Descente pour les n-champs Andre Hirschowitz 1et Carlos Simpson 2 Abstract We develop the theory of n-stacks (or more generally Segal n-stacks which ar* *e 1-stacks such that the morphisms are invertible above degree n). This is done by systema* *tically using the theory of closed model categories (cmc). Our main results are: a de* *finition of n-stacks in terms of limits, which should be perfectly general for stacks of* * any type of objects; several other characterizations of n-stacks in terms of "effectivit* *y of descent data"; construction of the stack associated to an n-prestack; a strictification* * result saying that any "weak" n-stack is equivalent to a (strict) n-stack; and a descent resu* *lt saying that the (n + 1)-prestack of n-stacks (on a site) is an (n + 1)-stack. As for other * *examples, we start from a "left Quillen presheaf" of cmc's and introduce the associated Sega* *l 1-prestack. For this situation, we prove a general descent result, giving sufficient condit* *ions for this prestack to be a stack. This applies to the case of complexes, saying how comp* *lexes of sheaves of O-modules can be glued together via quasi-isomorphisms. This was* * the problem that originally motivated us. Resume On developpe une theorie des n-champs (plus exactement celle des n-champs de* * Se- gal, qui sont des 1-champs ou les morphismes sont inversibles en degre n). Po* *ur cela on utilise systematiquement la theorie des categories de modeles fermees (* *cmf). Nos contributions principales sont: une definition de n-champ en termes de limites,* * qui est par- faitement generalisablea toutes sortes d'autres champs; plusieurs autres caract* *erisations des n-champs en termes d'"effectivite" des donnees de descente; la construction* * du champ associea un n-prechamp; un resultat de strictification assurant que tout n-cham* *p "faible" estequivalenta un n-champ (strict); et un resultat de descente affirmant que le* * (n + 1)- prechamp des n-champs (sur un site) est un (n + 1)-champ. Pour d'autres exemple* *s, nous partons d'un prefaisceau de cmf "de Quillena gauche" et introduisons le 1-prech* *amp de Segal associe. Dans ce cadre, nous prouvons un resultat de descente general do* *nnant des conditions suffisantes pour que ce prechamp soit un champ. Ceci s'applique* * au cas des complexes, et dit comment on peut recoller des complexes de O-modulesa l'ai* *de de quasi-isomorphismes. C'est ce probleme quietait la motivation initiale du prese* *nt travail. ________________________________ 1Universite de Nice-Sophia Antipolis, Parc Valrose, 06108 Nice cedex 2, Fran* *ce 2CNRS, Laboratoire Emile Picard, Universite Toulouse 3, 31062 Toulouse cedex* *, France 1 Sommaire_____ 1. Introduction_p. 4 Motivation, description des resultats. 2. Les n-categories de Segal_p. 16 Definition des n-categories de Segal, troncation, interieur. La methode gener* *ale pour obtenir une structure de cmf, et son application aux n-categories de Segal. Les classe* *s d'homotopie de morphismes. 3. Les n-prechamps de Segal_p. 36 La structure de cmf pour les n-prechamps de Segal (notions d'equivalence faibl* *e, de cofibration, de fibration), comparaison avec la topologie grossiere, compatibilite avec la * *troncation, proprete. Donnees de descente. 4. Les fonctorialites p*, p*, p!_p. 50 Relation entre n-prechamps de Segal sur X et Z pour un foncteur p : Z ! X , cr* *iteres de preservation des objets fibrants. 5. La structure de type Bousfield-Kan d'apres Hirschhorn_p. 54 La structure HBKQ de cmf pour les n-prechamps de Segal, ou les cofibrations so* *nt obtenues par libre addition de cellules; applicationa la notion de donnee de descente. 6. Le point de vue de la localisation_p. 61 Les cmf de n-prechamps de Segal pour la topologie G peuvent ^etre obtenuesa pa* *rtir des cmf pour la topologie grossiere par inversion de fleches correspondant aux cribles* * de G. 7. Categories de Segal et categories simpliciales_p. 66 Relation entre les 1-categories de Segal et les categories simpliciales; produ* *its et coproduits homotopiques et l'argument de Gabriel-Zisman. 8. Localisation de Dwyer-Kan_p. 71 La localisation de Dwyer-Kan fournit beaucoup d'exemples de categories simplic* *iales, et permet en outre de montrer que toute 1-categorie de Segal estequivalentea une categor* *ie simpliciale. 9. Premiere definition de champ_p. 85 Definition de n-champ de Segal comme n-prechamp de Segal A dont les A(X) sont * *des n- categories de Segal et pour lequel le morphisme A ! A0vers le remplacement G-f* *ibrant est une equivalence objet-par-objet. Notion de champ associe, compatibilites. 10. Criteres pour qu'un prechamp soit un champ_p. 92 A est un n-champ de Segal si et seulement si les A1=(x; y) sont des n - 1-cham* *ps de Segal sur X =X pour tout x; y 2 A0(X), et si les donnees de descente pour un crible B X* * =X sont effectives. On a plusieurs versions de ce critere. 11. Categories de modeles internes_p. 106 On definit la notion de categorie de modeles interne et on l'utilise pour defi* *nir le n+1-prechamp nSeCHAMP____(X ) des n-champs de Segal au-dessus de X , ainsi que sa n + 1-cat* *egorie de Segal nSeCHAMP (X ) de sections globales. Comparaison avec la localisee de Dwyer-Kan. 2 12. La famille universelle_p. 123 On definit un morphisme nSeCHAMP (X ) ! Hom__(X o; nSeCAT 0), on montre qu'il * *est pleine- ment fidele (et onenonce le resultat 12.1 qui identifie son image essentielle)* *. Ceci nous conduit a une nouvelle version de la notion de champ. 13. Le champ associea un prechamp_p. 134 On definit le foncteur "champ associea un prechamp" de nSeCHAMP (X gro) vers nSeCHAMP (X G), qui est adjoint au foncteur d'inclusion dans l'autre sens. 14. Limites_p. 142 Calcul des limitesa l'aide des structures de cmf; definition des champs en ter* *mes de limites. 15. Un peu plus sur la condition de descente_p. 145 On refait les criteres de x10 en termes de limites, et on explicite le calcul * *de ces limites dans le cas d'un crible defini par une famille couvrante, en termes de limites prises * *au-dessus de . 16. La construction de Grothendieck_p. 151 On construit la "n-categorie fibree" associeea un n-prechamp au-dessus d'une c* *ategorie, opera- tion notee comme une integrale suivant Thomason. On compare les sections du n-* *prechamp et celles de la n-categorie fibree associee. 17. Prefaisceaux de Quillen_p. 169 On introduit la notion de prefaisceau de Quillena gauche, une sorte de prefais* *ceau de cmf ou les foncteurs de restriction sont des foncteurs de Quillena gauche. On donne d* *iverses structures de cmf pour les sections de l'integrale d'un prefaisceau de Quillen. 18. Strictification_p. 182 On strictifie les sections faibles des 1-prechamps de Segal qui proviennent de* * prefaisceaux de Quillen par localisation de Dwyer-Kan. Ceci permet de strictifier des famille* *s faibles de n- categories de Segal, en n-prechamps de Segal. Fin de la preuve de 12.1. 19. La descente pour les prefaisceaux de Quillena gauche_p. 206 Pour un prefaisceau de Quillena gauche M on donne un critere pour que le 1-pre* *champ de Segal associe L(M) soit un champ. 20. Exemple: la descente pour les n-champs_p. 219 On utilise le critere du x19 pour prouver que nSeCHAMP____(X ) est un n + 1-ch* *amp de Segal. Ceci generalise le theoreme classique de recollement des faisceaux. On donne a* *ussi une preuve directe. 21. Exemple: la descente pour les complexes_p. 228 On utilise le critere du x19 pour prouver que L(CpxO ; qis) est un 1-champ de * *Segal, pour un site annele raisonnable (X ; O). Onenonce un resultat de geometricite pour le champ* * de modules des complexes parfaits. 3 1. Introduction La descente: des modules aux complexes Pour donner une idee du contenu du present travail, on peut l'aborder, en premi* *ere ap- proximation, comme une contributiona la theorie des complexes de faisceaux de m* *odules. Pour le mettre en perspective, nous commencons par resumer la theorie des faisc* *eaux de modules localement libres (de rang fixe r): Il existe un champ BG, muni d'un module universel U et d'un fibre universel * *dont U est le module des sections. Ce champ "classifie" les modules localement libres * *de rang r sur les schemas en ce sens que le champ de modules F ibX;rde tels modules sur u* *n schema X s'identifie au champ des morphismes de X vers BG. Le champ BG est algebrique et si X est projectif, il en est de m^eme pour F ibX;r. Le champ BG est un ouve* *rt dans (au moins) deux champs plus generaux Coh et Qcoh qui classifient respectivement* * les faisceaux coherents et quasi-coherents (on n'entre pas ici dans les details con* *cernant en particulier la topologie choisie). Le fait que Qcoh soit un champ signifie plus* * concretement que les donnees de descente pour un module quasi-coherent (ou pour un morphisme* * en- tre deux modules quasi-coherents) sont effectives. On peut observer que Coh n'* *est pas algebrique, ce qui est un peu contrariant. On se propose de generaliser cette theorie au cas des complexes. Le point cr* *ucial est qu'on veut parler de recollement de complexesa l'aide non pas d'isomorphismes m* *ais de quasi-isomorphismes (compatibles en un sens adequat), de sorte que ce travail r* *eleve dans une large mesure de la theorie de l'homotopie. Les champs dont on vient de parler sont des champs de categories et lorsqu'o* *n se preoccupe d'etendre ce qui precede au cas des complexes, il faut t^ot ou tard o* *rganiser ces complexes en categories munies de structures adequates. La solution qui vient d'aborda l'esprit consistea considerer des categories * *derivees. On peut en effet former par exemple le prechamp DQcoh quia un schema affine Spe* *cA associe la categorie derivee DQcoh(A) de celle des A-modules quasi-coherents. D* *emander si ce prechamp est un champ est la facon savante de demander si on peut recolle* *r des complexesa l'aide de quasi-isomorphismes "compatibles" (i.e. verifiant une con* *dition de cocycle par ailleurs assez technique). Cette question aete tres t^ot reconn* *ue comme impertinente, les objets de ces categories deriveesetant "de nature essentielle* *ment non- recollables" 3([12] Expose 0, p.11). ________________________________ 3Pour le lecteur qui ne serait pas convaincu que cette voie des categories d* *erivees est sans issue, sig- nalons que le sous-prechamp (plein) Parf{0;1}de DQcohdes complexes parfaitsa su* *pport cohomologique dans [0; 1] est bien un champ, mais qu'il n'est pas localement algebrique (au s* *ens d'Artin): en fait, comme on le verra plus loin, le "bon" objet est un 2-champ localement algebrique (au * *sens de [93]). 4 Les homotopies superieures Pour formuler les problemes de recollement des complexes definisa quasi-iso* *morphisme pres, il faut considerer des homotopies superieures, ce qui complique singulie* *rement le tableau. En topologie ordinaire, le prototype d'un tel probleme consiste par * *exemplea recoller sur U1 [ U2 [ U3 [ U4 des donnees du genre suivant: pour 1 i 4, Ci* * est un complexe sur Ui; pour 1 i j 4, fijest uneequivalence d'homotopie entre l* *es restrictions Cijet Cjide Ci et Cja Uij:= Ui\ Uj; pour 1 i j k 4, hijkest u* *ne equivalence d'homotopie entre les restrictions de fjkofijet fika Uijk:= Ui\Uj\U* *k; et les hijkdoivent encore verifier une condition de compatibilite sur U1\ U2\ U3\ U4,* * condition dont la formulation m^eme n'est pas immediate. On concoit facilement comment,* * pour des recouvrements plus complexes (en topologieetale par exemple), la combinato* *ire de ce genre de donnees de descente peut devenir inextricable. La definition que nous* * donnons des donnees de descente depasse (ouevite) les considerations combinatoires. Dans la situation precedente les fijsont des fl^eches entre complexes, les * *hijkdoivent ^etre considerees comme des 2-fleches, et les donnees sur U1 \ U2 \ U3 \ U4 se* *ront des 3-fleches. Concretement, hijkpar exemple est un morphisme d'objet gradue de d* *egre -1 entre Ci et Ck sur Uijk,etablissant une homotopie entre fjkofijet fik. De * *m^eme, l'information cruciale dans une 3-fl^eche est un morphisme d'objet gradue de d* *egre -2 etablissant une homotopie entre morphismes de degre -1, etc. On a donc bien be* *soin d'une notion d'1-categorie comme preconisee par Grothendieck [49], avec des n-* *fleches pour tout n et les lois de composition adequates. Categories simpliciales ou de Segal En fait, une forme rudimentaire d'1-categorie adapteea nos complexes est co* *n- nue depuis trente ans, c'est la notion de categorie simpliciale. Introduite e* *n theorie d'homotopie par Kan et Quillen (voir [83]), cette notion aete reprise par Dwye* *r et Kan [31] [32] [33]: en particulier,a toute categorie M munie d'une sous-categorie* * W , ces auteurs associent une categorie simpliciale "localisee" L(M; W ). Celle-ci ca* *pture bien l'information homotopique concernant le couple (M; W ) dans la mesure ou si M * *est une categorie de modeles fermee (cmf) simpliciale au sens de Quillen, et W sa sous* *-categorie desequivalences, alors L(M; W ) estequivalentea la categorie simpliciale des o* *bjets cofi- brants et fibrants de M. Ceci montre par exemple que la structure simpliciale* * sur une cmf est uniqueaequivalence pres, et m^eme ne depend (toujoursaequivalence pres* *) que de la sous-categorie desequivalences. Plus particulierement, dans la situation des complexes si Ch designe la cat* *egorie des complexes et qis la sous-categorie desequivalences faibles, alors la categorie* * simpliciale L(Ch; qis) represente adequatement la theorie homotopiquement des complexes. 4 ________________________________ 4Ceci veut dire que si A.et B.sont des complexes alors l'ensemble simplicia* *l de morphismes dans L entre A.et B.estequivalentea l'ensemble obtenu par application de la construct* *ion de Dold-Puppe au 5 Pour des raisons techniques, nous utilisons systematiquement la notion un pe* *u plus generale de categorie de Segal: une categorie de Segal est une categorie simpli* *ciale "large", en ce sens qu'on n'impose pas que la composition soit strictement associative. * * Toute categorie simpliciale est une categorie de Segal et, inversement, on montre que* * toute categorie de Segal estequivalentea une categorie simpliciale (x7). Les problemes poses Ainsi les complexes de faisceaux de modules s'organisent (par exemple sur le* * siteetale) en prefaisceaux de categories de Segal. Entre autres, on peut definir D+ par D+* * (SpecA) = L(Ch+(A); qis), ou Ch+(A) est la categorie des complexes de A-modules bornesa g* *auche et qis sa sous-categorie des quasi-isomorphismes. On peut maintenant exprimer * *de la facon suivante les problemes auxquels le present travail est consacre: o identifier les problemes de descente pertinents concernant de tels prefais* *ceaux; o formuler ces problemes dans le cadre d'une theorie des champs (generalises* *; dans cette introduction on dira 1-champs) adaptee aux categories de Segal; dans* * cette theorie, il faudra bien entendu que les champs soient les prechamps dans l* *esquels les donnees de descente se recollent; o identifier une classe de tels prefaisceaux, contenant nos prefaisceaux de * *complexes, et dans lesquels ces problemes de descente admettent une solution. Au nombre des problemes de descente qu'on veut traiter doivent figurer les p* *roblemes "concrets" de recollement concernant les complexes, dont nous donnons maintenan* *t des exemples. Signalons toutefois que nous n'abordons pas directement ces problemes* * dans le present travail_notre butetant dans un premier temps de mettre en place le cadr* *e dans lequel de telles questions doivent naturellement ^etre considerees_et nous ne l* *es formulons donc qu'en guise de motivation. o Soit k un corps, X un k-schema regulier, et F un faisceau coherent sur X. * * On sait que F admet localement des resolutions projectives finies. Peut-on re* *coller ces resolutions en un objet global? ________________________________ complexe tronque o0 Hom .(A.; B.). On peut noter qu'une categorie simpliciale L* * donne lieu (suivant l'idee de Grothendieck [49])a une 1-categorie 1 O L par application de la const* *ruction "1-groupoide de Poincare" 1a chacune des ensembles simpliciales HomL(x; y). Dans cette 1-ca* *tegorie pour les complexes, l'1-categorie des morphismes entre deux complexes estequivalentea fl* *Hom .(A.; B.), ou fl est la construction bien connue quia un complexe de groupes abeliens F. associe* * l'1-categorie stricte fl(F.) dont les objets sont les x 2 F0 avec d(x) = 0, les morphismes entre x; y* * sont les f 2 F-1 avec d(f) = y - x, les 2-morphismes entre f et g sont les u 2 F-2 avec d(u) = g - f * *ainsi de suite. 6 o Dans [12] 0.4.4, pour un morphisme f : X ! Y de schemas, on construit loca* *lement dans X un complexe cotangent bien definia quasi-isomorphisme pres. Peut-on recoller ces constructions locales? 5 o Toujours dans [12] (e.g. 0.4.2), on pose le probleme (ulterieurement reso* *lu par Deligne et Illusie, voir [62] I.4.2) de la definition des puissances exter* *ieures d'un complexe parfait, que nous reformulonsa notre convenance: sachant qu'on p* *eut definir, sur les complexes bornes de modules libres de type fini, un fonct* *eur puis- sance symetrique iqui transforme quasi-isomorphismes en quasi-isomorphisme* *s, et sachant que les complexes parfaits sont ceux qui sont localement quasi-iso* *morphesa des complexes bornes de faisceaux libres de type fini, comment definir la * *puissance symetrique d'un complexe parfait? o Dans les travaux de O'Brian, Toledo et Tong [77], [78], [104], [105], [106* *] consacresa une autre question issue de SGA 6, celle des formules de Riemann-Roch, on * *trouve des calculs de Cech qui sont certainement un exemple de situation de desce* *nte pour les complexes. Un meilleur cadre general pour ces calculs pourrait contri* *buera notre comprehension des formules de Riemann-Roch. o Il y a certainement d'autres applications potentielles que celles qui conc* *ernent les complexes, voir par exemple le travail de Hinich [57] qui traite un proble* *me de de- scente pour des 1-groupo"ides en relation avec un probleme de descente cor* *respondant pour des prefaisceaux d'algebres de Lie differentielles gradues. Les 1-champs Avant de presenter notre vision des donnees de descente, il nous faut expliq* *uer notre theorie des 1-champs. On a compris plus haut qu'il nous faut_au minimum_une the* *orie des champs de categories simpliciales (ou de Segal), comme on a une theorie des* * champs d'ensembles (les faisceaux) et une theorie des champs de categories (les champs* * "clas- siques"). Et dans une theorie des champs de categories simpliciales, le champ d* *es mor- phismes entre deux objets (i.e. sections sur un ouvert) devra ^etre un champ d'* *ensembles simpliciaux. On voudrait donc bien d'une theorie des -champs, ou pourrait ^et* *re in- differemment la categorie des ensembles ou celle des categories, ou celle des c* *ategories simpliciales, ou encore celle des ensembles simpliciaux. Un -prechamp sur un si* *te X est alors un prefaisceau sur Xa valeurs dans (on prend des prefaisceaux stricts po* *ur sim- plifier, et parce qu'on espere qu'au bout du compteca revient au m^eme). Et l'i* *dee (na"ive) ________________________________ 5Dans loc. cit. on considere qu' "il n'est pas possible de proceder par simp* *le recollement" et on s'en tire autrement. 7 pour exprimer qu'un -prechamp F est un -champ consisteraita demander que pour tout X 2 X et tout crible B couvrant X, F (X) soit la limite (dans ) de la res* *triction de Fa la categorie B. Si est la categorie des ensembles on retrouveevidemmen* *t la notion de faisceau, mais si est la categorie des categories,ca ne va plus. Po* *ur rectifier le tir et retomber dans ce cas sur les champs usuels, il suffit de munir de s* *a structure de 2-categorie et de demander que F (X) soit la 2-limite (dans ) de la restric* *tion de F a B. Pour generaliser cette situation, on va donc considerer que est une 1-ca* *tegorie 6 dans laquelle on sait specifier les limites homotopiques (il n'est pas neces* *saire qu'elles existent). On peut alors, suivant une suggestion formulee par le second auteur* * dans [95] 6.4, dire qu'un -champ est un -prechamp F tel que pour tout X 2 X et tout crib* *le B couvrant X, F (X) soit la limite (dans ) de la restriction de Fa la categorie * *B. Les 0-champs de Segal Dans le cas ou est l'1-categorie (techniquement: la 1-categorie de Segal) * *des ensem- bles simpliciaux, nous confrontons avec succes ce point de vue avec la theorie* * existante des prefaisceaux simpliciaux, developpee par K. Brown [19], Illusie [62], Joya* *l dans une lettrea Grothendieck [65], Jardine [63], et Thomason [100]. 7 Dans ce cas on d* *ispose de la notion de limite homotopique introduite par Bousfield et Kan [15] et nos -c* *hamps, que nous appelons 0-champs de Segal, constituent une classe de prefaisceaux si* *mpliciaux deja consideree par Jardine (les prefaisceaux flasques par rapporta tout objet* * du site [63]) et, dans le cadre tres voisin des prefaisceaux de spectres, par Thomason* * [100]. A tout prefaisceau simplicial (ou 0-prechamp de Segal), on sait associer naturel* *lement un 0-champ de Segal ayant les m^emes faisceaux (et non prefaisceaux) d'homotopie. Les n-champs de Segal Il est donc naturel d'etendre cette demarche au cas des categories simplici* *ales ou de Segal. Pour cela, il nous faut munir la classe des categories de Segal d'une* * structure d'1-categorie (techniquement, c'est une 2-categorie de Segal) ou l'on puisse d* *efinir la notion de limite (homotopique). Pour prendre de la marge, on definit carremen* *t les n- categories de Segal (x2): leur construction suit de pres celle des n-categorie* *s de Tamsamani [98]. Les 0-categories de Segal sont les ensembles simpliciaux, et les (n + 1* *)-categories de Segal sont des objets simpliciaux dans la categorie des n-categories de Seg* *al verifiant les conditions (de Segal) qui expriment que la composition,a defaut d'^etre bi* *en definie ________________________________ 6On ne prend pas la peine ici de donner une definition d'1-categorie: on co* *nsidere simplement que les n-categories de Tamsamani [98] ainsi que leurs variantes introduites ci-dessou* *s, les n-categories de Segal, sont des 1-categories. 7On a m^eme la 1-categorie (categorie simpliciale ici) des foncteurs faible* *s de X overs gr^ace au travail de Cordier et Porter [24]. 8 et associative, est definie et associativea homotopie pres. L'avantage des n-c* *ategories de Segal sur les ensembles simpliciaux reside dans le fait qu'on peut y trouver* * des i- morphismes non-inversibles, du moins pour i n. Gr^acea la notion de cmf inter* *ne (x11), on montre qu'a des considerations de nature ensembliste pres, les n-cate* *gories de Segal s'organisent en une (n + 1)-categorie de Segal nSeCAT (x11), ou l'on sait* * definir les limites homotopiques (x14). On peut donc introduire les (-)champs de n-categori* *es de Segal, que nous appelons n-champs de Segal. Techniquement, on commence par donn* *er une definitiona la Jardine des n-champs de Segal (x9) et ce n'est qu'au x14 qu'* *on retrouve la belle definition mentionnee plus haut. Le probleme de la descente des comple* *xes prend alors la forme suivante: le 1-prechamp de Segal des complexes est-il un 1-champ* * de Segal? Donnees de descente generalisees Cette formulation n'est pas totalement satisfaisante, dans la mesure ou l'on* * ne voit pas suffisamment bien comment elle recouvre les exemples concrets mentionnes pl* *us haut. Heureusement, nous savons introduire une notion de donnee de descente (et aussi* *, bien s^ur, de donnee de descente effective)a valeurs dans un n-prechamp de Segal, qu* *i joue le r^ole qu'on attend d'elle. En fait, on explique ici ce qu'on appelle donnee * *de descente generalisee (dddg) et on commence par le cas plus familier des prefaisceaux sim* *pliciaux: une dddga valeurs dans le prefaisceau simplicial A sur le site X est un morphis* *me de prefaisceaux simpliciaux ffi : D ! A ou D est contractile en ce sens que le 0-c* *hamp de Segal associea D estequivalenta l'objet final *X . (Un tel D est essentiellement la m* *^eme chose qu'un hyper-recouvrement au sens de Verdier [4].) Une telle donnee ffi est dite* * effective si elle estequivalentea une donnee ffi0: D ! A qui se factorisea travers *X . Ces * *definitions s'etendent sans changement au cas ou A est un n-prechamp de Segal, les prefaisc* *eaux simpliciaux pouvant aussi ^etre vus comme des n-prechamps de Segal (x2). Il convient d'observer que la question de l'effectivite des dddg dans un n-p* *rechamp de Segal A ne concerne que l'interieur Aintde A: l'interieur d'une n-categorie * *de Segal S est l'ensemble simplicial obtenua partir de S grosso modo en ne conservant qu* *e les morphismes (de tous ordres) qui sont inversiblesa homotopie pres, et cette cons* *truction s'etendevidemment aux n-prechamps de Segal. La definition precedente rend bien compte des exemples "concrets" mentionnes* * plus haut. Ainsi, pour le premier exemple, on peut prendre le prefaisceau simplicia* *l (con- tractile) D tel que D(U) soit l'ensemble 8 simplicial des resolutions projectiv* *es finies de la restriction de Fa U: les 1-simplexes sont les quasi-isomorphismes entre res* *olutions (compatiblesa l'augmentation). . . . ________________________________ 8Ici comme ailleurs dans ce travail, on ne pr^ete pas trop d'attention aux q* *uestions lieesa la difference entre ensemble et classe. 9 Caracterisation des n-champs de Segal par la descente Pour expliquer en quoi nos notions de champs sonta leur tour adapteesa ces n* *otions de donnees de descente, il nous faut introduire quelques notations. Si A est une n* *-categorie de Segal, les (1-)morphismes de A s'organisent en une nouvelle (n - 1)-categori* *e de Segal qu'on note F l(A). Si x et y sont deux objets de A, on note F l(A)(x; y) la sou* *s- (n - 1)- categorie de Segal de F l(A) des morphismes de source x et but y. Plus generale* *ment, si x et y sont deux objets de F li-1(A), on note F li(A)(x; y) la sous- (n - i)-ca* *tegorie de Segal de F li(A) des morphismes de source x et but y. 9 Ces notations s'etenden* *t au cas ou A est un n-prechamp de Segal sur un site X : F li(A) est alors un nouveau (n* * - i)- prechamp de Segal sur X , et si x et y sont des sections de F li-1(A) sur un ob* *jet U de X , F li(A)(x; y) est un (n - i)-prechamp de Segal sur le site X =U. Avec ces n* *otations, on montre le resultat suivant: Theoreme 1.1 Soit A est un n-prechamp de Segal sur le site X . On suppose qu* *e les valeurs de A sont des n-categories de Segal (cette condition est vide pour n = * *0). Alors les conditions suivantes sontequivalentes: (i) A est un n-champ de Segal; (ii) (a) pour tout X 2 X et tout x; y 2 A0(X) le n-prechamp de Segal F l(A)(x;* * y) sur X =X est un n-champ de Segal; et (b) les donnees de descente pour A sont effectives. (iii) (a') pour tout i 1, pour tout X 2 X et pour tous x; y 2 F li-1(A)(X) le* *s donnees de descentea valeurs dans le (n - i)-prechamp F li(A)(x; y) sont effectives; et (b) les donnees de descentea valeurs dans A sont effectives. Ce theoreme formalise l'idee (qui ressort entre autres de Giraud [43] et Lau* *mon-Moret Bailly [68]) qu'un champ est un prechamp ou les donnees de descente sont effect* *ives, et comme l'effectivite des donnees de descente ne concernent que l'interieur, il c* *aracterise nos n-champs de Segal en des termes propresa la theorie des prefaisceaux simpli* *ciaux. Donnees de descente et topologie grossiere Cependant, la definition m^eme des donnees de descente (generalisees) qu'on * *a formulee plus haut faisait intervenir la notion de 0-champ de Segal et il est donc temps* * de donner notre definition des (vraies) donnees de descentea valeur dans un prefaisceau s* *implicial, puisqu'il reste vrai que ce cas suffit. Soit X un site muni d'un crible B couvr* *ant et d'un prefaisceau simplicial A. Une donnee de descente sur Ba valeurs dans A est un d* *iagramme ffi de prefaisceaux simpliciaux: *B D ! A ________________________________ 9On fait la convention que pour un i donne on remplace nos n-categories de S* *egal par des n0-categories de Segalequivalentes, avec n0> i. 10 ou la fleche de gauche est ce que nous appelons uneequivalence objet-par-objet,* * c'est-a- dire qu'elle induit uneequivalence faible d'ensembles simpliciaux sur chaque ob* *jet U 2 X (ici, bien s^ur, seuls les objets de B sont vraiment concernes). Ceci implique* * que D est contractile et on est bien en presence d'une donnee de descente dans le sens ge* *neralise donne plus haut. On peut observer que la donnee du diagramme ffiequivauta celle* * d'une donnee de descente (generalisee ou non, c'est pareil)a valeurs dans la restrict* *ion de Aa la categorie B munie de la topologie grossiere. Il s'agit la d'un exemple tout-a-f* *ait typique de la facon dont la topologie grossiere intervient systematiquement tout au lon* *g de notre travail. Un autre exemple typique est la facon dont nous decrivons en deux tem* *ps la structure de categories de modeles pour nos prechamps, par localisation de Bous* *fielda partir de la structure correspondanta la topologie grossiere (x6). On dit qu'une donnee de descente est effective si elle estequivalentea une d* *onnee de descente qui se factorisea travers *X . Et lorsque dans le theoreme ci-dessus o* *n dit que les donnees de descentea valeurs dans A sont effectives, on veut dire que pour * *tout objet X de X et tout crible B couvrant X =X, toute donnee de descente sur Ba valeurs * *dans A * |X =X est effective. Les deux temps de la descente et les constructions de Grothendieck Le probleme de l'effectivite des donnees de descente dans un n-prechamp de S* *egal A sur un site X (admettant un objet final) se decompose naturellement en deuxetap* *es. En effet, une donnee de descente ffi comme plus haut s'insere dans un diagramme: *X *B D ! A; Puisqu'il s'agit de factoriser,aequivalence pres, le morphisme donne D ! Aa tra* *vers *X , on peut d'abord chercher une telle factorisationa travers *B. Si donc on q* *ualifie de strictes les donnees de descente avec D = *B, on peut formuler d'une part le pr* *obleme de la strictification des donnees de descente, qui consistea montrer que toute * *donnee de descente estequivalentea une donnee de descente stricte, et d'autre part cel* *ui de l'effectivite des donnees de descente strictes. Techniquement, les choses se presentent un peu differemment. Pour montrer q* *u'un prechamp de Segal A sur X est un champ de Segal, on utilise la definition par l* *imite. On doit donc comparer A(X) avec la limite homotopique mentionnee plus haut, dis* *ons (B; A). Pour identifierRcette limite, on suit le chemin trace dans [51]: on con* *struit une categorie deRSegal BA au-dessus de Bo avec l'espoir d'identifier (B; A)a une c* *ategorie de sections de BA ! Bo. En fait, on trouve (x16) que (B; A) estequivalenteaRla ca* *tegorie de Segal des sectionsR"equilibrees" (ou eq-sections) non pas de BA ! Bo mais d* *e son remplacement fibrant 0BA ! Bo. Ce remplacement fait referencea une structure d* *e cmf 11 pour les categories de Segal (x2). On veut donc montrer qu'un morphisme compose Z Z 0 A(X) ! Secteq( A) ! Secteq( A) B B est uneequivalence. On peut voir le terme de droite comme une categorie de donn* *ees de descente (a droite ?) et celui du milieu comme la sous-categorie des donnees de* * descente strictes (on n'a pas chercheaetablir de correspondance entre ces nouvelles noti* *ons de donnees de descente et les anciennes), et le probleme de l'effectivite se decom* *posea nouveau en deuxetapes. Ces deuxetapes seront traites chacuna son tour dans nos x18 et x19. Pour re* *ster strictement en conformite avec ce qui se passe dans le papier, il faudrait dire* * que cette situation de "strictification" des donnees de descente a lieu non au-dessus de * *B mais au- dessus de la categorie via un foncteur ae(U) : ! B, dans le cas ou B est le c* *rible engendre par un objet U recouvrant X. En quelque sort approxime B via le fonct* *eur ae(U) et pour des raisons techniques il nous est plus commode de travailler au-* *dessus de . Il se trouve que le probleme de l'effectivite des donnees de descente strict* *es a dejaete resolu pour nos complexes de modules sur un topos annele dans l'expose Vbis de * *SGA 4 II [3] de Saint-Donat (d'apres des "notes succinctes" de Deligne). Au x19, nous* * donnons un resultat plus general pour cetteetape "stricte". Prefaisceaux de Quillen Nous avons donc mis en place ce formalisme des champs de Segal qui constitue* * un cadre naturel pour la theorie de l'homotopie relative (au-dessus d'un site), da* *ns lequel nous pouvons reformuler le probleme de la descente: trouver des conditions pour* * qu'un prechamp de Segal soit un champ (de Segal). Comme l'ecrit Jardine dans [63], la* * structure organisationnelle pour la theorie de l'homotopie est celle de categorie de mode* *les fermee (cmf) de Quillen [83]. La theorie des champs de Segal que nous avons mise en pl* *ace est le cadre naturel de la theorie de l'homotopie relative (au-dessus d'un site) et* * la structure organisationnelle correspondante est tout naturellement une structure de prefai* *sceau de cmf: nous appelons prefaisceau de Quillen tout prefaisceau de cmf dans lequel * *les re- strictions sont ce qu'on appelle des foncteurs de Quillen (a gauche). Si M est* * un tel prefaisceau de Quillen sur un site X , on peut lui associer le 1-prechamp de Se* *gal L(M) sur X obtenu en prenant pour L(M)(X) la categorie simpliciale obtenue en invers* *ant (au sens de Dwyer-Kan) lesequivalences dans M(X). On cherche donc des conditio* *ns suffisantes pour que le prechamp de Segal ainsi associea un prefaisceau de Quil* *len soit un champ de Segal. 12 Un theoreme de descente Nous proposons donc un theoreme (19.4) donnant des conditions suffisantes po* *ur que le prechamp L(M) soit un champ de Segal. C'est bien s^ura partir du cas des com* *plexes que nous avons trouve une telle formulation generale. Les conditions que nous i* *mposons sont de trois ordres. D'abord, nous nous restreignonsa des sites ou, grosso modo, on peut se redui* *rea ne considerer que les donnees de descente definies sur les recouvrementsa un se* *ul ob- jet (et verifiant les conditions de compatibilite adequates sur le complexe de * *Cech du recouvrement). La principale restriction que nous imposons au prefaisceau de Quillen est l'* *existence, dans les valeurs prises (ce sont des cmf), de petites limites et colimites arbi* *traires. Ainsi par exemple notre theoreme ne concerne pas les complexes de faisceaux de type f* *ini. Nous lui imposonsegalement d'autres conditions plus ou moins naturellesa savoir* *: le fait que, dans les valeurs prises, tous les objets soient cofibrants; l'existence de* * factorisations fonctorielles; la compatibilite aux produits fibres; le caractere local desequi* *valences; et la compatibilite aux sommes disjointes. Enfin nous imposons une condition tres technique autorisant l'utilisation de* * l'argument dit "du petit objet" de Quillen pour la construction d'une cmf auxiliaire. La partie la plus delicate de la demonstration consiste en la strictificatio* *n des donnees de descente (x18). Champs de champs C'est enetudiant notre probleme de descente des complexes, que nous nous som* *mes rendu compte qu'il y avait un resultat analogue pour les n-champs eux-m^emes: l* *e n + 1- prechamp nCHAMP____ defini par nCHAMP____(X) := nCHAMP (X =X) est un n-champ (voir les theoremes 20.1 et 20.5). C'est un resultat de "recolle* *ment" pour les n-champs. Par exemple,etant donne des champs FU et FV sur deux ouverts U; V* * d'un espace topologique, avec uneequivalence FU|U\V ~= FV |U\V alors il existe un champ F sur U [ V avec F|U ~=FU et F|V ~=FV . On peut vo* *ir 20.1 et 20.5 comme des generalisations aux n-champs, du resultat classique qui * *dit que le 1-prechamp quia chaque ouvert U associe la categorie des faisceaux d'ensembl* *es (i.e. 0-champs) sur U, est un 1-champ. Le cas n = 1 de cette generalisation se trouv* *e deja 13 dans SGA 1 [51] [43], ou l'on montre que le 2-prechamp 1CHAMP____ des 1-champs * *est un 2-champ. Ce resultat pour n = 2 (qui dit que 2CHAMP____ est un 3-champ) aete utilise,* * sans demonstration, par Breen [18]. On peut dire que notre resultat generalise appro* *ximative- ment la moitie de ce que fait Breen dans [18] (l'autre moitieetant d'exprimer l* *es donnees de descente en termes de cocycles, une chose que nous ne sommes pas arriveesa f* *aire de facon entierement satisfaisante pour n quelconque). En fait, au debut de ce travail, la seule chose que nous pouvions demontrera* * propos des complexesetait que le prechamp des complexes de Q-espaces vectoriels, de lo* *ngueur n fixee,etait un n + 1-champ. Pour prouver ceci, nous avions utilise le resulta* *t disant que le n + 1-prechamp des n-champs est un champ: avec ceci et une versionelementair* *e de la notion de "spectre" (consistant justea faire une translation pour que tout se p* *asse entre les degres N et N + n avec N n + 2) on pouvait obtenir (gr^ace au fait que l'h* *omotopie rationelle stable est triviale) le fait que les complexes de Q-espaces vectorie* *ls de longueur n, est un n + 1-champ. Ce n'est qu'avec l'apport des techniques de pointe en theorie des cmf ([31] * *[32] [33] [34], [59],[30], [46], [61] [60]) que nous avons pu formuler le resultat plus g* *eneral 19.4 qui permet de traiter le cas des complexes de O-modules. Algebricite L'etude plus detaillee des champs de complexes sur les sites de la geometrie* * algebrique fera l'objet d'un autre travail. Nousenoncons simplement au x21 notre principal* * resultat d'algebricite. Historique, travaux connexes et techniques utilisees La notion de 1-champ est aujourd'hui bien enracinee dans la geometrie algebr* *ique, depuis notamment les travaux d'Artin [6], de Deligne-Mumford [25], de Laumon-Mo* *ret Bailly [68], prolonges par de nombreux travaux actuels. Une notion semblable j* *oue un r^ole important en geometrie differentielle (e.g. en geometrie des feuilletage* *s), voir par exemple [36] [76] [79] [54] [55] [75] [74]. 10 En s'appuyant sur la notion de c* *hamp, Giraud a developpe en bas degres la cohomologie non-abelienne [42]. ________________________________ 10On peut citer Moerdijk ([74] Example 1.1 (f)): "Effective etale groupoids * *are well-known to be basically equivalent to pseudogroups. . . " suivi par une referencea Molino [75* *]. Au vu de cette remarque, les travaux d'Ehresmann et al concernent essentiellement des groupo"idesetales * *i.e. des 1-champs de Deligne-Mumford dans le cadre differentiel. Il n'est pas claira nos yeux si cet* *te connexionetait connue d'Ehresmanna l'epoque; en tout cas, ce point de vue est deja present dans les p* *apiers de Pradines [79]; et selon Pradines (communication orale au deuxieme auteur), ce point de vue aete p* *resente par Ehresmann dans son expose au congres international de 1956. 14 Un travail precurseur de la descente pour l'1-champ des complexes est celui * *sur la "descente cohomologique" de B. Saint Donat et Deligne dans SGA 4 [4]. Dans [49], A. Grothendieck propose comme generalisation la notion de n-champ* * ou m^eme de 1-champ, sans toutefois donner une definition precise. En fait, on pe* *ut dire aue la theorie des 1-champs de groupo"ides est deja disponiblea l'epoque de [49* *] par le biais de la theorie des prefaisceaux simpliciaux, gr^ace aux travaux de K. B* *rown [19], Illusie [62], Joyal dans une lettrea Grothendieck [65], Jardine [63], et Thomas* *on [100]. Le biais en question passe par l'equivalence entre la theorie des 1-groupoides * *et celle des espaces topologiques ou ensembles simpliciaux_equivalence pour laquelle ne manq* *uait que la definition de 1-groupo"ide! Plus recemment, la theorie des n-categories pour les petites valeurs de n ae* *te reconnue comme importante dans une large gamme de situations liees par exemplea de nouve* *aux invariants des noeuds, aux groupes quantiques,a la theorie quantique des champs* *, et m^emea l'informatique. . . . Ceci a conduit vers une meilleure comprehension no* *tamment du r^ole joue par la non-associativite de la composition. Le premier papier de * *Baez-Dolan [8] fournit un resume interessant de ces developpements. La these de Tamsamani [98] fournit une definition de n-categorie, ainsi que * *l'equiva- lence entre les n-groupo"ides et les espaces topologiques n-tronques, pour tout* * n. Cette definition permet d'aborder la theorie des n-champs, non necessairement de grou* *po"ides, en utilisant les techniques duesa Quillen qui sonta la base des travaux de Brow* *n, Illusie, Joyal, Jardine et Thomason. Signalonsegalement que d'autres definitions de n-ca* *tegorie ontete proposees, voir Baez-Dolan ([7] [9] quietait independant de [98] et simu* *ltane) ou Batanin ([10], un peu plus tard). Pour l'heure il manque une comparaison ent* *re ces differentes definitions, et comme explique plus haut, nous utilisons une legere* * variante de la definition de Tamsamani. Notre technique de base est celle des cmf, et notre travail aete profondemen* *t influence par des travaux recents en theorie des cmf, ceux de Hirschhorn [59], de Dwyer-H* *irschhorn- Kan [30], aussi ceux de de Goerss-Jardine [46] et de Hovey [61] [60], ainsi que* * par les travaux moins recents de Dwyer-Kan sur la localisation [31] [32] [33] [34]. Remerciements Nous remercions C. Walter, N. Mestrano, Z. Tamsamani, P. Hirschhorn, B. Toen* *, R. Brown, A. Bruguieres, T. Goodwillie, L. Katzarkov, M. Kontsevich, G. Maltsiniot* *is, H. Miller, S. Mochizuki, T. Pantev, J. Pradines, C. Rezk, J.Tapia, C. Teleman, D. * *Toledo pour discussions, correspondances, cours, theses, livres qui ont influence le p* *resent travail. Le deuxieme auteur remercie l'universite de Californiea Irvine pour son hospita* *litea la fin de la preparation de ce papier. Nous remercions nos familles pour leur soutien pendant ce travail. 15 2. Les n-categories de Segal Commencons par fixer quelques notations: les categories d'ensembles, d'ense* *mbles simpliciaux, et d'espaces topologiques sont notees respectivement Ens, EnsSpl e* *t T op. Un ensemble simplicial est un foncteur o ! Ens ou est la categorie dont les ob* *jets sont les ensembles ordonnes p := {00; : :;:p0} et les morphismes sont les appli* *cations croissantes. Si X est un ensemble simplicial on notera Xp sa valeur sur p 2 . * * Si A : o ! C est un foncteur, on notera Ap ou parfois Ap=la valeur qu'il prend sur* * p 2 o. On notera |A| la realisation topologique de l' ensemble simplicial A. Si Y est * *une categorie (i.e. 1-categorie) on notera son nerf Y 2 EnsSpl. On utilisera l'abreviation "c* *mf" pour "categorie de modeles fermee" de [83]. Les definitions qui suivent sont des generalisations de definitions de Tamsa* *mani [98] et Dunn [28], quia leur tour reprenaient des idees de Segal [90] [1]. Voir la c* *omparaison ci-dessous. On definit la notion de n-precat de Segal, et la categorie nSeP C de ces obj* *ets, par recurrence sur n. Un ensemble pourra ^etre considere comme n-precat de Segal: i* *l y aura un foncteur (pleinement fidele) Ens ! nSeP C. Un objet dans l'image de ce fonc* *teur sera appele "un ensemble discret". Pour n = 0, une 0-precat de Segal est par de* *finition un ensemble simplicial; et le foncteur Ens ! 0SeP C associea un ensemble S le f* *oncteur S_: o ! Ens constanta valeurs S. Pour n 1, une n-precat de Segal est un foncte* *ur o ! (n - 1)SeP C note p 7! Ap=, tel que A0=soit un ensemble discret qu'on notera aussi A0. Un mo* *rphisme de n-precats de Segal est une transformation naturelle de foncteurs o ! (n - 1)* *SeP C, ce qui definit la categorie nSeP C. Le foncteur Ens ! nSeP C est celui quia un * *ensemble S associe le foncteur compose S_ o ! Ens ! (n - 1)SeP C: On peut devisser la recurrence dans cette definition. Si on veut suivre les * *notations de Tamsamani [98], une n-precat de Segal est donc un ensemble n + 1-simplicial,* * i.e. un foncteur (o)n+1 ! Ens note (m1; : :;:mn+1) 7! Am1;:::;mn+1, qui satisfait les conditions de constance* * selon lesquelles pour mi= 0 le foncteur est constant en les variables mi+1; : :;:mn+1. Ces conditions de constance peuvent ^etre prises en compte une fois pour tou* *tes en in- troduisant la categorie n+1, quotient de n+1 [94]. On rappelle que n+1 est la c* *ategorie 16 dont les objets sont les suites (m1; : :;:mi) pour i n + 1, avec mi2 et avec * *les iden- tifications (m1; : :;:mj = 0; : :;:mi) =: (m1; : :;:mj-1): L'objet (0; : :;:0) est aussiequivalenta la suite de longueur 0 qui est notee 0* *. Les mor- phismes proviennent des morphismes de avec le changement induit par ces identi* *fica- tions; cf [94] ou [95]. Pour k n et pour M = (m1; : :;:mk) 2 k on note AM= la n - k-precat de Segal (m01; : :;:m0n+1-k) 7! Am1;:::;mk;m01;:::;m0n+1-k: Pour k = 1 ceci concorde avec la notation Ap= introduite plus haut. Une n-precat de Segal peutetre vue comme foncteur (n+1)o ! Ens; sans autre condition (les conditions de constanceetant prises en compte par le * *fait que n+1 est le quotient adequat de n+1). De ce fait, nSeP C appara^it comme la cate* *gorie des prefaisceaux d'ensembles sur n+1, et donc admet toutes les limites et colim* *ites avec petite indexation, ainsi qu'un Hom__interne. En fait, le point de vue le plus utile est un melange des deux points de vue* * du para- graphe precedent: une n-precat de Segal peut (voire doit) ^etre consideree com* *me un foncteur A : (n)o ! EnsSpl note M 7! AM , tel que, pour |M| < n, l'ensemble simplicial AM est un ensemble* * discret. Il est parfois utile de confondre les ensembles simpliciaux et les espaces topo* *logiques, et on obtient essentiellement la m^eme notion en considerant les foncteurs (n)o ! * *T op. On dira que A0 est l'ensemble des objets de A. Pour deux objets x; y 2 A0 on* * notera A1=(x; y) la pre-image de (x; y) 2 A0 x A0 par le morphisme A1=! A0 x A0 induit par les deux applications "faces" de la structure simpliciale. On dira q* *ue A1=(x; y) est la n - 1-precat de Segal des morphismes entre x et y. On utilisera parfois * *cette m^eme notation (qui est assez compacte) pour l'ensemble des morphismes entre deux obj* *ets d'une categorie ou pour l'ensemble simplicial des morphismes entre deux objets d'une * *categorie simpliciale. On definit maintenant les n-categories de Segal, qui sont les n-precats de S* *egal sat- isfaisant certaines conditions de "specialite" generalisant la condition origin* *elle de Segal [88]. Pour formuler ces conditions on a besoin d'une grande recurrence comme da* *ns [98], 17 cf aussi le resume dans [95]. On va definir simultanement par recurrence sur n* *: la condi- tion pour qu'une n-precat de Segal soit une n-categorie de Segal; la condition* * pour qu'un morphisme entre deux n-categories de Segal soit uneequivalence; et l'ensemble * *"tronque" o0 (A) associea une n-categorie de Segal A. D'abord pour n = 0, et par definit* *ion: toute 0-precat de Segal i.e. ensemble simplicial, est une 0-categorie de Segal; un * *morphisme est uneequivalence si c'est uneequivalence faible d'ensembles simpliciaux, i.e* *. s'il induit des isomorphismes entre les groupes d'homotopie (et les ss0) des realisations * *topologiques; et le tronque o0 (A) d'un ensemble simplicial A est l'ensemble ss0(|A|). Pour* * le reste, la recurrence est identiquea celle de Tamsamani [98]: soit n 1 et on suppose * *que les definitions sont disponibles au-niveau n - 1. Soit A une n-precat de Segal, vu* *e comme foncteur A : o ! (n - 1)SeP C; p 7! Ap=: On dira que A est une n-categorie de Segal si les Ap= sont des n - 1-categorie* *s de Segal, et si pour tout p le morphisme de n - 1-precats de Segal Ap=! A1=xA0 : :x:A0A1= est uneequivalence de n - 1-categories de Segal. Ce dernier "morphisme de Sega* *l"etant celui dont les composantes sont les applications duaux aux inclusions {i; i+1}* * {0; : :;:p} dans , voir [89], [1], [28], [98]. Si A est une n-categorie de Segal, alors le foncteur p 7! o0 (Ap=) o ! Ens est le nerf d'une categorie qu'on note o1 (A). On definit o0 (A) comme l'ense* *mble des classes d'isomorphisme de la categorie o1 (A). Si A et B sont des n-categories* * de Segal et f : A ! B est un morphisme (i.e. morphisme de nSeP C) on dira que f est une equivalence si le morphisme induit o0 (A) ! o0 (B) est surjectif (on dira alors que "f est essentiellement surjectif"), et si pou* *r tout couple d'objets x; y 2 A0, le morphisme A1=(x; y) ! B1=(f(x); f(y)) est uneequivalence de n - 1-categories de Segal (on dira alors que "f est plei* *nement fidele"). Comparer avec la notion d'equivalence entre categories simpliciales * *de [34]. C'est seulement pour une n-categorie de Segal A qu'il est raisonnable de co* *nsiderer la n-1-categorie des morphismes entre deux objets A1=(x; y). Une 1-fleche de A es* *t un objet de A1=(x; y). Par iteration on obtient la notion de i-fleche de A [98]. Soit 1* *i2 n l'objet 18 (1; : :;:1) (i fois), image de l'objet (1; : :;:1; 0; : :;:0) 2 n. Une i-fleche* * de A (i < n) est unelement de l'ensemble A1i. Pour i = n, A1n est un ensemble simplicial et une * *n-fleche de A est un sommet (i.e. unelement de la partie de degre 0) de l'ensemble simpl* *icial A1n. Les morphismes faces en la i-ieme variable simpliciale fournissent les applicat* *ions source et but quia une i-fleche associent des i - 1-fleches (une 0-fleche est un objet* * i.e.element de A0). Soit A une n-categorie de Segal. Suivant [98], on dira qu'une i-fleche (i * *1) est inversibleaequivalence pres oua homotopie pres si son image comme 1-fleche dans* * la 1-categorie o1 (A1i-1=) est inversible. Voir [98] pour plus de details. On di* *ra (toujours suivant [98]) que A est un n-groupo"ide de Segal si pour tout 1 i n, toutes l* *es i-fleches sont inversiblesaequivalence pres. Plus generalement, pour 0 k n on dira que* * A est k-groupique si les i-fleches sont inversiblesaequivalence pres pour tout i * *> k. En particulier, A est toujours n-groupique, et A est 0-groupique si et seulement s* *i c'est un n-groupo"ide de Segal. Comparaison avec Tamsamani et Dunn On compare avec [98] et [28]. Tamsamani ([98], 1995) considere les foncteurs (o* *)n ! Ens et leur impose les conditions de constance ainsi que les conditions de Segal cf* * ci-dessous, obtenant la notion de n-categorie (faible). Dans [94], on introduit la notion d* *e n-precat en relaxant toutes sauf les conditions de constance. Une n-precat (resp. n-cate* *gorie de Tamsamani), qui est un foncteur n ! Ens, peut ^etre vue comme une n-precat de S* *egal en composant avec l'inclusion Ens ! EnsSpl. Plus generalement, les n-precats de Segal (resp. n-categories de Segal) tel* *les que les valeurs du foncteur n ! EnsSpl soient des ensembles simpliciaux 0-tronques * *(i.e. reeunion disjointe de composantes contractiles) correspondenta des n-precats (r* *esp. n- categories) par composition avec ss0 : EnsSpl ! Ens. Avec cette traduction, la* * plu- part de nosenonces sur les n-categories de Segal restent vrais mutatis mutandis* * pour les n-categories (la seule exception concerne la propriete de descente_non pres* *ervee par troncation_pour des localisees de Dwyer-Kan, qui ne sont pas tronquees en gener* *al). Nous formulons souvent nosenonces seulement dans le cadre des n-categories de S* *egal, laissant au lecteur le soin d'ecrire lesenonces correspondants pour les n-categ* *ories. En revanche, on reviendra plus loin sur les compatibilites entre les notions de n-* *categorie et n-categorie de Segal (et aussi sur les compatibilites entre differentes valeurs* * de n). Dunn, dans [28] (soumis en 1993, paru en 1996 mais resumant sa these de 1984* *, et qui fait referencea Cobb [23]) considere_entre autres "delooping machines"_le n* *-ieme itere de la machine de Segal dont la categorie sous-jacente est celle des fonct* *eurs A : (o)n ! T op 19 tels que Am1;:::;mn= * si mi = 0 (cf. [28], debut du x3). On pourra appeler c* *es objets "n-precats de Dunn". En remplacant T op par EnsSpl et en passant au quotient, * *on obtient les n-precats de Segal A verifiant AM = * pour |M| < n. Dunn impose aussia ses objets la condition de specialite en chaque variable * *simpliciale ([28] Definition 3.1) et on pourrait appeler les objets qui satisfonta cette co* *ndition, les "n-categories de Dunn". On peut verifier que cette condition co"incide avec la * *condition d'^etre une n-categorie de Segal, dans le cas qu'il considere ou AM = * pour |* *M| < n. En somme, Dunn avait regarde les n-categories de Segal ayant une seule i-fleche po* *ur tout i < n. Les definitions de Dunn et de Tamsamani sont basees sur l'idee d'iterer la c* *onstruction de Segal [88]. Elles sont complementaires comme le sont la tour de Postnikov et* * la tour de Whitehead: chez Dunn (comme chez Whitehead) il s'agit de l'homotopie en degres * * n tandis que chez Tamsamani (comme chez Postnikov) il s'agit de l'homotopie en de* *gres n. La notion de n-precat de Segal permet d'integrer ces deux points de vue. En* * outre, dans les variables "n-categoriques" on peut avoir des fleches non (homotopiquem* *ent) inversibles. Il s'agit donc d'une definition qui permet d'avoir de l'homotopie * *en tout degre, et des fleches non-inversibles en degres n. C'est un avatar de la notion (non* * encore totalementelucidee) de 1-precat qui permettrait d'avoir des fleches non-inversi* *bles en tout degre. Nous avons decide de faire la presente redaction dans le cadre des * *n-precats de Segal, par souci de simplicite et aussi parce que, sur les exemples que nous* * avons en vue, la non-inversiblite des fleches n'entre en jeu que pour un nombre fini de * *degres. L'operation SeCat L'une des idees de base qui permettaient d'obtenir la structure de categorie* * de modeles fermee pour les n-precats dans [94]etait l'operation Cat, qu'on peut resumer tr* *es simple- ment en disant qu'elle force la condition d'^etre une n-categorie. Ce procede s* *'applique de la m^eme facon dans notre cadre des n-precats de Segal: on aura une operation q* *u'on notera A 7! SeCat(A) avec une transformation naturelle iA : A ! SeCat(A), qui transfor* *mera toute n-precat de Segal en n-categorie de Segal. En fait au lieu de fixer precisement l'operation SeCat, on donne la definiti* *on suivante. Definition 2.1 On appellera operation de type SeCat tout couple (F; i) ou F : n* *SeP C ! nSeP C est un foncteur et iA : A ! F (A) une transformation naturelle, possedan* *t les pro- prietes suivantes: (a)_pour tout n-precat de Segal A, F (A) est une n-categorie de Segal; (b)_iA est un isomorphisme sur les ensembles d'objets, et si A est une n-catego* *rie de Segal alors iA est uneequivalence de n-categories de Segal; et (c)_pour toute n-precat de Segal A, le morphisme F (iA) est uneequivalence de n- categories de Segal. 20 Lemme 2.2 Il existe une operation de type SeCat. Si (F 1; i1) et (F 2; i2) * *sont deux operations de type SeCat alors elles sontequivalentes en ce sens que F 1(i2A) : F 1(A) ! F 1(F 2(A)) est uneequivalence de n-categories de Segal pour toute n-precat de Segal A. En * *particulier, si f : A ! B est un morphisme de n-precats de Segal alors F 1(f) est uneequival* *ence de n-categories de Segal si et seulement si F 2(f) l'est. Preuve: Pour l'existence, on peut utiliser une definition analoguea celle de [* *94] qui traite le cas des n-precats (non de Segal) (pour une autre approche, voir la di* *scussion plus loin). Pour les ensembles simpliciaux du dernier degre, il faut remplir t* *outes les "cornes" (extensions anodines de Kan). Pour l'unicite, on utilise la m^eme demo* *nstration que celle de [94] Proposition 4.2. En fait cette demonstration doit ^etre coup* *lee avec la demonstration du theoreme 3.1 dans une recurrence sur n comme c'est fait dans [* *94]. On note que le cas n = 0 est trivialement vrai. Si f : A ! B et si F 2(f) est uneequivalence alors dans le diagramme F1(i2A) 1 2 F 1(A) ! F (F (A)) F1(f)# # F1(F2(f)) F1(i2A) 1 2 F 1(A) ! F (F (A)) la fleche F 1(F 2(f)) est uneequivalence car F 1transformeequivalences de n-cat* *egories de Segal enequivalences d'apres 2.1 (b). Les fleches horizontales sont desequivale* *nces par le resultat d'unicite ci-dessus. Donc F 1(f) est uneequivalence. * * 2 On appellera SeCat toute operation qui satisfait les criteres de la definiti* *on 2.1. Nous donnons maintenant une variante commode, deja presente (pour les n-precats) dan* *s [94] et exploree dans [96] pour les 1-precats de Segal. Pour n = 0 on peut prendre l* *e foncteur identite avec la transformation naturelle identite. Soit n 1 et supposons con* *struite l'operation SeCat pour les n - 1-precats de Segal. Soit A une n-precat de Sega* *l. On definit une n-precat de Segal F ix(A) avec les m^emes objets que A en posant (p* *our p 1) F ix(A)p=(x0; : :;:xp) := SeCat(Ap=(x0; : :;:xp)): Ceci a pour effet de transformer les Ap= en n-categories de Segal. On a un mor* *phisme naturel A ! F ix(A). D'autre part, pour tout m 2 on definit une n-precat de S* *egal Gen[m](A) munie d'un morphisme A ! Gen[m](A) induisant un isomorphisme sur les ensembles d'objets, par ` a Gen[m](A)q=:= Aq=[ q!mAm= G[m] q!m 21 ou Am= !a G[m] !b A1=xA0 : :x:A0A1= est une factorisation du morphisme de Segal, ou a est une cofibration et b unee* *quivalence faible, (qui existe par le theoreme 2.3 qu'on suppose connu pour n - 1). Les co* *produits dans la definition de Gen[m] sont pris avec tous les morphismes q ! m dans qui* * ne se factorisent pasa travers une ar^ete principale 1 ! m. Voir [94] ou [96] pour* * comment definir les morphismes de fonctorialite Gen[m](A)q=! Gen[m](A)p= pour p ! q. Ma* *in- tenant on definit Gen comme le compose pour tout m 2 des Gen[m] et SeCat s'obt* *ient en iterant une infinite denombrable ! de fois le compose F ix O Gen. Cette ope* *ration d'apparence tres ineffective a en realite d'assez bonnes proprietes d'effectivi* *te, voir [96]. On peut voir une n-precat A comme un systeme de generateurs et relations pou* *r definir une n-categorie, et SeCat(A) comme la n-categorie ainsi engendree. La structure de categorie de modeles fermee On definit maintenant la structure de categorie de modeles fermee sur nSeP C. Un morphisme A ! B de n-precats de Segal sera une cofibration si AM ! BM e* *st injectif pour tout M 2 n+1 (cette condition est differente de la condition pour* * les n + 1- precats de [94] car ici nous exigeons aussi l'injectivite pour |M| = n + 1). Un* *e cofibration est donc simplement une injection de prefaisceaux d'ensembles. On dira qu'un morphisme A ! B de n-precats de Segal est uneequivalence faibl* *e si le morphisme SeCat(A) ! SeCat(B) est uneequivalence de n-categories de Segal. Cette propriete est independante du choix de la construction SeCat gr^ace au lemme 2.* *2. Et on dira qu'un morphisme A ! B de n-precats de Segal est une fibration s'i* *l possede la propriete de relevement pour les cofibrations triviales (celles qui sont des* *equivalences faibles). Rappelons ([83]) que, par definition, la propriete de relevement assu* *re que pour toute cofibration triviale E ! E0, et tout paire de morphismes E ! A et E0 ! B * *qui forment un carre commutatif, il existe un morphisme E0 ! A rendant commutatif l* *es deux triangles dans le carre. Theoreme 2.3 Les trois classes de morphismes ci-dessus font de la categorie d* *es n- precats de Segal une categorie de modeles fermee. La demonstration entre dans le cadre plus general de la comparaison entre no* *tions de n-categorie de Segal et/ou n-categorie, pour differentes valeurs de n. On abor* *de cette discussion avant la demonstration de 2.3. 22 Changement de n La categorie de modeles fermee des n-precats de Segal de 2.3 est une sorte d* *e substitut pour la notion d'1-categorie, dans laquelle les i-fleches sont inversiblesaequi* *valence pres, pour i > n. Si on admet l'existence d'une theorie des 1-categories conve* *nable, l'equivalence passera par la construction A 7! 1 O A qui transforme une n-preca* *t de Segal en une 1-precat, avec un 1 qui fait correspondre un 1-groupo"idea tout e* *space topologique ou ensemble simplicial de Kan. Nous ne voulons pas entrer dans les * *details de la notion de 1-categorie ici, car la version "n-categories de Segal" convien* *t pour nos applications. Ce choix est d'autant plus raisonnable qu'on peut construire des * *foncteurs A 7! m;SeO A pour passer de na n + m. Rappelons que Tamsamani [98] a defini un foncteur "n-groupo"ide de Poincare" n : T op ! nCat ou nCat est la sous-categorie pleine de la categorie nP C des n-precats, formee* * des n- categories. Ce foncteur generalise le "groupo"ide de Poincare" 1(X) classique.* * Tam- samani a montre que ce foncteuretablit uneequivalence entre les theories homoto* *piques des espaces topologiques n-tronques (i.e. ou les ssi s'annulent pour i > n) et* * des n- groupo"ides (i.e. n-categories ou les fleches sont inversiblesaequivalence pre* *s). Plus precisement, il a construit un foncteur "realisation topologique" < : nCat ! T op et desequivalences n O < ~= 1 et < O n ~= 1 pour les restrictions de ces foncte* *urs aux categories T opn des espaces topologiques n-tronques et nGpd des n-groupo"i* *des. On adoptera donc le point de vue que les n-groupo"ides peuventetre librement rempl* *aces par les espaces topologiques (ou ensembles simpliciaux) n-tronques. On fait ici quelques remarques qui utilisent des notions qui seront traitees* * plus loin dans le present travail, pour offrir un autreeclairage sur ce resultat d'equivalence* * de Tamsamani (cependant, le lecteur peut s'en passer jusqu'au sigle ""). En appliquant la t* *heorie de Dwyer-Kan [33] qui sera rappelee au x8 ci-dessous, on peut inverser lesequiv* *alences et obtenir des categories simpliciales "localisees" L(T opn) et L(nGpd). Maint* *enant les foncteurs n et < et lesequivalences de Tamsamani, en conjonction avec la propos* *ition 3.5 et le corollaire 3.6 de [32] (cf aussi notre lemme 8.1), donnent uneequival* *ence L(T opn) ~=L(nGpd) de categories simpliciales. On peut pousser un peu plus loin en utilisant nos n* *otations du x11: on note nCAT la n + 1-categorie des n-categories (voir [94]). 11 Notons nG* *P D ________________________________ 11Le lecteur prendra soin de distinguer entre la typographie en majuscules nC* *AT et la typographie qui comporte des minuscules nCat. En effet, nCAT designe la n + 1-categorie des* * n-categories, definie 23 nCAT la sous-n + 1-categorie pleine des n-groupo"ides. Alors nGP D est 1-gro* *upique (i.e. ses n-categories de Hom sont en fait des n-groupo"ides) doncegalea son * *interieur 1-groupique: nGP Dint;1= nGP D. Par le theoreme 11.11 on a L(nP C) ~=L(nP Cf) ~=nCAT int;1: D'autre part, comme on a des remplacements fibrants fonctoriels, toute categor* *ie comprise entre nP C et nP Cf donne la m^eme localisee de Dwyer-Kan; ceci s'applique not* *amment a nP Cf nCat nP C. On obtient ainsi l'equivalence des n + 1-categories L(nCat) ~=nCAT int;1 (plus techniquement, il s'agit ici d'uneequivalence qui passeeventuellement pa* *r des mor- phismes dans les deux sens, car aucune des deux n + 1-precats en question n'es* *t fibrante). La sous-categorie nGpd nCat est definie par une condition invariante parequiv* *alence, donc (par 8.2 ci-dessous) L(nGpd) est la sous-categorie pleine de L(nCat) form* *ee des objets qui sont des n-groupo"ides. Par definition il en est de m^eme pour nGP * *D et donc aussi pour nGP Dint;1. On obtient ainsi l'equivalence L(nGpd) ~=nGP D: Si on applique maintenant la variante (immediate) du theoreme de comparaison d* *e Tam- samani qui donne l'equivalence entre localises de Dwyer-Kan, on obtient uneequ* *ivalence de n + 1-categories L(T opn) ~=nGP D: D'autre part, on peut observer que les ensembles simpliciaux L(T opn)1=(X; Y )* * ont le bon type d'homotopie,a savoir celui de l'espace d'applications Hom__(X; Y ), d* *es que, par exemple, X est un CW-complexe (voir [33] etc). Pour dire les choses autre* *ment, L(T opn) estequivalentea la categorie simpliciale des objets (n-tronques) fibr* *ants et cofi- brants pour n'importe quelle structure de categorie de modeles fermee simplici* *ale pour les espaces topologiques. Donc L(T opn) est "la" n + 1-categorie des espaces n* *-tronques. Cetteequivalence donne donc des precisions sur ce qu'on entend par "les n-grou* *po"ides s'identifient aux espaces topologiques n-tronques". Au vu des remarques precedentes (la version courte aurait suffi), on va dec* *larer qu'un 1-groupo"ide n'est rien d'autre qu'un espace topologique ou ensemble simplicia* *l. Ce point ________________________________ a l'aide de la structure interne cf x11 et ([94] x7); tandis que nCat designe l* *a 1-categorie stricte avec les m^emes objets et les morphismes qui respectent strictement la structure (e* *n particulier, c'est celle-ci qu'avait consideree Tamsamani). On utilise cette m^eme convention pour les cha* *mps plus loin. 24 de vue qui nous guide deja dans la definition des n-categories de Segal nous g* *uide aussi pour comparer ces notions pour differentes valeurs de n. Comme explique au debut de ce chapitre, on peut voir toute n-precat de Sega* *l comme un prefaisceau simplicial au-dessus de n, i.e. un foncteur vers la categorie d* *es ensembles simpliciaux, A : n ! EnsSpl; M 7! AM tel que pour |M| < n l'ensemble simplicial AM est un ensemble discret. De ce point de vue, on peut composer avec le foncteur | | de realisation to* *pologique des ensembles simpliciaux, puis avec le foncteur m de Tamsamani [98]. De faconequi* *valente on peut d'abord appliquer le foncteur Ex1 de Kan pour arriver dans les ensemb* *les sim- pliciaux de Kan, puis la variante adaptee aux ensembles simpliciaux du foncteu* *r m de [98]. Par ces deux procedes (essentiellementequivalents), on obtient une n + * *m-precat qu'on note m O A. Dans l'autre sens, si on a une n + m-precat B, on peut lui appliquer l'oper* *ation n), alors m O n - m). Pour n m on a un morphisme naturel n-m;SeO A ! on (A): En revanche, pour n < m il n'existe pas en general de morphisme A ! Indm;Sen(o* *n (A)) (ni dans l'autre sens). Ceci resulte de l'existence possible de i-fleches non-inve* *rsibles (la notion d'interieur introduite ci-dessous permettra de contourner cette difficulte). C* *ependant, si A est n-tronquee alors on a uneequivalence naturelle ~= m;Se A ! Indn (on (A)): En fait, on peut verifier qu'une m-categorie de Segal A estequivalentea une de* * la forme Indm;Sen(B), ou B est une n-categorie, si et seulement si A est n-tronquee. L'interieur La realisation fournit un moyen de passer d'une n-precat de Segala un ensem* *ble simplicial;ca correspond essentiellementa inverser toutes les fleches pour obt* *enir un 1-groupo"ide qu'on peut voir comme un ensemble simplicial. Cette operation es* *t assez brutale et n'est guere compatible avec les questions de descente. On introdui* *t ici une construction duale (en un sens assez faible), l'interieur d'une n-precat de Se* *gal, qui est bien mieux adaptee aux questions de descente et qui va nous permettre de devis* *ser de facon recurrente la notion de champ en termes d' une notion deja bien connue p* *our les prefaisceaux simpliciaux. 0 Si A est une n-categorie de Segal, on definit l'interieur de A notee Aint;0* *d'abord comme la sous-n-categorie de Segal de A contenant seulement les i-fleches inve* *rsiblesa ho- motopie pres. Plus precisement on dira qu'une i-fleche a 2 A1iest inversiblea * *homotopie pres si l'image de a dans oi A est une i-fleche inversible (rappelons que la c* *omposition * * 0 des i-fleches dans la i-categorie oi A est bien definie, associative, etc.). L* *'interieur Aint;0 * * 0 de A est la sous-n-precat de Segal definie par la condition que a 2 AM est da* *ns Aint;0Msi et seulement si f*(a) est une i-fleche inversiblea homotopie pres, pour tout m* *orphisme 0 f : 1i! M de n+1, pour i n. On voit que Aint;0est une n-categorie de Segal, e* *t plus precisement un n-groupo"ide de Segal. On introduit maintenant 0 Aint;0:= <0 Aint;0; qui est un ensemble simplicial. Cette derniere transformation ne change pas gr* *and-chose 0 int;0 car Aint;0est deja un n-groupo"ide de Segal, et en particulier n;SeO A este* *quivalente 0 a Aint;0. 28 En termes d'1-categories, Aint;0est l'1-groupo"ide universel muni d'un morph* *isme vers A. Plus generalement on definit l'interieur k-groupique Aint;kd'une n-categorie* * de Segal 0 A, pour tout k < n. D'abord0on definit Aint;k A comme la sous-n-precat de Segal* * avec a 2 AM contenu dans Aint;kMsi et seulement si f*a est une i-fleche inversiblea* * homotopie pres pour tout morphisme f : 1i ! M avec k < i n. Autrement dit, c'est seuleme* *nt pour i > k qu' on ne conserve que les i-fleches inversiblesa homotopie pres. Ic* *i encore, 0 on verifie que Aint;kest une n-categorie de Segal k-groupique (i.e. dont les i-* *fleches sont inversiblesa homotopie pres pour i > k). Comme precedemment, on introduit 0 Aint;k:= 0 on va suivre le fil de l'argument de Jardine [63] (qui est en que* *lque sorte resume dans le lemme 2.5). Pour commencer, on impose_comme Jardine_que les cofibrations de n-prechamps de Segal soient les injections, i.e. les morphismes* * A ! B tels que A(X) ! B(X) soit une cofibration pour tout X 2 X . La difference principale avec [63] est qu'il faut donner une definition recu* *rsive (sur n > 0) de l'equivalence faible. On dira qu'un morphisme A ! B de n-prechamps de Segal, ou tous les A(X) et B(X) sont des n-categories de Segal, est uneequivale* *nce faible si: _pour tout X 2 X et tout x; y 2 A0(X) le morphisme A1=(x; y) ! B1=(x; y) est uneequivalence faible de n - 1-prechamps de Segal au-dessus de X =X; et _le morphisme de prefaisceaux d'ensembles o0 A ! o0 B sur X induit une surjecti* *on sur les faisceaux associes. 36 On dira qu'un morphisme A ! B de n-prechamps de Segal est uneequivalence fai* *ble si le morphisme SeCat(A) ! SeCat(B) est uneequivalence faible au sens de la def* *inition ci-dessus. Rappelons que pour n = 0 on a pris l'equivalence d'Illusie comme notion d'eq* *uivalence faible (les definitions ci-dessus n'ayant pas vraiment de sens). On peut observ* *er que ce choix est compatible avec la construction m;SeO A et l'operation de troncation,* * voir le lemme 3.6 et le corollaire 3.7 ci-dessous. Un morphisme de n-prechamps de Segal est une fibration s'il possede la propr* *iete de relevement vis-a-vis des cofibrations triviales. Comparaison avec la topologie grossiere: Notons G la topologie de Grothendie* *ck donnee sur X pour la distinguer de la topologie grossiere. On rappel que la topologie * *grossiere est celle ou la seule crible recouvrant X 2 X est B = X=X (autrement dit pour q* *u'une famille recouvre X il faut qu'elle contient X). On utilisera souvent cette topo* *logie donc il convient de comparer les notions principales pour G et pour la topologie gro* *ssiere. La classe des cofibrations ne depend pas de G. Soit f : A ! B un morphisme de n-pr* *echamps de Segal. Alors: _f est uneequivalence faible pour la topologie grossiere si et seulement si pou* *r tout X 2 X , A(X) ! B(X) est uneequivalence faible de n-precats de Segal; _si f est uneequivalence faible pour la topologie grossiere alors f est une G-e* *quivalence faible; _si f est une G-fibration alors f est une fibration pour la topologie grossiere; _si f est une fibration pour la topologie grossiere alors chaque fX : A(X) ! B(* *X) est une fibration de n-precats de Segal; _(ici on utilise le Theoreme 3.1 ci-dessous) f est une G-fibration triviale si * *et seulement si f est une fibration triviale pour la topologie grossiere. On revient maintenanta la consideration de notre site X avec sa topologie G. Theoreme 3.1 La categorie nSeP Ch(X ) des n-prechamps de Segal avec les trois* * classes de morphismes (cofibrations, G-equivalences et G-fibrations) est une categorie * *de modeles fermee. Pour n = 0 c'est le theoreme de Jardine [63], Joyal [65], K. Brown [19]. On * *peut donc supposer n 1 et supposer par recurrence que le resultat est vrai pour n - 1. Pour la demonstration du Theoreme 3.1 on aura besoin de la notion suivante. * * Soit f : A ! B un morphisme de n-prechamps de Segal. On dira que f est uneequivalence preliminaire si: _le morphisme de prefaisceaux d'ensembles A0 ! B0 induit un isomorphisme entre * *les faisceaux associes; et _pour tout X 2 X et pour chaque suite d'objets x0; : :;:xm 2 A0(X) le morphisme Am=(x0; : :;:xm ) ! Bm=(f(x0); : :;:f(xm )) 37 est uneequivalence faible de n - 1-prechamps de Segal sur X =X. Lemme 3.2 Soit p A ! B # # q 0 A0 ! B un diagramme commutatif de morphismes de n - 1-prechamps de Segal, ou B et B0 * *sont des prefaisceaux d'ensembles. Supposons que le morphisme vertical de droite (q* *u'on note g) induit un isomorphisme entre les faisceaux associes. Alors le morphisme A !* * A0 est uneequivalence faible de n - 1-prechamps de Segal si et seulement si pour tout* * X 2 X et x 2 B(X) le morphisme p-1(x) ! q-1(g(x)) est uneequivalence faible de n-1-prec* *hamps de Segal. C'est une consequence directe de la definition de l'equivalence faible. * * 2 Corollaire 3.3 Un morphisme A ! B de n-prechamps de Segal est uneequivalence preliminaire si et seulement si pour tout m 2 le morphisme Am= ! Bm= de n - 1- prechamps de Segal est uneequivalence faible. Dans ce cas les morphismes A1=xA0 : :x:A0A1=! B1=xB0 : :x:B0B1= sont aussi desequivalences faibles. On note que pour m = 0 c'est la premiere condition pour uneequivalence prelimi* *naire; pour la deuxieme condition on applique le lemme precedent. * * 2 Lemme 3.4 Soit f : A ! B uneequivalence preliminaire de n-prechamps de Seg* *al. Alors f est uneequivalence faible de n-prechamps de Segal. Preuve: Le cas ou les A(X) et B(X) sont des n-categories de Segal est immedia* *t. Il suffit donc de prouver que si f est uneequivalence preliminaire alors il en es* *t de m^eme de SeCat(f) : SeCat(A) ! SeCat(B). Pour ceci on analysera lesetapes decrites d* *ans [94] pour passer de Aa SeCat(A) (la discussion de [94] pour l'operation Cat s'* *adapte directement pour l'operation SeCat, comme on l'a rappele au x2). En outre, il * *s'agit ici de prefaisceaux de n-precats de Segal sur X ; l'operation SeCat est faite obje* *t-par-objet (elle est fonctorielle). La construction SeCat est obtenue en iterant les con* *structions notees F ix et Gen[m] dans [94] et au x2 ci-dessus. L'operation F ix preserve* * le type d'equivalence faible des Am= donc il est clair qu'elle preserve la condition d* *'^etre une equivalence preliminaire. Il s'agit donc de traiter de Gen[m]. 38 L'operation Gen[m] comporte d'abord uneetape notee A 7! A0dans [94], qui pre* *serve le type d'equivalence faible des Ap=. Nous pouvons donc ignorer cette operation* * et noter encore A (resp. B) son resultat. Ensuite on considere un diagramme de la forme g Am= ! G[m](A) ! A1=xA0 : :x:A0A1= ou g est une cofibration triviale de n-prechamps de Segal objet-par-objet (i.e.* * pour la topologie grossiere). (NB la notation G[m] n'a pas de lien avec la notation G * *pour la topologie de Grothendieck, on garde G[m] seulement pour respecter les notations* * de [94].) Maintenant Gen[m](A)p= est le coproduit de Ap= et Am= ! G[m](A) pour divers mor- phismes Am= ! Ap= induits par divers morphismes p ! m. La stabilite des cofibra* *tions G-triviales par coproduit avec des objets cofibrants, pour les n - 1-prechamps * *de Segal, est une consequence du Theoreme 3.1 pour n - 1, via le lemme de Reedy [86]. Don* *c le fait que les morphismes G[m](A) ! G[m](B) et Ap=! Bp= soient desequivalences faibles de n - 1-prechamps de Segal implique qu'il en es* *t de m^eme de Gen[m](A)p= ! Gen[m](B)p=. On obtient par le corollaire 3.3 que Gen[m](A) ! Gen[m](B) est uneequivalence preliminaire. En observant que l'equivalence faib* *le des n - 1-prechamps de Segal et donc l'equivalence preliminaire des n-prechamps de * *Segal est preservee par colimite filtrante, on obtient que SeCat(A) ! SeCat(B) est uneequ* *ivalence preliminaire, donc uneequivalence faible. * * 2 Lemme 3.5 La propriete d'^etre uneequivalence faible est locale: si f : A ! * *B est un morphisme de n-prechamps sur X =X et si B X =X est un crible couvrant X alors f est uneequivalence faible si et seulement si pour tout Y 2 B, f|X=Y est uneequi* *valence faible. Preuve: On raisonne par recurrence sur n. Pour n = 0 c'est une consequence dire* *cte de la definition d'Illusie. Si on suppose que c'est vrai pour n - 1 alors il suffi* *t (au vu de la definition d'equivalence faible) d'observer que le fait que o0 SeCat(A) ! o0 Se* *Cat(B) induise une surjection sur les faisceaux associes est une propriete locale; ce * *qui estevident (on utilise ici les axiomes d'une topologie de Grothendieck). * * 2 Demonstration du theoreme 3.1: Notre preuve est modelee sur l'argument de Ja* *rdine [63] et nous appliquons donc notre lemme 2.5. La propriete (0) est immediate. 39 Il est facile de voir que lesequivalences faibles sont stables sous retracte* *s, par recurren- ce sur n (le cas n = 0 est consequence directe de la definition d'equivalence f* *aible d'Illusie). La stabilite des cofibrations sous retractes est immediate, ce qui donne la con* *dition (1) de 2.5. Pour la propriete "trois pour le prix de deux" ((2) du 2.5), soient f : A ! * *B et g : B ! C deux morphismes. Il est immediat que si f et g sont desequivalences f* *aibles alors gf aussi; et que si gf et g sont desequivalences faibles alors f aussi (o* *n remarque que la premiere condition pour g entraine que le morphisme o0 B ! o0 C induit une i* *njection entre les faisceaux associes, donc la surjectivite essentielle de gf implique c* *elle de f). Il faut montrer que si gf et f sont desequivalences faibles alors g est uneequival* *ence faible. La condition d'essentielle surjectivite estevidente; le probleme est la premier* *e condition (voir la demonstration analogue dans [94], Lemma 3.8). Cette condition est faci* *lea verifier pour des objets x; y 2 B0(X) de la forme x = f(u) et y = f(v) avec u; v 2 A0(X)* *. Pour le cas general, soient x; y 2 B0(X). Alors pour tout Y dans une famille couvran* *te de X on peut trouver des objets uY et vY dans A0(Y ) avec desequivalences i : f(uY ) ~=x|Y ; j : f(vY ) ~=y|Y (ce sont des 1-morphismes dans B(Y )). On peut dire que "la composition avec i* * et j" induit uneequivalence objet-par-objet entre B1=(f(uY ); f(vY ))|X=Y et B1=(x; y* *)|X=Y (pour preciser ceci il faut une discussion analoguea celle precedant le Lemma 3.8 dan* *s [94]). Le fait que ~= B1=(f(uY ); f(vY ))|X=Y ! C1=(gf(uY ); gf(vY ))|X=Y soit uneequivalence implique que B1=(x; y)|X=Y ! C1=(g(x); g(y))|X=Y est uneequivalence. Ceci pour tout Y dans la famille couvrant X. Comme la condi* *tion d'^etre uneequivalence faible est locale (lemme 3.5) on obtient que B1=(x; y)|X=X ! C1=(g(x); g(y))|X=X est uneequivalence, ce qui est la condition cherchee. Si B0 ! B est un morphisme qui possede la propriete de relevement pour toute cofibration A ! A0, alors on obtient en particulier la propriete de relevement * *vis-a-vis des cofibrations de la forme CX ! C0Xou CX est le n-prechamp de Segal engendre libr* *ement par une n-precat de Segal C au-dessus d'un objet X 2 X ; et ce morphisme provie* *nt par la m^eme construction d'une cofibration C ! C0. Un morphisme CX ! B0s'identifie* *a un morphisme C ! B0(X), et donc pour tout X 2 X , B0(X) ! B(X) possede la propriete de relevement vis-a-vis des cofibrations de n-precats de Segal. Ceci implique * *(par 2.3) 40 que B0(X) ! B(X) est uneequivalence faible, donc B0 ! B est uneequivalence faib* *le objet-par-objet i.e. pour la topologie grossiere. On obtient ainsi la condition* * (3) de 2.5. Comme d'habitude nous laissons au lecteur les questions ensemblistes (4) et * *(5) de 2.5. La stabilite des cofibrations par coproduit ((6) du 2.5) est immediate. Il n* *e reste donc qu'a demontrer la stabilite des cofibrations triviales par coproduit, la condit* *ion (7) de 2.5, ce qui occupera le reste de la demonstration (nous laissons au lecteur le soin * *de verifier la stabilite des cofibrations triviales par limite sequentielle). Soient A ! B une cofibration G-triviale et A ! C un morphisme de n-prechamps* * de Segal. Soit P := B [A C. On veut montrer que C ! P est une cofibration G-triv* *iale. Il suffit de montrer que SeCat(C) ! SeCat(P ) est une G-equivalence faible, or * *on sait (Theoreme 2.3) que le morphisme SeCat(B) [SeCat(A)SeCat(C) ! SeCat(P ) est uneequivalence faible objet-par-objet. Le morphisme SeCat(A) ! SeCat(B) est encore une cofibration G-triviale. Quittea remplacer A, B et C par SeCat(A), Se* *Cat(B) et SeCat(C) respectivement, on peut donc supposer que, pour tout X, A(X), B(X) * *et C(X) sont des n-categories de Segal. On traite d'abord quelques cas particuliers. Cas 1. On suppose que A0 ! B0 induit un isomorphisme sur les faisceaux associes* *. Dans ce cas, il est facile de voir que A ! B est uneequivalence preliminaire. Le res* *ultat qu'on est en train de demontrer, applique aux n - 1-prechamps de Segal et combine ave* *c le Corollaire 3.3, implique que C ! B [A C est uneequivalence preliminaire. Le Lem* *me 3.4 implique alors que c'est uneequivalence faible. Cas 2. On suppose que A ! B est uneequivalence faible et que pour tout X 2 X le morphisme A(X) ! B(X) est essentiellement surjectif. On commence par remarquer * *que le present Theoreme 3.1 est immediat dans le cas de la topologie grossiere. Il * *en resulte qu'il existe une factorisation A ! B0! B dans laquelle, pour la topologie grossiere, le premier morphisme est une cofibr* *ation et le deuxieme est une fibration triviale. Soit B00 B0 defini par la condition que po* *ur tout X 2 X , B00(X) B0(X) est la sous-n-categorie de Segal pleine ayant pour objets* * ceux qui sont dans l'image de A0. Le morphisme B00(X) ! B(X) est encore essentiellem* *ent surjectif et pleinement fidele (car B0(X) ! B(X) est uneequivalence de n-catego* *ries de Segal). Donc B00! B est uneequivalence pour la topologie grossiere. Notre morph* *isme se factorisea travers une cofibration A ! B00. Le lemme de Reedy [86] (cf [59] * *[30] [60] [46]), qui s'applique ici car tous les objets sont cofibrants, implique que le * *morphisme B00[A C ! B [A C 41 est uneequivalence pour la topologie grossiere. Il suffit alors de savoir que C ! B00[A C est uneequivalence faible. Le morphisme A0 ! B000est un isomorphisme (et A ! * *B00 est uneequivalence faible car B00est objet-par-objetequivalenta B), donc notre* * Cas 1 s'applique. Fin de la demonstration: On traite maintenant le cas general (avec les m^emes* * notations B A ! C). Soit U0 B0 l'image de A0. Soit U B le sous-n-prechamp de Segal plein ayant U0 comme ensemble d'objets. Par ailleurs, pour X 2 X , soit V0(X) * *le sous- ensemble des objets de B0(X) qui sontequivalentsa un objet de U0(X) et soit V * * B le sous-n-prechamp de Segal plein correspondant. Objet-par-objet, le morphisme* * U ! V est essentiellement surjectif et pleinement fidele, donc notre Cas 2 s'appliqu* *e. Le morphisme A ! U est uneequivalence faible et il est bijectif sur les obj* *ets; donc le Cas 1 s'applique. Enfin le morphisme de prefaisceaux d'ensembles V0 ! B0 induit un isomorphis* *me entre les faisceaux associes: l'injectivite decoule du fait que le morphisme d* *e prefaisceaux est injectif; et la surjectivite decoule du fait que tout objet de B0(X) est l* *ocalement equivalenta un objet qui provient de A0, donc aussi de V0. Et donc le Cas 1 s'a* *ppliquea nouveau. On a ainsi une suite de cofibrations A ! U ! V ! B avec qui les coproduits induisent desequivalences faibles d'apres les cas 1, 2* * et 1 respec- tivement. Ceci prouve que le coproduit le long de A ! B induit lui aussi uneeq* *uivalence faible. * * 2 Compatibilite avec les troncations Soit A un m-prechamp de Segal, et A ! A0 un remplacementequivalent objet-pa* *r- objet tel que les A0(X) soient des m-categories de Segal (e.g. A0 est un remp* *lacement fibrant pour la topologie grossiere). On considere le n-prechamp sur X : on A := X 7! on (A0(X)): On utilise ici le mot "n-precat" dans son sens de [94] et "n-prechamp" pour pr* *efaisceau de n-precats. Remarque: cette construction aete note oprenpar le deuxieme auteur dans d'* *autres papiers; en effet, dans ces papiers on avait reserve la notation on pour le c* *hamp associe 42 (cf x9 et x13 ci-dessous)a opren; mais du point de vue qu'on adopte ici, un pr* *echamp est faiblementequivalenta son champ associe, et on n'a pas besoin de faire cette d* *istinction de notation. Il faudra cependant faire attention que si A est un champ (cf x9)* * alors on A n'est plus forcement un champ. Lemme 3.6 Soit f : A ! B un morphisme de m-prechamps de Segal. Alors f est * *une equivalence faible pour la topologie G si et seulement si, pour tout n, on (A) ! on (B) est une G-equivalence faible de n-prechamps. Preuve: On verifie d'abord que si A et B sont des n-prechamps de n-groupo"ide* *s alors f : A ! B est uneequivalence faible (en utilisant notre definition pour les n-* *prechamps de Segal) si et seulement si <0 A ! <0 B est uneequivalence faible d'Illusie de p* *refaisceaux simpliciaux. On montre ceci par recurrence sur n, on peut donc supposer que c'* *est vrai pour n - 1. Pour x; y 2 A0(X) on a P athx;y<0 A ~=<0 (A1=(x; y)) (objet-par-objet on deduit ceci de [98]), et la m^eme chose pour B. Gr^acea l'* *hypothese de recurrence on obtient que A1=(x; y) ! B1=(fx; fy) est uneequivalence faible si et seulement si P athx;y<0 A ! P athfx;fy<0 B est uneequivalence faible d'Illusie. D'autre part le prefaisceau d'ensembles * *o0 A est isomorphe au prefaisceau d'ensembles ss0 O <0 A, donc on obtient que o0 A ! o0 B induit une surjection entre les faisceaux associes, si et seulement si ss0 O <0 A ! ss0 O <0 B induit une surjection entre les faisceaux associes. On conclut cette partie en* * remarquant qu'un morphisme f : U ! V de prefaisceaux simpliciaux est uneequivalence fa* *ible d'Illusie, si et seulement si (a) pour tout x; y 2 U0(X), P athx;y(U) ! P athf* *x;fy(V ) est uneequivalence faible d'Illusie, et (b) le morphisme ss0O U ! ss0O V induit un* *e surjection entre les faisceaux associes (l'argument pour justifier cette remarque est imm* *ediat). 43 Maintenant on traite le lemme pour m = 0: soit f : U ! V un morphisme de prefaisceaux simpliciaux. On sait que la troncation de Postnikov F ! 1 (c'est le cas quand les ensembles simpliciaux de mo* *rphismes sont n - 1-tronques). Une categorie simpliciale 14 est une categorie enrichie sur les ensembles si* *mpliciaux (voir [66]). C'est donc un ensemble d'objets Ob(C), muni, pour toute paire d'o* *bjets x; y 2 Ob(C), d' un ensemble simplicial MorC (x; y) dit des morphismes de x ver* *s y, avec une loi de composition MorC (x; y) x MorC (y; z) ! MorC (x; z) qui est strictement associative, et des identites 1x 2 (MorC (x; x))0. Les categories simpliciales ont joue, depuis longtemps deja, un r^ole cle en* * theorie de l'homotopie,a commencer par Kan et Quillen; voir ensuite [31] [32] [33], partic* *ulierement l'introduction de [34], et plus recemment [30]; dans la m^eme volume que [34] o* *n releve immediatement d'autres papiers qui utilisent de facon essentielle cette notion,* * par exemple celui de Waldhausen. Si C est une categorie simpliciale, on definit la 1-categorie de Segal assoc* *iee, qu'on note encore C, comme la categorie de Segal definie par C0 := Ob(C); et pour x0; : :;:xp 2 C0, Cp=(x0; : :;:xp) := MorC (x0; x1) x MorC (x1; x2) x : :x:MorC (xp-1; xp* *): Les morphismes de la structure simpliciale sont definis (de faconevidente) en u* *tilisant la composition en cas de besoin. Par exemple, la composition elle-m^eme devient* * le mor- phisme de face 02 C1=(x; y) x C1=(y; z) = C2=(x; y; z) ! C1=(x; z): Un foncteur entre deux categories simpliciales est uneequivalence si et seul* *ement si le morphisme correspondant entre 1-categories de Segal est uneequivalence. On va m* *ontrer, ________________________________ 14On fait ici un leger abus de notation: en principe une "categorie simplicia* *le" devrait plut^ot ^etre un objet simplicial dans Cat, en particulier les objets devraient former un ens* *emble simplicial. Nous imposons la condition supplementaire que l'ensemble simplicial d'objets soit co* *nstant i.e. un ensemble discret. 66 en utilisant la theorie de la localisation de Dwyer-Kan qui sera traitee ci-de* *ssous, que toute 1-categorie de Segal estequivalentea une categorie simpliciale. Plus precisem* *ent, si A est une 1-categorie de Segal et A0 son remplacement fibrant alors il existe un* *e categorie simpliciale C et uneequivalence C ! A0. Pour notre traitement des morphismes, champs, etc. nous utilisons systemati* *quement le point de vue des 1-categories de Segal. Signalons ici que les techniques q* *ue nous utilisons sont aussi disponibles, ou en voie de developpement, pour les catego* *ries sim- pliciales. Dwyer, Hirschhorn et Kan decrivent une categorie de modeles fermee * *pour les categories simpliciales, ou les cofibrations sont les retractions d'extensions* * libres (iterees) [30]. D'autre part, Cordier et Porter ont developpe une theorie des morphisme* *s "ho- motopiquement-coherents" entre deux categories simpliciales [24]. Si C et D s* *ont deux categories simpliciales, ils definissent une categorie simpliciale Coh(C; D) d* *e foncteurs et transformations naturelles "coherents" entre C et D. La notion de composition * *pour de tels foncteurs est un peu problematique (car la 2-categorie de Segal 1SeCAT n'* *est pas equivalentea une 2-categorie stricte simpliciale), et c'est le sujet d'une gran* *de partie du papier [24]. Il reste notammenta faire le lien entre ces differents points de vue. On p* *eut isoler deux problemes: Probleme 7.1 Donner uneequivalence (a la Quillen) entre la cmf des categorie* *s sim- pliciales de Dwyer-Hirschhorn-Kan [30], et la cmf des 1-precats de Segal du th* *eoreme 2.3; Probleme 7.2 Etant donnees deux categories simpliciales C et D, construire u* *neequi- valence de 1-categories de Segal Coh(C; D) ~=Hom__(C0; D0) ou Coh(C; D) est la categorie simpliciale definie par Porter et Cordier [24], * *C0 et D0sont des remplacements fibrants des categories de Segal correspondanta C et D et Ho* *m__(C0; D0) est le Hom interne des 1-precats de Segal (qui sera traite au x11 ci-dessous). On fait un pas vers le premier de ces problemes dans le corollaire 8.10 ci-* *dessous, ou on montre que toute 1-categorie de Segal estequivalentea une 1-categorie simpl* *iciale. Remarque: La categorie de modeles fermee de Dwyer-Hirschhorn-Kan ne peut pa* *s ^etre "interne" (voir x11 ci-dessous) car les cofibrations sont des extensions libre* *s (iterees) de categories et ne sont donc pas stables par produit direct. En particulier, la * *construction de [94] (voir aussi x11 ci-dessous) d'une categorie stricte enrichie pour les obj* *ets en question, ne peut pas s'adaptera cette categorie de modeles fermee. En fait, il ne peut pas exister une categorie stricte SplCAT enrichie sur l* *es 1-categories simpliciales et ayant le bon type d'homotopie (i.e.equivalentea 1SeCAT ). Car * *si SplCAT 67 existait, on pourrait effectuer la troncation o3 SplCAT , c'est-a-dire une tro* *ncation 2 pour les categories simpliciales de morphismes, ou encore une troncation 1 * *pour les ensembles simpliciaux de 2-morphismes. Or la troncation o1 donne une 1-ca* *tegorie stricte, et est compatible aux produits directs. Ceci entrainerait que o3 SplC* *AT serait une 3-categorie stricte. Mais 1SeCAT a des produits de Whitehead non triviaux,* * ce qui implique que o3 (1SeCAT ) ne peut pasetreequivalentea une 3-categorie stricte. Produits et coproduits homotopiques Dans une categorie simpliciale on a une notion de produit fibre homotopique* * et la notion duale de coproduit homotopique. En fait, on dispose de ces notions dans une n-* *categorie de Segal cf [95] mais on se borne ici au cas n = 1. C'est un cas particulier d* *e la notion de limite (ou de colimite), voir [95] et x14 ci-dessous. Soit A une categorie simpliciale, avec X; Y; Z 2 A0 et des morphismes (i.e.* * sommets de l'ensemble simplicial HomA(.; .)) f : X ! Y et g : Z ! Y . Si U 2 A0 est un* * objet muni de morphismes p : U ! X et q : U ! Z et d'une homotopie fl : fp ~ gq on d* *ira que (U; p; q; fl) est un produit fibre homotopique et onecrira U = X xhYZ si, pour tout objet V 2 A0 le morphisme V;U induit par (p; q; fl) HomA(V; U) ! HomA(V; X) xhHomA(V;YH)omA(V; Z) est uneequivalence faible;a droite il s'agit du produit fibre homotopique d'en* *sembles simpliciaux (obtenu par remplacement d'un des morphismes par une fibration de * *Kan), et le morphisme est definia homotopie pres apres remplacementa droite par un e* *nsem- ble simplicial de Kan. En fait le lecteur pourrait imaginer qu'on a fp = gq e* *t que fl est l'homotopie constante_ce sera le cas notamment dans nos exemples provenant* * des categories de modeles fermees_mais si on imposait cette condition alors la not* *ion ne serait pas invariante parequivalence A ~=A0de categories simpliciales. Si fp e* *t gq sont egaux, le morphisme ci-dessus est bien definia valeurs dans le produit fibre st* *rict habituel (non-homotopique). Si (V; p0; q0; fl0) se trouve ^etre un autre produit fibre homotopique (pou* *r les m^emes donnees) alors la fibre homotopique de V;U au-dessus de (p0; q0; fl0) est cont* *ractile, tout comme celle de U;V au-dessus de (p; q; fl), ce qui fournit des ensembles simpl* *iciaux con- tractiles canoniques de morphismes U ! V et V ! U, et assure l'unicite essenti* *elle du produit fibre homotopique (U; p; q; fl) s'il en existe un. On dira que A admet des produits fibres homotopiques s'il existe un produit* * fibre homotopique (U; p; q; fl) = X xhYZ pour tout couple de morphismes X ! Y Z de* * A. 68 f g On a une notion duale de coproduit homotopique: si X Y ! Z est un diagra* *mme dans A, le coproduit homotopique correspondant est un quadruplet(U; i; j; ffi) * *avec i : X ! U, j : Z ! U et ffi une homotopie if ~ jg. On laisse au lecteur le soin de don* *ner des precisions analoguesa ce qui est dit plus haut pour le produit. On notera le co* *produit homotopique (U; i; j; ffi) = X [YhZ; et on dira que A admet des coproduits homotopiques s'il existe un tel coproduit* * homo- f g topique pour tout couple de morphismes X Y ! Z. Ces notions sont les generalisations aux objets d'une categorie simpliciale * *quelconque, des holim et hocolim de Bousfield-Kan [15] et al.. Ces notions peuvent ^etre definies de la m^eme facon pour une 1-categorie de* * Segal Aa condition de choisir un scindage A1=xA0 A1= ! A2= (un tel scindage existe par e* *xemple si A est fibrante) fournissant un morphisme de composition A1=xA0 A1=! A1=; et * *on n'a pas besoin des relations de coherence superieures. On laisse ce developpement a* *u lecteur, ainsi que le soin de verifier que ces notions de limites et colimites sont comp* *atibles avec les definitions de [95]. Dans [41], Gabriel et Zisman ont introduit une notion de produit fibre homot* *opique dans une 2-categorie stricte, et ils l'ont utilisee pour construire le foncteur* * sur la categorie homotopique Ho(T op) donnant lieua la suite exacte longue d'une fibra* *tion. Dualement ils ont introduit une notion de coproduit homotopique et l'ont utilis* *ee pour construire le foncteur sur Ho(T op). Dans les deux cas, en utilisant la struct* *ure de 2- categorie, ils produisent des limites ou colimites bien definies dans la 1-cate* *gorie obtenue par troncation (en l'occurrence la categorie homotopique). On peut voir la not* *ion de produit fibre homotopique ci-dessus comme une generalisation de leur notion au * *cas des n-categories (1-groupiques) quand n tend vers l'infini. Expliquons en quoi les * *deux con- structions sont compatibles: si A est une categorie simpliciale alors la constr* *uction de [41] pour T op s'etend en une version de o2 A qui est une 2-categorie stricte; et on* * peut alors appliquer l'argument de [41]a o2 A. Si A admet des produits fibres homotopique* *s au sens ci-dessus, alors o2 A verifie les conditions (A), (B), (C) de [41], et le * *produit qu'ils definissent est l'image de notre produit fibre homotopique dans le tronque o1 A* * (en fait ils regardent surtout la fibre homotopique au-dessus d'un point de base mais pour l* *e produit fibre l'argument est le m^eme). L'argument de Gabriel-Zisman permet_en passant par o2 A_ de munir o1 A d'une structure supplementaire avec les operations (quand A est pointe et admet des * *produits fibres homotopiques) et (quand A est pointe et admet des coproduits homotopiqu* *es). Alternativement (mais on souligne quand-m^eme que l'argument de Gabriel-Zisman * *date de 1964) on peut induire directement vers le tronque o1 A, ces operations qu'on* * peut 69 definir sur A par X := * xhX* et Y := * [Yh*: Une version de l'argument de Gabriel-Zisman adaptee aux categories d.g. de comp* *lexes, est donnee par Bondal-Kapranov [14]. Nous ne nous sommes apercu de l'existence* * de l'argument de Gabriel-Zisman qu'apres que M. Kontsevich nous a indique le resul* *tat de Bondal-Kapranov. 70 8. Localisation de Dwyer-Kan Une bonne source d'exemples de categories simpliciales, et donc de 1-categor* *ies de Segal, est la theorie des localisees simpliciales L(C; W ) (et leurs variantes * *LH (C; W ) qui sontequivalentes) developpee dans les papiers de Dwyer et Kan [31], [32], [33].* * Si C est une categorie et W une sous-categorie on obtient une categorie simpliciale L(C;* * W ) "en in- versant homotopiquement les fleches de W " (souvent la sous-categorie "desequiv* *alences" W est sous-entendu, dans ce cas on utilisera la notation L(C) voir Convention 8* *.3 ci- dessous). Nous renvoyons le lecteur aux travaux [31], [32], [33] pour plus sur * *les notations et definitions. Ici, le terme "localisation" n'a pas exactement la m^eme signification qu'au* * x6 (bien qu'il y ait un rapport entre les deux notions). Pour le reste du papier nous ut* *iliserons le mot "localisation" pour parler de la localisation de Dwyer-Kan (ou de son analo* *gue pour les n-categories de Segal). Pour ^etre historiquement correct il convient de preciser que Quillen [83] a* *vait deja, avec sa notion de categorie de modeles fermee simpliciale, trouve la plupart de* *s categories simpliciales qu'on construit avec la localisation de Dwyer-Kan; et en particuli* *er, dans tous nos exemples, la cmf M qu'on localise admet deja une structure simpliciale* * et on pourrait donc faire referencea [83]. Cependant, l'observation de Dwyer-Kan selo* *n laquelle la structure simpliciale ne depend,aequivalence pres, que de M et de sa sous-ca* *tegorie d'equivalences faibles est une amelioration tres importante par rapport [83] qu* *i permet d'obtenir facilement des fonctorialites sans avoira verifier qu'un foncteur pre* *serve la structure simpliciale. C'est pour cette raison que nous utilisons systematiquem* *ent cette construction de Dwyer-Kan. On commence par une remarque plus ou moins triviale mais qui n'appara^it pas* * ex- plicitement dans [31], [32], [33]. C'est une variante du Corollaire 3.6 de [32]* * dans laque- lle on considere des foncteurs non necessairement adjoints et des transformatio* *ns na- turelles de direction quelconque. Pour exprimer cette observation, convenons d* *'appeler cha^ine de transformations naturelles entre deux foncteurs A et B la donnee d'u* *ne suite A0 = A; A1; : :;:An = B de foncteurs et d'une suite u1; : :;:un ou ui est une t* *ransforma- tion naturelle soit de Ai-1vers Ai soit de Ai vers Ai-1. Convenons aussi de dir* *e qu'une transformation naturelle u entre deux foncteurs F; G : C ! D esta valeurs dans * *la sous- categorie W de D si pour tout objet X de C, u(X) est un morphisme de W (de m^eme pour une cha^ine de transformations naturelles). Lemme 8.1 Soit C et C0 deux categories munies de sous-categories W et W 0. S* *oient F : C ! C0; G : C0! C 71 deux foncteurs avec F (W ) W 0et G(W 0) W . Supposons qu'il existe des cha^i* *nes de transformations naturelles u : GF $ 1C et v : F G $ 1C0a valeurs respectivemen* *t dans W et W 0. Alors F induit uneequivalence de categories simpliciales ~= 0 0 L(C; W ) ! L(C ; W ): Preuve: L'existence d'une cha^ine de transformations naturellesa valeurs dans * *W implique que le foncteur induit par GF sur L(C; W ) est uneequivalence: il resulte alor* *s des Propo- sitions 3.3 et 3.5 de [32] que le morphisme L(C; W )(X; Y ) ! L(C; W )(GF X; G* *F Y ) est uneequivalence, et il est facile de voir que GF : L(C; W ) ! L(C; W ) est esse* *ntiellement surjectif. De meme le foncteur induit par F G est uneequivalence. Par conseque* *nt F et G induisent desequivalences. A la limite, cette derniereetape peut ^etre vue en * *utilisant la structure de categorie de modeles fermee pour les 1-precats de Segal: un fonct* *eur est une equivalence si et seulement s'il induit un isomorphisme dans la categorie homot* *opique, et, dans celle-ci, on peut utiliser le fait que l'existence d'inversesa droite eta* * gauche implique l'inversibilite; enfin, pour conclure, on observe qu'un foncteur entre categor* *ies simpliciales est uneequivalence si et seulement si le foncteur correspondant entre 1-catego* *ries de Segal est uneequivalence. * * 2 L'observation suivante est utile pour traiter des sous-categories definies * *par des con- ditions homotopiquement invariantes, par exemple des categories de complexesa * *coho- mologie supportee dans un intervalle. Proposition 8.2 Soit C une categorie et W une sous-categorie de C admettant u* *n calcul de fractions homotopique (cf [41]). Soit B C une sous-categorie pleine defin* *ie par une propriete W -invariante, i.e. l'image inverse d'un sous-ensemble B0 de l'e* *nsemble de classes d'equivalence d'objets de L(C; W ). Alors (B; W \ B) admet un calcul d* *e fractions homotopique et L(B; W \ B) ! L(C; W ) est homotopiquement pleinement fidele, a* *vec pour image essentielle la sous-categorie pleine de L(C; W ) image inverse du m* *^eme sous- ensemble de l'ensemble des classes d'equivalence. C'est une consequence directe de la definition de Dwyer-Kan ([32] Definition 6* *.1). 2 L'application principale de la construction de Dwyer-Kan cf [32] fournit,a * *partir d'une categorie de modeles fermee M et de sa sous-categorie W desequivalences faible* *s, une categorie simpliciale L(M; W ). Convention 8.3 Si M est une categorie de modeles fermee (ou une sous-categor* *ie d'ob- jets fibrants, cofibrants etc.) on notera L(M) la localisee de Dwyer-Kan par * *rapporta la sous-categorie desequivalences faibles. Cette convention s'etendraa toute * *categorie dans laquelle il y a une notion naturelle "d'equivalence". En cas de confusio* *n pos- sible, e.g. quand il s'agit de comparer lesequivalences pour la topologie gro* *ssiere et 72 les G-equivalences, on remettra W dans la notation par exemple L(nSeP Ch; W gro* *) ou L(nSeP Ch; W G). Signalons maintenant quelques methodes de calcul des "complexes de fonctions* *", i.e. des ensembles simpliciaux de morphismes dans L(M) ou M est une categorie de mod* *eles fermee. Il y a bien s^ur la definition directe de [31]a l'aide d'une resolution* * de M par des categories libres simpliciales; nous renvoyons le lecteura [31] pour plus de de* *tails. La deuxieme methode est celle des "hamacs", de Dwyer-Kan [32]. Cette methode convient pour toute localisation mais avec des hamacs de longueur arbitraire. * *Comme il est remarque dans [32], dans le cas d'une categorie de modeles fermee, on pe* *ut se restreindre aux hamacs de longueur 3. Pour x; y 2 M on note ham 3(M; x; y) la categorie de diagrammes de la forme x a ! b y ou la premiere et la derniere fleche sont desequivalences faibles i.e. dans W .* * Les mor- phismes dans ham 3(M; x; y) sont les diagrammes de la forme x a ! b y # # # # x a ! b y ou les fleches verticales aux deux bouts sont les identites de x et de y. Dwyer* * et Kan don- nent dans [32] uneequivalence faible d'ensembles simpliciaux naturelle entre le* * complexe de fonctions entre x et y, et le nerf de la categorie des hamacs: L(M)1=(x; y) ~=ham 3(M; x; y): La derniere methode est celle des "complexes de fonctions homotopiques" ("ho* *motopy function complexes"), de Reedy [86], et de Dwyer, Hirschhorn, Kan [30] [59] [33* *]. Ceci est une generalisation ou affaiblissement de la methode de Quillen [83] de cons* *iderer une structure simpliciale sur la categorie de modeles fermee. Dans la methode des "* *function complexes", on n'exige pas autant de fonctorialite, ce qui donne plus de flexib* *ilite (au prix du fait, comme remarque dans [30], que la composition des fonctions n'est plus * *directement accessible_mais ceci ne pose pas de probleme car on dispose deja de la categori* *e L(M)). Soit x; y 2 M. Une resolution simpliciale fibrante de y est un objet simplic* *ial de M, o * * y 2 M muni d'un morphisme c y ! y ou c y est l'objet constanta valeurs y, tel* * que y ! y(p) soit uneequivalence faible pour tout p 2 , et tel que y soit fibrant p* *our la 73 o structure de Reedy de M (voir [86] [59] [30] [46] ainsi que notre discussion * *plus bas). Dualement, une resolution cosimpliciale cofibrante de x est un objet cosimplici* *al de M, x 2 M muni d'un morphisme x ! c*x tel que x(p) ! x soit uneequivalence faible * *pour tout p 2 , et tel que x soit cofibrant pour la structure de Reedy sur M . Avec ces resolutions, on obtient (voir loc cit.) uneequivalence naturelle d'* *ensembles simpliciaux L(M)1=(x; y) ~=d*M1=(x; y) ou le terme de droite est la diagonale de l'ensemble bisimplicial de morphismes* * entre les deux resolutions. Si x est cofibrant, on a L(M)1=(x; y) ~=M1=(x; y) tandis que si y est fibrant on a L(M)1=(x; y) ~=M1=(x; y): Ceci est une generalisation directe de la notion de calcul de complexes de fonc* *tions en algebre homologique (a l'aide resolutions projectives et injectives de complexe* *s). Ce cadre tres satisfaisant est (a notre connaissance) d^ua Reedy [86], eta Dwyer, * *Hirschhorn, Kan [30] [59] [33]; et c'est cea quoi pensait Quillen en intitulant "algebre ho* *motopique" son livre [83]. Plus loin on retrouve les origines dans la theorie des hyper-re* *couvrements de Verdier [4]. Si M est une categorie de modeles fermee simpliciale (c'est le cas principal* * envisage par Quillen [83]), on obtient des resolutionsa partir de la structure simplicia* *le, donc la localisee L(M) estequivalentea la categorie simpliciale Msplcfdes objets cof* *ibrants et fibrants. Dans l'introduction de [33], Dwyer-Kan indiquent sans entrer dans les detail* *s que L(M) "capture toute l'information homotopique superieure implicite dans M" que Quill* *en [83] avait recherchee, et partiellement reconstituee dans la categorie homotopique d* *e M_pour le cas non simplicial. En fait on peut preciser leur affirmation. En effet, le * *lemme suivant et son corollaire autorisent les constructions de Gabriel-Zisman qu'on a rappel* *ee au x7 plus haut et, dans le cas pointe, celles-ci induisent bien sur Ho(M) = o1 L(M; * *W ) la "structure triangulee" definie par Quillen. Lemme 8.4 Si M est une categorie de modeles fermee, alors L(M) admet des pro* *duits fibres homotopiques et des coproduits homotopiques au sens du x7 ci-dessus. Preuve: On applique la methode des resolutions rappelee ci-dessus. Soit x ! y z 74 un diagramme entre objets fibrants de M, avec les deux fleches fibrantes (tout * *diagramme pour un produit fibre dans L(M) estequivalenta un diagramme de cette forme). Po* *ur u 2 M, on choisit une resolution cosimpliciale cofibrante u ! u. Alors le carre L(M)1=(u; x xy z)! L(M)1=(u; z) # # L(M)1=(u; x) ! L(M)1=(u; y) estequivalent au carre cartesien d'ensembles simpliciaux M1=(u; x xy z) ! M1=(u; z) # # M1=(u; x) ! M1=(u; y): Les morphismes en bas eta droite sont des fibrations de Kan (on peut le verifie* *r en utilisant le fait que u est cofibrant de Reedy et que les morphismes x ! y et z* * ! y sont fibrants). Donc ce carre est aussi homotopiquement cartesien, donc le carre des* * complexes de fonctions est homotopiquement cartesien. Ceci montre que x xy z est un produ* *it fibre homotopique de x et z au-dessus de y. La demonstration pour les coproduits homotopiques est duale. * * 2 Corollaire 8.5 Si M est une categorie de modeles fermee, la 2-categorie stricte* * o2 L(M) verifie les proprietes (A), (B), (C) de Gabriel-Zisman et (dans le cas pointe) * *leur con- struction des operations et s'applique, et donne donc la "structure triangule* *e" sur Ho M = o1 L(M). La verification est laissee aux soins du lecteur. * * 2 Pour une version plus generale de ce lemme, qui permet de calculer les limit* *es indexees par une petite categorie, voir la proposition 14.2 ci-dessous (pour les colimit* *es, voir 14.3). On revient maintenanta des considerations generales sur la localisation. On * *va definir la localisation pour une n-categorie de Segal. Soit donc A une n-precat de Sega* *l et f 2 A1i une i-fleche, 1 i n. On rappelle qu'avec les notations de [95] on a A1i= MornSePC(h(1i); A) = MornSePC(i(*); A) ou h(1i) est la n-precat de Segal representee par 1i2 n+1 et ou i designe l'ope* *ration de [95] iteree i fois. On a l'egalite (*) = I, ou I est la 1-categorie ayant de* *ux objets 0; 1 et un morphisme 0 ! 1. On peutecrire i(*) = (i - 1)(I). Notre i-fleche f corres* *pond donca un morphisme f : (i - 1)(I) ! A: 75 __ * * __ Soit I la 1-categorie ayant deux objets 0; 1 et un isomorphisme 0 ~=1. On a I * * I, et donc une cofibration __ (i - 1)(I) ,! (i - 1)(I) qu'on combine avec f pour definir __ nSeL(A; f) := A [(i-1)(I)(i - 1)(I): C'est une n-precat de Segal (m^eme si Aetait une n-categorie de Segal, ce n'est* * pas en general une n-categorie de Segal). Il faut appliquer l'operation SeCat (ou un r* *emplace- ment fibrant) pour obtenir une n-categorie de Segal SeCat(nSeL(A; f)). Si B est une n-categorie de Segal fibrante et u : A ! B un morphisme, alors * *u s'etend en un morphisme u0: nSeL(A; f) ! B si et seulement si l'image u(f) est inversiblea homotopie pres dans B, i.e. si* * elle est inversible comme i-fleche dans oi (B). On peut preciser un peu plus cette propriete universelle; mais il nous faut * *faire appel aux notations de la section x11 ci-dessous. Le lecteur est invitea lire le x11 * *(voir aussi [94] et [95]) avant d'aborder ce qui suit jusqu'a la fin de la demonstration de* * la prochaine proposition (sigle ). Pour B fibrant, le morphisme Hom__(nSeL(A; f); B) ! Hom__(A; B) est pleinement fidele avec pour image essentielle la sous-n-categorie de Segal * *pleine de Hom__(A; B) dont les objets sont les u tels que u(f) soit inversiblea homotopie* * pres. Ce resultat (pour la preuve voir la proposition ci-dessous) signifie que SeCat(nSe* *L(A; f)) possede la propriete universelle qui en fait une localisation de A. En particulier on note que si fetait deja inversiblea homotopie pres dans Se* *Cat(A), alors le morphisme A ! nSeL(A; f) est uneequivalence faible. Onetend maintenant cette construction au cas des sous-ensembles de i-fleches* *. Soit A une n-precat de Segal et soit W = {W i} un systeme de sous-ensembles de i-fle* *ches W i A1i, 1 i n. On definit_alors nSeL(A; W ) comme le coproduit de A avec un exemplaire de (i - 1)(I) recolle le long de (i - 1)(I), pour chaque f 2 W i. S* *i on veut avoir une n-categorie de Segal on peut ensuite regarderSeCat(nSeL(A; W )).* * On a la m^eme propriete universelle, qu'onenonce sous la forme suivante. Proposition 8.6 Soit A une n-categorie de Segal et W = {W i} un systeme de sou* *s- ensembles de i-fleches W i A1i. Alors A ! nSeL(A; W ) possede la propriete univ* *erselle suivante. Si B est une n-categorie de Segal fibrante alors Hom__(nSeL(A; W ); B) ! Hom__(A; B) 76 est pleinement fidele avec pour image essentielle la sous-categorie pleine des * *u : A ! B tels que, pour tout f dans l'un des W i, u(f) soit inversiblea homotopie pres. Preuve: Au vu des proprietes du Hom__ interne cf 11.1 ci-dessous, il suffit de * *voir cette propriete pour l'inclusion __ (i - 1)(I) ! (i - 1)(I): Un morphisme (i - 1)(I) est la m^eme chose qu'un morphisme I ! B1i-1=: __ Comme B1i-1=est fibrant, un tel morphisme s'etenda I si et seulement si la i-fl* *eche en question est inversibleaequivalence pres. Il restea prouver que le morphisme __ Hom__((i - 1)(I); B)1=(f; g) ! Hom__((i - 1)(I); B)1=(f; g) est uneequivalence; on va montrer que c'est une fibration triviale en montrant * *la propriete de relevement pour toute cofibration triviale E ! E0. Pour cela il faut montrer que le morphisme __ __ (i - 1)(I) x (E) [(i-1)(I)x{0;1}(i - 1)(I) x {0; 1} ! (i - 1)(I) x (E) est une cofibration triviale. L'argument est le m^eme que dans la demonstration* * de ([95] Theorem 2.5.1) et on ne le reproduit pas ici. Avec ce fait, on obtient que pour toute cofibration E ! E0, la cofibration __ (i-1)(I)x(E) 0 (i - 1)(I) x (E) [ (i - 1)(I) x (E ) __ 0 ! (i - 1)(I) x (E ) est triviale, ce qui donne la propriete de relevement voulue (en notant qu'un m* *orphisme __ E ! Hom__((i - 1)(I); B)1=(f; g) s'identifiea un morphisme __ (i - 1)(I) x (E) ! B __ se restreignant en f; g sur (i - 1)(I) x {0; 1} et de m^eme pour les autres mor* *phismes du carre dans le diagramme de relevement). * * 2 77 Revenons maintenant au cas des 1-categories de Segal. On a defini une loca* *lisation 1SeL(A; W ) par tout sous-ensemble de 1-fleches W A1. Dans ce_cas_on n'a pas * *besoin de la notation puisqu' on attache simplement des exemplaires de I le long des mo* *rphismes I ! A correspondant aux fleches de W . Cette construction est compatible avec * *celle de Dwyer-Kan au sens suivant. Proposition 8.7 Soit C une categorie et W C une sous-categorie. Alors il y a* * une equivalence de 1-categories de Segal (compatible avec l'identite de C) ~= 0 L(C; W ) ! 1SeL(C; W ) ou 1SeL(C; W )0est un remplacement fibrant de 1SeL(C; W ). Preuve: Rappelons ([31]) qu'une categorie libre est une categorie librement en* *gendree par un ensemble de fleches qu'on appellera les generateurs. Si on fixe un ensemble* * O d'objets, on a la notion de produit libre d'une collection de O-categories (i.e. de cate* *gories dont O est l'ensemble d'objets). Si on fixe un ensemble de generateurs {fff} avec fff* *une fleche de xff2 O vers yff2 O, notons par la O-categorie libre engendree par fff. L* *a O-categorie libre engendree par {fff} est alors le produit libre des O-categories . On va prouver d'abord le resultat suivant: soit C une categorie libre (avec* * ensemble O d'objets) et soient x; y 2 O. On va rajouter une fleche f de source x et but* * y. Soit C0:= C * la O-categorie libre engendree par les generateurs de C plus f. D'autre part l* *a fleche f de C0 corresponda un morphisme I ! C0. On va prouver que le morphisme de 1-pre* *cats de Segal C [{x;y}I ! C0 est uneequivalence faible. Pour prouver ce resultat, on montre que C0s'obtienta partir de C [{x;y}I pa* *r une suite de cofibrations triviales explicites. Pour tout `, soit F`C0 le sous-ensemble * *simplicial de C0 determine par les simplexes comportant au total, dans toutes leurs ar^etes * *principales, au plus ` des generateurs de C0 (i.e. des generateurs de C plus f). Ici on c* *ompte, sur une m^eme ar^ete (qui corresponda une fleche de C0), le nombre des generateurs* * (avec leur multiplicite) qui entre en jeu dans la fleche en question. Soit F`C l'intersec* *tion de F`C0 avec C, c'est-a-dire le sous-ensemble simplicial de C des simplexes comportant* * au plus ` generateurs de C au sens ci-dessus. On a l'egalite F1C0= F1C [{x;y}I: 78 On va montrer que, pour ` 2, F`C0 est obtenua partir de F`-1C0 [F`-1CF`C par coproduit avec une collection de cofibrations triviales. Pour cela, on appelle* *ra `-simplexe elementaire toutelement u 2 C0`dont les ar^etes principales sont des generateur* *s de C0. Rappelons aussi (cf. [94]) que h(`) designe l'ensemble simplicial represente p* *ar ` (considere comme 1-precat de Segal constant en la deuxieme variable simpliciale). Le morp* *hisme i : h(` - 1) [h(`-2)h(` - 1) ! h(`) correspondanta l'inclusion de la premiere et de la derniere face, est une cofi* *bration triviale de 1-precats de Segal. 15 Si u est un `-simplexeelementaire vu comme morphisme* * de h(`) vers C0, on a soit u : h(`) ! C, soit i j u-1(F`-1C0[F`-1CC) = i h(` - 1) [h(`-2)h(` - 1): Dans le premier cas on n'a pas besoin d'ajouter u; dans le deuxieme cas on peu* *t ajouter a F`-1C0[F`-1CF`C un exemplaire de h(`) recolle le long de h(` - 1) [h(`-2)h(` * *- 1), correspondanta u. Appelons provisoirement B le resultat de tous ces coproduits* *, un pour chaque `-simplexeelementaire non contenu dans C. Il y a un morphismeevident B * *! C0 et il est facile de voir que ce morphisme est injectif, car unelement (i.e. k* *-simplexe) introduit par la cofibration associeea u connait tous les generateurs apparais* *sant dans u, en particulier il ne peut provenir d'une cofibration associeea un u06= u. D* *'autre part l'image de ce morphisme est visiblement F`C0. Donc B = F`C0 et on a prouve que F`-1C0[F`-1CF`C ! F`C0 est une cofibration triviale. L'argument montre aussi que F`-1C0[F`-1CC ! F`C0[F`C C est une cofibration triviale. La composition de ces cofibrations triviales don* *ne la cofibra- tion triviale F1C0[F1C C ! C0; c'est-a-dire le resultat cherche. Maintenant on continue la demonstration de la proposition. Notons A * B le * *produit libre de deux O-categories, et A [O B le coproduit en tant que O-precats de Se* *gal (i.e. ________________________________ 15Il est facile de voir par recurrence que le morphisme h(m - 1) [*h(1) ! h(m) est une cofibration triviale, et on voit que i est une cofibration triviale en* * combinant ce resultat pour m = ` et m = ` - 1 avec la propriete "trois pour le prix de deux". 79 1-precats de Segal ayant O comme ensemble d'objets). Le resultat ci-dessus imp* *lique, par recurrence (pluseventuellement passagea une colimite filtrante qui ne pose * *pas de probleme), que si C est la categorie libre engendree par {fff} alors Oa ! C ff est uneequivalence faible de 1-precats de Segal. Il s'ensuit que si A et B son* *t des O- categories libres, alors le morphisme A [O B ! A * B est uneequivalence faible de 1-precats de Segal. Si A est une O-categorie simpliciale on peut la considerer comme 1-categorie* * de Segal (en utilisant la variable simpliciale comme deuxieme variable simpliciale pour * *la categorie de Segal). Le resultat ci-dessus implique directement que si A et B sont des O-* *categories simpliciales, libresa chaqueetage, alors le morphisme A [O B ! A * B est uneequivalence faible. Maintenant, le coproduit (dans une cmf) d'objets cof* *ibrants (et pour 2.3 tout objet est cofibrant) preserve le type d'equivalence. Dwyer-Ka* *n montrent que le produit libre des O-categories simpliciales quelconques preserve l'equiv* *alence ([31] Proposition 2.7). En utilisant des resolutions simpliciales libres ([31]) on ob* *tient que pour toute paire de categories simpliciales A; B ayant l'ensemble O pour objets, le * *morphisme A [O B ! A * B est uneequivalence faible de 1-precats de Segal. Revenons maintenanta la definition de la localisation de Dwyer-Kan [31]. Si * *C est une categorie et W une sous-categorie, Dwyer-Kan choisissent une resolution libre d* *e C de la forme A * B avec A et B des categories simpliciales libresa chaque niveau (et p* *artageant_ le m^eme ensemble d'objets O), et de sorte que B soit une resolution de W . Not* *ons B la categorie simpliciale obtenue en inversant les fleches de chaque niveau de B. P* *ar definition on a __ L(C; W ) := A * B tandis que 1SeL(A * B; B) = (A * B) [B 1SeL(B; B): __ Observons en outre que 1SeL(B; B) ! B est uneequivalence_faible (pour cela on p* *eut supposer que B est une categorie libre, auquel cas B est son complete 0-groupi* *que et 1SeL(B; B) aussi). 80 On a une suite de fleches __ O B __ B __ __ A [O B = (A [ B) [ B ! (A * B) [ B ! A * B; et d'apres les remarques ci-dessus, la premiere fleche et la composee sont des* *equivalences faibles de 1-precats de Segal. D'apres "trois pour le prix de deux" on obtient* * que la fleche __ __ 1SeL(A * B; B) = (A * B) [B B ! A * B = L(C; W ) est uneequivalence. D'autre part la localisation 1SeL preserve lesequivalences* * donc la fleche 1SeL(A * B; B) ! 1SeL(C; W ) est uneequivalence faible donc, en choisissant un remplacement fibrant 1SeL(L;* * W )0on obtient uneequivalence (essentiellement bien definie) de 1-categories de Segal ~= 0 L(C; W ) ! 1SeL(C; W ) : Ceci termine la demonstration. * * 2 Corollaire 8.8 Soit C une categorie simpliciale et W C une sous-categorie sim* *pliciale. On peut supposer que W est saturee au sens que W (x; y) est une reunion de com* *posantes connexes de C(x; y) (cf [31]). L'ensemble W1;0des sommets de l'ensemble simpli* *cial des fl^eches de W est un sous-ensemble de 1-fleches de la 1-categorie de Segal cor* *respondante a C. On a alors uneequivalence de 1-categories de Segal (compatible avec les in* *jections de C) ~= 0 L(C; W ) ! 1SeL(C; W1;0) : Preuve: On suppose C libre comme dans [31], et on applique la propositiona ch* *aque niveau. On peut noter que d'apres [31], L(C; W ) estequivalenta L(C; W1;0). * * 2 Corollaire 8.9 Soit C une categorie simpliciale et W C une sous-categorie sim* *pliciale. Si B est une 1-categorie de Segal fibrante, alors le morphisme de 1-categories* * de Segal Hom__(L(C; W ); B) ! Hom__(C; B) est pleinement fidele avec pour image essentielle la sous-categorie des morphi* *smes C ! B qui envoient leselements de W sur des morphismes inversibles (aequivalence pre* *s) dans B. 81 Preuve: Il suffit d'appliquer la proposition 8.6 et 8.8 (ou juste 8.7 s'il s'a* *git d'une 1- categorie C non simpliciale). * * 2 Ce corollaire devrait avoir une variante formulee en termes de categories si* *mpliciales avec les categories simpliciales Coh(.; .) de morphismes de Cordier et Porter, * *voir les problemes 7.1-7.2 ci-dessus. Remarque: En toute rigueur, il n'existe pas forcement de morphisme C ! L(C; * *W ). En revanche, si bC! C est la resolution simpliciale standard de C (qui est unee* *quivalence de categories simpliciales) on a par construction [31] un morphisme bC! L(C; W * *). Nous allons, dans le reste du papier, negliger ce point technique (on l'a deja ignor* *e dans l'enonce du corollaire precedent) et pretendre qu'on a un morphisme C ! L(C; W ). Cette * *difficulte ne concerne pas 1SeL(C; W ) qui recoit par construction un morphisme de source * *C. Le corollaire suivant est l'analogue pour les categories de Segal ayant plus* *ieurs objets, d'un fait bien connu pour les mono"ides topologiques: tout mono"ide faible (i.e* *. objet de la categorie sous-jacentea une machine de delacage; par exemple une categorie d* *e Segal avec un seul objet, pour la machine de Segal) estequivalenta un mono"ide topolo* *gique strict. Voir le travail de Fiedorowicz [40], ou la proposition 1.12 de Dunn [28* *]. Corollaire 8.10 Si A est une 1-categorie de Segal fibrante alors il existe une* * categorie simpliciale C et uneequivalence C ! A. Esquisse de demonstration: En considerant A comme un prefaisceau simplicial su* *r la categorie , on peut appliquer la "subdivision barycentrique" au-dessus de chaqu* *e ob- jet de (voir le lemme 16.1 ci-dessous) pour obtenir un prefaisceau de categori* *es sur . Ensuite on applique l'operation d'integration de Grothendieck (cf x16 ci-dess* *ous), en utilisant un analogue du lemme 16.1 pour les prefaisceaux de categories au-dess* *us de au lieu des ensembles simpliciaux. Ceci est l'analogue pour les categories de * *Segal, de la platification ("flattening") utilisee dans Dwyer-Kan ([34] "A delocalization* * theorem" 2.5). On obtient ainsi une 1-categorie fi(A) munie d'un sous-ensemble ffi(A) de* * 1-fleches: on y inclut toutes les fleches "verticales" i.e. des categories-fibres, ainsi * *que les fleches "horizontales" qui entrent dans le ffi(A) du 16.1. Comme dans 16.1, on a A ~=1SeL(fi(A); ffi(A))0 (equivalence dans la categorie homotopique de 1SeCat). Alors, d'apres la propo* *sition precedente, on a aussi A ~= L(fi(A); ffi(A)). Et comme A est fibrante, cetteeq* *uivalence peut ^etre realisee comme uneequivalence L(fi(A); ffi(A)) ! A. * * 2 Cette demonstration montre aussi qu'il existe un ensemble simplicial X verif* *iant SeCat(X) ~=A: 82 En effet, fi(A) est une 1-categorie qui corresponda un ensemble simplicial (so* *n_nerf); et la localisation 1SeL(fi(A); W ) s'obtient en recollant des exemplaires de I* * le long des morphismes I ! fi(A) de W . Le coproduit reste dans les ensembles simpliciaux * *(en effet, le resultat reste constant dans la deuxieme variable simpliciale des 1-precats* * de Segal). On a donc bien un ensemble simplicial X := 1SeL(fi(A); W ) verifiant A ~=SeCat(X). Adjoints homotopiques La propriete d'adjonction se transmet aux localises de Dwyer-Kan et devient* * une propriete d'adjonction homotopique. Soient A et B deux n-categories de Segal * *(qu'on peut supposer fibrantes), et F : A ! B; G : B ! A deux morphismes. Soit aussi u 2 Hom__(A; A)1=(1A; GF ) une transformation naturelle. Alors pour tout x 2 A0 et tout y 2 B0, u induit* * un morphisme (essentiellement bien defini) B1=(F x; y) ! A1=(x; Gy): On dira que F et G sont homotopiquement adjoints via u si ce morphisme est une equivalence de n - 1-categories de Segal pour tout x et tout y. On dira que F e* *st l'adjoint a gauche et G l'adjointa droite. On pourrait aussi construire la definitiona pa* *rtir d'une transformation naturelle v 2 Hom__(B; B)1=(F G; 1B ): Et pour bien faire, il faudrait verifier que les deux definitions co"incident,* * que l'adjoint (G; u) d'un morphisme F est essentiellement unique s'il existe, etc. De m^eme on pourrait envisager de definir la notion de paire adjointe de 1-* *fleches dans une n-categorie de Segal quelconque (et recuperer la notion ci-dessus avec la * *n+1-categorie nSeCAT ). Ceci pourrait correspondrea ce que Baez-Dolan appellent une "duale" * *dans une n-categorie [8]. Lemme 8.11 Soit F : M ! N un foncteur de Quillena gauche entre categories * *de modeles fermees, et soit G son adjointa droite. Alors L(F ) : L(M) $ L(N) : L(G) sont homotopiquement adjoints. 83 Preuve: D'abord on doit noter que le calcul des L(M)1=(x; y) par resolutions * *est com- patible avec la composition dans la mesure du possible: si par exemple y ! y e* *st une resolution simpliciale fibrante, et si x ! x0est un morphisme entre objets cof* *ibrants, alors le morphisme induit M1=(x0; y) ! M1=(x; y) co"incide avec le morphisme de composition L(M)1=(x0; y) ! L(M)1=(x; y) via l'equivalence de [32] qui aete rappelee plus haut. On applique ceci au morphisme d'adjonction x ! GF x. On obtient que si x e* *st cofibrant et si y ! y est une resolution simpliciale fibrante, alors le morphi* *sme L(N)1=(F x; y) ! L(M)1=(x; Gy) induit par le morphisme d'adjonction, co"incide (aequivalence pres) avec le mo* *rphisme N1=(F x; y) ! M1=(x; Gy) (ici le fait que F et G sont des foncteurs de Quillen (a gauche eta droite) im* *plique que F x est cofibrant, et que Gy ! Gy est une resolution simpliciale fibrante). Or* * ce dernier morphisme est un isomorphisme, donc le morphisme d'adjonction sur les localise* *s est une equivalence. * * 2 Pour une autre propriete d'une categorie de modele fermee M qui peut ^etre * *"amplifiee" en propriete de L(M) voir la proposition 11.2 sur les Hom internes homotopique* *s. On termine en posant le probleme analogue pour les "foncteurs derives". Probleme 8.12 Definir la notion de foncteur derive homotopique dans le cadre* * des categories simpliciales ou 1-categories de Segal (oueventuellement les n-categ* *ories de Segal). Prouver que si M et N sont des categories de modeles fermees et si F :* * M ! N est un foncteur de Quillen (a gauche, disons), alors le foncteur compose L(M) ~=L(Mc) ! L(Nc) ~=L(N) est le foncteur derive homotopique de M ! L(N) le long de M ! L(M). Donner un enonce d'unicite essentielle pour le foncteur derive homotopique, s'il existe. La solution de ce probleme permettrait de voir que le 1-prechamp de Segal L* *(M) associea un prefaisceau de Quillena gauche M (voir x17) est essentiellement bi* *en defini independamment du choix des sous-categories de cofibrations dans les M(y). 84 9. Premiereedfinition de champ On considerea nouveau la structure de categorie de modeles fermee du theore* *me 3.1, relatifa un site X avec topologie de Grothendieck G. Soit A un n-prechamp de Segal. Soit A ! A0 une cofibration triviale vers u* *n n- prechamp de Segal G-fibrant. On dira que A est un n-champ de Segal (ou bien u* *n 1- champ ou m^eme juste un champ) si: _A(X) est une n-categorie de Segal pour tout X 2 X ; et _le morphisme A(X) ! A0(X) est uneequivalence de n-categories de Segal pour to* *ut X 2 X . On voit facilement (voir l'argument du corollaire 9.4 ci-dessous) que cette* * condition est independante du choix de A ! A0. Pour n = 0 les prefaisceaux simpliciaux qui sont des 0-champs de Segal sont* * pre- cisement ceux qui verifient la condition de descente cohomologique de Thomason* * (voir [107]), ou encore ceux qui sont flasques par rapporta tout objet X du site X a* *u sens de Jardine [63] (ce sont aussi les faisceaux homotopiques de [92] ou les faisceau* *x flexibles de [91]). La terminologie "descente cohomologique" de Thomason est inspiree de la* * descente cohomologique de Deligne-Saint Donat [4] et [26]. Il est interessant de constater que les lemmes suivants, analogues des resu* *ltats clas- siques sur les faisceaux, sont des consequences entierement formelles de la th* *eorie de Quillen [83] (d'ailleurs on peut derouler la theorie des faisceaux d'ensembles* * sur un site, comme application essentiellement facile de ces arguments standards en theorie* * des cmf, voir le travail de Rezk [87]). Lemme 9.1 Si f : A ! B est un morphisme de n-champs de Segal qui est une G- equivalence faible alors f est aussi uneequivalence faible objet-par-objet (i.e* *. pour la topologie grossiere). Preuve: Par definition des n-champs de Segal on peut supposer que A et B sont * *G-fibrants. On peut factoriser le morphisme donne en A ! B0! B ou le premier morphisme est une cofibration G-triviale et le deuxieme morphism* *e est une fibration G-triviale. Une fibration G-triviale possede la propriete de relevem* *ent vis-a-vis de toutes les cofibrations; en particulier elle est aussi triviale pour la top* *ologie grossiere. D'autre part, comme A est G-fibrant, il existe une retraction B0! A (induisant* * l'identite sur A). En particulier le morphisme A ! B0admet un inversea gauche. On a ainsi* * montre que tout morphisme f : A ! B entre n-champs de Segal (pour G) admet un inverse* * g a gauche, dans la categorie homotopique des n-prechamps de Segal pour l'equival* *ence de 85 la topologie grossiere. Ceci s'applique en particuliera cet inverse g : B ! A* * (c'est ici qu'on voit pourquoi on a suppose que B est un champ). On obtient ainsi un inv* *ersea gauche h de g; or f est inversea droite de g donc g est inversible, ce qui imp* *lique que f est inversible. Ceci permet de conclure puisque, d'apres Quillen [83] les seul* *s morphismes dont la classe soit inversible dans la categorie homotopique sont lesequivalen* *ces (ici, pour la topologie grossiere). * * 2 Lemme 9.2 Si A est un n-prechamp de Segal alors A est G-fibrant si et seule* *ment si A est un champ, et fibrant pour la topologie grossiere. Preuve: Si A est G-fibrant alors A est fibrant pour la topologie grossiere, et* * par definition c'est un champ. Supposons donc que A est fibrant pour la topologie grossiere et que c'est u* *n champ. Soit A ,! A0un remplacement G-fibrant. Par definition c'est uneequivalence fai* *ble pour la topologie grossiere. Comme A est fibrant pour la topologie grossiere, il e* *xiste une retraction r : A0 ! A. Montrons alors que A possede la propriete de relevemen* *t vis- a-vis de toute cofibration G-triviale X ! Y . Comme A est G-fibrant, tout morp* *hisme X ! A s'etend en un morphisme Y ! A0. En composant avec la retraction r on obt* *ient l'extension Y ! A desiree. * * 2 Remarque: On a un resultat similaire (et m^eme plus joli) pour la structure* * de HBKQ (Theoreme 5.1): si A est un n-prechamp de Segal alors A est G-fibrant de HBKQ,* * si et seulement si les A(X) sont fibrants pour tout X, et A est un champ. En particu* *lier, on obtient la m^eme notion de "champ" en utilisant 5.1 au lieu de 3.1. Lemme 9.3 Si f : A ! B est une G-fibration et si B est un n-champ de Segal,* * alors A est un n-champ de Segal. Si f : A ! B est un morphisme entre n-champs de Segal et si f est fibrant p* *our la topologie grossiere alors f est G-fibrant. Preuve: Pour la premiere partie, on commence par le cas ponctuel, pour lequel* * on va seulement donner une esquisse de demonstration: si f : A ! B est une fibration* * de n- precats de Segal, et si B est une n-categorie de Segal, alors A est une n-cate* *gorie de Segal. On remarque d'abord que les morphismes Ap=(x0; : :;:xp) ! Bp=(fx0; : :;:fxp) s* *ont des fibrations de n - 1-precats de Segal, donc par recurrence sur n on peut suppos* *er que les Ap= sont des n - 1-categories de Segal. Maintenant on considere le diagramme Ap= ! A1=xA0 : :;:xA0A1= # # Bp= ! B1=xB0 : :;:xB0B1=: 86 Soit E ! A1=xA0: :;:xA0A1=un morphisme de n - 1-precats de Segal, ce qui corre* *spond a un morphisme Up(E) ! A (ou Up( ) est le focteur adjointa gauche de A 7! A1=xA0 : :;:xA0A1=, qui associe donca toute n - 1-precat de Segal une n-precat de Seg* *al). On a une inclusion Up(E) ! [p]E ou [p] est adjointa gauche de A 7! Ap=. Cette inc* *lusion est une cofibration triviale de n-precats de Segal. Maintenant, le fait que B * *soit une n- categorie de Segal implique qu'il existe un prolongement de Up(E) ! B en un mo* *rphisme ([p]E)0 ! B ou ([p]E)0 estequivalenta [p]E objet-par-objet au-dessus de . Le * *fait que A ! B soit fibrant (combine au fait que Up(E) ! ([p]E)0 soit une cofibrati* *on triviale) implique qu'il existeegalement une extension ([p]E)0 ! A. Ceci impl* *ique que le morphisme E ! A1=xA0 : :;:xA0A1= se relevea homotopie pres en un morphisme E ! Ap=. On pourrait donner aussi une version relative de cette discussion:eta* *nt donne F ! Ap=, F ,! E et E ! A1=xA0 : :;:xA0A1=, il existea homotopie pres une exten* *sion en E ! Ap=. On obtient que l'application de Segal est uneequivalence, donc A e* *st une n-categorie de Segal. On traite maintenant la premiere partie pour f : A ! B au-dessus de X . Soi* *t B ,! B0 un remplacement G-fibrant (qui est uneequivalence objet-par-objet), et soit A ,! A0! B0 une factorisation ou la deuxieme fleche est une fibration pour la topologie gr* *ossiere et la premiere est uneequivalence objet-par-objet. On va montrer que la deuxieme fle* *che est une G-fibration. Soit E ! E0 une cofibration G-triviale avec un diagramme E ! A0 # # E0 ! B0: On peut supposer que E ! A0et E0! B0sont des fibrations pour la topologie gros* *siere. Avec cette reduction, on a par proprete cf 3.8 que E xA0A ! E et E0xB0B ! E0 s* *ont desequivalences objet-par-objet (on utilise le fait que les valeurs B(X) et B0* *(X) sont des n-categories de Segal; de m^eme pour A(X), et A0(X), pour cela on utilise * *la version ponctuelle mentionnee au debut). D'autre part, on a un diagramme E xA0A ! A # # E0xB0B ! B; ou la fleche verticale de gauche est une cofibration G-triviale. Comme par hyp* *othese la fleche de droite est une G-fibration, on obtient un relevement E0xB0B ! A. Mai* *ntenant (E0xB0B) [ExA0A E ! E0 87 est uneequivalence pour la topologie grossiere. On la factorise en (E0xB0B) [ExA0A E ! E00! E0 ou la premiere fleche est une cofibration triviale pour la topologie grossiere * *et la deuxieme est une fibration triviale pour la topologie grossiere. On a un morphisme prov* *enant de notre relevement (E0xB0B) [ExA0A E ! A0: Comme A0 ! B0 est une fibration pour la topologie grossiere, il existe une exte* *nsion E00! A0. Maintenant, comme E00! E0 est une fibration triviale pour la topologie grossiere, il existe une section E0 ! E00qui co"incide sur E avec le morphisme * *donne E ! E00. On obtient donc par composition, un morphisme E0 ! A0 qui fournit le relevement cherche. Pour la deuxieme partie du lemme, on a un morphisme entre n-champs de Segal f : A ! B qui est fibrant pour la topologie grossiere. On le factorise en g 0 h A ! A ! B avec g une G-equivalence et h une G-fibration. D'apres la premiere partie, A0 * *est un champ. Par le lemme precedent, g est uneequivalence pour la topologie grossier* *e. Si E ! E0 est une cofibration G-triviale avec un diagramme E ! A # # E0 ! B alors il existe un relevement intermediaire E0! A0. Comme plus haut, on peut su* *pposer que le morphisme E0 ! A0 est une fibration pour la topologie grossiere. Dans c* *e cas E0xA0 A ! E0 est uneequivalence objet-par-objet (ici on utilise encore le fait * *que les A(X) sont des n-categories de Segal, cf. le debut de la demonstration), donc c* *'est une cofibration triviale pour la topologie grossiere. On a l'inclusion E E0xA0A. O* *n applique alors la propriete de relevement de f (qui est une fibration pour la topologie * *grossi`ere) au diagramme E0xA0A ! A # # E0 ! B; pour obtenir un relevement E0! A qui reponda la question. * * 2 88 Le champ associe Si A est un n-prechamp de Segal sur X on appellera champ associea A touteeq* *uiva- lence faible A ! A0ou A0est un n-champ de Segal. On note qu'un champ associe e* *xiste toujours, il suffit de prendre pour A0un remplacement fibrant de A. Corollaire 9.4 Soit A un n-prechamp et soient A ! A0 et A ! A00deux champs as- sociesa A. Supposons que A00est fibrant pour la topologie grossiere. Alors il * *existe une equivalence (pour la topologie grossiere) A0! A00rendant commutatif le triangle* *a homo- topie pres. Si de plus A ! A0est une cofibration, on peut supposer le triangle* * strictement commutatif. Preuve: Si A ! A0 est une cofibration, alors c'est une cofibration triviale et* * le fait que A00soit fibrant implique l'existence de l'extension cherchee A0! A00. Si A ! A* *0n'est pas une cofibration, on factorise A ! B ! A0 aveca gauche une cofibration triviale eta droite une fibration triviale. Il ex* *iste donc une section A0! B ainsi qu'une extension du morphisme A ! A00en B ! A00. Ceci donne un morphisme A0! A00et on verifie (en suivant les definitions de [83]) que ce * *morphisme rend le triangle commutatifa homotopie pres. * * 2 Amelioration: Avec le Hom__interne des n-prechamps de Segal fibrants qui * *sera defini au x11 ci-dessous, on pourra formuler un meilleurenonce d'unicite du "champ as* *socie" via la propriete universelle suivante. Si A ! A0 est un champ associe au prec* *hamp A alors pour tout n-prechamp de Segal B fibrant pour la topologie grossiere et q* *ui est un champ, le morphisme induit Hom__(A0; B) ! Hom__(A; B) est uneequivalence de n-champs de Segal (fibrants). Voir x13. Produits fibres Soient A; B; C des n-precats de Segal. Si B ! A et C ! A sont des morphisme* *s, on dispose d'un produit fibre homotopique B xhAC, essentiellement bien defini: on* * peut le definir comme B0xA0C0 ou B ! A C # # # B0 ! A0 C0 est un diagramme dans lequel A0; B0 et C0 sont des n-categories de Segal avec * *B0 ! A0 fibrant, et ou les fleches verticales sont desequivalences faibles. Il est mon* *tre dans [95] 89 Lemma 6.1.2, que ce produit est une limite dans la n+1-categorie de Segal nSeC* *AT ([95] traite le cas des n-categories mais le cas des n-categories de Segal est ident* *ique). Le remplacement de A; B; C par A0; B0; C0 peutetre choisi fonctoriellement.* * D'ou, si B ! A C est un diagramme de n-prechamps de Segal sur une categorie X , on pe* *ut considerer leur produit fibre homotopique objet-par-objet B xhAC. C'est un n-p* *rechamp es- sentiellement bien defini sur X et (avec les notations de structure interne qu* *'on introduira au x11 ci-dessous) c'est la limite dans nSeCHAMP (X gro) du diagramme donne. Le lemme suivant est l'analogue de l'enonce de theorie des faisceaux selon * *lequel le noyau d'un morphisme de faisceaux de groupes (ou le noyau d'une double fleche * *s'il s'agit de faisceaux d'ensembles) est encore un faisceau. Lemme 9.5 Soit X ; G un site et B ! A C un diagramme de n-champs de Segal* * sur X . Alors le produit fibre homotopique objet-par-objet B xhAC est un n-champ * *de Segal (et c'est aussi la limite du diagramme dans nSeCHAMP (X G), voir la notation a* *u x11). Preuve: On peut choisir un remplacement du diagramme B ! A C # # # B0 ! A0 C0 avec A0; B0; C0 G-fibrants, et ou les fleches verticales sont desequivalences * *faibles pour G, et B0 ! A0 est une G-fibration. D'apres le lemme 9.1 les fleches verticale* *s sont des equivalences faibles objet-par-objet, et on a donc un remplacement adequat pour* * la con- struction du produit fibre homotopique B xhAC = B0xA0C0 qui est G-fibrant, en particulier c'est un n-champ de Segal. Toute autre const* *ruction de B xhAC donnera un n-prechampequivalent objet-par-objet au precedent; et par de* *finition, ce sera toujours un n-champ de Segal. * * 2 Le corollaire suivant reponda la question originellement pose par C. Rezk d* *ans [87] (ou il donne la demonstration pour les 0-prechamps): le passage au "champ asso* *cie" est compatible avec les produits fibres homotopiques. Corollaire 9.6 Soit B ! A C un diagramme de n-prechamps de Segal. On suppose que les valeurs A(X), B(X) et C(X) sont des n-categories de Segal. Soit B0! A0* * C0 le diagramme obtenu en passant aux G-champs associes. Alors B xhAC ! B0xhA0C0 est un G-champ associe; ici les produits fibres homotopiques des deux cotes so* *nt pris objet-par-objet au-dessus de X . 90 Preuve: La fleche en question est une G-equivalence faible d'apres le corollai* *re 3.9; et d'apres le lemme precedent, le but est un G-champ. Il s'ensuit par definition q* *ue la fleche est un "champ associee". * * 2 91 10. Criteres pour qu'un prechamp soit un champ On commence par introduire plusieurs notionsequivalentes d'effectivite des d* *onnees de descente. Par la suite, nous utiliserons seulement la version (ii) ci-dessou* *s; les autres sont la poureclairer la definition_le lecteur peut donc sauter la demonstration. L'inter^et des conditions (vii) et (viii) ci-dessous est leur caractereeleme* *ntaire: en effet, elles ne font reference nia la structure de modeles 3.1, nia l'operation SeCat.* * Cependant, sans la structure de cmf ces conditions seraient quasiment inutilisables. On le* *s a incluses pour facilitereventuellement une exposition sans demonstrations de la notion de* * champ. Lemme-Definition 10.1 Soit A un n-prechamp de Segal sur un site X . Soit X 2* * X et B X =X un crible couvrant X. On dira que les donnees de descente pour A sur B * *sont effectives si l'une des conditionsequivalentes suivantes est satisfaite. (i) Tout morphisme de *B dans A|B dans la categorie homotopique Ho(nSeP Ch(Bgro* *)) des n-prechamps de Segal par rapport auxequivalences objet-par-objet, s'etend e* *n un morphisme de * vers A(X) dans Ho(nSeP C). Autrement dit, l'application naturelle [*; A(X)] ! [*B; A|B]Bgro est surjective; (ii) Pour tout remplacement fibrant A ! A0 pour la topologie grossiere, tout mo* *rphisme *B ! A0s'etend en un morphisme *X=X ! A0; (ii') Il existe un remplacement fibrant A ! A0 pour la topologie grossiere, tel* * que tout morphisme *B ! A0s'etende en un morphisme *X=X ! A0; (iii) Pour tout remplacement fibrant A ! A0pour la topologie grossiere, le morp* *hisme de n-categories de Segal A0(X) = (X =X; A0|X=X ) ! (B; A0|B) est essentiellement surjectif; (iii') Il existe un remplacement fibrant A ! A0 pour la topologie grossiere, t* *el que le morphisme de n-categories de Segal A0(X) = (X =X; A0|X=X ) ! (B; A0|B) soit essentiellement surjectif; (iv) Le morphisme A(X) ! lim A|B ;Bo 92 est essentiellement surjectif; (v) Pour tout remplacement fibrant A ! A0 pour la structure HBKQ (5.1) i.e. * *une equivalence objet-par-objet avec chaque A0(X) fibrant, et pour tout morphisme j : DB ! A0 __ il existe une homotopie h : DB x I ! A0 avec h(0) = j et telle que h(1) provie* *nne d'un morphisme * ! A(X). Ici DB ! *B est le remplacement HBKQ-cofibrant construita * *la fin de x5. (v') Il existe un remplacement fibrant A ! A0pour la structure HBKQ (5.1) tel * *que pour tout morphisme j : DB ! A0 __ il existe une homotopie h : DB x I ! A0 avec h(0) = j et telle que h(1) provie* *nne d'un morphisme * ! A(X). Si on suppose, de plus, que A(Y ) est une n-categorie de Segal pour tout Y * *2 X , alors ces conditions sontequivalentes aux conditions suivantes: (vi) Pour tout diagramme de prefaisceaux de n-categories de Segal *B C ! A ou le premier morphisme est uneequivalence objet-par-objet, il existe * ! A(X)* * tel que le compose C ! *B ! *X=X ! A soit homotope (au sens de Quillen) au morphisme C ! A de depart; (vii) Tout diagramme de prefaisceaux de n-categories de Segal *B C ! A ou le premier morphisme est uneequivalence objet-par-objet se complete en un d* *iagramme *B C ! A # # k *X=X C0 ! A ou le morphisme C0! *X=X est uneequivalence objet-par-objet; et o (viii) Soit nSeCatB la categorie des prefaisceaux de n-categories de Segal su* *r B; et soit o Ho(nSeCatB ) sa localisee de Gabriel-Zisman, obtenue en inversant lesequivalen* *ces objet- o par-objet. Alors tout morphisme *B ! A dans Ho(nSeCatB ) provient d'un morphis* *me * ! A(X). 93 Preuve: (i),(ii)(,(ii')) D'apres Quillen [83] toutelement de [*B; A|B]Bgroprovient d'u* *n mor- phisme f : *B ! A0|B (remarquer que A0|B est fibrant pour la topologie grossier* *e voir x4, et que *B est automatiquement cofibrant). Si f s'etenda *X=X alors la cla* *sse de f provientevidemment de [*; A(X)]. Dans l'autre sens, si f corresponda unelement* * de [*B; A|B]Bgroprovenant de [*; A(X)] alors il existe un morphisme_g : *X=X ! A0t* *el que g|B soit homotope (a gauche)a f au sens de Quillen [83]. Comme *B xI est un objet-c* *ylindre pour *B, il existe un morphisme __ h : *B x I! A0 avec h(0) = f et h(1) = g|B. Maintenant on a un morphisme __ * x{1} 0 (*B x I) [ B (*X=X x {1}) ! A qui se prolonge le long de la cofibration triviale (pour la topologie grossiere) __ * x{1} __ (*B x I) [ B (*X=X x {1}) ,! *X=X x I; en un morphisme dont la restrictiona *X=X x {0} fournit l'extension de f cherch* *ee. (ii),(iii)(,(iii')) est immediat au vu de la definition de . (iii),(iv) decoule de la proposition 14.2 ci-dessous. (i),(v)(,(v')) On raisonne comme pour (i),(ii) mais avec la structure HBKQ; cf.* * x5. Notons que la notion de classe d'homotopie d'applications est independante du c* *hoix de la structure de cmf et ne depend que desequivalences faibles; en particulier da* *ns (i) il s'agit des m^emes ensembles dans la structure de 3.1 ou dans la structure HBKQ * *5.1. On suppose maintenant que A est un prefaisceau de n-categories de Segal. On* * a l'equivalence Ho(nSeCatB) ~= Ho(nSeP Ch(Bgro)f) car il y a uneequivalence natur* *elle "remplacement fibrant" de nSeCatB vers nSeP Ch(Bgro)f. D'autre part on a l'equi* *vance Ho(nSeP Ch(Bgro)f) ~=Ho(nSeP Ch(Bgro)) ([83]). Ceci donne (i),(viii). Pour les * *condi- tions (vi) et (vii), on choisit un remplacement fibrant A ! A0pour la topologie* * grossiere. Tout morphisme *B ! A0admet donc une factorisation *B ! E ! A0 ou la premiere fleche est une cofibration triviale pour la topologie grossiere * *et la deuxieme une fibration pour la topologie grossiere. Il existe une (unique) retraction E* * ! *B (on peut dire que *B est fibrant pour la topologie grossiere mais en fait il suffit* * de considerer les composantes connexes de C). Posons C := E xA0A: Le fait que les A(Y ) soient des n-categories de Segal permet d'appliquer 3.8 p* *our obtenir que C ! E est uneequivalence objet-par-objet. Notons d'apres 9.3 que les C(Y ) * *sont des 94 n-categories de Segal. Ils'ensuit que toutelement de [*B; A|B]Bgroprovient d'un* * diagramme (de prefaisceaux de n-categories de Segal) *B C ! A ou le premier morphisme est uneequivalence objet-par-objet. On laisse au lecte* *ur de completer la demonstration que (vi) et (vii) sontequivalentes aux autres condit* *ions, en exprimant de la m^eme facon la condition qu'un tel diagramme donne lieua unelem* *ent de [*B; A|B]Bgroqui provient de [*; A(X)]. * * 2 Critere principal On a la caracterisation suivante des champs, qui est analoguea la definition* * de 1- champ dans Giraud [43] et Laumon-Moret-Bailly [68]. Les conditions (a) et (b) s* *ont les analogues des deux conditions dans la definition de faisceau. Notons aussi que * *la condition (a) nous amene recursivement vers la condition (b). Proposition 10.2 Soit n 1. Soit A un n-prechamp de Segal sur X dont les vale* *urs sont des n-categories de Segal. Alors A est un n-champ de Segal si et seulement* * si: (a) pour tout X 2 X et tout x; y 2 A0(X) le (n - 1)-prechamp de Segal A1=(x; y* *) sur X =X est un (n - 1)-champ de Segal; et (b) pour tout X 2 X et tout crible B X =X dans un ensemble de cribles qui eng* *endre la topologie, les donnees de descente pour A par rapporta B sont effectives, voir * *la definition 10.1 ci-dessus. Preuve: Les conditions (a) et (b) sontevidemment necessaires (pour (b) on utili* *se le fait que A0 est G-fibrant en vertu du Lemme 9.2). Supposons que (a) et (b) sont sati* *sfaites et soit A0! A00une cofibration G-triviale vers un n-prechamp de Segal G-fibrant* *. Pour tout X 2 X et x; y 2 A0(X), le morphisme A1=(x; y) ! A001=(x; y) est une cofibration GX -triviale de (n-1)-prechamps de Segal sur X =X dont le b* *ut est GX - fibrant (Corollaire 6.3). La condition (a) implique que ce morphisme est uneequ* *ivalence pour la topologie grossiere, en particulier A(X)1=(x; y) ! A00(X)1=(x; y) est uneequivalence. Il en est de m^eme pour le morphisme A0(X)1=(x0; y0) ! A00(X)1=(x0; y0) 95 pour tous x0; y0 2 A00(X) car x0 et y0 sontequivalentsa des objets provenant d* *e A0(X). Ceci montre que A0! A00est pleinement fidele objet-par-objet. Il restea voir q* *ue A0! A00 est essentiellement surjectif objet-par-objet. Pour cela, on peut choisir une * *factorisation A0! B ! A00 ou le premier morphisme est une cofibration triviale pour la topologie grossie* *re et le deuxieme une fibration pour la topologie grossiere. Quittea remplacer A0par B,* * on peut dorenavant supposer que A0! A00est fibrant pour la topologie grossiere. Soit X 2 X et u 2 A000(X), qu'on considere comme morphisme u : *X ! A00|X=X : On pose C := (A0|X=X ) xA00|X=X*X : Le morphisme C ! *X est une fibration pour la topologie grossiere et aussi une* *equiva- lence pour la topologie G. De plus, comme A0! A00est pleinement fidele, le mor* *phisme C ! *X est pleinement fidele. En particulier, C est 0-tronque, etequivalent* * objet- par-objeta un prefaisceau de sous-ensembles de *X . Comme notre morphisme est* * une equivalence pour la topologie G, il existe un crible B X =X de la topologie (e* *t m^eme de l'ensemble generateur de cribles mentionne dans (b)) tel que *B soit conten* *u dans ce sous-prefaisceau de *X . En particulier, le morphisme C x*X *B ! *B est uneequivalence objet-par-objet et, comme c'est aussi une fibration pour la* * topologie grossiere, il existe une section *B ! C. On obtient ainsi un morphisme *B ! A0|X=X qui, gr^acea (b), s'etend en un morphisme u0: *X ! A0|X=X : On obtient ainsi unelement u0 2 A00(X). Avec le m^eme type d'argument on voit* * que l'image de u0dans A000(X) estequivalentea u, ce qui prouve l'essentielle surje* *ctivite. 2 Critere pour les 0-champs de Segal On a un resultat analoguea 10.2 pour les 0-prechamps de Segal i.e. les pref* *aisceaux simpliciaux. Pour l'obtenir, on utilise le lemme suivant. 96 Lemme 10.3 Soit m; n 0 et soit A un prefaisceau de n-categories de Segal. A* *lors A est un n-champ de Segal si et seulement si m;SeO A est un n + m-champ de Segal. Preuve: D'abord on montre que si A est un n-champ de Segal, alors m;SeO A est * *un n + m-champ de Segal. En raisonnant par recurrence sur m et en appliquant le cr* *itere 10.2, on se ramene au cas n = 0 et m = 1. Soit donc A un 0-champ de Segal. On peut supposer que A est G-fibrant. On va prouver les conditions (a) et (b) de 1* *0.2 pour B = 1;SeO A. Notons que A et <0 B sontequivalents (objet-par-objet). Si X est* * un objet de X et B un crible couvrant X, tout morphisme *B ! B induit un morphisme *B ! <0 B et donc une donnee de descente pour A (i.e. unelement de [*B; A|B]Bg* *ro). Maintenant, l'inclusion *B ! *X=X est une G-equivalence et le fait que A soit G* *-fibrant implique donc l'existence d'une extension de notre donnee de descente en unelem* *ent de [*; A(X)] = [*; B(X)]. Ceci prouve la condition (b) de 10.2 pour B. D'autre par* *t, soient a et b dans B0(X). On a l'equivalence B1=(a; b) ~=P atha;b(A) := * xA|X=X*; et ce dernier prechamp est un 0-champ de Segal d'apres 9.5. Ceci donne la condi* *tion (a) de 10.2, et donc, par 10.2, B est un 1-champ de Segal. Pour l'autre direction, supposons que m;SeO A est un n + m-champ de Segal. C* *hoi- sissons un remplacement G-fibrant A ! A0. On obtient un morphisme m;SeO A ! m;SeO A0; dont le but est un n + m-champ de Segal d'apres le premier paragraphe. Par hypo* *these la source est un n + m-champ de Segal. Comme ce morphisme est une G-equivalence faible, 9.1 implique que c'est uneequivalence objet-par-objet. Ceci impliquea s* *on tour que A ! A0est uneequivalene objet-par-objet, et donc A est un n-champ de Segal.* * 2 On donne maintenant une version du critere adaptee aux 0-prechamps de Segal * *(ou prefaisceaux simpliciaux). Rappelons ici qu'un prefaisceau simpliciale U est un* * 0-champ de Segal, si et seulement si U est flasque par rapport aux objets du site au se* *ns de Jardine [63], ou de descente cohomologique dans la terminologie de Thomason [100] [107]. Corollaire 10.4 Si U est un prefaisceau simplicial au-dessus de X , alors U es* *t un 0- champ de Segal si et seulement si (a) pour tout X 2 X et tous x; y 2 U0(X) le prefaisceau simplicial Y 7! P athx|Y;y|Y(U(Y )) sur X =X est un 0-champ de Segal; et (b) pour tout X 2 X et tout crible B X =X (dans une famille de cribles qui en* *gendre la topologie), les donnees de descente pour U sur B sont effectives. 97 Preuve: On observe, comme dans la demonstration precedente, que si A := 1;SeO * *U alors on a i j Y 7! P athx|Y;y|Y(U(Y ))~=A1=(x; y) et d'autre part, l'ensemble des donnees de descente (resp. effectives) pour U * *est isomorphe a l'ensemble des donnees de descente (resp. effectives) pour A. On concluta l* *'aide de 10.2 et 10.3. * * 2 Dans la condition (a) de ce corollaire, P athx|Y;y|Y(U(Y )) designe l'ensem* *ble simplicial des chemins entre x|Y et y|Y dans un remplacement de Kan de U(Y ). Si U est un 0-champ de Segal k-tronque (i.e. les U(X) ont leurs groupes d'h* *omotopie nuls en degre > k) alors le critere de 10.4 devient recursif puisque dans la c* *ondition (a)0, P athx|Y;y|Y(U(Y )) est k - 1-tronque. On peut convertir cette remarque en une* * version de la Proposition 10.2 adaptee aux k-champs (tout court et non de Segal). Compatibilite avec la restriction aux X =X On revient aux n-champs de Segal; on peut enfin completer les resultats du * *x4 con- cernant la topologie G. Lemme 10.5 Soit X un site dont on note G la topologie de Grothendieck. Un n* *-prechamp de Segal A sur X est un champ si et seulement si A|X=X est un champ pour tout * *X 2 X . La restriction des n-prechamps de Segal p* : A 7! A|X=X preserve les G-fibrations et les G-fibrations triviales; pour la topologie G, * *p* est un foncteur de Quillena la foisa gauche eta droite. Preuve: Il estevident d'apres nos criteres (10.2 et 10.4) que A est un champ s* *i et seulement si A|X=X est un champ pour tout X 2 X . En particulier la restriction p* envoi* *e les objets G-fibrants sur des objets G-fibrants (cf le lemme 9.2). Soit f : A ! B une G-* *fibration entre objets G-fibrants. Alors f|X=X est une fibration pour la topologie gross* *iere (d'apres 4.1) entre objets G-fibrants. D'apres le lemme 9.3, on a que f|X=X est G-fibra* *nt. Maintenant on sait que p* transforme les fibrations entre objets fibrants e* *n fibrations. Or, une cofibration dans une cmf est triviale si et seulement si elle verifie * *la propriete de relevement pour toutes les fibrations entre objets fibrants. Ceci implique que* * l'adjoint p! de p* transforme les cofibrations triviales en cofibrations triviales (et on s* *avait deja que p!preserve les cofibrations). Donc p!est un foncteur de Quillena gauche, et pa* *r suite p* est un foncteur de Quillena droite. * * 2 98 A propos de ; Habituellement dans un site X on a un objet initial (generalement l'objet "vid* *e" = ;), et les champs sur X doivent satisfaire la condition A() ~=*, du moins lorsque l* *a topologie G admet le crible vide B = ; X = comme crible couvrant (ce qui sera le cas da* *ns les exemples geometriques). En effet, sous cette hypothese, si A est G-fibrant, alo* *rs comme E0x * ! E x * est une cofibration triviale, pour toute cofibration de n-precats* * de Segal E0 E, tout morphisme E0 ! A() s'etend en E ! A() ce qui entraine que A() ! * est une fibration triviale. Voyons ce queca donne avec nos criteres: puisque B = ; X = est un crible co* *uvrant (B ne contient m^eme pas ), le prechamp *B estegal au vide ; au-dessus de X = * *donc il existe un unique morphisme *B ! A0|X= ). La condition (b) de nos criteres i* *mplique donc que A0() est non-vide. D'autre part, la condition (a) de nos criteres impl* *ique (par recurrence sur n) que pour chaque paire d'objets de A() la n-1-categorie de mor* *phismes correspondante est *. D'ou A() = *. Pour n = 0 le m^eme argument (en remplacanta chaque fois A par son 1;SeO A) montre par recurrence que tous les groupes d'hom* *otopie de l'ensemble simplicial A() s'annulent; c'est le cas initial de la recurrence * *pour n > 0. En revanche, pour ce qu'on appelle la "topologie grossiere", on n'admet pas le * *crible vide ; ! X = comme crible couvrant. Dans ce cas on n'a pas la condition A() ~=*. Devissage Pour n > 0 on peut devisser la condition pour ^etre un champ en termes des k* * < n, gr^ace au corollaire suivant. Rappelons encore qu'un prefaisceau simplicial U * *est un 0- champ de Segal, si et seulement si U est flasque par rapport aux objets du site* * (Jardine [63]), ou de descente cohomologique (Thomason [100] [107]). Cette condition es* *t donc bien connue. On rappelle (cf. x2) que si A est une n-categorie de Segal, pour k n, on d* *ispose de l' interieur k-groupique Aint;kqui est une k-categorie de Segal. Essentielle* *ment cette construction consistea ne garder que les i-fleches qui sont inversiblesaequival* *ence pres (i > k) eta considerer le resultat comme une k-categorie de Segal. Pour k = 0, * *Aint;0est donc un ensemble simplicial avec n;SeO Aint;0equivalent au plus grand n-groupo"* *ide de Segal contenu dans A. Ces constructions s'etendent de maniereevidentea des pref* *aisceaux de n-categories de Segal. Le corollaire suivant permet de devisser la condition pour qu'un n-prechamp * *de Segal A soit un n-champ de Segal, en termes de la condition pour qu'un prefaisceau si* *mplicial soit un 0-champ de Segal. Corollaire 10.6 Soit A un n-prechamp de Segal (n 1) tel que A(X) soit une n- categorie de Segal pour tout X 2 X . Alors A est un n-champ de Segal si et seul* *ement si: 99 (a) pour tout X 2 X et toute paire d'objets x; y 2 A0(X), le n - 1-prechamp de* * Segal A1=(x; y) est un n - 1-champ de Segal au-dessus de X =X; et (b) Aint;0est un 0-champ de Segal. Preuve: On a [*B; A|B]Bgro= [*B; Aint;0|B]Bgro; et on applique 10.2 et 10.4. * * 2 Corollaire 10.7 Si A est un n-champ de Segal alors pour 0 k < n, Aint;kest un k-champ de Segal. 2 En fait, le lecteur pourra se convaincre que le present devissage nous ramen* *ea un nombre infini de conditions d'effectivite des donnees de descente, une pour les* * i-fleches pour chaque i 0. Pourenoncer ceci plus precisement, introduisons des notation* *s. Rappelons d'abord une notation de Tamsamani [98]: l'ensemble de i-fleches d'un* *e n- categorie A, note F li(A), est l'ensemble A1i ou 1i = (1; : :;:1) 2 n est la cl* *asse de (1; : :;:1; 0; : :;:0) 2 n. On a les applications s ("source") et b ("but") de * *F li(A) vers F li-1(A). Dans notre situation, si A est une n-categorie de Segal, on conviend* *ra de dire que les i-fleches pour i > n sont les i-fleches de m;SeO A pour m > i - n. De f* *acon plus systematique on pourrait definir (au vu de notre definition de om voir x2) F li(A) := F li(oi+1 A): Soit i 1 et soient x; y 2 F li-1(A) avec s(x) = s(x) et b(x) = b(y). On defini* *t alors la (n - i)-categorie de Segal F_l_i(A; x; y) comme la sous-(n - i)-categorie de Se* *gal de A1i= formee des objets dont la source est x et le but est y (ici, si n-i est negatif* *, on le remplace par 0). 16 Si A est un n-prechamp de Segal dont les valeurs A(X) sont des n-categories * *de Segal, alors pour tout X 2 X et x; y 2 F li-1(A(X)) avec s(x) = s(y) et b(x) = b(y), o* *n dispose du n - i-prechamp de Segal F_l_i(A|X=X ; x; y) quia Y ! X associe la n - i-cat* *egorie F_l_i(A(Y ); x|Y ; y|Y ). Proposition 10.8 Soit A un n-prechamp de Segal sur X tel que les A(X) soient d* *es n- categories de Segal. Alors A est un n-champ de Segal si et seulement si pour to* *ut X 2 X et tout crible B X =X (dans une famille de cribles qui engendre la topologie),* * on a: _les donnees de descente pour A par rapporta B sont effectives; et _pour tout 1 i < 1, pour tout x; y 2 F li-1(A(X)) avec s(x) = s(y) et b(x) = b* *(y), les donnees de descente pour F_l_i(A|X=X ; x; y) sur B sont effectives. ________________________________ 16Cette infelicite devrait dispara^itrea terme quand on pourra parler des 1-c* *ategories. 100 La demonstration est laissee en exercice au lecteur. Indication: combiner le le* *mme 6.2, avec la remarque qu'il suffit, pour obtenir toutes les cofibrations triviales, * *de considerer des suites adequates composees de cofibrations triviales pour la topologie gros* *siere, ainsi que de cofibrations de la forme cof(U ,! U0; B X =X) ou U0 = h(1i) represente * *les i-fleches, et U est son "bord" qui represente les couples de i - 1-fleches avec* * m^eme source et but. * * 2 Le cas des 1-prechamps de Segal et prefaisceaux de categories simpliciales Dans la derniere partie du papier, on s'interessera surtout au cas n = 1; po* *ur cette raison, on recopie 10.6 pour les 1-categories de Segal ainsi que pour les prefa* *isceaux de categories simpliciales. On rappelle encore que les 0-champs de Segal sont exac* *tement les prefaisceaux simpliciaux flasques par rapport aux objets du site [63] ou encore* * verifiant la condition de descente cohomologique de [100] [107]. Corollaire 10.9 Soit A un 1-prechamp de Segal tel que A(X) soit une categorie * *de Segal pour tout X 2 X . Alors A est un 1-champ de Segal (1-champ) si et seulement si: (a) pour tout X 2 X et toute paire d'objets x; y 2 A0(X), le prefaisceau sim* *plicial A1=(x; y) au-dessus de X =X est un 0-champ de Segal; et (b) le prefaisceau simplicial Aint;0est un 0-champ de Segal. 2 Si B est une categorie simpliciale, on peut calculer l'ensemble simplicial B* *int;0de la facon suivante: soit W B la sous-categorie simpliciale ou on ne garde que les f* *leches qui sont inversiblesa homotopie pres; soit W B son "nerf", i.e. l'ensemble bisimpli* *cial associe (c'est aussi la 1-precat de Segal associee). Alors, si d(W B) est l'ensemble s* *implicial diagonal correspondant, on a d(W B) ~=Bint;0. Cette discussion s'etend de facon* *evidente aux prefaisceaux de categories simpliciales (qui donnent lieua des 1-prechamps * *de Segal qu'on note avec la m^eme lettre). Corollaire 10.10 Soit B un prefaisceau de categories simpliciales. Alors B es* *t un 1- champ de Segal si et seulement si: (a) pour tout X 2 X et toute paire d'objets x; y 2 Ob(B)(X), le prefaisceau si* *mplicial MorB (x; y) au-dessus de X =X est un 0-champ de Segal, et (b) le prefaisceau simplicial d(W B) = Bint;0est un 0-champ de Segal. 2 101 Une variante du critere On donne ici unenonce tres legerement different de 10.2. On remarque d'abord* * que si A0est un n-prechamp de Segal fibrant pour la topologie grossiere, alors A0|X=X * *est aussi fibrant pour la topologie grossiere, ainsi que A0|B pour tout crible B couvrant* * X =X (voir x4). Par ailleurs, on observe que le morphisme (X =X; A0|X=X ) ! A0(X) est un isomorphisme de n-categories de Segal, car X est l'objet final de la cat* *egorie X =X et est simplement le foncteur des sections globales pour les prefaisceaux. Proposition 10.11 Soit A un n-prechamp de Segal sur X dont les valeurs sont d* *es n- categories de Segal. Fixons une cofibration triviale pour la topologie grossier* *e A ! A0avec A0fibrant pour la topologie grossiere. Alors A est un n-champ de Segal si et se* *ulement si: (c) pour tout X 2 X et tout crible B X =X de la topologie, le morphisme A0(X) = (X =X; A0|X=X ) ! (B; A0|B) est uneequivalence de n-categories de Segal. Preuve: Supposons que A est un n-champ de Segal. Quittea remplacer A par A0, on* * peut aussi supposer que A est fibrant pour la topologie grossiere, et donc m^eme G-f* *ibrant (voir 9.3). On va montrer que, dans ce cas, le morphisme de (c) est une fibration tri* *viale; pour cela on montrera qu'il possede la propriete de relevement par rapporta toute co* *fibration E ! E0 de n-precats de Segal. On commence par observer que si un morphisme U ! V de n-prechamps de Segal au-dessus de X =X est uneequivalence au-dessus de chaque objet d'un crible B X* * =X couvrant X, alors c'est une G-equivalence faible. En effet, c'est facilea voir * *pour n = 0 et pour n > 0 on peut proceder par recurrence sur n en utilisant directement la* * definition de G-equivalence faible (x3). On applique cela au morphisme j : E0B[EB EX=X ! E0X=X; ou E ,! E0est la cofibration triviale de n-precats de Segal donnee, et EB est l* *e n-prechamp obtenu en appliquant p!au n-prechamp de Segal constanta valeurs E sur B, p desi* *gnant l'inclusion B ! X =X. On obtient ainsi que j est une cofibration G-triviale. La* * propriete de relevement de A ! * pour le morphisme j se traduit en la propriete de releve* *ment du morphisme (X =X; A|X=X ) ! (B; A|B) 102 par rapporta la cofibration E ! E0. Ceci prouve que le morphisme en question es* *t une fibration triviale, ce qui donne la condition (c) pour A. Pour l'autre sens, supposons que A satisfait la condition (c). On note que * *si A est fibrant pour la topologie grossiere, la condition (c) implique que A possede la* * propriete de relevement pour toute cofibration de la forme cof(U ,! U0; B X =X) (voir la de* *finition juste avant la proposition 6.1). D'apres le lemme 6.2, ceci implique que A pos* *sede la propriete de relevement pour toute cofibration G-triviale, i.e. que A est G-fi* *brant. La condition (c) implique donc que A est un n-champ de Segal. * * 2 Remarques: On indique ici un argument alternatif de recurrence sur n qui pe* *rmet facilement de reduire la proposition au cas n = 0. Supposons que n 1 et qu'on * *a deja demontre la proposition pour les n - 1-prechamps de Segal. Si B est un crible c* *ouvrant X =X, alors pour tous x; y 2 A00(X) on a (B; A01=(x; y)|B) = (B; A0|B)1=(x; y): Au vu de la definition de lequivalence entre n-categories de Segal, la conditio* *n (c) pour A0 est manifestementequivalentea la conjonction de la condition (b) de 10.2 avec l* *a condition (c) pour les A01=(x; y). Par hypothese de recurrence, cette derniere estequiva* *lentea la condition (a) de 10.2. On obtient donc bien que la condition (c) estequivalent* *e aux conditions (a) plus (b) de 10.2. Pour n = 0 i.e. pour les prefaisceaux simpliciaux, on peut en plus remarquer* * que s'il s'agit de prefaisceaux simpliciaux m-tronques on peut les considerer comme m-ch* *amps (non de Segal) et, en combinant la recurrence ci-dessus avec un argumentevident* * pour les prefaisceaux d'ensembles, on obtient une preuve facile de la proposition. L* *a difficulte provient donc des groupes d'homotopie de degre arbitrairement grand: il y a de * *la coho- mologie de tout degre qui peut contribuer aux donnees de descente. Dans ce cas * *(n = 0), le fait que la condition (c) est necessaire a fait l'objet d'une note de Toen [* *103]. Pour le fait qu'elle est aussi suffisante dans le cas non-tronque, il semble inevitable* * d'utiliser 6.2. Les protochamps Pour les 1-champs ordinaires (non de Segal), il appara^it chez Giraud [43] e* *t Laumon- Moret-Bailly [68] une notion de "prechamp": en leur sens, un prechamp est un de* * nos prechamps qui satisfait en outre la condition (a) de 10.2. Dans le cas des pref* *aisceaux, ceci corresponda exiger la premiere des deux conditions de la definition habituelle * *des fais- ceaux (Houzel appelait ca des semi-faisceaux mais "semi-champ" ne sonne pas bie* *n) et la terminologie de [43] [68] n'est donc pas compatible avec la terminologie habitu* *elle concer- nant les prefaisceaux; c'est pour cela que nous avons prefere garder le terme "* *prechamp" pour des objets depourvus de relation avec la topologie G. Cependant, la notio* *n de prechamp satisfaisant la condition (a) de 10.2 est utile, et nous adoptons la d* *efinition suivante: 103 Definition 10.12 Soit n 1. Un n-prechamp de Segal A sera appele protochamp s* *i les A(X) sont des n-categories de Segal, et si A satisfait la condition (a) de 10.* *2,a savoir que pour tout X 2 X et tous x; y 2 A(X)0, le n - 1-prechamp de Segal A1=(x; y)* * est un n - 1-champ de Segal sur X =X. Lemme 10.13 Soit A un n-prechamp de Segal dont les valeurs A(X) sont des n-* *catego- ries de Segal. Soit f : A ! A0 un champ associe (x9). Alors A est un protocham* *p si et seulement si le morphisme f est pleinement fidele (objet-par-objet). Preuve: Si f est pleinement fidele alors, comme les A01=(fx; fy) sont des n - * *1-champs de Segal, il en est de m^eme des A1=(x; y). Dans l'autre sens, supposons que * *A est un protochamp, et soient x; y 2 A(X)0. Alors le morphisme A1=(x; y) ! A01=(fx; f* *y) est une GX -equivalence faible entre n - 1-champs de Segal sur X =X, donc par 9.1,* * c'est une equivalence objet-par-objet. Donc f est pleinement fidele. * * 2 La prochaine proposition est l'analogue d'un resultat de [91]. On laisse la* * demonstra- tion en "exercice" au lecteur. Proposition 10.14 Soit F un n-protochamp de Segal sur X , et definissons un * *n-pre- champ de Segal G par G(X) := colimBX=X lim F |B ;Bo (ici on utilise les limites et colimites de [95], voir x14 pour comment les ca* *lculer; la colimite est prise sur l'ensemble filtrant des cribles couvrant X). Alors F !* * G est le champ associe. * * 2 Rappelons qu'on peut considerer une n-categorie comme n-categorie de Segal * *en con- siderant les ensembles de n-morphismes comme des ensembles simpliciaux 0-tronq* *ues. Les n-categories de Segal qui correspondent ainsi aux n-categories sont exactement* * celles qui sont n-tronques i.e. pour lesquelles on a A ~=Aint;n~=on A. Le lemme suivant i* *ndique qu'on peut utiliser cette correspondance pour traduire les resultats sur les n* *-prechamps de Segal en resultats sur les n-prechamps (non de Segal). Dans ce lemme, l'hypoth* *ese selon laquelle les A(X) doivent ^etre des n-catgories de Segal est bien necessaire (* *car l'operation SeCat ne conserve pas la propriete d'^etre tronque). Corollaire 10.15 Si A est un prefaisceau de n-categories de Segal qui est n-t* *ronque (i.e. A ~=on A) et si A ! A0est un champ associe, alors A0est aussi n-tronque. 104 Preuve: Ce serait une consequence immediate de la proposition 10.14. Comme on* * n'a pas fourni de preuve de cette proposition, on indique ici une demonstration alt* *ernative du corollaire. On peut supposer qu'on a developpe parallelementa notre discussi* *on des n-prechamps de Segal, une discussion analogue pour les n-prechamps non de Segal* *. Par exemple, pour un n-prechamp non de Segal T , on peut definir le n-champ associe* * f : T ! T 0. Ce morphisme est une G-equivalence faible de n-prechamps. Notons Ind* *(T ) (resp. Ind(T 0)) les n-prechamps de Segal induits. Supposons que les T (X) so* *nt des n- categories. Le fait que f soit une G-equivalence de n-prechamps implique que In* *d(f) est une G-equivalence de n-prechamps de Segal. D'autre part, d'apres 10.2 et son an* *alogue pour les n-prechamps non de Segal, Ind(A0) est un n-champ de Segal. En effet, a* *vec la condition (a) on se reduit par recurrence au cas ou n = 0; pour celui-ci, la qu* *estion est de savoir si un faisceau d'ensembles est un 0-champ de Segal, ce qui est le cas* * (on peut le voir en appliquant encore deux fois 10.4). Ceci demontre que Ind(A0) est un n-c* *hamp de Segal. Alors par definition c'est le n-champ de Segal associea Ind(A). Dans la * *situation du corollaire, on part d'un n-prechamp de Segal A qui est objet-par-objet n-tro* *nque. Il s'ensuit que A estequivalenta un prechamp Ind(T ) ou T est un n-prechamp non de* * Segal (et dont les valeurs sont des n-categories) et la discussion precedente prouve * *le corollaire. 2 Exercice: Si A est un n-prechamp non de Segal (ou de Segal mais n-tronque) a* *lors on obtient le champ associe A0a partir de A par application n + 2 fois de la const* *ruction de la proposition 10.14. 105 11. Categories de modeles internes Nous voulons construire le n+1-prechamp de Segal de modules des n-champs de * *Segal. Pour ceci on utilise la notion suivante de categorie de modeles fermee interne.* * Soit M une categorie de modeles fermee. On dira que M est interne si elle verifie les* * axiomes suivants: IM(a)_M admet un Hom interne, i.e. le foncteur X 7! M1(X x A; B) est representa* *ble par un objet Hom__(A; B); IM(b)_le produit direct commute aux colimites finies, en particulier A x ; = ; * *pour l'objet initial ;; IM(c)_si A ! A0et B ! B0 sont des cofibrations alors le morphisme naturel 0 1 A x B ! A0x B colimB@ # CA! A0x B0 A x B0 est aussi une cofibration; et IM(d)_ l'equivalence faible est stable par produit direct. Ces axiomes sont tres proches des axiomes d'une categorie de modeles fermee * *mono^i- dale au sens de Hovey [61]. Essentiellement, on demande que le produit direct d* *efinisse une structure mono^idale au sens de [61], et on demande en outre que le Hom__ i* *nterne existe. Cette derniere condition est plus ou moinsequivalentea l'existence d'un* *e certaine colimite, mais cette colimite n'est peut-^etre pas "petite" (i.e. indexee par * *un ensemble et non une classe) et nous ne savons pas si la simple condition d'existence des* * (petites) colimites suffit pour garantir IM(a). La proposition suivante redonne les axiomes IM1-IM4 de [94] x11, et nous con* *siderons desormais les axiomes IM(a)-IM(d) comme constituant la version "officielle" de * *la notion de cmf interne. Proposition 11.1 Soit M une categorie de modeles fermee interne. (1) Si A est cofibrant et B fibrant alors Hom__(A; B) est fibrant; (2) Si A ! A0 est une cofibration (resp. cofibration triviale) d'objets cofib* *rants, et si B0! B est une fibration (resp. fibration triviale) entre objets fibrants, alors* * le morphisme Hom__(A0; B0) ! Hom__(A0; B) xHom_(A;B)Hom_(A; B0) est une fibration (resp. fibration triviale); (3) Le Hom__interne transforme tout coproduit cofibrant dans son premier argum* *ent (resp. produit fibre fibrant dans son second argument) en un produit fibre fibrant. 106 La preuve est facile et laissee au lecteur (les arguments se trouvent au x7 de * *[94]). 2 On a une version "homotopique" de la notion de Hom interne. Soit A une categ* *orie simpliciale, et soient x; y 2 A. On suppose que A admet des produits directs h* *omo- topiques; soit h 2 A et f : h x x ! y un morphisme (i.e. on choisit un objet h * *x x muni de morphismes vers h et x qui represente le produit direct). On dit que (h; f) * *est un Hom interne homotopique de xa y, si le morphisme (essentiellement bien defini) A1=(u; h) ! A1=(u x x; y) est uneequivalence (ici encore on choisit un objet u x x). Proposition 11.2 Soit M une categorie de modeles fermee interne. Alors la cate* *gorie simpliciale L(M) admet un Hom interne au sens homotopique ci-dessus. Preuve: On utilise la technique des resolutions cosimpliciales cofibrantes pour* * calculer les complexes de fonctions (cf [59] [30] [33] [46] [86]). Fixons x; y 2 M avec x c* *ofibrant et y fibrant, et notons h := Hom__(x; y) le Hom__interne de M (IM(a)). On a un mor* *phisme h x x ! y. Ici et plus loin il convient de remarquer que le produit direct d'o* *bjets de M est aussi le produit direct homotopique dans L(M), d'apres IM(d). Fixons u 2 * *M et choisissons une resolution cosimpliciale cofibrante de Reedy u ! u (cf [59] [30* *] [33] [46] [86]). On a alors l'egalite entre ensembles simpliciaux M1=(u; h) = M1=(x x u; y): Or, comme h est fibrant (Proposition 11.1 (1)), on a aussi (d'apres loc cit.) M1=(u; h) ~=L(M)1=(u; h): D'autre part, les axiomes IM(b) et IM(c) impliquent que x x u est une resolutio* *n cosim- pliciale cofibrante de Reedy pour x x u, donc (encore d'apres loc cit.) on a l'* *equivalence M1=(x x u; y) ~=L(M)1=(x x u; y): Ces deuxequivalences impliquent par definition que h est un Hom interne homotop* *ique de xa y. 2 La categorie Mf-enrichie associee Soit M une categorie de modeles fermee interne. Notons * son objet final. On* * obtient un foncteur oe : M ! Sets en posant oe(X) := M1(*; X). Cette construction comm* *ute aux produits directs. On a la formule tautologique M1(A; B) = oeHom__(A; B): 107 Le Hom__ interne permet de munir Mcf d'une structure de categorie enrichie dans* * Mf, via le foncteur oe. Autrement dit, pour tous A; B 2 Mcf on a Hom__(A; B) 2 Mf * *et Mcf(A; B) = oe(Hom__(A; B)); pour tous A; B; C on a une composition Hom__(A; B) x Hom__(B; C) ! Hom__(A; C) qui est associative (nous negligeons ici les problemes lies aux contraintes d'a* *ssociativite qui sont des isomorphismes naturels). Cette composition est transformee par oe* * en la composition de Mcf. Si on sait en outre que les Hom__(A; B) sont cofibrants (c'est par exemple l* *e cas quand les cofibrations de M sont les injections), alors Mcfest auto-enrichie par son * *Hom interne. En particulier, la structure INT (Mcf) ne depend que de la categorie Mcf dans c* *e cas. On obtient aussi ce qu'on pourrait appeler une Mf-categorie de Segal stricte* * et qu'on notera par INT (Mcf), en posant INT (Mcf)p=(A0; : :;:Ap) := Hom__(A0; A1) x : :x:Hom__(Ap-1; Ap): Cet objet consiste plus precisement en un ensemble INT (Mcf)0 d'objets, et pour* * toute suite A0; : :;:Ap d'objets, un objet INT (Mcf)p=(A0; : :;:Ap) de Mf (avec les m* *orphismes habituels de fonctorialite) tel que les morphismes de Segal soient des isomorph* *ismes. Ceci estequivalent bien s^ura la donnee d'une categorie Mf-enrichie, et nous allons * *utiliser la notation INT (Mcf) indifferemment pour la categorie Mf-enrichie ou pour la Mf-c* *ategorie de Segal stricte. Structure interne pour les n-categories de Segal Dans le cas ou M est une categorie de prefaisceaux d'ensembles sur une certa* *ine categorie, et si les cofibrations sont les morphismes injectifs (ou m^eme seule* *ment injectifs au-dessus d'un sous-ensemble d'objets dans la categorie de base) alors les axio* *mes IM(a), IM(b) et IM(c) sont automatiquement verifies. Tel est le cas de la categorie de* * modeles fermee des n-precats de [94] ou sa variante pour les n-precats de Segal definie* * plus haut dans le present travail 3.1. Tel est aussi le cas pour la categorie de modeles * *fermee des n-prechamps de Segal 2.3, car un n-prechamp de Segal n'est rien d'autre qu'un p* *refaisceau d'ensembles sur n+1xX (et les cofibrations sont les injections de prefaisceaux)* *. La seule difficulte dans ces exemples consistea verifier IM(d). Ceci aete fait pour les n-precats dans [94] Theorem 5.1. Comme pour l'existe* *nce de la structure de categorie de modeles fermee, on peut soit recopier la demonstra* *tion, soit utiliser ce resultat via A 7! m O A, pour obtenir le m^eme resultat pour les n-* *precats de Segal. On obtient: Lemme 11.3 La cmf nSeP C des n-precats de Segal de 3.1 est interne. 108 2 Si on applique la discussion precedentea la categorie de modeles fermee nSeP* * C des n- precats de Segal on obtient une 1-categorie stricte INT (nSeP Ccf) enrichie sur* * nSeP Cf; et en prenant le nerf de celle-ci on obtient une nSeP Cf-categorie de Segal, i.* *e. une n + 1-categorie de Segal qu'on note nSeCAT := INT (nSeP Ccf): Insistons bien sur le fait que les objets de nSeCAT sont les n-categories de Se* *gal fibrantes, et pour toute suite d'objets A0; : :;:Ap on a nSeCATp=(A0; : :;:Ap) := Hom__(A0; A1) x : :x:Hom__(Ap-1; Ap): La m^eme construction pour la n + 1-categorie nCAT des n-categories fibrantes, * *aete donnee dans [94] x7. On observe que nSeCAT (resp. nCAT ) n'est pas fibrante, et on utilisera souv* *ent un remplacement fibrant qu'on notera nSeCAT 0(resp. nCAT 0). Remarque ensembliste: Les objets de (nSeCAT )0 forment une classe, et techn* *ique- ment parlant, nSeCAT n'est pas une n + 1-categorie. Pour contourner ce probleme* *, on convient de fixer un ensemble (tres grand!) et de ne retenir comme objet de nSe* *CAT que les n-categories dont l'ensemble sous-jacent (i.e. reunion des AM ) est conten* *u dans cet ensemble. Avec cette convention, le remplacement fibrant nSeCAT 0existe. Le l* *ecteur verifiera que nos constructions ne nouseloignent pas de ce cadre: quand on parl* *e de limites ou colimites, par exemple, elles sont toujours prises suivant un ensemble d'ind* *ices dont on peut bornera l'avance la puissance; il suffit donc de choisir notre ensemble* * de depart suffisamment grand pour que toutes les limites et colimites qu'on va prendre, e* *xistent; de facon similaire, quand on utilise l'argument du petit objet, on connait toujour* *sa l'avance une borne transfinie du nombre d'etapes necessaires. Structure interne pour les n-champs de Segal On va maintenant adapter aux n-champs de Segal la construction vue pour les * *n- categories de Segal. Lemme 11.4 La cmf nSeP Ch des n-prechamps de Segal sur un site X , est inter* *ne. Preuve: comme on l'a remarque plus haut, la seule difficulte concerne IM(d) qu'* *on prouve par recurrence sur n. Pour n = 0 la propriete en question resulte facilement de* * la definition de l'equivalence d'Illusie (en notant que le passage au faisceau associe est co* *mpatible avec le produit direct des prefaisceaux d'ensembles, voir par exemple [87]). On supp* *ose donc 109 n 1 et le resultat connu pour n - 1. Soit f : A ! A0 une G-equivalence de n- prechamps de Segal, et soit B un n-prechamp de Segal. On peut supposer (gr^ace* * au resultat correspondant pour les n-precats de Segal) que les A(X), A0(X) et B(X)* * sont des n-categories de Segal. On a o0 (A x B) = o0 (A) x o0 (B) (et de m^eme pour A0) donc le morphisme o0 (A x B) ! o0 (A0x B) induit une surjection sur les faisceaux d'ensembles associes. D'autre part, pou* *r (x; a) et (y; b) dans (A x B)0(X), on a (A x B)1=((x; a); (y; b)) = A1=(x; y) x B1=(a; b) et de m^eme pour A0; on obtient donc (a partir du resultat pour n - 1) que le m* *orphisme induit par f (A x B)1=((x; a); (y; b)) ! (A0x B)1=((fx; a); (fy; b)) est une G-equivalence. Par definition (voir x3) cela veut dire que f est une G-* *equivalence. Ceci donne IM(d). 2 Maintenant,a partir de M = nSeP Ch, on peut construire le n + 1-prechamp de * *Segal des n-champs de Segal fibrants, note nSeCHAMP____(X ) := INT (nSeP Chcf): Les objets de nSeCHAMP____(X ) au-dessus de X 2 X sont les n-prechamps de Segal* * fibrants sur X =X. Si A0; : :;:Ap sont de tels objets, alors on definit sur X =X le n-pr* *echamp de Segal nSeCHAMP____(X )p=(A0; : :;:Ap) = Hom__(A0; A1) x : :x:Hom__(Ap-1; Ap): En appliquant le foncteur des sections globales a nSeCHAMP____(X ), on obtie* *nt la n + 1-categorie de Segal des n-champs de Segal sur X , qu'on pourrait noter nSeCHAMP (X ): En fait, si on analyse la phrase precedente, on constate que les objets de nSeC* *HAMP (X ) sont les n-prechamps de Segal A tels que A|X=X soit fibrant pour tout X 2 X . S* *i X n'a pas d'objet final, cette condition peut ^etre differente que la condition (plus* * forte) que A soit fibrant (noter le contre-exemple dans x6), et nous allons legerement mod* *ifier la 110 definition pour ne garder dans nSeCHAMP (X ) que les seuls objets qui sont fibr* *ants sur X . En conclusion, on prefere noter nSeCHAMP (X ) la n + 1-categorie dont les ob* *jets sont les n-prechamps de Segal G-fibrants sur le site X . Si A0; : :;:Ap sont de* * tels objets, alors on prend comme precedemment pour nSeCHAMP (X )p=(A0; : :;:Ap) le produit * *de n-precats Hom__(A0; A1) x : :x:Hom__(Ap-1; Ap): Il convient de rappeler, pour comprendre cette definition, que Hom__(A; B) p* *eut ^etre defini comme le representant du foncteur nSeP C ! Ens E 7! HomnSePCh(A x E_; B); ou E_est le n-prechamp de Segal constanta valeurs E. Il est immediat que pour tout X 2 X , on a nSeCHAMP____(X )(X) = nSeCHAMP (X =X); et ceci pourrait servir de definition de nSeCHAMP____(X ). Enfin, on peut faire ici la m^eme "remarque ensembliste" que plus haut (qui * *explique pourquoi on se permet de prendre des remplacements fibrants nSeCHAMP____(X )0). Calcul avec la structure de type HBKQ Nous indiquons ici comment utiliser la structure du theoreme 5.1 pour calcul* *er Hom__ et Hom__(ce dernier dans le cas ou X admet des produits fibres). Lemme 11.5 Si le site X admet des produits directs, alors la cmf de type HBK* *Q de 5.1 est interne. Preuve: Il suffit de remarquer que le produit de deux additions libres de cellu* *les au-dessus de X et de Y , est une addition libre au-dessus de X x Y . * * 2 Remarque: Si on veut appliquer ce lemme sur les sites X =X alors il faut que* * ceux-ci admettent des produits directs, i.e. que X admet des produits fibres. Au vu de ce lemme, on pourrait, dans le cas ou X admet des produits directs,* * definir une version HBKQ de nSeCHAMP (X ) et nSeCHAMP____(X ). On signale maintenant qu'on obtiendrait essentiellement les m^emes objets que plus haut. On commencera par montrer une propriete valide m^eme si X n'admet pas tous l* *es produits directs. Soit E est une n-precat de Segal, et notons E_ le n-prechamp de Segal consta* *nt sur X de valeur E. Si A ! A0 est la cofibration engendree librement par l'addition* * d'une cellule au-dessus de X 2 X (i.e. engendree par une cofibration de n-precats de* * Segal 111 A(X) ! C) alors A x E_! A0x E_est aussi engendree librement par addition de la cellule A(X) x E ! C x E. Il s'ensuit (du fait que le produit direct avec E_pr* *eserve les compositions transfinies et les retractions) que si A ! A0 est une cofibration pour la structure de HBKQ, alors il en est de m^eme de A x E_! A0x E_: Soit maintenant A cofibrant et B fibrant pour la structure de HBKQ (Theoreme 5* *.1). La n-precat de Segal Hom__(A; B) represente le foncteur nSeP C ! Ens E 7! HomnSePCh(A x E_; B): Le fait que les A x E_ soient cofibrants (pour 5.1) implique que si B ! B0 es* *t une equivalence entre deux n-prechamps de Segal fibrants pour 5.1, alors le morphis* *me induit Hom__(A; B) ! Hom__(A; B0) est uneequivalence de n-precats de Segal (les deux sont des n-precats de Segal* * fibrantes). En particulier on peut choisir B0 fibrant par rapporta la structure du theorem* *e 3.1, auquel cas on obtient la "bonne" n-categorie de Segal des morphismes de A vers* * B. La conclusion est le lemme suivant, qui dit que A et B peuvent etre utilises pour* * calculer les n-categories de Segal de morphismes dans nSeCHAMP (X ). Notons avant d'enoncer le lemme, que B est fibrant pour la structure 5.1 si* * et seulement si pour tout X 2 X , B(X) est fibrant. Ceci est donc une condition ponctuelle * *(verifiee par exemple par tout foncteur X o! nSeCAT ). Lemme 11.6 Soient A cofibrant et B fibrant pour la structure de HBKQ (Theor* *eme 5.1). Soient A0 et B0 leurs remplacements fibrants pour la structure de 3.1. Alors * *il y a une equivalence de n-categories de Segal nSeCHAMP (X )1=(A0; B0) = Hom__(A0; B0) ~=Hom__(A; B): * * 2 Signalons qu'on peut calculer de la m^eme facon les n-prechamps de Segal de* * mor- phismes dans nSeCHAMP____(X ),a condition que X admette des produits fibres; g* *r^ace au lemme 11.5: 112 Lemme 11.7 Supposons que le site X admet des produits fibres. Soient A cofib* *rant et B fibrant pour la structure de HBKQ (Theoreme 5.1). Soient A0et B0 leurs remplace* *ments fibrants pour la structure de 3.1. Alors il y a uneequivalence de n-categories * *de Segal nSeCHAMP____(X )1=(A0; B0) = Hom__(A0; B0) ~=Hom__(A; B): 2 Le lemme 11.6 nous aidea expliciter la notion de "donnee de descente". Soit * *X 2 X et soit B X =X un crible couvrant X. Soit DB ! *B le morphisme de n-prechamps de Segal (qui peuvent ^etre consideres comme au-des* *sus de X =X ou B) construit au x5. Soit A un n-prechamp de Segal sur X fibrant pour la* * structure 5.1, i.e. un prefaisceau sur Xa valeurs dans la categorie nSeP Cf des n-categor* *ies de Segal fibrantes. Soit A ! A0un remplacement fibrant pour la structure de 3.1 pour la * *topologie grossiere. Alors on a l'equivalence Hom__(*B; A0|B) ~=Hom__(DB; A|B): En particulier en prenant o0 , on obtient le corollaire suivant. Corollaire 11.8 Soit A un n-prechamp de Segal sur X fibrant pour la structure* * 5.1, i.e. un prefaisceau sur Xa valeurs dans la categorie nSeP Cf des n-categories d* *e Segal fibrantes. Soit X 2 X et B X =X un crible couvrant X, et soit DB ! *B la "resolution" construite au x5. Alors l'ensemble "des donnees de descente" [*B; A|B]Bgro se calcule comme l'ensemble de morphismes (dans nSeP Ch) de DB vers A, modulo_l* *a_ relation qui identifie deux morphismes s'ils sont lies par un morphisme DB x I_* *! A. Preuve: Soit A ! A0 un remplacement fibrant pour la structure de 3.1 pour X gr* *o. L'ensemble des donnees de descente se calcule commme [*B; A|B]Bgro= o0 Hom__(*B; A0|B): Par l'equivalence ci-dessus ceci est isomorphea o0 Hom__(DB; A|B): Comme Hom__(DB; A|B) est une n-precat de Segal fibrante, sa troncation o0 se c* *alcule comme l'ensemble des_objets_modulo la relation qui identifie deux objets lies p* *ar un morphisme de source I. 2 113 Relation avec la structure simpliciale D'apres Dwyer-Kan [33], la "structure simpliciale" d'une categorie de modele* *s fermee est bien definiea homotopie pres, et on voudrait la comparera la structure inte* *rne quand cette derniere existe. Il serait possible de formuler cette question en toute * *generalite mais par commodite (et du fait que cela suffit pour nos applications) nous allo* *ns seule- ment regarder le cas d'une categorie de modeles fermee interne avec structure s* *impliciale compatible. On commence par la definition: si M est une categorie de modeles fe* *rmee in- terne, une structure simpliciale compatible est un foncteur R : ! M tel que la* * categorie simpliciale M* definie par HomMk (x; y) := HomM (R(k) x x; y) soit une categorie de modeles simpliciale au sens de Quillen. On peut aussiecri* *re HomM* (x; y) = (k 7! HomM (R(k) x x; y)): Le foncteur R s'etend par passage aux limites finies en un foncteur (qu'on n* *otera encore R) de la categorie des ensembles simpliciaux n'ayant qu'un nombre fini de simpl* *exes non- degeneres vers M. Dans les notations introduites par Quillen pour la structure * *simpliciale, on a K x = R(K) x x; et Hom(K; y) = Hom__(R(K); y) (Hom__ est le Hom interne de M). On peut aussi prendre ces formules comme defin* *ition alternative de la structure simpliciale associeea R (ce point de vue correspond* *a la definition de categorie de modeles simpliciale donnee par Goerss-Jardine [46]). Si (M; R) est une categorie de modeles fermee interne avec structure simplic* *iale com- patible, on obtient un foncteur : M ! EnsSpl de M vers les ensembles simplicia* *ux, en posant pour x 2 M, (x)p := HomM (R(p); x); ou en termes de foncteurs representables, HomEnsSpl(K; (x)) := HomM (R(K); x): En d'autres termes (x) est l'ensemble simplicial HomM* (*; x) ou * est l'objet * *final de M. Le foncteur est compatible aux produits directs. De ce fait,a partir d'une * *categorie M-enrichie C, on peut fabriquer la categorie O C qui est enrichie sur les ense* *mbles simpliciaux. 114 Lemme 11.9 Soit (M; R) une categorie de modeles fermee interne avec structur* *e simpli- ciale compatible, et soit INT (Mcf) la categorie Mf-enrichie construite plus ha* *ut. D'autre part, soit Mcf;*la categorie simpliciale des objets cofibrants et fibrants avec* * sa structure simpliciale determinee par R. Alors on a un isomorphisme de categories simplici* *ales Mcf;*= O INT (Mcf): Par consequent, si L(M) est la localisee de Dwyer-Kan de M par rapport auxequiv* *alences faibles, on a uneequivalence de categories simpliciales L(M) ~= O INT (Mcf): Preuve: Les objets de Mcf;*et de INT (Mcf) sont les objets cofibrants et fibran* *ts de M. Pour deux tels objets x; y, on a par definition INT (Mcf)1=(x; y) := Hom__(x; y); et donc ( O INT (Mcf))1=(x; y) := (INT (Mcf)1=(x; y)) = (p 7! Hom(R(p); Hom__(x; y)* *)) = (p 7! Hom(R(p) x x; y))= HomMcf;*(x; y): Ceci donne l'isomorphisme souhaite. La deuxieme partie est consequence de l'equ* *ivalence L(M) ~=Mcf;*voir [32]. 2 On va appliquer tout ceci aux n-categories et n-champs de Segal. On verifie * *facilement qu'on peut munir la categorie de modeles fermee interne nSeP C des n-precats de* * Segal __(p) d'une structure simpliciale compatible en prenant pour R(p) la cat'egorie I a* *yant p + 1 objets 00; : :;:p0et un seul isomorphisme entre chaque paire d'objets. Soit : * *nSeP C ! EnsSpl le foncteur correspondant. Lemme 11.10 Si A est une n-categorie de Segal fibrante (et automatiquement c* *ofibrante) alors il y a uneequivalence naturelle d'ensembles simpliciaux ~= int;0 (A) ! A : Preuve: On a un morphisme de n-precats de Segal R(A) ! A: En notant que SeCat(R(A)) est un n-groupo"ide de Segal (comme colimite homotopi* *que 0 de n-groupo"ides de Segal), et en utilisant la notation Aint;0du x2, on obtient* * l'equivalence ~= int;00 int;00 R(A) ! SeCat(R(A)) ! A 115 (il faut choisir une retraction SeCat(A) ! A, ce qui possible parce que A est f* *ibrante). Le compose est le morphisme ci-dessus. Si < est la realisation comme ensemble s* *implicial, 0 on a par definition Aint;0:= 0 on obtient que les objets * *qui sont essentiellement des 0-prechamps de Segal, i.e. les objets 0-groupiques ou n-gro* *upo"ides de Segal, se comportent comme des prefaisceaux simpliciaux. On obtient en outre un* *e petite amelioration,a savoir qu'il suffit que la base B soit 0-groupique. Lemme 11.15 Dans la cmf M = nSeP Ch des n-prechamps de Segal 2.3, une fibrat* *ion f : A ! B de base B telle que chaque B(X) soit une n-categorie de Segal 0-group* *ique (i.e. un n-groupo"ide de Segal), est compatible aux changements de base. Preuve: On peut supposer que B est fibrant (a cause de l'invariance par change* *ment de A). Au vu de l'enonce partiel de proprete 3.8, il suffit de voir la compati* *bilite aux changements de base de la forme B0! SeCat(B0) ! B: Pour cela il suffit de voir la compatibilite sous les m^emes changements de bas* *e au-dessus de chaque objet X 2 X . On est donc ramene au cas ponctuel X = *. Rappelons q* *ue dans ce cas l'operation SeCat peut ^etre vue comme composee transfinie de copro* *duits avec des cofibrations standards notees ! h(M) dans [94] (ici h(M) est la n-pre* *cat de Segal represente par M 2 n+1). On peut donc reduire au cas d'un changement de b* *ase de la forme ! h(M) ! B: ______ Soit h(M) le "complete 0-groupique" de h(M), obtenu par exemple en prenant le * *n;Se de la realisation topologique de h(M). Le fait que B soit 0-groupique et fibran* *t implique l'existence d'une factorisation de la forme ______ ! h(M) ! h(M) ! B: ______ On peut donc se reduire au cas B = h(M) . Maintenant le morphisme B ! * est une fibration triviale donc, si A ! A0 # # B ! * 121 est une factorisation de A ! * avec A0fibrant, la propriete ccb pour A ! B est* *equivalente a cette propriete pour A0 ! *. Or la propriete ccb pour A0 ! * resulte de la s* *tabilite desequivalences faibles par produit direct, qui n'est autre que IM(d) pour M =* * nSeP C (on rappelle qu'on a fait reference, pour sa demonstration,a la m^eme propriet* *e pour les n-precats non de Segal, quia son touretait l'une desetapes principales de [94]* *). 2 En consequence de ce lemme, pour toute fibration f : A ! B de n-prechamps d* *e Segal avec B 0-groupique, et pour tout n-prechamp de Segal fibrant C, le morphisme Hom__(A=B; C) ! B est une fibration possedant la propriete 11.14 qui est une propriete universel* *le homo- topique. Le contre-exemplea la proprete donne dans [94] est le morphisme a02: A = I ! I(2)= B ou B est la categorie avec trois objets 0; 1; 2 et des fl^eches 0 ! 1 ! 2, et * *a02est l'inclusion de la fl^eche 0 ! 2. Ce morphisme est une fibration mais n'est pas compatible * *aux change- ments de base. Cet exemple montre qu'il n'existe pas toujours un Hom__ intern* *e relatif de la forme Hom__(A=B; C) satisfaisanta la propriete universelle homotopique v* *oulue, est obstruee. 122 12. La famille universelle Soit pour le moment X une categorie munie de la topologie grossiere. On a un* * mor- phisme de n + 1-prechamps : nSeCHAMP (X ) x X o! nSeCAT: Ce morphisme peut ^etre vu comme la famille universelle de n-categories au-dess* *us de nSeCHAMP (X ) x X . On definit en posant (A; X) := A(X); et pour f : X ! Y dans X on utilise le morphisme naturel Hom__(A; B) x {f} ! Hom__(A(Y ); B(X)) pour definir l'action de sur les morphismes. A gauche, il s'agit du Hom__ int* *erne des n-prechamps de Segal; et,a droite, il s'agit du Hom__interne des n-precats de S* *egal. Soit nSeCAT 0le remplacement fibrant de nSeCAT . Par composition on obtient * *un morphisme nSeCHAMP (X ) x X o! nSeCAT 0; qui correspond, par definition du Hom__interne (des n+1-precats de Segal),a un * *morphisme : nSeCHAMP (X ) ! Hom__(X o; nSeCAT 0): Le resultat suivant fait le lien entre ces definitions et les notions de cha* *mps proposees dans [95]. Theoreme 12.1 Soit nSeCAT 0un remplacement fibrant de nSeCAT . Si la topolog* *ie de X est grossiere alors le morphisme induit uneequivalence entre nSeCHAMP (X ) e* *t la n + 1-categorie de Segal Hom__(X o; nSeCAT 0). Si X est muni d'une autre topologie G alors induit uneequivalence entre nSeCHAMP (X ) et la sous-categorie pleine de Hom__(X o; nSeCAT 0) formee des mo* *r- phismes F : X o! nSeCAT 0qui satisfonta la condition de descente de [95] 6.3a s* *avoir que la fleche limF |X=X ! limF |B est uneequivalence pour tout crible B X =X de G. 123 Dans cette section (Proposition 12.2 ci-dessous) nous allons seulement demon* *trer que est pleinement fidele. La surjectivite essentielle de dans le premier cas du * *theoreme sera le theoreme 18.5 plus bas. Le deuxieme cas resultera alors (une fois admis* * le theoreme 18.5) du Corollaire 14.4. On note d'abord que si G designe la topologie de X , alors les n-prechamps G* *-fibrants sont en particulier fibrants pour la topologie grossiere, tandis que la definit* *ion des mor- phismes dans nSeCHAMP (X G) ne fait pas intervenir G. Donc nSeCHAMP (X G) est u* *ne sous-categorie pleine de nSeCHAMP (X gro) ou X groest la categorie X avec la to* *pologie grossiere. Ainsi la propriete que soit pleinement fidele se reduit au cas de l* *a topologie grossiere et nous pouvons ignorer la topologie G pour le reste de cette section. Pour insister sur le fait qu'on ne considere pas la topologie, on change la * *notation pour X en Y: on considere donc une categorie Y avec sa topologie grossiere. Rappelons que les objets de nSeCHAMP (Y) sont les n-prechamps de Segal fibra* *nts sur X , et que si A et B sont deux tels objets, on a, nSeCHAMP (Y)1=(A; B) := Hom__(A; B): Cette n-precat de Segal fibrante represente le foncteur quia une n-precat de Se* *gal E associe l'ensemble Hom(A x E_; B). D'autre part si A est fibrant alors les vale* *urs A(X) sont fibrantes, i.e. objets de nSeCAT . Le n-prechamp de Segal fibrant A indu* *it donc un morphisme Yo ! nSeCAT qu'on peut composer avec le remplacement fibrant pour obtenir un morphisme Yo ! nSeCAT 0. Si E est une n-precat de Segal E, se donner* * un morphisme E ! Hom__(Yo; nSeCAT 0)1=(A; B) revienta se donner un morphisme F : Yo x (E) ! nSeCAT 0 avec F |Yox{0}= A; F |Yox{1}= B: (Voir [95] pour la notation .) Or, la donnee d'un tel morphisme strict (i.e. a* * valeurs dans nSeCAT au lieu de nSeCAT 0) F : Yo x (E) ! nSeCAT avec F |Yox{0}= A; F |Yox{1}= B revienta la donnee, pour tout y 2 Y, d'un morphisme E x A(y) ! B(y) telle que p* *our y ! z dans Y, ces morphismes soient strictement compatibles avec les restrictio* *ns dans A et B. Autrement dit, on obtient l'egalite Hom__(Yo; nSeCAT )1=(A; B) = Hom__(A; B): 124 Par suite l'inclusion nSeCAT ! nSeCAT 0induit un morphisme Hom__(A; B) ! Hom__(Yo; nSeCAT 0)1=(A; B); et la pleine fidelite du foncteur estequivalentea la proposition suivante. Proposition 12.2 Soient A et B deux n-prechamps de Segal fibrants sur Y. Alor* *s le morphisme Hom__(A; B) ! Hom__(Yo; nSeCAT 0)1=(A; B): est uneequivalence de n-categories de Segal. Preuve: On introduit d'abord quelques notations. Soit Y une n + 1-categorie de * *Segal et E une n-precat de Segal. On definit la n + 1-precat de Segal Y E qui a les m^e* *mes objets que Y en posant (pour p 1) YpE=(y0; : :;:yp) := Yp=(y0; : :;:yp) x E: On s'interessea cette construction surtout quand Y est notre 1-categorie de bas* *e Y, ou bien encore pour Y = Y x I. Si Z Y est une inclusion de 1-categories ayant les m^emes objets, si C0 est* * une n + 1-categorie fibrante, et si A : Z ! C0 est un morphisme, on introduit la n-* *categorie de Segal fibrante Diag(Y; Z; A; C0), dont les objets sont les prolongements de * *Aa Y, et qui est caracterisee par la formule HomnSePC(E; Diag(Y; Z; A; C0)) = {f : YE ! C0; f|ZE = A|ZE }: En effet, on verifie que le membre de droite definit un foncteur en E qui trans* *forme colimites en limites. Ce foncteur est donc representable par une n-precat de Se* *gal qu'on note Diag(Y; Z; A; C0). Comme C0 est fibrante, notre foncteur a la propriete d'* *extension pour les cofibrations triviales E E0, et donc Diag(Y; Z; A; C0) est fibrante. Soient (Z) (Y) et (C0) les nerfs de ces 1- ou n+1-categories de Segal, cons* *iderees comme n-prechamps de Segal au-dessus de . On note que (C0) est fibrant au-dessus de . On peut verifier que la n-categorie de Segal Diag(Y; Z; A; C0) est la fib* *re du morphisme Hom__((Y); (C0)) ! Hom__((Z); (C0)) au-dessus de A. Il s'agit ici des Hom__internes de n-prechamps de Segal au-dess* *us de . Soient maintenant A; B : Y ! C0 et notons A t B le morphisme correspondant A t B : Y x {0; 1} = Y t Y ! C0: 125 On a la formule Hom__(Y; C0)1=(A; B) = Diag(Y x I; Y x {0; 1}; A t B; C0): Pour prouver la pleine fidelite, nous allons appliquer cette formule avec C0= * *nSeCAT 0. On va d'abord modifier legerement les choses. Dans la situation du paragra* *phe precedent, soit U la categorie dont les objets sont les paires de suites (y0; * *: :;:yp; z0; : :;:zq) munies de morphismes yi! yi+1, zi! zi+1et aussi yp ! z0; et ou les morphismes * *sont les inclusions et les degenerescences de suites. Autrement dit, U est la categorie* * des simplexes de Y x I qui ne sont ni dans Y x {0} ni dans Y x {1}. Remarquons qu'on dispose* * d'un foncteur d'oubli (y0; : :;:yp; z0; : :;:zq) 7! [{0; : :;:p}; {0; : :;:q}] de U vers x . On peut definir un n-prechamp F = F (A; B; C0) sur U en prenant* * pour F (y0; : :;:yp; z0; : :;:zq) la fibre au-dessus de (f; g) du morphisme C0p+q+1=(A(y0); : :;:A(yp); B(z0); : :;:B(zq)) ! C0p=(A(y0); : :;:A(yp)) x C0q=(B(z0); : :;:B(zq)) ou f (resp. g) est l'image de l'element (y0; : :;:yp) (resp. (z0; : :;:zq)) du* * nerf de Y par le morphisme A (resp. B). Observons ici la propriete suivante: (*) : pour tout (y0; : :;:zq), le morphisme de restriction F (y0; : :;:yp; z0; : :;:zq) ! F (yp; z0) = C01=(A(yp); B(z0)) correspondanta la fleche (yp; z0) ! (y0; : :;:yp; z0; ldots; zq) de U, est uneequivalence de n-categories de Segal. Pour le voir, il faut utiliser l'hypothese que C0 est fibrant, ce qui fait * *que le produit fibre dans la definition de F est aussi un produit fibre homotopique. Nous allons finir la demonstration en cours en admettant que F est fibrant * *au-dessus de U, et nous consacrerons la fin de la presente sectiona ce probleme. Observons * *maintenant qu'on a Diag(Y x I; Y x {0; 1}; A t B; C0) = (U; F ): En effet, si E est une n-precat de Segal, la donnee d'un morphisme E ! (U; F )* * est equivalentea la donnee, pour tout objet (y0; : :;:yp; z0; : :;:zq) de U, d'un m* *orphisme E ! C0p+q+1=(A(y0); : :;:A(yp); B(z0); : :;:B(zq)) 126 compatible aux restrictions et degenerescences de suites, et compatible aux mor* *phismes de transition de A et B sur les suites (y0; : :;:yp) et (z0; : :;:zq). Une tel* *le donnee est encoreequivalentea celle d'un morphisme (Y x I)E ! C0 compatible avec A t B, d* *'ou la formule. Soit Arr(Y) la categorie dont les objets sont les fleches x ! y de Y et dont* * les morphismes de x ! y vers x0! y0 sont les diagrammes commutatifs x ! x0 # # y y0: On a un foncteur ' : U ! Arr(Y) defini par ' : (y0; : :;:yp; z0; : :;:zq) 7! (yp ! z0): On fixe dorenavant C0 = nSeCAT 0, et on supprime la referencea C0 dans Diag. Par ailleurs on pose F := F (A; B; nSeCAT 0), ou A et B sont desormais des fonc* *teurs stricts Y ! nSeCAT , i.e. des n-prechamps de Segal sur Yo avec B fibrant en tan* *t que n-prechamp_sur_Yo. Soit hom (A; B) le n-prechamp sur Arr(Y) quia y ! z associe la n-categorie Hom__(A(y); B(z)) (compte-tenu de notre definition des morphismes_de_Arr(Y) c' * *est bien un foncteur contravariant sur Arr(Y)). On a choisi la notation hom pour sugger* *er qu'il s'agit la d'une sorte de "Hom externe". Si on avait defini F avec nSeCAT au lieu de nSeCAT 0on aurait eu ____ F (A; B; nSeCAT ) = '*(hom (A; B)): Au lieu de cela, avec F := F (A; B; nSeCAT 0) et l'inclusion nSeCAT ! nSeCAT 0o* *n a un morphisme ____ '*(hom (A; B)) ! F; qui est, objet-par-objet au dessus de U, uneequivalence de n-categories de Sega* *l (gr^acea l'equivalence (*) vue plus haut). Par adjonction on obtient un morphisme ____ hom (A; B) ! '*(F ): D'autre part on a les formules Hom__(Y; nSeCAT 0)1=(A; B) = (U; F ) = (Arr(Y); '*(F )) et ____ Hom__(A; B) = (Arr(Y); hom (A; B)); 127 qui induisent un diagramme commutatif ____ Hom__(A; B) = (Arr(Y); hom (A; B)) # # Hom__(Y; nSeCAT 0)1=(A; B) = (Arr(Y); '*(F )): Pour obtenir la proposition i.e. que la fleche verticale de gauche est uneequ* *ivalence, il suffit de montrer que la fleche verticale de droite en est une. Pour ceci,* * il suffirait (compte-tenu du fait que '*(F ) est fibrant sur Arr(Y) cf x4) de montrer les d* *eux choses suivantes: ____ (i) le_morphisme_hom (A; B) ! '*(F ) est uneequivalence objet-par-objet sur A* *rr(Y); et (ii) hom (A; B) est fibrant sur Arr(Y). En fait nous ne savons pas si (b) est vrai mais on va en montrer une varian* *te plus faible: ____ (ii)' pour tout A il existe uneequivalence A0 ! A tel que hom (A0; B) soit fi* *brant sur Arr(Y). Les conditions (i)+(ii)' suffisent pour prouver le resultat voulu. En effe* *t, elles en- trainent que dans le diagramme Hom__(A; B) ! Hom__(Y; nSeCAT 0)1=(A; B) # # Hom__(A0; B) ! Hom__(Y; nSeCAT 0)1=(A0; B) la fleche du bas est uneequivalence; or on sait que les deux fleches verticale* *s sont des equivalences et par consequent il en est de m^eme de la fleche du haut. Pour prouver (i) fixons ff : y ! z dans Arr(Y) et notons '=ff la categorie* * des (y0; : :;:zq) dans U munis d'un morphisme de (yp ! z0) vers ff dans Arr(Y). Pa* *r definition on a '*(F )(ff) = lim F (y; z): ;(y;z)2'=ff Or on va voir que la categorie '=ff s'obtient par le m^eme procede que U mais * *avec d'autres arguments pour Diag. Soit Z la categorie qui contient la reunion disjointe de * *Y=y et z=Y et qui, en plus des fleches de ces categories, a une fleche et une seule parta* *nt de chaque objet de Y=y vers chaque objet de z=Y. On a un morphisme de 1-precats de Segal Y=y t{y}I t{z}z=Y ! Z et on peut verifier que ce morphisme est uneequivalence faible. En particulie* *r on a la cofibration Y=y t z=Y ,! Z; 128 et A|Y=yt B|z=Z fournit un morphisme Y=y t z=Y ! nSeCAT 0: Maintenant, par un argument analoguea celui donne plus haut pour U, Diag(Z; Y=y* * t z=Y; A|Y=yt B|z=Z) estegalea ('=ff; F |'=ff): Par definition des limites, on a lim F (y; z) = ('=ff; F |'=ff): (y;z)2'=ff D'ou l'egalite '*(F )(ff) = Diag(Z; Y=y t z=Y; A|Y=yt B|z=Z): Par ailleurs, l'equivalence faible Y=y t{y}I t{z}z=Y ! Z nous donne ~= Diag(Z; Y=y t z=Y; A|Y=yt B|z=Z) ! Diag(I; {0; 1}; A(y) t B(z)): ____ Ce dernier_terme_s'identifiea hom (A; B)(ff) (de facon compatible avec les mor* *phismes de source hom (A; B)(ff)). Ceci prouve que le morphisme ____ hom (A; B)(ff) ! '*(F )(ff) est uneequivalence de n-categories de Segal, c'est-a-dire (i). Pour prouver (ii)', on va montrer l'enonce (ii)" le foncteur ____ A 7! hom (A; B) transforme les cofibrations de la structure de type HBKQ, en fibrations. Avec ce resultat,_pour A quelconque, on pourra choisir un remplacement HBKQ-cof* *ibrant A0 ! A, et hom (A0; B) sera fibrant ce qui donne (ii)'. Pour montrer (ii)" il * *suffit de considerer une celluleelementaire, i.e. une cofibration de la forme h(X) x N ! h(X) x N0 ou N ! N0est une cofibration de n-precats de Segal, et ou h(X) est le foncteur * *represente par Xa savoir h(X)(Y ) = {X ! Y }. On doit montrer que ____ 0 ____ hom (h(X) x N ; B) ! hom (h(X) x N; B) 129 est une fibration de n-prechamps de Segal au-dessus de Arr(Y). Autrement dit, o* *n doit montrer que si U ! U0 est une cofibration triviale de n-prechamps de Segal au-d* *essus de Arr(Y), et si on a des morphismes ____ 0 U ! hom (h(X) x N ; B) et ____ U0 ! hom (h(X) x N; B) ____ qui donnent le m^eme morphisme U ! hom (h(X)_x_N;_B), alors ces morphismes se f* *ac- torisenta travers un m^eme relevement: U0_!_hom (h(X) x N0; B). De facon generale, un morphisme U ! hom (A; B) est la donnee, pour tout objet x ! y de Arr(Y), d'un morphisme U(x ! y) x A(x) ! B(y); telle que, pour tout morphisme (x ! y) ! (x0! y0) de Arr(Y) (cf ci-dessus), les* * deux morphismes induits U(x0! y0) x A(x) ! B(y); soientegaux. Notons U(X !?) le n-prechamp de Segal image inverse de U par le morphisme (X=Y)o ! Arr(Y); c'est un n-prechamp de Segal sur (X=Y)o. Il ressort de la desc* *ription du paragraphe precedent qu'un morphisme ____ U ! hom (h(X) x N; B) n'est rien d'autre qu'un morphisme de n-prechamps de Segal sur (X=Y)o U(X !?) x N ! B|(X=Y)o: Notre probleme devient donc:etant donnes deux morphismes U(X !?) x N0 ! B|(X=Y)o et U0(X !?) x N ! B|(X=Y)o qui co"incident sur U(X !?)xN, admettent-ils un relevement communa U0(X !?)xN0? Le fait que B soit fibrant sur Yo implique que B|(X=Y)oest fibrant (gr^acea * *l'egalite (X=Y)o = Yo=X et au corollaire 4.2). Etant donnee une cofibration quelconque N * *! N0 et une cofibration triviale U ! U0, le morphisme associe U(X !?) ! U0(X !?) est* * aussi une cofibration triviale et on obtient une cofibration triviale U(X !?) x N0[U(X!?)xN U0(X !?) x N ! U0(X !?) x N0; ce qui (du fait que B|(X=Y)oest fibrant) donne la propriete de relevement voulu* *e. 2 130 Analyse de F (A; B; C0) sur U Dans la demonstration ci-dessus on a laisse de cote le probleme de montrer que * *F (A; B; C0) est fibrant sur U, que nous traitons maintenant. Pour cela nous utilisons la n* *otion de categories de Reedy pour laquelle nous ne donnerons (au x17) qu'une presentatio* *n tres breve: le lecteur devra donc se reporter aux references (Reedy [86], Bousfield-* *Kan [15] p. 274, Dwyer-Kan [33], Jardine-Goerss [46], Dwyer-Hirschhorn-Kan [30], Hirschh* *orn [59] Chapter 16). On ne donne ci-dessous qu'un argument rapide et cette section s'a* *dresse donc plut^ot au lecteur intrepide qui conna^it deja ces references. La categorie U est une categorie de Reedy pour le degre defini par deg(y0; : :;:yp; z0; : :;:zq) := p + q; les morphismes "directs" sont les applications "faces" qui correspondenta des i* *nclusions de suites, et les morphismes "inverses" sont les morphismes de degenerescence q* *ui corre- spondenta des surjections dans x. La categorie oppose Uo est une categorie de R* *eedy avec la m^eme fonction de degre: l'oppose d'un morphisme direct est inverse et * *vice-versa. o En particulier, pour toute cmf M la categorie MU des prefaisceaux d'objets* * de M au-dessus de U, admet une structure de cmf qu'on appelle "structure de Reedy", voir [59]. La categorie de Reedy U (c'est essentiellement l'exemple 16.1.10 de* * [59]) a la propriete suivante, analogue d'une propriete de (voir [59] Corollary 16.4.7* *): tout prefaisceau d'ensembles est cofibrant pour la structure de Reedy, et en fait to* *ute injection de prefaisceaux d'ensembles sur U est une cofibration de Reedy (on laisse la de* *monstration au lecteur). Il s'ensuit la m^eme propriete pour les U-diagrammes dans M si M e* *st une cmf de prefaisceaux d'ensembles dont les cofibrations sont les injections. Tel est * *en particulier le cas pour M = nSeP C. 17 La categorie sous-jacentea la cmf de Reedy nSeP CU est exactement nSeP Ch(U); et lesequivalences faibles (objet-par-objet) sont les m^emes. La proprieteenon* *cee au paragraphe prececent dit que les cofibrations sont les m^emes; donc ([83]) les * *fibrations sont les m^emes et en fait la structure de Reedy sur nSeP CU s'identifiea la st* *ructure de cmf de 3.1 sur nSeP Ch(U). En particulier, pour verifier que F = F (A; B; C0) est fibrant dans nSeP Ch(* *U) il suffit de verifier que F est fibrant pour la structure de Reedy. Rappelons ce que cel* *a veut dire ([59] Definition 16.3.2 (3)). Pour un objet (y; z) = (y0; : :;:yp; z0; : * *:;:zq) de U, on fabrique un (gigantesque) produit fibre dont les termes principaux (corresponda* *nta des ________________________________ 17On pourrait aussi s'interessera la cmf nPC des n-precats non de Segal, defi* *nie dans [94]. Dans ce cas, les cofibrations sont les morphismes qui sont injectifs sur les objets de * *n de longueur non-maximale; donc notre remarque s'applique et tout morphisme de U-diagrammes dans nPC qui e* *st une cofibration objet-par-objet est une cofibration de Reedy. 131 sous-suites de (y; z) de longueur p + q - 1) sont les C0p+q-1=(A(y0); : :;:Ad(yi); : :;:A(yp); B(z0); : :;:B(zq)) et C0p+q-1=(A(y0); : :;:: :;:A(yp); B(z0); : :;:Bd(zj); : :;:B(zq)); qu'on multiplie entre eux au-dessus des produits fibres analogues pour les sous* *-suites de longueur p + q - 2 (plus precisement, l'objet en question s'exprime comme une l* *imite sur la "categorie appariante" ("matching category") de (y; z) 2 U). Notons Match((y* *; z); C0) cette (gigantesque) n-precat de Segal. On a un morphisme naturel C0p+q=(A(y0); : :;:A(yp); B(z0); : :;:B(zq)) ! Match((y; z); C0): Dire que l'objet qui nous interesse,a savoir (y; z) 7! C0p+q=(A(y0); : :;:A(yp); B(z0); : :;:B(zq)); est fibrant pour la structure de Reedy, revient exactementa dire que le morphis* *me precedent est une fibration. Notons O l'ensemble des objets de C0 et O la categorie des suites d'objets d* *ans O, i.e. des (x0; : :;:xk) avec xi2 O (c'est la categorie des simplexes de la categ* *orie ayant O pour ensemble d'objets et un isomorphisme entre chaque paire d'objets). L'appli* *cation O (C0) : (x0; : :;:xk) 7! C0k=(x0; : :;:xk) definit un n-prechamp de Segal au-dessus de O et il est facile de voir que si C* *0est fibrante, alors O (C0) est fibrant. D'autre part O est aussi une categorie de Reedy et (c* *omme pour U) la structure de Reedy co"incide avec la structure de 3.1 sur nSeP Ch(O). Don* *c O (C0) est fibrant pour la structure de Reedy. L'objet Match((y; z); C0) est essentie* *llement le m^eme que l'objet appariant pour O (C0) (du moins si p > 0 et q > 0_si p = 0 ou* * q = 0 il y a une face manquante tandis que si p = q = 0 tout est trivial), donc le fait * *que O (C0) soit fibrant implique que le morphisme C0p+q=(A(y0); : :;:A(yp); B(z0); : :;:B(zq)) ! Match((y; z); C0) est fibrant. Rappelons que F est defini par le diagramme cartesien suivant (ou les notati* *ons sont abregees): F (y; z)! C0p+q=(Ay; Bz) # # * ! C0p=(Ay) x C0q=(Bz): 132 Pour montrer que F est fibrant il nous faut voir que le morphisme de n-prechamp* *s de Segal au-dessus de U C0p+q=(Ay; Bz) ! C0p=(Ay) x C0q=(Bz) est une fibration de Reedy; pour cela il convient de remplacer l'objet appariant Match((y; z); C0) ci-dessus, par l'objet appariant relatif ("relative matching objet") ([59] Defi* *nition 16.2.22) qu'on notera (a defaut d'une meilleure notation) Match((y; z); C0(Ay; Bz) ! C0(Ay) x C0(Bz)): On renvoie le lecteura [59] Definition 16.2.22 pour la definition que nous n'ec* *rivons pas plus explicitement (ce serait trop long). On remarque seulement que l'appl* *ication appariante relative C0(Ay; Bz) ! Match((y; z); C0(Ay; Bz) ! C0(Ay) x C0(Bz)) est identiquea l'application C0(Ay; Bz) ! Match((y; z); C0) pour p > 0 et q > 0; tandis que pour p = 0 ou q = 0, dans l'objet appariant rel* *atif on retrouve exactement la face manquante ci-dessus et l'application C0(Ay; Bz) ! Match((y; z); C0(Ay; Bz) ! C0(Ay) x C0(Bz)) estegalea l'application appariante en (Ay; Bz) pour O (C0) sur O. Dans tous les* * cas on obtient que l'application appariante relative pour C0(Ay; Bz) ! C0(Ay) x C0(* *Bz) est une fibration. Ceci prouve que ce morphisme est une fibration pour la structure* * de Reedy, donc une fibration pour la structure 3.1 sur nSeP Ch(U), et donc que sa fibre F* * est un objet fibrant. 133 13. Le champ associea un prechamp La construction du faisceau associea un prefaisceau joue un r^ole central da* *ns la theorie des faisceaux. Le faisceau associe est defini par une propriete universelle. On* * commence par faire la m^eme chose pour le champ associea un prechamp. Il faut se rappele* *r, en lisant cette section, que l'analogue de la distinction faisceau/prefaisceau, est la di* *stinction entre les n-champs de Segal pour la topologie G, et les n-champs de Segal pour la top* *ologie grossiere. Ces derniers sont simplement les prefaisceaux de n-categories de Seg* *al (la seule des conditions du x9 qui entre en jeu pour la topologie grossiere est la condit* *ion que chaque fibre soit une n-categorie). Lemme 13.1 Soit A un n-prechamp de Segal et A ! A0un choix de champ associe.* * Si B est un n-prechamp de Segal G-fibrant, alors le morphisme Hom__(A0; B) ! Hom__(A; B) est uneequivalence. Preuve: Cela resulte de la proposition 11.1 pour la categorie de modeles interne nSeP Sh(X G, puisque A ! A0est une G-equivalence faible (par definition). * * 2 On rappelle que les objets de nSeCHAMP (X gro) sont les n-champs de Segal fi* *brants pour la topologie grossiere, et que nSeCHAMP (X G) nSeCHAMP (X gro) est la sous-categorie enrichie pleine des objets qui sont G-fibrants, qui est (* *par 9.2) aussi la sous-categorie enrichie pleine des objets qui sont des champs. Dans ce cont* *exte, si A 2 nSeCHAMP (X gro)0 est un objet, un champ associea A est un remplacement G- fibrant A ! A0(on exige donc que A0soit G-fibrant, et non pas seulement un cham* *p, car on veut que A0soit dans la sous-categorie ci-dessus). Autrement dit, un tel cha* *mp associe est un morphisme de A vers A0dans nSeCHAMP (X gro), i.e. un objet de la n-categ* *orie de Segal nSeCHAMP (X gro)1=(A; A0). Dans ce cadre on a la propriete universelle su* *ivante: Lemme 13.2 Soit u : A ! A0un champ associe au sens du paragraphe precedent. * *Pour tout B 2 nSeCHAMP (X G), la composition avec u induit uneequivalence ~= gro nSeCHAMP (X G)1=(A0; B) ! nSeCHAMP (X )1=(A; B): 134 Preuve: Au vu des definitions des categories nP C-enrichies nSeCHAMP (: :):et * *de l'egalite nSeCHAMP (X G)1=(A0; B) = nSeCHAMP (X gro)1=(A0; B); c'est une simple transcription du lemme 13.1. * * 2 Considerons maintenant des familles faibles de n-categories de Segal au-dess* *us de X o, qu'on voit comme morphismes X o! nSeCAT 0ou comme objets de Hom__(X o; nSeCAT 0* *). Rappelons qu'on a l'equivalence du theoreme 12.1 nSeCHAMP (X gro) ~=Hom__(X o; nSeCAT 0): Si F : X o! nSeCAT 0on appellera champ associea F tout couple (F ch; f) ou F ch: X o! nSeCAT 0est un champ i.e. satisfait la condition du deuxieme paragraphe de 12.1, et ou f : F ! F chest, dans la n + 1-categorie de Segal Hom__(X o; nSeCAT* * 0), un 1-morphismeequivalent, via l'equivalence de 12.1 rappelee ci-dessus,a une G-equ* *ivalence faible A ! A0. Dans ces conditions F estequivalenta A et F chequivalenta A0(en * *tant qu'objets de Hom__(X o; nSeCAT 0)). En outre A ! A0 est un "champ associe" au * *sens du paragraphe precedent. Ceci nous permet,a partir de 13.2, de demontrer la pro* *priete universelle du lemme suivant. Avant de l'enoncer, rappelons qu'un 1-morphisme f de Hom__(X o; nSeCAT 0) es* *t un morphisme I = (*) ! Hom__(X o; nSeCAT 0); autrement dit, un morphisme f : I x X o! nSeCAT 0: Sa source est la restriction f|{0}xXo et son but est la restriction f|{1}xXo. * *Si f est un morphisme de source F et but F chet si G : X o! nSeCAT 0est une autre famille, * *on peut construire un morphisme "composition avec f" essentiellement bien defini - O f : Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F ch; G) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F; G): Pour en donner une definition precise, on note Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F; F ch; G; f) la fibre de r01: Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F; F ch; G) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F; F c* *h) 135 au-dessus de f; cette fibre vient avec deux morphismes (le premier desquels es* *t une equivalence) ~= o 0 ch r12: Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F; F ch; G; f) ! Hom__(X ; nSeCAT )1=(F ;* * G) et r02: Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F; F ch; G; f) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F; * *G): On obtient le morphisme - O f en choisissant un inverse de r12aequivalence pre* *s (ceci est possible car toutes les n-categories de Segal considerees sont fibrantes) et e* *n le composant avec r02. Lemme 13.3 Soit F 2 Hom__(X o; nSeCAT 0)0 et soit (F ch; f) un champ associ* *e au sens precedemment defini. Alors pour tout champ G, i.e. objet de Hom__(X o; nSeCA* *T 0)0 verifiant la propriete du deuxieme paragraphe de 12.1, le morphisme "compositi* *on avec f" defini ci-dessus est uneequivalence de n-categories de Segal ~= o 0 - O f : Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F ch; G) ! Hom__(X ; nSeCAT )1=(F; G): Preuve: Par definition, f estequivalenta un morphisme u : A ! A0 dans la n + * *1- categorie de Segal nSeCHAMP (X gro) qui est un champ associe pour la topologie* * G, i.e. une G-equivalence faible vers un objet G-fibrant. On peut aussi supposer par 1* *2.1 que G provient d'un objet de nSeCHAMP (X G). Le morphisme "composition avec f" est a* *lors equivalent via l'equivalence de 12.1 Hom__(X o; nSeCAT 0) ~=nSeCHAMP (X gro); au morphisme "composition avec u" (ce dernieretant bien defini car nSeCHAMP (X* * gro) est une categorie enrichie sur nSeCat). Le lemme 13.2 permet de conclure. * * 2 Si (F ch;1; f1) et (F ch;2; f2) sont deux champs associesa F , soit Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F; F ch;1; F ch;2; f1; f2) := (r01; r02)-1(f* *1; f2) la fibre de (r01; r02) : Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F; F ch;1; F ch;2) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F; F ch;1) x Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F; F ch;* *2) au-dessus de (f1; f2). On voit gr^ace au lemme 13.3 que cette fibre (r01; r02)* *-1(f1; f2) est contractile i.e.equivalente (en tant que n-categorie de Segal)a *. Pour cela i* *l faut observer que le morphisme (r01; r02) est une fibration de n-precats de Segal. On obtien* *t donc un morphisme essentiellement bien defini entre (F ch;1; f1) et (F ch;2; f2). On p* *eut montrer la 136 m^eme chose dans l'autre sens (et aussi la m^eme chose pour les diagrammes de d* *imension deux entre F ch;1, F ch;2, F ch;1ou F ch;2, F ch;1, F ch;2) ce qui montre que l* *e morphisme qu'on a construit est uneequivalence. Ceci donne l'unicite essentielle du "champ asso* *ciea F ". On veut maintenant recoller ces champs associes en un foncteur "faible" nSeCHAMP (X gro) ! nSeCHAMP (X G); autrement dit un foncteur vers le remplacement fibrant nSeCHAMP (X G)0. En fait* *, on va construire un diagramme Hom__(X o; nSeCAT 0) C ! Hom__(X o; nSeCAT 0); ou le premier morphisme est uneequivalence, et le deuxieme prend ses valeurs da* *ns la sous-n + 1-cat'egorie de Segal pleine des champs. Ceci donnera (par 12.1 et les* * arguments habituels) un vrai morphisme, essentiellement bien defini, vers le remplacement* * fibrant voulu. On va utiliser librement les notations Diag cf x12, et k cf [95]. On definit C de la facon suivante. Les objets de C sont les objets de nSeCHAMP (X gro), i.e. les n-prechamps de Segal fibrants pour la topologie gro* *ssiere. On choisit pour chaque objet F 2 C0 un morphisme jF : F ! F 0vers un remplaceme* *nt G-fibrant. Ensuite si F0; : :;:Fp sont des objets, on definit (avec les notatio* *ns du x12) Cp=(F0; : :;:Fp) := Diag(X ox I(k)x I; X ox {0; : :;:p} x I; jF0t : :t:jFp; nS* *eCAT 0): C'est la n-categorie de Segal des diagrammes dans nSeCAT 0qui ont la forme d'un* * rect- angle p x 1, se restreignanta {i} x I, pour tout i, en le morphisme jFi : Fi ! * *Fi0vu comme morphisme I ! nSeCAT 0. En divisant_a cofibration triviale pres_le rectangle en coproduit de carres * *1 x 1 et en utilisant le fait que nSeCAT 0est fibrante, on obtient que l'application de * *Segal Cp=(F0; : :;:Fp) ! C1=(F0; F1) x : :x:C1=(Fp-1; Fp) est uneequivalence; donc C est une n + 1-categorie de Segal. Ensuite, en divis* *ant un carre 1 x 1 en deux triangles, on voit qu'un morphisme E ! Diag(X ox I x I; X ox {0; 1} x I; jF0t jF1; nSeCAT 0) n'est rien d'autre qu'une paire de morphismes u : X ox 2(*; E) ! nSeCAT 0; v : X ox 2(E; *) ! nSeCAT 0; avec r01(u) = jF0; r12(v) = jF1; r02(u) = r02(v): 137 Si on note par exemple Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F0; F00; F10; jF0; -) la fibre de r01: Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F0; F00; F10) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F0; * *F00) au-dessus de jF0, alors on obtient Diag(X ox I x I; X ox {0; 1} x I; jF0t jF1; nSeCAT 0) = Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F0; F00; F10; jF0; -)xHom_(Xo;nSeCAT0)1=(F0;F* *01) Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F0; F1; F10; -; jF1): La propriete universelle pour le morphisme jF0, et le fait que F10soit G-fib* *rant (i.e. un champ), impliquent que le morphisme u 7! r02(u) est une fibration triviale de n-precats de Segal, r02: Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F0; F00; F10; jF0; -) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(* *F0; F10): D'autre part, le fait que (E) t{1}(*) ! 2(E; *) soit une cofibration triviale implique que le morphisme Hom__(X o; nSeCAT 0)2=(F0; F1; F10; -; jF1) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F0;* * F1) est uneequivalence. On obtient que le morphisme C1=(F0; F1) = Diag(X ox I x I; X ox {0; 1} x I; jF0t jF1; nSeCAT 0) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)1=(F0; F1) est uneequivalence. La restriction des diagrammes de I(p)x I sur I(p)x {0} fournit un morphisme Cp=(F0; : :;:Fp) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)p=(F0; : :;:Fp); donc un morphisme de n + 1-categories de Segal R0 : C ! Hom__(X o; nSeCAT 0): On a montre que ce morphisme est pleinement fidele; et il est essentiellement s* *urjectif par construction gr^acea 12.1. 138 D'autre part, la restriction des diagrammes de I(p)x I sur I(p)x {1} fournit* * un mor- phisme Cp=(F0; : :;:Fp) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)p=(F0; : :;:Fp); d'ou un morphisme R1 : C ! Hom__(X o; nSeCAT 0): Ces deux morphismes forment le diagramme cherche: Hom__(X o; nSeCAT 0) R0 C R1!Hom__(X o; nSeCAT 0): Observons qu'on a R0(F ) = F et R1(F ) = F 0. On dira que ce diagramme est * *le "foncteur champ associe", encore note ch et onecrira aussi F 0= ch(F ). Il reste maintenanta construire une transformation naturelle entre l'identit* *e et le foncteur qu'on a construit ci-dessus. Ce doit ^etre un diagramme nSeCHAMP (X gro) T0 C x I T1!nSeCHAMP (X gro): On prend T0 := R0O pr1 et on veut construire un morphisme T1 qui donne R0 sur C* * x {0} et R1 sur C x {1}. Pour cela, rappelons que les objets de C x I sont les couple* *s (F; ffl) ou F est un objet de C et ffl est 0 ou 1. On observe que (C x I)p=((F0; ffl0); : :;:(Fp; fflp)) est vide sauf si ffl0; : :;:fflp) est une suite non-decroissante, auquel cas, c* *'est tout simplement Cp=(F0; : :;:Fp). A toute suite non-decroissante ffl0; : :;:fflp on associe le * *morphisme iffl: I(p)! I(p)x I defini par iffl(k) := (k; fflk). L'image inverse par ce morphisme fournit donc pour chaque suite ffl un morph* *isme i*ffl: Cp=(F0; : :;:Fp) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)p=(F0(ffl0); : :;:Fp(* *fflp)): Ici F (0)et F (1)designent respectivement F et F 0. Pour ffl = (0; : :;:0), on retrouve le morphisme de restriction qu'on a util* *ise pour definir R0, tandis que pour ffl = (1; : :;:1) on retrouve celui qu'on a utilise pour de* *finir R1. Pour toute suite d'objets (F0; ffl0); : :;:(Fp; fflp) on definita l'aide de i*fflle * *morphisme (C x I)p=((F0; ffl0); : :;:(Fp; fflp)) ! Hom__(X o; nSeCAT 0)p=(F0(ffl0)* *; : :;:Fp(fflp)); ce qui permet de definir le morphisme cherche T1 : C x I ! Hom__(X o; nSeCAT 0): 139 On peut verifier que T1|{F}xI est bien le morphisme F ! F 0. Le diagramme (T* *0; T1) constitue donc bien une transformation naturelle 1 ! ch entre un prechamp et son champ associe. Theoreme 13.4 Avec cette transformation naturelle, le foncteur "champ associ* *e" ch est homotopiquement adjointa l'inclusion nSeCHAMP (X G) nSeCHAMP (X gro): Preuve: L'equivalence necessaire est une consequence de la propriete universell* *e de ch(F ), 13.2 par exemple. * * 2 Calcul des morphismes dans le champ associe On a la formule suivante: Lemme 13.5 Pour un n-prechamp de Segal F dont les valeurs sont des n-categor* *ies de Segal (n 1), et pour x; y 2 F (X), il y a uneequivalence objet-par-objet au-de* *ssus de X =X, (ch (F ))1=(x; y) ~=ch(F1=(x; y)): Preuve: Notons que (ch (F ))1=(x; y) est un n - 1-champ de Segal par 10.2. Pu* *isque F ! ch(F ) est une G-equivalence faible, par definition (x3) F1=(x; y) ! (ch (F ))1=(x; y) est une G-equivalence faible. Alors par definition (x9) (ch (F ))1=(x; y) est l* *e n - 1-champ de Segal associea F1=(x; y). * * 2 Versionelementaire Il semble difficile d'obtenir le foncteur ch directement en utilisant la struct* *ure de categorie de modeles interne, car le foncteur "remplacement G-fibrant" n'est pas strictem* *ent com- patible aux produits directs. On peut cependant remarquer que la theorie de la * *localisation de Dwyer-Kan donne immediatement L(nSeP Ch; W gro) ! L(nSeP Ch; W G); 140 ou W gro nSeP Ch est la sous-categorie desequivalences faibles pour la topolog* *ie grossiere, et W G W groest sa sous-categorie des G-equivalences faibles. Le fai* *t que W gro est contenu dans W Gdonne directement le morphisme ci-dessus. Maintenant le res* *ultat du theoreme 11.11 montre que le morphisme precedent estequivalenta un morphisme nSeCHAMP (X gro)int;1! nSeCHAMP 0(X G)int;1 (on a pris un remplacement fibrant note nSeCHAMP 0a l'arrivee). Ce morphisme e* *st la restriction de cha l'interieur 1-groupique. Dans le cas n = 0 i.e. des pre* *faiceaux simpliciaux, on a 0SeCHAMP (X gro)int;1= 0SeCHAMP (X gro) et 0SeCHAMP (X G)int;1= 0SeCHAMP (X G) et on obtient ainsi (i.e. avec la localisee de Dwyer-Kan) une definitionelemen* *taire du foncteur ch. 141 14. Limites Dans cette section, on fait quelques rappels concernant les limites. Dans * *[95] on definit les notions de limite et colimite dans une n-categorie. On peut donner* * les m^emes definitions mutatis mutandis dans une n-categorie de Segal. On renvoie le lect* *eura [95], 3.1 et 3.2 pour ces definitions. En transcrivant les demonstrations de [95] da* *ns le cadre des n-categories de Segal, on obtient: Theoreme 14.1 La n + 1-categorie de Segal nSeCAT 0admet toutes les limites * *et colim- ites indexees par des (petites) n + 1-categories de Segal. Rappelons comment calculer concretement une limite (c'est la construction u* *tilisee dans [95] 4.1). Si Y est une n + 1-categorie munie d'un morphisme F : Y ! nSeC* *AT 0, alors on a ([95] 4.1.2) lim F = Hom__(Y; nSeCAT 0)1=(*Y; F ): ;Y D'autre part, on dispose des notions de limite et colimite homotopique (hol* *im et hocolim) pour les diagrammes (indexes par une petite 1-categorie) dans une cmf* * essen- tiellement arbitraire. Ces notions sont duesa Bousfield et Kan [15], voir auss* *i Hirschhorn [59], Dwyer-Hirschhorn-Kan [30]. Normalement nous utiliserons la notation holim pour les constructions de ty* *pe Bous- field-Kan, et la notation lim pour les limites selon [95]. Heureusement, les d* *eux notions co"incident pour les limites de n-categories de Segal indexees par des 1-categ* *ories. C'est essentiellement une consequence de la proposition suivante. On laisse au lecte* *ur le soin de faire la comparaison analogue avec le holim de [59] pour la cmf nSeP C. Proposition 14.2 Supposons que Y est une categorie et F un n-prechamp de Sega* *l au- dessus de Y, qu'on peut aussi voir comme morphisme Yo ! nSeCAT . Soit F ! F 0u* *ne equivalence faible objet-par-objet vers un n-prechamp de Segal fibrant pour la * *topologie grossiere. Alors on a desequivalences de n-categories de Segal ~= (Y; F 0) ! lim F 0~=lim F: ;Yo ;Yo Ici les limites sont celles definies suivant [95]. 142 Preuve: On a l'egalite (Y; F 0) = Hom__(*Y; F 0) car les deux membres represent* *ent le m^eme foncteur sur la categorie des n-precats de Segal. En particulier, on a (Y; F 0) = nSeCHAMP (Y)1=(*; F 0): D'autre part, d'apres ([95] 4.0.1 et 4.1.2), on a lim F 0= Hom__(Yo; nSeCAT 0)1=(*Y; F 0): ;Yo Maintenant le fait que le foncteur du Theoreme 12.1 soit pleinement fidele (cf* * Propo- sition 12.2) signifieexactement que nSeCHAMP (Y)1=(*; F 0) ! Hom__(Yo; nSeCAT 0)1=(*Y; F 0) est uneequivalence. Enfin l'equivalence entre les limites de F et F 0resulte de* *s proprietes d'invariance de la notion de limite [95]. * * 2 On a une caracterisation similaire pour les colimites, qui utilise la struct* *ure de type HBKQ (x5). On l'enonce ci-dessous bien qu'on n'en ait pas besoin. Cette propo* *sition peut aussi ^etre vue comme unenonce de compatibilite entre la definition de hoc* *olim de Bousfield-Kan, et la construction de [95]. Proposition 14.3 Soient Y une categorie et F un n-prechamp de Segal au-dessus * *de Y, vu aussi comme morphisme Yo ! nSeCAT . Soit F 0! F uneequivalence faible objet-par-objet avec F 0cofibrant pour la structure de cmf de type HBKQ, pour l* *a topologie grossiere. Alors on a desequivalences de n-categories de Segal ~= colimnSePC(F 0) ! ~= lim F 0! limF !;Yo !;Yo ou colimnSePC(F 0) est la colimite standard du foncteur Y ! nSeP C de Y vers la* * categorie des n-precats de Segal, tandis que les autres colimites sont les colimites defi* *nies suivant [95]. 2 Gr^acea la Proposition 14.2 on obtient une version de nos criteres qui utili* *se les limites de [95]. Cette version de la definition des champs aete suggeree dans [95]. Corollaire 14.4 Soit A un n-prechamp de Segal sur X dont les valeurs sont des * *n + 1- categories de Segal, qui corresponda un morphisme X ! nSeCAT . Alors pour que A 143 soit un n-champ de Segal il faut et il suffit que: (a) pour tout X 2 X et tout x; y 2 A0(X) le n - 1-prechamp de Segal A1=(x; y) * *sur X =X soit un n - 1-champ de Segal (resp. P athx;yA soit un 0-champ de Segal, da* *ns le cas n = 0); et (b) pour tout X 2 X et tout crible B X =X de la topologie, le morphisme A(X) ! lim A|B ;Bo soit essentiellement surjectif. Ou encore, pour que A soit un n-champ de Segal il faut et il suffit que: (c) pour tout X 2 X et tout crible B X =X de la topologie, le morphisme A(X) ! lim A|B ;Bo soit uneequivalence de n-categories de Segal. Preuve: Au vu de la proposition 14.2, la condition (b) estequivalentea celle de* * 10.2 ou 10.4 (les conditions (a) sont identiques). De m^eme la condition (c) estequival* *entea celle de 10.11. * * 2 Demonstration de la deuxieme partie du theoreme 12.1: si on suppose connue l* *'essen- tielle surjectivite de pour la premiere partie de 12.1 (qui sera demontree en * *18.5 ci- dessous), la deuxieme partie de 12.1 decoule maintenant de la condition (c) du * *corollaire ci-dessus. 144 15. Un peu plus sur la condition de descente On voudrait avoir une version un peu plus explicite des limites qui entrent* * dans la caracterisation 14.4. On suppose ici que le site X admet des produits fibres. On dira que le site X admet suffisamment de sommes disjointes compatibles a* *ux pro- duits fibres s'il existe un ordinal fi tel que les cribles correspondant aux f* *amilles couvrantes de taille strictement plus petite que fi engendrent la topologie (i.e. sont co* *finaux parmi tous les cribles), et si les sommes disjointesa moins de fielements existent d* *ans X et sont compatibles aux produits fibres (i.e. qu'on a la formule de distributivite pou* *r le produit fibre de deux sommes disjointes au-dessus d'un objet de X). Par exemple si X est quasi-compact, on peut prendre fi = ! et la condition * *est qu'il existe des sommes disjointes finies. Pour le site des espaces paracompacts on* * prendrait fi = ! + 1. Par ailleurs, on dira que les sommes disjointes sont couvrantes si pour tou* *te famille U dont la somme disjointe X existe, la famille U est une famille couvrant X. Remarque 15.1 Dans les sites consideres ici, il suffit pour la condition (b* *) de 10.2 ou 14.4 de prendre en compte les cribles engendres par les familles couvrantesa m* *oins de fi elements. En effet, ces cribles engendrent la topologie. Supposons maintenant que U = {Uff! X} est une famille couvrante X 2 X , aya* *nt moins de fielements. On pose qU := qffUff: C'est un objet de X =X. Cependant, le crible engendre par cet objet est plus g* *rand que le crible engendre par U et en fait les cribles engendres par les qU ne forment p* *as en general une famille cofinale. On a donc besoin de la definition suivante. Definition 15.2 Soit A un n-prechamp de Segal sur X dont les valeurs A(U) son* *t fi- brantes. On dira que A est compatible aux sommes disjointes si pour toute fam* *ille U = {Uff} telle que qU existe, le morphisme naturel Y A(qU) ! A(Uff) ff est uneequivalence faible. 145 Dans notre cadre ou l'ordinal fi est fixe on dira juste "compatible aux somm* *es dis- jointes" sans preciser qu'il s'agit seulement des sommes disjointesa moins de f* *ielements. On note en particulier que la somme disjointe de la famille vide (i.e. la fa* *mille indexee par ;) est un objet initial du site X (generalement l'objet vide = ; si X e* *st un site d'objets geometriques), et la condition que A soit compatible aux sommes d* *isjointes entraine A() = *. On peut comprendre la condition 15.2a l'aide de la topologie suivante: on a* *ppelle topologie des composantes connexes la topologie engendree par les familles U ! * *X verifiant X = qU (cette condition a un sens sans qu'on suppose l'existence de toutes les * *sommes disjointes: elle signifie que X est une somme disjointe deselements de U). L'e* *xistence de produits fibres et la compatibilite de ceux-ci avec les sommes disjointes ga* *rantit qu'on definit bien ainsi une topologie. Remarque 15.3 Soit A un n-prechamp de Segal sur X dont les valeurs A(U) sont* * fi- brantes. Alors A est compatible aux sommes disjointes si et seulement si A est * *un champ pour la topologie des composantes connexes. En effet, la condition 15.2 est la m^emeQque la condition (c) de 14.4: la li* *mite de A sur le crible engendre par U estequivalentea ffA(Uff) et, d'apres la remarque 15.* *1, il suffit de considerer les cribles engendres par les familles couvrantes. On va maintenant montrer que si A est compatible aux sommes disjointes, alor* *s dans la condition (b) de 10.2 ou 14.4, il suffit de considerer les cribles engendres* * par une famille couvrante avec 1element. Plus precisement on montre: Lemme 15.4 Supposons que X admet suffisamment de sommes disjointes. Soit A * *un n-prechamp de Segal sur X fibrant objet-par-objet. Supposons que A est compatib* *le aux sommes disjointes (15.2) et satisfait la condition (a) de 14.4, ainsi que la co* *ndition (b) pour les cribles engendres par les familles couvrantesa 1element. Alors A est u* *n n-champ de Segal. Preuve: On peut supposer A fibrant pour la topologie grossiere. Par la remarque* * 15.3, A est aussi fibrant pour la topologie des composantes connexes. Soit B un crible * *engendre par une famille couvrante U ! X. Soit B0 le crible engendre par qU; on a B B0.* * Le morphisme *B ! *B0 est une cofibration triviale pour la topologie des composantes connexes. Donc s* *i f : *B ! A est un morphisme, il en existe une extension en f0 : *B0! A. On dispose de la* * condition (b) de 14.4 pour B0, qui implique celle de 10.2, et il s'ensuit que ce morphism* *e f0s'etend en un morphisme *X=X ! A. On obtient ainsi la condition (b) pour tout crible B eng* *endre par une famille couvrante, ce qui suffit (d'apres la remarque 15.1). * * 2 146 On suppose toujours que X admet des produits directs et suffisamment de som* *mes disjointes. On fixe dorenavant X 2 X et une famille couvrante U qui consiste * *en un element U ! X. On note B le crible engendre par U. On definit un foncteur ae(U) : o ! X par ae(U)(p) := U x : :x:U p + 1 fois: On va encore reecrire la condition (b) de 14.4. On suppose que A est un n-p* *rechamp de Segal, et on a ae(U)*A qui est un n-prechamp de Segal sur 0, i.e. une n-pr* *ecat de Segal cosimpliciale ou encore un foncteur de vers les n-precats de Segal. D'a* *utre part, soit t : ae(U) ! X_ la transformation naturelle de foncteurs o ! X vers le foncteur constanta vale* *urs X, qui provient des projections U xX : :x:XU ! X. Si on note c*A(X) la n-precat d* *e Segal cosimpliciale constante (i.e. le foncteur constant de dans les n-precats de S* *egal et de valeur A(X)) alors t induit un morphisme t* : c*A(X) ! ae(U)*A de n-precats de Segal cosimpliciales. En particulier, t induit un morphisme t* : A(X) ! limae(U)*A: ; Ici la limite est celle suivant [95]. D'apres la construction de [95] rappelee* * au x14 ci-haut, on peutecrire limae(U)*A = Hom__(; nSeCAT 0)1=(*; ae(U)*A): ; Ici nSeCAT 0designe un remplacement fibrant de nSeCAT . Corollaire 15.5 Soit ae(U)*A ! B uneequivalence faible objet-par-objet vers u* *n n- prechamp de Segal au-dessus de o fibrant pour la topologie grossiere. Alors lim ; ae(U)*A estequivalentea la n-precat de Segal (o; B) des sections global* *es du prefaisceau B. Preuve: C'est une consequence directe de la proposition 14.2. * * 2 Nous avons appris le lemme suivant dans le livre de Dwyer-Hirschhorn-Kan [3* *0], mais il est d^ua Bousfield-Kan ([15] Ch. XI x9). Nous en donnons une version un p* *eu plus faible que ce qu'on trouve dans [15] [30]. On dira qu'un foncteur f : Y ! Z es* *t fortement initial, si pour tout objet Z 2 Z, la categorie f=Z est filtrante (a titre de * *comparaison, dans loc cit. f est dit initial si les f=Z sonta nerf contractile). 147 Lemme 15.6 Si f : Y ! Z est un foncteur de 1-categories qui est fortement i* *nitial, alors pour tout foncteur G : Z ! nSeCAT 0le morphisme naturel ~= * limG ! limf G ;Z ;Y est uneequivalence de n-categories de Segal. Preuve: D'apres 18.5 18on peut supposer que G provient d'un n-prechamp de Sega* *l fibrant pour la topologie grossiere de Z. Le remonte f*G est alors fibrant pour la topologie grossiere de Y. En effet* *, il suffit de montrer que f!preserve les cofibrations triviales. On a la formule f!(U)(Z) = lim U|f=Z; !;f=Z et comme par hypothese f=Z est filtrante, cette colimite preserve les cofibrat* *ions et les cofibrations triviales. On prouve le lemme d'abord pour n = 0 i.e. pour les 0-categories de Segal o* *u ensembles simpliciaux. Dans ce cas, d'apres la Proposition 14.2, les limites en question* * sontegales a (Z; G) et (Y; f*G) respectivement. Or celles-ci sontequivalentes aux holimZ (* *G) et holimY(f*G) de Bousfield-Kan [15]. La propriete en question pour ces holim ([* *15] Ch. XI theoreme 9.2) donne l'enonce. Pour n quelconque on peut dire exactement la m^eme chose en utilisant l'ext* *ension de Dwyer-Hirschhorn-Kan du holim de Bousfield-Kan,a une categorie de modeles p* *lus generale en l'occurrence la categorie des n-precats de Segal. Une autre facon de completer l'argument pour n quelconque est de noter qu'o* *n a (Z; G)int;0= (Z; Gint;0) et de m^eme (Y; f*G)int;0= (Y; (f*G)int;0); il s'ensuit que (Z; G)int;0! (Y; f*G)int;0 est uneequivalence. En particulier le foncteur en question est essentiellement* * surjectif. D'autre part pour x; y 2 (Z; G) on a (Z; G)1=(x; y) = (Z; G1=(x; y)) ________________________________ 18Il n'y a pas ici de circularite dans la mesure ou si on utilise ce lemme a* *vant la demonstration de 18.5, ce sera sur un G qui est deja strict. 148 et G1=(x; y) est un n - 1-prechamp fibrant sur Z (car la propriete de releveme* *nt pour G1=(x; y) vis-a-vis d'une cofibration triviale E ! E0, est impliquee par la m^* *eme pro- priete pour G vis-a-vis de la cofibration triviale (E) ! (E0)); et de meme pour (f*G)1=(f*x; f*y). Par recurrence, on peut supposer connu le lemme pour les n* * - 1- precats de Segal, d'ou on obtient que (Z; G1=(x; y)) ! (Y; (f*G)1=(f*x; f*y)) est uneequivalence, ce qui entra^ine que (Z; G)1=(x; y) ! (Y; f*G)1=(f*x; f*y) est uneequivalence et le foncteur en question est pleinement fidele. * * 2 Remarque-Question: Bousfield-Kan et Dwyer-Hirschhorn-Kan donnent le m^emeen* *on- ce pour les colimites dans une categorie de modeles fermee M, avec seulement l* *'hypothese que f est initial i.e. les f=Z ont leur nerf contractile. Peut-on obtenir le m* *^emeenonce ici? Dans la preuve ci-dessus, nous avons utilise la condition "fortement init* *ial" pour dire que f!preserve les cofibrations et les cofibrations triviales. Corollaire 15.7 Supposons que X admet des produits fibres. Soit A un n-precha* *mp de Segal, et soit B X =X le crible associea une famille couvrante U ! X. Alors o* *n a une equivalence naturelle ~= * lim A|B ! limae(U) A: ;Bo ; Preuve: D'apres le lemme, il suffit de verifier que le morphisme ae(U) : ! Bo est initial. Pour Y 2 Bo, la categorie ae(U)=Y estegalea la categorie {(n; f) : n 2 ; f : Y ! Pn(U)}: Un morphisme f : Y ! Pn(U) est la m^eme chose qu'un n+1-uplet de morphismes Y * *! U au-dessus de X. Soit H := Hom(Y; U) l'ensemble des morphismes Y ! U au-dessus * *de X, et adoptons la notation Pn(H) pour le produit de n + 1 copies de H (ce qui * *definit un ensemble simplicial P.(H) qui est le nerf de la categorie ayant H pour ensembl* *e d'objets et un isomorphisme entre chaque paire d'objets). La categorie ae(U)=Y est donc* *egalea {(n; h) : n 2 ; h 2 Pn(H)}; autrement dit c'est la categorie totale associeea l'ensemble simplicial P.(H),* * qui est contractile car H est non-vide (la condition H 6= ; estequivalentea la conditi* *on Y 2 B, c'est la definition du crible B associea U). Par le lemme, on obtient l'equiva* *lence entre limites cherchee. * * 2 149 Proposition 15.8 Supposons que X admet des produits fibres, et suffisa* *mment de sommes disjointes compatibles aux produits fibres. Soit A un n-prechamp de Seg* *al tel que A(X) soit une n-categorie de Segal pour tout X 2 X . Alors A est un champ * *si et seulement si: (a) pour tout X 2 X et toute paire d'objets x; y 2 A0(X), le n - 1-prechamp de* * Segal A1=(x; y) est un n - 1-champ de Segal au-dessus de X =X; et (b) A est compatible aux sommes disjointes (definition 15.2), et pour tout X e* *t toute famille couvrante U ! Xa unelement, le morphisme t* : A(X) ! limae(U)*A ; defini ci-dessus, est essentiellement surjectif. La condition (b) peut ^etre remplacee par la m^eme condition pour n'importe * *lequel des Aint;k. Le fait que A soit un champ est aussiequivalenta la condition (c) A est compatible aux sommes disjointes (definition 15.2), et pour tout X e* *t toute famille couvrante U ! Xa unelement, le morphisme t* : A(X) ! limae(U)*A ; est uneequivalence de n-categories de Segal. Preuve: Combiner les Corollaires 14.4 et 15.7. * * 2 Si on remplace la condition (b) par la m^eme pour le prefaisceau simplicial * *Aint;0, alors la limite en question est la m^eme que la holim de Bousfield-Kan. On peut donc * *reecrire: Corollaire 15.9 Supposons que X admet des produits fibres, et suffisamment de * *sommes disjointes compatibles aux produits fibres. Soit A un n-prechamp de Segal tel q* *ue A(X) soit une n-categorie de Segal pour tout X 2 X . Alors A est un champ si et seul* *ement si: (a) pour tout X 2 X et toute paire d'objets x; y 2 A0(X), le n - 1-prechamp de* * Segal A1=(x; y) est un n - 1-champ de Segal au-dessus de X =X; et (b) A est compatible aux sommes disjointes (definition 15.2), et pour tout X e* *t toute famille couvrante U ! Xa unelement, le morphisme t* : Aint;0(X) ! holim ; ae(U)*Aint;0 induit une surjection sur les ss0. Si A est un champ alors le morphisme de (b) est uneequivalence faible. 2 Ce critere permet_par recurrence sur n_ d'apprehender la condition pour ^etr* *e un champ, en termes de prefaisceaux simpliciaux uniquement, et dans ce cadre la no* *tion est deja bien connue. 150 16. La construction de Grothendieck On indique ici comment on peut construire une "n-categorie fibree" au-dessus* * d'une 1-categorie Y ,a partir d'un prefaisceau de n-categories au-dessus de Y o; c'es* *t l'analogue de la construction de SGA1 [51]. Il serait interessant d'avoir une definition de n-categorie fibree et une co* *nstruction allant dans l'autre sens (pour obtenir l'analogue de toute la theorie de SGA1);* * mais nous ne traitons pas cette question ici. Soit Y une 1-categorie et A un n-prechamp de Segal au-dessus de Y o. (cette * *covariance est mieux adaptee pour certains aspects de la discussion qui suit). 19 On cons* *idere A comme un foncteur covariant Y ! nSeP Cf (i.e. chaque A(y) est suppose fibrant) * *et on va definir une n-precat de Segal munie d'un foncteur vers Y Z A ! Y: Y Ceci generalise la construction de Grothendieck (cf [99] et [32]) qui concerne * *le cas ou A est un prefaisceauRde 1-categories. Les objets de Y A sont les couples (y; a) avec y 2 Y et a 2 A(y). Pour un* *e suite (y0; a0); : :;:(yp; ap) et une suite de fleches 'i : yi-1 ! yi de Y on constru* *ira la n - 1- categorie Z ( A)p=((y0; a0); : :;:(yp; ap); '1; : :;:'p) Y qui sera l'image inverse de ('1; : :;:'p) 2 Yp(y0; : :;:yp): On fait cette construction par recurrence sur p; en supposant que c'est fait po* *ur p - 1 on pose (*) Z ( A)p=((y0; a0); : :;:(yp; ap); '1; : :;:'p) := Y Z ( A)p-1=((y0; a0); : :;:(yp-1; ap-1); '1; : :;:'p-1) Y xA(yp)p-1=(OE0(a0);:::;OEp-1(ap-1))A(yp)p=(OE0(a0); : :;:OEp(ap* *)) ou les OEi: A(yi) ! A(yp) ________________________________ 19En fait il y a un choixa faire quanta la direction des fleches, comme la di* *stinction de SGA 1 entre "categorie fibree" et "categorie cofibree" et nous ne considerons qu'une des de* *ux possibilites. L'autre s'en deduit par conjugaison avec l'operation "categorie opposee". 151 sont les morphismes composes des res'p. .r.es'i+1. Ici par ailleurs, on a par c* *onstruction un morphisme Z ( A)p=((y0; a0); : :;:(yp; ap); '1; : :;:'p) ! A(yp)p=(OE0(a0); : :;* *:OEp(ap)) Y et le premier morphisme dans le produit fibre (*) est ce morphisme pour p - 1, * *compose avec res'p pour passer de A(yp-1)p-1=a A(yp)p-1=. Maintenant on pose Z a Z ( A)p=((y0; a0); : :;:(yp; ap)) := ( A)p=((y0; a0); : :;:(yp; ap);* * '1; : :;:'p); Y '1;:::;'pY ou le coproduit est pris sur tous les ('1; : :;:'p) 2 Yp(y0; : :;:yp): R Ceci definit bien laRn-precat de Segal YA avec une application tautologique ve* *rs Y . On verifie que YA est une n-categorie de Segal avec Z a ( A)1=((y0; a0); (y1; a1)) = A(y1)1=('1(a0); a1): Y '1:y0!y1 R Le fait que YA est une n-categorie de Segal utilise le fait que chaque A(yp) e* *st fibrant, et plus particulierement le fait qu'en consequence le deuxieme morphisme dans l* *e produit fibre (*) est fibrant. R Si A est un prefaisceau de 1-categories sur Y o(les A(y) sont dans ce cas fi* *brants) alors A Y est la categorie dont les objets sont les couples (y; a) et les morphismes* * de (y; a) vers (z; b) sont les couples (f; r) ou f : y ! z dans Y et r : f(a) ! b dans A(z). * * C'est la construction de Grothendieck [51] [99] [32]. Une premiere utilisation de cette construction est la subdivision barycentri* *que, suivant le point de vue de Thomason [99]. Soit X un ensemble simplicial et posons Z B := X: o C'est une categorie, qui est aussi la categorie des simplexes de X notee X dans* * [59] [30]. Son nerf B s'explicite de la facon suivante: leselements de Bp sont les (n; oe; x) = (n0; : :;:np; oe1; : :;:oep; x) ou ni2 , oei: ni-1! ni dans , et x 2 X(np). On note g(n; oe) : p ! np 152 le morphisme quia i02 p associe l'image g(n; oe)(i0) := oep. .o.ei+1(n0i) ou n0i2 ni est le dernierelement (on utilise ici le "prime" pour distinguer en* *tre les elements des ensembles ordonnes, et les ensembles qui sont eux-m^emes objets de* * ). On a un morphisme d'ensembles simpliciaux : B ! X defini par (n; oe; x) := g(n; oe)*(x) 2 X(p): D'autre part, soit r la sous-categorie de ou les morphismes sont seulement ce* *ux qui envoient le dernierelement sur le dernierelement. On pose Z D := X|(r)o B: r Leselements de Dp sont les (n; oe; x) tels que oei(n0i-1) = n0i. En particulie* *r, le morphisme g(n; oe) se factorisea travers la projection p ! 0 via l'inclusion 0 ! np corr* *espondant au dernierelement n0p. On a la factorisation D ! X0 ! X: Par consequent le morphisme s'etend directement en un morphisme L : 1SeL(B; D) ! X car tout morphisme_I ! D s'envoie dans X sur un objet {x}, et s'etend donc aut* *oma- tiquement en I ! {x}. Le lemme suivant doit en realite ^etre d^ua Thomason [99] (en tout cas, il * *montre que le morphisme sur les completes groupiques, est uneequivalence). Lemme 16.1 Pour tout ensemble simplicial X, le morphisme L : 1SeL(B; D) ! X ci-dessus est uneequivalence faible de 1-precats de Segal. Preuve: La formation de B, D, 1SeL(B; D) et des morphismes et L est compati* *ble aux colimites. Comme tout ensemble simplicial est colimite d'ensembles simpli* *ciaux de la forme h(m) (le prefaisceau represente par m, i.e. le m-simplexe standard), * *il suffit de prouver le lemme pour X = h(m). Dans ce cas B = =m et D est la sous-categorie des objets de r au-dessus (par rapporta ) de m, notee i=m ou i : r ! est l'inclusion. Soit I(m) la categorie avec pour objets 000; : :;:m00et un morphi* *sme i00! j00 153 pour i j. On a uneequivalence faible de 1-precats de Segal h(m) ! I(m). On a* * un foncteur a : I(m) ! B quia i00associe l'objet i ! m ou ce morphisme envoie j0 2* * i sur j0 2 m (ici encore, on note avec un "prime" leselements des p 2 ). D'autre part* * on a un foncteur b : B ! I(m) quia un objet p ! m de B, associe i002 I(m) ou (pour l* *e m^eme i) le dernierelement dans l'image de p ! m est i0. On note que b se factorisea * *travers le morphisme de 1-precats de Segal B ! h(m) via l'inclusion h(m) ! I(m). Aussi, b * *envoie les morphismes de D sur les identites de I(m). Pour prouver le lemme, il suffit* * donc de prouver que b induit uneequivalence entre 1SeL(B; D) et I(m). Or, d'apres la pr* *oposition 8.7, il suffit de prouver que b induit uneequivalence entre L(B; D) et I(m). P* *our ceci, on applique le Corollaire 3.6 de [32] sous la forme du lemme 8.1 ci-dessus: on * *a que ba est l'identite de I(m), et il y a une transformation naturelle j : 1 ! ab dont * *la valeur sur p ! m (objet de =m) est le morphisme p ! i ! m ou i0 est le dernierelement dans l'image de p ! m et i ! m est a(i00), l'injection qui envoie j0 sur j0 pour j02* * i. On note que les jp!m sont des morphismes dans D, donc cette transformation naturelle in* *duit une deformation-retraction de L(B; D) sur I(m). * * 2 Lorsqu'il sera question d'appliquer cette constructiona plusieurs ensembles * *simpliciaux X, on notera fi(X) := B et ffi(X) := D fi(X). Le lemme dit qu'on a uneequivale* *nce faible ~ 1SeL(fi(X); ffi(X)) =! X: On donne maintenant une variante qui peut ^etre utile. Cette variante entre* * dans le cadre plus general de la theorie des "categories-test" envisagee par Grothendie* *ck dans [49]. Ici on utilise un exemple qui provient des travaux de Thomason [99] [101]; le d* *euxieme auteur remercie G. Maltsiniotis et A. Bruguieres de lui avoir explique cette id* *ee. Pour p 2 soit poset(p) l'ensemble partiellement ordonne des hyperfaces dans* * le p- simplexe standard (incluant le p-simplexe lui-m^eme). On considere poset(p) com* *me une categorie. Pour ce qu'on en fera, la direction des fleches n'est pas important* *e; on peut fixer un choix en disant que le p-simplexe est l'objet initial de poset(p). On * *obtient un foncteur poset : ! Cat: On definit aussi la sous-categorie Dposet(p) poset(p) constituee des hyper-fac* *es con- tenant le premier sommet. On a d'autre part le foncteur p 7! I(p)ou I(p)est la * *categorie avec p + 1 objets 00; : :;:p0et un morphisme i0! j0 pour i j. On notera std: * *! Cat ce foncteur. Le foncteur poset(p) ! std(p) = I(p) qui envoie un hyper-face du p-simplexe sur son premier sommet considere comme o* *bjet de I(p), donne une transformation naturelle poset! std: 154 de foncteurs ! Cat. Cette transformation naturelle envoie la sous-categorie * *Dposet sur les identites dans stdet le morphisme de 1-precats de Segal 1SeL(poset(p); Dposet(p)) ! std(p) = I(p) est uneequivalence faible. Si X est un ensemble simplicial alors X peut ^etre vu comme le coproduit de* * ses simplexes, et on peutecrire a a X = I(p)= ~ : px2Xp Si on effectue le m^eme coproduit, mais avec les poset(p) (resp. Dposet (p)) * *comme facteurs, on obtient un ensemble simplicial a a fiposet(X) := poset(p)= ~ px2Xp (resp. a a ffiposet(X) := Dposet(p)= ~) px2Xp et le morphisme 1SeL(fiposet(X); ffiposet(X)) ! X est uneequivalence faible de 1-precats de Segal. Par contre, on peut remarque* *r que fiposet(X) est le nerf de la categorie sous-jacentea un ensemble partiellement* * ordonne, et ffiposet(X) une sous-categorie. Ceci donne la variante suivante du lemme 16.1. Lemme 16.2 Pour tout ensemble simplicial X, il y a une categorie fiposet(X)* * sous- jacentea un ensemble partiellement ordonne, avec une sous-categorie ffiposet(X* *) et une equivalence faible de 1-precats de Segal ~= 1SeL(fiposet(X); ffiposet(X)) ! X: * * 2 On appliquera cela au nerf X d'une 1-categorie Y . Dans ce cas le morphisme fiposet(X) ! Y est un morphisme de categories et le lemme implique que le morphisme ~= L(fiposet(X); ffiposet(X)) ! Y est uneequivalence de categories simpliciales. 155 Sections de l'integrale Si F ! Y est un morphisme (suppose fibrant) d'une n-categorie de Segal vers* * une 1-categorie Y , on note Sect(Y; F ) la n-categorie de Segal des sections. Si F* * est une 1- categorie alors Sect(Y; F ) est une 1-categorie. Les objets sont les sections o* *e : Y ! F et les morphismes entre sections sont les transformations naturelles qui se projet* *tent sur la transformation naturelle identite du foncteur identite de Y . Si A est un n-prechamp de Segal au-dessus de Y on dispose donc de la n-prec* *at de Segal Z Sect(Y; A): Y Celle-ci pourrait ne pas avoir les proprietes escomptees. On commence donc par * *choisir un remplacement fibrant (au-dessus de Y ), de la forme Z Z 0 A ! A ! Y Y Y ou la premiere flecheRest uneequivalence et la deuxieme est une fibration; et o* *n considere plut^ot Sect(Y; Y0A) qui est une n-categorie de Segal fibrante. * * R0 Lemme 16.3 Avec les notations precedentes, pour tout y 2 Y , soit A0(y) la f* *ibre de YA (i.e. le produit fibre de ce dernier avec * = {y} au-dessus de Y ). Alors le mo* *rphisme Z Z 0 g : A ! A Y Y ~= 0 induit uneequivalence g(y) : A(y) ! A (y). Preuve: Le fait que g est (par hypothese) uneequivalence implique directement q* *ue le morphisme g(y) : A(y) ! A0(y) est pleinement fidele. On montre que g(y) estRes* *sen- tiellement surjectif. Si (y; a) 2 A0(y) alors il y a uneequivalence dans 0YA * *entreR(y; a) et un objet (z;_b)_2RA(z) pour un autre z 2 Y . Cetequivalence qu'on_notera I !* * 0YA s'etend en j : I ! 0YA qui se projette donc vers un morphisme : I ! Y qui c* *orre- sponda un isomorphisme entre y et z. Maintenant on peut relever ceci en_unRmorp* *hisme "horizontal" (voir les descriptifs dans 16.5 et 16.6 ci-dessous) h : I ! YA. S* *oit main- __(2) tenant I la categorie avec pour objets 0; 1; 2 et un_isomorphisme entre_chaqu* *e paire 01 __12 _* *_02 d'objets, contenant des sous-categoriesequivalentesa I qu'on notera I , I , I* * . Toutes ces categories sont contractiles i.e.equivalentesa *. On a d'autre part une pro* *jection __(2)__ p0;12: I ! I 156 qui envoie 0 sur 0 et 1; 2 sur 1. Avec ceci on obtient un morphisme __(2) O p0;12: I ! Y; __01 __02 avec relevement partiel sur la reunion I [ I en un morphisme __01 __02 Z 0 j t(z;b)h : I [ I ! A: Y __01 __02 Ce dernier envoie 0 sur (z; b), envoie I via j, et envoie I via h. Comme l'in* *clusion __01 __02__(2) I [ I I est uneequivalence (donc une cofibration triviale), il y a un relevement et ext* *ension en un morphisme Z __(2) 0 H : I ! A: Y __12 La restriction H12 de Ha I reste au-dessus de la sous-categorie {y} Y (cont* *enant l'objet y et l'identite comme seul morphisme), donc on peutecrire __12 0 H12 : I ! A (y): Aussi H12envoie le sommet 1 sur j(1) = (y; a), et envoie le sommet 2 sur un obj* *et de A(y). On obtient donc que (y; a) estequivalenta un objet de A(y) ce qui prouve l'esse* *ntielle surjectivite de g(y). * * 2 R0 CorollaireR16.4 La formation de Y A commuteRau changement de base: si f : Z !* * Y alors ( 0YA) xY Z est un choix possible pour 0Z(A|Z). R0 Preuve: Le morphisme ( Y A) xY Z ! Z est fibrant, et il ne reste qu'a prouver q* *ue Z Z 0 (A|Z) ! ( A) xY Z Z Y est uneequivalence. Au vu du lemme, ce morphisme est essentiellement surjectif* *. Si ' : u ! v est une fleche de Z (qui donne une fleche f' : fu ! fv de Y ), alors,* * pour a 2 A(fu) et b 2 A(fv), Z ( A|Z)1=((u; a); (v; b);=')A(fv)1=(resf'(a); b) Z Z = ( A)1=((fu; a); (fv; b); f') YZ = (( A) xY Z)1=(((fu; a); u); ((fv; b); v); * *') ZY ~= 0 ! (( A) xY Z)1=(((fu; a); u); ((fv; b); v); * *'): Y 157 R R 0 La derniereequivalence provient du fait que Y A ! Y A est uneequivalence. Ce* *ci montre que le morphisme Z Z 0 (A|Z) ! ( A) xY Z Z Y est pleinement fidele. * * 2 R 0 On retourneRmaintenanta la considerationRdes sections de Y A. Un objet de Sect(Y; Y0A) est un morphisme oe : Y ! 0YA. Pour tout morphisme f : y ! z dans* * Y on obtient un morphisme oer(f) : resf(oe(y)) ! oe(z), bien definia homotopie pr* *es comme morphisme de A(z). On dira que oe estRune eq-section si les oer(f) definis ci-d* *essusRsont desequivalences. On note Secteq(Y; Y0A) la sous-n-precat pleine de Sect(Y; Y0A* *) dont les objets sont les eq-sections. Si A est un prefaisceau de 1-categories, la section oe est determinee par le* *s morphismes oer(f) (qui sont bien definis dans ce cas). Avant de traiter le cas general des sections au-dessus d'une categorie Y , o* *n traite le cas (en quelque sorte irreductible) de la categorie Y = I avec deux objets * *0; 1 et un morphisme 0 ! 1. Lemme 16.5 Soit A un n-prechampRde Segal au-dessus de Io dontRles valeurs A(* *0) et A(1) sont fibrantes. Soit 0IA le remplacement fibrant pour IA au-dessus de Y * *et notons A0(0) la fibre de ce dernier au-dessus de 0 2 I. Alors le morphisme d'evaluation Z0 ev(0) : Secteq(I; A) ! A0(0) I est uneequivalence. Preuve: On rappelle d'abord qu'un n-prechamp de Segal A au-dessus de Io consist* *e en un triplet (A(0); A(1); r : A(0) ! A(1)). Soit a 2 A(0)0,Ret soit r(a) son image d* *ans A(1). On va construire une section "horizontale" oe : I ! IA qui envoie 0 sur a et 1* * sur r(a). Un simplexe dans le nerf I est de la forme (0; : :;:0; 1; : :1:) (disons, avec * *p fois 0 et q fois 1). Rappelons que A(0)p+q=((0; a); : :;:(0; a); (1; r(a)); : :;:(1; r(a))) = A(0)p=(a; : :;:a) xA(1)p=(r(a);:::;r(a))A(1)p+q=(r(a); : :;:r(a)* *): On specifie oe en disant que oe(0; : :;:0; 1; : :;:1) est la paire des deux sim* *plexes degeneres dans ce produit fibre. Noter que oe est une eq-section. Cette construction montre que tout objet de A0(0) qui provient d'un objet de* * A(0), est dans l'image essentielle du morphisme ev(0). Au vu du lemme 16.3, ceci mont* *re que ev(0) est essentiellement surjectif. 158 Il reste maintenanta montrer que ev(0) estRpleinement fidele. L'argument ci* *-dessus donne en fait un morphisme A(0) ! Secteq(I; I0A) qui scinde ev(0). On dira qu* *'un morphismeRprovenant de ce scindageRest "horizontal". Tout morphisme f : (0; u)* * ! (1; v) dans 0IA (i.e. objet f 2 ( 0IA)1=((0; u); (1; v))0) s'ecritaequivalence pre* *s comme le "compose" gh (ce composeetant definiaequivalenceRpres) ou h est horizontal et * *g un morphismeRde A0(1). Si a : I ! 0IA alors l'image a(') est bien definie comme * *morphisme f 2 ( 0IA)1=((0; u); (1; v))0. D'apres la definition de eq-section, a est une * *eq-section si et seulement si f = gh avec g uneequivalence dans A0(1). Il s'ensuit (nous laisso* *ns auRlecteur le soin de detailler ce point) que toute eq-section estequivalente (dans Sect(* *I; I0A))a une section horizontale. Pour montrer que ev(0)Rest pleinement fidele on peut alors considerer deux * *sections horizontales a; b : I ! IA, et on voudrait montrer que le morphisme Z0 Secteq(I; A)1=(a; b) ! A0(1)1=(a(1); b(1)) I est uneequivalence. On a l'egalite suivante (formule par foncteur representable de n - 1-precat* *s de Segal) Z0 Z0 Secteq(I; A)1=(a; b) = E 7! Homa;b=I(I x (E); A) I I ou Homa;b=Iest l'ensemble des morphismes qui se restreignent en a et b sur I x* * {0} et I x {1} et qui se projettent vers la deuxieme projection I x (E) ! I.R Le m* *or- phisme d'evaluation corresponda la restriction de morphismes I x (E) ! 0IA su* *r des morphismes {0} x (E) ! A0(0). On voudrait montrer que cette restriction est u* *ne equivalence. Divisons le carre I x (E) en deux triangles notes 2(E; *) et 2(*;* * E) recolles le long deRla diagonale (E). Le foncteur (en E) des morphismes sur le* * premier triangle 2(E; *) ! 0IA estequivalent, par restrictiona l'ar^ete 01,a A0(0)1=(* *a(0); b(0)). Il suffit donc de voir que l'application de restriction entre le foncteur en E* * des morphismes avec source le carre, vers le foncteur en E des morphismes avec source le prem* *ier triangle, est uneequivalence. Maintenant cette question ne concerne que le deuxieme tria* *ngle: il suffit de voir que le morphisme (de restriction sur l'ar^ete 02) Z0 r02: E 7! Homa;b(1)=I(2(*; E); A) ! I Z0 E 7! Homa(0);b(1)=I((E); A) I est uneequivalence de n-1-precats de Segal. Ici Homa;b(1)=Iest l'ensemble des * *morphismes qui donnent a sur (*) (ar^ete 01),qui donnent b(1) sur le sommet 2, et qui son* *t compatibles 159 avec la projection vers I; et Homa(0);b(1)=Iest l'ensemble des morphismes qui d* *onnent a(0) sur le premier sommet 0 et b(1) sur le deuxieme sommet (qu'on note ici 2, et qu* *i sont compatibles avec la projection vers I. Mais le l'arrivee du morphisme r02 est * *juste ce qu'on a note Z 0 ( A)1=((0; a(0)); (1; b(1)); ') I ci-dessus, ou ' : 0 ! 1 est le morphisme de I. Eta cause de l'equivalence faibl* *e 2(*; E) ~= (*) t{1}(E), le depart du morphisme r02 ci-dessus estequivalent via r12a Z0 E 7! Homa(1);b(1)((E); A) = A0(1)1=(a(1); b(1)): I R Rappelons qu'on a suppose que a corresponda un morphisme horizontal I ! IA, i.* *e. a(1) = ra(0) pour r le morphisme structurel de A. On dispose doncRdu m^eme morp* *hismeR que r02, qu'on appellera "r02, qu'on aurait pu fabriquerRavec IA au lieu de 0* *IA, ce qui est (via les m^emes identifications que ci-dessus mais pour IA) le morphisme de co* *mposition avec a(') : a(0) ! a(1) Z A(1)1=(a(1); b(1)) ! ( A)1=((0; a(0)); (1; b(1)); '): I R R0 Mais ce morphisme est par construction un isomorphisme. Le fait que IA ! IA * *est uneequivalence de categories implique que dans le diagramme 02 R A(1)1=(a(1); b(1))= source("r02)"r! ( IA)1=((0; a(0)); (1; b(1)); ') # # # ~= 02 r02 R0 A0(1)1=(a(1); b(1)) source(r ) ! ( IA)1=((0; a(0)); (1; b(1)); ') les fleches verticales sont desequivalences. Le fait que le morphisme en hauta * *droite soit un isomorphisme (par construction_et c'est ici l'endroit essentiel ou on utilis* *e le fait que a soit horizontale) implique que r02 est uneequivalence. Ceci termine la demons* *tration. 2 Proposition 16.6 Soit A un n-prechamp de Segal sur Y o. Alors il y a un morph* *isme naturel de n-precats de Segal Z (Y o; A) ! Sect(Y; A); Y et si A est fibrant alors le morphisme compose Z0 (Y o; A) ! Sect(Y; A) Y R0 est pleinement fidele avec pour image essentielle Secteq(Y; Y A). 160 Preuve: D'abord on definit le morphisme. Au niveau des objets,Rc'est facile: u* *ne section oe de A au-dessus de Y odonne directement un morphisme Y ! Y A qui envoie y * *sur (y; oe(y)). Le simplexe (y0; : :;:yp; '1; : :;:'p) va sur l'element de Z ( A)p=((y0; oe(y0)); : :;:(yp; oe(yp)); '1; : :;:'p) Y dont les deuxiemes projections dans les produits fibres (*) (par la recurrence* * il y en a une pour chaque 0 < p p) sont les simplexes degeneres dans Aq=(oe(yq); : :;:oe(yq* *)). Pour specifier le morphisme plus precisement, on utilise la definition de (* *Y o; A) par propriete universelle: pour une n-precat de Segal E, un morphisme E ! (Y o; A)* * est la m^eme chose qu'un morphisme E_! A ou E_est le n-prechamp de Segal constant sur* * Y o a valeurs E. On a (avec la m^eme definition que ci-dessus m^eme si E n'est pas * *fibrant) Z E_= Y x E: Y R Par fonctorialite de la construction Y, un morphisme E_! A fournit un morphis* *me Z Z Y x E = E_ ! A Y Y dont la composition avec la projection sur Y est la premiere projection Y x E * *! Y . Ceci donne, par definition de Sect(Y; -), un morphisme Z E ! Sect(Y; A) Y R et on a defini le morphisme (Y o; A) ! Sect(Y; Y A). Pour montrer l'equivalence, on voudrait decomposer Y en cellules et traite* *r chaque cellule individuellement. La premiere partie de l'argument consiste donca red* *uire la proposition au cas Y = I(p). Dans la deuxieme partie de l'argument, on traiter* *a ce cas particulier (et pour ceci on reduit encore facilement au cas Y = I). Pour la* * reduction de la premiere partie, on a besoin de la subdivision barycentrique definie ci-* *dessus. Cet argument sera en quelque sorte un precurseur de l'utilisation qu'on fera des c* *ategories de Reedy au x18 ci-dessous; mais pour le moment nous n'avons pas besoin de ce for* *malisme. Pour une categorie Y on notera (avec un leger abus de notation) fi(Y ) := fi(Y ) ! Y la subdivision barycentrique du nerf de Y , avec foncteur vers Y . (Aussi o* *n rappelle que, par definition, il y a un foncteur structurel fi(Y ) ! o.) Un objet de la* * categorie fi(Y ) est une suite (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp) composable de fleches fi : yi-* *1! yi de Y . Un 161 morphisme de fi(Y ) se deduit d'un morphisme de o, i.e. d'un morphisme q ! p ma* *is allant dans l'autre sens. Si u : q ! p est definie par la suite u0; : :;:uq 2 {* *0; : :;:p} alors les morphismes correspondants sont de la forme (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp) ! (yu0; : :;:yuq; g1; : :;:gq) ou gi= fui. .f.ui-1+1(si ui= ui-1alors gi est l'identite). Le foncteur vers Y e* *st (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp) 7! y0: On note qu'en fait on utilisera souvent l'oppose fi(Y )o et que les morphismes * *dans fi(Y )o, qui vont dans l'autre sens que ci-dessus, peuvent ^etre consideres comme des "i* *nclusions (ou degenerescences) de suites". On dira qu'une suite (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp) (qui corresponda un objet de* * fi(Y )) est non-degeneree si fi6= 1xi-1pour tout i. A toute suite degeneree, on associe la * *suite non- degeneree obtenue en enlevant toutes les identites. Soit fim (Y ) fi(Y ) la so* *us-categorie pleine constituee par les objets dont la suite non-degeneree correspondante est* * de longueur m. D'autre part, pour chaque suite non-degeneree (p; y; f) = (y0; : :;:yp; f1;* * : :;:fp), on considere le morphisme j(p; y; f) : I(p)! Y ou I(p)est la categorie avec p + 1 objets 00; : :;:p0 et un morphisme i0 ! j0 p* *our tout couple i j. Le morphisme j(p; y; f) envoie i0sur yi et la fleche (i - 1)0! i0s* *ur fi. Ce morphisme induit fi(I(p)) ! fi(Y ); et8m; fim (I(p)) ! fim (Y ): On note l'egalite fip(I(p)) = fi(I(p)): On a la formule ` (m+1)a fim+1 (Y ) = fim (Y ) [ (m+1;y;f)fim(I ) fi(I(m+1)): (m+1;y;f) Le coproduit est pris sur toutes les suites non-degenerees de longueur m + 1, n* *otees (m + 1; y; f). Cette formule est vraie aussi bien avec le coproduit de categories qu'avec l* *e coproduit de leurs nerfs (on pourraitecrire la deuxieme version: ` (m+1)a fim+1 (Y ) = fim (Y ) [ (m+1;y;f)fim(I ) fi(I(m+1)): (m+1;y;f) 162 pour ^etre plus precis). Pour voir ceci on note (enecrivant explicitement ce q* *u'est un p- simplexe du nerf de fi(Y ) = fi(Y ), comme l'a fait ci-dessus pour fi(X)) qu'u* *n p-simplexe dans le nerf de fim+1 (Y ) est ou bien dans fim (Y )p, ou bien dans l'un des f* *i(I(m+1)). D'apres cette deuxieme interpretation, la formule decompose fim+1 (Y ) en u* *n coproduit en tant que 1-categorie de Segal. Les sous-categories ffi s'y integrent de fac* *on compatible (en ce sens qu'on a la m^eme decomposition pour ffim+1 (Y )), et on a 1SeL(fim+1 (Y ); ffim+1 (Y )) = 1SeL(fim (Y ); ffim (Y )) ` (m+1) a(m+1) [ (m+1;y;f)1SeL(fim(I );ffim(I ))1SeL(fi(I(m+1)); ffi(I(m+1))): (m+1;y;f) Si U ! Y est un morphisme fibrant de n-precats de Segal, alors induit * *une equivalence * : Sect(Y; U) ! Sect(1SeL(fi(Y ); ffi(Y )); *(U)): Ceci est d^u au fait que induit uneequivalence faible entre 1SeL(B; D) et Y * *(ce principe est le sujet de [34]). Si A est un n-prechamp de Segal sur Y on obtient l'equi* *valence Z0 ~ Z0 * : Sect(Y; A) =! Sectffi(Y )-eq(fi(Y ); *(A)): Y fi(Y ) R0 * Ici Sectffi(Y )-eq(fi(Y ); fi(Y )(A)) est la sous-n-categorie de Segal pleine * *des sections qui, restreintesa ffi(Y ), sont des eq-sections. Pour voir ceci il faudrait utilise* *r le theoreme 2.5.1 de [95]. Une section sur Y est une eq-section si et seulement si sa restriction sur * *fi(Y ) est une eq-section. Donc induit uneequivalence Z0 ~ Z0 * : Secteq(Y; A) =! Secteq(fi(Y ); *(A)): Y fi(Y ) D'autre part induit un isomorphisme ~= o * * : (Y o; A) ! (fi(Y ) ; A): Ceci car les morphismes de ffi(Y ) agissent comme l'identite dans le prefaisce* *au *(A), et donc toute section de *(A) sur fi(Y )o est forcement constante sur ffi(Y )o. * *Les sections de *(A) descendent donc (uniquement) sur la categorie quotient de fi(Y )o par ff* *i(Y )o, qui est Y o. Malheureusement, le remonte *(A) n'est pas en general fibrant sur fi(Y )o.* * On con- tournera ce probleme en utilisant 14.2, qui donne uneequivalence naturelle ~= (Y o; A) ! limA: ;Y 163 En utilisant la description lim A = Hom__(Y; nSeCAT 0)1=(*; A) ;Y on obtient (a cause du lemme 16.1 ci-dessus ainsi que le Theorem 2.5.1 de [95])* * que le morphisme limA ! lim *A ;Y ;fi(Y ) est uneequivalence. Ceci implique que le morphisme (fi(Y )o; *A) ! lim *A ;fi(Y ) est uneequivalence. Soit *(A) ! F un remplacement fibrant au-dessus de fi(Y ), et regardons le * *dia- gramme (fi(Y )o; *A) ! lim ;fi(Y )*A # # (fi(Y )o; F ) ! lim ;fi(YF): On sait, comme ci-dessus, que la fleche du bas est uneequivalence. D'autre part* *, comme le morphisme *(A) ! F est uneequivalence dans Hom__(Y; nSeCAT 0), on obtient q* *ue la fleche verticalea droite est uneequivalence. Enfin, on a vu precedemment que la* * fleche du haut est uneequivalence. Donc ~= o (fi(Y )o; *A) ! (fi(Y ) ; F ): Le fait que *(A) ! F soit uneequivalence objet-par-objet au-dessus de fi(Y ) i* *mplique que le morphisme induit Z 0 Z 0 *(A) ! F fi(Y ) fi(Y ) est uneequivalence, et donc que Z0 Z0 Secteq(fi(Y ); *(A)) ! Secteq(fi(Y ); F ) fi(Y ) fi(Y ) est uneequivalence. En somme, il suffit de prouver que le morphisme Z0 (fi(Y )o; F ) ! Secteq(fi(Y ); F ) fi(Y ) est uneequivalence. Au vu de cette reduction, on pourra dire qu'on s'est ramenea prouver la prop* *osition pour des categories de la forme fi(Y ). Le m^eme argument tient avec fiposet(Y * *)a la place de 164 fi(Y ) (en utilisant le lemme 16.2a la place de 16.1). Ceci veut dire qu'on peu* *t dorenavant supposer que Y est deja de la forme Y = fiposet(Z) pour une categorie Z, i.e. q* *ue Y est la categorie associeea un ensemble partiellement ordonne (cette idee d'utiliser la* * subdivision barycentrique deux fois provient de Thomason [101]). Maintenant, pour F on peut utiliser la decomposition de fim+1 (Y ) en coprod* *uit: on a (fim+1 (Y )o; F |fim+1(Y))= Y (fim (Y )o; F |fim(Y )o) xQ (m+1;y;f)(fim(I(m+1))o;F|fi )(fi(I(m+1))o; F * *|fi(I(m+1))o): m(I(m+1))o(m+1;y;f) Soit im : fim (Y )o ! fi(Y )o l'inclusion. On note que im est un crible, i.e* *. que si a ! b est un morphisme dans fi(Y )o (i.e. la suite non-degeneree qui corresponda a es* *t incluse dans celle qui corresponda b) et si b 2 fim (Y )o alors a 2 fim (Y ). On obtien* *t, d'apres le corollaire 4.3, que i*mest un foncteur de Quillena droite, i.e. preserve les fi* *brations. Donc F |fim(Y )oest fibrant. Aussi, on peutecrire (fi(Y )o; F ) = Hom__(*fi(Y;)oF ); tandis que (fim (Y )o; F |fim(Y )o) = Hom__(im;!*fim(Y )o; F |fi(Y))o (ceci au vu de la description explicite de im;!cf la remarque apres 4.3). Le mo* *rphisme (fi(Y )o; F ) ! (fim (Y )o; F |fim(Y )o) est fibrant, car il provient de la cofibration im;!*fim(Y )o,! *fi(Y )o (le fait que l'avant-dernier morphisme est fibrant sera utilise directement sur* * Y mais aussi sur les I(m+1)). On applique maintenant 4.1a un morphisme p : fi(I(m+1))o ! fi(Y )o provenant d'une suite non-degeneree (m + 1; y; f) dans Y . C'est ici qu'on uti* *lise l'hy- pothese que Y est la categorie associeea un ensemble S partiellement ordonne: * * dans ce cas, les objets de fi(Y ) sont les suites decroissantes pour l'ordre dans S.* * Donc, pour le morphisme p associea une suite non-degeneree (m + 1; y; f) dans Y (i.e. un* *e suite strictement decroissante de S), on a que la categorie des objets b 2 fi(I(m+1))* * au-dessous d'un objet a 2 fi(Y ) est, ou bien vide (si a ne correspond pasa une sous-suite* * d'objets 165 de la suite (m + 1; y; f)), ou bien admet un objet initial (si a corresponda un* *e sous- suite d'objets de la suite (m + 1; y; f), l'objet initialetant la sous-suite co* *rrespondante d'objets de I(m+1)). Donc dans les deux cas, la colimite de 4.1 preserve les co* *fibrations et cofibrations triviales, i.e. p! est un foncteur de Quillena gauche et donc p* p* *reserve les objets fibrants. En particulier, F |fi(I(m+1))o est une n-prechamp de Segal fibrant au-dessus de fi(I(m+1))o. Par les arguments* * anterieurs, on obtient que F |fim(I(m+1))o est aussi fibrant. Les morphismes (fi(I(m+1))o; F |fi(I(m+1))o) ! (fim (I(m+1))o; F |fim(I(m+1))o) sont fibrants (d'apres une des remarques ci-dessus, qu'on avait apliqueeea Y , * *et qu'on applique icia I(m+1)). Donc la decomposition de (fim+1 (Y )o; F |fim+1(Y))oen p* *roduit fibre est aussi un produit fibre homotopique. On a exactement la m^eme decomposition (qu'on ne reecrit pas) pour Z0 Secteq(fim+1 (Y ); F |fim+1(Y)); fim+1(Y ) et cette decomposition est aussi un produit fibre homotopique. En effet, la dec* *omposition de fim+1 (Y ) en coproduit est une decomposition en coproduit de 1-precats de S* *egal, d'ou la decomposition pour les sections; et le morphisme sur les sections qui corres* *ponda fim (I(m+1)) ,! fi(I(m+1)), est une fibration d'ou il decoule que le produit fi* *bre dans la decomposition est un produit fibre homotopique. On remarque maintenant qu'on a (fi(Y )o; F ) = lim(;mfim (Y )o; F |fim(Y )o); et cette limite est une limite dans laquelle tous les morphismes sont fibrants;* * c'est donc aussi une limite homotopique. De plus, on a Z0 Z0 Secteq(fi(Y ); F ) = limSecteq(fim (Y ); F |fim(Y)); fi(Y ) ;m fim(Y ) et cette limite est encore une limite ou les morphismes sont fibrants, donc c'e* *st une limite homotopique. 166 A cause de ces dernieres remarques sur les limites, il suffit de prouver que* * les mor- phismes Z 0 (fim (Y )o; F |fim(Y )o) ! Secteq(fim (Y ); F |fim(Y)) fim(Y ) sont desequivalences. On va le faire par recurrence sur m. Nous pouvons suppose* *r que c'est connu pour m, pour toutes les donnees initiales (Y; A) et pour tout choix* * de F . On peut en particulier appliquer l'hypothese de recurrence pour obtenir que le mor* *phisme Z0 (fim (I(m+1))o; F |fim(I(m+1))o) ! Secteq(fim (I(m+1)); F |fim(* *I(m+1))) fim(I(m+1)) est uneequivalence (car, en realite, F |fi(I(m+1))oaurait pu aussi bien proveni* *r de la couple (I(m+1); A|I(m+1);o)). Au vu de nos decompositions des deux cotes du morphisme Z0 (fim+1 (Y )o; F |fim+1(Y))o! Secteq(fim+1 (Y ); F |fim+1(Y)) fim+1(Y ) en produits fibres homotopiques, et au vu de l'hypothese de recurrence, il suff* *it, pour obtenir que c'est uneequivalence, de prouver que le morphisme Z0 (fi(I(m+1))o; F |fi(I(m+1))o) ! Secteq(fi(I(m+1)); F |fi(I(m+* *1))) fi(I(m+1)) est uneequivalence. En faisant marche-arrierea travers notre argument ci-dessus, on voit qu'il s* *uffit de prouver que le morphisme Z0 (I(m+1);o; A|I(m+1);o) ! Secteq(I(m+1); A|I(m+1)) I(m+1) est uneequivalence. En somme, nous nous sommes maintenant reduitsa prouver la proposition pour le cas Y = I(m+1). Pour simplifier les notations, on pose p := m + 1 et on va prouver la propos* *ition dans le cas Y := I(p). Pour deux objets i et j de Y , on a une fleche i ! j pour i* * j. En particulier, 0 est l'objet initial de Y . Si A est un n-prechamp de Segal sur Y* * o, on a (Y; Ao) = A(0): Il s'agit donc (au vu du lemme 16.3) de prouver que le morphisme Z0 Secteq(Y; A) ! A0(0) Y 167 R0 est uneequivalence (ici A0(0) est la fibre de YA au-dessus de 0 2 Y , qui est* *equivalente a A(0)). Enecrivant l'equivalence faible de 1-precats de Segal I [{1}I [{2}[ : :[:{(p-1)}I ! Y on voit qu'il suffit de traiter le cas Y = I, i.e. de prouver que Z0 Secteq(I; A) ! A0(0) I est uneequivalence. Or ceci est le resultat du lemme 16.5, ce qui termine la d* *emonstration de la proposition 16.6. * * 2 Cetenonce, combine avec la proposition 14.2 indique que si A est un foncteu* *r strict d'une 1-categorie Y vers nSeCat on peut calculer sa limitea l'aide des sectio* *ns de l'integrale: Z 0 lim A ~=Secteq(Y; A): ;Y Y Il y a un resultat "dual" (mais qui ne s'en deduit pas par dualite) qui permet* * le calcul des colimites: c'est le theoreme de Thomason [99] dans le cas des prefaisceaux sim* *pliciaux (n = 0). Pour n quelconque, nous le formulons comme une conjecture. Conjecture 16.7 Soit A un prefaisceau de n-categories de Segal au-dessus de * *Y o. Soit horiz l'ensemble desRfleches "horizontales" i.e. de ya resf(y) correspondanta * *l'identite de resf(y), dans YA. Alors on a Z limA ~=nSeL( A; horiz) !;Y Y R i.e. la colimite de A sur Y se calcule en localisant YA en les 1-fleches hori* *zontales. On termine cette section par la formulation d'un probleme. Dans SGA1, la t* *heorie des champs et de la descenteetait envisagee dans le cadre des categories fibre* *es [51] [43], mais nous n'avons repris ci-dessus que la moitie facile de cela, i.e. la const* *ruction d'une "n-categorie de Segal fibree"a partir d'un prefaisceau strict de n-categories * *de Segal. Probleme 16.8 Definir une notion de n-categorie de Segal fibree F ! Y au-de* *ssus d'une 1-categorie Y (ou m^eme _plus difficile_ au-dessus d'une autre n-categor* *ie de Segal), etetablir la correspondance avec nos n-champs de Segal. Par exemple, d* *efinir la n + 1-categorie de Segal nSeCAT F IB=Y des n-categories de Segal fibrees au-de* *ssus de Y et donner uneequivalence nSeCAT F IB=Y ~=nSeCHAMP (Ygro). R Cetteequivalence devrait passer par une construction A 7! YA pour tout mor* *phisme faible A i.e. morphisme A : Yo ! nSeCAT 0. 168 17. Prefaisceaux de Quillen C'est enetudiant l'exemple du champ des modules des complexes (cf x21 ci-de* *ssous) que nous avons ressenti la necessite de considerer des "prefaisceaux de cmf". * *Un point de vue qui se repand actuellement est que les "bons" morphismes entre categories * *de modeles fermees, sont les foncteurs de Quillena gauche (notion qu'on a rappelee au x4)* *_cf par exemple le livre de Dwyer-Hirschhorn-Kan [30], ouegalement [60] ou Hovey defin* *it la 2- categorie des categories de modeles fermees dont les objets sont les categorie* *s de modeles fermees et les morphismes sont les foncteurs de Quillena gauche. On est donc * *conduit naturellement vers la notion suivante. Soit X une categorie. Un prefaisceau de Quillena gauche (resp. a droite) su* *r X est un prefaisceau de categories M, ou chaque MX est muni d'une structure de cate* *gorie de modeles fermee, telle que les foncteurs de restriction soient des foncteurs* * de Quillen a gauche (resp.a droite). 20 On note que les foncteurs de restriction ne preser* *vent pas forcement toutes les structures (elles preservent les cofibrations et cofibrat* *ions triviales, mais pas obligatoirement les fibrations ni lesequivalences faibles qui ne sont* * pas des cofibrations). Si on fait un rapprochement entre les notions de topos et de cmf, les notio* *n de prefaisceau de Quillena gauche oua droite sont analogues aux notions de "categ* *orie bifibree en topos" et "categorie bifibree en duaux de topos" de SGA 4 ([4] exp* *ose Vbis, def. 1.2.1, 1.2.2). Si M est un prefaisceau de Quillena gauche, soit M* le prefaisceau quia cha* *que x 2 X associe la categorie de modeles fermee M*(x) duale de M(x). Alors M* est un pr* *efaisceau de Quillena droite. Ceci nous permet de ne nous interesser qu'aux prefaisceaux* * de Quillen a gauche. Un peu plus interessant: soit My le prefaisceau sur la categorie oppo* *see X o, avec les m^emes categories de modeles fermees M(x) comme valeurs, mais obtenu en ut* *ilisant les adjointsa droite comme morphismes de restriction. Alors My est aussi un pr* *efaisceau de Quillen (a droite). Soit M un prefaisceau de Quillen au-dessus de X . Les objets cofibrants def* *inissent un sous-prefaisceau de categories Mcet son sous-prefaisceau W Mcou les morphismes* * sont les equivalences faibles entre objets cofibrants (qui sont bien preservees par les * *restrictions). On definit un prefaisceau de categories simpliciales L(M) au-dessus de X en pr* *enant pour ________________________________ 20Il serait peut-etre preferable de parler de 1-champ de Quillen car les val* *eurs sont des 1-categories et on pourrait envisager un probleme de coherence. En fait, puisque la notion * *de categorie de modeles fermee est stable parequivalence de la categorie sous-jacente, on peut toujour* *s strictifier et ne parler que de prefaisceaux de categories. Il pourrait aussi y avoir un probleme de c* *oherence pour le choix des adjoints des foncteurs de restriction. Nous ignorons ces problemes, consid* *erant que s'ils existent, ils n'ont d'inter^et ni geometrique ni topologique (de m^eme que nous ignorons les* * subtilites des questions de cardinalite). 169 L(M)(X) la categorie simpliciale localisee de Dwyer-Kan L(M)(X) := L(Mc(X); W Mc(X)): Comme d'habitude, on considere ce prefaisceau comme un 1-prechamp de Segal sur* * X . Pour des raisons de simplification des notations ulterieures, il est plus c* *ommode de prendre le point de vue "covariant". On considere dorenavant une categorie Y * * et un prefaisceau de Quillena gauche M sur Y o, c'est donc une famille de cmf M(y) a* *vec des foncteurs de Quillena gauche de restriction, qui sont covariants. Soit M un prefaisceau de Quillena gauche sur Y o; si f : y ! z est un morph* *isme de Y notons resf : M(y) ! M(z) le foncteur de Quillena gauche de restriction; et notons res*fson adjointa dro* *ite. On dispose de la "categorie fibree" (cf la section precedente) Z M ! Y Y et de la categorie des sections Z Sect(Y; M): Y R Un objet oe de Sect(Y; Y M) consiste en une collection d'objets oe(y) 2 M(y) p* *our y 2 Y avec des morphismes oe(f) : resfoe(y) ! oe(z): qu'on peut interpr^eter par adjonction: oe(f) : oe(y) ! res*foe(z): Ces morphismesRsont soumisa une contrainte d'associativite. Un morphisme a : o* *e ! o dans Sect(Y; Y M) est une collection de morphismes a(y) : oe(y) ! o(y) dans M(y) soumisa la condition de naturalite habituelle. On dira qu'un morphisme a est * *une equivalence faible si, pour chaque y, a(y) est uneequivalence faible dans M(y). On peut observer que si M = M__est le prefaisceau constant prenant pour val* *eur la categorie de modeles fermee fixe M (qui est bien un prefaisceau de Quillena ga* *uche), alors on a Z M__= Y x M Y et Z Sect(Y; M__) = MY : Y 170 Rappelons qu'on dispose de plusieurs structures de categories de modeles fermee* *s sur MY sous diverses hypotheses concernant M et Y . (I) D'abord il y a la structure engendree par les cofibrations de Hirschhorn, * *de type Bousfield-Kan (on l'avait appelee de "type HBKQ" au x5); celle-ci existe des qu* *e M est engendree par les cofibrations (Hirschhorn [59]). Les fibrations sont les fibra* *tions objet- par-objet. (II) Ensuite il y a la structure que Dwyer-Hirschhorn-Kan qualifient de "unusu* *al" mais qui est la structure habituellement utilisee en K-theorie, et apparemment duea * *K. Brown, Joyal et Jardine dans le cas de diagrammes d'ensembles simpliciaux (Hirschhorn * *l'appelle "structure de Heller"); ici les cofibrations sont les cofibrations objet-par-ob* *jet. L'existence de cette structure semble co"incidera peu pres avec celle de la structure (I) d* *e type HBKQ, mais nous n'avons pas trouve dans la litterature un critere general pour cette * *existence (cf cependant le livre de Goerss-Jardine [46]). (III) Enfin, si Y est une categorie de Reedy, il y a une structure de modeles* * sur MY sans hypothese supplementaire sur M (tout au plus, si la fonction degre est ind* *exee par un ordinal plus grand que !, il faut supposer que les limites de cette taille e* *xistent dans M). Cette structure est en general differente des deux autres (pour la definit* *ion, voir la demonstration du theoreme ci-dessous). Pour cette structure de Reedy voir [8* *6], [59], [30], [46]. La partie essentielle de la notion de fibration de Reedy appara^it * *aussi dans la notion d'hyper-recouvrement exposee par Verdier dans SGA 4 ([4], expose V, x7, * *definition 7.3.1.1 (H3)). Si M estRun prefaisceau de Quillena gauche sur Y o, on a les structures anal* *ogues sur Sect(Y; Y M): Theoreme 17.1 Soit M un prefaisceau de Quillena gauche sur Y o.RAlors on dis* *pose des structures suivantes de categorie de modeles fermee sur Sect(Y; Y M) (lesequiva* *lences faibles sont toujours les morphismes qui sont objet-par-objet desequivalences f* *aibles): (I) La structure de type HBKQ ou les fibrations sont les morphisms a : oe ! o * *tel que a(y) est une fibration pour tout y 2 Y : elle existe si chaque M(y) est engendre par* * cofibrations; (II) La structure de type Brown-Jardine-Heller ou les cofibrations sont les mo* *rphismes a : oe ! o tel que a(y) soit une cofibration pour tout y 2 Y ,a condition que c* *ette classe de cofibrations (resp. les cofibrations \ lesequivalences faibles) admette un * *ensemble generateur I (resp. J) permettant l'argument du petit objet (voir avant 2.5), * *et qu'en outre chaque M(y) soit engendre par cofibrations; et (III) La structure de type Reedy (cf la definition ci-dessous), si Y est une * *categorie de Reedy. Comparer avec la proposition 1.2.12 de SGA 4 [4] expose Vbis. Preuve: Il peut ^etre utile de revoir la preuve de l'enonce 2.5 ci-dessus, mais* * pour (I) nous conseillons au lecteur de se reporter directement aux references [59] [30] au l* *ieu de s'en 171 tenira 2.5, car nous utiliserons ici directement les arguments du type [30]. On note d'abord que l'ensemble W desequivalences faibles satisfait automatiq* *uement la clot^ure sous retractes et la propriete "trois pour le prix de deux". Dans (I) et (II) la condition que chaque M(y) soit engendre parRcofibrations* * (et donc admette des petites limites et colimites) implique que Sect(Y; Y M) admet des p* *etites limites et colimites. Pour (I) la preuve est la m^eme que dans [59], [30]. Soit oe une section et * *i : oe(y) ! u une cofibration dans M(y). On obtient alors la cofibration librement engendree* * par i, Lib(i) : oe ! , definie par a ` res (oe(y)) (z) = resf(u) t f f oe(z): f:y!z Soient I (resp. J) l'ensemble des cofibrations de la forme Lib(i) ou i 2 I(y), * *y 2 Y (resp. i 2 J(y), y 2 Y ). Les I-injectifs (resp. J-injectifs) sont juste les morphis* *mes qui sont objet-par-objet des fibrations (resp. fibrations triviales); et on verifie fac* *ilement que le critere de reconnaissance ("Recognition lemma" [59] 13.3.1, [30] 8.1) est satis* *fait. 21 Pour (II) on s'appuie sur le lemme 2.5. Rappelons que la condition que chaqu* *e M(y) est engendre par cofibrations nous donne les proprietes de 2.5 (0)-(7) pour cha* *que M(y). Comme consequenceRon obtient immediatement les proprietes (0), (1), (2), (6) et* * (7) pour Sect(Y; Y M). On peut remarquer que les cofibrations de la structure (I) ci-des* *sus sont des cofibrations ici aussi, donc la propriete de relevement pour ces cofibratio* *ns implique qu'un morphisme est objet-par-objet uneequivalence faible. Ceci donne (3). Enfi* *n (4) et (5) forment la premiere partie de l'hypothese ici, donc par le lemme 2.5 on obt* *ient (II). Remarque: Tout comme pour l'application du lemme 2.5, on peut dire que la pa* *rtie de l'hypothese (II) qui corresponda 2.5 (4) et (5) serait consequence du caract* *ere en- semblistement raisonnable des notions de cofibration et d'equivalence faible, d* *ans tous les exemples qu'on va rencontrer. Voir Jardine [63] pour la technique necessaire po* *ur donner une preuve rigoureuse de ce type de condition. Au vu de cette remarque, on pour* *ra con- siderer que l'hypothese de (II) se reduita demander (comme pour (I)) simplement* * que les M(y) soient engendres par cofibrations. Les categories de Reedy Avant d'aborder la partie (III) du theoreme 17.1, on fait quelques rappels s* *ur les "categories de Reedy". Les references sont [86], [15], [59], [30], [46], voir a* *ussi [33]. ________________________________ 21Essentiellement la seule chosea verifier_comme c'est indique dans ([30], pr* *euve de 48.7: la structure de categorie de modeles sur S - Cat, p. 61), voir aussi notre lemme 2.5_est qu* *e la colimite de J- cofibrations regulieeres est encore dans W. Dans le present cas ceci est vrai p* *onctuellement au-dessus de chaque objet de Y . 172 Le jeu entre les "latch" et les "match" qui suivra, n'est qu'une facon syste* *matique et avec une notation abstraite de prendre en compte le fait qu'il y a des morph* *ismes de degenerescence dans qui vont dans le sens oppose des morphismes "face". On pe* *ut probablement, dans toutes les applications, considerer au lieu d'objets simplic* *iaux, des ! objets parametrisees par la sous-categorie engendree par les morphismes face.* * Dans ce cas on n'aurait qu'a considerer la partie "Latch" de la discussion ci-dessous e* *t beaucoup d'arguments deviendraient plus facile. On rappelle d'abord la definition: une categorie de Reedy est une categorie * *Y munie de deux sous-categories (avec les m^emes objets que Y ) appelees respectivement so* *us-categorie directe et sous-categorie inverse ! Y Y et Y Y; tel qu'il existe une fonction degre (vers un ordinal qui sera le plus souvent !* *) telle que ! les morphismes de Y sauf les identites augmentent strictement le degre, les mor* *phismes de Y sauf les identites diminuent strictement le degre, et tout morphisme f se * *factorise uniquement ! ! ! f =f f avec f2Y ; f2Y : On precise ici qu'onecrit les compositions dans le sens habituel, donc dans cet* *te formule ! la source de f (qui est le but de f) est de degre le minimum des degres de la * *source et du but de f; et en cas d'egalite f est ou bien directe ou bien inverse. Les exemples classiques sont la categorie et son oppose o, [15], [86]. L'e* *xemple que nous utiliserons est la categorie K des simplexes d'un ensemble simplicial * *K (ou son oppose oK). Cet exemple appara^it dans [59], [30], etc. Plus particuliere* *ment on va utiliser le cas de Y ou Z est le nerf d'une 1-categorie Z. C'est la categori* *e notee fi(Z) au x16 ci-dessus. Pour un objet y 2 Y on definit les categories rel^achantes ("latching") 22La* *tch(y) et appariantes ("matching") Match(y). En fait on definit ! Latch(y) + {y} :=Y =y ! (les objets de Y au-dessus de y) et on pose ! Latch(y) :=Y =y - {y} Latch(y) + {y}: Aussi {y} + Match(y) := y= Y ________________________________ 22Le mot "rel^achant" n'est pas une traduction stricte de "latching" mais com* *porte la m^eme sonorite et semble bien correspondrea la situation. 173 (les objets de Y au-dessous de y) et Match(y) := y= Y -{y} {y} + Match(y): On note Latch(y) + {y} + Match(y) la categorie obtenue en attachant Latch(y) + {y}a {y} + Match(y) le long de l'o* *bjet y, avec exactement un morphisme entre les objets de Latch(y) et Match(y). On note Latch(y) + Match(y) Latch(y) + {y} + Match(y) la sous-categorie obtenue en enlevant y. Le morphisme de 1-precats de Segal (Latch(y) + {y}) [{y}({y} + Match(y)) ! Latch(y) + {y} + Match(y) est uneequivalence faible (on laisse la preuve, qui est similairea celle de 17.* *2 ci-dessous, aux soins du lecteur). En particulier, pour une n-categorie de Segal fibrante C* *0 un mor- phisme Latch(y) + {y} + Match(y) ! C0 est essentiellement la m^eme chose que deux morphismes Latch(y) + {y} ! C0; {y} + Match(y) ! C0 qui envoient y sur le m^eme objet de C0. Pour un degre k fixe, on note F kY Y la sous-categorie des objets de degre * * k. Si y est de degre k alors on a un morphisme Latch(y) + Match(y) ! F k-1Y: On a que Y est la colimite filtrante des F kY . La description des diagrammes sur une categorie de Reedy de [30], [46], [15]* *, [35], [16], [86], [33], et particulierement Hirschhorn ([59] Theorem 16.2.12) ou cela appar* *a^it tres clairement, revient essentiellement au lemme suivant. Lemme 17.2 Pour tout d, le morphisme de 1-precats de Segal ` a F d-1Y [ deg(y)=dLatch(y)+Match(y) Latch(y) + {y} + Match(y) deg(y)=d ! F dY est uneequivalence faible. 174 Ce lemme generaliseeventuellement les references ci-dessus en prenant en com* *pte (via la notion de 1-precat de Segal) les homotopies superieures. Nous aurons besoin* * de cet aspect dans les prochains chapitres. Pour la partie (III) du theoreme 17.1, la* * version ([59] Theorem 16.2.12)_qui est l'enonce obtenua partir de notre lemme en appliq* *uant la troncation o1 _suffirait. Au vu de cela, nous repoussons la demonstration ju* *squ'a la fin du chapitre. Le lemme 17.2 dit que pour une n-categorie de Segal fibrante C0, se donner u* *n mor- phisme fk : F kY ! C0 revienta se donner un morphisme fk-1 : F k-1Y ! C0 et p* *our tout objet y, des extensions des morphismes fk-1|Latch(y)en Latch(y) + {y} ! C0; et fk-1|Match(y)en Match(y) + {y} ! C0; prenant la m^eme valeur sur y, et telles que le morphisme induit (essentielleme* *nt bien defini) Latch(y) + {y} + Match(y) ! C0 ait fk-1 pour restrictiona Latch(y) + Match(y). Cette interpretation provient d* *e Hirsch- horn [59]. La structure (III) du theoreme 17.1 On doit dire quelles sont les fibrations et cofibrations. Soit oe une sectio* *n et y 2 Y . Soient latch(oe; y) et match(oe; y) dans M(y) les objets rel^achants et apparia* *nts de oe. Ces objets sont definis respectivement comme la colimite sur Latch(y) du foncteur resLatch(y)!yO oe : Latch(y) ! M(y) ou Z resLatch(y)!y: M|Latch(y)! M(y) Latch(y) est le morphisme donne par les restrictions resf pour f : z ! y; et la limite s* *ur Match(y) du foncteur res*y!Match(y)O oe : Match(y) ! M(y) ou Z res*y!Match(y): M|Match(y)! M(y) Match(y) est le morphisme donne par les adjoints des restrictions res*gpour g : y ! w. P* *our definir res*y!Match(y)on note qu'on a, pour g h y ! w ! x; 175 une transformation naturelle res*g! res*hgO resh; qui provient du morphisme d'adjonction 1 ! res*hO resh: On a une factorisation latch(oe; y) ! oe(y) ! match(oe; y): On dira (en suivant [86] [59] [30] et al.) que oe est cofibrant (de Reedy) si l* *es morphismes latch(oe; y) ! oe(y) sont des cofibrations dans M(y), et que oe est fibrant (de* * Reedy) si les morphismes oe(y) ! match(oe; y) sont des fibrations dans M(y). Plus generalemen* *t pour a : oe ! o on obtient l'objet rel^achant relatif latch(a; y) := latch(o; y) [latch(oe;y)oe(y) avec morphisme latch(a; y) ! o(y); on dira que a est une cofibration (de Reedy) si ce morphisme est une cofibratio* *n dans M(y). Dualement on obtient l'objet appariant relatif match(a; y) := match(oe; y) xmatch(o;y)o(y) avec morphisme oe(y) ! match(a; y); et on dira que a est une fibration (de Reedy) si ce morphisme est une fibration* * dans M(y). La preuve que ces trois classes de morphismes forment une structure de categ* *orie de modeles fermee est la m^eme que dans le cas du prefaisceau constant M = M__, cf* * [86] [59] et al.; nous laissons au lecteur le soin de faire cette verification. Ceci termine la demonstration de (III) et donc du theoreme 17.1. * * 2 Preuve du lemme 17.2 On garde les notations du lemmea demontrer. On peut supposer que Y = F dY et on pose Z := F d-1Y . Notons A0 le copro* *duit de l'enonce. C'est un ensemble simplicial (sous-ensemble de Y ), qu'on consider* *e comme 1-precat de Segal. On va obtenir Y comme limite d'une suite (eventuellement tra* *nsfinie si le nombre d'objets de Y est plus que denombrable) : :A:i Ai+1: : : 176 de sous-ensembles simpliciaux de Y . A chaque fois on rajoutera un "simplexe r* *egulier" (definition ci-dessous), et on va prouver que les Ai Ai+1sont des cofibration* *s triviales de 1-precats de Segal. Rappelons que leselements de (Y )p sont les suites composables (y; f) = (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp) avec fi : yi-1! yi dans Y . On dira qu'un telelement est un simplexe regulier * *si aucun ! * * des fi n'est l'identite, et si pour tout 1 i p, ou bien fi 2Y , ou bien fi 2* *Y . Pour un ! * * simplexe regulier, on appellera pic tout sommet i.e. objet yiavec fi-12Y et fi* *2Y , ce qui equivauta la condition deg(yi-1) < deg(yi) > deg(yi+1. On appellera vallee tout* * objet yi ! tel que fi-12Y et fi2Y ,, ce quiequivauta la condition deg(yi-1) > deg(yi) < * *deg(yi+1. La condition de Reedy implique que si yi est une vallee, alors le simplexe en * *question est le seul simplexe regulier de longueur p contenant la face ou on enleve yi. Pour unelement (y; f) 2 (Y )p on obtient un morphisme (y; f) : h(p) ! Y ou h(p) est l'ensemble simplicial represente par p, i.e. le p-simplexe standard. * *On appellera "image d'un simplexe (y; f)" l'image de ce morphisme. L'image contient tous le* *s simplexes "hyper-faces" de (y; f), qui sont tous les simplexes obtenus en enlevant certa* *ins des yi; ainsi que tous leurs degenerescences. On choisit un ordre total sur l'ensemble des simplexes reguliers de Y non * *contenus dans A0, assujetti aux conditions suivantes: si (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp) (y00; : :;:y0q; f01; : :;:f0q) alors p q et, si p = q alors Xp Xp deg(yi) deg(y0i): i=0 i=0 Maintenant, on part de A0 et on ajoute les images de h(p) pour les simplexes r* *eguliers (y; f) : h(p) ! (Y ), un par un, suivant l'ordre total (aux ordinaux limites * *on insere un objet qui est la colimite de ce qui vient avant, puis on recommence en ajou* *tant le prochain simplexe). On obtient une suite Ai (Y ). On va montrer qu'une cofibr* *ation Ai ! Ai+1 qui corresponda l'addition d'un simplexe regulier (y0; : :;:yp; f1; * *: :;:fp), est uneequivalence faible de 1-precats de Segal. Ceci donnera le lemme (il y a un * *argument de colimite filtrantea faire pour les ordinaux limites eta la fin du processus* *, que nous laissons au lecteur). On va prouver, par recurrence sur i, l'enonce suivant: 177 (*) un simplexe degenere est dans Ai si et seulement si le simplexe non-dege* *nere correspondant est dans Ai. Soit Ai ! Ai+1 une cofibration qui corresponda l'addition d'un simplexe regu* *lier (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp), et soit h(p) ! (Y ) le morphisme correspondanta ce * *simplexe. Si on pose U := h(p) xAi(Y ) h(p); alors on a Ai+1= h(p) [U Ai: Il s'agit donc de prouver que U ! h(p) est une cofibration triviale de 1-precat* *s de Segal. On note d'abord que par l'hypothese (*) pour Ai, unelement degenere de h(p)q es* *t dans U si et seulement si l'element non-degenere correspondant est dans U. Il s'agit* * donc de comprendre quelles hyper-faces de h(p) sont dans U. On a la caracterisation sui* *vante: (**) Une hyper-face de h(p) qui corresponda un sous-ensemble J {0; : :;:* *p}, appartienta U si et seulement s'il existe i 2 {0; : :;:p} avec i 62 J et tel qu* *e yi ne soit pas une vallee de (y0; : :;:yp; f1; : :;:fp). Prouvons ceci. On considere l'hyper-face correspondanta J = {j0; : :;:jq} {0; : :;:p} (inclusion stricte). Ceci corresponda l'element J*(y; f) := (yj0; : :;:yjq; f01; : :;:f0q) 2 Y ou les f0jsont compositions des fi. Soit (z; g) = (z0; : :;:zr; g1; : :;:gr) le* * simplexe regulier * * ! obtenu en remplacant dans J*(y; f) toute fleche f0k: yjk-1! yjkqui n'est pas da* *ns Y ni dans Y , par la paire de fleches g0 g00 yjk-1! z ! yjk ! ! avec g0 2Y et g002Y . On laisse inchangees les fleches f0kqui sont soit dans Y* * soit dans 0 * Y . Aussi on contracte toutes les identites fk qui apparaissent dans J (y; f). * *On note que J*(y; f) est dans l'image de (z; g). Une fleche f0kqui est remplacee (ou contractee) dans le procede ci-dessus, p* *rovient forcement d'une composition d'au moins deux fleches fi. Donc la longueur r de (* *z; g) est p. D'autre part, si r = p alors Xp Xp deg(zi) deg(yi): i=0 i=0 En effet, si f0k= fi+1fi= gi+1gi alors yi est ou bien un pic ou bien une vallee* *: dans le cas ! contraire, f0kest ou bien dans Y ou bien dans Y et n'est pas remplace dans (z; * *g) (et f0k 178 n'est pas non plus une identite donc elle n'est pas non plus contractee). Si y* *iest une vallee alors zi= yi; si yi est un pic, dans ce cas zi est une vallee de (z; g) et deg* *(zi) < deg(yi). D'apres le paragraphe precedent, si le complementaire de J dans {0; : :;:p}* * contient un pic yialors l'une des deux inegalites sera stricte et (d'apres ce qu'on a i* *mposea l'ordre ) on a (z; g) (y; f) et donc J*(y; f) 2 Ai. Si le complementaire de J contien* *t un yi qui n'est ni pic ni vallee, alors comme l'une des fleches f0kqui est une compo* *sition d'au moins deux fleches fi, n'est pas remplacee par deux fleches g, on a r < p et d* *e nouveau J*(y; f) 2 Ai. Ceci prouve une des directions de l'enonce (**) (il faut noter* * que, dans l'argument ci-dessus, on peut tomber, sans le dire, sur un simplexe qui est da* *ns A0 au lieu d'^etre ajoute dans la suite organisee par ). Par ailleurs, s'il y a une contraction d'un f0k= 1 alors la longueur decroi* *t: r < p et J*(y; f) 2 Ai. On voit que tout nouveau simplexe de la forme J*(y; f) dans* * Ai+1 qui est degenere appartient dejaa Ai; et les autres simplexes degeneres provie* *nnent des degenerescences de simplexes de la forme J*(y; f). Ceci prouve (*) pour Ai+1. Supposons pour completer la preuve de (**) que le complementaire de J consi* *ste entierement de vallees de (y; f). Dans ce cas, pour tout i 62 J, on a i - 1 2 * *J et i + 1 2 J, et l'un des morphismes dans J*(y; f) est f0k= fi+1fi: yi-1! yi+1: ! On note que f0kn'est pas dans Y ni dans Y . Donc, si le simplexe J*(y; f) pr* *ovient de l'image d'un simplexe regulier (w; h) alors la fleche f0kest forcement decompo* *see dans (w; h) comme produit d'au moins deux fleches h. Il s'ensuit que la longueur de* * (w; h) est au moins p. En cas d'egalite, chacune des fleches f0ksera decomposee en un pro* *duit de la forme hi+1hi. Ici il y a deux options: soit wi est une vallee, auquel cas on a* * wi = yi par l'unicite de la decomposition dans l'axiome des categories de Reedy; soit wi e* *st un pic, auquel cas on a deg(wi) > deg(yi). Donc, finalement, il y a trois cas: soit (w* *; h) est de longueur > p; soit (w; h) est de longueur p mais Xp Xp deg(wi) > deg(yi); i=0 i=0 soit (w; h) = (y; f). Dans tous les cas, (w; h) ne precede pas (y; f) pour l'o* *rdre et donc J*(y; f) n'appartient pasa Ai. En fait pour cette derniere phrase il faut justifier aussi que J*(y; f) n'a* *ppartient pas a A0. On note que (y; f) a au moins un pic de degre d (i.e. dans Y mais pas * *dans Z), et ce pic persiste dans J*(y; f). Les seuls simplexes de cette forme dans* * A0 sont les simplexes reguliers avec un seul pic (i.e. les simplexes ajoutes dans le * *coproduit de l'enonce du lemme), or en enlevant des vallees on a rendu J*(y; f) irregulier * *et on a donc J*(y; f) 62 A0. Ceci prouve (**). 179 L'enonce (**) dit que U est la reunion de toutes les faces de h(p) obtenues* * en enlevant des sommets autre que des vallees. Ceci implique que le morphisme U ! h(p) est uneequivalence faible de 1-precats de Segal, par le lemme suivant (qu'on i* *sole car l'enonce pourrait avoir un inter^et propre). Ce qui terminera la demonstration* * du lemme 17.2. * * 2 Lemme 17.3 Notons h(p) l'ensemble simplicial "p-simplexe standard", et soit* * f : U ,! h(p) une inclusion telle que U soit reunion d'un certain nombre de faces de h(* *p). Sup- posons que U contient la premiere et la derniere face, et ne contient pas tout* *es les autres; alors le morphisme f est uneequivalence faible de 1-precats de Segal, i.e. le * *morphisme induit SeCat(U) ! SeCat(h(p)) ~=I(p) est uneequivalence. Preuve: On raisonne par recurrence sur p; supposons donc l'enonce connu pour * *p - 1. Ecrivons U = V 0[ V p[ V b1[ : :[:V bk comme reunion (non-disjointe!) de faces ou V jest la face (ensemble simplicial* * isomorphe a h(p - 1)) obtenue en enlevant le jiemesommet. On fixe a 2 {1; : :;:p - 1} ave* *c bi6= a, i.e. la face V an'appara^it pas dans U. Pour 0 j k posons Uj := V 0[ V p[ V b1[ : :[:V bj U: En particulier U0 = V 0[ V p, et Uk = U. On note d'abord que U0 ! h(p) est une equivalence (d'ici la fin de la preuve, ceci voudra dire que c'est uneequivalen* *ce faible de 1-precats de Segal). Pour voir cela, soit W (p) h(p) la reunion des ar^etes * *principales i.e. des ar^etes de la forme {i - 1; i}. Le morphisme W (p) ! h(p) est uneeq* *uivalence (en effet, h(p) est obtenua partir de W par application une fois de l'operatio* *n Gen[p] voir x2; voir aussi la discussion dans [95] x2.4.8). Maintenant V 0\ W (p) est* * de la forme W (p - 1) V 0= h(p - 1). Donc on peut exprimer Q(p) := V 0[ W (p) comme copro* *duit: Q(p) := V 0[ W (p) = V 0[W(p-1)W (p) ou le premier morphisme est une cofibration triviale (de 1-precats de Segal). * * Donc le morphisme W (p) ! Q(p) est une cofibration triviale et on obtient que Q(p) ! h* *(p) est uneequivalence (et c'est une cofibration donc c'est une cofibration triviale).* * Notons que Q(p) est l'unioni de la premiere face avec la derniere ar^ete. Maintenant Q(p* *) \ V p= 180 Q(p - 1) V p= h(p - 1). Donc (par le resultat qu'on vient de demontrer mais p* *our Q(p - 1)) le deuxieme morphisme dans le coproduit U0 = V 0[ V p= Q(p) [ V p= Q(p) [Q(p-1)V p est une cofibration triviale. Il s'ensuit que Q(p) ! U0 est une cofibration tr* *iviale et U0 ! h(p) est uneequivalence. Montrons maintenant par recurrence sur j que Uj ! h(p) est uneequivalence. * *On vient de le demontrer pour j = 0, donc on peut supposer que j 1 et que c'est c* *onnu pour j - 1. On a j-1\V bj)b Uj = Uj-1 [(U V j: Pour prouver que Uj ! h(p) est uneequivalence il suffit de prouver que (Uj-1 \ V bj) ! V bj est uneequivalence. Or, V bj= h(p - 1) et on note 0; : :;:bbj; : :;:p les somm* *ets de ce simplexe. Le sous-ensemble simplicial (Uj-1\V bj) est une reunion de faces de c* *e h(p-1). Cette reunion de faces contient la premiere et la derniere face (car V 0[ V p U* *j-1), et ne contient pas la face ou l'on enleve le sommet a. Donc, le lemme pour p - 1 s* *'applique et on obtient que (Uj-1 \ V bj) ! V bjest uneequivalence comme voulu. * * 2 181 18. Strictification La question de l'essentielle surjectivite du morphisme du theoreme 12.1 pos* *e le probleme de "strictifier" un foncteur large A : Y ! nSeCAT 0en un foncteur str* *ict Y ! nSeCat. Dans la litterature, les reponsesa ce type de questions s'appelle* *nt des theoremes de "strictification", ou de "coherence". Voir la discussion du x4 de * *Baez-Dolan [8]; ils y font referencea Gordon-Power-Street [48], et au theoreme de coherenc* *e de Mac Lane [71]. Voir aussi Dunn [29]. Un theoreme tres proche de ce qu'on va faire dans ce chapitre est "A realiza* *tion theorem 2.4" de Dwyer-Kan [34]. Dans leur theoreme (qui concerne les prefaisce* *aux simpliciaux i.e. 0-champs de Segal), un "foncteur large" un foncteur F ree.(Y )* * ! EnsSpl ou F ree.(Y ) est la resolution standard par des categories libres. Ils montre* *nt que tout foncteur large en ce sens, estequivalenta un foncteur strict Y ! EnsSpl. Le theoreme-type de ce genre est le resultat de SGA 1 [51] qui dit qu'une ca* *tegorie fibree estequivalentea une categorie fibree scindee. Notre methode de demonstr* *ation pour 18.5 sera basee sur la methode de SGA 1, mais avec un apport des technique* *s de "categories de Reedy" issues de la theorie de l'homotopie [86] [15] [59] [30] [* *34]. Cette methode a dejaete utilisee par le deuxieme auteur pour obtenir un resultat de s* *trictifi- cation des prefaisceaux faibles d'espaces topologiques ("prefaisceaux flexibles* *") dans [91], qui se trouve ^etre essentiellementequivalenta celui de [34]. On peut envisager un cadre un peu plus general. Soit M une categorie de mod* *eles fermee, et soit Y une 1-categorie. Soit L(M)0un remplacement fibrant pour la ca* *tegorie de Segal L(M) (qui est la localisee de Dwyer-Kan de M par rapport auxequivalenc* *es faibles). Soit F : Y ! L(M)0un foncteur; on voudrait trouver un foncteur G : Y * *! M tel que p O G ~ F ou p : M ! L(M)0 est le morphisme tautologique. Pour la categ* *orie de modeles fermee M = nSeP C, ceci donnerait la strictification pour des foncte* *urs A : Y ! nSeCAT 0au vu du theoreme 11.11. On va generaliser encore plus en considerant, au lieu d'une seule categorie * *de modeles fermee M, un prefaisceau de Quillena gauche M au-dessus de Y o. On retrouvera * *le resultat du paragrapheRprecedent en prenant le prefaisceau deRQuillen constant * *M = M__. On rappelle que 0YL(M) est un remplacement fibrant pour YL(M) au-dessus de* * Y (i.e. le morphisme vers Y devient un morphisme fibrant de 1-categories de Segal* *). Definition 18.1 Soit Y une petite categorie et M un prefaisceau de Quillena ga* *uche sur Y o. On dira que les sections faibles de M au-dessus de Y se strictifient si le* * morphisme de 1-precats de Segal Z Z 0 Sect(Y; M) ! Sect(Y; L(M)) Y Y est essentiellement surjectif. 182 Theoreme 18.2 Si M est un prefaisceau de Quillena gauche sur une categorie d* *e Reedy Y alors les sections faibles de M au-dessus de Y se strictifient au sens de l* *a definition 18.1. On va donner la demonstration plus bas. On devrait avoir le m^eme resultat sur une categorie quelconque,a condition * *que les M(y) admettent suffisamment de limites. Nous avons une esquisse de demonstratio* *n mais il y a une partie que nous n'avons pas voulu faire, donc nous laissons l'enonce* * sous forme "conjecture". Conjecture 18.3 Soit Y une petite categorie et M un prefaisceau de Quillena * *gauche sur Y . Supposons que M satisfait l'hypothese (o) qui sera introduite au x19 (* *qui dit en particulier que les M(y) admettent des petites limites arbitraires). Alors l* *es sections faibles de M au-dessus de Y se strictifient au sens de la definition 18.1. Nous proposerons plus bas une esquisse de demonstration pour cette conjectur* *e. Corollaire 18.4 Soit Y une 1-categorie de Reedy. Soit M une categorie de mod* *eles fermee. Alors le morphisme (de 1-categories de Segal) Hom__(Y; M) ! Hom__(Y; L(M)0) est essentiellement surjectif. Preuve: On applique le theoreme 18.2 au prefaisceau de Quillen constant M__. * * 2 La conjecture 18.3 donnerait le m^eme corollaire pour toute categorie Y ,a c* *ondition d'avoir l'hypothese (o) du x19 pour M__. En fait, on s'interessea l'enonce en q* *uestion pour M = nSeP C: le theoreme suivant terminera enfin la demonstration du Theoreme 12* *.1. Theoreme 18.5 Soit Y une petite 1-categorie (non de Segal). Les sections f* *aibles du prefaisceau constant nSeP_C_ au-dessus de Y se strictifient au sens de la defin* *ition 18.1. En particulier, tout objet de Hom__(Y; nSeCAT 0) estequivalent (dans cette n* * + 1- categorie de Segal)a un objet provenant d'un prefaisceau de n-categories de Seg* *al sur Y , i.e. le morphisme du Theoreme 12.1 est essentiellement surjectif. Demonstration de 18.5 utilisant la conjecture 18.3: On applique 18.3 au pref* *aisceau constant M__pour la cmf M = nSeP C des n-precats de Segal. Il est facile de voi* *r que M__ satisfera l'hypothese (o). Le morphisme tautologique Mf ! nSeCAT 0 183 envoie lesequivalences sur desequivalences, et s'etend donc (par la propriete * *universelle de la localisee) en un morphisme L(Mf) ! nSeCAT 0: Le morphisme L(Mf) ! L(M) est une cofibration triviale, tout comme le morphisme vers un remplacement fibrant L(M) ! L(M)0, et on obtient un morphisme L(M)0! nSeCAT 0: D'apres le theoreme 11.11 ce morphisme induit uneequivalence ~= 0int;1 L(M)0! (nSeCAT ) : Ce morphisme est par choix strictement compatible avec le morphisme de source * *Mf. Le fait que Y est une 1-categorie (en particulier 1-groupique) entra^ine l'egalite Hom__(Y; nSeCAT 0)int;1= Hom__(Y; (nSeCAT 0)int;1): Un objet f 2 Hom__(Y; nSeCAT 0) est doncequivalent (dans cette n+1-categorie d* *e Segal) a un morphisme provenant de g : Y ! L(M)0. En appliquant la version du coroll* *aire 18.4 correspondanta 18.3, on obtient que g estequivalent (dans Hom__(Y; L(M)0)* *)a un morphisme provenant de h : Y ! M; en composant avec un remplacement fibrant fo* *nc- toriel qui existe pour M = nSeP C, on obtient que h peut ^etre choisi comme mo* *rphisme h : Y ! Mf. La projection de h dans Hom__(Y; nSeCAT 0) est doncequivalentea * *la projection de g, quia son tour estequivalentea f. Cetenonce est exactement l'essentielle surjectivite de . * * 2 Du fait que nous ne pouvons proposer qu'un esquisse de demonstration pour 1* *8.3, nous allons maintenant donner une demonstration complete du theoreme 18.5. Demonstration du theoreme 18.2 On commence par la demonstration du theoreme 18.2, en gardant les notations M * *et Y . Notre methode de demonstration consiste en une analyse precise des diagrammes * *indexes par une categorie de Reedy, utilisant les idees et techniques developpees just* *ement dans ce but par Reedy [86], Bousfield-Kan [15], Hirschhorn [59], Dwyer-Hirschhorn-K* *an [30]. Il faut considerer que notre demonstration est juste une application des techn* *iques de ces references. On suit plus particulierement le point de vue de [59]. Une partie de l'analyse a dejaete effectuee dans le lemme 17.2 ci-dessus, q* *u'on va utiliser maintenant. Soit F kY la filtration de Y par les sous-categoriesRp* *leines formees des objets de degre k. On suppose donnee une section oe de 0YL(M) et on vou* *drait 184 R construire une section u de YM qui estequivalentea oe. On va proceder par rec* *urrence sur le degre, et definir u sur les F kY . Dans la recurrence on choisira de pl* *us u fibrant et cofibrant pour la structure de Reedy. On suppose donc qu'on a trouve une section convenable v sur F kY et on veut* * l'etendre en u sur F k+1Y . D'apres 17.2, F k+1Y se decompose (aequivalence faible pre* *s) comme coproduit de F kY avec des categories de la forme Y (y) := Latch(y) + {y} + Match(y) pour des objets y 2 Y de degre k + 1. Posons F kY (y) := F kY \ Y (y) d'ou F kY (y) = Latch(y) + Match(y): On vaetendre v|FkY (y)en une section uy sur Y (y),equivalentea oe|Y (y). Ceci * *suffira pour trouver u et l'equivalence entre u et oe|Fk+1Y au vu de 17.2. D'autre part, la* * condition que u soit cofibrant et fibrant pour la structure de Reedy, s'exprime en termes de* *s restrictions u|Y (y)i.e. u est cofibrant et fibrant si et seulement si (1) v = u|FkY l'est,* * et (2) pour tout y de degre k + 1, uy = u|Y (y)l'est. En somme, il suffit de resoudre le probleme d'extension de v en u, pour F k* *Y (y) Y (y). On s'estRdonc ramenea la situation suivante:RY = Y (y) et Z := F kY (y); on a * *une section oe de 0YL(M) sur Y , et une section v de ZM|Z qui estequivalentea oe|Z; et o* *nRcherche une section u sur Y quietend v et qui estequivalente (en tant que section de * *0YL(M)) a oe. Rappelons les notations suivantes: Y = Latch(y) + {y} + Match(y); Z = Latch(y) + Match(y): On a un morphisme Z R : L(M) ! L(M(y)) Latch(y) correspondant aux morphismes de restriction resf : M(z) ! M(y) pour tout f : z* * ! y dans Z. Ceci donne (par extension le long d'une cofibration triviale) Z 0 R0: L(M) ! L(M(y))0: Latch(y) Notre section oe|Latch(y)donne un morphisme R0O oe|Latch(y): Latch(y) ! L(M(y))0: La section oe au-dessus de Latch(y) + {y} correspond (via une version homotopi* *que adaptee aux categories de Segal de la description des diagrammes de Reedy de [* *59] [30]_ generalisation que nous utilisons ici sans demonstration)a un morphisme hocolim(R0O oe|Latch(y)) ! oe(y) 185 dans L(M(y))0. D'autre part, on a aussi le morphisme Z r : M ! M(y) Latch(y) d'ou r O v|Latch(y): Latch(y) ! M(y): Le fait que v|Latch(y)soit cofibrant de Reedy, couple avec la condition que les* * foncteurs de restriction soient des foncteurs de Quillena gauche, implique que r O v|Latc* *h(y)est un Latch(y)-diagramme de M(y) lui-m^eme cofibrant de Reedy. Ceci implique qu'il e* *xiste uneequivalence naturelle dans L(M(y))0: colim(r O v|Latch(y)) ~=hocolim(R0O oe|Latch(y)) (en fait, c'est la definition de hocolim voir [15] [59] [30]). Pour avoir une extension de va une section uL au-dessus de Latch(y) + {y} il* * suffit (d'apres la description de [59] [30]) d'avoir un objet u(y) 2 M(y) et un morphi* *sme colim(r O v|Latch(y)) ! u(y): En outre, uL est cofibrant de Reedy (ainsi qu'uneeventuelle extension de uLa u * *sur Z) si et seulement si le morphisme precedent est une cofibration. La section uL esteq* *uivalente (en tant que section des localises)a oe|Latch(y)+{y}s'il existe uneequivalence * *dans L(M(y))0, u(y) ~=oe(y), et une homotopie de commutativite pour le diagramme colim(r O v|Latch(y))~=hocolim(R0O oe|Latch(y)) # # u(y) ~= oe(y): Dualement (encore que l'argument soit un peu different) onetudie les extensi* *ons de v en une section uM au-dessus de Match(y) + {y}. D'abord, notons Z t : M(y) x Y ! M Match(y) le morphisme donne par les restrictions. Pour f g y ! z ! w avec compose h := gf, on obtient, en utilisant les adjonctions, un morphisme (p* *our a 2 M(z)) res*fa ! res*h(resga): 186 Ceci donne un morphisme Z t* : M ! M(y): Match(y) On obtientegalement sur les localises Z 0 T *: L(M) ! LM(y))0: Match(y) En composant avec oe on obtient T *O oe|Match(y): Match(y) ! L(M(y)): La restriction de oe sur {y}+Match(y) correspond (de nouveau via la version hom* *otopique pour categories de Segal, de la description des diagrammes de Reedy de [59] [30* *] que nous ne demontrons pas ici)a un morphisme oe(y) ! holim(T *O oe|Match(y)) dans L(M(y))0. De facon similaire, une extension uM de va {y} + Match(y) corresponda un ob* *jet u(y) 2 M(y) et un morphisme u(y) ! lim(t* O v|Match(y)): Ici la limite existe car l'indexation est finie. La section uM ainsi que sone* *ventuelle extension ua tout Z, est fibrante de Reedy si et seulement si ce morphisme est * *une fibration dans M(y). D'autre part, comme plus haut on a uneequivalence dans L(M(y))0 lim(t* O v|Match(y)) ~=holim(T *O oe|Match(y)) car v|Match(y)est fibrant de Reedy par hypothese de recurrence, et les adjoints* * res*fsont des foncteurs de Quillena droite, donc t*Ov|Match(y)est un Match(y)-diagramme d* *e M(y) qui est fibrant de Reedy. Une extension de l'equivalence de v avec oe|Z en unee* *quivalence entre uM et oe|{y}+Match(y)corresponda la donnee d'uneequivalence u(y) ~=oe(y)* * et d'une homotopie de commutativite pour le diagramme u(y) ~= oe(y) # # lim(t* O v|Match(y))~=holim(T *O oe|Match(y)): 187 Soient x 2 Latch(y) et z 2 Match(y) et notons par f : x ! y et g : y ! z les morphismes. Alors_ par la propriete d'adjoint homotopique (Lemme 8.11) des fon* *c- teurs induits par resg et res*gentre les categories simpliciales L(M(y)) et L(M* *(z))_ le morphisme resgf(oe(x)) ! oe(z) estegala un morphisme resf(oe(x)) ! res*g(oe(z)): Quand x varie dans Latch(y) et z dans Match(y) on obtient le resultat suivant. * *Notons Latch(y) t Match(y) la reunion disjointe de ces deux categories; elle est conte* *nu dans Z mais dans Z il y a, en plus, un (unique) morphisme de chaque objet de Latch(y) * *vers chaque objet de Match(y). Une extension de oe|Latch(y)tMatch(y)a oe|Z correspo* *nda un morphisme hocolim(R0O oe|Latch(y)) ! holim(T *O oe|Match(y)): Si oe|Z estequivalentea la section induite par v, l'application ci-dessus est i* *nduite par colim(r O v|Latch(y)) ! lim(t* O v|Match(y)): L'extension de oe de Za Y = Z [ {y} est determinee par une factorisation hocolim(R0O oe|Latch(y)) ! oe(y) ! holim(T *O oe|Match(y)): Celle-ceetant donnee, pouretendre v en une section u sur Y , il faut trouver un* *e factori- sation colim(r O v|Latch(y)) ! u(y) ! lim(t* O v|Match(y)) qui induise la factorisation correspondanta oe. On note par ailleurs que colim(r O v|Latch(y)) est cofibrant (c'est la colim* *ite d'un dia- gramme qui est cofibrant pour la structure de Reedy, car r est un foncteur de Q* *uillena gauche); et lim(t* O v|Match(y)) est fibrant_c'est la limite d'un diagramme qui* * est fibrant pour la structure de Reedy, car t* est un foncteur de Quillena droite. On est donc ramene au probleme suivant:etant donne un morphisme h : a ! b dans une categorie de modeles fermee M = M(y), et une factorisation __a! w ! _b _ dans L(M) ou __aet b sont les images de a; b 2 M dans L(M), on veut la relever * *en une factorisation a ! c ! b 188 dans M avec le premier morphisme cofibrant et le deuxieme fibrant. On pourra s* *upposer que a est cofibrant et b fibrant. On peut aussi supposer qu'on a w = _cdans L(M) avec c fibrant et cofibrant.* * Dans ce cas, les morphismes de L(M) proviennent de morphismes f : a ! c et g : c ! b. * *On peut supposer de plus que g est une fibration. La factorisation dans L(M) est une h* *omotopie entre gf et h, en tant que morphismes de a vers b. L'homotopie peut ^etre con* *sideree comme Quillen l'a definie, c'est-a-dire comme un diagramme p i0; i1 : a !! ff ! a; k : ff ! b avec pi0 = pi1 = 1a et ki0 = gf, ki1 = h (et p une fibration triviale, et i0 t* * i1 une cofibration). Le morphisme i0 : a ! ff est une cofibration triviale. Le fait* * qu'on a suppose que g est une fibration implique qu'il existe un relevement w : ff ! c* * avec gw = k et wi0 = f. Si on pose f0 := wi1, on obtient une homotopie (qu'on note * *encore w) entre f et f0; on a aussi gf0 = h et l'homotopie w composee avec g est l'ho* *motopie k. Autrement dit, la factorisation h = gf0 avec l'identite comme homotopie, esteq* *uivalente a la factorisation qui corresponda l'homotopie k entre gf et h. On obtient le r* *elevement de notre factorisation dans L(M) en une factorisation f0 g a ! c ! b dans M, ce qui resout le probleme. Pour completer la demonstration du theoreme 18.2, appliquons la solution du* * probleme ci-dessusa la situation precedente avec a = colim(r O v|Latch(y)); b = lim(t* O v|Match(y)); __a= hocolim(R0O oe| _ * Latch(y)); b = holim(T O oe|Match(y)); et w = oe(y). On trouve la factorisation desiree avec c = u(y). * * 2 Le cas des 1-champs Avant d'aborder l'esquisse de demonstration pour 18.3 et la demonstration d* *u theore- me 18.5, signalons l'origine de l'idee en faisant la comparaison avec le cas d* *es 1-champs. On peut montrer que la 2-categorie des 1-champs au-dessus de X estequivale* *nte (via la comparaison de Tamsamani [98] entre les 2-categories suivant sa defini* *tion, et les 2-categories de Benabou)a la 2-categorie 1CHAMP (X ) des 1-champs (non de Sega* *l) au-dessus de X . Si on adopte la definition de 1-champ qui utilise la notion d* *e categorie fibree [51], il s'agit pour l'essentiel de montrer qu'une categorie fibree est* *equivalentea une categorie fibree scindee, i.e. une qui provient d'un prefaisceau de catego* *ries. 189 Ce resultat est un theoreme de SGA 1 [51]. L'idee de la demonstration est q* *ue si F ! Y est une categorie fibree au-dessus d'une categorie Y , alors le foncteur A : y 7! Secteq(Y=y; F xY (Y=y)) (ou Secteqsont les sections "cartesiennes" i.e. qui envoient les fleches d'en b* *as en fleches cartesiennes en haut) sera un foncteurRstrict de Y vers la 1-categorie 1Cat des* * 1-categories, tel qu'on ait un eequivalence YA ~=F de categories fibrees au-dessus de Y . L'observation-cle est que cette propriete de strictification provient du fai* *t que la base Y est une 1-categorie stricte. Cette idee aete reprise dans [91] pour donner un resultat de strictification* * des "fais- ceaux flexibles" d'espaces topologiques, ce qui est l'analogue du theoreme 18.5* * pour le cas n = 0. Idee pour preuve directe de 18.5 On esquisse ici une idee pour une preuve directe de la strictification pour * *les foncteurs X o! nSeCAT 0(Theoreme 18.5), en suivant le cas des 1-champs mentionne ci-dessu* *s. Supposons maintenant que M = nSeP C est la cmf des n-precats de Segal. Un fo* *ncteur Y o! M est un n-precat de Segal au-dessus de Y . D'autre part, on a 11.11 L(M) ~=nSeCAT int;1: Comme Y est deja 1-groupique, un foncteur Y o! L(M)0est doncaequivalence pres la m^eme chose qu'un foncteur Y o! nSeCAT 0. Notre question devient donc: est-ce* * que tout foncteur Y o! nSeCAT 0estequivalenta une n-precat de Segal sur Y ? L'idee de base est d'utiliser le fait que Y est une 1-categorie qui est forc* *ement stricte. Soit F : Y o! nSeCAT 0un morphisme. Pour y 2 Y , on pose G(y) := (Y=y; F |Y=y) := Hom__((Y=y)o; nSeCAT 0)1=(*y; F |Y=y): Ceci varie fonctoriellement en y et les valeurs sont des n-categories de Segal * *fibrantes. Le probleme est de montrer que G estequivalenta F . Nous ne savons pas actuellement trouver directement un morphisme entre F et * *G (et c'est pour cela que ce paragraphe n'est qu'une esquisse). Cependant, notons po* *ur plus tard, que si F provenait deja d'une section stricte, alors il y aurait uneequiv* *alence entre F et G donnee par le morphisme F (y) ! (Y=y; F |Y=y): Nous allons contourner le probleme de trouver un morphisme entre F et G en n* *ous appuyant sur le theoreme 18.2, et en remplacant Y par une categorie de Reedy B * *munie d'une sous-categorie D B telle que la localisee L(B; D) soitequivalentea Y . L* *'idee que les diagrammes sur Y sont les m^emes que les diagrammes sur B qui sont desequiv* *alences dans la direction de D, provient du papier de Dwyer-Kan [34]. 190 Esquisse de demonstration de la conjecture 18.3: Soit Y une 1-categorie et M un prefaisceau de Quillena gauche sur Y qui satis* *fait les conditions (o) du x19 ci-dessous.ROn aura besoin de la categorie de Reedy suiva* *nte. Soit Y le nerf de Y , et soit B = Y la categorie introduite pour le lemme 16.1. On* * note que B est aussi la categorie des simplexes de Y , notee B = Y dans [59] [30]; d* *'apres loc cit. B est une categorie de Reedy (la structure de Reedyetant induite par l* *e foncteur B ! ). Le morphisme d'ensembles simpliciaux B ! Y provient d'un foncteur B ! Y , et en plus ce foncteur envoie les morphismes de * *D B sur les identites de Y . D'apres le Lemme 16.1, ceci induit uneequivalence de 1* *-categories simpliciales ou de Segal ~= L(B; D) ~=1SeL(B; D) ! Y: Considerons le diagramme suivant: R R0 Sect(Y; Y M) ! Sect(Y; Y L(M)) #R R# Sect(B; B '*M) ! Sect(B; B0'*L(M)): A partir du resultat 18.2, on obtient que le morphisme du bas est essentielleme* *nt surjectif. D'autre part, l'equivalence entre Y et L(B; D) implique que le morphisme verti* *cal de droite est pleinement fidele avec pour image essentielle la classe des sections* * oe : B ! '*L(M)0 telles que oe(g) soit uneequivalence pour tout morphisme g de D (cette * *idee provient de Dwyer-Kan [34]). On appellera cetteRcondition D - eq. Si une sectio* *n oe est D - eq et si oe provient d'une section u : B ! B'*M alors u est aussi D - eq d* *ans le sens que les morphismes de restriction resg(u) sontRdesequivalences faibles pou* *r g 2 D. Il nous suffit de demontrer que si u 2 Sect(B; B '*M) est une section D - eq en* * ce sens, alors u provient (aequivalenceRfaible pour la structure de categorie de modeles* * pres) d'une section v 2 Sect(Y; Y M). Le foncteur Z Z p* : Sect(Y; M) ! Sect(B; p*M) Y B admet un adjointa droite Z Z p* : Sect(B; p*M) ! Sect(Y; M): B Y R * On pretend que si u 2 SectD-eq(B; B p M) est fibrant pour la structure de type * *(II), alors on a l'equivalence p*p*u ~=u. Pour ceci on envisage une demonstration qui* * suivrait 191 les lignes de l'argument du x19 ci-dessous (en particulier c'est pour cela qu'o* *n a besoin de l'hypothese (o) dont l'essentiel est l'existence de limites dans les M(y)). Ce * *resultat serait en quelque sorte une version relative de l'argument du x19. Cependant, pour la * *presente version du papier nous n'avons pas verifie les details de cet argument et c'est* * pour cela que la demonstration de 18.3 comporte une lacune. R En admettant ce fait, on obtient que tout uR2 SectD-eq(B; B p*M) estequivale* *nta une section de la forme p*v pour v 2 Sect(Y; Y M), ce qui termine la demonstrat* *ion d'apres les remarques precedentes. * * 2 Preuve du Theoreme 18.5 Du fait qu'il y a une lacune dans notre esquisse de demonstration de la conj* *ecture 18.3, et que l'idee pour la preuve directe donnee auparavant n'a pas abouti non plus,* * on donne enfin une demonstration complete en combinant ces deux idees. On devait appliqu* *er 18.3 au cas du prefaisceau de Quillen constant M = M__a valeursRM = nSeP C, la categ* *orie de modeles de n-precats de Segal. On note par exemple que YM = Y x M etc. Avec ces notations, on revient au diagramme Sect(Y; Y x M) ! Sect(Y; Y x L(M)0) # # Sect(B; B x M) ! Sect(B; B x L(M)0): Etant donne oe : Y ! L(M)0, on peut appliquer la construction du paragraphe pre* *cedent, pour obtenir une section Goe: Y ! M, essentiellement par Goe(y) = limY=yoe|Y=y.* * Ceci est compatible avec la restrictiona B (via le morphisme : B ! Y ) en ce sens qu'o* *n a un morphisme r : GoeO ! GoeO: Le fait que induise uneequivalence L(B; D) ~=Y implique que pour b 2 B, on a ~= lim oe|Y= (b)! lim(oe O )|B=b; Y= (b) B=b i.e. que le morphisme r est uneequivalence (objet-par-objet au-dessus de B). * *D'autre part, par le theoreme 18.2, oe O estequivalentea une section provenant de u :* * B ! M. Pour les sections strictes, on a le morphisme desire au paragraphe precedent. O* *n a donc uneequivalence Gu ~=u; ce qui donne GoeO ~=GoeO ~=oe O : 192 En posant v := Goe: Y ! M, on a resolu (pour ce cas) le probleme qui a donne * *nais- sancea la lacune dans la demonstration de la conjecture 18.3. On finit la demo* *nstration ~= comme avant: le fait que induise uneequivalence L(B; D) ! Y implique que le* * mor- phisme Sect(Y; Y x L(M)0) ! Sect(B; B x L(M)0) est pleinement fidele (cf [34])* *. Donc, l'equivalence GoeO ~= oe O provient d'uneequivalence GoeO oe. Ceci donne * *enfin une demonstration complete du theoreme 18.5. * * 2 Le theoreme 18.5 donne l'essentielle surjectivite qui manquait pour termine* *r la de- monstration du theoreme 12.1. Remarque-Exercice: Dans la demonstration de 18.5 on aurait pu prendre B = fiposet(Y ), voir 16.2.* * Dans ce cas, B est la categorie sous-jacentea un ensemble partiellement ordonne; de ce* * fait on n'aurait besoin du theoreme 18.2 que pour ce type de categorie qui est une cat* *egorie de Reedy directe. Cela simplifierait beaucoup la demonstration de 18.2, en pa* *rticulier les objets appariants Match serait triviaux et on n'aurait pas besoin de consi* *derer les morphismes de connexion Latch ! Match. On laisse au lecteur l'exercice de redi* *ger une demonstration de 18.5 (incluant la partie de 18.2 dont on aurait besoin) sur l* *a base de cette remarque. Uneequivalence On donne maintenant une amelioration du resultat precedent concernant l'ess* *entielle surjectivite du morphisme 18.1; ce morphisme devient uneequivalence si l'on lo* *calise (a la Dwyer-Kan) la categorie de modelesa la source du morphisme 18.1. On ne donne l* *'enonce que pour le cas des categories de Reedy; on pense qu'il reste vrai pour une ca* *tegorie de base quelconque, sous des hypotheses du type (o) du x19. Theoreme 18.6 Soit Y une categorie de Reedy, et soit M un prefaisceau de Q* *uillen a gauche sur Y . Supposons que chaque M(y) admet des "factorisationsRfonctorie* *lles" pour la structure de Quillen. Supposons la m^eme chose pour Sect(Z; Z M|Z) pou* *r toute categorie de Reedy Z avec foncteur vers Y (ce foncteur ne respectant pas forc* *ement la structure de Reedy). Alors le morphisme Z Z0 L(Sect(Y; M)) ! Sect(Y; L(M)) Y Y est uneequivalence. Corollaire 18.7 Soit Y une categorie de Reedy et soit M un prefaisceau de Qu* *illena gauche sur Y . Alors on a uneequivalence Z limL(M) ~=L(Secteq(Y; M)): ;Y o Y 193 R Preuve: DansRl'equivalence du theoreme, une section oe 2 Sect(Y; Y M) va sur un* *e eq- section de 0L(M) si et seulement si les morphismes de transition resfoe(y) ! o* *e(z) (pour f :Ry ! z dans Y ) sont desequivalences faibles; i.e. si et seulement si oe est* * une eq-section de YM. On a donc (voir 8.2) uneequivalence: Z ~ Z0 L(Secteq(Y; M)) =! Secteq(Y; L(M)): Y Y D'autre part, on a par la proposition 16.6 que pour le remplacement fibrant L(M* *)0 de L(M), Z 0 (Y; L(M)0) ! Secteq(Y; L(M)0) Y est uneequivalence; le morphisme Z0 Z0 Secteq(Y; L(M)) ! Secteq(Y; L(M)0) Y Y est uneequivalence; et d'apres la proposition 14.2, lim L(M) ~=(Y; L(M)0): ;Y o D'ou l'enonce. * * 2 Avant de faire la demonstration du theoreme 18.6 en general, nous allons en * *traiter quelques cas particuliers. On isole ces lemmes car ils montrent bien, par des e* *xemples, ce qui se passe dans 18.6. Pour ces lemmes, on utilisera la technique des "homotopy function complexes"* * de- veloppee dans Hirschhorn [59], Dwyer-Hirschhorn-Kan [30] et qui a ses origines * *dans le travail sur la localisation [33] ainsi que dans les travaux de Reedy [86]. On * *rappelle brievement de quoi il s'agit. Ce rappel chevauche partiellement celui du x8. Ici M est une categorie de modeles fermee, et on veut calculer les types d'h* *omotopie des ensembles simplicaux Hom dans la localisee de Dwyer-Kan L(M), i.e. pour x; * *y 2 M on veut calculer L(M)1=(x; y). Pour ceci, on introduit (dans les references ci* *-dessus) la notion de resolution simpliciale fibrante y ! y. Ici y est un objet simplicial * *de M, i.e. un o * * objet y 2 M , avec morphisme c y ! y ou c y est l'objet simplicial constanta * *valeurs y. On demande que pour p 2 , y ! y(p) soit uneequivalence faible; et que y soit fibrant pour la structure de categorie de modeles fermee de Reedy (i.e. ce qu'o* *n appelle o ici "de type (III)") sur M . Dans ce cas, l'ensemble simplicial M1=(x; y) := p 7! M1=(x; y(p)) 194 est un ensemble simplicial qui est naturellementequivalenta L(M)1=(x; y) [33]. * * 23 La notation M1=(a; b) := HomM (a; b) designe l'ensemble des morphismes pour la cat* *egorie M. On note maintenant que l'ensemble simplicial M1=(x; y) est fibrant i.e. de K* *an. En effet, la condition d'extension de Kan pour M1=(x; y) devient une condition de * *relevement pour des morphismes de x vers une fleche de la forme y(p) ! w ou w est un produ* *it fibre (recursif) de composants de y (ce produit fibre depend de quelle condition d'ex* *tension i.e. quelle "corne" on regarde; nous laissons au lecteur d'ecrire precisement l'expr* *ession pour le produit fibre en question). La condition que y est fibrante pour la structur* *e de Reedy implique que ces morphismes y(p) ! w sont fibrants; et la condition que tous le* *s y(p) sontequivalentsa y implique (au vu de la forme du produit fibre qui corresponda* * une "corne") que y(p) ! w est uneequivalence faible. Donc (puisque x est cofibrant)* * tout morphisme de x dans w se releve en un morphisme x ! y(p), ce qui donne la condi* *tion d'extension de Kan. Le m^eme argument montre qu'une cofibration x ! x0induit une fibration de Kan M1=(x0; y) ! M1=(x; y): Le premier lemme concerne le produit direct: c'est le cas du theoreme 18.6 * *ou la categorie de base Y est discrete,egalea un ensemble. Malgre les apparences, ce * *cas n'est pas totalementevidenta cause du fait qu'un produit infini d'ensembles simplicia* *ux peut ne pas avoir le bon type d'homotopie, si les facteurs ne sont pas fibrants (de * *Kan). Ce fait aete remarque notamment par Jardine dans [64] (qui donne un contre-exemple* *). Lemma 18.8 Soit {Mi} une collectionQde categories de modeles fermees (indexe* *e par un ensemble). On munit le produit iMi de la structure de categorie de modeles* * fermee produit: les fibrations, cofibrations etequivalences faibles sont les morphisme* *s qui le sont par rapporta chaque variable. Soient L(Mi)0 des remplacements fibrants (en tan* *t que categories de Segal) des localisees L(Mi) de Dwyer-Kan. Alors le morphisme natu* *rel Y Y L( Mi) ! L(Mi)0 i i Q (induit par sa restrictiona iMi) est uneequivalence. ________________________________ 23Techniquement le morphime naturel ici est un morphisme M1=(x; y) ! LH (M) dans la localisee par hamacs voir [33] 4.4 et 7.2. On note que l'argument de [3* *3] 7.2, qu'ils donnent pour le cas d'une paire de resolutions x y (cosimpliciale et simpliciale respectivem* *ent), marcheegalement pour fournir le morphisme qu'on cherche ici dans le cas d'une seule resolution. Dans* * ce qui suit on utilisera la notation L(M) mais pour ^etre techniquement correct (i.e. pour avoir les mo* *rphismes qu'on dit) il faudrait lire LH (M). 195 Preuve: On note d'abord que l'ensemble des objets est le m^eme des deux cotes; * *il s'agit donc de prouver que le morphismeQest (homotopiquement) pleinement fidele. Soien* *t (yi) et (zi) deux objets du produit iMi. On choisit pour chaque i une resolution s* *impliciale fibrante zi! zi. On obtient ainsi une resolution simpliciale fibrante (zi) ! (zi) pour le produit. On a donc Y Y Y i j L( Mi)1=((yi); (zi)) ~=( Mi)1=((yi); (zi)) = (Mi)1=(yi; zi): i i i D'autre part, pour chaque i le morphisme L(Mi)1=(yi; zi) ! L(Mi)01=(yi; zi) est uneequivalence d'ensembles simpliciaux avec le deuxieme terme fibrant. On a* * pour chaque i L(Mi)1=(yi; zi) ~=(Mi)1=(yi; zi); et comme on l'a remarque ci-dessus, les (Mi)1=(yi; zi) sont fibrants. Le produ* *it direct d'ensembles simpliciaux fibrants conserve lesequivalences d'homotopie [64], don* *c on a Y i jY i j L(Mi)01=(yi; zi)~= (Mi)1=(yi; zi): i i Notons qu'on a Y i j Y L(Mi)01=(yi; zi)= ( L(Mi)0)1=(yi; zi); i i on obtient l'equivalence Y Y ( L(Mi)0)1=(yi; zi) ~=L( Mi)1=((yi); (zi)): i i Cetteequivalence est homotope au morphisme Y Y L( Mi)1=((yi); (zi)) ! ( L(Mi)0)1=(yi; zi) i i du lemme, qui est (par definition) celui induit par le morphisme Y Y ( Mi)1=((yi); (zi) ! ( L(Mi)0)1=(yi; zi); i i qui envoie lesequivalences faibles sur desequivalences. * * 2 196 Lemma 18.9 Soit M une categorie de modeles fermee. Soit I la categorie ave* *c objets 0; 1 et un morphisme 0 ! 1, et soit MI la categorie des I-diagrammes dans M (q* *ui admet une structure de cmf de Reedy, par exemple). Soit L(M) un remplacement fibrant* * (en tant que categorie de Segal) pour L(M). Alors le morphisme naturel L(MI) ! Hom__(I; L(M)0) (induit par sa restriction sur MI) est uneequivalence. Il s'agit ici du Hom__i* *nterne pour les 1-precats de Segal. Preuve: Une fleche de L(M)0est une classe d'homotopie de morphismes de M, donc* * tout objet de Hom__(I; L(M)0) estequivalenta un objet provenant de MI. Il s'agit d* *onc de prouver que le morphisme en question est homotopiquement pleinement fidele. So* *ient y et z des I-diagrammes de M, i.e. y = (f : y0 ! y1) avec yi 2 M et z = (g : z0 * *! z1). On suppose que y est cofibrant pour celle des deux structures de Reedy possibl* *es pour laquelle f est une cofibration. Si z est une resolution simpliciale fibrante d* *e z alors on a L(MI)1=(y; z) ~=MI1=(y; z): On peutecrire z = (g : z0 ! z1). D'autre part, Hom__(I; L(M)0)1=(y; z) represente le foncteur d'ensembles simpliciaux K 7! Homy;z(I x (K); L(M)0) ou le terme de droite est le sous-ensemble de morphismes r : I x (K) ! L(M)0 a* *vec r|Ix{0}= y et r|Ix{1}= z. Un morphisme I x (K) ! L(M)0 equivaut (par division du carre en deux triangles_le lecteur est invitea dessin* *er un carre avec d'un cote f : y0 ! y1 et de l'autre g : z0 ! z1 et avec des flechesetique* *tees K entre y0 et z0 et y1 et z1; divise en deux triangles par une flecheetiquetee K de y0* * vers z1)a deux morphismes 2(*; K) ! L(M)0 et 2(K; *) ! L(M)0 avec la m^eme restrictiona l'(K) diagonal. Les morphismes de restriction des e* *nsembles simpliciaux de ces diagrammes, sur l'ensemble simplicial des diagrammes pour l* *a diagonale 197 (K), sont des fibrations. On obtient une formule avec produit fibre homotopiqu* *e, i.e. un carre homotopiquement-cartesien Hom__(I; L(M)0)1=(y; z)! L(M)1=(y0; z0) # # L(M)1=(y1; z1) ! L(M)1=(y0; z1): Il y a deux structures de Reedy possibles sur MI (on peut choisir deg(0) > deg* *(1) ou l'inverse); on prendra la structure (deg(0) < deg(1)) pour laquelle les objets* * cofibrants sont les cofibrations y0 ! y1 entre yicofibrants. Dans ce cas et pour une resolutio* *n simpliciale fibrante z (dont le composant z1 est en particulier aussi une resolution simpl* *iciale fibrante), le morphisme de composition avec f M1=(y1; z1) ! M1=(y0; z1) est une fibration d'ensembles simpliciaux (cf la discussion avant ces lemmes).* * Il s'ensuit que le carre cartesien d'ensembles simpliciaux MI1=(y; z) ! M1=(y0; z0) # # M1=(y1; z1)! M1=(y0; z1) est aussi homotopiquement-cartesien. Les trois coins du bas et de droite co"in* *cidenta ho- motopie pres avec les trois coins correspondants dans le carre ci-dessus pour * *les localisees. On en deduit l'equivalence MI1=(y; z) ~=Hom__(I; L(M)0)1=(y; z) qui donne l'enonce voulu. * * 2 Demonstration du theoreme 18.6 On note que le morphisme en question est essentiellement surjectif par 18.2. I* *l s'agit donc de prouver qu'il est pleinement fidele. Pour le moment on va supposer que le theoreme est connu pour les categories* * directes ou inverses, i.e. les categories avec fonction "degre" ou toutes les fleches s* *auf l'identite sont strictement monotones pour le degre. Ceci sera justifie ulterieurement (c* *f point (1) ci-dessous). En fait, on fera une premiere passe de notre demonstration pour r* *egler ce cas, ensuite la deuxieme passe que nous decrivons maintenant_la raison pour cette c* *ontorsion etant que pour le cas direct nous avons besoin d'exactement les m^emes argument* *s que pour le cas general, avec m^eme quelques simplifications mais pas suffisamment pour* * justifier, 198 pour nous qui sommes paresseux, de repeter deux fois l'argument; donc, on comme* *nce par la version la plus compliquee (cette manipulation sera mieux expliquee en (* *1)a la fin de la preuve). Nous avons decouvert cette technique qui consistea considerer d'* *abord le cas direct et ensuite le cas de Reedy dans [59] ou Hirschhorn ou prend soin de * *traiter le cas "direct" independamment d'abord. On procedera par recurrence sur la longueur de la fonction degre sur Y . On * *suppose que tous les objets de Y sont de degre k, et que le theoreme est demontre pou* *r les categories de Reedy avec fonction degre de longueur k - 1. On pose Z := F k-1Y* * , en particulier cette hypothese s'appliquea Z. On notera yi les objets de Y de degre k (l'indice i est dans un ensemble d'i* *ndices que nous ne mettons pas dans les notations). Pour chacun de ces objets, on note Yi:= Latch(yi) + {yi} + Match(yi); et Zi:= Yi\Z = Latch(yi)+Match(yi). On note que Yiet Zisont des categories dire* *ctes (ou alors inverses), donc on peut supposer que le theoreme s'y applique. Soit [0; 1; 2] la categorie associeea l'ensemble ordonne 0 < 1 < 2 et [0; 2]* * sa sous- categorie pleine avec objets 0 et 2. Soit M(yi)[0;1;2](resp. M(yi)[0;2]) la categorie de [0; 1; 2]-diagrammes (r* *esp. [0; 2]- diagrammes) dans M(yi). On notera les diagrammes u = (u0 ! u1 ! u2) (ou u = (u0* * ! u2)). On a le carre cartesien suivant de categories: R [0;1;2] Sect(Yi; YiM) ! M(yi) # R # Sect(Zi; ZiM) ! M(yi)[0;2]: Le morphisme du haut envoie une section oe vers le diagramme latch(oe; yi) ! oe(yi) ! match(oe; yi): Le morphisme du bas envoie une section o au-dessus de Z, vers le diagramme latch(o; yi) ! match(o; yi): R On notera Sect(Yi; YiM)c;fla sous-categorie des sections dont la partie dire* *cte (i.e. la restriction de la section sur Latch(yi) + {yi}) est cofibrante, et la partie in* *verseR(i.e. la re- striction de la section sur {yi}+Match(yi)) est fibrante. De meme pour Sect(Zi;* * ZiM)c;f. On notera M(yi)[0;1;2]c;fla categorie des diagrammes u dans lesquels u0 est cof* *ibrant, u0 ! u1 est une cofibration, u2 est fibrant et u1 ! u2 est une fibration. On notera M(* *yi)[0;2]c;fla categorie des diagrammes v avec v0 cofibrant et v2 fibrant. 199 Le carre ci-dessus donne aussi un carre cartesien R [0;1;2] Sect(Yi; YiM)c;f ! M(yi)c;f # # R [0;2] Sect(Zi; ZiM)c;f ! M(yi)c;f: Pour chacune de ces categories on a une notionevidente d'equivalence faible_qu'* *on se dispensera de mettre dans la notation des localisees. L'avantage de ce deuxiem* *e carre est que les morphismes horizontaux respectent lesequivalences faibles (ce qui n* *'est pas le cas pour le premier carre, car les morphismes horizontaux comportent des lim* *ites et colimites). Maintenant on a aussi le carre cartesien de categories R Q R Sect(Y; Y M) ! iSect(Yi; YiM) # R Q # R Sect(Z; Z M) ! iSect(Zi; ZiM): R Si on note Sect(Y; Y M)c;fla sous-categorie des objets cofibrants et fibrants p* *our la structure de Reedy (avec la notation analogue pour Z) alors on obtient le carre* * cartesien R Q R Sect(Y; Y M)c;f ! iSect(Yi; YiM)c;f #R Q # R Sect(Z; Z M)c;f ! iSect(Zi; ZiM)c;f: Ici encore, les morphismes horizontaux respectent lesequivalences faibles. Il e* *n decoule le carre cartesien R Q Sect(Y; Y M)c;f ! iM(yi)[0;1;2]c;f # # R Q [0;2] Sect(Z; Z M)c;f ! iM(yi)c;f: Soit N l'une des categories de modeles dans le carre cartesien precedent (so* *it l'un des facteurs d'un produit, soit le produit), et soit Nc;fsa sous-categorie defi* *nie ci-dessus. Sous l'hypothese des factorisations fonctorielles, il existe un foncteur i : N * *! Nc;fet une ~= transformation naturelle tu : i(u) ! u. Ce foncteur respecte lesequivalences f* *aibles et les tu sont desequivalences faibles.REn particulier, iletablit uneequivalence L(Nc;* *f) ~=L(N). Soient oe; o 2 Sect(Y; Y M)c;f, et notons oe|Z, o|Z, oei012, oi012, et oei02* *, oi02leurs images R [0;1;2] [0;2] respectivement dans Sect(Z; Z M|Z)c;f, M(yi)c;f , et M(yi)c;f. On pretend que l* *e carre (*) R Q [0;1;2] i i L(Sect(Y; Y M)c;f)1=(oe; o) ! iL(M(yi)c;f )1=(oe012; o012) # # R Q [0;2] i i L(Sect(Z; Z M|Z)c;f)1=(oe|Z; o|Z)! iL(M(yi)c;f)1=(oe02; o02) 200 est homotopiquement-cartesien. Supposons qu'on a montre que (*) est homotopiquement-cartesien, et terminon* *s la demonstration du theoreme. On a un carre homotopiquement-cartesien R Q [0;1;2]i i Sect(Y; Y L(M))1=(oe; o) ! iL(M(yi))1= (oe012; o012) # # R Q [0;2] i i Sect(Z; Z L(M)|Z)1=(oe|Z; o|Z)! iL(M(yi))1= (oe02; o02); ou pour les produits directs on prend d'abord des remplacements de Kan des ens* *embles simpliciaux (i.e. on prend les produits directs homotopiques). Pour justifie* *r ceci, on fait une version "homotopique" pour les L(M) de la discussion des diagrammes s* *ur les categories de Reedy, en utilisant la notion d'adjoint homotopique du x8. Voir * *aussi dans la demonstration du theoreme 18.2. Nous ne donnons pas plus de details sur ce * *point. Le morphisme du carre (*) dans celui-ci induit uneequivalence sur les trois* * termes en bas eta droite. En effet, pour Z on suppose connu le theoreme par recurren* *ce, et a droite il s'agit de diagrammes indexes par des categories directes [0; 1; 2] * *et [0; 2]_que nous supposons deja traitees. Par le lemme 18.8, les produits directs dans le* * carre (*) sont des produits directs homotopiques. Le fait que les deux carres soient homotopiquement-cartesiens implique alor* *s que le morphisme Z Z L(Sect(Y; M)c;f)1=(oe; o) ! Sect(Y; L(M))1=(oe; o) Y Y est uneequivalence, ce qui demontre l'etape de recurrence. Pour finir la demonstration, nous devons: (1) justifier l'hypothese que le* * theoreme est connu pour les categories directes (de longueur finie, c'est ce qu'on util* *ise dans la demonstration ci-dessus); (2) montrer que le carre (*) ci-dessus est homotopiq* *uement- cartesien; et (3) justifier le passagea la limite sur le k des F kY pour une * *categorie de Reedy Y avec fonction degre non-bornee. Pour (1), supposons maintenant qu'on veut demontrer le theoreme pour une ca* *tegorie directe Y (de longueur finie). On procede de la m^eme facon par recurrence sur* * la longueur de Y , et on recopie lesetapes de la demonstration ci-dessus. Le seul changeme* *nt est que les categories Match(yi) sont vides et donc les termes match(oe; yi) n'apparai* *ssent pas. En particulier, on peut remplacer la categorie des diagrammes M(yi)[0;1;2]de l* *ongueur 3, par une categorie de diagrammes M(yi)[0;1]de longueur 2; et la categorie des d* *iagrammes M(yi)[0;1]devient juste M(yi). Ceci veut dire qu'a la fin on est ramenea consi* *derer le cas de M(yi)[0;1], autrement dit le cas des diagrammes indexes par Y = I = [0; 1]a* * valeurs dans une categorie de modeles fermee fixe M = M(yi). Ce cas aete traite par le* * lemme 18.9. Pour (2), on va encore utiliser la methode des resolutions. D'abord, on peu* *t supposer que oe est fibrant et cofibrant, ainsi que o. On choisit une resolution simpli* *ciale o ! t et 201 on peut supposer que t est fibrant et cofibrant en tant qu'objet simplicial i.e. Z o t 2 Sect(Y; M) : Y Notons ici qu'il s'agit d'iterer deux fois l'operation qui consisteaR"prendre l* *a structure de Reedy": d'abord on a pris la structure de Reedy sur Sect(Y; Y M) et ensuite* *, par rapporta cette structure, on a pris la structure de Reedy sur les diagrammes si* *mpliciaux la-dedans. R En particulier, pour tout p 2 , t(p) 2 Sect(Y; Y M) esta la fois fibrant et * *cofibrant, donc on a Z o t 2 [Sect(Y; M)c;f] : Y Les images t|Z, ti012, et ti02, qui sont des objets simpliciaux dans les autres* * cmf N appa- raissant ci-dessus, sont en fait des objets simpliciaux des Nc;f. Il faut fixer une structure de cmf sur M(yi)[0;1;2]et sur M(yi)[0;2]. Pour c* *ela, on utilisera une structure de Reedy sur [0; 1; 2] pour laquelle l'objet 1 est de degre maxim* *al; donc la fleche 01 est directe, et 12 est inverse. Maintenant il y a un choixa faire qu* *anta la fleche 02: nous allons choisir de dire que c'est une fleche directe, ce qui cor* *responda dire deg(0) < deg(2) (il faut faire "pencher" la fonction degre d'un cote ou de l'au* *tre). La structure correspondante sur M(yi)[0;2]consistea dire encore que la fleche 02 e* *st directe. Avec ce choix, un objet de M(yi)[0;2]est fibrant si et seulement si ses composa* *ntes sont fibrantes, tandis qu'un objet est cofibrant si et seulement si ses composantes * *sont fibrantes et la fleche 02 est une cofibration. Un objet de M(yi)[0;1;2]est fibrant si et * *seulement si ses composantes ainsi que la fleche 12 le sont; et un objet est cofibrant si et* * seulement si ses composantes ainsi que les fleches 01 et 02 le sont. On a toujours que oi012et ti012sont des objets fibrants (de m^eme pour oi02e* *t ti02). Par contre, oei012et oei02ne sont plus cofibrantes car on ne peut pas garantir * *que la fleche oei0! oei2soit une cofibration. Pour arranger cela on choisit un remplacement * *cofibrant "oei012! oei012de la maniere suivante: on choisit un diagramme oei1! "oei2 " % # oei0! oei2 avec une fibration trivialea droite, et une cofibration en diabonale. Le morph* *isme de gauche reste une cofibration et on ne dit rien du morphisme du haut. Le compose* * oei1! oei2 devrait ^etre celui qu'on a deja. On pose "oei012:= [oei0! oei1! "oei2]: 202 Le carre d'ensembles simpliciaux M(yi)[0;1;2](oei012;!ti012)M(yi)[0;1;2]("oei012; ti012) # # M(yi)[0;2]1=(oei02;!ti02)M(yi)[0;2]1=("oei02; ti02) est cartesien. De m^eme le carre R Q [0;1;2]i i Sect(Y; Y M)1=(oe; t) ! iM(y) (oe012; t012) # # R Q [0;2] i i Sect(Z; Z M|Z)1=(oe|Z; t|Z)! iM(y)1= (oe02; t02) est cartesien et en composant avec le produit sur i des carres precedents on ob* *tient le carre cartesien (**) d'ensembles simpliciaux R Q [0;1;2] i i Sect(Y; Y M)1=(oe; t) ! iM(yi) ("oe012; t012) # # R Q [0;2] i i Sect(Z; Z M|Z)1=(oe|Z; t|Z)! iM(yi)1= ("oe02; t02): Ce carre estequivalent au carre (*) (pour trouver le morphisme entre carres, no* *tons de facon generale que si (C; W ) est une categorie avec sous-categorie "d'equivale* *nces" et si x; y en sont des objets, avec un objet simplicial augmente y ! y tel que pour t* *out p le morphisme y ! y(p) soit dans W , alors on obtient un morphisme naturel d'ensemb* *les simpliciaux C1=(x; y) ! LH (C; W )1=(x; y) ou LH est la localisation par hamacs* * [32] [33]; on applique ceci aux categories C = Nc;fqui apparaissent dans (*)). Donc pour (2) il suffit de voir que (**) est homotopiquement-cartesien, donc* * il suffit de voir que pour tout i le morphisme M(yi)[0;1;2]("oei012; ti012) ! M(yi)[0;2]1=("oei02; ti02) est une fibration de Kan. Pour ceci on va simplifier la notation: on prend une cfm M et deux diagramm* *es x; y 2 M[0;1;2]plus une resolution simpliciale fibrante y ! y. Pour ceci on mun* *it (comme avant) M[0;1;2]d'une structure de cmf telle que les objets fibrants soient les * *diagrammes d'objets fibrants avec le deuxieme morphisme 12 fibrant, et les objets cofibran* *ts sont les diagrammes d'objets cofibrants avec les morphismes 01 et 02 cofibrants. Pareil* *lement on munit M[0;2]de la structure pour laquelle les objets cofibrants sont les dia* *grammes d'objets cofibrants avec une cofibration en 02. Notons i le morphisme [0; 2] ,! [0; 1; 2]; on a le foncteur i* : M[0;1;2]! M[0;2] 203 et son adjointa gauche i!. Cet adjoint a la description concrete suivante. Si u* * = (u0 ! u2) 2 M[0;2]alors i!(u) = [u0 =!u0 ! u2] 2 M[0;1;2]: Si x est un objet cofibrant de M[0;1;2]alors le morphisme d'adjonction i!i*x ! * *x est [x0 =!x0 ! x2] ! [x0 ! x1 ! x2] qui est une cofibration. On a M[0;2]1=(i*x; i*y) = M[0;1;2]1=(i!i*x; y): Le morphisme en question est donc le morphisme induit par i!i*x ! x, M[0;1;2]1=(x; y) ! M[0;1;2]1=(i!i*x; y): Si x est cofibrant alors la cofibration i!i*x ! x induit ici une fibration de K* *an d'ensembles simpliciaux, ce qui montre que (**) est homotopiquement-cartesien, d'ou la m^em* *e chose pour (*) ce qui donne (2). Au passage, l'argument ci-dessus montre que si oe et o (resp. t) sont des s* *ections cofibrantes et fibrantes (resp. est une resolution simpliciale fibrante et cofi* *brante) alors le morphisme Z Z Sect(Y; M)1=(oe; t) ! Sect(Z; M|Z)1=(oe; t) Y Z est une fibration de Kan. Pour (3) on fixe maintenant une categorie de Reedy Y avec fonction degre no* *n- necessairement bornee. On fixe un remplacement fibrant Z 0 L(M) ! Y Y ce qui determine des remplacements fibrants par restriction Z0 L(M)|FkY ! F kY: FkY R0 Dans ces conditions, Sect(Y; Y L(M)) est la limite de la suite Z0 Z0 : :!:Sect(F kY; L(M)|FkY) ! Sect(F k-1Y; L(M)|Fk-1Y) ! : :;: FkY Fk-1Y et les morphismes de transition dans cette suite sont des fibrationsRde 1-categ* *ories de Segal. D'autre part, fixons des sections oe et o dans Sect(Y; Y M), avec oe cof* *ibrante, et fixons une resolution simpliciale fibrante o ! t. On a que Z Sect(Y; M)1=(oe; t) Y 204 est la limite de la suite d'ensembles simpliciaux Z : :!:Sect(F kY; M|FkY)1=(oe|FkY; t|FkY) ! : ::: FkY Par l'argument donne pour (2), les morphismes de transition de cette suite sont* * des fibrations de Kan. Cette suite est, termea termeequivalente (par le m^eme argum* *ent)a la suite Z0 : :!:Sect(F kY; L(M)|FkY)1=(oe|FkY; o|FkY) ! : :;: FkY et cesequivalences etant fonctorielles on obtient uneequivalence de diagrammes * *entre les deux suites (en fait, pour bien avoir un morphisme ici il conviendrait d'ut* *iliser la localisation par hamacs LH au lieu de L). Le fait que les morphismes de transit* *ion dans les deux cas soient des fibrations de Kan implique que le morphisme sur les lim* *ites est uneequivalence Z ~ Z0 Sect(Y; M)1=(oe; t) =! Sect(Y; L(M))1=(oe; o): Y Y Or Z Z Sect(Y; M)1=(oe; t) ~=L(Sect(Y; M))1=(oe; o) Y Y d'ou la partie (3). Ceci termine la demonstration du theoreme 18.6. * * 2 205 19. La descente pour les prefaisceaux de Quillena gauche On va prouver un theoreme de descente pour un prefaisceau de Quillena gauch* *e, qui donnera des conditions pour que L(M) soit un champ. Nous avons trouve cete demonstrationa partir du cas des complexes. Le probleme principal pour ce resu* *ltat est qu'on doit partir d'une section faible de L(M) qui peut ^etre, a priori, assez* * "sauvage". Dans les chapitres precedents nous avons trouve une serie de resultats qui per* *mettentRde "domestiquer" uneRtelle section, i.e. de se ramener au cas d'une section de * *M au lieu d'une section de 0L(M). R Le travail maintenant consistea demontrer qu'une section de M descend sur * *l'objet de base. Cette derniere partie est en realite deja bien connue, par exemple on* * sait prendre le complexe simple associea un complexe cosimplicial, voir Deligne [26]. On co* *njecture que c'est ce probleme qui aete aborde dans les "papiers secrets" de Deligne au* *xquels Illusie fait reference dans [62]. C'est aussi le sujet de l'expose de B. Saint-Donat s* *ur la descente cohomologique dans SGA 4 ([3]).RLa methode dans tous les cas est de commencer * *avec une section oe dans Secteq(; M) (dans SGA 4 cet ensemble de sections s'appelle c* *ocart( )) et de la "descendre" via l'augmentation, en appliquant le foncteur "image dire* *cte" que nous noterons '*. Le probleme est de verifier que cela repond bien au problem* *e de descente, i.e. que '*('*oe) estequivalentea oe. Voir la fin de ce chapitre pour une comparaison plus detaillee entre notre * *discussion et celle de SGA 4. Au debut de ce numero on vaetudier un prefaisceau de Quillena gauche M sur * *(+)o. Si p ! q est un morphisme de + alors le foncteur de restriction (i.e. le fonct* *eur de Quillen a gauche) va dans le sens M(p) ! M(q). Ici + est la categorie augmentee par un objet initial qu'on notera . Sauf en cas de confusion possible, onevitera la n* *otation M|o et on designera aussi cette restriction par M. On fera l'hypothese (o) suivante: (o)0 Que chaque M(y) admet des limites et colimites petites arbitraires, et fa* *ctorisations fonctorielles; (o)00 que tout objetRde M(y) est cofibrant;Ret (o)000que Sect(+; + M) et Sect(; M) admettent des structures de cmf de type (II) (du Theoreme 17.1) engendrees par cofibrations. L'hypothese (o)00que tout objet est cofibrant est la par pure commodite ete* *videmment inessentielle. La structure de type (II) de l'hypothese (o)000pourrait probab* *lement ^etre remplacee, dans notre argument, par une structure de Reedy. Par contre, l'hypo* *these (o)0 (qui par ailleurs est devenue standard cf [59] [30] [60]) et en particulier la* * fermeture de M() par petites limites_par exemple, par limites indexees par _est essentielle* * et le theoreme 19.4 ci-dessous ne serait probablement plus vrai sans cette condition. 206 R * *00 On munit Sect(; M) de sa structure de cmf de type (II) de l'hypothese (o)* * . Le foncteur "section constant" Z '* : M() ! Sect(; M) est alors un foncteur de Quillena gauche, et son adjointa droite qu'on notera * *'* (qui existe d'apres l'hypothese (o)0) est un foncteur de Quillena droite. On peut decomposer '* de la maniere suivante. L'adjoint des restrictions fo* *urnit un morphisme Z r : Sect(; M) ! M() : En composant ensuite avec le foncteur lim : M() ! M() on obtient Z '* : Sect(; M) ! M(); '*(oe) := limroe: On note qu'un objet fibrant pour la structure de type (II) est aussi fibran* *t pour la structure de Reedy (qui existe automatiquement sur les sections). En outre r * *trans- forme les objets fibrants en objets fibrants (c'est un foncteurRde Quillena dr* *oite car compose d'adjoints de restrictions). Donc, pour oe 2 Sect(; M)f, '*(oe) este* *quivalent a holim roe. On veut montrer que '* induit uneequivalence Z L('*) : L(M()) ~=L(Secteq(; M)): On commence par l'observation suivante. On garde pour ce lemme l'hypothese de * *com- modite que tous les objets sont cofibrants, mais elle n'est certainement pas e* *ssentielle. Lemme 19.1 Soient N et M des categories de modeles fermees et '* : N ! M, '* ** : M ! N une paire de foncteurs adjoints, ou '* est un foncteur de Quillena gauc* *he et '* un foncteur de Quillena droite. Supposons que tous les objets de M et de* * N sont cofibrants. Supposons que pour tout objet x 2 M, le morphisme d'adjonction x !* * '*('*x)0 est uneequivalence (ou ('*x)0est le remplacement fibrant de '*x). Alors le foncteur L('*) : L(M) ! L(N) est pleinement fidele, avec image essentielle constitue des objets fibrants y * *2 N tels que '*('*y) ! y soit uneequivalence, et avec L('*) pour inverse sur cette image. 207 Preuve: Soit N0 Nf la sous-categorie des objets fibrants y tels que '*('*y) !* * y soit une equivalence. On note que N0 est stable parequivalence dans Nf (i.e. si z 2 Nf e* *t y 2 N0 avec z ~=y alors z 2 N0). Par le principe 8.2, (N0; WNf \ N0) admet un calcul * *de fractions homotopique, et la localisee L(N0; WNf \ N0) est une sous-categorie simplicial* *e pleine de L(Nf; WNf) ~=L(N; WN ). Par [32] Corollary 3.6, les foncteurs '* et '*etabliss* *ent une equivalence entre L(M; WM ) et L(N0; WN \ N0). * * 2 Retournonsa la situation precedente. On vaRappliquer le lemmea la paire de * *foncteurs '*; '* definis precedemment. Si oe 2 Sect(; M) estequivalentea '*(x) pour xR* *2 M() alors les morphismes oer(f) sont desequivalences, i.e. oe est dans Secteq(; * *M). On va conserver l'hypothese (o) ci-dessus. En plus, on va supposer qu'on a * *les deux proprietes suivantes: (i) un morphisme a de M() est uneequivalence si et seulement si '*(a) est une* *equiva- lence; et R (ii) pour tout oe 2 Secteq(; M)f, le morphisme d'adjonction '*'*(oe) ! oe e* *st une equivalence. On peut remarquer que la propriete (i) estequivalentea la condition: (i)' un morphisme a de M() est uneequivalence si et seulement si sa restricti* *ona M(0) en est une. Alors pour x 2 M() la propriete (ii) s'appliquea '*(x)0(le remplacement fib* *rant de '*(x)), donc le morphisme '*'*('*(x)0) ! '*(x)0est uneequivalence. Le compose '*(x) ! '*'*('*(x)0) ! '*(x)0 estegala l'equivalence faible '*(x) ! '*(x)0 du remplacement fibrant. Le prem* *ier morphisme est donc uneequivalence faible, mais ce morphisme est '*(a) ou a est* * le morphisme d'adjonction a : x ! '*'*(x). L'hypothese du lemme est donc verifie* *e; il s'ensuit que L('*) est pleinement fidele. D'autreRpart, la condition (ii) ci-d* *essus identif