LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL DENIS-CHARLES CISINSKI R'esum'e.Dans Pursuing stacks [8], Grothendieck d'egage la notion de loca* *lisa- teur fondamental : ce sont des classes d''equivalences faibles de la cat'* *egorie Cat des petites cat'egories ayant de bonnes propri'et'es de descente. Par exe* *mple les 'equivalences faibles usuelles de Cat(induites par le foncteur nerf) form* *ent un localisateur fondamental, et `a toute th'eorie cohomologique sur Cat(en u* *n sens ad'equat) est canoniquement associ'e un localisateur fondamental. On d'em* *ontre que les 'equivalences faibles usuelles de Catforment le plus petit locali* *sateur fondamental, comme cela a 'et'e conjectur'e par Grothendieck. Table des mati`eres Introduction 1 1. L'axiomatique de Grothendieck 3 1.1. Localisateurs fondamentaux 3 1.2. Int'egration des cat'egories 6 1.3. Pr'efaisceaux int'egr'es 9 2. Caract'erisations de la classe des 1-'equivalences 12 2.1. Le localisateur fondamental W1 12 2.2. Crit`ere de minimalit'e 18 2.3. Crit`ere local 21 R'ef'erences 23 Introduction Cet article forme le deuxi`eme volet d'une s'erie de trois. Dans le premier [* *3] (logiquement ind'ependant de celui-ci), la notion de d'erivateur a 'et'e introd* *uite, et il a 'et'e d'emontr'e que toute cat'egorie de mod`eles au sens de Quillen d'* *efinit un tel objet. Les pr'esentes notes sont elles consacr'ees `a diff'erentes caract'e* *risations alg'ebrico-combinatoires de la th'eorie de l'homotopie des petites cat'egories.* * Le dernier [4] utilise ces descriptions pour caract'eriser la th'eorie de l'homoto* *pie des CW -complexes par une propri'et'e universelle (en termes de d'erivateurs), ce q* *ui permet de r'epondre `a quelques questions pos'ees par Hovey dans [10]. Le fait que la cat'egorie Catdes petites cat'egories mod`ele tous les types d* *'homo- topie est bien connu depuis plusieurs d'ecennies (cf. [11, 15]). Un des int'er^* *ets de ce mod`ele se retrouve dans le formalisme de descente tel qu'il est 'enonc'e da* *ns les th'eor`emes A et B de Quillen [14], directement li'e `a l'intuition que nous fo* *urnit ___________ Date: 13 septembre 2002. 1 2 DENIS-CHARLES CISINSKI la cohomologie des (pr'e)faisceaux. Dans Pursuing stacks [8], ce sont ces pro- pri'et'es formelles qui retiennent l'attention de Grothendieck, lorsqu'il cherc* *he `a d'egager des conditions suffisantes pour qu'une cat'egorie mod`ele les types d'* *homo- topie. Il en a d'egag'e la notion de localisateur fondamental par un petit ense* *mble simple d'axiomes : ce sont des parties W FlCat telles que la cat'egorie local* *is'ee W-1Cat se comporte formellement comme la cat'egorie homotopique classique Hot des CW -complexes `a homotopie pr`es. Toute th'eorie cohomologique d'efinie sur la cat'egorie des petites cat'egories donne lieu un localisateur fondamenta* *l (par exemple la cohomologie `a coefficients en A-modules pour un anneau A, ou bien `a coefficients localement constants, `a coefficients localement constants prof* *inis, etc). En particulier, les 'equivalences faibles usuelles de Cat (i.e. les fonct* *eurs induisant une 'equivalence d'homotopie entre les espaces classifiants correspon- dants) forment un localisateur fondamental, not'e ici W1 . La cat'egorie locali* *s'ee W-11Catest donc dans ce cas 'equivalente `a celle des CW -complexes `a homotopie pr`es. Le but principal de cet article est de prouver l''enonc'e ci-dessous (2.* *2.11). Conjecture (Grothendieck). Le localisateur fondamental W1 est le localisateur fondamental minimal. Autrement dit, W1 est un localisateur fondamental, et tout localisateur fondamental contient W1 . Outre une description alg'ebrico-combinatoire 'el'ementaire de la th'eorie d* *e l'ho- motopie classique, ce r'esultat est une interpr'etation consistante de l'intuit* *ion suivante : tout objet de Hot est localement asph'erique dans le sens o`u il est* * une colimite homotopique d'un diagramme form'e d'espaces ayant le type d'homoto- pie du point, et la th'eorie homotopique des CW -complexes est universelle pour cette propri'et'e (ce qui est `a rapprocher de "l'hypoth`ese inspiratrice", laq* *uelle affirme que la sous-cat'egorie pleine des endofoncteurs de Hot form'ee des auto- 'equivalences est 'equivalente `a la cat'egorie finale [8, 28, p. 30]). Le pap* *ier [4] se place dans un cadre permettant de donner un sens pr'ecis `a cette affirmation, * *puis de la d'emontrer, illustrant de la sorte la force de cette conjecture. D'un poi* *nt de vue plus technique, cela signifie aussi que (modulo des questions ensemblistes) pour tout localisateur fondamental W, la cat'egorie localis'ee W-1Cat est une l* *o- calisation de Bousfield `a gauche de Hot (par exemple au sens de [9]). Voici un plan grossier de ce texte. Ces notes s'ouvrent sur les propri'et'es* * formel- les r'esultant des axiomes de Grothendieck, en vue de la d'emonstration de la conjecture, les m'ethodes invoqu'ees 'etant directement tir'ees de [8]. Une aut* *re partie des ingr'edients de d'emonstration comporte des outils simpliciaux clas- siques, rappel'es au paragraphe 2.1 (o`u on d'emontre au passage que W1 est bi* *en un localisateur fondamental (2.1.13)). Nous avons par ailleurs d'egag'e une aut* *re caract'erisation de W1 , non pas en termes de minimalit'e, mais en tant que loc* *a- lisateur fondamental satisfaisant `a l''enonc'e du th'eor`eme B de Quillen (2.3* *.6). Le pr'esent travail a 'et'e expos'e au printemps 2001, dans le cadre du grou* *pe de travail Alg`ebre et topologie homotopiques, `a l'Institut de Math'ematiques de * *Jus- sieu. Je me dois enfin de remercier Georges Maltsiniotis, pour ses encouragemen* *ts, et pour m'avoir initi'e au öy ga de la Poursuite". LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 3 1. L'axiomatique de Grothendieck 1.1. Localisateurs fondamentaux. La th'eorie des localisateurs fondamentaux telle qu'elle est expos'ee ici est enti`erement due `a Grothendieck [8]. Un exp* *os'e plus complet en est donn'e dans [12]. 1.1.1. Soient M une cat'egorie et W FlM un ensemble de fl`eches de M. On appellera W-'equivalences, ou bien, si cela n'est pas ambigu, 'equivalence faib* *les, les 'el'ements de W. On dit que W est faiblement satur'ee si les axiomes suivants sont v'erifi'es. FS1 Les identit'es sont dans W. FS2 Si deux des trois fl`eches d'un triangle commutatif sont des 'equivalenc* *es faibles, il en est de m^eme de la troisi`eme. FS3 Si i : X -! Y et r : Y - ! X sont deux fl`eches de M telles que ri = 1X et ir 2 W, alors r est une 'equivalence faible. 1.1.2. On d'esigne par Cat la cat'egorie des petites cat'egories, et on note e * *la cat'egorie finale (i.e. la cat'egorie ayant un unique objet et comme seul morph* *isme l'identit'e). Soit u : A -! B un foncteur entre petites cat'egories. Si b est un objet de B* *, on note A=b la cat'egorie dont les objets sont les couples (a, f), a 'etant un obj* *et de A et f : u(a) -! b un morphisme de B, et dont les fl`eches ff : (a, f) -! (a0* *, f0) sont les morphismes ff : a -! a0 de A satisfaisant l''equation f0u(ff) = f. On d'efinit un foncteur d'oubli 'evident A=b -! A , (a, f) 7- ! a , et un foncteur u=b : A=b -! B=b , (a, f) 7- ! (u(a), f) . On v'erifie enfin aussit^ot que le carr'e commutatif A=b _____//A | u=b|| |u| fflffl| fflffl| B=b _____//B est cart'esien dans Cat. Si ______u_____// A @ B @@@ ~~~~ v @@ØØ@""w~~~ C est un triangle commutatif de Cat, pour tout objet c de C, on obtient ainsi canoniquement un morphisme au-dessus de C=c u=c : A=c -! B=c , (a, f) 7- ! (u(a), f) . Pour une partie W de FlCat fix'ee, on introduit la terminologie suivante. Une petite cat'egorie A est asph'erique si le morphisme canonique A - ! e est une 'equivalence faible. Un foncteur u : A -! B est asph'erique si pour tout objet* * b 4 DENIS-CHARLES CISINSKI de B, la cat'egorie A=b est asph'erique. Un C-morphisme u : A -! B, c'est-`a-di* *re un morphisme de Cat=C de la forme _____u______// A @ B @@@ ~~~~ v@@ØØ@""~w~~ C est asph'erique au-dessus de C si c'est une 'equivalence faible localement au-d* *essus de C, i.e. si pour tout objet c de C, le foncteur u=c : A=c - ! B=c est une 'equivalence faible. D'efinition 1.1.3 (Grothendieck). Un localisateur fondamental est une partie W FlCat satisfaisant les axiomes suivants. LF1 La partie W est faiblement satur'ee. LF2 Toute petite cat'egorie admettant un objet final est asph'erique. LF3 Tout morphisme asph'erique au-dessus d'une petite cat'egorie est une 'eq* *ui- valence faible. Remarque 1.1.4. L'axiome LF3 est une version relative de l''enonc'e de [14, th'* *eor`eme A] : si u : A -! B est un foncteur asph'erique, il est a fortiori asph'erique a* *u- dessus de B, et par cons'equent est une 'equivalence faible. On fixe une fois pour toute (dans cette section) un localisateur fondamental* * W. Proposition 1.1.5. Les 'equivalences faibles sont stables par petites sommes. D'emonstration. Soient I un petit ensemble, et ui : Ai- ! Bi, i 2 I, une famille d''equivalences faibles index'ees par I. On obtient le triangle commutatif cano* *nique suivant dans Cat (I 'etant vu comme une cat'egorie discr`ete). ` ` i 2 Iui ` i 2 IAi___________//_HHi 2BIi v HHH vvvv HHH vvv HH##--vv I ` Les`identifications ( i 2 IAi)=i ' Ai permettent de constater que le foncteur i 2 Iui est asph'erique au-dessus de I, ce qui prouve la proposition. Lemme 1.1.6. Si A est une petite cat'egorie admettant un objet final, alors pour toute petite cat'egorie B, la projection A x B -! B est asph'erique. D'emonstration. Pour tout objet b de B, la cat'egorie B=b admet (b, 1b) comme objet final, et on a un isomorphisme canonique (A x B)=b ' A x B=b. Or on v'erifie aussit^ot que A x B=b admet un objet final et donc est asph'erique. Proposition 1.1.7. Les 'equivalences faibles sont stables par produits finis. D'emonstration. Soient u : A - ! B une 'equivalence faible et C une petite cat'egorie. Pour montrer que le foncteur u x 1C est une 'equivalence faible (ce qui implique l''enonc'e car les 'equivalences faibles sont en particulier stabl* *es par composition), il suffit de montrer que c'est un morphisme asph'erique au-dessus* * de C (via les projections canoniques sur C). Or pour tout objet c de C, le morphis* *me LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 5 (u x 1C )=c s'identifie au foncteur produit u x 1C=c. On a donc le carr'e commu* *tatif suivant. ux1C=c A x C=c ____//_B x C=c | | | | fflffl| fflffl| A _____u____//_B Or la cat'egorie C=c admet (c, 1c) comme objet final, et donc en vertu du lemme ci-dessus, les fl`eches verticales sont des 'equivalences faibles. L'assertion * *r'esulte `a pr'esent directement de l'axiome FS2. 1.1.8. Soient A et B sont deux petites cat'egories, et deux foncteurs u et v de* * A vers B. On dit que u est homotope `a v s'il existe un morphisme de foncteurs de u vers v, ou de mani`ere 'equivalente s'il existe un foncteur h : A x 1 -! B * *( 1 d'esignant la cat'egorie associ'ee `a l'ensemble ordonn'e {0 < 1}) tel que h|Ax* *{0} ' u et h|Ax{1} ' v. En utilisant la proposition ci-dessus et le fait que la cat'ego* *rie 1 admet 1 comme objet final, l''enonc'e suivant devient un exercice facile. Proposition 1.1.9. Tout foncteur homotope `a une 'equivalence faible est une 'equivalence faible. Corollaire 1.1.10. Tout foncteur admettant un adjoint `a gauche ou `a droite est une 'equivalence faible. En particulier, toute 'equivalence de cat'egories * *est une 'equivalence faible. Corollaire 1.1.11. Toute petite cat'egorie admettant un objet initial est asph'* *e- rique. 1.1.12. L''enonc'e 1.1.7 peut ^etre consid'er'e comme un cas particulier d'une * *situa- tion plus g'en'erale faisant intervenir la notion de cat'egorie (co-)fibr'ee. O* *n dira qu'un foncteur X - ! Y est une fibration (resp. une cofibration) s'il fait de X une cat'egorie fibr'ee (resp. cofibr'ee) sur Y . Nous renvoyons le lecteur par * *exemple `a [7, expos'e VI] pour ces notions. Les seules propri'et'es que nous utilisero* *ns sont les suivantes : - Un foncteur p : X -! Y est une cofibration si et seulement si le foncteur pO : XO -! Y Oest une fibration (XO d'esignant la cat'egorie oppos'ee `a X). - Les cofibrations sont stables par composition et par images r'eciproques. - Si p : X -! Y est une cofibration, alors pour tout objet y de Y , le foncte* *ur canonique (Xy d'esignant la fibre de p au-dessus de y) Xy -! X=y , x 7- ! (x, 1y) admet un adjoint `a gauche. Proposition 1.1.13. Soient S une petite cat'egorie et u : X -! Y un S- morphisme. On suppose que X et Y sont des cat'egories cofibr'ees sur S et que pour tout objet s de S, le foncteur induit entre les fibres Xs -! Ys est une 'e* *qui- valence faible. Alors le morphisme u est asph'erique au-dessus de S (et donc en particulier une 'equivalence faible). 6 DENIS-CHARLES CISINSKI D'emonstration. Pour chaque objet s de S on a le carr'e commutatif suivant. Xs ______//Ys | | | | fflffl| fflffl| X=s ____//_Y=s Or les fl`eches verticales admettent toutes deux des adjoints `a gauche et sont* * donc des 'equivalences faibles (1.1.10). On en d'eduit imm'ediatement l'assertion. 1.2. Int'egration des cat'egories. 1.2.1. Soit I une petite cat'egorie, et soit F : I -! Cat un foncteur. Si i est un objet de I, on notera F (i) ou encore Fi la fibreRde F* * en i, i.e. l''evaluation de F en i. On lui associe une cat'egorie cofibr'ee F au-* *dessus de I, appel'ee la construction de Grothendieck associ'ee `a FR, ou encore de ma* *ni`ere plus concise, l'int'egrale de F , comme suit. La cat'egorie F a pour objets * *les couples (i, a), o`u i est un objet de I, et a un objet de F (i). Une fl`eche (i, a) -! (i0, a0) est un couple (k, f), o`u k : i -! i0est une fl`eche de I, et f : F (k)(a) -! a* *0une fl`eche de F (i0). Si (k, f) : (i, a) -! (i0, a0) et (k0, f0) : (i0, a0) -! (i00, a00) R sont deux fl`eches de F , le morphisme compos'e (k0, f0) O (k, f) : (i, a) -! (i00, a00) est d'efini par la formule (k0, f0) O (k, f) = (k0k, f0O F (k0)(f)) F(k0)(f) 0 0 f0 00 F (k0k)(a) = F (k0)F (k)(a) ------! F (k )(a ) --! a . R Enfin, si (i, a) est un objet de F , l'identit'e de (i, a) est d'efinie par l* *a formule 1(i,a)= (1i, 1a). Le foncteur structural R `F : F -! I (lequel est donc une cofibration) est simplement la projection (i, a) 7- ! i. S* *i ff : F -! F 0est un morphisme de foncteurs, on obtient un I-foncteur (cocart'esien) R R R ff : F -! F 0 R d'efini par ff(i, a) = (i, ffi(a)). On obtient de la sorte un foncteur d'efin* *i sur la cat'egorie des foncteurs de I `a valeurs dans Cat vers la cat'egorie des I-cat'* *egories R ( , `) : Hom__(I, Cat) -! Cat=I . En oubliant le morphisme structural vers I, on a ainsi un foncteur R : Hom__(I, Cat) -! Cat . LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 7 Soit u : J - ! I un foncteur entre petites cat'egories. Ce dernier induit un foncteur image inverse u* : Hom__(I, Cat) -! Hom__(J, Cat) , F 7- ! F O u . On v'erifie aussit^ot que pour tout foncteur F de I vers Cat, on a un carr'e ca* *rt'esien canonique R R u*F _____//F `u*F|| |`F| fflffl| fflffl| J ____u___//I R R dans lequel le foncteur u*F -! F est d'efini par la formule (j, a) 7- ! (u(j)* *, a). En particulier, pour tout objet i de I et tout foncteur F de I vers Cat, on a un carr'e cart'esien canonique R Fi_____//F | `| | |F fflffl| fflffl| e __i___//I . Exemple 1.2.2. Si A et B sont deux petites cat'egories,Ret si B d'esigne aussi * *le foncteur constant sur A de valeur B, alors B = A x B. 1.2.3. Soit I une petite cat'egorie. On note WI l'ensemble des 'equivalences fa* *ibles 'etag'ees sur I, i.e. des morphismes F - ! G de Hom__(I, Cat) tels que pour tout objet i de I, le foncteur Fi- ! Gi soient des 'equivalences faibles. Proposition 1.2.4. Pour toute petite cat'egorie I, le foncteur d'int'egration R : Hom__(I, Cat) -! Cat envoie les 'equivalences faibles 'etag'ees sur des 'equivalences faibles. D'emonstration.Cela r'esulte imm'ediatement de la propositionR1.1.13 et du fait que pour tout foncteur F de I vers Cat, les fibres de F au-dessus de I s'ident* *ifient canoniquement aux fibres de F . 1.2.5. Soit u : A -! B un foncteur entre petites cat'egories. On lui associe Un foncteur (u) : BO x A -! Cat , (b, a) 7- ! Hom B(b, u(a)) , les ensembles Hom B(b, u(a)) 'etant vusRcomme des cat'egories discr`etes. On ob* *tient ainsi une cat'egorie cofibr'ee S(u) = (u) sur BO x A. Plus explicitement, la cat'egorie S(u) a pour objets les triplets (a, b, f), o`u a est un objet de A, * *b un objet de B, et f : b -! u(a) une fl`eche de B, et pour fl`eches (a, b, f) -! (a0, b0* *, f0) les couples (g, h), o`u g : a -! a0est une fl`eche de A, et h : b0- ! b une fl`eche* * de B, 8 DENIS-CHARLES CISINSKI tels que le carr'e suivant commute dans B. f bO_____//u(a)O h || |u(g)| | fflffl| b0_f0_//_u(a0) En composant la cofibration canonique ` (u)avec chacune des projections (ces derni`eres 'etant des cofibrations), on obtient deux cofibrations canoniques BO -su- S(u) -tu-!A telles que ` (u)= (su, tu). Cette construction est bien entendu fonctorielle en* * u, en un sens que nous laissons au lecteur le soin de pr'eciser s'il en est besoin* *. Une premi`ere utilisation de cette construction vient imm'ediatement. Proposition 1.2.6. Pour qu'un foncteur u : A -! B entre petites cat'egories soit une 'equivalence faible, il faut et il suffit que le foncteur uO : AO -! B* *O entre les cat'egories oppos'ees en soit une. D'emonstration. Supposons que u soit une 'equivalence faible. Par fonctorialit'* *e, on a le diagramme commutatif suivant dans Cat. s1A t1A AO oo___S(1A) ____//_A | | | uO|| | u|| fflffl| fflffl| fflffl| BO os1BoS(1B_)_t1_//_B B Le foncteur t1A est une cofibration, et pour tout objet a de A, la fibre de tu * *au- dessus de a est S(1A)a ' (A=a)O. En particulier, elle admet un objet initial et* * donc est asph'erique (1.1.11). En vertu de la proposition 1.1.13, le foncteur t1A es* *t donc une 'equivalence faible. De m^eme, le foncteur s1A est une cofibration, et pour* * tout objet a de AO, la fibre S(1A)a s'identifie `a la cat'egorie A=a, laquelle admet* * un objet final et donc est asph'erique. Une nouvelle application de la proposition 1.1.13 implique donc que s1A est une 'equivalence faible. Ces constatations permettent de conclure facilement. 1.2.7. La proposition ci-dessus permet de dualiser les 'enonc'es concernant l'a* *sph'ericit'e. Plus pr'ecis'ement, si u : A -! B est un foncteur entre petites cat'egories, e* *t si b est un objet de B, on note b\A = (AO=b)O la cat'egorie des objets de A sous b. Si C est une petite cat'egorie, et u : A -! B un C-morphisme, on dira que u est coasph'erique au-dessus de C si pour tout objet c de C, le foncteur induit c\u : c\A -! c\B est une 'equivalence faible (dans le cas o`u C = B et o`u le morphisme structu- ral de B vers B est l'identit'e, on dira alors simplement que u est coasph'eriq* *ue). La proposition pr'ec'edente et l'axiome LF3 impliquent aussit^ot que tout fonct* *eur coasph'erique au-dessus de C est une 'equivalence faible. LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 9 L'autre cons'equence imm'ediate concerne les propri'et'es homotopiques des fi- brations : si S est une petite cat'egorie, tout S-morphisme entre cat'egories f* *ibr'ees sur S induisant des 'equivalences faibles entre les fibres au-dessus de chaque * *objet de S est une 'equivalence faible (il s'agit de l''enonc'e dual de la propositio* *n 1.1.13). 1.3. Pr'efaisceaux int'egr'es. 1.3.1. Soit A une petite cat'egorie. Si F est pr'efaisceau en petites cat'egori* *es sur A, on lui associe une cat'egorie fibr'ee rF sur A en posant R O rF = ( F O), la fibration structurale iF : rF -! A 'etant le foncteur (`FO)O(cf. 1.2.1). Consid'erons `a pr'esent deux petites cat'egories A et B, ainsi qu'un foncteu* *r F d'efini sur AO x B `a valeur dans Cat. En (co-)int'egrant terme `a terme, on ob* *tient deux foncteurs R F : AO -! Cat et rF : B -! Cat . Si A et B d'esignent aussi les foncteurs constants correspondants, on obtient de la sorte deux morphismes de foncteurs R `F : F -! B et iF : rF -! A . On v'erifie aussit^ot que l'isomorphisme d''echangeRA x BR' B x A induit un isomorphisme canonique au-dessus de A x B entre r F et rF . R ~ R r F ________________//rF II uu (1.3.1.1) III uRuu r`FIII$$I uuu i zzu F A x B 1.3.2. Soit A une petite cat'egorie. Pour chaque pr'efaisceau X sur A, on note A=X la cat'egorie dont les objets sont les couples (a, x), o`u a est un objet d* *e A, et x : a -! X une section de X au-dessus de a (i.e. en vertu du lemme de Yoneda, un 'el'ement de l'ensemble Xa), et dont les fl`eches (a, x) -! (a0, x0) sont le* *s fl`eches f : a -! a0 de A telles que x0f = x. De mani`ere plus concise, on peut voir X comme un pr'efaisceau en cat'egories discr`etes, et A=X comme la cat'egorie fib* *r'ee associ'ee i.e. R O R O A=X = ( XO) = ( X) (la seconde identification 'etant due au fait que si E est une cat'egorie discr* *`ete, EO = E). On obtient de la sorte un foncteur de la cat'egorie des pr'efaisceaux (d'ensembles) sur A vers celle des petites cat'egories iA : bA-! Cat , X 7- ! A=X . 1.3.3. Soit la cat'egorie des simplexes, i.e. dont les objets sont les ensemb* *les n = {0, . .,.n} , n 0 , munis de l'ordre naturel, et dont les fl`eches sont les applications croissante* *s. On rappelle qu'un ensemble simplicial est un pr'efaisceau sur . L'inclusion pleine 10 DENIS-CHARLES CISINSKI canonique i : -! Cat induit un foncteur pleinement fid`ele et admettant un adjoint `a gauche, le foncteur nerf N : Cat- ! b qui associe `a chaque petite cat'egorie C l'ensemble simplicial N C, d'efini par n 7- ! (N C)n = Hom Cat( n, C) . 1.3.4. Soit A une petite cat'egorie. On notera parfois par abus =A au lieu de = N A. On d'efinit un foncteur (naturel en A) ffA : =A = = N A -! A par ffA( n, u : n -! A) = u(n) sur les objets, et associant `a chaque fl`eche f : ( m , u) -! ( n, v) le morphisme ffA(f) = v(f(m) n) : u(m) -! v(n). Lemme 1.3.5. Pour toute petite cat'egorie A, le foncteur compos'e Ab -iA-!Cat-N-! b commute aux petites limites inductives et aux produits fibr'es. D'emonstration. Le foncteur ffA d'efini ci-dessus induit un foncteur image inve* *rse ff*A : bA-! "= N A' b = N A . Il est imm'ediat que ce dernier commute aux petites limites inductives et pro- jectives. Le foncteur d'oubli U de b = N A vers b commutant aux petites limites inductives et aux produits fibr'es, il en est donc de m^eme du foncteur compos'e * bA-ffA--!b= N A -U-!b . Or on v'erifie que le foncteur N iA est canoniquement isomorphe au foncteur com- pos'e Uff*A(exercice laiss'e au lecteur). Lemme 1.3.6. Le foncteur iA : bA- ! Cat commute aux petites limites induc- tives et aux produits fibr'es. En outre, il admet pour adjoint `a droite le fon* *cteur i*A : Cat- ! bA qui `a toute petite cat'egorie C associe le pr'efaisceau a 7- ! Hom Cat(A=a, C). D'emonstration. Cela r'esulte aussit^ot du lemme pr'ec'edent et du fait que le * *fonc- teur nerf est pleinement fid`ele. 1.3.7. Soient I une petite cat'egorie et F un foncteur d'efini sur I `a valeur * *dans Cat . Pour chaque objet i de I, on d'esigne par "i : Fi- ! lim-!F le morphisme canonique. Cela permet de d'efinir le morphisme naturel en F R KF : F -! lim-!F par KF (i, a) = "i(a). LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 11 Lemme 1.3.8. Soient A et I deux petites cat'egories, et F un foncteur d'efini s* *ur I `a valeurs dans Ab. Le morphisme R KiAF : iAF -! lim-!iAF ' iA lim-!F est une fibration. En outre, c'est une 'equivalence faible si l'une des conditi* *ons suivantes est v'erifi'ee. (a) I est l'ensemble ordonn'e {1 > 0 < 2}, et la fl`eche F0 - ! F1 est un monomorphisme ; (b) I est un ensemble bien ordonn'e, et pour tous i < i0dans I, la fl`eche Fi* *- ! Fi0est un monomorphisme. D'emonstration.Pour montrer la premi`ere assertion, quitte `a remplacer A par A=-lim!F , on peut supposer que lim-!F est le pr'efaisceau final sur A. D'autre* * part, on peut consid'erer les pr'efaisceaux d'ensembles surRA comme des pr'efaisceaux* *RenR cat'egories discr`etes. Or avec cette convention,R iAF s'identifie `a rF ' r * *F , et le foncteur KiAF `a la fibration structurale r F -! A. Pour montrer la seconde assertion, il suffit de montrer le cas particulier o`u A = e est la cat'egorie ponctuelle, i.e. o`u F est un foncteur en cat'egories d* *iscr`etes (cela r'esulte de (1.3.1.1)et de l'assertion duale de la proposition 1.2.4 qui * *assure que le foncteur r envoie les 'equivalences faibles 'etag'ees sur des 'equivalen* *ces faibles). En outre, en vertu de l''enonc'e dual de la proposition 1.1.13, il su* *ffit de montrer que les fibres du foncteur KF sont asph'eriques. Dans le cas (a), si x est un 'el'ement de lim-!FR, on distingue deux situatio* *ns. Si x n'est pas dans l'image de F0 -! lim-!F , alors ( F )x est l'int'egrale du diag* *ramme ? ____//_? ? ____//_e | | | ou du diagramme | fflffl| |fflffl e ? et donc est la cat'egorie ponctuelle (en particulier asph'erique). Si x est dans l'image de F0 -! lim-!F , alors l'application (F0)x -! (F1)x est bijective (pui* *squeR F0 -! F1 est une injection), et (F2)x est la cat'egorie ponctuelle. La fibre ( * * F )x est isomorphe `a la cat'egorie C, int'egrale du diagramme (F0)x ____//_e | | fflffl| (F1)x . Or si C0 d'esigne l'int'egrale du diagramme (F0)x - ! e (index'e par 1), on a une inclusion pleine 'evidente C0 -! C, laquelle admet un adjoint `a gauche (on identifie (F0)x et (F1)x) ( (a, i) si i = 0, 2, r : C -! C0 , (a, i) 7- ! r(a, i) = (a, 0) si i = 1. En vertu de 1.1.10, il suffit prsent de montrer que C0 est asphrique. On v'eri* *fie aussit^ot que la cat'egorie C0 admet un objet final (c'est en fait le c^one de * *(F0)x, 12 DENIS-CHARLES CISINSKI i.e. la cat'egorie (F0)x `a laquelle on a ajout'e formellement un objet final),* * ce qui implique que aussitt l'assertion. Dans le cas (b), si x est un 'el'ement de lim-!F , comme les morphismes Fi -! lim-!F sont des injections, on a pour tout i 2 I, (Fi)x = ? ou bien (Fi)x = e. * *On pose Ix = {i 2 I | (Fi)x 6= ?} Ix est un sous-ensemble ordonn'e non vide de I, et comme I est bien ordonn'e, il admet un 'el'ement initial. En vertuRdu corollaire 1.1.11, la cat'egorie Ix * *est donc asph'erique. Or la cat'egorie ( F )x s'identifie canoniquement `a l'int'e* *grale du foncteur constant sur Ix de valeur la cat'egorie ponctuelle, c'est-`a-dire `a I* *x, ce qui ach`eve la d'emonstration. 1.3.9. Si A est une petite cat'egorie, on dit qu'un morphisme de pr'efaisceaux sur A est une 'equivalence faible si son image dans Cat par le foncteur iA est une 'equivalence faible. Un morphisme de pr'efaisceaux sur A est une cofibration triviale si c'est `a la fois une 'equivalence faible et un monomorphisme. Th'eor`eme 1.3.10 (Grothendieck). Soit A une petite cat'egorie. Les cofibrations triviales de bAsont stables par images directes et par compositions transfinies* *. Au- g f trement dit, si Z -- X --! Y est un diagramme de bAet si g est une cofibration triviale, alors le morphisme canonique Z -! Z qX Y est une cofibration triviale, et si I est un ensemble bien ordonn'e, F : I - ! Ab un foncteur tel que pour tous i < j dans I, le morphisme Fi -! Fj soit une cofibration triviale, alors le morphisme F0 -! lim-!F est une cofibration triviale (0 d'esignant l''el'ement i* *nitial de I). D'emonstration. Si I est une petite cat'egorie telle que pour tout foncteurRF : I - ! Abv'erifiant une certaine propri'et'e P , le morphisme canonique iAF - ! iA lim-!F soit une 'equivalence faible, alors il r'esulte de la proposition 1.2* *.4 que les 'equivalences faibles de bAsont stables par limites inductives de foncteurs v'e* *rifiant ladite propri'et'e P et index'ees par I. Il r'esulte donc du lemme 1.3.8 que po* *ur tout diagramme commutatif de bAde la forme ff1 ff2 X1 oo___X0 ____//_X2 f1|| f0|| f2|| fflffl| fflffl| fflffl| Y1 oofi_ Y0_____//Y2 , 1 fi2 dans lequel ff1 et fi1 sont des monomorphismes, et f0, f1, f2 sont des 'equival* *ences faibles, la fl`eche canonique X1qX0 X2 -! Y1qY0Y2 est une 'equivalence faible. * *On en d'eduit aussit^ot que les cofibrations triviales sont stables par images dir* *ectes. On proc`ede de mani`ere analogue pour le cas des compositions transfinies. 2. Caract'erisations de la classe des 1-'equivalences 2.1. Le localisateur fondamental W1 . LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 13 2.1.1. Pour n 1 et 0 i n, on note ffiin : n-1 ! n l'unique injection croissante qui ne prend pas la valeur i. Pour n 0, on d'efinit un sous-pr'efa* *isceau @ n de n : [ @ n = Imffiin, n 1 , et @ 0 = ? . 0 i n On note in : @ n -! n l'inclusion, et on d'efinit I = {in | n 0}. Pour n 0 et e = 0, 1, on a un carr'e cart'esien d'ensembles simpliciaux, do* *nt toutes les fl`eches sont des monomorphismes : 1@ nxffi1-e1 @ n __________//@ n x 1 in|| inx1|1| fflffl| fflffl| n ___________//_ n x 1 . 1 nxffi1-e1 On 'ecrit n x {e} [ @ n x 1 = n q@ n @ n x 1, et on note jn,e : n x {e} [ @ n x 1 -! n x 1 la fl`eche induite par le carr'e commutatif ci-dessus. Les fl`eches jn,esont de* *s mo- nomorphismes, et on d'efinit J = {jn,e| n 0, e = 0, 1}. On renvoie `a [13, chapitre I, paragraphe 5] pour les propri'et'es de rel`eve* *ment `a droite ou `a gauche. On rappelle qu'une fibration de Kan est un morphisme d'en- sembles simpliciaux qui v'erifie la propri'et'e de rel`evement `a droite relati* *vement `a J. On note Wb la classe des morphismes de b de la forme f = pi, o`u i v'erifie la propri'et'e de rel`evement `a gauche relativement aux fibrations de Kan, et * *p la propri'et'e de rel`evement `a droite relativement `a I. Th'eor`eme 2.1.2 (Quillen). La cat'egorie b des ensembles simpliciaux admet une structure de cat'egorie de mod`eles ferm'ee dont les 'equivalences faibles * *sont les 'el'ements de Wb , les fibrations sont les fibrations de Kan, et les cofibr* *ations sont les monomorphismes. D'emonstration.Voir [13, chapitre II, paragraphe 3, th'eor`eme 3]. 2.1.3. On note + (resp. - ) la sous-cat'egorie de form'ee des monomorphismes (resp. des 'epimorphismes) de . Ceci d'efinit une structure de Reedy sur au * *sens de [10, d'efinition 5.2.1], ce qui va nous permettre d''etudier l'alg`ebre homo* *topique des ensembles bisimpliciaux, i.e. des pr'efaisceaux sur la cat'egorie produit * * x (voir aussi [2]). On se fixe un entier positif n, et on note n* : b - ! Ens le foncteur d''eval* *uation en n. On va d'efinir deux foncteurs Ln : b - ! Ens et Mn : b - ! Ens comme suit. On consid`ere n comme un objet de - (resp. de + ), et on note @- n (resp. @+ n) la sous-cat'egorie pleine de n\ - (resp. de + = n) d'efinie par Ob (@- n) = Ob ( n\ - ) - {( n, 1 n )} (resp. Ob (@+ n) = Ob ( + = n) - {( n, 1 n )} ). On note ~n : @- n -! (resp. ~n : @+ n -! ) le foncteur compos'e @- n -! n\ - -! (resp.@+ n -! + = n -! ). 14 DENIS-CHARLES CISINSKI Enfin, si X est un ensemble simplicial, on pose LnX = lim-!~*nX et MnX = lim-~*nX . On remarque que ces foncteurs peuvent ^etre d'ecrits beaucoup plus simplement : LnX = n*Skn-1X = (Skn-1X)n (o`u Skn-1X d'esigne le n - 1-`eme squelette de X [6, chapitre II, paragraphe 3]), et MnX = Hom b(@ n, X). Les foncteurs @- n -! n\ et @+ n -! = n induisent des morphismes de foncteurs Ln -! n* et n* -! Mn. On v'erifie que le premier est l'image par le foncteur n* de l'inclusion canonique Skn-1 -! 1b et que le second est induit par l'inclusion @ n -! n. Lemme 2.1.4. Soit u : K -! K0 un morphisme d'ensembles simpliciaux. Pour chaque n 0, on a un carr'e commutatif LnK _____//K Lnu|| |u| fflffl| |fflffl LnK0 _____//K0 qui induit une application vn : LnK0qLnK K -! K0. Pour que u soit un mono- morphisme, il faut et il suffit que les applications vn soient injectives pour * *tous n 0. D'emonstration. Cela r'esulte facilement de [6, chapitre II, paragraphe 3.4]. Th'eor`eme 2.1.5. La cat'egorie "x des ensembles bisimpliciaux admet une structure de cat'egorie de mod`eles ferm'ee dont les cofibrations sont les mono- morphismes et dont les 'equialences faibles sont les morphismes X - ! Y tels que pour tout m 0, la fl`eche Xm,o -! Ym,o soit une 'equivalence faible d'en- sembles simpliciaux. Si on note pour m 0, Mm : "x - ! b le foncteur X 7- ! ( n 7- ! Mm Xo,n), et m* : "x -! b le foncteur X 7- ! Xm,o, on a un morphisme canonique m* -! Mm (induit par son analogue d'ecrit au num'ero 2.1.3). Les fibrations de "x sont les morphismes X -! Y tels que pour tous m 0, le morphisme d'ensembles simpliciaux Xm,o -! Ym,oxMm Y Mm X soit une fibration de Kan. D'emonstration. Cela r'esulte de [10, th'eor`eme 5.2.5], du lemme 2.1.4, et des* * des- criptions des foncteurs Lm et Mm du num'ero 2.1.3. 2.1.6. On note ffi : -! x le foncteur diagonal. Il induit un foncteur ffi* : " x -! b , X 7- ! ( n 7- ! Xn,n) , lequel admet un adjoint `a droite ffi* : b - ! " x , X 7- ! (( m , n) 7- ! Hom b( m x n, X)) . Proposition 2.1.7. Soit X -! Y un morphisme d'ensembles bisimpliciaux tel que pour tout m 0, le morphisme d'ensembles simpliciaux Xm,o -! Ym,o soit une 'equivalence faible. Alors ffi*X -! ffi*Y est une 'equivalence faible. LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 15 D'emonstration.On veut montrer que le foncteur ffi* respecte les 'equivalences faibles au sens des th'eor`emes 2.1.2 et 2.1.5. Vu que tous les ensembles bisim* *p- liciaux sont cofibrants pour ladite structure de cat'egorie de mod`eles ferm'ee* *, le lemme de Ken Brown [10, lemme 1.1.12] montre qu'il suffit de v'erifier que ffi** * res- pecte les cofibrations triviales, ou encore, de mani`ere 'equivalente, que ffi** * respecte les fibrations. Soit p : X - ! Y un morphisme d'ensembles simpliciaux. Pour m 0, la fl`eche (ffi*X)m,o -! (ffi*Y )m,oxMm ffi*YMm ffi*X s'identifie au mor* *phisme suivant (2.1.3) Hom__( m , X) -! Hom__( m , Y ) xHom_(@ m ,YH)om_(@ m , X) , Hom__d'esignant le Hom interne de b . Par cons'equent, si p est une fibration * *de Kan, ffi*p est une fibration (en vertu de [6, chapitre VI, paragraphe 4.3] et d* *e la description des fibrations du th'eor`eme 2.1.5). 2.1.8. Soit C une petite cat'egorie. On rappelle la construction du foncteur de Bousfield-Kan [1] q* : Hom__(C, b) -! " x . On a un foncteur ffCO : =CO -! CO (1.3.4), ce qui induit un foncteur image inverse (ffCOx1 )* Hom__(C, b) --------! =ÖC x . Si p : x -! d'esigne la premi`ere projection, on a un isomorphisme ca- nonique de cat'egories =ÖC x ' "x =p*N CO. Le foncteur q* est obtenu comme de compos'e du foncteur (ffCO x 1 )* et du foncteur d'oubli de la cat'eg* *orie " x =p*N CO dans "x . Plus explicitement, si F est un foncteur d'efini sur C et `a valeurs dans b , pour m 0, on a a a (q*F )m,o = F (u(m)) = F (cm ) . m -u-!CO cm -!...-!c0 En composant q* avec le foncteur ffi* (2.1.6), on obtient le foncteur -holim--!= holim---!= ffi*q* : Hom__(C, b) -! b . C Soit q : x - ! la seconde projection. Si F est un foncteur sur C `a valeurs dans la cat'egorie des ensembles simpliciaux, les morphismes canoniques F (c) -! lim-!F , c 2 Ob C, induisent pour chaque m 0 un morphisme (q*F )m,o -! lim-!F = (q*-lim!F )m,o , d'o`u un morphisme q*F -! q*-lim!F . On v'erifie que cela d'etermine un mor- phisme de foncteurs q* -! q*-lim!, o`u lim-!: Hom__(C, b) -! b d'esigne le fon* *c- teur limite inductive. Comme ffi*q* = (qffi)* = 1b , on en d'eduit un morphisme* * de foncteurs holim---!-! lim-!. Proposition 2.1.9 (Bousfield-Kan). Soit F -! G un morphisme de Hom__(C, b) tel que pour tout objet c de C, F (c) -! G(c) soit une 'equivalence faible. Alo* *rs holim---!F -! holim---!G est une 'equivalence faible. 16 DENIS-CHARLES CISINSKI D'emonstration. Pour chaque objet c de C, le morphisme a a F (cm ) -! G(cm ) cm -!...-!c0 cm -!...-!c0 est une somme d''equivalences faibles et donc est une 'equivalence faible. L'as* *ser- tion est par cons'equent une application directe de la proposition 2.1.7. 2.1.10. Soit C une petite cat'egorie. On d'esigne par C : Cat=C -! Hom__(C, Cat) le foncteur (A - ! C) 7- ! (c 7- ! A=c). Le foncteur nerf induit un foncteur encore not'e N N : Hom__(C, Cat) -! Hom__(C, b) . On en d'eduit un foncteur compos'e holim---!N C : Cat=C -! b C N holim---! Cat=C ---! Hom__(C, Cat) --! Hom__(C, b) -----! b , et un morphisme de foncteurs holim---!N C - ! lim-!N C . D'autre part, on a un morphisme de foncteurs lim-!N-! N lim-!, et les limites inductives 'etant unive* *r- selles dans Cat, on v'erifie facilement que si UC : Cat=C -! Cat est le foncte* *ur d'oubli, on a un isomorphisme canonique lim-! C ' UC . On en d'eduit un mor- phisme de foncteurs holim---!N C -! N UC . Lemme 2.1.11 (Quillen). Pour tout objet (A, ff) de Cat=C (A 'etant une petite cat'egorie et ff : A -! C un foncteur), le morphisme holim---!N C (A, ff) -! N UC (A, ff) = N A est une 'equivalence faible. D'emonstration. Le morphisme holim---!N C (A, ff) -! N A est l'image par le fon* *c- teur ffi* du morphisme q*N C (A, ff) -! q* N A d'efini pour m 0 par les fl`e* *ches a (q*N C (A, ff))m,o = N A=cm - ! N A = (q* N A)m,o cm -!...-!c0 induites par les foncteurs d'oubli A=c -! A, c 2 Ob C (voir 2.1.8). Or on v'eri* *fie que pour tout n 0, le morphisme (q*N C (A, ff))o,n- ! (q* N A)o,nest une 'equivalence faible. Pour le voir, on remarque qu'il s'identife au morphisme a a N(CO=ff(an)) -! 0 , a0-!...-!an a0-!...-!an somme des fl`eches N (CO=ff(a)) - ! 0, a 2 Ob A. Les cat'egorie de la forme CO=ff(a) admettant toutes un objet final, leurs nerfs sont des ensembles simpli- ciaux contractiles. Le lemme r'esulte `a pr'esent de la proposition 2.1.7. 2.1.12. On dit qu'une fl`eche de Cat est une 1-'equivalence si son image dans b par le foncteur nerf est une 'equivalence faible. On note W1 = N-1 Wb . Th'eor`eme 2.1.13. Les 1-'equivalences forment un localisateur fondamental. LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 17 D'emonstration.La v'erification des axiomes LF1 et LF2 est un exercice facile laiss'e au lecteur. Nous allons d'emontrer l'axiome LF3. Soit ______u_____// A @ B @@@ ~~~~ ff@@ØØ@""fi~~~ C un foncteur au-dessus d'une petite cat'egorie C tel que pour tout objet c de C, le foncteur induit A=c - ! B=c soit une 1-'equivalence. On a alors un carr'e commutatif holim---!N C (A, ff)_//_NA | holim---!N C(u)|| |N u fflffl| |fflffl| holim---!N C (B, fi)_//_NB dont les deux fl`eches horizontales sont des 'equivalences faibles (2.1.11), et* * il r'esulte de la proposition 2.1.9 appliqu'ee au morphisme N C (u) que holim---!N C (u) e* *st aussi une 'equivalence faible. On en d'eduit aussit^ot que u est une 1-'equiva- lence. 2.1.14. Si X est un ensemble simplicial, on lui associe le foncteur suivant. 'X : =X -! b , ( n, u : n -! X) 7- ! n Il est bien connu que le morphisme lim-!'X - ! X induit par les fl`eches u : n* * -! X est un isomorphisme. D'autre part, les foncteurs ff n : = n -! n (1.3.4) d'efinissent un morphisme de foncteurs sur , et donc on obtient un morphisme lim-!Ni 'X - ! lim-!'X . En vertu de 1.3.5, cela d'efinit un morphisme ffX : N =X -! X. Explicitement, le morphisme ffX associe `a un m-simplexe n0 -u1-! n1 -u2-!. .-.um--! nm -u-!X de N =X le m-simplexe uv : m - ! X de X, o`u v : m - ! nm est l'applica- tion k 7- ! um . .u.k+1(nk) . On v'erifie qu'on a ainsi d'efini un morphisme de foncteurs ff : N i - ! 1b . Lemme 2.1.15 (Quillen). Pour tout ensemble simplicial X, le morphisme ffX est une 'equivalence faible. D'emonstration.On a un carr'e commutatif (2.1.8) holim---!Ni 'X__//_N =X | || | | fflffl| fflffl| holim---!'X_______//X 18 DENIS-CHARLES CISINSKI En vertu de 2.1.9 le morphisme holim---!Ni 'X - ! holim---!'X est une 'equivalence faible (les morphismes N = n -! n sont des 'equivalences faibles, puisque les cat'egories de la forme = n admettent un objet final et s* *ont donc contractiles). On remarque qu'avec les notations de 2.1.10, on a l'identif* *ica- tion N i 'X = N =X ( =X, 1 =X ) , et donc il r'esulte du lemme 2.1.11 que que le morphisme holim---!Ni 'X - ! lim-!Ni 'X ' =X est une 'equivalence faible. Il suffit ainsi de montrer que le morphisme holim---!'X - ! X est une 'equivalence faible. Or c'est l'image par le foncteur ffi* du morphisme d'ensembles bisimpliciaux q*'X - ! q*X ' q*-lim!'X . Or pour n 0, la fl`eche (q*'X )o,n- ! (q*X)o,nest une 'equivalence faible. En effet, elle se d'ecrit comme le morphisme a O a N (( =X) =( n, u)) -! 0 , n-u-!X n-u-!X somme des 'equivalences d'homotopie N(( =X) O=( n, u)) -! 0. La proposition 2.1.7 ach`eve ainsi la d'emonstration. Th'eor`eme 2.1.16 (Quillen). On a l''egalit'e Wb = i-1W1 . En outre, le foncteur nerf N et le foncteur i induisent deux 'equivalences de cat'egories quasi-inve* *rses l'une de l'autre N_ : W-11Cat-~-! W-1bb et i_ : W-1bb -~-!W-11Cat. D'emonstration. La premi`ere assertion r'esulte aussit^ot du lemme pr'ec'edent.* * Ce dernier donne par ailleurs un morphisme i N -! 1Catqui se r'ev`ele ^etre une 'equivalence faible (gr^ace `a la pleine fid'elit'e du foncteur nerf). Le fonct* *eur i induit ainsi un quasi-inverse de N_. 2.2. Crit`ere de minimalit'e. 2.2.1. On fixe pour le moment un localisateur fondamental W. Lemme 2.2.2. Soit A une petite cat'egorie admettant un objet final !. Alors la cat'egorie =A est asph'erique. D'emonstration. On d'efinit un foncteur D : =A -! =A par D( m , ff) = ( m+1 , Dff) , o`u ( ff(k) si k m Dff(k) = ! si k = m + 1, LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 19 et si f : ( m , ff) -! ( n, fi) est une fl`eche de =A, on pose ( f(k) si k m Df(k) = n + 1 si k = m + 1. On note : =A -! =A le foncteur constant de valeur ( 0, !). Les inclusions m - ! m+1 , k 7- ! k, et 0 -! m , 0 7- ! m + 1 induisent des morphismes de foncteurs 1 =A ________________________________________________________________* *______________________________________________________________________@ =A ________________________________________________________________* *______________________________________________________________________@ D D Ceci montre bien que =A est une cat'egorie contractile. Proposition 2.2.3 (Grothendieck). Pour toute petite cat'egorie A, le foncteur ffA : =A -! A est asph'erique (et donc en particulier une 'equivalence faible* *). D'emonstration.Soit a un objet de A. On v'erifie que les cat'egories =(A=a) et ( =A)=a sont canoniquement isomorphes. La cat'egorie A=a admettant un objet final, le lemme pr'ec'edent permet de conclure. Corollaire 2.2.4. On a l''egalit'e W = N-1 i-1W. Remarque 2.2.5. Si on note W = i-1W, les foncteurs N et i induisent des 'equivalences de cat'egories quasi-inverse l'une de l'autre entre W-1 b et W-1C* *at . Lemme 2.2.6. Pour tout ensemble simplicial X, les projections X x n -! X, n 0, sont dans i-1W. D'emonstration.Si X = m pour un entier m 0, cela r'esulte aussit^ot de 2.2.2. Dans le cas g'en'eral, Si ( m , ff) est un objet de =X, alors ( =(X x n))=( m * *, ff) est canoniquement isomorphe `a = m x n et donc est asph'erique. Cela montre que le foncteur =(X x n) -! =X est asph'erique. Remarque 2.2.7. Le lemme ci-dessus implique que i-1W est stable par produits finis. En effet, si X -! Y 2 i-1W et si Z est un ensemble simplicial, pour tout n-simplexe u : n -! Z, on a les identifications ( =(X x Z))=( n, u) ' =(X x n) et ( =(Y x Z))=( n, u) ' =(Y x n) , ce qui montre que le foncteur =(X x Z) -! =(Y x Z) est asph'erique au-dessus de =Z. Cela montre bien que i-1W est stable par le foncteur X 7- ! X x Z. Lemme 2.2.8. Soit W une partie faiblement satur'ee de Flb , telle que pour tout ensemble simplicial X, la projection X x 1 -! X soit dans W . Alors toute fibration triviale de b au sens de la structure de cat'egorie de mod`eles ferm* *'ee du th'eor`eme 2.1.2 est dans W . 20 DENIS-CHARLES CISINSKI D'emonstration. Soit p : X -! Y une fibration triviale. Comme ? -! Y est une cofibration, p admet une section s. Pour montrer que p est dans W , il suffit d* *onc de montrer que sp est dans W . Le carr'e commutatif (1X ,sp) X q X ____________//_X66__________ ________ (1X xffi01,1X|xffi01)|h_______|p|______ fflffl|_______ fflffl| X x 1 pr1__//X__p_//_Y admettant un rel`evement h : X x 1 -! X, cela montre que sp et 1X sont homotopes. Or on v'erifie aussit^ot que tout morphisme homotope `a un 'el'ement de W est lui-m^eme dans W , ce qui permet de conclure. Proposition 2.2.9. On a l'inclusion Wb i-1W. D'emonstration. Les projections du type X x n -! X 'etant dans i-1W (2.2.6), on en d'eduit qu'il en est de m^eme des morphismes 1X x ffie1 : X - ! X x 1, e = 0, 1. Or pour n 0 et e = 0, 1, on a le diagramme commutatif suivant dont toutes les fl`eches sont des monomorphismes. @ n x {e} __________//_ n x {e}_ _______________________________________* *_______________ o|| cocart'esien || ____________________________________* *________________________________________________ fflffl| fflffl| __~______________________________* *_________________________________________ _____// ______________________________* *________ @ n x 1__ @ n x 1 [ n x {e} _____________________________* *_______ ____________________________________________________________* *____________________________________________________________________@ ________________________________________________________* *____________________________________________________________________@ ____________________________________________________* *____________________________________________________________________@ _______________________oeoe____________________* *____________________________________________________________________@ __________//__________________________* *____________________________________________________________________@ Il r'esulte du th'eor`eme 1.3.10 que le morphisme jn,eest dans i-1W. Consid'ero* *ns `a pr'esent un 'el'ement f de Wb . Par l'argument du petit objet appliqu'e `a J* * (voir la preuve de [6, chapitre VI, proposition 5.5.1]), il admet une factorisation de la forme f = pi, o`u i est un compos'e transfini d'images directes de sommes d''el'ements de J, et o`u p est une fibration de Kan. Comme i est dans Wb , il * *en est de m^eme de p, et donc p est une fibration triviale. Or ce qui pr'ec`ede, l* *e lemme 1.1.5 et le th'eor`eme 1.3.10 montrent que i est dans i-1W, et en vertu du lemme 2.2.8, le morphisme p est aussi dans i-1W. 2.2.10. La notion de localisateur fondamental est stable par intersections. On d'efinit le localisateur fondamental minimal comme l'intersection de tous les l* *oca- lisateurs fondamentaux. Th'eor`eme 2.2.11. Les 1-'equivalences forment le localisateur fondamental mi- nimal. D'emonstration. Soit W un localisateur fondamental. En vertu de 2.2.9, on a l'i* *n- clusion Wb i-1W, et donc il r'esulte de 2.2.4 que W1 = N-1 Wb W. Comme W1 est un localisateur fondamental (2.1.13), cela ach`eve la d'emonstration. LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 21 2.3. Crit`ere local. 2.3.1. Soit W FlCat. Un foncteur entre petites cat'egories u : A - ! B est W -localement constant si pour toute fl`eche b - ! b0 de B, le foncteur induit A=b -! A=b0est dans W . Th'eor`eme 2.3.2 (Quillen). Soit u : A -! B un foncteur W1 -localement constant. Alors pour tout objet b de B, le carr'e suivant est homotopiquement cart'esien dans b . N A=b _____//NA | N u=b|| |Nu| fflffl| fflffl| N B=b _____//NB D'emonstration.Il s'agit d'une interpr'etation directe de [14, th'eor`eme B] da* *ns la cat'egorie des ensembles simpliciaux. Corollaire 2.3.3. Une foncteur W1 -localement constant est une 1-'equivalence si et seulement s'il est asph'erique (au sens de W1 ). D'emonstration.C'est une condition suffisante car W1 est un localisateur fon- damental (2.1.13). Il r'esulte aussit^ot du th'eor`eme pr'ec'edent que c'est au* *ssi une condition n'ecessaire. Proposition 2.3.4. Si A -! B est une 1-'equivalence, alors l'application in- duite ß0A -! ß0B est bijective. D'emonstration.Cela r'esulte de la propri'et'e analogue pour les 'equivalences * *faibles de b et du fait que le foncteur nerf commute aux sommes. Une autre mani`ere de la montrer consiste `a consid'erer la classe W0 des fl`eches de Cat induisant une bijection apr`es application du foncteur ß0. On remarque que le foncteur ß0 : Cat -! Ens commute aux petites limites inductives, car c'est un adjoint `a gauche de l'inclusion canonique Ens -! Cat. Cela permet de v'erifier facilement que W0 est un localisateur fondamental (car comme les limites inductives sont universelles dans Cat, si A - ! B est un foncteur, alors A est canoniquement isomorphe `a la limite inductive des cat'egories A=b, b 2 Ob B). Le th'eor`eme * *2.2.11 implique alors l'assertion. 2.3.5. Le corollaire 2.3.3 et la proposition 2.3.4 caract'erisent totalement le* * loca- lisateur fondamental W1 : Th'eor`eme 2.3.6. Soit W un localisateur fondamental tel que toute W-'equiva- lence A -! B induise un bijection ß0A -! ß0B, et tel que toute W-'equivalence W-localement constante soit W-asph'erique. Alors W = W1 . D'emonstration.En vertu du th'eor`eme 2.2.11, on sait d'ej`a que W1 W. La d'emonstration de l'inclusion inverse se fait en plusieurs 'etapes. On appellera aussi W-'equivalences les morphismes d'ensembles simpliciaux dont l'image par le foncteur i est dans W. Un ensemble simplicial X sera dit W-asph'erique si X -! 0 est une W-'equivalence. En vertu de 2.2.4, il suffit de montrer que rou* *te W-'equivalence en ce sens est une 'equivalence faible au sens de 2.1.2. 22 DENIS-CHARLES CISINSKI 2.3.6.1. Si p : X -! Y est une fibration de Kan, alors le foncteur i p est W-localement constant. Pour toutes fl`eches u : m -! n et n - ! Y , si on forme les carr'es cart'esiens m xY X _v__//_ n xY X_____//X | | | | | |p fflffl| fflffl| fflffl| m ____u_____//_ n_______//Y , la fl`eche v est dans Wb (propret'e `a droite de la structure de cat'egorie de * *mod`eles ferm'ee 2.1.2, cf. [2]). Comme le foncteur i commute aux produits fibr'es (1.3* *.6) et envoie Wb dans W (2.2.9), cela montre l'assertion. 2.3.6.2. Une fibration de Kan est une W-'equivalence si et seulement si ses fib* *res sont W-asph'eriques. Cela r'esulte de 2.3.6.1, de l'hypoth`ese qu'une W-'equivalence W-localement constante est W-asph'erique, et du lemme 1.3.6. 2.3.6.3. Un complexe de Kan W-asph'erique est W1 -asph'erique. Soit X un complexe de Kan W-asph'erique. Comme ß0X est l'ensemble `a un 'el'ement, X est en particuler non vide. Soit x un 0-simplexe de X. On va montr* *er que l'espace des lacets (X, x) est aussi W-asph'erique. Les projections XxX -! X sont encore des W-'equivalences (2.2.7), et comme X est un complexe de Kan, les morphismes Hom__( 1, X) -! X induits par les faces ffi01et ffi11sont des fi* *brations triviales, et par suite, des W-'equivalences (2.2.9). Par saturation, on en d'e* *duit que la fibration de Kan Hom__( 1, X) -! Hom__(@ 1, X) ' X x X est une W-'equivalence. Or l'espace des lacets est obtenu par le carr'e cart'es* *ien ci-dessous. (X, x) __________________//Hom_( 1, X) | | | | fflffl|~ fflffl| 0 ______//_ 0 x 0_xxx__//X x X Il r'esulte donc de 2.3.6.2 que (X, x) est W-asph'erique. On en d'eduit par r'* *ecurrence que pour tout n 0, n(X, x) est W-asph'erique. Comme W W0, cela implique que les groupes d'homotopie ßn(X, x) sont tous triviaux, ce qui prouve l'assert* *ion. 2.3.6.4. Toute fibration de Kan qui est une W-'equivalence est une W1 -'equiva- lence. Soit p : X -! Y une telle fibration de Kan. Comme l'application ß0X -! ß0Y est bijective, il suffit de montrer que pour tout n 1, et tout 0-simplexe x de X, ßn(X, x) -! ßn(Y, y), y = p(x), est un isomorphisme de groupes. Or si Xy d'esigne la fibre de p en y, c'est un complexe de Kan qui est, en vertu de 2.3.* *6.2, W-asph'erique. Il r'esulte donc de 2.3.6.3 que Xy est W1 -asph'erique, et la lo* *ngue suite exacte de Serre associ'ee `a p permet de conclure. LE LOCALISATEUR FONDAMENTAL MINIMAL 23 2.3.6.5. Toute W-'equivalence est une W1 -'equivalence. Soit u une W-'equivalence. On factorise u en une cofibration triviale i suivie d'une fibration de Kan p. En vertu de 2.2.9, i est une W-'equivalence, et donc par saturation, il en est de m^eme de p. Il r'esulte donc de 2.3.6.4 que p est * *une W1 -'equivalence, ce qui ach`eve la d'emonstration. Remarque 2.3.7. On peut montrer qu'un localisateur fondamental v'erifie la cond* *i- tion de connexit'e ci-dessus si et seulement s'il est non trivial dans le sens * *o`u il ne contient pas toutes les fl`eches entre cat'egories non vides (cf. [5, 7.2]). R'ef'erences [1]A. K. Bousfield, D.M. Kan. Homotopy limits, completions, and localization. * *Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Springer-Verlag, 1972. [2]A. K. Bousfield, E. M. Friedlander. Homotopy theory of -spaces, spectra, a* *nd bisimplicial sets, in Geometric Applications of Homotopy Theory II (Proc. Conf. Evanston* *, Ill., 1977, M. G. Barrat and M. E. Mahowald eds.), pages 80-130. Lecture Notes in Mathe* *matics, Vol. 658. Springer-Verlag, 1978. [3]D.-C. Cisinski. Images directes cohomologiques dans les cat'egories * * de mod`eles. Pr'epublication. http ://www.math.jussieu.fr/ecisinski/. [4]D.-C. Cisinski. Propri'et'es universelles et extensions de Kan d'eriv'ees. * *En pr'eparation. [5]D.-C. Cisinski. Les pr'efaisceaux comme mod`eles des types d'homotopie. Th`* *ese de doctorat de l'Universit'e Paris 7, 2002. [6]P. Gabriel, M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Ergebniss* *e der Mathe- matik, Band 35. Springer-Verlag, 1967. [7]A. Grothendieck. Rev^etements 'etales et groupe fondamental (SGA1). Lecture* * Notes in Mathematics, Vol. 224. Springer-Verlag, 1971. [8]A. Grothendieck. Pursuing stacks. Manuscrit, 1983. [9]P. S. Hirschhorn. Localization of model categories. En pr'eparation. [10]M. Hovey. Model Categories. Math. surveys and monographs, Vol. 63. Amer. Ma* *th. Soc., 1999. [11]L. Illusie. Complexe cotangeant et d'eformation II. Lecture Notes in Mathem* *atics, Vol. 283. Springer-Verlag, 1972. [12]G. Maltsiniotis. La th'eorie de l'homotopie de Grothendieck. Pr'epu* *blication. http ://www.math.jussieu.fr/emaltsin/. [13]D. Quillen. Homotopical Algebra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 43. Spr* *inger-Verlag, 1967. [14]D. Quillen. Higher algebraic K-theory, Higher K-theories I, pages 85-147. L* *ecture Notes in Mathematics, Vol. 341. Springer-Verlag, 1973. [15]R. Thomason. Cat as a closed model category. Cahiers de topologie et g'eom'* *etrie diff'erentielle cat'egoriques, XXI-3 :305-324, 1980. Institut de Math'ematiques de Jussieu, Universit'e Paris 7 Denis Diderot, Case 7012, 2 place Jussieu, 75 251 Paris cedex 05 France E-mail address: cisinski@math.jussieu.fr