x 2 H*(B(Z=2) d; Z=2) est de

support T   {1, . .,.d}, si pour tout mon^ome basique xff11. .x.ffddde x,

et 8 i 2 T , l'exposant ffine d'epend que de x et non du m^onome basique

choisi. On note ø  = #T  qu'on apellera la taille de x, les mon^omes

basiques de x ont ø exposants en commun au moins.

  Consid'erons donc une (l, s)-classe de x et soit xs la somme des

mon^omes de cette classe, Ts son support et øs sa taille. On va construire

r'ecursivement des sous-(l, s - t)-classes de support Ts-t et de taille

øs-t telle que øs-t   øs-t+1 + 1.

  Supposons avoir construit une sous-(l, s - t + 1)-classe de support

Ts-t+1 et de taille øs-t+1. On choisit une paire de mon^omes basiques

ff et fi de cette sous-classe telle qu'il y ait un (s - t + 1)-'echange

entre ff et fi. On suppose de plus que l'exposant impair qui apparait

dans cet 'echange dans le mon^ome basique ff est maximum pour ce type

d''echange. On note cet exposant de ff par ffp = 2a + 1, o`u p d'esigne la

position de ff o`u cet exposant apparait. Donc fip = 2a + 2s-t+2.

  Le choix de ff fait que toute (l, s - t)-cha^ine contenant fi ne change

pas la valeur (paire) correspondante. Raisonnons par l'absurde. Car

sinon, choisissons la (l, s - t)-cha^ine la plus courte contenant fi, disons

de fi `a fl, telle que fl ait une valeur impaire sur cet exposant, une telle

cha^ine existe par hypoth`ese. Il y a un m-'echange, l   m   s - t, qui

change la valeur de l'exposant, entre fl et un mon^ome basique dans la




            SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES            7


cha^ine. La valeur de l'exposant consid'er'e est la m^eme que la valeur de

celui de fi par hypoth`ese. Ceci implique que l'exposant de fl, en cette

place, est flp = 2a + 2s-t+2- 2m+1 + 1 et est strictement plus grand que

celui de ff, ffp, en la m^eme place. Il y a donc une contradiction.

  En choisissant tous les mon^omes basiques de la sous-(l, s - t +

1)-classe tels qu'il existe une (l, s - t)-cha^ine entre ces mon^omes et

fi, on obtient un ensemble de mon^omes basiques.

  Cet ensemble est une sous-(l, s - t)-classe car pour tout mon^ome

j de cet ensemble, et pour tout m, l   m   s - t, il y a d'une part un

m-'echange entre j et un mon^ome ~ dans la sous-(l, s - t + 1)-classe,

d'autre part une (l, s - t)-cha^ine entre j et fi, donc il y a une (l, s -

t)-cha^ine entre ~ et fi. On d'eduit que ~ est un mon^ome de l'ensemble

et que le m-'echange entre j et ~ est un 'echange dans l'ensemble, d'o`u

l'ensemble consid'er'e est une sous-(l, s - t)-classe.

  Si on note par Ts-t le plus grand sous-ensemble de {1, . .,.d} tel que

cette sous-(l, s-t)-classe est de support Ts-t, alors il est clair que Ts-t

contient Ts-t+1 [ {p}. Donc on a construit une sous-(l, s - t)-classe

de support Ts-t et de taille øs-t   øs-t+1 + 1.

  Si on prend t = s - l, alors on a une sous-(l, l)-classe de support Tl

et de taille øl telle que øl  øl+1+ 1   . . .øs+ s - l   s - l. Comme il

existe des l-'echanges dans cette classe, il y a au plus d - 2 exposants

invariants. D'o`u, d - 2   øl  s - l.


Corollaire  3.  Soit  x  un  'el'ement  d'un  sous-module  instable  de

H*(B(Z=2) d; Z=2) tel que x 2 Im (Sqs0) - Im(Sqs+10) et que Qstx = 0,

8 p   t   q. Alors on a q - p   d - 2.


D'emonstration. Puisque x = Sqs0x02 Im (Sqs0) - Im(Sqs+10), il existe au

moins un mon^ome basique ff de x0 avec au moins un exposant impair.

L'ensemble des mon^omes basiques de x0qui sont dans une (p, q)-cha^ine

contenant ff est une (p, q)-classe. Puisque d'apr`es la d'efinition, chaque

mon^ome fi de cet ensemble contient au moins un exposant impair, et

comme l'action de l'op'eration Qstsur fi donne un mon^ome qui contient

un exposant pair en la m^eme place, l'annulation de Qstsur x entra^ine

l'existence d'un m-'echange, p   m   q, entre fi et un mon^ome de

l'ensemble. Par cons'equent, on a q - p   d - 2.


Corollaire  4.  Soit  x  un  'el'ement  d'un  sous-module  instable  de

H*(B(Z=2) d; Z=2). Si A2x contient une lacune (|x|, |x| + l], l   2k

pour un certain k   d - 2, alors x 2 Im (Sqk-d+20).


D'emonstration. Soit ff tel que x = Sqff0x0 2 Im (Sqff0) - Im (Sqff+10). Si

ff > k, on a ff   k - d + 2. Si ff   k, alors l'existence de la lacune dans




8                          DONGHUA JIANG


A2x implique que 8 t = 0, . .,.k - ff,
                       t 0    2t+ff ff0    2t+ff
               Sqff0Sq2 x = Sq    Sq0x = Sq    x = 0.
        t 0                                  0
Donc Sq2 x = 0, 8 t = 0, . .,.k -ff. Donc Qtx = 0, 8 t = 0, . .,.k -ff.

D'apr`es le corollaire 3, on a k - ff   d - 2, d'o`u ff   k - d + 2.


Remarque. 1. Les 'enonc'es de cette section sont aussi vrais pour un

'el'ement quelconque de H*(B(Z=2) d; Z=2) ffd. Ci-dessus, on a trait'e le

cas o`u ffd = 1. Pour tenir compte du fait que l'on peut se placer dans

H*(B(Z=2) d; Z=2) ffd, il faudrait compliquer un peu les notations en

rajoutant un indice 1   a   ffd. On dit que les (n(i)1,a, . .,.n(i)d,a)

sont les mon^omes basiques de x.

  2. Comme la suspension commute avec les op'erations de Steen-

rod  :  oeqSqi  =  Sqioeq.  Ces  corollaires  sont  aussi  vrais  pour  une

suspension  quelconque  d'un  sous-module  instable  quelconque  de

H*(B(Z=2) d; Z=2) ffd.


             4. La d'emonstration du th'eor`eme 2


  Cette section est consacr'ee `a la d'emonstration du th'eor`eme 2. Soit

donc M un module instable qui est la cohomologie r'eduite d'un espace.

Supposons de plus que M est r'eduit. Alors :


Th'eor`eme  4.  (Lannes-Schwartz,  [5])  Un  module  instable  r'eduit

(resp. connexe) M  dont l'enveloppe injective est somme directe fi-

nie d'injectifs ind'ecomposables est isomorphe `a un sous-module de

H*(B(Z=2) d; Z=2) ffd(ffd > 0) (resp. H*(B(Z=2) d; Z=2)) pour d as-

sez grand.


  On va consid'erer dans la suite des modules non r'eduits mais suspen-

sions it'er'ees de modules r'eduits.

  D'emonstration du Th'eor`eme 2. Soit M un sous-module instable

connexe de  sH*(B(Z=2) d; Z=2) qui est la cohomologie r'eduite d'un

espace. Reprenons les notations introduites avant le th'eor`eme 2 : M

est non trivial dans les degr'es s + n1 < s + n2 < . ...Supposons qu'en

degr'e sup'erieur ou 'egal `a s + n1, (n, n + l] est la premi`ere lacune de

longueur l telle que :

        l   max {2d+4, nj+1 - nj, j = 1, . .,.1 + (d - 1)2d-2}.

Soit k l'unique entier (  d + 4) tel que 2k+1 > l   2k.

  Soit donc x 2 Mn , x 6= 0, A2x contient une lacune (n, n + l]. Le

corollaire 4 entra^ine 2k-d+2|n.


Lemme 3. En degr'e strictement inf'erieur `a n, il n'existe pas de degr'es

m tels que 2k-d+26 |m et Mm  6= {0}.




            SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES            9


D'emonstration. Supposons qu'en degr'e strictement inf'erieur `a n, il

existe des degr'es m tels que 2k-d+26 |m et Mm  6=  {0}. Soit m0 le

plus  grand  de  ces  degr'es,  et  soit  y  2  Mm0 ,  y  6=  0.  On  suppose

que y  =  Sqff0z  2  Im(Sqff0) - Im (Sqff+10). Comme 2k-d+26 |m0, on a

ff   k - d + 1.

  Si A2y contient une lacune (|y|, n + l], le corollaire 4 implique que

ff   k - d + 2, ce qui est impossible. Donc le plus petit degr'e non nul

sup'erieur ou 'egal `a m0 + 1 dans A2y est inf'erieur `a n + l et est donc

de la forme 2k-d+2q = p d'apr`es l'hypoth`ese de maximalit'e de m0.
               h                                                fi
  Comme les Sq2  engendrent multiplicativement A2, on a p = m0+2
                                                                 fi
(rappelons l'hypoth`ese de minimalit'e de p). En particulier, Sq2 y est
                                                           fi ff
non nul. Comme y  2 Im (Sqff0), on a alors fi    ff car Sq2 Sq0z  =
        fi-ff
Sqff0Sq2   z qui est nul si ff > fi. On en d'eduit que pour ff   k - d et

t   1, 2k-d+2 ne divise pas le degr'e de Qffty, en effet on a :

               |Qffty| =  m0 + 2ff(2t+1 - 1)

                       =  2k-d+2q - 2fi+ 2ff+t+1- 2ff.

Tant que ce degr'e est inf'erieur ou 'egal `a n + l, Qffty est donc nul `a cause

de l'hypoth`ese sur m0. Or pour 1   t   k - ff - 1,

                    |Qffty|=   m0 + 2ff(2t+1 - 1)

                               m0 + 2ff(2k-ff- 1)

                               n + l

Donc d'apr`es le corollaire 3, k - ff - 2   d - 2, ff   k - d.

  Donc ff doit ^etre k-d ou k-d+1. Par cons'equent, fi   ff   k-d   4.

Mais fi ne peut pas ^etre plus grand que 4 `a cause du th'eor`eme d'Adams.

Ceci implique qu'un tel m0 n'existe pas.


  Notons donc les degr'es plus petits que n pour lesquels M est non

trivial comme suit

                r0 = n > r1 > . . .et  8 i, 2k-d+2|ri.

On a


Lemme 4. Pour tout xi de degr'e ri, A2xi contient la lacune (ri, n + l].


D'emonstration. On raisonne par l'absurde. Si l''enonc'e est faux, on

choisit un 'el'ement xi de degr'e maximal tel que A2xi contienne des

'el'ements non-nuls de degr'e sup'erieur `a ri et inf'erieur `a n + l. On choi-

sit dans (ri, n + l] le plus petit degr'e dans lequel A2xi est non-nul. En

utilisant la base multiplicative de A2, il est de la forme ri+ 2fl, fl   0.

Comme les degr'es dans l'intervalle (ri, n + l] o`u il y a des 'el'ements non-

nuls sont divisibles par 2k-d+2, on a fl   k - d + 2   6.fParlcons'equent,

on a une lacune (ri, ri+ 2fl), fl   6, dans A2xi avec Sq2 xi 6= 0 en degr'e




10                         DONGHUA JIANG


ri + 2fl. Par la maximalit'e de xi, il n'y a aucun 'el'ement y de degr'e

sup'erieur `a ri tel que A2y contienne des 'el'ements non-nuls de A2xi en    fl

degr'e sup'erieur `a |y|Pet inf'erieur `a n + l. Donc l''el'ement non-nul Sq2 xi
                                    j
ne peut pas ^etre dans   j<flIm (Sq2 ). Alors l'existence de cette lacune

(ri, ri+2fl) dans A2xiest impossible `a cause du th'eor`eme d'Adams.


  On montre alors par r'ecurrence que :

                     8 i   j2d-2,     2k-d+j+2|ri.

Supposons que c'est vrai pour j, alors
                                  P (j+1)2d-2-1
        n + l - r(j+1)2d-2=   l +   i=0       (ri- ri+1)
                                  P j   P (h+1)2d-2-1
                          =   l +  Ph=0   i=h2d-2   (ri- ri+1)

                              2k + P jh=02d-22k-d+h+2

                          =   2k +   jh=02k+h

                          =   2k+j+1.

Puisque A2xi contient une lacune (ri, n+l] et d'apr`es le corollaire 4, on

a donc 2k-d+j+3|ri, 8 i   (j + 1)2d-2. Comme le cas j = 0 est d'emontr'e

ci-dessus, on a

                     2k-d+j+2|ri,     8 i   j2d-2.

  Si on pose w = (d - 1)2d-2, alors 2k+1|rw et 2k+1|rw+1 . L'intervalle

(rw+1 , rw ) est donc aussi une lacune de M, en degr'e inf'erieur ou 'egal

`a n et sup'erieur ou 'egal `a s + n1, d'une longueur   2k+1 - 1   l

max {2d+4, nj+1-nj, j = 1, . .,.1+(d-1)2d-2}. Ceci est contradictoire

au choix de (n, n + l].

  Fin de la d'emonstration du Th'eor`eme 2.                   2



             5. La d'emonstration du th'eor`eme 3


  Dans cette section, on va 'etudier des modules instables dont la fil-

tration nilpotente est de longueur finie. Un exemple trivial d'un tel

module instable est un module instable quelconque de dimension finie.

Un autre exemple est la suspension d'un module r'eduit, la cohomologie

d'un groupe fini ou compact v'erifie aussi cette hypoth`ese [3].

  Ci-dessous, on d'emontre un r'esultat sur la non-existence de grandes

lacunes dans les modules instables connexes r'ealisables dont la filtration

nilpotente est de longueur finie qui v'erifie la condition 1.

  D'emonstration  du  Th'eor`eme  3. Soit M  un module instable

connexe qui est la cohomologie r'eduite d'un espace. Reprenons les no-

tations introduites avant le th'eor`eme 3 : les quotients nilsM=nils+1M

non triviaux s''ecrivent sous la forme  miRmi, Rmi r'eduits, i = 1, . .,.t,

m1 < . . .< mt que l'un des Rmi (que l'on note Rm ) soit non-trivial




            SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES           11


dans les degr'es n1 < n2 < . ...Supposons qu'en degr'e sup'erieur ou

'egal `a m + n1, la lacune (n, n + l] soit la premi`ere de longueur


       l   max {mt2d+4, nj+1 - nj, j = 1, . .,.1 + (d - 1)2d-2}.


Soit k l'unique entier tel que 2k+1 > l   2k.

  De la d'emonstration du th'eor`eme 2, il r'esulte qu'il suffit de montrer

que pour tout 'el'ement x de M de degr'e inf'erieur `a n, A2x contient

une lacune (|x|, n + l]. Pour montrer cela, on raisonne par l'absurde. A

tout 'el'ement x de M, on associe son degr'e de nilpotence, c'est-`a-dire,

l'entier mx tel que x 2 nilmx M - nilmx+1 M.

  Soit x un 'el'ement non-nul de degr'e maximal tel que A2x est non

r'eduit `a {0} dans l'intervalle (|x|, n]. (A2x contient la lacune (n, n + l]

par l'hypoth`ese.)

  Soit donc y, |x| < |y| < n, ~y2  my Rmy  sa r'eduction que l'on note

oemy z, z 2 Rmy . Alors le corollaire 4 implique que z 2 Im (Sqk-d+20).

(Rappelons l'hypoth`ese de maximalit'e de x.) Donc on a |y| = my +

2k-d+2ly.

  Soit de m^eme ~x2  mx Rmx . Supposons que ~x= oemx u tel que u 2

Im (Sqs0) - Im (Sqs+10). Alors comme la non-existence de m0 dans la

d'emonstration du lemme 3, on sait que pour s   k - d et t   1, 2k-d+2

ne divise pas le degr'e de Qstu, en effet on a :

                |Qstu| =   |Qstx| - mx

                       =   |u| + 2s(2t+1 - 1)

                       =   2k-d+2q - 2fi+ 2s+t+1 - 2s,


o`u 2fid'esigne le plus petit entier strictement positif e tel que Sqe~xsoit

non nul et on note le degr'e de Sqe~xpar mx + 2k-d+2q. Tant que le

degr'e de Qstx est inf'erieur ou 'egal `a n + l, Qstu est donc nul `a cause de

l'hypoth`ese sur x. Or pour 1   t   k - s - 1,

                  |Qstx| =  mx + |u| + 2s(2t+1 - 1)

                            mx + |u| + 2s(2k-s - 1)

                            n + l

Donc d'apr`es le corollaire 3, k - s - 2   d - 2, s   k - d.

  Donc |x| = mx + 2k-dlx. On choisit l''el'ement non-nul de plus petit

degr'e, sup'erieur ou 'egal `a |x| + 1, dans A2x. A l'aide de la basefmul-f

tiplicative de A2, on sait que c'est un 'el'ement de la forme Sq2 x. De

plus, le th'eor`emefd'Adamsfimplique que ff   3. On note cet 'el'ement

par y = Sq2 x.                                     ff

  On a alors |x| + 2ff= |y| pour un certain y = Sq2 x 2 nilmy M. D'o`u,

mx + 2k-dlx + 2ff= my + 2k-d+2ly, ce qui implique, en modulo 2k-d,

que mx + 2ff= my. Comme cette 'egalit'e ne poss`ede pas de solution `a




12                         DONGHUA JIANG


cause de la condition 1, un tel x n'existe pas. Donc pour tout 'el'ement

x de M de degr'e inf'erieur `a n, A2x contient une lacune (|x|, n + l]. On

ach`eve la d'emonstration en appliquant la d'emonstration du th'eor`eme

2 `a Rm .                                                            2


                   6. Le cas p premier impair


  On indique bri`evement les r'esultats pour le cas o`u p est un premier

impair. On donne d'abord les ingr'edients essentiels, i.e., les op'erations

Qst, s, t   0, et P0s, s   0. En tenant compte des signes, les formules et

les r'esultats combinatoires sont 'etablis de la m^eme mani`ere. Ensuite, on

donne les r'esultats principaux dont les d'emonstrations sont similaires

`a celles du cas o`u p = 2.

D'efinition 13. Les op'erations Qst, s, t   0 sont d'efinies r'ecursivement

comme suit :               k

  1) Q00= fi et Q0k+1= [P p, Q0k], ce sont des Qt d'efinis par Milnor ;
             s-1    s        pk+s  s
  2) Qs0= P p   et Qk+1 = [P    , Qk], s   1.

Notation  4. Le symbole (n1, . .,.nd) = (2m1 + ffl1, . .,.2md + ffld),

ffli = 0 ou 1 (1   i   d), d'esigne l''el'ement tffl1um1   . . .tffldumd  2

H*(B(Z=p) d; Z=p), t 'etant de degr'e 1 et u 'etant de degr'e 2. Un tel

'el'ement est dit basique.

Notation 5. Comme d'habitude, P0 d'esigne l'op'eration d'efinie dans

un module instable par
                    æ
                       P |x|=2x,     si |x| = 0 mod  2;
              P0x =        (|x|-1)=2
                       fiP        x, si |x| = 1 mod  2.

On a donc

P0s(2m1 + ffl1, . .,.2md + ffld) = (2psm1 + 2ps-1ffl1, . .,.2psmd + 2ps-1ffld),

etP  Im(P0s)   (s         1)   est   l'ensemble   des   'el'ements   x    =
        s-1              s-1           *        d
  j2J(2p   n(j)1, . .,.2p   n(j)d) de H (B(Z=p)  ; Z=p). Par conven-
tion, P00 =  id. Ici, J  est un ensemble de d-uplets j, qu'on 'ecrit

(n(j)1, . .,.n(j)d), n(j)1, . .,.n(j)d = 0, 1 mod p, n(j)ffpeut ^etre nul.

  Puisqu'on a pour tout 'el'ement x d'un module instable et tout n   1,

            P pnP0x = P0P nx      et     P 1P0x = P0fix,

on peut donc 'etablir les propri'et'es de Qst, s, t   0, `a partir de celles de

Qt = Q0t. Une autre fa,con d''etablir les propri'et'es de Qstest d'utiliser le

fait que
             s-1     ps-1        ps-1-1    1             ps-1
       _*(P p  ) = P       1 + P         P  + . .+.1   P
           s-1            ps-1                           s
devient P p     1 + 1   P    , une d'erivation sur Im (P0).




            SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES           13


Lemme  5.  Soit  x  un  'el'ement  d'un  sous-module  instable  de

H*(B(Z=p) d; Z=p) tel que x 2 Im (P0s) - Im(P0s+1) et que Qstx = 0, 8

t = q, . .,.r. Alors r - q   d - 2.


Th'eor`eme 5. ([6], [10 ]) Soit X un espace ou un spectre, k   1, soit
                                      i                       pk
xP2 Hn (X; Z=p) tel que fix = 0 et P px = 0, 8 i < k, alors P  x 2
           pi
  i<kIm (P  ) + Im(fi).

D'efinition 14. Un module instable connexe M dont la filtration nil-

potente est de longueur finie est de type T , si

  1) M est non nul dans des degr'es arbitrairement grands ;

  2) Les quotients nilsM=nils+1M non triviaux s''ecrivent sous la forme

 miRmi, i = 1, . .,.t, m1 < . .<.mt, alors l'un des Rmi (que l'on note

Rm ) est non-trivial dans les degr'es n1 < n2 < . .,.et on suppose qu'il

existe d tel que tous les Rmi se plongent dans H*(B(Z=p) d; Z=p) ffd;

  3) On suppose alors qu'en degr'e sup'erieur ou 'egal `a m + n1, M

contient une lacune de longueur

  l   max {2mt(p - 1)pd+4, nj+1 - nj, j = 1, . .,.1 + d(p - 1)2pd-2}.


Condition 2. Soit M un module instable connexe dont la filtration

nilpotente est de longueur finie. On d'esigne par  miRmi les quotients

nilsM=nils+1M non triviaux, i = 1, . .,.t, m1 < . .<.mt.

  On dit que M v'erifie la condition 2 si

             mj - mi 6= 1, 2(p - 1),     8 1   i < j   t.


Th'eor`eme 6. Tout module instable connexe M dont la filtration nil-

potente est de longueur finie, qui est de type T  et v'erifie la condition

2, n'est pas r'ealisable, i.e., il n'existe aucun espace ou spectre X tel

que M = ~H*(X; Z=p).


           Appendice. Notes sur les op'erations Qst


  Dans  la  base  de  Milnor  de  l'alg`ebre  de  Steenrod  A2,  on  a  des

op'erations Qt, t   0, d'efinies r'ecursivement par les relations suivantes :

  1. Q0 = Sq1 ;
                 t+1    2t+1
  2. Qt+1 = QtSq2   - Sq    Qt.

  Ces op'erations ont des bonnes propri'et'es, plus pr'ecis'ement [8],


Proposition 3. 1. Soit M un module instable, on a 8 x 2 M,

  QrQtx = QtQrx, 8 t, r   0 ; Q2tx = 0.

  2. Pour M, N deux modules instables,

  Qt(x   y) = Qtx   y + x   Qty, 8 x 2 M, y 2 N.

  3. Si u est le g'en'erateur de H1(B(Z=2); Z=2),
                            t+1
  Qtu2l= 0 et Qtu2l+1= u2l+2  .




14                         DONGHUA JIANG


  Inspir'e  par  ces  propri'et'es,  on  a  construit  dans  la  section  2  les

op'erations Qst, s, t   0, qui poss`edent aussi ces propri'et'es sur Im (Sqs0).

Dans le reste de cette section, on d'ecrit quelques propri'et'es 'el'ementaires

de ces op'erations. Puis, on donne `a la fin les d'emonstrations du lemme

2 et du corollaire 2.

  D'abord, on compare ces op'erations avec les op'erations connues,

Pts+1, s, t   0. Voici deux propri'et'es 'el'ementaires :
                              s     s
  1. Q0t= Qt = Pt0+1, Qs0= Sq2  = P1.

  2. Qstest une op'eration de degr'e 2s(2t+1 - 1).

  D'apr`es ces deux propri'et'es, plus le fait que Pts+1est aussi une

op'eration de degr'e 2s(2t+1 - 1), une question curieuse est de savoir

quand ces deux op'erations coincident. En fait, quand st 6= 0, il semble

que le seul cas o`u ces deux op'erations coincident est Q11= P21.

  Pour effectuer le calcul des Qst, on note que l'on a une autre fa,con

de d'efinir les op'erations Qst, s, t   0 :

  1. Qs0= P1s;

  2. Qst+1= [Qst, P1t+s+1].

  Avec cette d'efinition, on peut exprimer Qsten terme de la base de Mil-

nor, `a l'aide de la formule multiplicative de cette base. Voici quelques

calculs qui comparent les Qstet Pts+1:

  1. Q11= P21, Q21= P22+ Sq(3, 3), Q31= P23+ Sq(6, 6) + Sq(3, 7).

  2. Q12= P31+ Sq(7, 0, 1) + Sq(4, 1, 1).

  Pour finir cette section, on donne ici les d'emonstrations du lemme 2

et du corollaire 2.

D'emonstration. (Lemme  2)  Soient  M  un  module  instable  et  x  un

'el'ement de M.

  Quand t = 0,
                           s+r  s      s  2r      s r
           Qs+t0Sqs0x = Sq2   Sq0x = Sq0Sq  x = Sq0Q0x.

  Si on suppose que Qs+rtSqs0x = Sqs0Qrtx pour t   t0, alors quand

t = t0 + 1, on a
                               t0+s+r+1    2t0+s+r+1s+r   s
     Qs+rt0+1Sqs0x=  (Qs+rt0Sq2        - Sq        Qt0 )Sq0x
                              t0+s+r+1 s      2t0+s+r+1s+r  s
                  =  Qs+rt0Sq2       Sq0x - Sq        Qt0 Sq0x
                                  t0+r+1     2t0+s+r+1 s r
                  =  Qs+rt0Sqs0Sq2     x - Sq        Sq0Qt0x
                                t0+r+1     s  2t0+r+1r
                  =  Sqs0Qrt0Sq2     x - Sq0Sq      Qt0x
                                 t0+r+1    2t0+r+1r
                  =  Sqs0(Qrt0Sq2      - Sq      Qt0)x

                  =  Sqs0Qrt0+1x.

Donc, par r'ecurrence sur t, on a Qs+rtSqs0x = Sqs0Qrtx, 8 r, s, t.

D'emonstration. (Corollaire 2) Les propri'et'es de Qt utilis'ees ci-dessous

sont dans la proposition 3.




            SUR LA R'EALISATION DES MODULES INSTABLES           15


  1. Soit M un module instable. Par le lemme 2, on a 8 x 2 M,

         QsrQstSqs0x =  QsrSqs0Q0tx  =   Sqs0Q0rQ0tx

                     =  Sqs0Q0tQ0rx  =   QstSqs0Q0rx

                     =  QstQsrSqs0x,                    8 t, r   0,

    et   (Qst)2Sqs0x =  QstSqs0Q0tx  =   Sqs0(Q0t)2x =  0.

  2. Supposons qu'il existe x0 2 M, y0 2 N  tels que x = Sqs0(x0),

y = Sqs0(y0), alors

          Qst(x   y) =   Qst(Sqs0(x0)   Sqs0(y0))

                     =   QstSqs0(x0  y0)

                     =   Sqs0Qt(x0  y0)

                     =   Sqs0(Qtx0  y0+ x0  Qty0)

                     =   Sqs0Qtx0  Sqs0y0+ Sqs0x0  Sqs0Qty0

                     =   Qstx   y + x   Qsty.

  3. On a

       QstSqs0u2l=   Sqs0Qtu2l    =  0.
                                              t+1      2s(2l+2t+1)
     QstSqs0u2l+1=   Sqs0Qtu2l+1  =  Sqs0u2l+2    =   u         .




                            R'ef'erences

 [1]J.F.Adams, On the nonexistence of elements of Hopf invariant one, Annals of
    Mathematics, 72 (1960), pp. 20-104.

 [2]P.Gabriel, Des cat'egories ab'eliennes, Bull. Soc. Math. France 90 (1962), *
 *pp.
    323-448.

 [3]H.W.Henn, J.Lannes et L.Schwartz, Localizations of unstable A-modules and
    equivariant mod p cohomology, Math. Ann. 301 (1995), No.1, pp. 23-68.

 [4]N.J.Kuhn, On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Ann*
 *als
    of Mathematics, 141 (1995), pp. 327-347.

 [5]J.Lannes et L.Schwartz, Sur la structure des A-modules instables injectifs,
    Topology (1989), Vol.28, No.2, pp. 153-169.

 [6]A.Liulevicius, The factorization of cyclic reduced powers by secondary coho*
 *mo-
    logy operations, Mem. A.M.S. 42 (1962).

 [7]L.Schwartz, La filtration nilpotente de la categorie U et la cohomologie des
    espaces de lacets, Algebraic topology_rational homotopy (Louvain-la-Neuve,
    1986), pp. 208-218, Lecture Notes in Math., 1318, Springer, Berlin (1988).

 [8]L.Schwartz, Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan's fixed
    point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics Series (1994).

 [9]L.Schwartz, La filtration de Krull de la cat'egorie U et la cohomologie des*
 * es-
    paces, Algebr. Geom. Topol. 1 (2001), pp. 519-548 (electronic).

[10]N.Shimada et T.Yamanoshita, On the triviality of the mod p Hopf invariant,
    Japan J.Math. 31 (1961), pp. 1-24.




16                         DONGHUA JIANG


  LAGA, Institut Galil'ee, Universit'e Paris Nord, 93430 Villetaneuse,
France
  E-mail address: donghua.jiang@polytechnique.org