Sur l'anneau de Grothendieck de la cat'egorie des modules instables Lionel Schwartz 19 octobre 2003 R'esum'e Dans cet article on calcule l'anneau de Grothendieck de la cat'egorie d* *es modules instables de type fini et de la cat'egorie obtenue par quotient par la sou* *s-cat'egorie des modules instables nilpotents. Les r'esultats principaux montrent que l* *a s'erie de Poincar'e, ou un substitut ad'equat d'eterminent ces groupes. On peut d* *e plus caract'eriser les s'eries repr'esentant un module instable. Ce type de suj* *et a d'ej`a 'et'e abord'e par N. Kuhn dans [K2] d'un point de vue de th'eorie des repr'esent* *ations, on retrouve ses r'esultats au long du d'eveloppement. 1 Introduction Soit U la cat'egorie des modules instables sur l'alg`ebre de Steenrod A2. Un A2* *-module M est dit instable si pour tout x 2 M on a Sqi(x) = 0 d`es que i < |x|, o`u |x| d* *'esigne le degr'e de l''el'ement x. Dans toute la suite A2-module instable sera abr'eg'e module i* *nstable. L'objet de cet article est de d'eterminer l'anneau de Grothendieck G0(U) des mo* *dules instables de type fini, c'est-`a-dire ayant un nombre fini de g'en'erateurs en * *tant que A2- module. Cet anneau est d'efini, comme groupe, comme suit : - L(U) est le groupe ab'elien libre engendr'e par les classes d'isomorphisme de* * A2-modules de type fini, 'etant un module M de type fini on note [M] sa classe dans L(U)* * ; - R est le sous-groupe engendr'e par les 'el'ements de la forme [M] - [M0] - [M* *"] pour toute suite exacte 0 -! M0 -! M -! M" -! 0 ; - G0(U) est alors le groupe quotient L(U)=R. La formule de Cartan permet de d'efinir sur le produit tensoriel de deux A2-mod* *ules une structure de A2-module. En particulier le produit tensoriel de deux modules ins* *tables est naturellement un module instable. Le groupe G0(U) est donc muni d'une struc* *ture d'anneau. L'application qui `a un module M associe sa s'erie de Poincar'e PM (q) est un h* *omomor- phisme d'anneaux de G0(U) dans Z[[q]]. Le premier r'esultat principal de cet ar* *ticle est : 1 Th'eor`eme 1.1 L'homomorphisme G0(U) -! Z[[q]] est injectif. Ce r'esultat avait 'et'e 'enonc'e dans [Sc1]. Soit N il la sous-cat'egorie pleine de U constitu'ee par les modules instables * *nilpotents, c'est-`a-dire les modules qui sont limites directes de modules instables ayant * *une filtration finie dont les quotients sont des suspensions. On consid`ere aussi l'anneau de * *Grothendieck de la cat'egorie quotient U=N il, soit G0(U=N il), d'efini de mani`ere analogue* * `a ce qui est fait ci-dessus. Cet anneau va ^etre identifi'e `a un anneau de fonctions. A cette fin introduis* *ons des nota- tions. Pour un entier n ff(n) d'esigne le nombre de puissances de 2 dans la d'e* *composition 2-adique de n. Etant donn'ee une famille -suppos'ee croissante- d'entiers impairs k = (k1, . .* *,.kt), ou la famillePconstitu'ee par l'entier 0 on notera Vk pour l'ensemble des entiers de * *la forme iki2ui, la famille des entiersPui 'etant quelconque. L'entier t sera appel'e * *la longueur de k et not'e `(k), l'entier iff(ki) sera appel'e la longueur 2-adique de k et n* *ot'e ff(k). Soit IZ le sous-groupe des fonctions fl de N dans Z satisfaisant aux propri'et'* *es suivantes : 1.fl(2i) = fl(i) pour tout i ; 2.fl(i) = 0 d`es que ff(i) est assez grand ; 3.pour tout k la fonction fl est constante sur Vk, sauf 'eventuellement sur * *l'intersection avec Vk d'une r'eunion finie de Vl, o`u soit ff(l) < ff(k), soit ff(l) = f* *f(k) et `(l) < `(k). Le groupe IZ peut ^etre muni, gr^ace `a la premi`ere et `a la seconde condition* *, d'une structure d'alg`ebre via le produit de convolution d'efini pour ', _ 2 C par : X ' * _(i) = '(l)_(k) . l+k=2hi Voici le second r'esultat principal de l'article. Th'eor`eme 1.2 L'anneau de Grothendieck G0(U=N il) est isomorphe `a IZ. Voici maintenant une version är tionnelle" de ce r'esultat : Proposition 1.3 L'anneau G0(U=N il) Q ~=IZ Q est isomorphe `a une alg`ebre* * po- lyn^omiale Q[Ø1, Ø3, . .Ø.2h+1, . .].. Des versions pr'eliminaires de ces r'esultats avait 'et'e annonc'e entre autres* * au MSRI en 1989. Ce probl`eme a 'etudi'e dans un contexte quelque peu diff'erent par N. Kuhn [K2* *], celui de ce qu'il appelle "les repr'esentations g'en'eriques", son r'esultat identifie un c* *ertain anneau de Grothendieck au ~-anneau universel en un g'en'erateur quotient'e par la relatio* *n _2 = Id, re- lation que l'on verra appara^itre dans l'article. En fait le r'esultat de Kuhn * *vaut pour tout les corps finis. L''equivalence des points de vue entre "repr'esentations g'en'eriq* *ues" et modules instables modulo les modules nilpotents avait 'et'e d'emontr'e dans [HLS] (ant'* *erieurement 2 `a la la terminologie introduite par Kuhn). Ceci 'etant les th'eor`emes ci-dess* *us, sauf 1.3, ne d'erivent pas de cette 'equivalence et du r'esultat de Kuhn. Ils n'ecessiten* *t la techno- logie de [Sc1]. De plus les invariants introduits (et ce malgr'e leur nom de äc* * ract`eres") sont sp'ecifiques aux modules instables, leur interpr'etation en termes de repr* *'esentations (g'en'eriques ou non) demeure `a bien des 'egards myst'erieuses. Un autre aspec* *t qui distingue ce travail de celui de Kuhn est qu'il est reli'e aux repr'esentations des group* *es sym'etriques et non des groupes lin'eaires (ce qui est le cas de l'analyse de Kuhn), et qu'i* *l pr'esente donc l'autre versant de la correspondance classique entre module de Specht et m* *odules de Weyl. Le plan de l'article suit. Dans la seconde section on rappelle les pr'erequis sur les modules instables : * *modules libres, r'eduits et nilpotents et le fait (Massey-Peterson) que la cat'egorie e* *st localement noeth'erienne. Dans la troisi`eme on commence par une remarque sur le noyau G0(U) -! G0(U=N il* *) et la structure de l'anneau gradu'e associ'e `a la filtration de G0(U) par les pui* *ssances de cet id'eal. Puis on montre comment associer `a la classe dans U=N il d'un module in* *stable M une fonction sur les entiers qui joue le r^ole d'un caract`ere. Cette fonction * *associe `a un entier k la dimension comme espace vectoriel de la colimite M^k suivante : qk Sq2qk 2q+1k . .-.---!M2 ----! M ----! . . .. Ces fonctions ont deux propri'et'es remarquables : elles prennent la m^eme vale* *ur en k et 2k pour tout entier k, de plus elles sont nulles sur les entiers d d`es que ff(d) * *est assez grand. Elles se comportent bien pour la somme et un produit de type convolution. On 'e* *nonce alors (th'eor`eme 3.9) le fait qu'elles d'eterminent la classe de l'objet dans * *l'anneau de Gro- thendieck. Plus pr'ecisement l'homomorphisme d'anneau qui `a un 'el'ement de G0* *(U=N il) associe la fonction d'efinie plus haut (dans l'espace des fonctions de N dans Z* *) est injectif. La d'emonstration du th'eor`eme 3.9 est donn'e dans les sous-sections 3.2 et 3.* *3. Elle re- pose dans une large mesure sur la construction d'objets particuliers dans G0(U=* *N il), construction inspir'ee par la construction de M. Atiyah des op'erations d'Adams* *. Les fonc- tions correspondant `a ces 'el'ements sont celles qui prennent la valeur 1 sur * *tous les entiers de la forme k2h, avec k entier impair fix'e et h quelconque, ces fonctions enge* *ndrent une sous-alg`ebre polyn^omiale. Dans la section 4 on rappelle quelques r'esultats de base sur les ~-anneaux que* * l'on applique au contexte en particulier en section 5 pour la construction d'objets sp'ecifiq* *ues. Puis on d'emontre aussi le th'eor`eme 1.1 qui est alors cons'equence de 3.9 et de l'exi* *stence et des propri'et'es de la filtration nilpotente sur les modules instables. On fait le * *lien avec le travail de Kuhn. Dans la cinqui`eme on 'etudiera la structure de G0(U=N il) `a l'aide d* *e l'alg`ebre d'ecrite ci-dessus. On ne travaillera dans cet article que pour p = 2, mais les r'esultats s''etend* *ent `a p quelconque, et m^eme `a des corps finis quelconques suivant les constructions d* *e Kuhn. 3 L'auteur tient `a remercier N. Kuhn pour des remarques pertinentes sur la r'eda* *ction de l'article, et F. Neumann de l'avoir motiv'e pour l'achever. 4 Table des mati`eres 1 Introduction 1 2 Rappels sur les modules instables 6 3 Th'eorie des caract`eres pour la cat'egorie U=N il * * 8 3.1 Caract`eres pour les objets de U=N il . . . . . . . . . . . . . . . .* * . . . . . 8 3.2 D'emonstration du th'eor'eme 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* * . . . . . 10 3.3 D'emonstration de la proposition 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . .* * . . . . 13 4 Structure de ~-anneau, d'emonstration du th'eor`eme 1.1. 16 5 La structure d'alg`ebre de G0(U=N il). 20 5.1 L'alg`ebre IZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * *. . . . . . . 20 5.2 La structure d'alg`ebre de G0(U=N il). . . . . . . . . . . . . . . . .* * . . . . . 23 5 2 Rappels sur les modules instables Un A2-module M est dit instable si pour tout x 2 M on a Sqi(x) = 0 d`es que i <* * |x|, o`u |x| d'esigne le degr'e de l''el'ement x. Suivant l'usage on note : U -! * *U le foncteur suspension : 'etant donn'e un module instable M le module instable M est donn'* *e par ( M)n = Mn-1 et, avec une notation 'evidente, `( x) = (`x). Pour tout n 0 le* * module instable nF2 est simple. En fait : Proposition 2.1 Tout objet simple de U est isomorphe `a nF2 pour un entier n * *bien d'etermin'e. D'emonstration : Soit M un module instable, soit M* n le sous-espace des 'el'em* *ents de degr'e sup'erieur ou 'egal `a n. C'est un sous-module. Ceci d'etermine une f* *iltration d'ecroissante par des modules instables M. On en conclut ais'ement qu'un module* * instable simple ne peut ^etre non nul qu'en un seul degr'e. Mais l'anneau G0(U) n'est pas engendr'e par les classes [ nF2], en effet la cla* *sse d''equivalence d'un module monog`ene infini n'est pas combinaison lin'eaire de celles ci. Le öm dule instable libre en un g'en'erateur 'n de degr'e n", not'e F (n), est * *uniquement d'etermin'e `a isomorphisme pr`es par le fait que la transformation : Hom U(F (n), M) -! Mn, f 7! f('n) , est une 'equivalence naturelle de foncteurs. Le module F (n) est le quotient du* * module nA2 par le sous-module engendr'e par les 'el'ements de la forme nSqI o`u SqI est u* *ne op'eration dont l'exc`es e(I) est strictement plus grand que n. Il admet pour base comme F* *2-espace vectoriel gradu'e les 'el'ements nSqI, que l'on notera aussi SqI'n, avec e(I) * * n. On renvoie `a [SE] pour les d'etails. Par d'efinition les modules F (n) sont projectifs. U* *n module instable de type fini est un module instable qui admet un nombre fini de g'en'erateurs c* *omme A2- module. Proposition 2.2 Tout module instable de type fini est quotient d'une somme dir* *ecte finie ffF (nff). On saisit l'opportunit'e pour rappeler le : Th'eor`eme 2.3 (Massey, Peterson) Tout sous-module d'un module instable de type* * fini est de type fini. Dans le contexte pr'esent il sera commode de d'ecrire les modules F (n) comme s* *uit [LZ]. La cohomologie modulo 2 du classifiant BZ=2 est isomorphe `a l'alg`ebre de polyn^o* *mes F2[u] en un g'en'erateur u de degr'e 1. Le module F (1) s'identifie au sous-module engen* *dr'e par cette * * n classe. Il a pour base en tant que F2-espace vectoriel gradu'e le syst`eme {u, * *u2, . .,.u2 , . .}.. La formule de Cartan it'er'ee munit F (1) n d'une structure de module instable.* * L'action du groupe sym'etrique Sn qui agit par permutation des facteurs est A2-lin'eaire. P* *ar d'efinition de F (n) la classe u___._.-.uz____"d'etermine une application 'n de F (n) dans * *F (1) n : n fois 6 Proposition 2.4 (LZ) L'application 'n est un isomorphisme de F (n) vers le so* *us-module des invariants du groupe sym'etrique (F (1) n)Sn . Voici un corollaire imm'ediat des 'enonc'es pr'ec'edents : Proposition 2.5 Soit M un module instable de type fini. Si ff(d) est sup'erieu* *r `a une constante ne d'ependant que de M alors Md = {0}. En effet le r'esultat est vrai pour les modules F (n). Introduisons encore quelques d'efinitions. Soit M un module instable, l'applica* *tion Sq 0x 7! Sq|x|(x), M -! M , est not'ee Sq0. D'efinition 2.6Un module instable est r'eduit si pour tout i et tout q l'applic* *ation Sq0 est injective. Par exemple les modules F (n) sont r'eduits ; le module nF2 est r'eduit si et * *seulement si n = 0. D'efinition 2.7Un module instable M est nilpotent si il est limite directe de m* *odules instables ayant des filtrations finies dont les quotients sont des suspensions. Lemme 2.8 Un module instable est nilpotent si et seulement si l'application * *Sq0 est nilpotente sur tout 'el'ement x. Observons qu'un module est r'eduit si et seulement si tout sous-module nilpoten* *t contenu dans M est trivial. La sous-cat'egorie pleine N ili de U est la plus petite sou* *s-cat'eorie ab'elienne 'epaisse, stable par limite directe, contenant toutes les i-i`eme su* *spensions [Sc1]. Un module instable M poss`ede une filtration nilpotente : M = M0 M1 . . .Mi . . ., o`u Mi est le plus grand sous-objet de M qui soit dans N ili. Proposition 2.9 (voir [Sc1] lemme 6.1.4) Le module quotient Mi=Mi+1 est la i-i* *`eme suspension d'un module r'eduit que l'on notera Ri(M). Si le module M est de type fini la filtration nilpotente de M est finie : Mh+i * *= {0} pour tout i > 0, pour un entier h assez grand. Si Mh 6= {0} l'entier h sera appel'e * *la profondeur de M. Le lecteur pourra aussi consulter [K] section 2 sur ces questions. 7 3 Th'eorie des caract`eres pour la cat'egorie U =N il 3.1 Caract`eres pour les objets de U =N il La cat'egorie N il est la sous-cat'egorie pleine de U dont les objets sont les * *modules instables nilpotents. Autrement dit c'est la plus petite sous-cat'egorie pleine, 'epaisse* *, stable par limite directe qui contienne toutes les suspensions. La sous-cat'egorie N il est 'epaisse dans U on peut d'efinir la cat'egorie quot* *ient U=N il ([HLS], [Sc1]), cette cat'egorie est ab'elienne, ses objets sont ceux de la cat* *'egorie U, ses morphismes sont obtenus `a partir de ceux dans U en inversant formellement ceux* * dont le noyau et le conoyau sont des modules nilpotents. En particulier un module ni* *lpotent est isomorphe `a l'objet trivial dans la cat'egorie quotient. Le produit tensor* *iel dans U induit un produit tensoriel dans U=N il. Le foncteur oubli O : U -! U=N il est* * exact et tout foncteur exact de U vers une cat'egorie ab'elienne qui est trivial sur N i* *l factorise de mani`ere unique au travers de ce foncteur. On d'efinit l'anneau G0(U=N il) comme on a d'efini l'anneau G0(U), 'etant enten* *du que par d'efinition un objet de type fini dans U=N il est l'image par le foncteur oubli* * d'un module de type fini dans U. On fait alors la m^eme construction que pour G0(U). On va donner dans cette section donner une premi`ere approximation aux calculs * *de G0(U=N il) et de G0(U), l'essentiel de la section sera consacr'e au cas de G0(U* *=N il). Cependant on va commender par pr'eciser leurs liens. Le foncteur oubli U -! U=N il induit un homomorphisme d'anneaux : G0(U) -! G0(U=N il) , et que si oe d'esigne la classe de F2 dans G0(U) on a la : Proposition 3.1 Le noyau de l'oubli G0(U) -! G0(U=N il) est l'id'eal engendr'e* * par la classe oe. De plus le gradu de G0(U) associ'e `a la filtration induite par l'id* *'eal engendr'e par la classe oe est isomorphe `a G0(U)[oe]. D'emonstration : Soit un module instable M de type fini, sa filtration nilpoten* *te : {0} = Mh+1 Mh Mh-1 . . .M0 = M Mi=Mi+1est dePla forme iRi, avec Rir'eduit (Proposition 2.9). Comme iR ~= iF2* * R on a [M] = i=0,...,hoei[Ri] 2 G0(U). Le r'esultat suit car par construction d* *e la cat'egorie U=N il un module r'eduit non trivial a une classe non nulle dans G0(U=N il) alo* *rs que oe a une image nulle. En fait le noyau est par les r'esultats classiques de K-th'eor* *ie l'image de G0(N il) dans G0(U). La seconde partie du rsultat suit (Chapitre 6 de [Sc1] ou [K] section 2, on peu* *t aussi se r'ef'erer `a l'article originel L. Schwartz, Proceedings LLN, Springer LNM 1318* * (1988)). On introduit maintenant une fonction qui tient lieu de caract`ere pour les obje* *ts de U=N il. Soit M un module instable de type fini, et soit i un entier, consid'erons le sy* *st`eme direct suivant index'e par q : 8 qi Sq2qi 2q+1i . .-.---!M2 ----! M ----! . . ., soit M^isa colimite. C'est un espace vectoriel de dimension finie. En effet, pa* *r exactitude `a droite de la limite directe, il suffit de le v'erifier pour les modules inst* *ables F (n) et donc pour les modules F (1) n. Pour ce dernier cas c'est un probl`eme facile de comb* *inatoire. Lemme 3.2 (FS) Soit M un module instableqr'eduit de type fini, alors la limi* *te ci-dessus est atteinte, i.e l'application Sq2 iest un isomorphisme pour q assez grand. Encore une fois il suffit de le v'erifier pour les modules instables F (n). Etant donn'e un module instable M on d'efinit la fonction flM : N -! N par flM (i) = dimF2(M^i) . Proposition 3.3 La fonction flM ne d'epend que de la classe de M dans U=N il. D'emonstration : En effet, par construction de U=N il il suffit de montrer que * *si on a un homomorphisme ' : M -! N dont le noyau et le conoyau sont objets de la cat'e* *gorie N il, alors flM = flN . Le r'esultat r'esulte alors du lemme suivant, lui m^em* *e cons'equence directe de la d'efinition d'un module nilpotent : Lemme 3.4 Si K 2 N il alors la fonction flK est nulle. En effet l'espace vectoriel ^Kiest trivial pour tout i. La proposition 3.3 suit car si on a une suite exacte {0} -! M0 -! M -! M" -! {0* *}, alors flM = flM0 + flM" . Par construction : Proposition 3.5 On a flM (2i) = flM (i) pour tout i. Proposition 3.6 La fonction flM est nulle sur les valeurs i telles que ff(i) e* *st assez grand. D'emonstration : Cette derni`ere proposition r'esulte de 2.5. Soit C le sous-groupe des fonctions de N dans Z satisfaisant aux propri'et'es d* *e (3.5) et (3.6). Le groupe C peut ^etre muni d'une structure d'alg`ebre via le produit de* * convolution d'efini par le lemme suivant : Lemme 3.7 Soient ', _ 2 C, la valeur X ' * _(i) = '(l)_(k) , l+k=2hi ne d'epend pas de h, d`es que celui ci est choisi assez grand. Cette formule d'* *etermine une structure d'alg`ebre sur C. 9 On doit v'erifier d'abord que la somme ci-dessus est finie. Ceci est cons'equen* *ce des hy- poth`eses de la proposition 3.6. Puis on doit v'erifier que la valeur obtenue n* *e d'epend pas de h d`es que celui ci est assez grand. Cela r'esulte des hypoth`eses de la pro* *position 3.5. Ces deux exercices sont faciles. Par calcul direct on a : Lemme 3.8 Soient M et N deux modules instables, la fonction flM N est 'egal* *e `a flM *flN . Comme il a 'et'e dit plus haut si on a une suite exacte 0 -! M0 -! M -! M" -! 0* * on a flM = flM0 + flMö n en conclut que l'on a un homomorphisme d'anneaux : G0(U=N il) -! C . Voici le r'esultat fondamental de cette section. Th'eor`eme 3.9 L'homomorphisme [M] 7! flM , G0(U=N il) ! C, est injectif. 3.2 D'emonstration du th'eor'eme 3.9 La d'emonstration d'epend de la filtration öp lyn^omiale" sur la cat'egorie U=N* * il que l'on commence par rappeler. Soit Vn la sous-cat'egorie pleine de U=N il d'efinie com* *me suit. Un objet M de U=N il est dans Vn si et seulement si la fonction flM est nulle sur* * tout d tel que ff(d) > n. D'apr`es le lemme 2.5 la classe dans U=N il de tout module insta* *ble M de type fini est dans une sous-cat'egorie Vn pour un certain entier n. Remarque 3.10 On remarquera que cette condition a lieu pour tout module inst* *able r'eduit L dont la classe dans U=N il est 'egale `a M. La filtration de U=N il par les sous-cat'egories pleines Vn est convergente : Proposition 3.11 La plus petite sous-cat'egorie de U=N il contenant tous les V* *n et stable par limite directe est U=N il elle m^eme. De plus on a : Th'eor`eme 3.12 La cat'egorie quotient Vn=Vn-1 est 'equivalente `a la cat'egor* *ie des modules sur F2[Sn]. On renvoie `a [FS] et [Sc1] pour les d'etails. Corollaire 3.13 On a des isomorphismes de groupes G0(Vn) ~= 0 i n G0(ModF2[Si]) ; et G0(U=N il) ~= n 0 G0(ModF2[Sn]) . 10 La d'emonstration du corollaire est laiss'ee au lecteur, elle est essentielleme* *nt dans [Sc1], et expliqu'ee en d'etails dans [Pi] et est cons'equence en tout 'etat de cause * *des 'enonc'es de [Ga]. Le rang de G0(Vn) est donc la somme des rangs des groupes G0(ModF2[Si]) pour 0 i n. Or le rang de G0(ModF2[Si]) est 'egal au nombre de classes d'isomorphism* *e de F2-repr'esentations irr'eductibles de Si. La th'eorie des repr'esentations en c* *aract'eristique 2 [Se] montre que c'est aussi le nombre de classe de conjugaison d'ordre premier * *`a 2 dans le groupe sym'etrique Si. Le rang de G0(ModF2[Si]) est donc 'egal au nombre de par* *titions de l'entier i en entiers impairs et le rang de G0(Vn) est 'egal 'a la somme sur i * *compris entre 0 et n du nombre de partitions de l'entier i en entiers impairs. Soit la Q-sous-alg`ebre I C Q engendr'ee (comme Q-alg`ebre) par les fonctio* *ns Øk, pour k entier impair, d'efinies par : - Øk(n) = 1 si n = 2hk, - Øk(n) = 0 sinon. Proposition 3.14 La sous-alg`ebre I est polyn^omiale en les Øk. Il en r'esulte : Corollaire 3.15 L'image de G0(U=N il) dans C est, apr`es tensorisation par Q, * *'egale `a Q[Ø1, . .,.Øk, . .].. La preuve de (3.14) sera donn'ee dans la section 3.3, celle de (3.9) et celle d* *e (3.15) sont donn'ees maintenant. L'ingr'edient essentiel de ces d'emonstrations est le suiv* *ant : Th'eor`eme 3.16 Pour tout entier impair k il existe un 'el'ement Xk 2 G0(Vk) G0(U=N il) tel que flXk = Øk. Supposant ce th'eor`eme d'emontr'e on commence par la : D'emonstration du th'eor`eme 3.9 et du corollaire 3.15 : Pour d'emontrer le r'e* *sultat on peut tensoriser l'application par Q, ceci sera suppos'e implicitement dans l* *a suite. On filtre I comme suit, soit In le sous-espace vectoriel engendr'e par les mon^ome* *s Øa11. .Ø.akk tels que a1 + 3a3 + . .+.kak n. Le produit envoie In Im vers In+m . Le rang de In est 'egal 'a la somme sur i, compris entre 0 et n, du nombre de p* *artitions de l'entier i en entiers impairs. Cette quantit'e est aussi, ainsi qu'on l'a vu pl* *us haut, le rang de G0(Vn). On montre maintenant que G0(Vn) est envoy'e dans In. Les 'el'ements Xa11. .X.ak* *kde G0(U=N il) forment un syst`eme libre, en effet leurs images, les mon^omes Øa11.* * .Ø.akkpar l'application fl forme un tel syst`eme. Ensuite comme Xk 2 G0(Vk) les mon^omes Xa11. .X.akktels que a1 + 3a3 + . .+.kak* * n sont dans G0(Vn). A l'aide de (3.13) on en d'eduit qu'ils forment une base de G* *0(Vn) apr`es 11 tensorisation par Q, en effet leur nombre est 'egal au rang de G0(Vn). L'inject* *ivit'e de fl en r'esulte ainsi que 3.15 admettant 3.14. On revient maintenant sur la d'emonstration du th'eor`eme 3.16, c'est-`a-dire l* *a construc- tion des 'el'ements Xk. On suit une approche due `a Atiyah [At] pour la constru* *ction des op'erations d'Adams, k 'etant un entier impair soit Sk l'ensemble des classes d* *''equivalence de repr'esentations simples du groupe sym'etrique Sk sur le corps F2, c% d'esig* *nera le ca- ract`ere de Brauer (ou modulaire) de la repr'esentation simple %, et P% son rec* *ouvrement projectif [Se]. Notons enfin oek la classe de conjugaison des k-cycles dans Sk. On d'efinit Xk par la formule suivante : X Xk = c%(oek)[Hom Sk(P%, F (1) k)] . %2Sk On notera que dans cette formule c%(oek) est bien un entier [Se], et que Xk n'e* *st pas la classe d'un module instable sauf pour k = 1, c'est un module "virtuel". La* * no- tation Hom Sk(P%, F (1) k) d'esigne le module instable qui est isomorphe en de* *gr'e n `a Hom Sk(P%, (F (1) k)n), avec l'action 'evidente de l'alg`ebre de Steenrod. Par* * construction l''el'ement Xk appartient `a G0(Vk). Calculons maintenant la fonction flXk, l'entier flXk(n) est 'egal `a la somme X h c%(oek)dim F2Hom Sk(P%, (F (1) k)2 n) , %2Sk h assez grand. La dimension de Hom Sk(P%, M) est 'egale `a n%(M)dim F2EndSk(%), o`u n%(M) est * *le nombre d'occurence de % dans la s'erie de composition, en tant que F2[Sk]-module, de M* *. Comme F2 est un corps de scindement pour Sk on a dimF2End Sk(%) = 1. L'entier flXk(n)* * est donc hn la valeur en oek du caract`ere modulaire de (F (1) k)2 consid'er'e comme repr'* *esentation de Sk. Mais cette repr'esentation est somme directe de repr'esentations de permuta* *tions de la forme : F2[Sk=S~], S~ 'etant un sous-groupe de la forme S~1x . .x.S~t, (F (1* *) k)n, o`u (~1, . .,.~t) est une partition de k. Ces repr'esentations sont engendr'ees com* *me F2[Sk]- modules par les tenseurs : a1 2a1 2at 2at u2____._._.u-z______" . . .u_____._.-.uz______", ~1fois ~tfois P a h tels que i~i2 i= 2 n. La repr'esentation triviale appara^it parmi ces repr'esentations de permutation* * pour la par- tition triviale (k). Elle appara^it donc seulement dans les degr'es n tels que * *n = 2uk, elle appara^it alors avec multiplicit'e 1. Enfin le caract`ere modulaire de F2[Sk=S~* *] 'evalu'e en oek est 'egal au caract`ere ordinaire du rel`evement Z[Sk=S~] 'evalu'e sur le m^eme* * cycle [Se]. Il est nul si Sk 6= S~ et vaut 1 si Sk = S~. Le calcul de flXk en r'esulte. On trouve par exemple X1 = [F (1)] et X3 = 3[ 3(F (1))] + 2[ 2(F (1))] + [ 1(F (1))] - [ 2(F (1)) 1(F (1)* *)] 12 En fait, il est possible de montrer que le module instable F (1) 3 est somme di* *recte de deux copies du noyau, S(2,1)F (1), de la mulplication 2(F (1)) 1(F (1)) -! 3* *(F (1)) et d'un module P(1)(F (1)) qui est le recouvrement projectif de 3(F (1)) dans V3.* * Une autre caract'erisation de ce dernier module est que F (1) 3 ~=S(2,1)F (1) 2 P(1)(F * *(1)). Alors X3 = [P(1)(F (1))] - [S(2,1)(F (1))] . De telles formules ont lieu en g'en'eral, la classe Xk est la somme, avec des c* *oefficients dans Z, de classes d'isomorphisme d'objets projectifs (et en fait 'egalement injecti* *fs) dans Vk. 3.3 D'emonstration de la proposition 3.14 Cette proposition est "intuitive" et peut se d'emontrer de diverses mani`eres. * *On en donne ci-dessous une d'emonstration d'etaill'ee. Au passage on notera que le r'esulta* *t est aussi cons'equence de l'existence d'une structure d'alg`ebre de Hopf sur I et du fait* * que les Øk sont lin'eairement ind'ependants. Il faut montrer que I est polyn^omiale en les Øk, on va donc v'erifier que les * *mon^omes en les Øk sont lin'eairement ind'ependants. C'est une cons'equence du lemme qui su* *it. Proposition 3.17 Soit n un entier,Pet soit (1a1, 3a3, . .,.kak), ai 0, une p* *artition de n en entiers impairs, on a donc i=1,3,...,kiai= n. Soit un mon^ome Øa11Øa33. * *.Ø.akken un entier de la forme : X X i( 2ffi,j) . 1 i k, i impair0 j ai Supposons que min(i,j)6=(i0,j0)|ffi,j- ffi0,j0| est grand, relativement `a k. La valeur du mom^ome en cet entier est a1!a3! . .a.k!. Un mon^ome associ'e `a u* *ne partition distincte de n, ou `a une partition d'un entier inf'erieur prend la valeur null* *e en tout entier de cette forme. La d'emonstration utilise le lemme 'el'ementaire, mais casse-pieds, suivant. Lemme 3.18 Soient {b1, . .,.bt} et {a1, . .,.ak} deux familles d'entiers pos* *itifs non-nuls (ils sont impairs dans l'application) positifs, strictement born'es dans leur e* *nsemble par un entier C. Soit {fi1, . .,.fit} une suite strictement croissante d'entiers posit* *ifs, supposons que k t et que min i6=j{|fii- fij|} > 4klog2(tC) , Alors, quelle que soit la suite d'entiers positifs {ff1, . .,.ffk} : - on ne peut avoir, si t > k, d'identit'e de la forme X X 2ffiai= 2fijbj ; 1 i k 1 j t - et si t = k, et si on a : X X 2ffiai= 2fijbj , 1 i k 1 j t on a (quitte `a r'eordonner) ffi= fii et ai= bi. 13 D'emonstration : Pla,cons nous dans le premier cas et supposons que l'on ait l'* *'egalit'e. On peut supposer que 2ffi 2ffi+1pour tout i et que 2fij 2fij+1pour tout j. On* * a 2fit kC2ffket 2ffk tC2fit. Soit ffk - log2(tC) fit ffk + log2(kC) , et fit- log2(kC) ffk fit+ log2(tC) . P fi Notons que si dans m = 1 j t2 jbj on substitue aux bj leur d'ecomposition 2-* *adique, on obtient la d'ecomposition 2-adique de l'entier m, i.e. toutes les puissances de* * 2 obtenues en d'eveloppant les produits sont deux `a deux distinctes, en effet, min i6=j{|* *fii- fij|} > 4klog2(tC) > log2(C). On montre dans une premi`ere 'etape que 2ffkak 2fitbt. Raisonnons par l'absurde et supposons que 2ffkak > 2fitbt. La plus petite puiss* *ance de 2 qui apparait dans la d'ecomposition 2-adique de 2ffkak est minor'ee par 2fit-lo* *g2(kC), dans 2fitbt elle est minor'ee par 2fit. On a donc : 2ffkak - 2fitbt 2fit-log2(kC). Puis : tC2fit-1< 2fit-log2(tC) 2fit-log2(kC) 2ffkak - 2fitbt . La premi`ere in'egalit'e est 'equivalente `a t2C2 < 2fit-fit-1qui est r'ealis'e* *e par hypoth`ese. Comme : X 2fiibi< tC2fit-1, 1 i t-1 ceci d'emontre l'assertion, car cette derni`ere in'egalit'e impliquerait que m * *< 2ffkak, qui est impossible. Supposons que maintenant que 2fitbt 2ffkak. On obtient alors 2fitbt- 2ffkak 2ffk-log2(tC). Mais on ne peut proc'eder comme ci-dessus car on n'a pas d'hypoth`ese sur |ffi-* * ffj|. On consid`ere alors l'entier X m0= 2fijbj+ (2fitbt- 2ffkak) . 1 j t-1 Notons fi0tpour min(fit, ffk), l'entier m0s''ecrit X 0 2fijbj+ 2fitb0t 1 j t-1 avec b0t< t2C3. 0 0 f* *i ff -log(tC) En effet la plus petite puissance de 2 qui appara^it dans 2fitbtest au moins 2 * * t 2 k 2 ou 2ffk, donc au moins 2ffk-log2(tC). De m^eme la plus grande puissance de 2 qu* *i appara^it 14 0 0 fi +log(C) ff +log(C) dans 2fitbt est au plus 2 t 2 ou 2 k 2 , enfin on a vu plus haut que |fi* *t- ffk| log2(tC) c'est au plus 2ffk+log2(C)+log2(tC). L'in'egalit'e b0t< t2C3 suit. Que le dernier terme du membre de droite soit non nul ou non on est ramen'e au * *cas k - 1 d'une hypoth`ese de r'ecurrence qu'on laisse au lecteur le soin d''ecrire* * en d'etails. Cependant il convient de v'erifier que les constantes en jeu satisfont aux hypo* *th`eses. Si le dernier terme du membre de droite est non nul t est inchang'e, k devient * *k - 1 et C est remplac'e par t2C3. Il suffit de v'erifier que min i6=j{|fi0i- fi0j|} > 4k-1log2(t3C3) , avec fii= fi0isi i < t. Or par d'efinition de fi0ton a min i6=j{|fi0i- fi0j|} > 4klog2(tC) - log2(tC) , et 4klog2(tC) - log2(tC) > 4k-1log2(t3C3) , ce qui justifie cette formule baroque. Si le dernier terme du membre de droite est nul on laisse au lecteur le soin de* * compl'eter les d'etails. L'hypoth'ese de r'ecurrence nous garantit l'impossibilit'e d'une telle 'equatio* *n, cela conclut le premier cas (t > k). Dans le second cas du lemme (t = k) on peut appliquer le m^eme proc'ed'e que ci* *-dessus. Alors soit on se ram`ene `a un cas o`u le dernier terme du membre de droite est* * nul, auquel cas on se ram`ene `a une hypoth'ese de r'ecurrence. Soit le dernier terme du me* *mbre de droite est non nul et il n'y a pas de solutions de par le cas pr'ec'edent (t > * *k). Jiang Dong Hua m'a signal'e une d'emonstration plus directe du lemme si tous le* *s ki sont impairs. D'emonstration de la proposition 3.17 : Elle r'esulte ais'ement de ce qui pr'ec* *`ede par application des d'efinitions et du lemme 5.2 qui permet d'effectuer les calculs. La valeur du mon^ome est le nombre de mani`ere d''ecrire l'entier donn'e : X X i( 2ffi,j) , 1 i k, i impair0 j ai sous la m^eme forme, c'est-`a-dire : X X i( 2ffii,j) . 1 i k, i impair0 j ai Mais d'apr`es 5.2, et pourvu que l'on se place dans les conditions d'applicatio* *n, la seule chose autoris'ee est de permuter les ffi,j, `a i fixe. La seconde assertion sui* *t. D'emonstration de 3.14 : Il suffit de montrer que toute combinaison lin'eaire d* *e mon^omes Øu11Øu33. .Ø.ukkforme un syst`eme libre. A cette fin on 'evalue une telle combi* *naison lin'eaire 15 X sur des entiers appropri'es, `a savoir ceux donn'es par les 'enonc'es 5.1 et * *5.2, pour montrer que tout mon^ome a un coefficient nul dans X. Donc, soit ff un entier de la for* *me X X i2ffi,j, 1 i k, i impair1 j vi P P en prenant ivi maximum. L'entier ivi correspond au param`etre n de la propo* *sition 5.1, la maximalit'e de laPfamilleP(v1, . .,.vk) 'etant entendue comme suit : to* *ut mon^ome Øu11Øu33. .Ø.ukktel que iui> jvj a un coefficient nul dans X. Sous les conditions d'application du lemme sur l'entier ff on a alors : X(ff) = "Øv11Øv33. .Ø.vkk(ff) , o`u " est le coefficient de Øu11Øu33. .Ø.ukkdans X. Si X(ff) = 0 on obtient don* *c " = 0. En faisant une r'ecurrence descendante on obtient le r'esultat. 4 Structure de ~-anneau, d'emonstration du th'eor`eme 1.1. On a jusqu'ici obtenu une description de la structure de G0(U=N il) apr`es tens* *orisation par le corps des rationnels, on va maintenant obtenir un 'enonc'e sans cette re* *striction, et faire le lien avec l'approche de Kuhn. On reviendra dans la prochaine section s* *ur l'alg`ebre IZ de la section 1. Des rappels sur les ~-anneaux [Kn] sont utiles, on va les f* *aire dans cette section et en donner quelques cons'equences, entre autres cela donnera une inte* *rpr'etation de la construction des 'el'ements Xk. Un ~-anneau R est un anneau muni d'op'erations ~i telles que : 1.~0 = 1, 2.~1 = Id, P i n-i 3.~n(x + y) = 0 i n~ (x)~ (y). En sus des propri'et'es que l'on vient d''enoncer on en demande deux autres. - la premi`ere exprime ~i(xy) comme un polyn^ome universel en les ~k(x) et les * *~l(y) ; - la seconde exprime ~i(~j(x)) comme un polyn^ome universel en les ~k(x). Si R est de caract'eristique 0 la mani`ere la plus simple d'exprimer ces propri* *'et'es est d'introduire les op'erations d'Adams _k. Consid'erons la s'erie formelle : X ~t(x) = ~i(x)ti2 R[[t]] . i 0 Les op'erations d'Adams _k, `a valeurs dans R Q sont d'efinies par : d_ X n n+1 n log(~t(x)) = (-1) _ (x)t . dt n 0 Ces op'erations sont additives d`es que les deux premi`eres conditions sont sat* *isfaites. Si les deux conditions suivantes ont lieu on a : 16 - _k(xy) = _k(x)_k(y) pour tous x, y, k ; - _k_l= _kl, pour tous k et l. La r'eciproque est vraie, si les op'erations d'Adams satisfont `a ces relations* * alors R est un ~-anneau ('evidemment si on travaille sur un anneau sans torsion). La structure de ~-anneau suivante sur l'alg`ebre de s'erie formelle Z[[q]] est * *la traduction en terme de s'erie de Poincar'e de l'action des foncteurs puissance ext'erieure* * sur les espaces vectoriels gradu'es : Th'eor`eme 4.1 (Kn) Il existe sur l'anneau Z[[q]] une unique structure de ~-an* *neau telle que : - ~k(iqn) = (ik)qnk pour tous les entiers n, k, et i 0 ; - les aplications ~k sont continues pour la topologie q-adique ; - les op'erations d'Adams sont donn'ees par _n(f(q)) = f(qn). * * P n Consid'erons maintenant le sous-anneau de Z[[q]] constitu'e par les s'eries for* *melles n 0anq telles que : - an = 0 d`es que ff(n) est sup'erieur `a une constante ; - an = a2n d`es que n est divisible par une puissance de 2 assez grande, puissa* *nce ne d'ependant que de la s'erie consid'er'ee. Le plus petit entier d tel que ff(n) > d implique que an = 0 sera appel'e le de* *gr'e de la s'erie. C'est un sous-~-anneau de Z[[q]], on le notera PZ. La s'erie de Poincar'e d'un module instable r'eduit de type fini est dans PZ. L* *a premi`ere propri'et'e r'esulte de 2.5, pour ce qui est de la seconde seule l'existence d'* *une puissance de 2, soit 2h, universelle telle que si 2h|n an = a2n m'erite des d'etails. Ceci e* *st vrai car si M est un module instable de type fini r'eduit de N il-localisation L il existe un* * entier k tel que Sqk0L M L. Ce r'esultat se d'eduit de [Sc1] (chapitre 6) et [Sc2]. L'application : PZ -! C P n qui `a une s'erie formelle f = anq associe la fonction (f) 2 C d'efinie par* * (f)(i) = ai2h, o`u h est assez grand, est un homomorphisme d'anneau. Proposition 4.2 Le noyau de l'homomorphisme est un ~-id'eal. Le noyau est constitu'e par les s'eries formelles f 2 PZ dont les coefficients * *an sont nuls d`es que n est divisible par une puissance de 2 assez grande, ne d'ependant que* * de f car on est dans PZ. Cette condition est pr'eserv'ee par application des op'erations* * d'Adams, et donc par les op'erations ~i. Le noyau de l'homomorphisme 'etant un ~-id'eal il y a une structure de ~-anne* *au sur le quotient. Cette structure est la restriction d'une sur C Q. Les op'erations d* *'Adams 'etant donn'ees par les formules suivantes : 1._2 = Id; 2.si k est impair _k(')(i) = '(_ik) si i_k2 N ; 17 3._k(')(i) = 0 si i_k62 N. Elles v'erifient les conditions requises pour que C soit un ~-anneau. Proposition 4.3 L'image de G0(U=N il) dans C est contenue dans l'image de l'ho* *mo- morphisme , G0(U=N il) est un ~-anneau. La premi`ere partie est une v'erification de routine et r'esulte des rappels de* * la section 2. Pour la seconde partie il suffit d'observer que l'image de G0(U=N il) est stabl* *e sous les op'erations ~i. Or, pour tout module instable M on a la relation suivante : fl i(M)= ~i(flM ) . En effet si pM d'esigne la s'erie de Poincar'e d'un espace vectoriel gradu'e M* * on a p i(M)= ~i(pM ) . Prenant pour M un module instable de type fini, puis appliquant de on obtient* * la formule pr'ec'edente. La formule s''etend aux classes dans G0(U=N il). Ceci justifie la d'efinition des Xk, car X1 = [F (1)], et par application de 3.* *9 et la d'efinition des op'erations d'Adams : Proposition 4.4 On a la formule suivante : Xk = _k([F (1)]) . Ceci permet aussi de faire le lien avec le point de vue de Kuhn on notera que s* *on r'esultat, si on 'etend les scalaires au corps des rationnels, s'exprime en disant que G0(U=N il) ~=Q[_1, . .,._2k+1, . .]. . On va maintenant consid'erer le cas de G0(U) et commencer la d'emonstration du * *th'eor`eme 1.1. On commence par introduire une terminologie li'ee `a la fitration nilpoten* *te d'un mo- dule instable M de type fini. Puisque M est de type fini, et comme la cat'egorie U est localement noeth'erien* *ne, chacun des sous-quotients d'esuspendus Ri(M), 0 i k, d'efinis par la filtration ni* *lpotente est de type fini. D'efinition 4.5L'entier d = max i=0,...,kdi, o`u Ri(M) 2 Vdiet Ri(M) 62 Vdi-1, * *est appel'e le poids de M. P * * n Soit le sous-anneau OZ de Z[[q]] constitu'e par les s'eries formelles f = n 0* * anq de la forme X qifi(q) 0 i k o`u fi(q) est une s'erie dans PZ. Ces s'eries v'erifient en particulier : il existe k et ffi tels que : 18 - d`es que ff(n) > ffi et i > k le coefficient an+i, est nul ; - d`es que n est divisible par une puissance de 2 assez grande, puissance ne d'* *ependant que de la s'erie f, le coefficient an+i est 'egal `a a2n+i(i quelconque) ; D'efinition 4.6Si fk(q) 6=, 0 k est appell'e la profondeur de la s'erie. Consid'erons une s'erie f v'erifiant les hypoth`eses ci-dessus. D'efinition 4.7Soit i un entier donn'e et soit di le degr'e de la s'erie fi com* *me d'efini en 4.1. L'entier d = max i=0,...,kdi sera appel'e le degr'e de la s'erie f. Soit M un module instable de type fini, de filtration nilpotente : {0} = Mh+1 Mh Mh-1 . . .M0 = M avec Mi=Mi+1~= iRi, Ri r'eduit. On a : X pM (q) = qipRi(q) . i=0,...,k Cette s'erie est dans OZ. Le sous-anneau OZ de Z[[q]] est stable par les op'era* *tions ~i. Th'eor`eme 4.8 L'application qui `a un module instable de type fini M associe s* *a s'erie de Poincar'e pM d'etermine un isomorphisme d'anneaux de G0(U) sur OZ. Si M est un * *module instable de type fini de profondeur k et de degr'e ` la s'erie associ'ee a m^em* *e profondeur et m^eme degr'e total. On commence par montrer que l'application est injective. Une classe X dans G0(U* *) s''ecrit -ainsi qu'il a 'et'e dit dans les sections 2 et 3- sous la forme X oei([Ri] - [R0i]) i=0,...,k o'u Ri et R0isont des modules instables r'eduits. Si la s'erie de Poincar'e pX * *de X est nulle il en est de m^eme de flX = (pX ), or flX = flR0 - flR00. Si cette derni`ere q* *uantit'e est nulle cela implique que [R0] - [R00] est nul dans G0(U=N il) d'apr`es 3.9. Autrement dit Y = [R0] - [R00] appartientP`a l'id'eal (oe) G0(U). La classe Y s''ecrit donc sous la forme 1 i toeiHi, Hi= [Si] - [S0i], il se p* *eut que t > k. On ne peut conclure par une r'ecurrence descendante sur k, on en fait une, mais* * sur le poids des [Ri] et [R0i], le lemme suivant le permet. Lemme 4.9 Si R et R0 sont des modules instables r'eduitsPde type fini tels q* *ue [R] = [R0] 2 G0(U=N il), alors [R] - [R0] 2 G peut s''ecrire 1 i toeiHi, avec Hi= [* *Si] - [S0i] et les [Si] et [S0i] sont des modules instables r'eduits de type fini de poids str* *ictement inf'erieur `a celui de [R] et [R0]. 19 Il faut d'emontrer que l'on peut supposer le degr'e des [Si] et [S0i] stricteme* *nt inf'erieur `a celui de [R]. En effet si R ~=R0dans U=N il, R et R0r'eduits de type fini, R et R0contiennent* * tous les deux un sous-module isomorphe `a un module T , que l'on notera aussi T par abus* * dans les deux cas, tel que R ~=R0 ~=T dans U=N il. Ceci se d'emontre en plongeant R * *et R0 dans leur N il-localisation commune [Sc1] L puis en observant que Sqk0L est con* *tenu dans R et R0pour k assez grand (voir [Sc1] chapitre 6 et [Sc2]). Cet argument permet de se ramener au cas d'un module r'eduit de type fini R et * *d'un sous-module T tels que le quotient R=T soit nilpotent `a cette fin on 'ecrit [R* *] - [R0] = [R] - [T ] + [T ] - [R0]. Si le poids de R, et donc celui de T est d et comme les s'eries de Poincar'e de* * R et T co"incident dans les degr'es divisibles par une puissance de 2 assez grande cel* *a veut dire que la s'erie de Poincar'e de R=T est nulle dans les degr'es 2hn tels quePff(n)* * d et h assez grand (ind'ependemment de n). Dans G0(U) la classe de R=T s''ecrit i=1,* *...oei[Ti], Ti module instable r'eduit. La s'erie de Poincar'e des Ti est nulle dans les de* *gr'es n tels que ff(n) d, sinon il ne pourrait en ^etrePainsi pour la s'erie de Poincar'e de R* *=T . En effet la s'erie de Poincar'e de R=T s''ecrit f = iqipTi(q), tous les coefficients sont* * positifs. Si l'une des s'eries pTiest de degr'e sup'erieur ou 'egal `a d cela veut dire qu'il exis* *te un entier n tel que ff(n) d et tous les coefficients de pTien degr'e 2hn sont non nuls d`es q* *ue h est assez grand. Mais alors le coefficient de qiPTi, et donc celui de f, est non nul en d* *egr'e i + 2hn, or pour h assez grand ff(i + 2hn) > ff(n) d. Il r'esulte alors de la d'efinition des cat'egories Vn que le module instable m* *odule Ti) est de poids strictement inf'erieur `a d, ce qui permet d'effectuer la r'ecurrence des* *cendante. Ceci d'emontre l'injectivit'e. Pour ce qui est de la surjectivit'e,Pclairement il suffit de montrer que toute * *s'erie dans PZ est dans l'image. Mais si f = iaiqiPest une telle s'erie, il r'esulte de la p* *rochaine section que l'on peut trouver une s'erie f~= i~aiqi o`u ~ai= ai pour tout i divisible* * par une puissance de 2 assez grande ne d'ependant que de f telle que ~fsoit la s'erie d* *e Poincar'e d'un 'el'ement [R] - [S] dans G0(U) R et S r'eduits. La s'erie f - ~f(qui est d* *ans OZ) est de degr'e strictement inf'erieur `a celui de f et on peut proc'eder par r'ecurrenc* *e descendante. 5 La structure d'alg`ebre de G0(U =N il). 5.1 L'alg`ebre IZ Dans cette section on va d'ecrire G0(U=N il), sans faire de tensorisation par Q* *. En parti- culier on obtiendra le r'esultat qui permet d'achever la d'emonstration de 1.1 * *commenc'ee dans la section pr'ec'edente. On introduit une sous-alg`ebre IZ C d'etermin'ee par les conditions donn'ees * *dans l'in- troduction. Rappelons les : Soit k = (k1, . .,.kt) une famille d'entiers impair* *s, rang'ee en ordre croissant, ou la famille constitu'ee par 0. L'entier t est appel'e la lon* *gueur de k et est 20 P not'e `(k), l'entier iff(ki) est appel'e la longueurP2-adique de k et not'e f* *f(k). On notera Vk l'ensemble des entiers de la forme iki2ui, les ui 'etant des ent* *iers quel- conques. L'alg`ebre IZ est l'ensemble des fonctions fl de N dans Z telles que : 1.fl(2i) = fl(i) pour tout i ; 2.fl(i) = 0 d`es que ff(i) est assez grand ; 3.pour tout k la fonction fl est constante sur Vk, sauf 'eventuellement sur * *l'intersection avec Vk d'une r'eunion finie de Vl, o`u soit ff(l) < ff(k), soit ff(l) = f* *f(k) et `(l) < `(k). L'intersection ci-dessus sera appel'ee le sous-ensemble critique de Vk pour la * *fonctionPfl. La condition ci-dessus 'equivaut `a dire que la valeur de la fonction fl sur l'* *entier iki2ui ne d'epend pas des ui d`es que min i6=j|ui- uj| est assez grand. On notera cett* *e valeur ~fl(k1, . .,.kt). On l'appellera aussi la valeur de la fonction sur Vk. On dira* * que la fonction ne prend pas la valeur nulle sur Vk si cette valeur est non nulle. Evidemment c'est la troisi`eme condition qui est nouvelle. La seconde condition* * permet comme plus haut de d'efinir, pour ', _ 2 IZ, un produit de convolution par : X ' * _(i) = '(l)_(k) . l+k=2hi Il faut cependant d'emontrer la : Proposition 5.1 Si ' et _ appartiennent `a IZ alors ' * _ 2 IZ. Pour d'emontrer cettePproposition on doit calculer pour une famille d'entiers i* *mpairs k la quantit'e (' * _)( iki2ui). Par des arguments analogues `a ceux de la secti* *on 3.3, en utilisant (entre autres) le fait que les fonctions ' et _ sont nulles sur les e* *ntiers n d`es que ff(n) est assez grand, on obtient l''enonc'e suivant : Proposition 5.2 Si la quantit'e mini6=j|ui- uj| est assez grande on a la formu* *le : X X X X (' * _)( ki2ui) = '( ai)_( bi) . i {a1,...,at;b1,...,bt}i i La somme de droite est prise sur toutes les familles {a1, . .,.at; b1, . .,.bt}* * satisfaisant `a ai+ bi= 2h(ki2ui), h grand, pour tout i, seuls un nombre fini de termes de la s* *omme sont non nuls. Pr'ecisons l'in'egalit'e contenue implicitement dans cette proposition. On pose* * c = mini6=j|ui- uj|, ~ = max (log2(ki)). Enfin on suppose que _(n) = 0 , et '(n) = 0 si ff(n) * * d. La proposition a alors lieu d`es que c - ~ > 2d + 1. La proposition 5.1 en r'esulte ais'ement, on y revient plus loin. On ne d'etaillera pas la preuve de 5.2, mais il y a dans les lemmes qui suivent* * les indications essentielles, elles sont d'ailleurs 'egalement utiles pour passer de 5.2 `a 5.1. 21 On suppose les ui rang'es en ordre croissant. La condition c - ~ > 0 montre que* * les ki2ui sont aussi rang'es en ordre croissant. * * P L'observation cl'e dans la d'emonstration de cette proposition est que, si on '* *ecrit 2h( iki2i) = a + b, h grand, et que '(a) 6= 0 et _(b) 6= 0, les d'eveloppements 2-adiques de* * a et b ne peuvent faire appara^itre de puissance de 2 ayant un exposant appartenant aux i* *ntervalles [h + ui+ ~, h + ui+1- 2d - 1], ces intervalles sont non vides pour tout i sous * *la condition c - ~ > 2d + 1. Cette assertion r'esulte de ce que si une puissance de 2 du d'eveloppement de a* * ou b avait un exposant dans un intervalle [h + ui+ ~, h + ui+1- 2d - 1] le d'eveloppement * *2-adique de a ou b serait de longueur strictement sup'erieurP`a d. P Il en r'esulte facilement que a s''ecrit ai et b s''ecrit ibi, v'erifiant a* *i+ bi= ki2ui+h. P P Lemme 5.3 Sous les hypoth`eses de 5.2 et si le terme '( iai)_( ibi) est no* *n nul on a ai= 2viffi, ffiimpair ou nul, et bi= 2wifii, fiiimpair ou nul, avec max (|ui-vi* *|, |ui-wi|) < max {2d, ~}. Les 'equationsPqui d'eterminentPles ai et les bi n'ont qu'un nombre fini de sol* *utions pour lesquelles '( iai) et _( ibi) sont non nulles. Ceci car ' et _ s'annulent sur* * les entiers n d`es que ff(n) d. Donc : Lemme 5.4 Sous les hypoth`eses de 5.3 les familles d'entiers {ffi, fii} d'et* *ermin'ees par les familles de solutions {ai; bi} ne d'ependentPpas duPchoix des entiers ui, mais * *seulement de k, de ' et _. Si de plus l'entier i2viffi(resp. i2wifii) n'appartient pas a* *u sous-ensemble critique de Vffpour OE (resp. de Vfipour _)on a : X X (' * _)( ki2ui) = ~'(ff1, . .,.fft)_~(fi1, . .,.fit)* * . i {ff1,...,fft;fi1,...,fit} La condition de la seconde partie du lemme est r'ealis'ee d`es que mini6=j|ui- * *uj| est assez grand. Le lemme suivant n'est pas n'ecessaire `a la suite, il est n'eanmoins utile de * *le mentionner : Lemme 5.5 Soient k et h deux familles d'entiers impairs. Alors l'intersectio* *n Vk \ Vh est r'eunion finie d'ensembles Vu avec u de longueur 2-adique inf'erieure ou* * 'egale `a inf(ff(k), ff(h)). Il convient de pr'eciser le sens de la phrase "est r'eunion finie d'ensembles V* *u" dans ce contexte cela veut dire que pour un entier ` assez grand : 2`([i=1,...,kVui) Vk \ Vh [i=1,...,kVui . La d'emonstration du lemmePest bas'eePsur 3.18. Supposons par exemple que `(k) * * `(h) Si on a une 'egalit'e iki2ui= jhj2vjet que l'on est dans les conditions d'a* *pplication de 3.18, essentiellement que mini6=j|ui- uj| soit assez grand, les familles k et h* * co"incident. Si 22 on exclut ce cas pour que l''egalit'e ait lieu il faut par cons'equent que l'un* *e, au moins, des quantit'es |ui- uj| soit inf'erieure `a une constante donn'ee. Autrement dit on* * est ramen'e `a 'etudier l'intersection de Vh avec une famille finie de Vkiavec `(ki) = `(k)-1.* * On conclut par une r'ecurrence descendante. L'exemple de V(1,1)\ V(1,3)et V(1)et V(5)montre qu'il ne peut y avoir 'egalit'e. 5.2 La structure d'alg`ebre de G0(U =N il). On va d'emontrer le : Th'eor`eme 5.6 L'alg`ebre G0(U=N il) est isomorphe `a l'alg`ebre IZ. La d'emonstration est pour l'essentiel une collecte de r'esultats d'emontr'es p* *lus haut. D'abord l'application canonique : fl : G0(U=N il) -! C prend valeurs dans IZ car les fonctions Øk appartiennent `a IZ , l'alg`ebre qu'* *elles en- gendrent est dans IZ d'apr`es 5.1. Or les fonctions flX , X 2 U=N il prennent des valeurs enti`eres, et quitte `a * *les multiplier par une constante sont des combinaisons lin'eaires `a coefficients entiers de m* *on^omes en les Øk d'apr`es le th'eor`eme 3.15. La premi`ere partie du r'esultat suit. L'application est injective, cela a 'et'e d'emontr'e dans la section 3. Il reste `a montrer qu'elle est surjective, il y a l`a encore un travail `a fai* *re, et c'est `a cet effet que l'on utilise la structure de ~-anneau. On consid`ere une fonction ø 2 IZ et on veut montrer qu'elle est dans l'image d* *e fl. On introduit une filtration double sur IZ en associant `a ø deux entiers. D'abord `a ø on associe le plus grand entier h tel qu'il existe un ensemble Vk * *tels que ff(k) = h et sur lesquel fl est non nulle. On rappelle que cela veut dire que l* *a valeur de la fonction est non nulle en dehors d'un sous-ensemble critique C. Pour d'efinir le second entier on consid`ere la famille des ensembles Vu ayant * *cette propri'et'e. La famille peut contenir Vffih, o`u ffihd'esigne (1, . .,.1), c'est-`a-dire que* * la fonction est non nulle sur Vffih, le second indice de filtration est alors h. Sinon la fonction est nulle sur Vffih, c'est-`a-dire nulle en dehors d'un ensem* *ble C qui est r'eunion d'ensembles Vu. Le second indice de filtration est alors d'efini c* *omme 'etant la longueur maximale t d'un ensemble Vu apparaissant dans la description de C c* *omme r'eunion et tel que ff(u) = h, on a t < h. La valeur de t `a priori d'epend de * *la d'ecomposition explicite, il est possible de donner une d'efinition univoque mais dans la suit* *e on pourra se contenter de la pr'esente d'efinition. On notera ce couple (h, t), t h. On passe `a la d'emonstration du th'eor`eme 5.6. La remarque suivante sera util* *e plus bas : Remarque 5.7 Supposons que Vh soit strictement inclus dans Vk, alors `(h) < * *`(k). 23 Dans cet 'enonc'e "strictement inclus" signifie qu'il existe ` tel que 2`Vh V* *k, mais qu'il n'existe pas d'entier pour lequel l'inclusion inverse ait lieu. Soit ø d'indice de filtration (h, t). On va construire un objet dans X 2 G0(U=N* * il) tel que ø - flX soit d'indice de filtration au plus (h, t - 1) si t > 1, et (h - 1, h -* * 1) si t = 1. Une telle construction d'emontre 5.6. L'ensemble critique C est r'eunion de Vk, consid'erons seulement les indices ki* * tels que ff(ki) = h, il y en a par hypoth`ese. Soit donc k un tel indice, supposons qu'i* *l soit constitu'e de u1 fois a1,.., um fois am , o`u les ai sont des entiers impairs strictement * *croissants. Soit alors la fonction : c~u1(Øa1) . .~.um(Øam) , o`u c est la valeur de ø sur Vk et les ~k d'esignent les op'erations dans le ~-* *anneau des fonctions. Soit alors l'objet virtuel Xk = u1(Xa1) . . .um(Xam) , on a : flXk = ~u1(Øa1) . .~.um(Øam) . On introduit des objets virtuels Xkiet des constantes ci pour chaque Vki. L''enonc'e suivant est alors cons'equence directe de la construction ci-dessus * *et de la re- marque ci-dessus : Lemme 5.8 SoitP(h, t) le couple associ'e `a la fonction ø. Le couple (h0, t0* *) associ'e `a la fonction ø - iciflXki v'erifie h0< h ou h = h0et t0< t. Ce lemme permet 'evidemment de conclure par une d'emonstration par r'ecurrence. Ce th'eor`eme compl`ete et d'achever la d'emonstration de 4.8 en assurant l'exi* *stence de la s'erie ~f. On peut munir l'alg`ebre IZ,et donc IZ Q d'une structure d'alg`ebre de Hopf. Le* *s 'el'ements Øk soient primitifs pour cette structure, mais il y a une mani`ere naturelle de* * proc'eder qui est expliqu'ee ci-dessous. Pour ' 2 IZ on d'efinit une fonction ' : N x N -! Z par la formule suivante : '(u, v) = '(u + 2hv) pour h grand. Cette quantit'e est bien d'efinie par hypoth`ese sur '. Il n'est * *pas clair que ' 2 IZ IZ, ceci est laiss'e au lecteur. La compatibilit'e `a la multiplicati* *on est elle facile `a d'emontrer. On notera aussi en corollaire : Corollaire 5.9 L'alg`ebre IZ C s'identifie `a l'ensemble des f 2 C tels qu'il* * existe un entier n pour lequel nf 2 I. 24 [FS] V. Franjou & L. Schwartz, Reduced unstable A-modules and the modular repr* *esen- tation theory of the symmetric groups, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 23 (1990), 5* *93-624. [Ga] P. Gabriel, Des cat'egories ab'eliennes, Bull. Soc. Math. France 90 (1962)* * 323-348. [HLS] H.-W. Henn & J. Lannes & L. Schwartz, The categories of unstable modules * *and unstable algebras modulo nilpotent objects, Am. J. of Math. (1993), Vol 115, Nu* *mber 5, 1053-1106. [K] N. Kuhn On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Ann. * *of Math. 141, (1995) 321-347. [K1] N. Kuhn Generic representations of the finite general linear groups and th* *e Steenrod algebra, Am. Journal of Math. 116 (1993), 327-360. [K2] N. Kuhn, Generic representations of the finite general linear groups and t* *he Steenrod algebra II K-Theory 8 (1994) 395-426. [Kn] D. Knutson, ~-rings and the representation theory of the symmetric groups,* * Springer LNM 308. [Sc1] L. Schwartz, Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan's fi* *xed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics Series 1994. [Sc2] L. Schwartz, La filtration de Krull de la cat'egorie des modules instable* *s et la coho- mologie des espaces., A. G. T. 1 (2001) 519-548. [Se] J.-P. Serre Repr'esentations lin'eaires des groupes finis, Hermann. [SE] N.E. Steenrod & D.B.A. Epstein, Cohomology operations, Annals of Math. Stu* *dies 50, Princeton Univ. Press, 1962. Lionel Schwartz, Universit'e Paris-Nord, Institut Galil'ee, LAGA, UMR 7539 du C* *NRS, Av. J.-B. Cl'ement, 93430, Villetaneuse, France email :schwartz@math.univ-paris13.fr 25