La filtration du degre sur la cohomologie modulo 2 des 2-groupes abelienselementaires Laurent Piriou et Lionel Schwartz December 20, 2000 Abstract Cet article traite d'un resultat reliea ce qu'il est convenu d'appeler la conjecture artinienne (ou conjecture de finitude). Cette conjecture peut s'enoncer de la facon suivante. Considerons la categorie F des foncteurs de la categorie des espaces vectoriels sur le corpsa deux elements, de dimension finie, dans celle de tous les espaces vectoriels. Considerons la sous-categorie pleine des foncteurs dont l'enveloppe in- jective est une somme directe finie d'objets injectifs indecomposables. La conjecture est que cette sous-categorie est abelienne. En l'occurence le seul pointa demontrer est qu'elle est stable par quotient. Le resultat demontre dans cet article montre que le treillis des sous-objets des injectifs standards de la categorie est "aussi simple" que possible en ce qui concerne la fitration par le poids des modules instables. On montre que les filtrations par le poids et celle des socles sont compatibles en un sens approprie. En appendice, outre des rap- pels, on inclut un resultat montrant que certains modules instables sont cycliques. 1 Introduction Dans cet article on compare deux filtrations naturelles sur les injectifs stan- dards de la categorie F! des foncteurs analytiques. La premiere est donnee par le degre d'Eilenberg-Mac Lane, specifiquea la situation dans laquelle nous nous trouvons [HLS], [Sc], [K1]. Rappelons que 1 l'on definit la notion de foncteur de degre inferieur ouegala n de la maniere suivante. On note l'endofoncteur de la categorie F determine par (F )(V ) = ker(F (V F2) ! F (V )) : On dit alors qu'un foncteur est de degre inferieur ouegala n si n+1(F ) = 0. On definit aussi la notion de plus grand sous-foncteur de degre inferieur ou egala n d'un foncteur F quelconque, on le note tn(F ). Un foncteur F est dit analytique si il est limite directe des foncteurs tn(F ). La seconde filtration est celle de Loewy, ou filtration des socles. Elle est definie dans toute categorie abelienne. * Si on considere le foncteur V 7! FV2 il est facile de voir que ces deux filtr* *a- tions sont identiques. Ce foncteur qui represente F 7! F (F2)* est un objet injectif standard de F. Le resultat montre qu'en un sens approprie, ces deux filtrations sont com- patibles. Soit IE , le foncteur qui represente le foncteur F 7! F (E)* de la categorie F vers la categorie E, c'est-a-dire tel que l'on a uneequivalence naturelle de foncteurs : Hom F (F; IE ) ~=F (E)* : Il est donne par la formule suivante : V 7! FHom2(V;E) ; ou le membre de droite est l'ensemble des fonctions (applications d'ensemble) de Hom (V; E) dans F2. Ces objets sont les cogenerateurs injectifs standards de la categorie. On a : Theoreme 1.1 Soit E un 2-groupe abelienelementaire de dimension d. Si n > d2d tous les sous-foncteurs simples dans le quotient de IE =tn(IE ) sont de degre n + 1. Autrement dit le socle de IE =tn(IE ) est somme directe finie de foncteurs simples de degre n + 1. Ce probleme aeteetudie depuis plusieurs annees par les deux auteurs, mais sa demonstration n'a t complte que recemment. G. Powell en a donne une demonstration independante pour dim (E) = 2. Dans la mesure ou les foncteurs IE sont des cogenerateurs pour la categorie 2 F le resultat s'etenda tout foncteur analytique F dont le socle est fini, c'e* *st- a-dire somme directe d'un nombre fini de foncteurs simples. En effet un tel foncteur F se plonge dans une somme directe finie de foncteurs IE ([Sc]). Les filtrations par le degre et de Loewy sur F sont alors les filtrations induites par celles des IE . Theoreme 1.2 Soit F un foncteur dont l'enveloppe injective est facteur di- rect dans une somme directe finie d'injectifs indecomposables. Soit n un entier assez grand. Le socle de F=tn(F ) est somme directe finie de foncteurs simples de degre n + 1. Ce resultat suggere la question suivante : Question 1.1 Soit F un foncteur dont l'enveloppe injective est facteur direct dans une somme directe finie d'injectifs indecomposables. Alors le quotient tn(F )=tn+1(F ) admet-il une filtration dont les quotients sont des foncteurs* * de Weyl des que n est assez grand? Lesenonces ci-dessus peuvent ^etre poses, de maniereequivalente, dans la categorie des modules instables sur l'algebre de Steenrod. Et, en fait, c'est dans celle-ci que nous allons travailler. Rappelons que la categorie des mod- ules instables quotientee par la sous-categorie des modules nilpotents est equivalentea la categorie de foncteurs analytiques, c'est-a-dire limite directe de foncteurs polynomiaux [HLS] (part 1). Comme le foncteur IE est l'image, par l'equivalence de categorie U=N il ~= F!, [HLS], de la cohomologie mod- ulo 2 H*E du 2-groupe abelienelementaire E les questions posees, portent, alors sur la cohomologie H*E modulo 2 d'un 2-groupe abelienelementaire E. Celle ci aeteetudiee en details durant ces vingt dernieres annees, en ce qui concerne ses proprietes en tant que module instable et algebre instable sur l'algebre de Steenrod. Celles ci sonta la source de resultats fondamentaux en theorie de l'homotopie [Mi], [La]. L'analogue (voir Appendice A) de la filtration par le degre sur IE est obtenu comme suit. La cohomologie H*E est une algebre de Hopf (de m^eme que le foncteur IE est un foncteur en F2-algebre de Hopf) et la filtration corre- spondante n'est autre que la filtration primitive. A la notion de degre d'un foncteur polyn^omial correspond celle de poids pour un module instable. On peut alors formuler lesenonces correspondants. Ce sont eux que l'on va demontrer les resultats. 3 L'avantage est que dans ce contexte nous pourrons utiliser les operations de Steenrod. Il existe une notion de vecteur de poids maximal pour unelement dans un module instable reduit, definie via l'equivalence de categorie avec les foncteurs polyn^omiaux. Dans une large mesure les resultats centraux de cet article sont le comportement de ces vecteurs de poids maximal par rapporta certaines operations de Steenrod ainsi que leur interpretation pour unelement dans une algebre de polyn^omes. La demonstration repose aussi sur les proprietes de la base standard des modules de Weyl, et sur le fait que l'action de l'algebre de Steenrod est particulierement facilea calculer sur d* *es elements de base particulier, dits semi-standards. 2 Un cas particulier Dans cette section onetudie un cas particulier. La reduction du theoreme 1.1a ce cas est faite dans les sections suivantes. On rappelle d'abord l'enon* *ce. Soit V un F2-espace vectoriel de dimension d. On a donc H*V ~= F2[x1; : :;:xd* *], ou {x1; : :;:xd} est une base de V *. On conservera cette notation dans toute la suite. Le lecteur qui n'est pas familier avec la terminologie et les resultats sur les modules instables, sur le poids et sur H*V pourra commencer par lire l'appendice A qui contient les rappels necessaires pour la suite, et il pourra consulter l'appendice B pour les operations Pts. Dans l'enonce suivant par sous-objets simples de H*V=Pn-1(H*V ) on entend modules instables reduits N il-fermes simples en tant qu'objet dans U=N il. La simpliciteequivauta dire que le quotient par tout sous-module non-trivial est un module instable nilpotent. On commence par reformuler le theoreme 1.1 : Theoreme 2.1 Le socle de Pn(H*V )=Pn-1(H*V ) est un sous-objet du socle de H*V=Pn-1(H*V ). Il co"incide avec lui si n > d2d. Par consequent tous les sous-objets simples de H*V=Pn-1(H*V ) sont de poids exactement n des que n > d2d. Ceci implique le theoreme 1.1 car, les objets contenus dans le socle de Pn(H*V )=Pn-1(H*V ) considere comme objet dans U=N il, sont de poids n en tant que modules instables (A.5). 4 Pour demontrer 2.1 il suffit de montrer la proposition suivante : Proposition 2.2 Soit d = dim (V ). Supposons que n > d2d, alors pour tout element x 2 Pn(H*V ) tel que x 62 Pn-1(H*V ) on peut trouver une operation de Steenrod fi telle que fi(x) 2 Pn-1(H*V ) et fi(x) 62 Pn-2(H*V ). Le lemme suivant decrit l'action d'operations de Steenrod sur certaines class* *es p 2 Pn(H*V ) H*V ~= F2[x1; : :;:xd] telle que p 62 Pn-1(H*V ). Il montre que la proposition 2.2 a lieu pour ces classes. On montrera apres que l'on peut se ramenera travailler sur ce type de classes. Soit = (1; : :;:t) une partition 2-reguliere pour les colonnes On a donc i-i+1 1 pour tout i. D'apres A.4 on a aussi 1 d. Soit = (1; : :;:h) sa partition conjuguee (ou associee), c'est-a-dire que : j = Card {i | i j} ; on a t = 1 et h = 1. La partition est 2-reguliere, c'est-a-dire que i > i+1, pour tout i. On conserve ces notations dans la suite. Soit un ensemble S d'entiers {h1; : :;:ht}, avec hi < hj si i < j. On suppose aussi la suite hi croissante, et que pour tout i on a l'inegalite : i-1X 2hi> j2hj : 1 Cette condition assure que l'operation % introduite plus bas agit sur les elements consideres comme une derivation, (cf. Appendice B). Lemme 2.3 Supposons que le polyn^ome p 2 F2[x1; : :;:xd] est de poids n exactement et est somme de mon^omes de la forme : xk11: :x:kdd; ou o ou chaque exposant ki s'ecrit : X ki = 2bi;j ; j ou les entiers bi;j, qui sont non-necessairement deuxa deux distincts (il ne s'agit donc pas necessairement de la decomposition 2-adique de ki), appartiennenta l'ensemble {h1; : :;:ht}, 5 o le nombre d'entiers bi;jegauxa h` estegala `, Supposons enfin que : o n > d2d, et que o si i < j et i = j, la classe Phhij-hi(p) est de poids au plus n - 1. Alors il existe une operation Pts = % telle que %(p) 2 Pn-1(H*V ), mais %(p) 62 Pn-2(H*V ). L'hypothese est donc que les m^onomes qui apparaissent dans p ont des ex- posants qui s'ecrivent comme somme des 2h`. La puissance 2h` peut ap- para^itre plusieurs fois dans l'exposant d'un xi donne, et apparait en tout exactement ` fois. Un tel mon^ome est de poids strictement inferieura n si une m^eme puissance 2h` appara^it plusieurs fois dans l'exposant d'un m^eme xi. En d'autres termes si la decomposition donnee ci-dessus des exposants en somme de puissances de 2 est la decomposition 2-adique le mon^ome est de poids n, et ne l'est pas sinon. Demonstration : Choisissons un mon^ome m = xk11: :x:kdd de poids n dont le coefficient est non-nul dans le polyn^ome p, un tel mon^ome existe car p est de poids n (Appendice A). Lemme 2.4 Il existe une paire (a; b) d'elements de S tel que, pour tout entier i, 1 i d o soit 2a et 2b apparaissent tous les deux dans la decomposition donnee en somme de puissances de 2 de ki, o soit ni 2a, ni 2b n'appara^issent. C'est un argumentelementaire de denombrement. A l'entier hj 2 S on asso- cie un sous-ensemble de {1; : :;:d} : on considere le sous-ensemble des indices i de {1; : :;:d} pour lesquels 2hj apparait dans la decomposition donnee de ki en somme de puissances de 2, par hypothese il appara^it une fois au plus car le mon^ome est de poids n. Il y a 2d sous-ensembles. Donc des que 1 = t > 2d un m^eme sous-ensemble (au moins) doit appara^itre deux fois, pour a = h` et b = hk, on notera que ` = k. 6 Or n > d2d. Sous cette hypothese on montre alors facilement que pour une partition de l'entier , 2-reguliere pour les colonnes, on a 1 = t > 2d. Le lemme 2.4 est donc demontre. On suppose que a < b, et on pose % = Ptsavec s = a et a + t = b. La proposition suivante acheve cette partie de la demonstration. Proposition 2.5 L'element Pab-a(p) est non-nul et de poids exactement n - 1. Demonstration : La derniere hypothese de 2.3 implique que la classe Pba-a(p) est donc de poids au plus n - 1. Elle est de poids exactement n - 1a cause des observations suivantes : o A cause de l'inegalite : i-1X 2hi> j2hj : 1 l'operation % sur leselements consideres comme une derivation (cf. Appendice B). Plus precisement sur un mon^ome qui verifie les deux premieres conditions du lemme 2.3 on a : X k -2a+2b k %(xk11: :x:kdd) = xk11: :x:`` : :x:dd b`;k=a o Soit m le mon^ome considere plus haut et soit T {1; : :;:d} l'ensemble des indices i tels que la decomposition de l'exposant ki de xi comporte 2a et 2b une fois et une seule, soit "ki= ki- 2a - 2b. Le calcul montre que X "ki+2b+1Y kj %(m) = xi xj : i2T j6=i o Ce terme est non nul et de poids n - 1, exactement. Pour montrer que %(p) l'est aussi il suffit de montrer qu'en appliquant %a un autre mon^ome apparaissant dans p, soit 0 k0 m0= xk11: :x:dd ; on ne peut obtenir les mon^omes du membre de droite de l'equation ci-dessus; 7 o or l'effet de l'operation % sur m0est de substituer dans l'exposant d'une variable xiune puissance 2ba une puissance 2a, et de sommer sur toutes les occurences de cette situation. On a donc : k0i X k0i-2a+2b k0j %(i xi ) = xi j6=ixj ; i2Z ou Z est l'ensemble des indices i, pour lesquels 2a apparait dans la decomposition 2-adique de l'exposant k0i; o si m0est de poids n les termes dans le membre de droite ci-dessus sont de poids n si 2b n'appara^it pas dans la decomposition 2-adique de k0i, mais par hypothese, les termes de poids n s'annulent. Supposons donc que 2b appara^it dans la decomposition, pour tout i 2 Z. On a donc uneequation : X "k0+2b+1Y kj %(m0) = xi i xj : i2Z j6=i Si un terme du membre de droite de cetteequation estegala un terme du membre de droite de l'equation analogue pour %(m), on a clairement m = m0. Donc les mon^omes m0de poids n ne peuvent creer de termes annulant un mon^ome de %(m). o Il restea considerer les mon^omes m0 de poids n - 1. Quand on ap- plique l'operation %a m0elle agit comme une derivation, en particulier P k0iQ k0j k0i on a %(m0) = i %(xi j6=ixj . Par ailleurs %(xi ) est non nul si et seulement si 2a apparait dans la decomposition 2-adique de l'exposant k0i. o si 2b apparait aussi dans la decomposition le facteur obtenu sera de poids inferieur ouegala n - 2; o sinon, les termes obtenus sont des mon^omes de poids n - 1. L'exposant d'une variable xi comportera dans sa decomposition 2-adique 2b, or les termes de %(m) n'ont pas cette propriete. Ceci acheve l'argument. 8 On doit maintenant expliquer comment se reduirea des classes de ce type. On donne ci-dessous la premiere partie de la reduction, et on achevera ceci dans la section suivante. On donne auparavant voici des rappels. Les objets simples de la categorie U=N il sont decrits dans ([FS], [Sc]) de la maniere suivante : on donne une liste de representants de modules insta- bles reduits N il-fermes qui sont simples en tant qu'objet dans U=N il. La simplicite dans U=N ilequivauta dire que le quotient par tout sous-module non-trivial est un module instable nilpotent. Dans la suite, par abus de langage, on dira souvent modules reduits simples. On conserve dans toute la suite les notations et introduites plus haut pour une paire de partitions conjuguees. Si est 2-reguliere pour les colonnes est 2-reguliere. Les partitions 2-regulieres pour les colonnes classifient les representations irreductibles sur F2 du groupe symetrique Sn. A une partition 2-reguliere pour les colonnes on associe un symetriseur d'Young s 2 F2[Sn]. La representation simple associee est isomorphea s F2[Sn]. L'element s n'est pas determine de maniere unique. Par exemplea la partition(1; : :;:1)est associee la representation triviale de dimension 1, et ____-z___" n fois l'element s associe (unique dans ce cas) est la somme de tous leselements du groupe Sn. On renvoiea [Sc], [PS] et [K] pour plus de details. Les modules reduits simples sont indexes par les partitions 2-regulieres pour les colonnes, l'entier n decrivant tous les entiers non-negatifs. Soit F (1) le module instable libre en un generateur de degre 1. Il s'identifie au sous-module de l'algebre polynomiale F2[u] engendre par la classe u. Il n admet pour base en tant que F2-espace vectoriel gradue leselements u2 . Le module instable reduit simple associea une partition est isomorphea s F (1)n : On le notera S (F (1)). Par exemplea la partition (1; : :;:1)est associe le module n(F (1)). ____-z___" n fois Une autre description du module reduit simple est donnee, dans le contexte des foncteurs, dans [PS]. Soit la partition conjuguee de . Le foncteur est alors un sous-quotient du foncteur : O V 7! i (V ) i=1;:::;d 9 C'est l'unique facteur de composition superieur d'un sous-objet du produit tensoriel qui est determine comme noyau d'une certaine application. Ce noyau, note W (V ), est appele module de Weyl. Dans la prochaine section on reprendra rapidement cette construction dans le cadre des modules instables, et on decrira des generateurs de ces modules en tant que modules sur l'algebre de Steenrod. Pour achever de demontrer 2.2 il faut remplacer la classe x par une classe p qui satisfait aux hypotheses de 2.3.Voici la premiereetape de ce processus, annoncee plus haut, elle releve de generalites sur la theorie des modules. Soit x 2 Pn(H*V ) tel que x 62 Pn-1(H*V ) et x 2 Pn(H*V )=Pn-1(H*V ) sa reduction. Le socle de ce module -considereevidemment comme objet dans U=Nil -[Sc] chapitre 5- est une somme directe de la forme S (F (1))a , la sommeetant prise sur les partitions 2-regulieres pour les colonnes de n. Le facteur S (F (1))a est appele la composante isotypique associeea . Tout sous-module non-trivial de Pn(H*V )=Pn-1(H*V ) a une intersection non-triviale avec le socle. On peut donc trouver une operation de Steenrod ! telle que !(x)Pest non-nulle et dans le socle de Pn(H*V )=Pn-1(H*V ). Soit !(x) = z , ou z est dans la composante isotypique associeea . Soit I l'ideala gauche de A annulateur de z . Si z est non-nul le module instable Az est isomorphea S (F (1)) dans U=N il (par simplicite de S (F (1))). Soit ff une partition (2-reguliere pour les colonnes) de n, des arguments classiques de theorie des modules -utilisant la simplicite des S (F (1))- montrent alors que l'ideal Iffn'est pas contenu dans l'intersection des ideaux I , 6= ff. On obtient alors, encore une fois utilisant des arguments classiques, que : Proposition 2.6 Il existe une operation de Steenrod telle que : o la reduction de y = (x) dans Pn(H*V )=Pn-1(H*V ), est non nulle, et dans le socle de ce module; o de plus, elle est dans une composante isotypique de ce socle. Il faut maintenant modifier la classe y pour qu'elle ait les proprietes requises par 2.3. Ceci depend essentiellement de la structure des objets simples de U=N il. 10 3 eGnerateurs des modules de Weyl et des modules simples Cette section debute par une description plus explicite des modules de Weyl, des modules reduits simples et de leurs generateurs. Une part de ce qui suit de ce qui suit peut ^etre trouve dans [JK], [FS], [Sc] et [PS]. La difference, avec [PS], ou on travaille dans le contexte des foncteurs, est que nous aurons besoin d'informations sur les generateurs des modules en question. Enfin dans [FS] on utilise, non pas les modules de Weyl, mais leurs duaux. Ceci etant, dans une tres large mesure les resultats ci-dessous peuvent ^etre deduits de ces deux references et de [JK]. Le theoreme suivant decrit les principales proprietes des modules de Weyl. Theoreme 3.1 Soit une partition 2-reguliere pour les colonnes de l'entier n, et = (1; : :;:h la partition conjuguee. Le module de Weyl W (F (1)) est un sous-module du produit tensoriel suivant : 1 (F (1)) : : :h (F (1)) : Il est defini commeetant le noyau d'une application dans une somme directe de produit tensoriel de puissances exterieures. L'element i=dO -1 w = u ^ u2 ^ u4 ^ : :^:u2i i=1 est un generateur comme module sur l'algebre de Steenrod du module de Weyl W (F (1)). En tant qu'objet dans la categorie U=N il le module de Weyl a un unique facteur de composition superieur. C'est-a-dire que son quotient semi-simple maximal est simple. De plus ce quotient est de degre exactement n. L'application definissant W (F (1)) comme un noyau est decrite en details dans [PS] dans le contexte des foncteurs. Elle est decrite ici brievement dans celui des modules. Cette construction est celle du theoreme des noyaux de James. Soit le module a(F (1)) b(F (1)), a b, pour 1 t b soit l'application a;b;t: a(F (1)) b(F (1)) ! a+t(F (1)) b-t(F (1)) 11 qui est la composee des applications suivantes : a(F (1)) b(F (1)) 1t-!a(F (1)) t(F (1)) b-t(F (1)) a(F (1)) t(F (1)) b-t(F (1)) multId-!a+t(F (1)) b-t(F (1)); L'application t est induite par la diagonale F (1) ! F (1) F (1), de b(F (1)) dans b(F (1) F (1)) ~= k+`=b k(F (1)) `(F (1)), composee avec la projection sur le facteur concerne, et mult designe la multiplication. On note alors a;bl'application de source a(F (1)) b(F (1)), qui est le produit des applications a;b;t, a t 1. Onetend l'application i;i+1 en une application de source par tensorisationa gauche eta droite par l'identite. Puis sommant sur l'indice i de 1a d - 1 on obtient une application de O i (F (1)) i dans une somme directe de produits tensoriels de puissances exterieures. Soit cette application. Le theoreme des noyaux de James dit essentiellement que : Theoreme 3.2 Le module W (F (1)) est contenu dans etegal au noyau Ker . Cetenonce suppose,evidemment, que l'on a donne une autre description du module de Weyl, par exemplea l'aide des symetriseurs de Young (pour les partitions 2-regulieres) comme cela aete fait plus haut. Ce resultat, rend transparent le fait que l'element w , et plus generalement leselements w (x) definis ci-dessous, appartiennent au module de Weyl. Il faut maintenant preciser l'affirmation sur les symetriseurs d'Young. La discussion qui suit ne vaut que sous l'hypothese que est 2-reguliere. Il existe unelement " 2 Sn tel que le module W (F (1)) est isomorphe au module " F (1)n . Une formule explicite pour " se trouve dans [JK]. Il peut ^etre choisi comme le produit C R , de la somme C 2 F2[Sn], deselements du groupe Sn qui laissent fixe les colonnes du diagramme de Young associe a , par la somme R 2 F2[Sn], deselements qui laissent fixe les lignes. Pour toute partition l'element w s'ecrit : i=hO -1 w := C u u2 u4 : : :u2i ; i=1 12 dans cette formule les colonnes du diagramme de Young correspondenta la partition de l'ensemble {1; : :;:n} donnee par {1; : :;:1}; {1 + 1; : :;:1 + 1; : :;:1 + 2}; : :.: Comme la partition est 2-reguliere pour les colonnes on a : w = C R !e avec i=hO -1 !e := u2i : : :u4 u2 u : i=1 Cetenonce se trouve dans les exercices de [JK] (Chap. 8 8.2, 8.3). On a donc : W (F (1)) ~=C R F (1)n : On a : Theoreme 3.3 W (F (1)) ~=Aw Ce resultat aete demontre par le second auteur. La demonstration aete ecrite en details par P. Krason dans sa these. Un resultat aussi precis n'est pas necessaire ici. Un resultat plus faible, vrai pour toute partition , et p* *lus facilea demontrer suit. La demonstration de 3.3 sera donnee en appendice. La troisieme partie du theoreme 3.1 est exploree en details dans [FS], [PS], [Sc], et peut ^etre deduite de [K1]. En fait le module simple S (F (1)) est aussi donne par la formule : S (F (1)) ~=R C R F (1)n : Definition 3.4 On dira qu'unelement x d'un module instable M est F - generateur si le quotient M=Ax est nilpotent. Par definition d'un objet simple dans U=N il on a : Lemme 3.5 Unelement quelconque non nul de S (F (1)) est un F -generateur. Le resultat annonce ci-dessus s'exprime comme suit. Soit x = {x(i)}, 1 i 1, une suite strictement croissante d'entiers positifs ou nuls. On a : 13 Proposition 3.6 L'element i=dO ^ x(j) w (x) := u2 ; i=1 1ji est un F -generateur du module de Weyl. Ces F -generateurs seront dits semi- standards. Comme plus haut, l'element w (x) est de la forme C R we (x) pour un cer- tain tenseur ew (x) dans F (1)n . Soit n entiers deuxa deux distincts a1; : :;:an et soit a = (a1; : :;:an). Proposition 3.7 L'element i=nO a u (a) = C R u2 i ; i=1 est un F -generateur de W (F (1)). Ces F -generateurs seront dits standards. Le degre ` d'un F -generateur standard est tel que ff(`) = n, ou ff est le nombre de puissances de 2 dans la decomposition 2-adique de `. On rappelle que est une partition de l'entier n. Ceci n'a pas lieu pour le degre d'un F -generateur semi-standard. LaNproposition 3.7 est consequence directe de l'observation suivante : l'eleme* *nt i=n 2ai n i=1u est un F -generateur pour F (1) , affirmation qui se demontrea l'aide des operations Ptsdecrites dans l'appendice B, voir [Sc] section 5.5. La demonstration de 3.6 est donnee ci-dessous. Soit une partition 2-reguliere pour les colonnes. Les projections deselements consideres en 3.5 et 3.6, dans le module simple S (F (1)), sont des F -generat* *eurs de S (F (1)). On les appellera aussi F -generateurs semi-standards et stan- dards. Par abus on conservera la m^eme notation. L'observation triviale suivante sera utilisee plus loin : si une operation de Steenrod annule un generateur de W (F (1)), elle annule aussi la projection de cette classe dans S (F (1)). Proposition 3.8 Les classes du socle de H*V=Pn-1(H*V ) qui sont associees a des generateurs semi-standards de S (F (1)) ont les proprietes requises par le lemme 2.3. 14 On va le verifier, et en m^eme temps montrer comment,a partir d'une classe quelconque se ramenera une classe associeea un F -generateur semi-standard. Demonstration de 3.6 et de 3.8 Considerons 3.6, on se place, pour simplifier les notations, dans le cas ou x(i) = i - 1, la demonstration s'etend sans peine au cas general. Soit l'operation : i=1Yj=iY j = Pci-1(i;j); i=1 j=1 ou on suppose que les entiers a(i;j):= i - 1 + c(i;j)sont deuxa deux distincts, et sont tous superieursa 1. L'application des regles de calculenoncees dans l'appendice B ci-dessous donne : Lemme 3.9 La classe j(w ) est le F -generateur standard u (a), avec a = (a(1;1); a(1;2); : :;:a(2;1); : :):. Ceci montre donc qu'il existe une operation envoyant w sur un F -generateur standard, et donc que w est un F -generateur. La demonstration s'etend sans problemea w (x). Soit u (a) un F -generateur standard, tel que decrit en 3.7. Pour demontrer 3.8 il faut reexpliciter la demonstration et decrire une operation OE et un ent* *ier h h tels que OE(u (a)) = Sqh0w (x) = w (x)2 . L'operation est donnee par la formule suivante : Y Y a` -j+1 OE = Phi-ia` -j+1; 1i1 1ji i ou `i-1 = 1 + : :i:-1, si i > 1, et `0 = 0. ou mi-1 = 1 + : :+:i-1, si i > 1, et m0 = 0. et hi = x(i) + h , l'entier h est assez grand pour que toutes les quantites hi- aj soient positives, et strictement superieure aux aj. Ces conditions assurent que chaque operation Ptsdans le produit n'agit que sur un des termes du tenseur. Lemme 3.10 On a : h OE(u (a)) = Sqh0(w (x)) = w (x)2 : 15 En effet : i=nO a i=1O O h+x(` -j)) OE( u2 i) = u2 i ; i=1 i=1 1ji ou `i-1 = 1 + : :i:-1, si i > 1, et `0 = 0. Soit i=1O O x(` -j) e!(x) = u2 i : i=1 1ji Comme plus haut les colonnes du diagramme de Young correspondenta la partition de l'ensemble {1; : :;:n} donnee par {1; : :;:1}; {1 + 1; : :;:1 + 1; : :;:1 + 2}; : :.: On a donc : h OE(u (a) = C R !e (x)2 : Enfin, comme la partition est 2-reguliere pour les colonnes, comme plus haut, on a : w (x) = C R !e (x) : Le resultat suit. Ces calculs qui sont faits dans W (F (1)), valent par projection dans son quotient simple S (F (1)). Revenonsa la demonstration de 3.8 eta la fin de la demonstration de 2.2 , que l'on va faire conjointement. On reprend donc l'argumentationa la fin de la section 2. On garde les hypotheses sur la classe y qui y sont faites. On suppose de plus qu'elle se projette sur un F -generateur standard d'un module isomorphea S (F (1)), on peut faire cela quittea remplacer y par fi(y) pour une operation appropriee fi. Son degre ` est donc tel que ff(`) = n. D'apres A.2, elle s'ecrit comme somme de mon^omes xk11: :x:kddavec ff(k1) + : :+:ff(kd) = n et k1 + : :+:kd = ` : Donc pour tout i, on peut trouver un sous-ensemble Si {1; : :;:n} avec X ki = 2aj ; j2Si 16 de plus les ensembles Si forment une partition de {1; : :;:n}, ils dependent evidemment du mon^ome choisi. Appliquons une operation de Steenrod OE telle que celle decrite auparavant dans cette section. Le lemme suivant montre que p = OE(y) 2 F2[x1; : :;:xd] satisfait aux hypotheses de 2.3 et termine donc la demonstration de 2.2 . Lemme 3.11 La classe de p dans le quotient par Pn-1(H*V ) s'identifiea un F -generateur semi-standard de S (F (1)). Le polyn^ome p est somme de mon^omes de la forme : xk11: :x:kdd; ou chaque exposant ki s'ecrit : X ki = 2bi;j ; j et les bi;jsont non-necessairement deuxa deux distincts, et appartiennent a l'ensemble {h1; : :;:ht}, t = 1, et le nombre d'occurences des indices bi;j egauxa h` estegala `. Les regles de calcul concernant les operations Ptsdonnent le lemme. Dans la suite on dira que la partition est vecteur de poids maximal de s 2 M, M module instable reduit, si la composante isotypique associeea S du quotient semi-simple maximal de As dans U=N il est non-nulle. Un element peut avoir plusieurs vecteurs de poids maximal. Les lemmes 3.10 et 3.11 ont comme corollaire : Corollaire 3.12 Si unelement x 2 F2[x1; : :;:xd] admet pour unique vecteur de poids maximal la partition et a pour image dans S unelement qui s'identifiea un F -generateur semi-standard, alors c'est un polyn^ome de la forme decrite dans 3.11. Inversement soit x 2 Pn(H*V ), et soit une partition 2-reguliere de l'entier n, supposons que x, en tant que polyn^ome en les variables xi soit somme de mon^omes de la forme : xk11: :x:kdd; ou chaque exposant ki s'ecrit : X ki = 2bi;j ; j 17 les bi;jappartiennenta un ensemble d'entiers deuxa deux distincts {h1; : :;:h* *t}, t = 1, enfin le nombre d'occurences des indices bi;jegauxa h` estegala `. Alors les vecteurs de poids maximal, qui sont partitions de l'entier n, de x sont des partitions 0 (0 2-reguliere pour les colonnes) avec inferieura 0 pour l'ordre naturel sur les partitions [JK]. La premiere partie du corollaire vient de ce que -a cause de 3.10- tout F - generateur semi-standard peut ^etre obtenu,aelevationa une puissance de 2 pres comme image sous l'action d'une operation d'un F -generateur standard comme il est decrit plus haut. Puis on applique 3.11. La seconde partie se demontre comme suit. On considere l'image de x dans le quotient Pn(H*V )=Pn-1(H*V ). Celui ci est isomorphea la somme directe M 1 (F (1)) : : :d (F (1)) ou = (1; : :;:d) parcourt l'ensemble de d-uplets d'entiers positifs ou nuls de somme n. Chaque produit tensoriel de puissances exterieures se plonge dans F (1)n [FS]. Par hypothese, via ce plongement, x a dans chacun des a1 2an facteurs pour image une somme de tenseurs de la forme u2 : : :u , ou les ai appartiennenta l'ensemble {h1; : :;:ht}, le nombre de ajegauxa hi etant i. Considerons l'application qui envoie le module instable engendre par x sur son quotient semi-simple maximal de poids n (au sens de la categorie U=N il). Tout module instable reduit simple de poids n se plonge dans F (1)n [FS]. Si bien que l'on obtient par composition une application OE, de source Ax Pn(H*V )=Pn-1(H*V ) et d'image une somme directe finie de F (1)n , telle que OE(x) soit dans le socle de l'image et ait les m^emes vecteurs de poids maximaux -en poids n- que x. Le module F (1)n est injectif parmi les modules instables reduits de poids n [FS]. L'application OE s'etend donc en une application de source une somme directe finie de F (1)n vers une image de m^eme type. L'anneau des endo- morphismes de F (1)n est l'algebre F2[Sn] [Sc], chaqueelement du groupe symetrique agissant par permutation des coordonnees. Il en resulte que OE(x) a1 2an est aussi une somme de tenseurs de la forme u2 : : :u , ou les ai ap- partiennenta l'ensemble {h1; : :;:ht}, le nombre d'occurence de hi parmi les ajetant i. Le resultat est alors une consequence de la description de la base des modules W donnee dans [JK], voir aussi l'appendice C. Elle donne par projection un 18 systeme generateur de S . On applique le resultat du chapitre 8 de [JK] en substituanta un espace vectoriel V le module instable F (1) et sa base canonique. On renvoie aussia [PS]. Or un exercice aise de combinatoire montre qu'unelement qui est somme de tenseurs du type decrit plus haut ne peut provenir que d'un 0-tableau, avec 0est inferieura ([JK] chapitre 8). Ceci setenda tout plongement de S dans F (1)n a cause des remarques faites plus haut : on passe d'un plongementa un autre par une application induite par une somme d'elements du groupe symetrique. Le resultat suit. A Le poids pour les modules instables Un module instable M est reduit si l'application x 7! Sq0(x) = Sq|x|x est injective ou s'il ne contient aucune suspension non-triviale. Si M est une algebre instable le terme de droite estegala x2, ce qui explique la terminologie. Les modules instables H*E sont des cogenerateurs pour les modules instables reduits [LS]. C'est-a-dire que tout module reduit se plonge dans un produit de H*E. Un module instable M est nilpotent si pour tout x 2 M il existe k tel que Sqk0x = 0. On rappelle que dans un algebre instable Sq0x = x2, par abus onecrira donc s s parfois x2 pour Sq0(x). Un module instable M est N il-ferme, s'il ne peut ^etre plonge dans un mod- ule N reduit distinct de lui-m^eme, et tel que pour tout x 2 N il existe k avec Sqk0(x) 2 M : Les modules instables reduits sont filtres par le poids, [FS]. Cette filtration corresponda celle du degre sur les foncteurs. Comme il aete dit plus haut, la filtration de H*E par le poids s'identifiea la filtration primitive. En utilisa* *nt le fait que les H*E sont cogenerateurs on induit la fitration par le poids sur un module reduit quelconquea partir de la filtration primitive des H*E. Cette filtration ne depend pas du plongement. Voici une caracterisation intrinseque de la filtration par le poids pour un module reduit. 19 Proposition A.1 Un module reduit M est de poids inferieur ouegala d si et seulement si il est nul en tout degre k tel que ff(k) > d, ou ff(k) designe le nombre de puissances de 2 dans la decomposition 2-adique (en base 2) de k. On dira que M est de poids d si il est de poids inferieur ouegala d, mais n'est pas de poids inferieur ouegala d - 1. On notera w(M) le poids d'un module, le poids w(x) d'unelement x 2 M est le poids du sous-module qu'il engendre. Voici un lemme utile : Lemme A.2 Soit M un module instable reduit de poids inferieur ouegala n. Unelement x 2 M est de poids n si et seulement si il existe une operation telle que ff(|(x)| = n. L'algebre H*V est une algebre de Hopf, soit Pn(H*V ) le n-ieme terme de la filtration primitive de H*V . Sur H*V la filtration par le poids est la m^eme que la filtration primitive. On a le resultat suivant qui permet de calculer le poids du sous-module, engendre par unelement x de H*V . Proposition A.3 (FS) Soit V un F2-espace vectoriel de dimension d. Soit x1; : :;:xd, une base de E*, alors H*V ~= F2[x1; : :;:xd]. Soit x 2 H*V , X a x = ua1;:::;adxa11: :x:dd ; (a1;:::;ad) la sommeetant prise sur un ensemble de multi-indices. Le poids du sous- module engendre par x estegala sup(a1;:::;ad)ff(a1) + : :+:ff(ad) ; le supetant pris sur les multi-indices (a1; : :;:ad) pour lesquels ua1;:::;adest non nul. Par consequent on a : o En degre ` tel que ff(`) = n, on a : (Pn(H*V )=Pn-1(H*V ))` ~=(Pn(H*V ))` ; o dans les degres ` tels que ff(`) n + 1 les deux modules sont triviaux, 20 o l'application quotient est non-injective dans les degres ` tels que ff(`) < n. Le resultat suivant est classique : Lemme A.4 Le quotient Pn(H*V )=Pn-1(H*V ) est isomorphea la somme directe : M 1 (F (1)) : : :d (F (1)) ou = (1; : :;:d) parcourt l'ensemble de d-uplets d'entiers positifs ou nuls de somme n. Le cas d = 1 est tres classique, et le cas general s'en deduit par produit tensoriel. C'est aussi un cas particulier de la description de la filtration primitive, et de ses quotients, sur une algebre instable "very nice", c'est-a- dire de la forme U(M), ou U designe le foncteur de Steenrod-Epstein [St], ici M ~=F (1)d . Rappelons que dans une categorie abelienne le socle d'un objet est le plus grand sous-objet semi-simple (i.e. somme directe d'objets simples) contenu dans cet objet. La simplicite dans tout ce qui suit estevidemment comprise au sens de la categorie U=N il. On a : Lemme A.5 Le module instable : 1 (F (1)) : : :d (F (1)) ; P avec ii = n , a une serie de Jordan-H"older finie dans U=N il. Les sous- objets simples de ce module sont : o de poids exactement n, i.e. ne sont pas de poids inferieur ouegala n - 1, o et leurs partitions associees sont de longueur au plus d. La premiere partie se deduit de [Sc] (5.3.5, 5.3.6), ou [K1] en utilisant l'equ* *ivalence de categorie U=N il ~= F!. La seconde resulte du cas 1 = 2 = : : := 1; c'est-a-dire du fait que les seuls sous-objets simples, dans la categorie U=N i* *l, de F (1)n sont de poids exactement n ([FS], [Sc] 5.6.3). La troisieme est dans [FS] (section 6). Le lecteur observera que dans cette reference l'indexation des objets simples est faite par les partitions duales. 21 B Les operations Pts s L'operation Pts2 A [Ma] est duale de l'element 2t du dual de Milnor de A. Les proprietes suivantes se deduisent de sa definition. s 2s+t o son action sur F (1) est donnee par Pts(u2 ) = u ; v o et par Pts(u2 ) = 0 si v 6= s; o sur F (1)k l'action Ptsest donnee par les observations suivantes, elle agit comme une derivation sur les tenseurs qui sont produits de classes v de la forme u2 avec v s, oetant donne un tenseur de la forme x y, ou x est produit de classes v 2v de la forme u2 avec v s et y est produit de classes de la forme u avec v < s, alors Pts(x y) = Pts(x) y + x Pts(y); a1 2ak o on en deduit que sur un tenseur u2 : :u: ou les entiers ai apparti- ennenta un ensemble d'entiers {h1; : :;:hk} ou les differences |hi- hj|, si hi 6= hj, sont grandes devant s, Ptsagit comme une derivation. C eDmonstration du theoreme 3.3 On va donner ici une demonstration du theoreme 3.3 distincte de celle donnee dans ses grandes lignes par le second auteur dans une lettrea N. Kuhn, et detaillee par P. Krason dans sa these. On reprend quelques notations de la section 3. Soit = (1; : :;:t) une partition de l'entier n, et soit = (1; : :;:h) la partition conjuguee, notons que t = 1 et h = 1. On suppose que est une partition 2-reguliere de l'entier n. On rappelle les deux partitions de l'ensemble [n] = {1; : :;:n}. La premiere, C , est constituee de 1 sous-ensembles Ci, 1 i 1, nj=i-1X j=i-1X o Ci = j + 1; : :;: j + i ; donc #Ci = i: j=1 j=1 La seconde, R , est constituee de 1 sous-ensembles Ri, 1 i 1, et n X o Ri = i; i + 1; : :;:i + j ; donc # Ri = i: 1;:::;i-1 22 Il s'agit la d'une description du premier -tableau standard [JK] : _______________________||||| |__1__|1+1_|._...._.|n_| | 2 | +2 |. .... .| |_____|1___|_______|_ | ...|... | |____|_____| | | + | |_2__|1_2__| | ...| |___ | | | |_1_ | Le sous-ensemble Ci (resp. Ri) est l'ensemble des entiers figurant sur la i-ieme colonne (resp. ligne) qui est compose de i (resp. i) cases. On considerera les sous-groupes de Young stabilisant C et R . Ils seront egalement notes C et R par abus de notation et sont respectivement iso- morphesa S1 x . .x.Sh et S1 x . .x.St : Leselements de la base standard de W (F (1)), [JK], [PS]. On note comme n d'habitude u2 leselements de la base standard de F (1). Soit t une fonction definie sur l'ensemble [n] = {1; : :;:n}a valeurs dans N. On suppose que t est strictement croissante (resp. croissante) sur chaque sous-ensemble de la partition C (resp. R ).P Notons (par abus) C = oe2C oe, on definit unelement wt 2 W (F (1)) par : X t0(i) wt = C n1u2 t0 ou la somme est prise sur toutes les fonctions t0 : [n] ! N qui prennent le m^eme ensemble de valeurs que t sur tout sous-ensemble appartenanta la partition R . Theoreme C.1 (JK) L'ensemble deselements wt, ou t : [n] ! N decrit le sous-ensemble des fonctions strictement croissantes (resp. croissantes) sur chaque sous-ensemble appartenanta la partition C (resp. R ), est une base de W (F (1)). Sur ceselements on introduit une relation binaire que par abus on appellera ordre lexichographique, abus car la relation n'est pas antisymetrique, la re- lation est "stricte". On dira que wk < w`, si : 23 P k(i) P `(i) o 1in 2 = 1in 2 , et en ordonnant les k(i) et les `(j) par ordre decroissant, soit : ff1 ff2 : : :ffn, et fi1 fi2 : : :fin, on a ff1 = fi1; ff2 = fi2; : :;:ffu = fiu, et ffu+1 > fiu+1. On va demontrer qu'il existe une operation j telle que j(w ) = wtmodulo des elements de la base standard inferieur pour l'ordre lexichographique. Ceci donnera le resultat. L'operation j est definie par : i=1Yj=iY j = Pti-1(i+`j-1)-i+1; i=1 j=1 avec, comme plus haut, `i = 1 + : :+:i. Par definition de Ptson a la relation suivante, dans laquelle est la diagona* *le de A ; X k(Pts) = u Qt(bu) ; b1+:::+bk=t ou Qt(bu) est l'operation de Milnor duale de but. Donc, si on applique Ptsa au un produit tensoriel 1uk u2 on obtient : au X 2au Pts(1uk u2 ) = u Qt(bu)(u ) ; b1+:::+bk=t En dehors de l'identite seule l'operation duale de butavec bu = 2au a une au action non-triviale sur la classe u2 . En consequence, l'effet de l'operation Pti-1(i+`j-1)-i+1sur un produit tensor* *iel ` de classes u2 se decrit comme suit : i-1 o soit de substituer dans le tenseura une puissance u2 la puissance t(i+`j-1) 2i-1 u2 , sommant sur toutes les occurences de u ; au a o soit, de sustituera un sous-tenseuregala 1uk u2 , avec 2 1+ : :+: t(i+`j-1)-i+1+au 2ak = 2i-1 et k > 1, le sous-tenseur 1uk u2 , sommant sur toutes les occurences possibles. Les termes obtenus dans le deuxieme cas sont (strictement) inferieurs -au sens donne plus haut-a celui obtenu dans le premier. Ils correspondenta des elements inferieurs dans la base standard. Si donc on applique toutes les operations Ptsapparaissant dans la definition de j suivant la premiere regle on obtient clairement wt. Tous les termes residuels se decomposent sur deselements de base (strictement) inferieurs. 24 References (FS) V. Franjou, L. Schwartz, Reduced unstable A-modules and the modular representation theory of the symmetric groups, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 23 (1990), 593-624. (HLS) H.-W. Henn, J. Lannes, L. Schwartz, The categories of unstable mod- ules and unstable algebras modulo nilpotent objects, Am. J. of Math. (1993), Vol 115, Number 5, 1053-1106. (JK) G. D. James et A. Kerber : The representation theory of the symmetric groups, Encycl. Math. Appl. 16, (1981) (K1) N. Kuhn Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra, Am. Journal of Math. 116 (1993), 327-360. (K2) N. Kuhn Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra, K-theory 8 (1994), 395-428. (La) J. 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