________________________________________________________________________ LE TH'EOR`EME DE QUILLEN, D'ADJONCTION DES FONCTEURS D'ERIV'ES, REVISIT'E par Georges MALTSINIOTIS ______________________ R'esum'e. _ Le but de cet article est de donner une preuve originale tr`* *es facile, voire purement formelle, du th'eor`eme d'adjonction des foncteurs d'eriv'es, d^* *u `a Quillen [8], ainsi que de ses variantes et g'en'eralisations plus r'ecentes [3], [9]. * *Pour cela, on d'emontre un r'esultat, encore plus g'en'eral, d'adjonction des foncteurs* * d'eriv'es ' abso- lus ~. En contraste avec toutes les preuves connues, la d'emonstration de* * ce th'eor`eme est ind'ependante de la construction explicite des foncteurs d'eriv'es. Abstract. _ The aim of this paper is to present a very simple original, * *purely formal, proof of Quillen's adjunction theorem for derived functors [8], a* *nd of some more recent variations and generalizations of this theorem [3], [9]. This* * is obtained by proving an abstract adjunction theorem for "absolute" derived functors. I* *n contrast with all known proofs, the explicit construction of the derived functors * *is not used. On rappelle que pour toute cat'egorie C, et toute classe de fl`eches W de C,* * il existe, modulo des difficult'es ensemblistes, une cat'egorie W -1C, appel'ee localisati* *on de C par W , et un foncteur P : C __//_W -1C, appel'e foncteur de localisation, tran* *sformant toute fl`eche de C appartenant `a W en un isomorphisme de W -1C, et universel p* *our cette propri'et'e : pour toute cat'egorie D, et tout foncteur F : C __//_D tel * *que F (W ) soit contenu dans la classe des isomorphismes de D, il existe un unique foncteur Fe: W -1C __//_D tel que F = eFP . C II II P || IFIIII fflffl| I$$I W -1C ` eF``//`D La cat'egorie W -1C est obtenue de C en inversant formellement les fl`eches app* *artenant `a W ; elle a les m^emes objets que C, les morphismes 'etant des classes d''equ* *ivalence de ' zigzag composables ~ de morphismes de C, les fl`eches allant dans le ' mau* *vais sens ~ appartenant `a W (voir [4]). La cat'egorie W -1C peut ne pas ^etre local* *ement ____________ Classification math'ematique par sujets (2000). _ 18A40, 18E35, 18G10, 18G55, * *55P60, 55U35. 2 GEORGES MALTSINIOTIS petite, autrement dit, la classe des fl`eches d'un objet vers un autre n'est pa* *s en g'en'eral un ensemble. Ce probl`eme peut ^etre contourn'e en utilisant la th'eorie des un* *ivers de Grothendieck [1]. Dans cet article, pour simplifier, on pose la d'efinition sui* *vante. D'efinition. _Un localisateur est un couple form'e d'une cat'egorie C, et d'une* * classe W de fl`eches de C telles que la cat'egorie localis'ee W -1C soit localement pe* *tite. Exemples. _ Si C est une petite cat'egorie, pour tout ensemble de fl`eches W * *de C, le couple (C, W ) est un localisateur. Si C est une cat'egorie de mod`eles au sens* * de Quillen, et W la classe des 'equivalences faibles de C, alors (C, W ) est un localisateu* *r [8, Ch. I, 1.13, Th. 10]. Soient (C, W ) un localisateur, P : C __//_W -1C le foncteur canonique de lo* *calisation, et F : C __//_D un foncteur. On rappelle qu'un foncteur d'eriv'e `a droite de * *F est un couple (RF , ff), o`u RF : W -1C __//_D est un foncteur, et ff : F ___//RFO* *P un morphisme de foncteurs, CJJJ | JJJFJ P || ffJJJJJff fflffl|ffffJJ%%Jff W -1C __RF_____//_D satisfaisant `a la propri'et'e universelle suivante. Pour tout foncteur G : W -* *1C __//_D, et tout morphisme de foncteurs fl : F ___//G O P , il existe un unique morphism* *e de foncteurs ffi : RF __//_G tel que fl = (ffi ? P ) ff. F LL LL ff|| LLflLLL fflffl| L&&L RF OP _ffi_?/P/_G O P Cela signifie exactement que le foncteur RF (muni du morphisme de foncteurs ff)* * est une extension de Kan `a gauche de F , le long du foncteur de localisation P . O* *n dit que le couple (RF , ff) est un foncteur d'eriv'e `a droite absolu de F si pour * *tout foncteur H : D __//_E, le couple (H O RF, H ? ff) est un foncteur d'eriv'e `a droite de * *H O F . Un foncteur d'eriv'e `a droite absolu de F est en particulier un foncteur d'eriv'e* * `a droite de F (prendre H = 1D ). Exemple. _ Soient C une cat'egorie de mod`eles au sens de Quillen, et F : C _* *_//_D un foncteur transformant les 'equivalences faibles entre objets fibrants de C e* *n isomor- phismes de D. Alors F admet un foncteur d'eriv'e `a droite absolu (RF , ff). En* * effet, en vertu de [8, Ch. I, 4.2, Prop. 1], F admet un foncteur d'eriv'e `a droite (RF ,* * ff) construit comme suit. Pour tout objet X de C, on choisit une r'esolution fibrante iX : X * *__//_X0, et alors RF (X) = F (X0) et ffX = F (iX ) : F (X) __//_F (X0) = RF (X). Comme p* *our tout foncteur H : D __//_E, le foncteur compos'e H O F transforme les 'equivale* *nces LE TH'EOR`EME DE QUILLEN, D'ADJONCTION DES FONCTEURS D'ERIV'ES, REVISIT'E 3 faibles entre objets fibrants de C en isomorphismes de E, la m^eme construction* * four- nit un foncteur d'eriv'e `a droite du compos'e H O F qui n'est autre que (H O R* *F, H ? ff), ce qui prouve l'assertion. Soient (C, W ) et (C0, W 0) deux localisateurs, P : C __//_W -1C et P 0: C0 * *__//_W 0-1C0 les foncteurs de localisation, et F : C __//_C0 un foncteur. Un foncteur d'eriv* *'e total `a droite (resp. foncteur d'eriv'e total `a droite absolu) de F est un couple (* *_RF, ff), form'e d'un foncteur _RF : W -1C __//_W 0-1C0 et d'un morphisme de fonc* *teurs ff : P 0O F ___//_RFOP, qui est un foncteur d'eriv'e `a droite (resp. un foncte* *ur d'eriv'e `a droite absolu) de P 0O F . C ____F_____//_C0 | | P || ff |P0| fflffl| fflffl| W -1C ___RF_//W 0-1C0 Exemple. _ Soient C et C0 deux cat'egories de mod`eles au sens de Quillen, et F : C __//_C0un foncteur transformant les 'equivalences faibles entre objets fi* *brants de C en 'equivalences faibles de C0. Alors F admet un foncteur d'eriv'e total `* *a droite absolu. En effet, si P 0d'esigne le foncteur de localisation de C par ses 'equi* *valences faibles, le foncteur P 0O F transforme les 'equivalences faibles entre objets f* *ibrants de C en isomorphismes, et l'assertion est un cas particulier de l'exemple pr'ec'ed* *ent. Les notions de foncteur d'eriv'e `a gauche, de foncteur d'eriv'e `a gauche a* *bsolu, de foncteur d'eriv'e total `a gauche, et de foncteur d'eriv'e total `a gauche abso* *lu se d'efinissent de fa,con duale. Th'eor`eme. _ Soient (C, W ) et (C0, W 0) deux localisateurs, P : C __//_W -1* *C et P 0: C0 __//_W 0-1C0les foncteurs de localisation, F : C ___//_C0 , G : C0 ___//_C un couple de foncteurs adjoints, et " : F O G ___//_1C0 , j : 1C ___//_G O F les morphismes d'adjonction. On suppose que le foncteur F (resp. G) admet un fo* *nc- teur d'eriv'e total `a gauche (resp. `a droite) absolu (_LF, ff) (resp. (_RG, f* *i)). C _____F____//_C0 C0_____G_____//C | AI | | | P || ff P0|| P0|| fi P|| fflffl| fflffl| fflffl| fflffl| W -1C ___LF_//W 0-1C0 W 0-1C0__RG__//W -1C Alors les foncteurs L_F : W -1C ___//_W 0-1C0 , _RG: W 0-1C0 ___//_W -1C 4 GEORGES MALTSINIOTIS forment un couple de foncteurs adjoints, et on peut choisir les morphismes d'ad* *jonc- tion _" : _LFO _RG___//_1W0-1C0 , _j : 1W-1C ___//__RGO _LF de sorte que les deux carr'es suivants soient commutatifs. ___LF?_fi//_ 0 0 o_RG?off_ L_FOP O G _LFO _RGOP _RGOPOOOF R_G OO_LFOPO ff ?|G| _"|?|P0 fi ?|F| |_j|? P fflffl| fflffl| | | P 0O F O G__P0?_"____//_P 0 P O G O Foo_P_?_j_____P D'emonstration. _Comme (_RG, fi) (resp. (_LF, ff)) est un foncteur d'eriv'e tot* *al `a droite (resp. `a gauche) absolu de G (resp. de F ), autrement dit un foncteur d* *'eriv'e `a droite (resp. `a gauche) absolu de P O G (resp. de P 0O F ), le couple (_LFO _R* *G, _LF? fi) (resp. (_RGO _LF, _RG? ff)) est un foncteur d'eriv'e `a droite (resp. `a gauche* *) de _LFOP OG (resp. de _RGOP 0O F ). La propri'et'e universelle de ce foncteur affirme que p* *our tout foncteur H0 : W 0-1C0 __//_W 0-1C0 (resp. H : W -1C __//_W -1C) et tout morphis* *me de foncteurs fl0 : _LFOP O G __//_H0O P 0(resp. fl : H O P ___//_RGOP 0O F ), il e* *xiste un morphisme de foncteurs unique ffi0: _LFO _RG___//_H0 ( resp.ffi : H ___//__RGO _LF) tel que fl0= (ffi0? P 0)(_LF? fi) ( resp.fl = (_RG? ff)(ffi ? P ) ) . En appliquant cette propri'et'e universelle au foncteur H0= 1W0-1C0(resp. H = 1* *W-1C ) et au morphisme de foncteurs compos'e 0? " fl0= (P 0?")(ff ? G) : L_FO P O G_ff_?/G/_P 0O F_OPG__//P=01W0-1C0OP 0 (resp.fl = (fi ? F )(P ? j) : 1W-1C O P = P _P_?_j//_P O G OfFi_?/F/__RGO P 0O)* *F, C0QQQQ C0QQQQ | QQQQQQLFOPOGQ | QQQQQQLFOPOGQ P0 || _QQQQQ P0|| _QQQQQ | iiii_fiLQQQQQF?fi | "(P0?")(ff?GQQQQQ) fflffl| ((Q fflffl| Q(( W 0-1C0_______LFO__RG___//W 0-1C0 W 0-1C0_____1W0-1C0____//_W 0-1C0 CPPPP C PPPP | PPPPPPRGOP0OFP | PPPPPPRGOP0OFP P|| DL _PPPPP P|| _PPPPP | _RG?iiiiff PPPPP | (fi?F)zzz9APPPPP(P?j) fflffl| P(( fflffl| z P(( W -1C ______RGO__LF___//_W -1C W -1C _____1W-1C______//_W -1C LE TH'EOR`EME DE QUILLEN, D'ADJONCTION DES FONCTEURS D'ERIV'ES, REVISIT'E 5 on en d'eduit qu'il existe un morphisme de foncteurs _" : _LFO _RG___//_1W0-1C0 (resp._j : 1W-1C ___//__RGO _LF) tel que (P 0? ")(ff ? G) = (_" ? P 0)(_LF? fi) (resp. (fi ? F )(P ? j) = (_RG? ff)(* *_j ? P ) ), et que ce morphisme est unique. Pour conclure, il reste `a montrer les relations (_RG? _")(_j ? _RG) = 1_RG et (_" ? _LF)(_LF? _j) = 1_LF . ___j_?_RG//_ __RG?__"//_ R_G _RGO _LFO _RG R_G ___LF?__j//_ ___"_?_LF//_ _LF _LFO _RGO _LF L_F En vertu de la partie unicit'e de la propri'et'e universelle des foncteurs d'er* *iv'es, il suffit de montrer que h i h i (_RG? _")(_j ? _RG) ? P 0fi = fi et ff (_" ? _LF)(_LF? _j) ? P * *= ff . V'erifions par exemple la premi`ere de ces deux 'egalit'es : h i (_RG? _")(_j ? _RG) ? P 0fi = (_RG? _" ? P 0)(_j ? _RGOP 0)fi = h i = (_RG? _" ? P 0)(_RGO _LF? fi)(_j ? P O G) = _RG? (_" ? P 0)(_LF? fi) (_j* * ? P O G) h i = _RG? (P 0? ")(ff ? G) (_j ? P O G) = (_RGOP 0? ")(_RG? ff ? G)(_j ? P O * *G) h i h i = (_RGOP 0? ") (_RG? ff)(_j ? P ) ? G = (_RGOP 0? ") (fi ? F )(P ? j) ? G = (_RGOP 0? ")(fi ? F O G)(P ? j ? G) = fi(P O G ? ")(P ? j ? G) h i = fi (P ? (G ? ")(j ? G) = fi . La seconde 'egalit'e se v'erifie de fa,con duale. * * |___| Corollaire. _ (Th'eor`eme d'adjonction de Quillen de foncteurs d'eriv'es.) Soient C et C0 deux cat'egories de mod`eles au sens de Quillen, et F : C ___//_C0 , G : C0 ___//_C un couple de foncteurs adjoints. On suppose que F (resp. G) transfor* *me les 'equivalences faibles entre objets cofibrants de C (resp. entre objets fibrants* * de C0) en 'equivalences faibles de C0 (resp. de C). Alors F (resp. G) admet un foncteur d* *'eriv'e total `a gauche (_L,ff) (resp. `a droite (_RG, fi)), et le foncteur _LF est un * *adjoint `a gauche du foncteur _RG. 6 GEORGES MALTSINIOTIS D'emonstration. _En effet, en vertu de l'exemple qui pr'ec`ede le th'eor`eme, a* *insi que de son dual, ces foncteurs d'eriv'es existent et sont absolus. Le corollaire es* *t donc un cas particulier du th'eor`eme ci-dessus. * *|___| Remarques. _ Dans son livre [8], Quillen d'emontre son th'eor`eme d'adjonctio* *n sous les hypoth`eses suppl'ementaires que F respecte les cofibrations et G les fibra* *tions [loc. cit. Ch. 1, 4.5 Th. 3], mais il r'esulte de ce qui pr'ec`ede que ces hypo* *th`eses sont superflues. Dans les livres plus r'ecents de Hovey [6] et de Hirschhorn [5], on* * d'emontre le th'eor`eme d'adjonction de Quillen avec des hypoth`eses encore plus fortes e* *n deman- dant que (F, G) soit une adjonction de Quillen entre cat'egories de mod`eles fe* *rm'ees, et de plus avec d'ecompositions fonctorielles. Les variantes du th'eor`eme d'ad* *jonction dans un cadre plus g'en'eral que celui des cat'egories de mod`eles de Quillen, * *obtenues par Dwyer, Hirschhorn, Kan et Smith [3], ou par Radulescu-Banu [9], dans son texte * *sur les cat'egories de mod`eles d'Anderson-Brown-Cisinski, alias cat'egories d'eriv* *ables [2], sont 'egalement des cas particuliers du ' th'eor`eme d'adjonction des foncteurs* * d'eriv'es absolus ~, d'emontr'e ci-dessus. Dans un texte en pr'eparation avec Bruno Kahn * *[7], on appliquera ce dernier th'eor`eme pour prouver une g'en'eralisation du th'eor* *`eme d'ad- jonction de Radulescu-Banu, impliquant tous les cas connus d'adjonction de fonc* *teurs d'eriv'es. R'ef'erences [1]M. Artin, A. Grothendieck & J.-L. Verdier - Th'eorie des topos et cohomologi* *e 'etale des sch'emas (SGA4), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269, Springer-Verlag* *, 1972. [2]D.-C. Cisinski - ' Cat'egories d'erivables ~, Pr'epublication, 2002. [3]W. G. Dwyer, P. S. Hirschhorn, D. M. Kan & J. H. Smith - Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories, Mathematical Survey* *s and Mo- nographs, Vol. 113, American Mathematical Society, 2004. [4]P. Gabriel & M. Zisman - Calculus of fractions and homotopy theory, Ergebnis* *se der Mathematik, Band 35, Springer-Verlag, 1967. [5]P. S. Hirschhorn - Model categories and their localizations, Mathematical Su* *rveys and Monographs, Vol. 99, American Mathematical Society, 2002. [6]M. Hovey - Model categories, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 63, A* *merican Mathematical Society, 1999. [7]B. Kahn & G. Maltsiniotis - En pr'eparation. [8]D. Quillen - Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 43, Spr* *inger- Verlag, 1967. [9]A. Radulescu-Banu - ' Cofibrations in homotopy theory ~, Pr'epublication, 20* *06. _______________ Georges MALTSINIOTIS, Institut de Math'ematiques de Jussieu, Universit'e Paris * *7 Denis Diderot, Case Postale 7012, 2, place Jussieu, F-75251 PARIS cedex 05, FRANCE E-mailm:altsin@math.jussieu.fr o Url : http://www.math.jussieu.fr/emaltsin/