STABILISATION DES COMPLEXES CROISE'S THE`SE NO 2692 (2003) PRESENT'EE `A LA FACULT'E SCIENCES DE BASE SECTION DE MATH'EMATIQUES 'ECOLE POLYTECHNIQUE F'ED'ERALE DE LAUSANNE POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR `ES SCIENCES PAR Orin SAUVAGEOT ing'enieur math'ematicien dipl^om'e EPF de nationalit'e suisse et originaire de Gen`eve (GE) accept'ee sur proposition du jury: Prof. K. Hess Bellwald, directrice de th`ese Prof. M. Hovey, rapporteur Prof. A. Tonks, rapporteur Dr M. Troyanov, rapporteur Lausanne, EPFL 2003 A Jo"elle et Y'emina. "( . . .) les quelques pages de d'emonstrations qui suivent tirent toutes leur force du fait que l'histoire est enti`erement vraie, puisque je l'ai imagin'ee d'un bout `a l'autre. Sa r'ealisation mat'erielle proprement dite consiste essentiellement en une projection de la r'ealit'e en atmosph`ere biais'ee et chauff'ee, sur un plan de r'ef'erence irr'eguli`erement ondul'e et pr'esentant de la distorsion. On le voit, c'est un proc'ed'e avouable, s'il en fut." Boris Vian, L''ecume des jours. Abstract In this doctoral thesis we present a stabilization of the category ØC of crossed complexes. Our work is motivated by the difficulty one has in perfor- ming algebraic calculations in Boardman's stable homotopy category, since products and actions are defined only up to homotopy in the underlying ca- tegory of spectra, as defined by Bousfield and Friedlander [7]. To correct this lack of precision, a number of new models of the stable homotopy category have been developed in which algebraic constructions are exactly defined. One such model is the category of symmetric spectra on simplicial sets [30], the manipulation of which is still not easy, however. The idea behind this thesis is to stabilize the category ØC, as it is an interesting approximation to the category of simplicial sets, reflecting certai* *n, though not all, nonabelian homotopical information concerning simplicial sets. We have stabilized ØC according to the procedure codified in [29]. Stabilization of ØC requires that it satisfies certain properties. We have succeeded in proving these properties, in each case establishing a previously unknown result. For example, we have shown that ØC is cofibrantly generated and that it is a symmetric monoidal model category. Furthermore we have verified that ØC is a proper, cellular category. In proving that ØC is proper we have answered an open question posed by Brown and Golasinski in [12]. In the course of establishing these properties we have established a nonabelian version of the 5-Lemma. A crossed complex is a generalization of a chain complex of abelian groups. We have shown, however, that the stabilization of ØC is homotopy equivalent to that of the category of chain complexes. On the other hand, the situation of unpointed crossed complexes is different, and it is very likely that their stabilization is not that of chain complexes. In order to argue so, we have constructed an innovative simplicial model of the Hopf map. It remains then to give a topological meaning to an unpointed stabilization. An attempt of answer is sketched. Version abr'eg'ee Cette th`ese de doctorat pr'esente une stabilisation de la cat'egorie des complexes crois'es. La motivation r'eside dans la constatation que la cat'egorie homotopique stable introduite par Boardman [43] ne permet pas d'y faire des calculs ais'es. C'est surtout une cons'equence du fait que, dans la cat'egorie sous-jacente des spectres d'efinie par Bousfield et Friedlander [7], les produi* *ts et les actions ne sont d'efinis qu'`a homotopie pr`es. Pour palier `a ces d'efa* *uts, plusieurs mod`eles de cette cat'egorie ont permis de s'affranchir de ces obs- tacles. L'un de ces mod`eles est la cat'egorie des spectres sym'etriques sur les ensembles simpliciaux [30]. N'eanmoins, les manipulations avec les ensembles simpliciaux ne sont pas toujours faciles. L'id'ee de cette th`ese est de pr'esenter la cat'egorie des complexes crois'* *es, not'ee ØC, qui est une approximation int'eressante des ensembles simpliciaux, refl'etant en partie de l'information non ab'elienne de ces derniers. La stabi- lisation de ØC est effectu'ee selon le proc'ed'e d'ecrit dans [29]. Une telle construction n'ecessite que certaines propri'et'es soient v'erifi'* *ees dans la cat'egorie ØC. Nous avons pu les d'emontrer et chacune aboutit, au- tant que nous puissions l'attester, `a un r'esultat enti`erement nouveau. Parmi les r'esultats que nous avons prouv'es, citons le fait que ØC est une cat'egorie engendr'ee de mani`ere cofibrante et que c'est une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique. En outre, la cat'egorie ØC est une cat'egorie cellulaire et propre. Cette derni`ere propri'et'e r'epond `a une question ouverte par Brown et Gola- sinski dans [12, probl`eme ouvert 4.2]. Par ailleurs, nous avons 'et'e amen'es `a g'en'eraliser le "lemme des 5" dans un cadre non ab'elien et partiellement ensembliste. Les complexes crois'es sont une g'en'eralisation des complexes de cha^ine sur des groupes ab'eliens. N'eanmoins, nous avons d'emontr'e que la stabilisation des complexes crois'es point'es est homotopiquement 'equivalente `a celle des complexes de cha^ine. En revanche, pour les complexes crois'es non point'es, la situation est diff'erente et il est fort probable que leur stabilisation ne * *soit pas 'equivalente `a celle des complexes de cha^ine. Pour argumenter cela nous avons introduit un mod`ele simplicial de l'application de Hopf. Ce mod`ele est innovant et son utilisation l'est probablement aussi. Il reste alors `a donner * *un sens topologique `a une stabilisation non point'ee. Une tentative de r'eponse est esquiss'ee. TABLE DES MATIE`RES 1 Table des mati`eres 1 Introduction 3 1.1 Structure de la th`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * * 4 1.2 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Prol'egom`enes 7 2.1 G'en'eralit'es cat'egoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* * . 7 2.1.1 Le langage des cat'egories et quelques paradigmes . . . 8 2.1.2 Limites et colimites, compl'etion et cocompl'etion . . . . 13 2.1.3 Produits fibr'es et sommes amalgam'ees . . . . . . . . . 14 2.1.4 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Les cat'egories mono"idales sym'etriques, mono"ides et modules . 17 2.2.1 La structure mono"idale, mono"ides et modules . . . . . 17 2.2.2 La structure sym'etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Les cat'egories mod`eles et mod`eles mono"idales . . . . . . . . . 23 2.3.1 Les cat'egories mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Remplacement fibrant et cofibrant . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Homotopie dans une cat'egorie mod`ele . . . . . . . . . . 28 2.3.4 La cat'egorie homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.5 Foncteurs d'eriv'es et 'equivalences de Quillen . . . . . . 32 2.3.6 Les cat'egories mod`eles mono"idales . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Cat'egories mod`eles propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Ordinaux, composition transfinie et petits objets . . . . . . . . 36 2.5.1 Ordinaux et cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2 Composition transfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5.3 Les petits objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.4 L'argument du petit objet . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.5 Sous-complexes et pr'esentations de I-cell . . . . . . . . 42 2.5.6 Compacit'e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.7 Monomorphismes effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6 Les cat'egories engendr'ees de mani`ere cofibrante . . . . . . . . 45 2.7 Les cat'egories mod`eles cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . .* * 48 2.8 Localisation de cat'egories mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Stabilisation de cat'egories mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . * *54 2.9.1 Spectres et structure mod`ele projective . . . . . . . . . 55 2.9.2 La structure mod`ele stable . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.9.3 Enrichissement, tenseur et cotenseur . . . . . . . . . . 63 2.9.4 Spectres sym'etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.9.5 Structure stable sur les spectres sym'etriques . . . . . . 68 2.9.6 Spectres, cellularit'e et propret'e . . . . . . . . . . . . .* * 72 TABLE DES MATIE`RES 2 2.9.7 Equivalences stables et groupes d'homotopie stable . . 72 2.10 Quid des cat'egories point'ees ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . * *74 3 Les complexes crois'es 77 3.1 La cat'egorie ØC des complexes crois'es . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1.1 D'efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* * 77 3.1.2 Colimites de complexes crois'es . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2 Le foncteur ß : sS ! ØC et son adjoint . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 La structure mono"idale sym'etrique ferm'ee de ØC . . . . . . . . 88 3.3.1 L'approche via les !-groupo"ides . . . . . . . . . . . . . 88 3.3.2 L'approche de A. P. Tonks . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.3.3 Exemples de calcul d'un produit tensoriel . . . . . . . . 97 3.3.4 Th'eor`eme de Eilenberg-Zilber pour ØC . . . . . . . . .100 3.4 Enrichissement simplicial des complexes crois'es . . . . . . . .101 3.5 Structure mod`ele sur ØC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 3.6 Homotopie dans ØC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 3.7 La cat'egorie ØC* point'ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1* *11 3.8 Structure engendr'ee de mani`ere cofibrante sur ØC(*) . . . . . .112 3.9 Structure mod`ele mono"idale sym'etrique ferm'ee sur ØC(*) . . .113 4 Structures cellulaire et propre sur ØC(*) 116 4.1 Structure cellulaire sur ØC(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 4.1.1 Compacit'e de S(n-1) et C(n) . . . . . . . . . . . . . .116 4.1.2 Monomorphismes effectifs . . . . . . . . . . . . . . . .117 4.2 Structure propre sur ØC(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 4.2.1 Cofibre et suite exacte longue pour ØC(*) . . . . . . . .122 4.2.2 G'en'eralisation du lemme "des 5" et applications `a ØC(*)124 5 Stabilisation des complexes crois'es 129 5.1 Stabilisation de ØC via les spectres usuels . . . . . . . . . . . .131 5.2 Stabilisation de ØC via les spectres sym'etriques . . . . . . . .134 5.3 Le cas point'e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* *139 6 Le test de la fibration de Hopf 141 6.1 Le mod`ele simplicial de l'application de Hopf . . . . . . . . . .142 6.2 Le mod`ele dans ØC(*)de l'application de Hopf . . . . . . . . .148 7 Conclusion & Perspectives 149 R'ef'erences 152 Chapitre 1 1 Introduction Cette th`ese de doctorat pr'esente une stabilisation de la cat'egorie des co* *m- plexes crois'es. Pour effectuer une telle construction, des r'esultats enti`ere* *ment nouveaux sont d'emontr'es. Ils permettent l''elaboration de la stabilisation par localisation selon des outils d'evelopp'es par Philip Hirschhorn [27] et Mark Hovey [29]. La compr'ehension de ces outils passe par l'entendement d'une structure mod`ele, d'une structure mono"idale sym'etrique, d'une structure cel- lulaire et de la propri'et'e de propret'e, et finalement par les techniques de localisation. Bri`evement, la premi`ere notion permet de mod'eliser la notion d'homo- topie dans une cat'egorie et en particulier d'en d'efinir la cat'egorie homoto- pique dont les morphismes sont les classes d'homotopie de morphismes de la cat'egorie sous-jacente. La deuxi`eme notion est l'expression de l'existence d'un "produit tensoriel" fonctoriel. Si ce dernier est commutatif, la struc- ture mono"idale est sym'etrique. Une cat'egorie mono"idale permet de d'efinir des objets munis naturellement d'un produit (les mono"ides) qui agissent sur d'autres objets (les modules). Ceci fournit un contexte convenable pour uti- liser l'alg`ebre. En outre, il est indispensable que la structure mod`ele et la structure mono"idale soient compatibles, c'est-`a-dire que la cat'egorie homo- topique soit naturellement munie d'une structure mono"idale. Ceci poss`ede le tr`es large avantage de pouvoir employer les techniques alg'ebriques `a l''etude de l'homotopie d'une cat'egorie. Enfin, la structure cellulaire sur une cat'ego* *rie et la propri'et'e de propret'e assure l'existence d'une localisation (de Bousfi* *eld). Ce processus de stabilisation permet, en partant d'une cat'egorie mod`ele munie des notions pr'ec'edentes et d'un foncteur de suspension, d'obtenir une structure mod`ele stable pour laquelle le foncteur de suspension devient une 'equivalence de cat'egorie homotopique. Autrement dit, `a homotopie pr`es, nous avons invers'e le foncteur de suspension. Ainsi le r'esultat est bien une cat'egorie stable dans le sens usuel du terme [2, 43]. Originellement, dans la cat'egorie homotopique stable de Boardman, les produits et les actions ont toujours 'et'e d'efinis `a homotopie pr`es ce qui rendait les calculs d'eli* *cats et d'ecourageants. Pour palier `a ces d'efauts, plusieurs mod`eles de cette cat'egorie ont permis de s'affranchir de ces obstacles. L'un de ces mod`eles est la cat'egorie des spectres sym'etriques sur les ensembles simpliciaux [30]. N'eanmoins, les manipulations avec les ensembles simpliciaux ne sont pas ais'es et font souvent appel `a la combinatorique. L'id'ee de cette th`ese a 'et'e de chercher une cat'egorie plus simple qui 1 INTRODUCTION 4 approchait les ensembles simplicaux pour en obtenir une structure stable refl`etant celle de ces derniers. Notre choix s'est alors naturellement port'e sur la cat'egorie des complexes crois'es sur des groupo"ides, not'ee ØC. Suc- cintement, un complexe crois'e est une large g'en'eralisation d'un complexe de cha^ine de groupes ab'eliens, comportant de l'information non ab'elienne en petite dimension. La cat'egorie ØC est munie d'une structure mono"idale sym'etrique [11], ainsi que d'une structure mod`ele [12]. Pour appliquer le processus de stabilisation, nous avons d'emontr'e que la structure mod`ele sur ØC est compatible avec la structure mono"idale sym'et- rique, faisant de ØC une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique. D'autre part, nous avons d'emontr'e que la cat'egorie ØC est engendr'ee de mani`ere cofibrante, cellulaire et propre. D'ailleurs, pour la d'emonstration de cette derni`ere propri'et'e, nous avons g'en'eralis'e le "lemme des 5" dans un cadre non ab'elien et partiellement ensembliste. Enfin, nous avons d'emontr'e que la stabilisation que nous obtenons est homotopiquement 'equivalente `a celle des complexes de cha^ine sur Z. En revanche, la situation non point'ee est bien diff'erente. En supposant qu'il y ait un sens topologique `a cela, la stab* *i- lisation non point'ee est tr`es probablement diff'erente de celle des complexes de cha^ine. Pour argumenter cela nous avons trouv'e un mod`ele simplicial, inexistant jusqu'`a pr'esent1, de l'application de Hopf et nous l'avons transcr* *it dans la cat'egorie ØC pour obtenir un mod`ele de l'application de Hopf dans les complexes crois'es. 1.1 Structure de la th`ese La structure de ce travail ressemble `a un livre de cuisine illustr'e, o`u c* *haque plat est d'abord pr'esent'e par une photographie, puis les ingr'edients et les ustensiles sont 'enum'er'es, et enfin il est expliqu'e comment les utiliser pour cuisiner des recettes. Dans la mesure du possible, `a chaque nouvelle notion nous avons tent'e de donner une illustration avant m^eme de d'efinir et utiliser la notion. Les d'efinitions et r'esultats suivent pour mener `a l''elaboration * *de ce pour quoi les notions sont introduites. Bien entendu, toute comparai- son devient vite bancale, car, autant l'art de cuisiner est souvent indulgent envers des impr'ecisions et tol`ere une large part d'improvision, autant les math'ematiques ne sauraient souffrir d'impr'ecision ou de manque de rigueur. La seule marge de manoeuvre `a notre disposition est la mani`ere d'exposer les r'esultats et de les illustrer pour les rendre moins abstraits. Lors de la r'edaction de cette th`ese, nous avons voulu rendre sa lecture accessible `a tout math'ematicien non sp'ecialiste dans les domaines trait'es. ______________________________ 1aucune trace n'a 'et'e trouv'ee dans la litt'erature d'un tel mod`ele simpl* *icial. 1 INTRODUCTION 5 Ce choix explique la pr'esence de nombreux r'esultats et d'efinitions connus. Leurs r'ef'erences sont toujours donn'ees et le lecteur recherchant des d'etails ou simplement curieux est encourag'e `a s'y r'ef'erer. Le sp'ecialiste y trouve* *ra 'egalement la notation et la terminologie utilis'ees. Cette th`ese se structure donc de la mani`ere suivante. La premi`ere partie (sections 2.1 - 2.10) pr'esente les ustensiles et leurs techniques d'utilisatio* *n. Plus pr'ecis'ement, quelques notions du language des cat'egories et ses r'esult* *ats sont d'abord 'enonc'es. Viennent ensuite les notions de structures mono"idale et mod`ele, ainsi que la compatibilit'e de ces deux structures simultan'ees. En particulier, nous expliquons la notion d'homotopie inh'erente `a la structure mod`ele, ainsi que la cat'egorie homotopique sous-jacente. Ensuite, une partie plut^ot technique est pr'esent'ee afin d'exposer les compositions transfinies, l'argument des petits objets et la notion de compacit'e. Cette derni`ere est n'ecessaire pour 'enoncer la structure cellulaire d'une cat'egorie mod`ele. La structure propre associ'ee `a une structure mod`ele est 'egalement expliqu'ee. Enfin, les techniques de localisation de cat'egories mod`eles et leur stabilisa* *tion via une cat'egorie des spectres permettent d'obtenir une structure mod`ele stable. La situation des cat'egories point'ees conclut cette premi`ere partie. La deuxi`eme partie pr'esente les ingr'edients, `a savoir les complexes croi* *s'es ainsi que leurs principales propri'et'es. En particulier, nous montrons que cet* *te cat'egorie est munie d'une structure mod`ele engendr'ee de mani`ere cofibrante (section 3.8) et nous exploitons l'homotopie qui en d'ecoule. Le menu s''elabore ensuite et le point crucial - un peu comme la pr'ecision de la cuisson d'une viande du plat principal - est la d'emonstration que les complexes crois'es forment une cat'egorie propre et cellulaire (sections 4.1 et 4.2). A notre connaissance, la d'emonstration de ces propri'et'es n'a jamais 'e* *t'e 'ecrite. La propri'et'e de propret'e r'epond `a une question ouverte par R. Bro* *wn et M. Golasinski dans [12]. Nous sommes particuli`erement contents d'avoir pu d'emontrer cette propri'et'e, jug'ee peu facile par ses auteurs2. La äg rniture" de cette propri'et'e, qui permet d'en exprimer la saveur, est la stabilisation de la cat'egorie des complexes crois'es. Nous stabilisons * *la structure projective sur la cat'egorie des spectres usuels d'une part (section 5.1), et d'autre part nous effectuons la m^eme approche sur la cat'egorie des spectres sym'etriques sur les complexes crois'es (section 5.2). Cette derni`ere approche nous permet de munir la cat'egorie homotopique stable d'une struc- ture mono"idale. En guise de dessert, le test de la fibration de Hopf permet de cl^oturer le repas sur une note agr'eable. Pour cela nous avons besoin d'un mod`ele sim- plicial convenable pour la fibration de Hopf. Cette description est innovante ______________________________ 2communication personnelle de R. Brown. 1 INTRODUCTION 6 et son utilisation l'est probablement aussi. C'est l'aboutissement d'un effort initi'e avec Kathryn Hess et Andrew Tonks. 1.2 Remerciements J'exprime ma profonde gratitude `a Kathryn Hess Bellwald pour avoir supervis'e cette th`ese et avoir rendu possible son accomplissement par sa disponibilit'e et ses conseils avis'es. Elle a su cr'eer un environnement de tr* *avail agr'eable et propice et je lui en suis tr`es reconnaissant. Mes remerciements vont 'egalement `a Mark Hovey et Andrew Tonks pour les nombreux 'echanges fructueux et pour avoir accept'e d'^etre membre du jury de th`ese. Sont aussi remerci'es Anthony Davison et Marc Troyanov pour avoir bien voulu faire partie de ce jury. Ma gratitude va encore `a Sylvestre Blanc, Cristina Costoya, Paul-Eug`ene Parent, J'er^ome Scherer et Stefan Schwede pour les nombreuses discussions fertiles partag'ees. Je remercie 'egalement le Fonds National Suisse pour la Recherche Scien- tifique pour avoir support'e financi`erement une grande part de cette th`ese. Mes parents sont aussi sinc`erement remerci'es pour m'avoir rendu possible d''etudier les math'ematiques. Enfin, ma tr`es profonde reconnaissance va `a Jo"elle, mon 'epouse, pour sa patience, sa compr'ehension et son encouragement tout au long de ce tra- vail. De m^eme, je remercie sinc`erement ma fille Y'emina pour sa jovialit'e si communicative qui a jou'e le r^ole de rem`ede anti-stress. Chapitre 2 2 Prol'egom`enes Notre intention ici est d'expliquer les notions et les r'esultats indispen- sables pour la compr'ehension de cette th`ese. Cette partie est surtout des- tin'ee aux math'ematiciens peu habitu'es aux concepts de cat'egorie mod`ele, localisation et stabilisation. D'autre part, nous y fixons la terminologie et les notations. En principe, les d'emonstrations des r'esultats sont omises, sauf lorsqu'elles apportent une meilleure compr'ehension. Les r'ef'erences indiqu'ees comblent ces lacunes. 2.1 G'en'eralit'es cat'egoriques L'utilisation abondante des cat'egories dans cette th`ese nous incite `a ex- poser quelques g'en'eralit'es y relatives. Nous avons trouv'e cinq raisons prin- cipales de les utiliser. Premi`erement, elles sont elles-m^eme abondantes en math'ematiques et dans d'autres sciences proches comme la physique et l'informatique (en parti- culier tout ce qui a trait `a la logique des syst`emes). Des objets math'ematiq* *ues courants, comme par exemple les espaces vectoriels, les groupes, les espaces de Banach, les ensembles ordonn'es, donnent tous lieu `a des cat'egories. La recherche d'analogies entre des objets math'ematiques diff'erents est la deuxi`eme raison. En particulier, nous trouvons des constructions similaires dans des domaines diff'erents des math'ematiques, comme par exemple les produits, les objets libres, les r'eflexions, et caetera. Troisi`emement, l'usage des cat'egories apporte un langage et surtout un symbolisme convenant pour l''etude que nous proposons. Notamment, le symbolisme en diagramme permet de visualiser d'un coup d'oeil des r'ealit'es plut^ot compliqu'ees. Nous en faisons un usage abondant. La possibilit'e de transporter des probl`emes d'un domaine vers un autre via des foncteurs appropri'es constitue la quatri`eme raison. Chaque fois qu'un probl`eme est difficile, nous essayons de le transporter vers un domaine dans lequel le probl`eme trouve une expression plus simple et peut donner lieu `a une solution. La topologie alg'ebrique est un excellent exemple de l''etude de probl`emes topologiques en les transportant vers un contexte alg'ebrique dans l'espoir de simplifier voire r'esoudre ces probl`emes. Enfin, le concept de cat'egorie permet des 'economies gr^ace `a la dualit'e * *des notions. Le principe de "deux pour le prix d'un" r'eside dans le fait que chaque 2 PROLE'GOME`NES 8 notion et chaque r'esultat est double. Nous utilisons ce fait r'eguli`erement d* *ans la suite. 2.1.1 Le langage des cat'egories et quelques paradigmes Notre objectif ici est de pr'esenter bri`evement les diff'erentes notions de* * la th'eorie des cat'egories qui sont n'ecessaire `a une bonne compr'ehension de ce travail. En cela, nous sommes totalement d'ebiteurs des ouvrages [33] et [1]. Nous adaptons 3 certaines d'efinitions pour qu'elles soient ad'equates `a notre 'etude. S'il fallait vulgariser 4la notion de cat'egorie nous dirions qu'il s'agit d* *'un jeu consistant en des jouets (les ö bjets") et des r`egles (les öm rphismes") pour jouer avec. Il est m^eme possible de donner des r`egles entre des r`egles (les "diagrammes de morphismes") de mani`ere `a pouvoir jouer avec les r`egles. Ces derni`eres deviennent ainsi des jouets. Nous pouvons m^eme mettre en parall`ele diff'erents jeux `a l'aide de comparaisons (les öf ncteurs"). Cat'egories et foncteurs D'efinition 2.1. Une cat'egorie C consiste en : 1. une classe O dont les membres sont les objets de la cat'egorie, 2. un ensemble de morphismes entre objets A et B pour tout choix d'ob- jets A et B dans C. Nous notons ces morphismes par f : A ! B. L'en- semble des morphismes de l'objet A vers l'objet B est not'e C(A, B), 3. un morphisme identit'e 1A : A ! A pour tout objet A dans C, 4. une loi de composition qui `a tout morphisme f : A ! B et g : B ! C associe la composition g O f : A ! C. Ces donn'ees satisfont les conditions suivantes : o la composition est associative : pour tout morphisme f : A ! B, g : B ! C et h : C ! D, nous avons h O (g O f) = (h O g) O f o pour tout morphisme f : A ! B, nous avons 1B O f = f et f O 1A = f. Terminologie 2.2. La classe O des objets est not'ee Ob (C). La classe ob- tenue par la r'eunion de tous les ensembles C(A, B) est not'ee Mor (C). De plus pour un morphisme f : A ! B, l'objet A est le domaine de f et l'objet B est le codomaine de f. Pour tout choix d'objets A et B, deux applica- tions particuli`eres s, t : C(A, B) ! Ob (C) tels que s(f : A ! B) = A et t(f : A ! B) = B sont distingu'es. ______________________________ 3c'est-`a-dire que nous restreignons un peu leur g'en'eralit'e. 4dans le sens premier du terme, c'est-`a-dire rendre accessible au vulgus, `* *a la population. 2 PROLE'GOME`NES 9 D'efinition 2.3. Pour toute cat'egorie C, la cat'egorie oppos'ee (ou duale), not'ee Cop, est la cat'egorie dont o Ob (Cop) = Ob (C) o Cop(A, B) = C(B, A) pour tout choix d'objets A et B o 1op = 1 o f Oop g = g O f. Il est alors 'evident que (Cop)op = C. D'efinition 2.4. Une petite cat'egorie est une cat'egorie pour laquelle la clas* *se O des objets est un ensemble 5. D'efinition 2.5. Un morphisme f : A ! B dans une cat'egorie est un iso- morphisme s'il existe un morphisme g : B ! A tel que gOf = 1A et f Og = 1B . Le morphisme g est l'inverse de f. Il est unique et nous le notons f-1 . Deux objets A et B sont isomorphes s'il existe un isomorphisme entre eux. D'efinition 2.6. Soient C et C0 deux cat'egories. Un foncteur F de C vers C0 est une application qui `a tout objet A de C associe un objet F (A) de C0 et `a tout morphisme f : A ! B de C associe un morphisme F (f) : F (A) ! F (B) de C0 de sorte que : 1. F pr'eserve les compositions : F (f O g) = F (f) O F (g) d`es que f O g e* *st d'efini 2. F pr'eserve les morphismes identit'es : F (1A ) = 1F(A) pour tout objet A 2 Ob (C). Pour simplifier la notation, nous notons souvent F A au lieu de F (A) et F f au lieu de F (f). D'efinition 2.7. Soient F, G : C ! C0 deux foncteurs. Une transformation naturelle ø : F ! G est une application qui `a tout objet A 2 Ob (C) associe un morphisme øA : F A ! GA de C0 tel que pour tout morphisme f : A ! B de C le diagramme fiA F A GA Ff Gf F B fiB GB commute. Si de plus øA est un isomorphisme pour tout A, alors c'est un isomorphisme naturel et nous le notons F ~= G. ______________________________ 5Par cons'equent, il y a moins d'objets; d'o`u le terme "petite". D'autre pa* *rt, le fait que Ob (C) soit un ensemble force Mor(C) `a ^etre un ensemble, et donc la cat'egori* *e elle-m^eme est un ensemble (cf. [1, remarque 3.45]). 2 PROLE'GOME`NES 10 D'efinition 2.8. Un foncteur F : C ! C0 est une 'equivalence de cat'egories s'il existe un foncteur G : C0! C tel que G O F ~= 1C et F O G ~=1C0. Les cat'egories C et C0 sont 'equivalentes s'il existe une 'equivalence entre elles. D'efinition 2.9. Un objet A d'une cat'egorie est appel'e objet initial si pour tout objet B il existe un unique morphisme de A vers B. Il est souvent not'e par ;. Dualement, un objet A d'une cat'egorie est appel'e objet terminal si pour tout objet B il existe un unique morphisme de B vers A. Il est souvent not'e par *. L'objet initial (s'il existe) est unique `a isomorphisme pr`es. Il en est de m^eme par dualit'e pour l'objet terminal. Cat'egorie de diagrammes D'efinition 2.10. Soit Sch une petite cat'egorie. Un diagramme dans une cat'egorie C est un foncteur D : Sch ! C. Le domaine Sch est appel'e le sch'ema du diagramme. La cat'egorie des diagrammes de sch'ema Sch est la cat'egorie des fonc- teurs de Sch vers C, not'ee CSch, o`u les morphismes sont les transformations naturelles. Notation 2.11. Nous distinguons un foncteur particulier : C ! CSch d'efini, pour tout choix d'objet X 2 Ob (C), par : (X) : Sch -! C S 7- ! X 8S 2 Ob (Sch ) f 7- ! 1X 8f 2 Mor (Sch ). R'etraction D'efinition 2.12. Un morphisme r : A ! B entre objets d'une cat'egorie est une r'etraction s'il existe un morphisme g : B ! A tel que r O g = 1B (autrement dit, r a un inverse `a droite). Si une telle r'etraction existe, alo* *rs B est un r'etract de A. Notation 2.13. Notons par Set la cat'egorie des ensembles dont les mor- phismes sont les applications ensemblistes. Notons par Vec la cat'egories des espaces vectoriels dont les morphismes sont les applications lin'eaires. Notons encore par Top la cat'egorie des espaces topologiques dont les morphismes sont les applications continues. Exemple 2.14. Les r'etractions dans Set sont les applications surjectives d'ensembles (ceci est 'equivalent `a l'axiome du choix pour les ensembles). 2 PROLE'GOME`NES 11 Dans Vec , les r'etractions sont les transformations lin'eaires surjectives. Un morphisme f dans Top est une r'etraction si et seulement s'il existe une r'etraction topologique r et un hom'eomorphisme h tels que f = h O r. Autre- ment dit, les r'etractions dans Top sont exactement, `a hom'eomorphisme pr`es, les r'etractions topologiques. En outre, il est facile de voir que les r'etractions jouissent des propri'et* *'es suivantes. Proposition 2.15. o Si f : A ! B et g : B ! C sont des r'etractions, alors g O f : A ! C est une r'etraction. o Si g O f : A ! C est une r'etraction, alors g est une r'etraction. Consid'erons le cas particulier suivant. Soit C une cat'egorie. Construisons la cat'egorie C0 comme suit. Ob (C0) = Mor (C) Mor (C0) = classe des carr'es commutatifs deMor(C) o`u les carr'es commutatifs sont les diagrammes commutatifs de sch'ema o ! o. Alors nous d'efinissons : D'efinition 2.16. Avec les notations ci-dessus, soient deux morphismes f : X ! Y et g : A ! B dans C0, alors f est un r'etract de g s'il existe deux r'etractions r et r0 telles que le diagramme suivant r X A X f g f r0 Y B Y commute. 'Egaliseur et co'egaliseur f D'efinition 2.17. Soient A ' B une paire de morphismes dans une cat'egorie. g Un morphisme e : E ! A est un 'egaliseur de f et g si f O e = g O e, et la propri'et'e universelle suivante est v'erifi'ee : pour tout morphisme e0: E0 ! A tel que f O e0= g O e0 , il existe un unique 2 PROLE'GOME`NES 12 morphisme ~e: E0 ! E tel que le diagramme suivant E0 e0 f ~e A B g e E commute. Pour deux morphismes fix'es, les 'egaliseurs sont uniques `a isomorphisme pr`es : f Proposition 2.18. Soient A ' B une paire de morphismes dans une cat'egorie. g Alors o si chacun des morphismes e : E ! A et e0 : E0 ! A est un 'egaliseur de f et g, alors il existe un isomorphisme k : E0 ! E tel que e0= e O k o si e : E ! A est un 'egaliseur de f et g et si k : E0 ! E est un isomorphisme, alors e O k : E0 ! A est aussi un 'egaliseur de f et g. En effet. L'unicit'e dans la proposition universelle d'emontre la premi`ere as- sertion. Deuxi`emement, puisque ~eest un unique morphisme tel que eOe~= e0, alors k-1 O ~eest un unique morphisme tel que (e O k) O (k-1 O ~e) = e0. Ceci __ clos la d'emonstration. |__| Nous exposons bri`evement maintenant la notion duale de l''egaliseur. f D'efinition 2.19. Soient A ' B une paire de morphismes dans une cat'egorie. g Un morphisme c : B ! C est un co'egaliseur de f et g si c O f = c O g, et la propri'et'e universelle suivante est v'erifi'ee : pour tout morphisme c0: B ! C0 tel que c0O f = c0O g , il existe un unique morphisme ~c: C ! C0 tel que le diagramme suivant C c f A g B ~c c0 C0 commute. 2 PROLE'GOME`NES 13 Par dualit'e, nous savons que les co'egaliseurs sont uniques `a isomorphisme pr`es. Remarque 2.20. Il se peut bien que les 'egaliseurs et les co'egaliseurs n'e* *xistent pas toujours. Nous disons qu'une cat'egorie poss`ede 'egaliseur (resp. co'egali* *seur) si toute paire de morphismes poss`ede un 'egaliseur (resp. un co'egaliseur). 2.1.2 Limites et colimites, compl'etion et cocompl'etion Nous nous int'eressons maintenant aux limites de diagrammes. Cette no- tion (et sa duale) est abondamment utilis'ee par la suite. D'efinition 2.21. Soient C une cat'egorie et D une petite cat'egorie. Soit D : D ! C un diagramme de sch'ema D (ie. appartenant aux objets de CD ). La limite du diagramme D (si elle existe), not'ee lim D, est un objet de C pour lequel o il existe un morphisme (lim D) ! D dans CD o (Propri'et'e Universelle) pour tout morphisme (X) ! D o`u X 2 Ob (C), il existe un unique morphisme f : X ! lim D faisant com- muter le diagramme (lim D) D (f) (X). Voyons maintenant la notion duale. D'efinition 2.22. Soient C une cat'egorie et D une petite cat'egorie. Soit D : D ! C un diagramme de sch'ema D (ie. appartenant aux objets de CD ). La colimite du diagramme D (si elle existe), not'ee colim D, est un objet de C pour lequel o il existe un morphisme D ! (colim D) dans CD o (Propri'et'e Universelle) pour tout morphisme D ! (X) o`u X 2 Ob (C), il existe un unique morphisme f : colim D ! X faisant com- muter le diagramme D (colim D) (f) (X). Nous verrons plus loin des exemples de limites et de colimites particuli`eres. 2 PROLE'GOME`NES 14 D'efinition 2.23. Une cat'egorie C est finiment compl`ete si tout diagramme fini poss`ede une limite. Elle est compl`ete si tout diagramme poss`ede une limite. Duallement, une cat'egorie C est finiment cocompl`ete si tout diagramme fini poss`ede une colimite. Elle est cocompl`ete si tout diagramme poss`ede une colimite. Une cat'egorie est bicompl`ete si elle est compl`ete et cocompl`ete. Nous mentionnons encore deux r'esultats importants. Pour leurs d'emonst- rations nous renvoyons au livre [1]. Th'eor`eme 2.24 (cf. [1 , th'eor`eme 12.7]). Une petite cat'egorie est compl`ete si et seulement si elle est cocompl`ete. Th'eor`eme 2.25 (cf. [1 , th'eor`eme 12.12]). Toute cat'egorie cocompl`ete qui poss`ede une sous-cat'egorie dense sous petite colimites (cf. [1, d'efinition 12.10]) est compl`ete. Remarque 2.26. Une cat'egorie cocompl`ete poss`ede un objet initial qui est la colimite du diagramme vide. Une cat'egorie compl`ete poss`ede un objet terminal qui est la limite du diagramme vide. 2.1.3 Produits fibr'es et sommes amalgam'ees Il s'agit ici de voir deux cas particuliers de limite et colimite. D'efinition 2.27. Dans une cat'egorie, un diagramme carr'e ~f P B (1) ~g g A f C est appel'e un diagramme de produit fibr'e s'il commute et si pour tout carr'e commutatif de la forme ^f P^ B ^g g A f C , 2 PROLE'GOME`NES 15 il existe un unique morphisme k : ^P! P qui fait commuter le diagramme P^ ^ f k ^g P f~ B ~g g A f C. L'objet P est le produit fibr'e du diagramme. Le morphisme ~gest appel'e le produit fibr'e de g le long de f. Une classe de morphismes M dans une cat'egorie est ferm'ee sous produit fibr'e si le produit fibr'e d'un morphisme * *de M le long de n'importe quel morphisme est toujours dans M. Exemple 2.28. Soit C une cat'egorie et consid'erons la petite cat'egorie des sch'emas de la forme {o ! o o}. Alors le diagramme suivant ^P ^ f k ~f ^g lim D B ~g g A f C d'etermine un diagramme de produit fibr'e, c'est-`a-dire que l'objet lim D est le produit fibr'e du diagramme D = A ! C B. D'efinition 2.29. Dans une cat'egorie, un diagramme carr'e f C A (2) g ~g B ~f P est appel'e un diagramme de somme amalgam'ee s'il commute et si pour tout carr'e commutatif de la forme f C A g ^g B ^f ^P, 2 PROLE'GOME`NES 16 il existe un unique morphisme k : P ! ^Pqui fait commuter le diagramme f C A g ~g ~f ^g B P k ^f ^P. L'objet P est la somme amalgam'ee du diagramme. Le morphisme ~gest appel'e la somme amalgam'ee de g le long de f. Une classe de morphismes M dans une cat'egorie est ferm'ee sous somme amalgam'ee si la somme amalgam'ee d'un morphisme de M le long de n'importe quel morphisme est toujours dans M. Exemple 2.30. Soit C une cat'egorie et consid'erons la petite cat'egorie des sch'emas de la forme {o o ! o}. Alors le diagramme suivant C f A g ~g ~f ^g B colim D k ^f ^P d'etermine un diagramme de somme amalgam'ee, c'est-`a-dire que l'objet colimD est la somme amalgam'ee du diagramme D = B C ! A. 2.1.4 Foncteurs adjoints D'efinition 2.31. Soient C et D deux cat'egories. Soient encore F : C ! D et G : D ! C deux foncteurs. Les foncteur F et G sont adjoints si, pour tout objet X 2 C et A 2 D, il existe un isomorphisme naturel D(F (X), A) ~=C(X, G(A)) . Le foncteur F est l'adjoint (`a gauche) de G et le foncteur G est le coadjoint (ou adjoint `a droite) de F . Nous notons une telle situation par le picto- gramme F : C ø D : G . 2 PROLE'GOME`NES 17 Nous verrons plus tard la grande utilit'e de cette adjonction de foncteur. En particulier lorsque nous 'etudions la structure mod`ele d'une cat'egorie, des foncteurs adjoints pr'eservent des classes de morphismes qui poss`edent des propri'et'es de rel`evement par rapport `a d'autres classes. Le r'esultat suiva* *nt est un grand classique. Proposition 2.32. Soit F : C ø D : G un couple de foncteurs adjoints. Alors 1. F pr'eserve les colimites, ie. si colim D existe alors colim F (D) existe et colim F (D) ~=F (colim D) pour tout diagramme D dans C. 2. G pr'eserve les limites, ie. si lim E existe alors lim G(E) existe et limG(E) ~=G(lim E) pour tout diagramme E dans D. D'emonstration. La preuve de cette proposition se trouve par exemple dans __ [1, proposition 18.9]. |__| 2.2 Les cat'egories mono"idales sym'etriques, mono"ides et modules L'introduction de ce type de structure additionnelle courante a pour but d''etablir sur une cat'egorie un contexte alg'ebrique idoine. Nous d'ebutons av* *ec une cat'egorie C munie d'un bifoncteur : C x C ! C. Nous imposons, de plus, deux conditions sur ce bifoncteur. Premi`erement, celle d'^etre associati* *f, et secondement nous exigeons l'existence d'un objet unit'e, not'e 1. Nous comprenons alors mieux l'appelation 6 de cat'egorie öm no"idale". 2.2.1 La structure mono"idale, mono"ides et modules Plus pr'ecis'ement, nous introduisons les d'efinitions suivantes. D'efinition 2.33. Une cat'egorie mono"idale est une cat'egorie C munie d'un bifoncteur : C x C ! C associatif : ( x 1C) ~= (1C x ) (3) et d'un objet unit'e 1 satisfaisant : (1 x 1C) ~= (1C x 1) ~=1C (4) o`u 1C : C ! C est le foncteur identit'e et 1 : C ! C est le foncteur qui `a to* *ut objet assigne l'objet unit'e et `a tout morphisme assigne le morphisme identit'e ______________________________ 6En effet un mono"ide (usuel) n'est rien d'autre qu'un ensemble E muni d'un * *'el'ement e et d'une op'eration ~ : E x E ! E associative tels que ~(x, e) = ~(e, x) = e. 2 PROLE'GOME`NES 18 en l'objet unit'e. Les relations (3) et (4) sont donc valables aussi bien pour les objets que pour les morphismes. En outre les isomorphismes des relations (3) et (4) doivent satisfaire les conditions suivantes : 1. Pour tout A, B, C, D 2 C, l'isomorphisme d'associativit'e ff : A (B C) ~=(A B) C est naturel et le diagramme A (B (C D)) ff (A B) (C D) ff ((A B) C) D 1C ff ff 1C A ((B C) D) ff (A (B C)) D commute. 2. Pour tout A, B 2 C, l'isomorphisme (`a gauche) l : 1 A ~= A et l'isomorphisme (`a droite) r : A 1 ~=A sont naturels et le diagramme A (1 B) ff (A 1) B 1C l r 1C A B commute. 3. Les isomorphismes l : 1 1 ! 1 et r : 1 1 ! 1 sont 'egaux. La cat'egorie mono"idale est stricte si tous les isomorphismes ci-dessus sont des 'egalit'es. Notation 2.34. De mani`ere `a pouvoir pr'eciser le bifoncteur ainsi que l'obj* *et unit'e, nous utilisons la notation en triplet (C, , 1). Remarque 2.35. Les trois conditions de la d'efinition 2.33 impliquent que tout diagramme, form'e `a partir des isomorphismes ff, l et r, commute. Nous donnons maintenant quelques exemples de cat'egories mono"idales. La plupart sont triviaux mais n'eanmoins fondamentaux et couramment uti- lis'es. Exemple 2.36. La cat'egorie Set des ensembles munie du produit cart'esien Setx Set! Set et munie d'un singleton comme objet unit'e est, bien 'evidem- ment, une cat'egorie mono"idale. 2 PROLE'GOME`NES 19 Exemple 2.37. La cat'egorie sSdes ensembles simpliciaux munie du produit cart'esien sSx sS! sS et munie de l'ensemble simplicial constant en un point fix'e comme objet unit'e est une cat'egorie mono"idale. Exemple 2.38. La cat'egorie sS* des ensembles simpliciaux point'es munie du produit "smash" sS* ^ sS* ! sS* et munie de l'ensemble simplicial S0 comme objet unit'e est une cat'egorie mono"idale. Exemple 2.39. La cat'egorie Top des espaces topologiques munie du produit cart'esien Top x Top ! Top et munie d'un espace consistant en un seul point comme objet unit'e est, bien 'evidemment, une cat'egorie mono"idale. Exemple 2.40. Si R est un anneau commutatif, alors la cat'egorie R-Mod des R-bimodules munie du produit tensoriel R-Mod R R-Mod ! R-Mod et munie de l'anneau R comme objet unit'e est une cat'egorie mono"idale. Exemple 2.41. La cat'egorie Ab des groupes ab'eliens munie du produit ten- soriel usuel Ab Z Ab ! Ab et munie du groupe Z comme objet unit'e est une cat'egorie mono"idale. D'efinition 2.42. Un foncteur mono"idal F : M ! M0 entre deux cat'egories mono"idales consiste en : 1. un foncteur usuel F : M ! M0 2. un ensemble de morphismes F2(A, B) : F (A) F (B) ! F (A B) pour tout choix d'objets A et B dans M 3. un morphisme F0 : 10 ! F (1) o`u 1 et 10 repr'esentent les objets unit'e de M et M0 respectivement satisfaisant, pour tout A, B, C 2 M, les conditions suivantes : les diagrammes i j ff i j F (A) F (B) F (C) F (A) F (B) F (C) 1M0 F2 F2 1M0 i j F (A) F (B C) F (A B) F (C) F2 F2 i j F(ff) i j F A (B C) F (A B) C et 2 PROLE'GOME`NES 20 F (B) 10 r F (B) 10 F (B) l F (B) 1 F0 F(r) et F0 1 F(l) F (B) F (1) F2 F (B 1) F (1) F (B) F F (1 B) 2 commutent. D'efinition 2.43. Un foncteur mono"idal est fort lorsque F0 et tous les mor- phismes F2(A, B) 8A, B 2 M sont des isomorphismes. Il est strict lorsque F0 et tous les morphismes F2(A, B) 8A, B 2 M sont des identit'es. Th'eor`eme 2.44. Toute cat'egorie mono"idale M est cat'egoriquement forte- ment 7 'equivalente `a une cat'egorie mono"idale stricte S. __ D'emonstration. La preuve de ce th'eor`eme se trouve dans [33]. |__| D'efinition 2.45. Une cat'egorie mono"idale (C, , 1) est ferm'ee s'il existe deux foncteurs Hom r : Copx C ! C Hom l : Copx C ! C satisfaisant, pour tout objet X, Y, Z 2 C, les relations i j C(X Y, Z) ~= C Y, Hom l(X, Z) i j C(Y X, Z) ~= C Y, Hom r(X, Z) . Remarque 2.46. Les relations de la d'efinition pr'ec'edente signifient que nous avons une adjonction de foncteurs : - X : C () C : Hom r(X, -) X - : C () C : Hom l(X, -). Remarque 2.47. En particulier, si (C, , 1) est ferm'ee, alors, pour tout objet X 2 C, les foncteurs X - et - X pr'eservent les colimites. C'est une cons'equence directe de la proposition 2.32. D'efinition 2.48. Un mono"ide dans une cat'egorie mono"idale (C, , 1) consiste en un objet M de C ainsi que deux morphismes ~ : M M ! M et j : 1 ! M tels que les diagrammes ______________________________ 7ie. l''equivalence consiste en deux foncteurs mono"idaux forts F : M ! S : * *G. 2 PROLE'GOME`NES 21 ~= ~ 1 M (M M) (M M) M M M 1 ~ ~ ~ M M M et '' 1 1 '' 1 M M M M 1 ~ l r M commutent. Nous notons un mono"ide de la mani`ere suivante : (M, ~, j). D'efinition 2.49. Un morphisme de mono"ides f : (M, ~, j) ! (M0, ~0, j0) est un morphisme f : M ! M0 tel que o f O ~ = ~0O (f f) o f O j = j0. Cons'equemment, nous avons une cat'egorie Mon C des mono"ides de C et leurs morphismes. Le tableau suivant pr'esente quelques exemples simples et courants. __________________________________________ | (C, , 1) | mono"ides | |_____________________|___________________|_ | (Set, x, 1) |mono"ides usuels | |_____________________|___________________ | | (Top , x, *) H-e|spaces associatifs | |______________________|__________________ | | (Ab , , Z) | anneaux | |___________Z________|___________________|_ | (K-Mod , , K) | K-alg`ebres | |____________K______|_____________________| Comme annonc'e pr'ec'edemment, les mono"ides nous servent `a construire des modules sur un mono"ide. Voyons maintenant plus pr'ecis'ement cette construction. Consid'erons donc (C, , 1) une cat'egorie mono"idale et soit (M, ~, j) un mono"ide de C. D'efinition 2.50. Une action (`a gauche) de (M, ~, j) sur un objet A 2 C est un morphisme : M A ! A, parmi les morphismes de C, tel que le diagramme ~= ~ 1 '' 1 M (M A) (M M) A M A 1 A 1 ~= M A A 2 PROLE'GOME`NES 22 commute. Un morphisme f : ! 0 d'actions (`a gauche) de M est un morphisme f : A ! A0 dans C tel que 0O (1 f) = f O . En cons'equence, pour un mono"ide (M, ~, j) fix'e, les actions (`a gauche) forment une cat'egorie, not'ee M-Mod , appel'ee cat'egorie des modules (`a gauche) sur le mono"ide M. Pour clarifier, nous avons les descriptions sui- vantes : Ob (M-Mod ) = {(A, ) | A 2 Ob C, : M A ! A} Mor (M-Mod ) = {f 2 C(A, A0) | 0O (1 f) = f O }. Exemple 2.51. Un anneau commutatif R est un mono"ide de (Ab , Z, Z). Ainsi R-Mod est la cat'egorie des R-modules (`a gauche) et de leurs homo- morphismes. 2.2.2 La structure sym'etrique Les notions que nous introduisons dans ce paragraphe seront de premi`ere importance pour la suite. D'efinition 2.52. Une cat'egorie mono"idale sym'etrique est une cat'egorie mon* *o"i- dale (C, , 1) munie d'une structure sym'etrique, `a savoir d'un morphisme d''echange8 naturel ø : C C ! C C A B ! B A 8A, B 2 C tel que les diagrammes A B fi B A , A 1 fi 1 A fi ~= ~= A B A et ______________________________ 8"twist" en anglais. 2 PROLE'GOME`NES 23 ~= fi A (B C) (A B) C C (A B) 1 fi ~= ~= fi 1 A (C B) (A C) B (C A) B commutent. Remarque 2.53. Il est imm'ediat, dans le cas sym'etrique, que les foncteurs Hom l(X, -) et Hom r(X, -) co"incident. Au vu de cette structure sym'etrique, il est l'egitime de se poser la questi* *on de ce qu'il advient des mono"ides et des modules sur un mono"ide. Pour y r'epondre nous avons besoin de la d'efinition suivante. D'efinition 2.54. Un mono"ide (M, ~, j) d'une cat'egorie mono"idale sym'etrique C est commutatif si le diagramme M M fi M M ~ ~ M commute. Th'eor`eme 2.55. Si M est un mono"ide commutatif d'une cat'egorie mono"idale sym'etrique C, alors M-Mod est une cat'egorie mono"idale sym'etrique dont la structure est donn'ee, pour tout A, B 2 M-Mod , par : _ ! A A M-Mod B = colim A M B ' A B ~ B o`u ~ = O ø : A M ! A. En outre, A M-Mod B est un M-module et 1M-Mod = M. D'emonstration. Ce r'esultat est une cons'equence directe de [30, lemme 2.2.2] __ et de [30, corollaire 2.2.4]. |__| 2.3 Les cat'egories mod`eles et mod`eles mono"idales La th'eorie des cat'egories mod`eles a 'et'e d'evelopp'ee premi`erement par D. G. Quillen [36, 37]. Bri`evement, une cat'egorie mod`ele est simplement une cat'egorie ordinaire dans laquelle trois classes de morphismes sont dis- tingu'ees et satisfont quelques axiomes rappelant d'elib'er'ement des propri'et* *'es 2 PROLE'GOME`NES 24 d'espaces topologiques. N'eanmoins, ces axiomes sont suffisants pour obte- nir un contexte g'en'eral raisonnable permettant de d'ecrire les techniques de base de la th'eorie de l'homotopie. L'avantage d'une telle approche abstraite est de pouvoir 'etudier avec les m^emes outils et le m^eme langage des notions d'homotopie d'ecrites topologiquement aussi bien qu'alg'ebriquement. 2.3.1 Les cat'egories mod`eles Dans ce qui suit nous adoptons les d'efinitions utilis'ees dans [16]. Il s'a* *git en fait d'un renforcement des axiomes de Quillen [36] pour une cat'egorie mod`ele ferm'ee, puisque nous imposons que la cat'egorie contienne toutes les petites limites et colimites (et non simplement celles finies). De plus, nous demandons que les factorisations du dernier axiome soient fonctorielles. En- trons donc dans le vif du sujet. D'efinition 2.56. Une cat'egorie mod`ele est une cat'egorie C dans laquelle nous distinguons trois classes de morphismes, appel'es cofibrations, fibrations et 'equivalences faibles, satisfaisant les cinq axiomes suivants : M1: (Bicompl'etion) La cat'egorie C est bicompl`ete9. M2: (Deux sur trois) Si g et h sont des morphismes dans C tels que h O g est d'efini et deux morphismes parmi g, h et h O g sont des 'equivalences faibles, alors le troisi`eme morphisme l'est aussi. M3: (R'etraction) Si g et h sont des morphismes dans C tels que g est un r'etract de h et h est une 'equivalence faible, respectivement une fibrat* *ion ou une cofibration, alors le morphisme g l'est aussi. M4: (Rel`evement) Consid'erons le diagramme commutatif dans C suivant : A X i p B Y. Le morphisme anti-diagonal B ! X existe si l'une des deux conditions suivantes sont satisfaites : (a) le morphisme i est une cofibration et p est une fibration acy- clique (c'est-`a-dire simultan'ement une fibration et une 'equivalen* *ce faible), (b) le morphisme p est une fibration et i est une cofibration acyclique (c'est-`a-dire simultan'ement une cofibration et une 'equivalence fa* *ible). ______________________________ 9c'est-`a-dire relativement aux petits diagrammes. 2 PROLE'GOME`NES 25 M5: (Factorisation) Tout morphisme g dans C peut ^etre factoris'e de deux mani`eres fonctorielles : (a) g = h O i o`u i est une cofibration et h une fibration acyclique, (b) g = p O j o`u p est une fibration et j une cofibration acyclique. Terminologie 2.57. A l'instar de [18], nous avons utilis'e la terminologie suivante. Un morphisme est une fibration (resp. cofibration) acyclique s'il est simultan'ement une fibration (resp. cofibration) et une 'equivalence faible. Notation 2.58. Nous notons les diff'erentes classes de morphismes de la mani`ere suivante : Fib = fibrations Cof = cofibrations WE = 'equivalences faibles Fib \ WE = fibrations acycliques Cof \ WE = cofibration acycliques. La notation WE pour les 'equivalences faibles est emprunt'ee `a l'anglais "weak equivalences". La propri'et'e de l'axiome M4 est suffisamment importante pour m'eriter une d'efinition. D'efinition 2.59. Consid'erons `a nouveau le diagramme commutatif A X i p B Y. Si les morphismes i et p sont tels que le morphisme anti-diagonal (rel`evement) B ! X existe alors - le morphisme i poss`ede la propri'et'e de rel`evement `a gauche (PRG) par rapport au morphisme p, - le morphisme p poss`ede la propri'et'e de rel`evement `a droite (PRD) par rapport au morphisme i. Nous 'etablissons maintenant une terminologie tr`es utilis'ee dans le contex* *te des cat'egories mod`eles. Un r'esultat classique utilisant cette terminologie e* *st 'enonc'e apr`es. Terminologie 2.60. Soit I une classe de morphisme dans une cat'egorie C. 2 PROLE'GOME`NES 26 1. Un morphisme est I-injectif s'il poss`ede la propri'et'e de rel`evement * *`a droite relativement `a tout morphisme de I. La classe des morphismes I-injectifs est not'ee I-inj. 2. Un morphisme est I-projectif s'il poss`ede la propri'et'e de rel`evement * *`a gauche relativement `a tout morphisme de I. La classe des morphismes I-projectifs est not'ee I-proj. 3. Un morphisme est une I-cofibration s'il poss`ede la propri'et'e de rel`ev* *ement `a gauche relativement `a tout morphisme I-injectif. La classe des I- cofibrations est la classe (I-inj)-proj, not'ee I-cof. 4. Un morphisme est une I-fibration s'il poss`ede la propri'et'e de rel`evem* *ent `a droite relativement `a tout morphisme I-projectif. La classe des I- fibrations est la classe (I-proj)-inj, not'ee I-fib. Exemple 2.61. Consid'erons l'ensemble I des inclusions @ [n] ,! [n] dans sS. Alors, I-inj n'est rien d'autre que l'ensemble des fibrations acycliques et I-cof est l'ensemble des inclusions d'ensembles simpliciaux. Exemple 2.62. Consid'erons l'ensemble J des inclusions [n, k] ,! [n] dans sS. Alors, J-inj est l'ensemble des fibrations de Kan et J-cof est l'en- semble des cofibrations acycliques. Remarque 2.63. Si C est une cat'egorie mod`ele et si I est la classe des cofibrations, alors I-inj est la classe des fibrations acycliques et I-cof=I. Duallement, si I est la classe des fibrations, alors I-proj est la classe des cofibrations acycliques et I-fib=I. En outre les propri'et'es suivantes, r'esul* *tant d'un jeu entre les propri'et'es de rel`evement, sont souvent utiles : I I-cof I I-fib (I-cof)-inj = I-inj (I-fib)-proj = I-proj. Si de plus I J alors I-inj J-inj I-proj J-proj I-cof J-cof I-fib J-fib. Lemme 2.64. Soit F : C Æ D : U une adjonction de foncteurs. Soient encore I une classe de morphismes de C et J une classe de morphismes de D. Alors 2 PROLE'GOME`NES 27 1. U(F I-inj) I-inj 2. F (I-cof) F I-cof 3. F (UJ-proj) J-proj 4. U(J-fib) UJ-fib. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [28, lemme 2.1.8]. |__| 2.3.2 Remplacement fibrant et cofibrant L'axiome de factorisation (M5) d'une cat'egorie mod`ele est important et permet notamment d'introduire des constructions tr`es utiles lorsqu'on ne travaille qu'`a 'equivalence faible pr`es, `a savoir le remplacement fibrant et le remplacement cofibrant d'un objet. Il est int'eressant de remarquer ici que la raison d'^etre des 'equivalences faibles est qu'elles mod'elisent la not* *ion d'homotopie. Ainsi `a homotopie pr`es les constructions de remplacement fibrant et celui cofibrant sont cruciales. Pour valider la d'efinition suivante, remarquons qu'une cat'egorie mod`ele admet toutes les limites et colimites. Ainsi en prenant la limite du diagramme vide nous obtenons l'objet terminal, not'e *. De m^eme en prenant la colimite du diagramme vide nous obtenons l'objet initial, not'e ;. D'efinition 2.65. Dans une cat'egorie mod`ele, un objet X est cofibrant si l'unique morphisme ; ! X est une cofibration. Un objet Y est fibrant si l'unique morphisme Y ! * est une fibration. Les objets fibrants et ceux cofibrants jouent un r^ole particulier dans une cat'egorie mod`ele. Pour que la plupart des notions utilisant la structure mod`ele soient bien d'efinies, il est souvent n'ecessaire de supposer que les objets en question sont soit fibrants, soit cofibrants, ou encore les deux si- multan'ement. Or, dans une cat'egorie mod`ele g'en'erale, tout objet n'est ni fibrant, ni cofibrant. Il est donc important de pouvoir se ramener `a ces cas. C'est le but des constructions suivantes. Consid'erons donc un objet X quelconque dans une cat'egorie mod`ele. Il existe toujours un unique morphisme ; ! X de l'objet initial vers X. Par l'axiome (M5), il existe une factorisation fonctorielle ; ! QX ! X o`u le premier morphisme est une cofibration et le second est une fibration acyclique. L'objet QX est clairement cofibrant et est faiblement 'equivalent `a X. Nous pouvons proc'eder de m^eme en factorisant l'unique morphisme X ! * de l'objet X vers l'objet terminal. Nous obtenons ainsi la factorisation X ! RX ! * o`u le premier morphisme est une cofibration acyclique et le second est une fibration. Ainsi l'objet RX est fibrant et est faiblement 'equivalent `a X. 2 PROLE'GOME`NES 28 Terminologie 2.66. L'objet QX provenant de la factorisation ci-dessus est appel'e remplacement cofibrant de X. De m^eme l'objet RX provenant de la factorisation ci-dessus est appel'e remplacement fibrant de X. Remarque 2.67. Un remplacement fibrant aussi bien qu'un remplacement cofibrant ne sont pas uniques en g'en'eral. Seule l'existence est garantie. 2.3.3 Homotopie dans une cat'egorie mod`ele Toute cat'egorie mod`ele poss`ede une notion intrins`eque d'homotopie. Cette notion est d'efinie de la mani`ere suivante. D'efinition 2.68. Soit M une cat'egorie mod`ele et soient f, g : X ! Y deux morphismes de M. 1. Un objet cylindre pour X, Cyl(X), est une factorisation X t X i0ti1 r Cyl(X) p X. du pliage r : X t X ! X o`u i0 t i1 est une cofibration et p une 'equivalence faible. 2. Une homotopie `a gauche entre f et g consiste en un objet cylindre pour X et une application H : Cyl(X) ! Y telle que H O i0 = f et H O i1 = g. Dans une telle situation, nous dirons que f est homotope `a l gauche `a g. Nous le noterons f w g. 3. Un objet chemin pour Y , P ath(Y ), est une factorisation P ath(Y ) s p0xp1 Y Y x Y de la diagonale : Y ! Y xY o`u s est une 'equivalence faible et p0xp1 est une fibration. 4. Une homotopie `a droite entre f et g consiste en un objet chemin pour Y et une application H : X ! P ath(Y ) telle que p0OH = f et p1OH = g. Dans une telle situation, nous dirons que f est homotope `a droite `a g. r Nous le noterons f w g. 2 PROLE'GOME`NES 29 5. Si f est homotope `a gauche et `a droite `a g, nous dirons que f est homotope `a g. Nous le noterons f w g. Remarque 2.69. Il y a en g'en'eral beaucoup de possibilit'es de choisir un objet cylindre pour un objet X donn'e. Toute factorisation provenant de l'axiome M5 (cf. d'efinition 2.56) convient. N'eanmoins, pour qu'un objet cylindre pour un objet X soit homotopiquement int'eressant il est souvent n'ecessaire d'imposer que X soit cofibrant. De m^eme, il existe beaucoup d'objets chemin pour un objet Y donn'e. Il convient parfois aussi de supposer que Y est un objet fibrant. La prochaine proposition illustre une raison `a cela. Proposition 2.70. Soit M une cat'egorie mod`ele. Si X est un objet cofibrant alors l'homotopie `a gauche est une relation d''equivalence sur l'ensemble des morphismes de X vers Y . Si Y est un objet fibrant alors l'homotopie `a droite est une relation d''equivalence sur l'ensemble des morphismes de X vers Y . __ D'emonstration. L'argument se trouve dans [27, 7.3.15]. |__| Proposition 2.71. Soit M une cat'egorie mod`ele et soient f, g : X ! Y des morphismes de M. l r 1. Si X est cofibrant et si f w g, alors f w g. r l 2. Si Y est fibrant et si f w g, alors f w g __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, 7.4.6]. |__| Nous sommes donc en mesure d'introduire la notation suivante. Notation 2.72. Soit M une cat'egorie mod`ele. 1. Si X est un objet cofibrant, ßl(X, Y ) d'esigne l'ensemble des classes d'homotopie `a gauche de morphismes de X vers Y . 2. Si Y est un objet fibrant, ßr(X, Y ) d'esigne l'ensemble des classes d'ho- motopie `a droite de morphismes de X vers Y . 3. Si X est cofibrant et Y est fibrant, ß(X, Y ) d'esigne l'ensemble des classes d'homotopie de morphismes de X vers Y . Pour toute cat'egorie mod`ele M, il existe une cat'egorie dont les objets sont les objets fibrants et cofibrants de M et dont les morphismes sont les classes d'homotopie de morphismes de M. La composition de ces premiers morphismes est induite par la composition des morphismes dans M. D'efinition 2.73. Soit M une cat'egorie mod`ele. Nous d'efinissons la cat'egor* *ie homotopique classique ßM de M comme la cat'egorie dont les objets sont les objets fibrants et cofibrants de M et dont les morphismes de X vers Y sont les classes d'homotopie de morphismes dans M de X vers Y . 2 PROLE'GOME`NES 30 Les r'esultats suivants sont des grands classiques. Proposition 2.74. Soit M une cat'egorie mod`ele. Si f : X ! Y est une 'equivalence faible entre objets fibrants et cofibrants, alors f est une 'equiv* *alence d'homotopie. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, 7.4.13]. |__| Proposition 2.75. Soit M une cat'egorie mod`ele. Si X et Y sont des objets fibrants et cofibrants, alors un morphisme g : X ! Y est une 'equivalence d'homotopie si l'une des deux conditions suivantes est v'erifi'ee : 1. le morphisme g induit des isomorphismes g* : ß(X, X) ß(X, Y ) et g* : ß(Y, X) ß(Y, Y ), 2. le morphisme g induit des isomorphismes g* : ß(Y, X) ß(X, X) et g* : ß(Y, Y ) ß(X, Y ). __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, 7.4.15]. |__| 2.3.4 La cat'egorie homotopique Nous venons de voir que dans une cat'egorie mod`ele, nous disposons d'une notion d'homotopie inh'erente. Nous cherchons maintenant `a cat'egoriser cette propri'et'e. D'efinition 2.76. Soient M une cat'egorie mod`ele et S une classe de mor- phismes de M. Une localisation relativement `a S consiste en une cat'egorie LSM et un foncteur fl : M ! LSM tels que 1. si s 2 S, alors fl(s) est un isomorphisme 2. (propri'et'e universelle) si N est une cat'egorie et F : M ! N est un foncteur tel que F (s) est un isomorphisme pour tout s 2 S, alors il existe un unique foncteur ffi : LSM ! N tel que ffi O fl = F . Remarque 2.77. La propri'et'e universelle permet d'affirmer que si une lo- calisation de M relativement `a S existe alors elle est unique `a 'equivalence * *de cat'egories pr`es et nous parlons alors de la localisation de M relativement `a S. D'efinition 2.78. Soit M une cat'egorie mod`ele. La cat'egorie homotopique (de Quillen) de M est la localisation de M relativement `a la classe des 'equivalences faibles. Nous la notons fl : M ! Ho M. Nous d'emontrons maintenant que la cat'egorie homotopique d'une cat'egorie mod`ele existe. Pour cela nous la construisons explicitement. Lemme 2.79. Soient M une cat'egorie mod`ele et N une cat'egorie. Soit en- core F : M ! N un foncteur qui envoie les 'equivalences faibles de M vers les 2 PROLE'GOME`NES 31 isomorphismes de N. Si f, g : X ! Y sont des morphismes dans M tels que, l r soit f w g soit f w g est v'erifi'e, alors F (f) = F (g). __ D'emonstration. L'argument se trouve dans [27, lemme 8.4.3]. |__| Le lemme pr'ec'edent implique donc qu'un foncteur F : M ! N qui envoie les 'equivalences faibles vers les isomorphismes doit identifier les morphismes homotopiques. Par cons'equent, en cherchant `a construire la cat'egorie ho- motopique, il est naturel de consid'erer la cat'egorie homotopique classique (cf. d'efinition 2.73). Nous avons vu que si nous nous restreignons aux objets fibrants et cofibrants alors, en identifiant les homotopies, nous transformons les 'equivalences faibles en des isomorphismes obtenant ainsi la propri'et'e un* *i- verselle recherch'ee. Il nous faut donc traiter le cas des objets qui ne sont pas fibrants et cofibrants. Pour cela nous consid'erons les remplacements fibrants et cofi- brants des objets. Les d'etails se trouvent dans la d'emonstration du prochain th'eor`eme. Th'eor`eme 2.80. Si M est une cat'egorie mod`ele, alors la cat'egorie homoto- pique (de Quillen) de M, not'ee Ho M, existe. D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, th'eor`eme 8.4.4]. Pour don- ner une id'ee de cette cat'egorie homotopique nous listons ses objets et ses morphismes: o Les objets de Ho M sont les m^emes objets que ceux de M. o Si X et Y sont des objets de M, alors Ho M(X, Y ) = ß(RQX, RQY ) o`u R est un remplacement fibrant et Q est un remplacement cofibrant. Notons que RQX et RQY sont des objets fibrants et cofibrants. Nous pou- vons alors consid'erer les classes d'homotopie ß(RQX, RQY ). De plus, nous d'efinissons le foncteur fl : M ! Ho M comme 'etant l'identit'e sur les objets de M et comme 'etant la classe d'homotopie de RQf pour tout __ morphisme f de M. |__| Proposition 2.81. Soit M une cat'egorie mod`ele. Si g : X ! Y est un morphisme dans M, alors g est une 'equivalence faible si et seulement si fl(g) est un isomorphisme dans Ho M. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, th'eor`eme 8.4.9]. |__| 2 PROLE'GOME`NES 32 2.3.5 Foncteurs d'eriv'es et 'equivalences de Quillen Nous nous int'eressons maintenant `a 'etendre les foncteurs d'une cat'egorie mod`ele M vers une cat'egorie C `a des foncteurs de la cat'egorie homotopique de M vers C. Plus pr'ecis'ement nous avons les d'efinitions suivantes : D'efinition 2.82. Soient M une cat'egorie mod`ele, C une cat'egorie et F : M ! C un foncteur entre elles. Soit encore fl : M ! Ho M le foncteur homotopique. o Un foncteur d'eriv'e `a gauche de F est un foncteur LF : Ho M ! C avec une transformation naturelle j : LF O fl ! F telle que si G : Ho M ! C est un autre foncteur et i : G O fl ! F est une autre transformation naturelle, alors il existe une unique transformation naturelle ` : G ! LF telle que i = j(` O fl). o Un foncteur d'eriv'e `a droite de F est un foncteur RF : Ho M ! C avec une transformation naturelle j : F ! RF O fl telle que si G : Ho M ! C est un autre foncteur et i : F ! G O fl est une autre transformation naturelle, alors il existe une unique transformation naturelle ` : RF ! G telle que i = (` O fl)j. La deuxi`eme 'etape est maintenant d''etendre un foncteur F : M ! M0 de cat'egories mod`eles en un foncteur Ho M ! Ho M0 entre les cat'egories homotopiques. D'efinition 2.83. Soient M et M0 deux cat'egories mod`eles et F : M ! M0 un foncteur entre elles. o Un foncteur d'eriv'e total `a gauche de F est un foncteur d'eriv'e `a gau* *che de la composition M ! M0 ! Ho M0, c'est-`a-dire un foncteur LF : Ho M ! Ho M0 . o Un foncteur d'eriv'e total `a droite de F est un foncteur d'eriv'e `a dro* *ite de la composition M ! M0 ! Ho M0 , c'est-`a-dire un foncteur RF : Ho M ! Ho M0 . Si un foncteur d'eriv'e `a gauche (resp. `a droite) existe, alors la propri'* *et'e universelle de la d'efinition 2.82 assure l'unicit'e du foncteur d'eriv'e `a ga* *uche (resp. `a droite) et, par voie de cons'equence, celle du foncteur total `a gauc* *he (resp. `a droite). La proposition suivante r`egle la question de l'existence. Proposition 2.84. Soient M une cat'egorie mod`ele, C une cat'egorie et F : M ! C un foncteur entre elles. 1. Si F envoie les cofibrations acycliques entre objets cofibrants sur des isomorphismes de C, alors le foncteur d'eriv'e `a gauche de F existe. 2. Si F envoie les fibrations acycliques entre objets fibrants sur des iso- morphismes de C, alors le foncteur d'eriv'e `a droite de F existe. 2 PROLE'GOME`NES 33 __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, proposition 8.5.6]. |__| Remarque 2.85. Pour l'existence des foncteurs d'eriv'es totaux, il suffit d* *onc qu'un foncteur F : M ! M0 entre cat'egories mod`eles envoie les (co)fibrations acycliques entre objets (co)fibrants sur les 'equivalences faibles de M0. D'efinition 2.86. Soient M et N deux cat'egories mod`eles et soit F : M ø N : U une paire de foncteurs adjoints. Nous dirons que o F est un foncteur de Quillen `a gauche, o U est un foncteur de Quillen `a droite, o (F : U) est une paire de Quillen si les deux conditions suivantes sont satisfaites : 1. F pr'eserve les cofibrations et les cofibrations acycliques 2. U pr'eserve les fibrations et les fibrations acycliques. Th'eor`eme 2.87. Soient M et N deux cat'egories mod`eles et soit F : M ø N : U une paire de Quillen. Alors o le foncteur d'eriv'e total `a gauche LF : Ho M ! Ho N existe, o le foncteur d'eriv'e total `a droite RU : Ho N ! Ho M existe, o RU et LF forment une paire de foncteurs adjoints. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, th'eor`eme 8.6.10]. |__| Il reste encore `a 'etendre cette notion pour obtenir une 'equivalence entre cat'egories homotopiques. D'efinition 2.88. Soient M et N deux cat'egories mod`eles et soit F : M ø N : U une paire de Quillen. Nous dirons que o F est une 'equivalence de Quillen `a gauche, o U est une 'equivalence de Quillen `a droite, o (F : U) est une paire d''equivalences de Quillen si pour tout objet cofibrant B de M, pour tout objet fibrant X de N et pour tout morphisme f : B ! U(X) dans M, le morphisme f est une 'equivalence faible dans M si et seulement si le morphisme correspondant f] : F (B) ! X est une 'equivalence faible dans N. La notion d''equivalence de Quillen permet d'assurer l''equivalence an- nonc'ee entre cat'egories homotopiques comme le d'emontre le prochain th'eor`em* *e : Th'eor`eme 2.89. Soit M et N deux cat'egories mod`eles et soit F : M ø N : U une paire de Quillen. Si (F, U) est une paire d''equivalences de Quillen, alors les foncteurs d'eriv'es totaux LF : Ho M ø Ho N : RU sont des 'equivalences des cat'egories homotopiques Ho M et Ho N. 2 PROLE'GOME`NES 34 __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, th'eor`eme 8.6.15]. |__| Exemple 2.90. Le foncteur de r'ealisation g'eom'etrique entre sS(*)et Top(*) et le foncteur complexe singulier total entre Top(*)et sS(*)sont des 'equivalen* *ces de Quillen. Par cons'equent, les cat'egories homotopiques Ho sS(*)et Ho Top(*) sont 'equivalentes. 2.3.6 Les cat'egories mod`eles mono"idales Nous nous int'eressons maintenant `a r'eunir les structures mono"idales sym'* *et- riques ferm'ees et les structures mod`eles. Notre but dans cette r'eunification de structures est d'induire une structure mono"idale naturelle sur la cat'egorie homotopique. Pour cela, il nous faut ajouter des conditions de compatibilit'e entre structures. Une de ces conditions n'ecessite la d'efinition suivante. D'efinition 2.91. Soit (C, , 1) une cat'egorie mono"idale. Soient f : A ! B et g : X ! Y des morphismes dans C. Le "produit somme amalgam'ee" de f et g, not'e f g, est le morphisme induit par f 1Y et 1B g dans le diagramme de somme amalgam'ee suivant : f 1X A X B X 1A g 1B g A Y (A Y ) tA X (B X) f g f 1Y B Y. Nous d'efinissons maintenant une cat'egorie mod`ele mono"idale, puis nous montrerons qu'elle est bien convenable pour munir la cat'egorie homotopique d'une structure mono"idale ferm'ee. D'efinition 2.92. Une cat'egorie mod`ele mono"idale est une cat'egorie mono"i- dale ferm'ee munie d'une structure mod`ele avec les propri'et'es suivantes : 1. si f, g 2 Cof alors f g 2 Cof; et si de plus f ou g est une 'equivalence faible alors f g 2 Cof \ W E ~ 2. soit q : Q1 i 1 un remplacement cofibrant de l'unit'e obtenu en q 1 factorisant ; ! 1. Alors les morphismes Q1 X -! 1 X et 1 q X Q1 - ! X 1 sont des 'equivalences faibles pour tout objet X cofibrant. Remarque 2.93. Cette d'efinition appelle les remarques suivantes : o La premi`ere condition est souvent appel'ee l'axiome de la somme amal- gam'ee. La deuxi`eme est appel'ee l'axiome de l'unit'e. 2 PROLE'GOME`NES 35 o L'axiome de l'unit'e est trivialement satisfait si l'unit'e 1 est cofibra* *nte. o Lorsque la structure mono"idale est sym'etrique, une des deux parties de l'axiome de l'unit'e est redondante. o L'axiome de l'unit'e est n'ecessaire pour munir la cat'egorie homotopique d'une structure mono"idale. En effet, l'axiome de la somme amalgam'ee garantit que le produit est un invariant de type d''equivalence faible * *et par cons'equent donne bien un produit dans la cat'egorie homotopique. Cependant, si l'unit'e 1 n'est pas cofibrante, il se peut tr`es bien qu'e* *lle ne repr'esente pas une unit'e dans la cat'egorie homotopique. C'est l`a qu'intervient l'axiome de l'unit'e pour palier `a ce manque. Il ne nous reste maintenant plus qu'`a 'enoncer le th'eor`eme qui montre que la d'efinition 2.92 est bien convenable. Th'eor`eme 2.94. Soit C une cat'egorie mod`ele mono"idale (sym'etrique). Alors la cat'egorie homotopique Ho C peut ^etre munie d'une structure mono"idale (sym'etrique) ferm'ee. De plus cette correspondance de structures est foncto- rielle. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [28, th'eor`eme 4.3.2]. |__| 2.4 Cat'egories mod`eles propres Le concept que nous introduisons ici sera indispensable lorsque nous nous int'eresserons `a la localisation de cat'egories mod`eles (cf. partie 2.8). Pou* *r ne pas rompre la continuit'e du style, nous exposons d'abord quelques d'efinitions. D'efinition 2.95. Soit M une cat'egorie mod`ele. 1. La cat'egorie mod`ele M est dite propre `a gauche si toute somme amal- gam'ee d'une 'equivalence faible le long d'une cofibration est encore une 'equivalence faible. 2. La cat'egorie mod`ele M est dite propre `a droite si tout produit fibr'e d'une 'equivalence faible le long d'une fibration est encore une 'equival* *ence faible. 3. La cat'egorie mod`ele M est dite propre si elle est simultan'ement propre `a gauche et `a droite. Proposition 2.96 (C. L. Reedy, [38 ]). Dans une cat'egorie mod`ele, les pro- pri'et'es suivantes sont v'erifi'ees : 1. Toute somme amalgam'ee d'une 'equivalence faible entre objets cofi- brants, le long d'une cofibration est encore une 'equivalence faible. 2. Tout produit fibr'e d'une 'equivalence faible entre objets fibrants, le l* *ong d'une fibration est encore une 'equivalence faible. 2 PROLE'GOME`NES 36 D'emonstration. La preuve d'etaill'ee se trouve dans [27, proposition 11.1.2]. __ |__| Nous avons imm'ediatement le corollaire suivant. Corollaire 2.97. Soit M une cat'egorie mod`ele. 1. Si tout objet de M est cofibrant, alors M est propre `a gauche. 2. Si tout objet de M est fibrant, alors M est propre `a droite. 3. Si tout objet de M est fibrant et cofibrant, alors M est propre. En particulier, nous obtenons les exemples suivants de cat'egories propres `a gauche, respectivement `a droite. Exemple 2.98. Les cat'egories sS et sS* sont des cat'egories mod`eles propres `a gauche. Exemple 2.99. Les cat'egories Top et Top* sont des cat'egories mod`eles prop* *res `a droite. 2.5 Ordinaux, composition transfinie et petits objets Dans cette section, nous exposons l'argument üd petit objet", d^u `a Quillen et Kan, qui est tr`es utile car il permet de construire une factorisati* *on fonctorielle int'eressante de n'importe quel morphisme dans une cat'egorie co- compl`ete. N'eanmoins, ce r'esultat demande quelque points tr`es techniques mettant en jeu des compositions transfinies de morphismes. Pour travailler avec des compositions transfinies nous avons besoin de quelques notions de la th'eorie des ensembles. Notre objectif est de d'efinir les diff'erents conce* *pts et fixer une terminologie ad'equate. Nous verrons aussi quelques r'esultats n'ecessaires. Le lecteur d'esireux d'approfondir le sujet ou simplement curieux se r'ef'erera aux livres [15, chapitre II] et [24]. 2.5.1 Ordinaux et cardinaux D'efinition 2.100. 1. Un ensemble pr'e-ordonn'e est un ensemble muni d'une relation reflexive et transitive. 2. Un ensemble partiellement ordonn'e est un ensemble pr'e-ordonn'e dans lequel la relation est aussi anti-sym'etrique. 3. Un ensemble totalement ordonn'e est un ensemble partiellement ordonn'e dans lequel toute paire d''el'ements est comparable. 4. Un ensemble bien ordonn'e est un ensemble totalement ordonn'e dans lequel tout sous-ensemble non vide poss`ede un premier 'el'ement. 2 PROLE'GOME`NES 37 D'efinition 2.101. Le premier ordinal est l'ensemble vide. Un ordinal est l'ensemble bien ordonn'e de tous les ordinaux inf'erieurs. D'efinition 2.102. Un ordinal limite est un ordinal fi tel qu'il n'existe aucun ordinal ff avec fi = ff [ {ff}. D'efinition 2.103. Un cardinal est un ordinal dont la cardinalit'e 10est plus grande que celle de tout autre ordinal inf'erieur. D'efinition 2.104. Un cardinal fl est r'egulier si, pour tout ensemble A dont le cardinal est plus petit que fl tel que pour tout a 2 A, il existe unSensemble Sa dont le cardinal est plus petit que fl, le cardinal de l'ensemble a2A Sa est plus petit que fl. Exemple 2.105. Le cardinal d'enombrable @0 est un cardinal r'egulier. Cela revient simplement `a dire que la r'eunion finie d'ensembles finis est finie. 2.5.2 Composition transfinie Les d'efinitions suivantes sont emprunt'ees `a [27]. D'efinition 2.106. Soit C une cat'egorie cocompl`ete. 1. Soit ~ un ordinal. Une ~-suite dans C est un foncteur X : ~ ! C (c'est-`a-dire un diagramme X0 ! X1 ! X2 ! . .!.Xfi! . . . (fi < ~) dans C) tel que, pour tout ordinal limite fl < ~, le morphisme induit colimfi 0 (s+ X)n = : ; n = 0 2 PROLE'GOME`NES 63 o`u ; d'esigne l'objet initial et les morphismes de structure sont induits de mani`ere 'evidente. D'autre part, il est clair que s+ est adjoint `a gauche de s- . Propri'et'e 2.187 (cf. lemme 3.8 de [29 ]). Avec les notations de la d'efini- tion pr'ec'edente, nous avons les propri'et'es suivantes : 1. le foncteur s+ est un foncteur de Quillen `a gauche relativement `a la structure mod`ele projective de SpN(M, G) 2. s+ commute avec G et s- commute avec U 3. s+ Fn = Fn+1 et Evns- = Evn+1 4. le foncteur s+ est un foncteur de Quillen `a gauche relativement `a la structure mod`ele stable de SpN(M, G). Th'eor`eme 2.188. Soit M une cat'egorie mod`ele propre `a gauche et cellu- laire. Soit encore G un endofoncteur de Quillen `a gauche de M. Alors les foncteurs G : SpN(M, G) ! SpN(M, G) et s+ : SpN(M, G) ! SpN(M, G) sont des 'equivalences de Quillen relativement `a la structure mod`ele stable. En outre, le foncteur Rs- est naturellement isomorphe `a LG et RU est natu- rellement isomorphe `a Ls+ . __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [29, th'eor`eme 3.9] |__| Remarque 2.189. En appliquant le th'eor`eme pr'ec'edent `a la cat'egorie des spectres de Bousfield-Friedlander, nous montrons que le foncteur de suspen- sion G sans le morphisme d''echange (cf. remarque 2.169) X 7! X ^S1 est une 'equivalence de Quillen. Cependant, le th'eor`eme pr'ec'edent ne d'emontre pas que le foncteur de suspension G avec le morphisme d''echange X 7! X S1 est une 'equivalence de Quillen. Cette subtilit'e provient essentiellement du fait que nous avons besoin du morphisme d''echange pour les morphismes de structure puisque pour construire l'isomorphisme G(X S1) ~=GX S1 il faut pouvoir permuter les deux copies de S1. 2.9.3 Enrichissement, tenseur et cotenseur Nous introduisons les notions sus-cit'ees uniquement `a but de fixer la ter- minologie. Pour parfaire le sujet, nous conseillons la lecture de [27, chapitre 9] et [32]. Dans une cat'egorie conventionnelle C, pour toute paire d'objets X et Y nous avons un ensemble C(X, Y ) et pour tout triplet d'objets X, Y et Z nous avons une öl i de composition", c'est-`a-dire un morphisme d'ensembles C(Y, Z) x C(X, Y ) ! C(X, Z) satisfaisant les axiomes usuels. Pour enrichir une cat'egorie nous choisissons une cat'egorie V autre que Set de sorte que C(X, Y ) soit un objet de V. De plus, nous supposons que V poss`ede un 2 PROLE'GOME`NES 64 produit interne, not'e souvent , de mani`ere `a avoir un morphisme C(Y, Z) C(X, Y ) ! C(X, Z) dans V qui sert de öl i de composition". Nous obtenons alors un enrichissement de C sur V. L'exemple fondamental et bien connu est le cas o`u V = sS(*). En outre, pour que ce processus d'enrichissement fonctionne correctement, il faut que le produit interne de V se comporte bien. D'efinition 2.190. Soit V une cat'egorie mono"idale sym'etrique ferm'ee dont l'unit'e est 1. Une cat'egorie V-enrichie C (ou une V-cat'egorie) consiste en : 1. une classe dont les 'el'ements sont les objets de C, 2. un objet C(X, Y ) 2 V pour toute paire d'objets X et Y de C, 3. un morphisme iX : 1 ! C(X, X) dans V pour tout objet X 2 C, 4. un morphisme cX,Y,Z: C(Y, Z) C(X, Y ) ! C(X, Z) dans V pour tout triplet X, Y et Z d'objets de C tels que les diagrammes suivants commutent pour tout objets W , X, Y et Z de C : i j cX,Y,Z Id C(Y, Z) C(X, Y ) C(W, X) C(X, Z) C(W, X) i j C(Y, Z) C(X, Y ) C(W, X) cW,X,Z Id cW,X,Y C(Y, Z) C(W, Y ) cW,Y,Z C(W, Z) et Id iX C(X, Y ) 1 C(X, Y ) C(X, X) cX,X,Y C(X, Y ) et iX Id 1 C(X, Y ) C(Y, Y ) C(X, Y ) cX,Y,Y C(X, Y ). D'efinition 2.191. Soit V une cat'egorie mono"idale sym'etrique ferm'ee et soit C une V-cat'egorie. 2 PROLE'GOME`NES 65 1. La cat'egorie C est dite tensoris'ee si pour tout objet X 2 C et tout objet K 2 V, il existe un objet X K de C tel que pour tout objet Y 2 C, il y a un isomorphisme C(X K, Y ) ~=V(K, C(X, Y )) naturel en Y . 2. La cat'egorie C est dite cotensoris'ee si pour tout objet Y 2 C et tout objet K 2 V, il existe un objet Y K de C tel que pour tout objet X 2 C, il y a un isomorphisme C(X, Y K) ~=V(K, C(X, Y )) naturel en X. Proposition 2.192. Soit V une cat'egorie mono"idale sym'etrique ferm'ee et soit C une V-cat'egorie. 1. Si C est tensoris'ee, alors pour tout objet X 2 C et pour tout objet K et L dans V, il existe un isomorphisme naturel X (K L) ~=(X K) L. 2. Si C est cotensoris'ee, alors pour tout objet X 2 C et pour tout objet K et L dans V, il existe un isomorphisme naturel X(K L) ~= (XK )L. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [27, proposition 9.3.4]. |__| 2.9.4 Spectres sym'etriques La stabilisation construite `a l'aide des spectres sur une cat'egorie mod`ele M propre `a gauche et cellulaire souffre d'un d'efaut g^enant. En effet, si M e* *st une cat'egorie mod`ele sym'etrique mono"idale en sus, la cat'egorie SpN(M, G) n'est pratiquement jamais une cat'egorie mono"idale. C'est la raison qui nous oblige `a introduire la notion de spectres sym'etriques. Intuitivement nous y avons d'ej`a 'et'e pr'epar'e par la remarque 2.169. Notre r'ef'erence principal* *e de ce qui suit est l'article [29]. L'id'ee principale dans l'introduction des spectres sym'etriques est de pren* *d- re en compte l'effet du morphisme d''echange dans les morphismes de struc- ture. Il nous faut donc, d'une mani`ere ou d'une autre, introduire une action du groupe des permutations `a n 'el'ements. A l'instar de [29, p. 40], notons que si G est un endofoncteur d'une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique, alors G est naturellement isomorphe `a - K avec K = G1 et o`u 1 est l'unit'e de la structure mono"idale. ` D'efinition 2.193. Soit = n 0 n la cat'egorie dont les objets sont les ensembles ~n= {1, 2, . .,.n} et ~0= ;, et dont les morphismes sont les iso- morphismes de ~n. Si C est une cat'egorie quelconque, une suite sym'etrique dans C est un foncteur ! C. La cat'egorie des suites sym'etriques est la cat'egorie de foncteurs C . Avec cette d'efinition, une suite sym'etrique X dans une cat'egorie C est une suite X0, X1, . .,.Xn, . .d.'objets de C avec une action du groupe n des permutations `a n 'el'ements. En tant que cat'egorie de foncteurs, la cat'egorie 2 PROLE'GOME`NES 66 des suites sym'etriques dans C est bicompl`ete si C l'est. Les limites et colim* *ites sont effectu'ees niveau pas niveau. De plus si C est une cat'egorie mono"idale sym'etrique ferm'ee, alors C l'est 'egalement. Cette affirmation est d'emontr'* *ee dans [30, partie 2.1]. Tout de m^eme, rappelons que la structure mono"idale sur C est donn'ee par a (X Y )n = n x (Xp Yq) p+q=n o`u X, Y 2 C et o`u le produit x est pris sur p x q, c'est-`a-dire que n=p+q agit sur Xp par p et sur Yq par q. Le produit tensoriel entre deux morphismes f : X ! X0et g : Y ! Y 0est donn'ee par f g : X Y ! X0 Y 0 avec (f g)(oe, x, y) = (oe, fp(x), gq(y)) o`u x 2 Xp et y 2 Yq. L'unit'e de la structure mono"idale sur C est la suite sym'etrique (1, ;, ;* *, . .). o`u ; est l'objet initial de C et 1 est l'unit'e de la structure mono"idale de * *C. En imitant [29], mentionnons encore que si une cat'egorie D est enrichie, tensoris'ee et cotensoris'ee sur C, alors D est enrichie, tensoris'ee et coten* *so- ris'ee sur C , faisant de D un C -module `a droite. D'efinition 2.194. Soit C une cat'egorie mod`ele mono"idale. Une cat'egorie C-mod`ele est un C-module D muni d'une structure mod`ele telle que 1. l'axiome de la somme amalgam'ee (cf. d'efinition 2.92) est satisfait pour le foncteur de l'action (`a droite) : D x C ! D ; ~ 2. si q : Q1 i 1 est un remplacement cofibrant de l'unit'e de C, alors le 1 q morphisme X Q1 -! X 1 est une une 'equivalence faible pour tout objet cofibrant X 2 D. D'efinition 2.195. Une cat'egorie mod`ele simpliciale est une cat'egorie sS- mod`ele. Remarque 2.196. La notion de cat'egorie mod`ele simpliciale a d'abord 'et'e introduite par Quillen [36]. Sa notion diff`ere l'eg`erement de celle de [28] q* *ue nous adoptons. D'efinition 2.197. Soient C et D deux cat'egories mod`eles mono"idales. Un foncteur de Quillen mono"idal entre C et D est un foncteur F : C ! D mono"idal dont un adjoint `a droite existe et qui est un foncteur de Quillen `a droite, et pour lequel le morphisme F (Q1) ! F (1) est une 'equivalence faible. D'efinition 2.198. Soit C une cat'egorie mod`ele mono"idale. Une cat'egorie C- mod`ele mono"idale est une cat'egorie mod`ele mono"idale D munie d'un foncteur de Quillen mono"idal C ! D. 2 PROLE'GOME`NES 67 Notation 2.199. D'esignons par Sym(K) = (1, K, K K, . .,.K n , . .).la suite sym'etrique sur laquelle n agit en permutant les copies de K dans K n `a l'aide des isomorphismes de commutativit'e et d'associativit'e. Notons que Sym(K) est le mono"ide commutatif libre sur l'objet (;, K, ;, . .,.;, . .).de C . D'efinition 2.200. Soient M une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique ferm'ee, D une cat'egorie M-mod`ele, et K un objet de M. Un spectre sym'etrique X consiste en une suite d'objets Xn 2 M avec une action de n sur chacun d'eux, et en des morphismes n-'equivariants Xn K ! Xn+1 tels que la com- pos'ee Xn K p ! Xn+1 K (p-1) ! . .!.Xn+p est n x p-'equivariante pour tout n, p 0. Un morphisme de spectres sym'etriques est une famille {Xn ! Yn}n 0 de morphismes n-'equivariants compatibles avec les morphismes de structure entre les spectres sym'etriques X et Y . Ces deux notions forment la cat'egorie des spectres sym'etriques, not'ee Sp (D, G). Remarquons que la d'efinition pr'ec'edente est 'equivalente `a dire que la cat'egorie Sp (D, G) est la cat'egorie des modules dans D sur le mono"ide commutatif Sym(K) dans M . Proposition 2.201. La cat'egorie Sp (M, G) est une cat'egorie bicompl`ete mono"idale sym'etrique ferm'ee dont Sym(K) est l'unit'e. D'emonstration. Puisque Sp (M, G) est la cat'egorie des modules dans M sur le mono"ide Sym(K) et comme Sym(K) est un mono"ide commutatif, la cat'egorie Sp (M, G) est une cat'egorie mono"idale sym'etrique par le th'eor`e* *me 2.55. La bicompl'etude et la fermeture r'esultent des remarques mentionn'ees __ pr'ec'edemment. |__| Notation 2.202. Dans la cat'egorie Sp (M, G) des spectres sym'etriques, nous notons par X ^ Y not=X Sym(K) Y le produit de la structure mono"idale. La fermeture est donn'ee par Hom Sym(K)(X, Y ). De mani`ere analogue `a une remarque pr'ec'edente, il est possible de montrer que si une cat'egorie D est enrichie, tensoris'ee et cotensoris'ee sur M, alors Sp (D, G) est enrichie, tensoris'ee et cotensoris'ee sur Sp (M, G). Nous noto* *ns encore par X ^ Y le produit de la structure mono"idale dans Sp (D, G). De plus, si D est une cat'egorie M-mod`ele mono"idale alors Sp (D, G) est cat'ego* *rie mono"idale enrichie sur Sp (M, G). Remarque 2.203. Si C = sS* et si K est le cercle simplicial S1 dont le mod`ele est [1]=@ [1], alors sans aucune surprise nous retrouvons la cat'egorie des spectres sym'etriques de [30]. Il faut toutefois noter que nous 2 PROLE'GOME`NES 68 utilisons les modules `a droite sur Sym(K) au lieu des modules `a gauche de [30]. Nous calquons maintenant la partie 2.9.1 en l'adaptant au cas des spectres sym'etriques. Rappelons encore que nous nous inspirons totalement de [29]. D'efinition 2.204. Le foncteur d''evaluation Evn : Sp (D, G) ! D envoie le spectre sym'etrique X vers l'objet Xn pour tout n 0. Le foncteur d''evaluation poss`ede un adjoint `a gauche Fn : D ! Sp (D, G) d'efini par la relation Fn(A) = (;, . .,.;, n x A, ;, . .). Sym(K). Remarquons d'embl'ee que F0(A) = (A, A K, . .,.A K n , . .).. En particulier F0(1) = Sym(K). En g'en'eral nous avons la relation (FnA)m = m x m-n (A K (m-n) ) pour m n. (5) Avec les d'efinitions et notations que nous avons adopt'ees - qui sont celles de [29] - nous obtenons la g'en'eralisation de [30, proposition 2.2.6] : si A 2 D * *et L 2 M alors il y a un isomorphisme naturel Fn(A) ^ Fm (L) ~=Fn+m (A L). En particulier, le foncteur F0 : M ! Sp (M, K) est un foncteur mono"idal sym'etrique, ce qui rend Sp (D, K) naturellement enrichie, tensoris'ee et co- tensoris'ee sur M directement. Cette structure enrichie est la suivante : si X 2 Sp (D, K) et L 2 M alors X L = X Sym(K) F0L est le spectre sym'etrique dont le terme de rang n est Xn L. Les morphismes de structure sont donn'es par la compos'ee Xn L K -1!tXn K L -! Xn+1 L. Le morphisme d''echange est n'ecessaire m^eme lorsque L = K - a contrario des spectres usuels - pour obtenir un spectre sym'etrique. 2.9.5 Structure stable sur les spectres sym'etriques Comme dans le cas des spectres usuels, nous 'etudions d'abord la structure mod`ele projective puis la structure stable sur la cat'egorie Sp (D, K) des spectres sym'etriques. Naturellement, pour que ces notions aient un sens et soient bien d'efinies, nous nous pla,cons, dans cette partie, dans le contexte agr'eable o`u M est une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique cellulaire et propre `a gauche et o`u D est une cat'egorie M-mod`ele cellulaire et propre `a gauche. Le symbole K d'esignera un objet cofibrant de M. A nouveau, nous sommes totalement d'ebiteurs de [29] pour ce qui suit. D'efinition 2.205. Un morphisme f 2 Sp (D, K) est une 'equivalence par niveau si chaque morphisme fn est une 'equivalence faible dans D. De m^eme f 2 PROLE'GOME`NES 69 est une fibration par niveau (resp. cofibration par niveau, fibration acyclique par niveau, cofibration acyclique par niveau) si chaque fn est une fibration (resp. cofibration, fibration acyclique, cofibration acyclique) dans D. Enfin, le morphisme f est une cofibration projective si f poss`ede la propri'et'e de rel`evement `a gauche relativement aux fibrations acycliques par niveau. Notation 2.206. Comme dans le cas des spectres usuels, si I d'esigne l'en- semble des cofibrations triviales et J l'ensemble des cofibrations acycliques triviales, nous avons les notations suivantes : [ IK = FnI n 0 [ JK = FnJ. n 0 Les r'esultats qui suivent sont donn'es sans d'emonstration et la plupart des d'etails sont omis. Ces lacunes sont combl'ees dans [29]. D'autre part l'interaction entre la cellularit'e de la cat'egorie D et celle de la cat'egorie des spectres sym'etriques sur D est 'etudi'ee dans la partie 2.9.6, mais nous l'utilisons d`es maintenant. Th'eor`eme 2.207. Les cofibrations projectives, les fibrations par niveau et les 'equivalences par niveau munissent Sp (D, K) d'une structure mod`ele propre `a gauche et cellulaire. Cette structure est appel'ee structure projective. De plus les cofibrations triviales forment l'ensemble Ik et les cofibrations acy- cliques triviales forment l'ensemble JK . __ D'emonstration. [29, Th'eor`eme 8.2]. |__| Th'eor`eme 2.208. La structure projective munit la cat'egorie Sp (D, K) d'une structure mod`ele mono"idale sym'etrique qui fait de Sp (D, K) une cat'egorie Sp (M, K)-mod`ele. __ D'emonstration. [29, Th'eor`eme 8.3]. |__| Les cofibrations projectives des spectres sym'etriques sont plus compliqu'ees que dans le cas des spectres usuels. Pour obtenir un analogue `a la proposi- tion 2.174, il nous faut une nouvelle notion, `a savoir l'espace loquet22. Une motivation de cette notion se trouve dans [29, p. 107] et nous encourageons le lecteur `a s'y r'ef'erer. Nous retrouverons cette motivation pour le cas des complexes crois'es `a la page 137. D'efinition 2.209. Posons le spectre sym'etrique _________ Sym(K) = (;, K, K K, . .,.K n , . .).2 Sp (M, K) ______________________________ 22traduction libre de l'anglais äl tching space". 2 PROLE'GOME`NES 70 avec les morphismes de structure 'evidents. L'espace loquet Ln(A) de degr'e n d'un spectre sym'etrique A 2 Sp (D, K) est d'efini par la relation _________ Ln(A) = Evn(A ^ Sym(K) ). _________ Le morphisme Sym(K) ! Sym(K) de spectres induit une transformation i : Ln(A) ! An naturelle n-'equivariante (cf. [29, p. 107]). Proposition 2.210. Un morphisme f : A ! B entre spectres sym'etriques est`une cofibration projective si et seulement si le morphisme Evn(f i) : An Ln(A) Ln(B) ! Bn est une cofibration dans M n pour tout n 0. De m^eme f est une cofibration projective acyclique si et seulement si Evn(f i) est une cofibration acyclique dans M n pour tout n 0. __ D'emonstration. [29, Proposition 8.5]. |__| Nous avons maintenant tous les ingr'edients sur Sp (D, K) pour localiser la structure projective et obtenir la structure stable. Les objets stablement fibrants seront les objets d'efinis par : D'efinition 2.211. Un spectre sym'etrique dans Sp (D, K) est un -spectre si X est fibrant par niveau et si l'adjoint Xn ! XKn+1du morphisme de structure de X est une 'equivalence faible pour tout n 0. Il nous faut encore trouver l'ensemble de morphisme relativement auquel la localisation est effectu'ee de mani`ere `a ce que les -spectres soient les * *objets fibrants de la structure stable. Par analogie avec le cas des spectres usuels, cet ensemble de morphisme est choisi comme suit : D'efinition 2.212. D'efinissons l'ensemble E de morphismes de Sp (D, K) comme 'etant æ oe ``QCn E = Fn+1(QC K) -! FnQC n 0 o`u C parcours l'ensemble des domaines et codomaines des cofibrations tri- viales de D. La structure mod`ele stable sur Sp (D, K) est la localisation de Bousfield relativement `a E de la structure projective sur Sp (D, K). Les 'equivalences stables sont les 'equivalences faibles E-locales et les fibrations stables sont* * les fibrations E-locales. Notons que le morphisme iQCn provient de l'adjoint au morphisme QC K -! Evn+1FnQC = n x (QC K) qui correspond `a l'identit'e de n+1. 2 PROLE'GOME`NES 71 Th'eor`eme 2.213. Les spectres sym'etriques stablement fibrants sont exacte- ment les -spectres. En outre, pour tout objet A cofibrant et pour tout n 0 le morphisme iAn: Fn+1(A K) ! FnA est une 'equivalence stable. __ D'emonstration. [29, Th'eor`eme 8.8]. |__| Pour s'assurer que tout fonctionne comme d'esir'e, remarquons que si D = sS* ou D = Top* alors nous retrouvons les spectres sym'etriques 'etudi'es dans [30]. De plus nous avons 'egalement dans les spectres sym'etriques le fait que tensoriser par K est un endofoncteur de Quillen sur Sp (D, K). Pour montrer que c'est m^eme une 'equivalence de Quillen il nous faut introduire - exactement comme dans le cas des spectres usuels - le foncteur de d'ecalage. D'efinition 2.214. Le foncteur de d'ecalage `a droite s- :Sp (D, K)!Sp (D, K) est d'efini par la relation s- X = Hom Sym(K)(F11, X). Ainsi (s- X)n = Xn+1 o`u l'action de n sur Xn+1 est induite par l'inclusion de n dans n+1. Les morphismes de structure de s- X sont les m^emes que ceux de X. Le foncteur de d'ecalage `a gauche s+ :Sp (D, K)!Sp (D, K) est d'efini par la relation s+ X = X Sym(K) F11. Ainsi (s+ X)n = n x n-1 Xn-1 pour n > 0 et (s+ X)0 est l'objet initial de D. Les morphismes de structure de s+ X sont induits par ceux de X. Il est clair que le d'ecalage `a gauche est adjoint `a gauche du d'ecalage `a droite. Th'eor`eme 2.215. Les foncteurs X 7! X K et s+ sont des 'equivalences de Quillen relativement `a la structure mod`eleistablejde Sp (D, K). De plus Rs- est naturellement isomorphe `a L(- K) et R (-)K est naturellement isomorphe `a Ls+ __ D'emonstration. [29, Th'eor`eme 8.10]. |__| Jusqu'ici, nous avons obtenu les m^emes propri'et'es que dans le cas des spectres usuels. Pour justifier l'introduction des spectres sym'etriques il nous faut donc montrer en quoi la cat'egorie des spectres sym'etriques est plus convenable, `a savoir qu'elle poss`ede une structure mod`ele mono"idale sym'etrique. C'est toute la raison d'^etre des spectres sym'etriques. Th'eor`eme 2.216. Si les domaines des cofibrations triviales des cat'egories M et D sont cofibrants, alors la structure mod`ele stable sur Sp (M, K) en fait une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique, et la structure mod`ele sta* *ble sur Sp (D, K) en fait une cat'egorie Sp (M, K)-mod`ele. __ D'emonstration. [29, Th'eor`eme 8.11]. |__| Nous mentionnons encore quelques propri'et'es qui nous semblent 'eclairer un peu mieux l'utilit'e des spectres sym'etriques. Leurs preuves se trouvent dans [29] et [28, chapitre 5]. 2 PROLE'GOME`NES 72 Propri'et'e 2.217. Si le foncteur - K est une 'equivalence de Quillen dans D, alors le foncteur F0 : D !Sp (D, K) est une 'equivalence de Quillen. Propri'et'e 2.218. Si les domaines des cofibrations triviales des cat'egories M et D sont cofibrants, et si le foncteur - K est une 'equivalence de Quillen dans D, alors Ho D est enrichie, tensoris'ee et cotensoris'ee sur Ho Sp (M, K). Propri'et'e 2.219. La cat'egorie homotopique de n'importe quelle cat'egorie mod`ele est naturellement enrichie, tensoris'ee et cotensoris'ee sur Ho sS. 2.9.6 Spectres, cellularit'e et propret'e Comme promis nous 'enon,cons le r'esultat permettant de garantir que la cellularit'e et la propret'e sont pr'eserv'ees lors du passage de la cat'egorie* * D `a la structure mod`ele projective sur les spectres (sym'etriques) sur D. Th'eor`eme 2.220. Soient D une cat'egorie mod`ele cellulaire et propre `a gau- che, et G un endofoncteur de Quillen `a gauche de D. Alors la cat'egorie des spectres SpN(D, G) munie de la structure mod`ele projective est une cat'egorie mod`ele cellulaire et propre `a gauche. De m^eme, soit C une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique. Soient encore D une cat'egorie C-mod`ele cellulaire propre `a gauche, et K un objet cofibrant de C. Alors la cat'egorie des spectres sym'etriques Sp (D, K) munie de la structure mod`ele projective est une cat'egorie mod`ele cellulaire et pro* *pre `a gauche. D'emonstration. La preuve de ce r'esultat est une cons'equence imm'ediate de la d'efinition d'une cat'egorie cellulaire et des r'esultats [29, lemme A.2], [* *29, __ proposition A.4] et [29, proposition A.8]. |__| 2.9.7 Equivalences stables et groupes d'homotopie stable Il peut para^itre surprenant d'avoir d'efini la structure stable d'une cat'e* *gorie de spectres, en particulier les 'equivalences stables, sans m^eme avoir parl'e * *de groupes d'homotopie stable. Nous pensons que cela m'erite une explication. Dans le cadre aussi g'en'eral que nous avons choisi, les 'equivalences stabl* *es d'une cat'egorie de spectres sym'etriques ne sont pas d'etect'ees par les group* *es d'homotopie stable, c'est-`a-dire qu'une 'equivalence stable n'est pas, en g'en* *'eral, un morphisme induisant un isomorphisme sur les groupes d'homotopie stable. Il est possible d'ajouter un minimum d'hypoth`eses sur la cat'egorie mod`ele pour que la situation qui vient d'^etre d'ecrite devienne vraie. Nous ne traite- rons pas ce sujet, mais nous renvoyons le lecteur `a la lecture de [29, section 4]. 2 PROLE'GOME`NES 73 Pour contourner cet obstacle, dans la construction g'en'erale de la struc- ture stable, nous avons impos'e que les 'equivalences stables soient des isomor- phismes sur toute th'eorie de cohomologie g'en'eralis'ee(cf. page 58). Pour bien expliquer ce qui est en jeu ici, nous prenons comme exemple la cat'egorie des ensembles simpliciaux, leurs spectres usuels et leurs spectres sym'etriques munis de la suspension. D'efinition 2.221. Soit X un spectre (sym'etrique ou non). Le k-`eme groupe d'homotopie de X est donn'e par la colimite ßkX = colimn ßk+nXn du syst`eme dirig'e d'efini par la composition ik+n+1ff ßk+nXn ßk+n+1 (S1 ^ Xn) ßk+n+1 Xn+1. D'efinition 2.222. Un morphisme de spectres (non sym'etriques) f est une 'equivalence stable si ß*f est un isomorphisme. Mais, nous ne pouvons pas d'efinir les 'equivalences stables pour les spectr* *es sym'etriques de la m^eme mani`ere. En effet, des exemples connus (cf. [30, exemple 3.1.10]) montrent que des 'equivalences stable de spectres sym'etriques n'induisent pas forc'ement des isomorphismes sur les groupes d'homotopie. D'efinition 2.223. Un spectre sym'etrique E est un spectre injectif si pour tout diagramme de spectres sym'etriques g X E f h Y o`u f est un monomorphisme et une 'equivalence par niveau, le morphisme h en pointill'e existe et satisfait g = h O f. Un complexe de Kan est un ensemble simplicial X pour lequel le rel`evement en pointill'e existe, pour tout n k 0, dans le diagramme [n, k] X [n] * = [0]. Les complexes de Kan sont les objets fibrants de sS. Un -spectre est un spectre X tel que, pour tout n 0, l'ensemble simplicial Xn est un complexe de Kan et l'adjoint du morphisme de structure S1 ^ Xn ! Xn+1 est une 'equivalence faible d'ensembles simpliciaux. 2 PROLE'GOME`NES 74 D'efinition 2.224. Un morphisme de spectres sym'etriques f : X ! Y est une 'equivalence stable si E0f : E0Y ! E0X est un isomorphisme pout tout -spectre injectif E, o`u E0 = ß0 Mor Sp (-, E). Cette d'efinition est le r'esultat du d'esir de d'ecrire le groupe de cohomo* *logie d'ordre 0 de X `a coefficients dans l' -spectre sym'etrique E par l'ensemble des classes d'homotopie simpliciale de morphisme de X vers E. Le seul obstacle `a cela est que le foncteur contravariant E0 n'envoie pas les 'equivalences par niveau sur des isomorphismes. C'est pour cela qu'il faut se resteindre aux spectres injectifs. Cette restriction n'est pas probl`ematique car tout spectre sym'etrique est 'equivalent par niveau `a un spectre injectif (cf. [30, corolla* *ire 5.1.3]). Proposition 2.225. Une 'equivalence par niveau de spectres sym'etriques est une 'equivalence stable. __ D'emonstration. L'argument se trouve dans [30, corollaire 3.1.8]. |__| Si nous consid'erons maintenant le foncteur des spectres sym'etriques vers les spectres non sym'etrique consistant `a oublier l'action de n, alors nous avons vu que ce foncteur ne pr'eserve pas les 'equivalences stables. N'eamoins nous avons le r'esultat suivant : Th'eor`eme 2.226. Soit f un morphisme de spectres sym'etriques tel que ß*f est un isomorphisme sur les groupes d'homotopie. Alors f est une 'equivalence stable. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [30, th'eor`eme 3.1.11]. |__| 2.10 Quid des cat'egories point'ees ? Notre intention ici est de survoler quelques r'esultats concernant les cat'e* *go- ries point'ees. La motivation est de montrer comment se comportent les cat'egories point'ees relativement aux r'esultats que nous avons vu jusqu'`a pr'esent. Nous adoptons les d'efinitions de [28] et les d'etails s'y trouvent. D'efinition 2.227. Une cat'egorie poss'edant un objet initial et terminal est dite point'ee si le morphisme de l'objet initial vers l'objet terminal est un isomorphisme. D'efinition 2.228. Soit M une cat'egorie mod`ele dont l'objet terminal est *. Nous d'efinissons M* comme la cat'egorie dont les objets sont les morphismes v : * ! X de M, not'es (X, v). Il est commode de voir (X, v) comme un objet X muni d'un point de base v. Un morphisme de (X, v) ! (Y, w) est un morphisme f : X ! Y tel que f O v = w. 2 PROLE'GOME`NES 75 Avec ces d'efinitions, nous obtenons`que M* est une cat'egorie point'ee. Notons encore`que le coproduit de X Y dans M* est simplement X _ Y , `a` savoir X Y` quotient'e par la relation i0 O v = i1 O w o`u i0 : X ! X Y et i1 : Y ! X Y sont les inclusions canoniques. ` Clairement, il existe un foncteur M ! M* qui envoie X vers X+ = X * dont le point de base est *. Ce foncteur qui ajoute un point de base disjoint `a X est adjoint au foncteur oubli U : M* ! M qui consiste `a oublier le point de base *. Si M est une cat'egorie point'ee, alors cette adjonction de foncteurs est une 'equivalence de cat'egories. Proposition 2.229. Soit M une cat'egorie mod`ele. D'efinissons un mor- phisme f de M* comme 'etant une cofibration (resp. fibration, 'equivalence faible) si et seulement si Uf est une cofibration (resp. fibration, 'equivalence faible) dans M. Alors M* est une cat'egorie mod`ele. __ D'emonstration. L'argument se trouve dans [28, proposition 1.1.8]. |__| Proposition 2.230. Soient M et N deux cat'egorie mod`eles. Soit encore F : M ! N une 'equivalence de Quillen. Supposons que l'objet terminal * de M est cofibrant et que F pr'eserve l'objet terminal. Alors F* : M* ! N* est une 'equivalence de Quillen. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [28, proposition 1.3.17]. |__| Proposition 2.231. Soit M une cat'egorie mod`ele engendr'ee de mani`ere co- fibrante. Alors, la structure mod`ele, donn'ee dans proposition 2.229, de M* est engendr'ee de mani`ere cofibrante. D'emonstration. Si I est l'ensemble des cofibrations triviales et J celui des cofibrations acycliques triviales, alors I+ et J+ sont ceux de la structure engendr'e de mani`ere cofibrante de M*. Les d'etails se trouvent dans [28, __ proposition 2.1.21]. |__| Proposition 2.232. Soit M une cat'egorie mod`ele mono"idale (sym'etrique) dont l'unit'e est l'objet terminal *. Supposons de plus que * est cofibrant. Alors, M* est aussi une cat'egorie mod`ele mono"idale (sym'etrique). D'emonstration. D'efinissons (X, v) ^ (Y, w) par la somme amalgam'ee ` ` (X w) (v Y ) X Y X Y * X ^ Y. ` L'op'eration ^ donne la structure mono"idale, dont l'unit'e est *+ = * *. Cette structure est sym'etrique si et seulement si l'op'eration l'est. De plu* *s, 2 PROLE'GOME`NES 76 notons que puisque * est cofibrant, l'unit'e *+ est cofibrante dans M*. Les __ d'etails se trouvent dans [28, proposition 4.2.9]. |_* *_| Proposition 2.233. Soit C une cat'egorie mod`ele mono"idale dont l'unit'e est l'objet terminal *. Supposons de plus que * est cofibrant. Si M est une cat'egorie C-mod`ele , alors M* est naturellement une cat'egorie C*-mod`ele. De plus, il existe une 'equivalence de cat'egories entre les cat'egories C-mod`eles point'ees et les cat'egories C*-mod`eles. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [28, proposition 4.2.19]. |__| Proposition 2.234. Soit M une cat'egorie propre `a gauche (`a droite). Alors M* est une cat'egorie propre `a gauche (`a droite). D'emonstration. Si M est propre `a gauche (`a droite), alors clairement M* est propre `a gauche (`a droite) puisque la structure mod`ele sur M* est obtenue __ de celle de M en oubliant le point de base. |__| Chapitre 3 3 Les complexes crois'es Nous introduisons maintenant une cat'egorie dont les objets ressemblent aux complexes de cha^ine de modules avec l'action d'un groupo"ide, `a l'ex- ception d'un caract`ere non ab'elien en dimension 1 et 2. Ces objets sont les complexes crois'es. Ils poss`edent des vertus similaires `a celles des complexes de cha^ine comme, par exemple, une alg`ebre homologique famili`ere et, en m^eme temps, ils charrient une information non ab'elienne. Leur utilit'e est 'egalement donn'ee dans [4] o`u ils interviennent dans l'approximation lin'eaire `a une th'eorie combinatoire d'homotopie. Des d'etails de l'historique de leur emploi sont donn'es dans [10]. 3.1 La cat'egorie ØC des complexes crois'es Nous exposons maintenant la cat'egorie des complexes crois'es. Comme `a notre habitude, cette exposition se fait 'etape par 'etape en commen,cant par des d'efinitions pr'eliminaires. 3.1.1 D'efinitions D'efinition 3.1. Soit C une petite cat'egorie (dans le sens que la classe des objets est un ensemble). La cat'egorie C est totalement non-connexe si C(x, y) est vide pour tous objets x et y distincts. D'efinition 3.2. Un groupo"ide est une petite cat'egorie C dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme. Remarque 3.3. Un mono"ide est une petite cat'egorie dont l'ensemble des objets est un singleton. Un groupe est alors un mono"ide qui est un groupo"ide. Notation 3.4. Pour tout morphisme m d'un objet x vers un objet y, nous notons par s(m) = x la source de m et par t(m) = y le but23 de m. D'efinition 3.5. Soient C et D deux groupo"ides poss'edant le m^eme ensemble d'objets, tels que C est totalement non-connexe. Une action de D sur C est donn'ee par : Mor D x Mor C -ff! Mor C (d, c) 7- ! cd ______________________________ 23le symbole "t" provient de l'anglais ät rget". 3 LES COMPLEXES CROISE'S 78 satisfaisant, pour tout c1, c2 2 C(x, x), d1 2 D(x, y) et d2 2 D(y, z), les conditions : 1. cd est d'efini si et seulement si t(c) = s(d) et alors t(cd) = t(d) 2. (c2 O c1)d1 = cd12O cd11et 1d1x= 1y i jd2 3. cd2Od11= cd11 et c1x1= c1. D'efinition 3.6. Soient D et C deux groupo"ides poss'edant le m^eme ensemble d'objets, tels que C est totalement non-connexe et muni d'un action de D. Le groupo"ide C est un D-module si pour tout x 2 Ob C, le groupe C(x, x) est ab'elien. D'efinition 3.7. Un module crois'e de groupo"ides consiste en une paire de groupo"ides C et D poss'edant un ensemble commun d'objets, tels que C est totalement non-connexe et muni d'une action de D, avec un foncteur C -ffi!D qui est l'identit'e sur l'ensemble des objets et qui satisfait, pour tout c, c0* * 2 C(x, x) et d 2 D(x, y) : 1. ffi(cd) = d O ffi(c) O d-1 0) 0 0 -1 2. cffi(c= c O c O (c ) . Lorsque l'ensemble commun d'objets est un singleton, nous obtenons un mo- dule crois'e de groupes. Notation 3.8. Nous notons un module crois'e de la mani`ere suivante : C -ffi!D. Cependant, pour simplifier la notation, nous omettrons le choix de police pour les cat'egories et nous noterons C -ffi!D. D'efinition 3.9 (Complexe crois'e). Un complexe crois'e de groupo"ides C consiste en : 1. un module crois'e de groupo"ides C2 -ffi2!C1 avec pour ensemble commun d'objets C0 2. un C1-module Ci, pour tout indice i 3, et un foncteur ffii : Ci ! Ci-1 qui est l'identit'e sur les objets et qui respecte les actions de C1 sur chaque Ci. En outre, ces donn'ees doivent satisfaire les conditions suivantes pour i 3 : 1. la composition ffii-1 O ffii est triviale, `a savoir ffii-1(ffii(ci))= 1t* *(ci)pour tout ci 2 Mor Ci 2. l'image de ffi2 agit trivialement sur chaque Ci. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 79 Un complexe crois'e de groupes est un complexe crois'e de groupo"ides pour lequel C0 est un singleton. Nous notons un complexes crois'e de la mani`ere suivante : ffii ffii-1 ffi4 ffi3 ffi2 ffi0=s . . . Ci-1 . . . C3 C2 C1 C0. ffi1=t Remarque 3.10. La d'efinition d'un complexe crois'e de groupo"ides, bien qu''el'egante et pr'ecise, ne permet pas d'un coup d'oeil d'en comprendre les diff'erentes composantes et propri'et'es. C'est pourquoi, il nous semble int'er* *es- sant de relever les 'el'ements suivants. 1. C0 est l'ensemble des objets du complexe crois'e. Si c'est un singleton alors chaque Ci 1 est un groupe. 2. C1 est un groupo"ide qui agit sur tous les Ci 2. Il agit sur lui-m^eme par conjugaison. 3. C2 est un groupo"ide totalement non-connexe. Il est la r'eunion disjointe des groupes C2(x, x) pour tout x 2 C0. Le foncteur ffi2 satisfait, bien s^ur, les conditions de la d'efinition 3.7. 4. Chaque Ci 3est un groupo"ide totalement non-connexe. Il est la r'eunion disjointe des groupes ab'eliens Ci(x, x) pour tout x 2 C0. Chaque ffii est l'identit'e sur C0 et respecte les actions de C1 sur Ci, ie. une acti* *on de C1 sur Ci, sous l'effet du foncteur ffii, reste une action de C1 sur C* *i-1. 5. L'image de ffi2 agit sur C2 par conjugaison. 6. Le fait que ffii-1 O ffii soit trivial doit nous rappeler les complexes de cha^ines de groupes ab'eliens (cf. exemple 3.12). En r'ef'erence `a cet* *te derni`ere situation, les foncteurs ffii sont parfois appel'es les ä pplic* *ations de bords" du complexe crois'e. D'efinition 3.11. Un morphisme de complexes crois'es f : B ! C est une famille de morphismes de groupo"ides {fn : Bn ! Cn}n 1 qui induisent tous le m^eme morphisme f0 : B0 ! C0 sur les objets et qui sont compatibles avec les foncteurs ffii de B et de C, et compatibles avec les actions de B1 et C1 sur Bn 1 et Cn 1 respectivement. Autrement dit, les diagrammes ffin+1 ffin ffi4 ffi3 ffi2 ffi0 . . . Bn . . . B3 B2 B1 B0 ffi1 fn f3 f2 f1 f0 ffi0 . . .ffi Cn . . . C3 C2 C1 C0 n+1 ffin ffi4 ffi3 ffi2 ffi1 3 LES COMPLEXES CROISE'S 80 et B1 x Bn ff Bn f1xfn fn 8n 1 C1 x Cn ff Cn commutent. Les complexes crois'es et leurs morphismes forment donc la cat'egorie des complexes crois'es, not'ee24 ØC. Exemple 3.12. Un cas particulier et bien connu des complexes crois'es est les complexes de cha^ine de groupes ab'eliens. En effet, en prenant, dans la d'efinition d'un complexe crois'e, C0 = {e}, Ci 1 des groupes ab'eliens, et l'action de C1 triviale, nous obtenons un complexe de cha^ine de groupes ab'eliens. La notion de complexes crois'es est une g'en'eralisation de celle de com- plexes de cha^ines de groupes ab'eliens. Notation 3.13. Il est convenable de repr'esenter un complexe crois'e graphi- quement. En effet, chaque groupo"ide G peut ^etre vu comme un graphe orient'e dont les sommets sont les 'el'ements de l'ensemble G0 et dont les ar^etes sont * *les morphismes de G. Chaque ar^ete poss`ede une ar^ete inverse25. D'autre part, chaque sommet poss`ede une ar^ete qui part et retourne au m^eme sommet. Cette ar^ete correspond au morphisme identit'e. Dans la notation graphique que nous adoptons nous omettrons toujours les inverses des morphismes et souvent les morphisme identit'es. Ceci afin d'all'eger la notation. L'exemple que nous proposons ici est totalement arbitraire mais permet de mieux comprendre les donn'ees n'ecessaires `a un complexe crois'e. 1O 1O 1O O O O O ffi1 . . . ffi4 ffi3 fi ffi2 ff ffi0 o o o o 1o 1o 1o avec ffi2(fi) = 1o et o`u les morphismes inverses ne sont pas not'es pour simpl* *ifier la notation. L'exemple qui suit est fondamental pour la compr'ehension de la notion d'homotopie dans la cat'egorie ØC (cf. partie 3.6). ______________________________ 24Cette notation suit la logique suivante. Le C d'esigne öc mplexes" et la le* *ttre Ø d'esigne le croisement graphique de "crois'es". Il nous a sembl'e plus esth'etique d'uti* *liser la lettre grecque Ø plut^ot qu'un simple "X". 25c'est-`a-dire dans la direction oppos'ee. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 81 Exemple 3.14. Le complexe crois'e suivant, not'e C(1), 10 10 10 0 0 0 0 ffi1 . . . ffi4 ffi3 ffi2 g ffi0 1 1 1 1 11 11 11 est le complexe crois'e "libre" (cf. construction 3.52) dont l'ensemble C(1)0 consiste en deux sommets {0, 1} et dont les seuls morphismes - autre que les g identit'es en chaque dimension - sont le morphisme 0 -! 1 en dimension 1 et son inverse. Le terme "libre" signifie que g est le seul g'en'erateur non trivi* *al de C(1) et qu'aucune relation impliquant g ne doit ^etre v'erifi'ee. Le complexe crois'e C(1) jouera le r^ole d'objet intervalle pour la notion d'homotopie et sera not'e I dans la partie 3.6. 3.1.2 Colimites de complexes crois'es Il est utile et int'eressant de pouvoir d'ecrire les colimites de complexes crois'es. L'article [9] en donne une bonne description et nous en r'esumons la partie 6. Introduisons d'abord les notations suivantes : notons ØCn la cat'egorie des complexes crois'es n-tronqu'es, c'est-`a-dire que toute la structure au-dessus * *de la dimension n est ignor'ee. Le foncteur ö ubli" T rn : ØC ! ØCn envoie un complexe crois'e C vers (Cn, Cn-1, . .,.C0). Ainsi, ØC1 est la cat'egorie des groupo"ides, ØC2 est la cat'egorie des modules crois'es sur les groupo"ides. Notons encore par M la cat'egorie des modules sur des groupo"ides. Un objet de M est une paire (M, G) o`u G est une groupo"ide et M = {Mp}p2G0 est une famille de groupes ab'eliens sur lesquels G agit, `a savoir x 2 G(p, q) induit * *un isomorphisme m 7! mx de Mp vers Mq. Proposition 3.15. Soit E = colim fiCfi une colimite quelconque de com- plexes crois'es. Alors 1. le groupo"ide (E1, E0) = colimfi(Cfi1, Cfi0) est la colimite des groupo"i* *des (Cfi1, Cfi0), 2. le complexe crois'e (sur le groupo"ide E1) T r2E = colimfiT r2Cfiest la colimite des modules crois'es T r2Cfi, 3. pour n 3, le module (En, ~G) = colimfi(Cfin, ~Gfi) est la colimite des * *mo- dules sur des groupo"ides, o`u ~G= (E1=ffi2E2, E0) et ~Gfi= (Cfi1=ffi2Cfi* *2, Cfi0). __ D'emonstration. cf. [9, proposition 6.1]. |__| 3 LES COMPLEXES CROISE'S 82 Les colimites de groupo"ides peuvent ^etre d'ecrites `a l'aide de g'en'erate* *urs et de relations, et peuvent ^etre calcul'ees comme des colimites de groupes (cf. [25] ou [26]). Les colimites de modules crois'es et de modules sur un groupo"ide n'ecessitent un 'eclaircissement. Pour ce faire, introduisons une nouvelle notion. Soit (M, H) un module sur le groupo"ide H et soit ff : H ! G un morphisme de groupo"ides. Le G-module induit ff*M est d'efinit par la somme amalgam'ee (0,ff) (0, H) (0, G) (0,id) (M, H) (ff*M, G) effectu'ee dans la cat'egorie de modules M. De mani`ere analogue, si (C, H) est un module crois'e, alors tout morphisme ff : H ! G induit un G-module crois'e induit (ff*C, G) par la m^eme somme amalgam'ee effectu'ee, cette fois, dans la cat'egorie de modules crois'es. Proposition 3.16. Soit (M, H) = colim fi(Mfi, Hfi) une colimite dans M (resp. dans la cat'egorie des modules crois'es). Soit encore fffi: Hfi ! H un morphisme de groupo"ides pour tout fi. Pour tout fi, soit Nfi= fffi*Mfile H-module induit (resp. le H-module crois'e induit). Alors M = colimfiNfi o`u la colimite est effectu'ee dans M (resp. sur les modules crois'es sur H). __ D'emonstration. cf. [9, proposition 6.3]. |__| Cons'equemment, pour calculer une colimite de complexes crois'es E = colimfiCfi, il suffit d'appliquer la d'emarche suivante : 1. Calculer la colimite colimfi(Cfi1, Cfi0) de groupo"ides pour trouver le g* *rou- po"ide (E1, E0). 2. Trouver les E1-modules crois'es induits Dfi2= fffi*Cfi2, o`u fffi: Cfi1! * *E1, pour obtenir E2 = colimfiDfi2. 3. Poser E~1 = (E1=ffiE2, E0). Soit q : (E1, E0) ! E~1 le passage au quo- tient. Trouver les E~1-modules induits Dfin= q*fffi*Cfinpour n 3. Cal- culer En = colim fiDfinen voyant En comme un E1-module gr^ace au morphisme q : (E1, E0) ! E~1. 3.2 Le foncteur ß : sS ! ØC et son adjoint Nous d'efinissons maintenant un foncteur de la cat'egorie des ensembles simpliciaux sS vers la cat'egorie des complexes crois'es ØC. Nous verrons ensuite que ce foncteur poss`ede un foncteur adjoint. Cette adjonction de foncteurs va nous ^etre particuli`erement utile. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 83 Fig. 1: Les relations de bord du foncteur du complexe crois'e fondamental. D'efinition 3.17. A tout ensemble simplicial K 2 sS , nous associons un complexe crois'e ß(K) engendr'e par les 'el'ements [kn] 2 ß(K)n pour tout n-simplex kn 2 Kn, tels que les relations suivantes sont satisfaites : [s0k0]= 1[k0]2 ß(K)1 [sikn]= 1t[kn]2 ß(K)n+1 ffi0[k1]= [d1k1] ffi1[kn]= [dn0kn] pour n 1 ffi2[k2]= [d1k2] O [d2k2]-1 O [d0k2]-1 ffi3[k3]= [d3k3][d0d1k3]O [d0k3]-1 O [d2k3]-1 O [d1k3] i j(-1)n+1 Q n i+1 ffin[kn]= [dnkn][d0d1...dn-2kn] O i=1[dn-ikn](-1) pour n 4 o`u ffi1 est simplement le morphisme but t : ß(K)n ! ß(K)0 La construction ci-dessus d'efinit le foncteur du complexe crois'e fonda- mental que nous notons ß : sS ! ØC. Pour simplifier la notation, nous omettrons souvent les crochets [ ]. Notons imm'ediatement que dans la d'efinition pr'ec'edente, les deux premi`e- res relations signifient que les d'eg'en'erescences des simplexes dans chaque Kn sont tout simplement ignor'ees. Les cinq autres relations sont des relations sur les bords et proviennent du lemme d'addition homotopique [45, section IV.6]. De plus, le signe dans ces relations d'epend d'un choix d'un point de d'epart. Nous illustrons notre choix par la figure 1. C'est le m^eme choix que dans [41] d'o`u l'illustration est tir'ee. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 84 Remarque 3.18. Soit K un ensemble simplicial arbitraire. Le complexe crois'e ß(K) est un complexe crois'e libre, pr'ecis'e par des g'en'erateurs et * *les bords entre ces g'en'erateurs. Par cons'equent, les complexes crois'es provenant par ß d'ensembles simpliciaux sont des complexes crois'es qui sont construits par attachement de cellules (cf. construction 3.52). La figure 2 d'ecrit les g'en'erateurs du complexe crois'e ß( [4]) de la dime* *n- sion 0 jusqu'`a la dimension 4. Pour des dimensions sup'erieures, il n'y a pas d'autres morphismes que les identit'es sur chaque sommet.i Par exemple,jle (-1) bord ffi4(k4) est donn'e par la composition ffi4(k4) = (d4k4)d0d1d2k4 O d3k4O (d2k4)-1 O d1k4 O (d0k4)-1. Exemple 3.19. Le complexe crois'e ß( [n]) est engendr'e par : Dimension 0 : n + 1 sommets {0, 1, 2, . .,.n} i j Dimension 1 : n+12 morphismes. Ces morphismes sont les ar^etes entre chaque sommet k et les sommets j > k. i j Dimension k : n+1k+1g'en'erateurs r'epartis sur les sommets k, k + 1, . .,.n de i j i j la mani`ere suivante : sur le sommet ` (k ` n) il y a `+1k+1- k`+1 g'en'erateurs. Nous donnons maintenant bri`evement une autre mani`ere de d'efinir le foncteur du complexe crois'e fondamental qui m`ene `a quelques remarques int'eressantes. Soit X un espace topologique filtr'e. Le complexe crois'e fon- damental C = ßX est donn'e par le groupo"ide fondamental C1 = ß1(X1, X0) avec comme ensemble d'objets C0 = X0. Le groupo"ide C1 agit sur les groupes d'homotopie relatifs [ Cn = ßn(Xn, Xn-1, x) n 2 x2X0 et les morphismes ffin sont les morphismes connectant usuels. Par cons'equent, pour d'efinir le complexe crois'e fondamental d'un en- semble simplicial quelconque K, il suffit d'en prendre la r'ealisation g'eom'et- rique |K| avec la filtration squelettique et d'appliquer le foncteur ß venant d'^etre d'efini. Remarque 3.20. 1. Le fait que les deux d'efinitions sont 'equivalentes est une cons'equence de l''ecriture de ßK comme un öc end" Z n ßK = Kn x ß| [n]| 3 LES COMPLEXES CROISE'S 85 Fig. 2: Le complexe crois'e ß( [4]). 3 LES COMPLEXES CROISE'S 86 o`u [n] est le n-simplexe standard muni de sa filtration squelettique. Les d'etails se trouvent dans [14, section 2]. 2. Soit C un complexe crois'e fix'e. Alors il existe toujours un espace to- pologique filtr'e X tel que C = ßX (cf. [9, corollaire 9.3]). 3. Si X est un CW-complexe muni de sa filtration squelettique, alors ßX est un complexe crois'e de type libre (cf. d'efinition 3.52). Un des int'er^ets du foncteur du complexe crois'e fondamental est qu'il poss`ede un adjoint. Nous d'efinissons d'abord ce foncteur adjoint et montrons ensuite qu'il est bien un adjoint `a droite de ß : sS ! ØC. D'efinition 3.21. Le foncteur nerf N : ØC ! sS est d'efini par la relation (NC)n = ØC(ß [n], C) o`u NC est muni de la structure simpliciale induite par les faces [n] ! [n - 1] et les inclusions [n - 1] ! [n]. Le complexe crois'e ß [n], avec n 2, poss`ede des groupes non ab'eliens en dimension 2 et un groupo"ide en dimension 1 qui agit sur le complexe crois'e tout entier. Par cons'equent, le lemme d'addition homotopique - disant grossi`erement que le bord d'un simplexe est la somme de ses faces - doit ^etre 'enonc'e avec pr'ecaution. Pour un n-simplexe s de dimension n 4 nous avons la relation usuelle Xn ffis = (ffi0s)-ffi2ffi3...ffins+ (-1)iffiis. i=1 L'action de -ffi2ffi3 . .f.finsd'eplace le point de base de ffi0s vers le point* * de base commun aux autres faces de mani`ere `a rendre l'addition possible. Pour un 3-simplexe s nous avons la relation non ab'elienne ffis = (ffi0s)-ffi2ffi3s+ ffi2s - ffi1s - ffi3s et pour un 2-simplexe s nous avons la relation de groupo"ide ffis = ffi2s + ffi0s - ffi1s. Nous pouvons donc d'ecrire un morphisme f : ß [n] ! C pour un com- plexe crois'e C donn'e, par une famille d''el'ements de diverses dimensions de C, un 'el'ement pour chaque simplexe de [n], satisfaisant les relations du lemme d'addition homotopique. Proposition 3.22. Le foncteur ß : sS ! ØC est adjoint `a gauche au fonc- teur nerf N : ØC ! sS. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 87 D'emonstration. D'apr`es la remarque 3.20, la preuve est un jeu de manipu- lations de "ends" et öc ends". En effet, soient K un ensemble simplicial et C un complexe crois'e. Z i j sS (K, NC) ~= Set Kn, (NC)n Zn ~= Set (Kn, ØC(ß [n], C)) Zn ~= ØC(Kn x ß [n], C) n `Z n ' ~= ØC (Kn x ß [n]), C ~= ØC(ßK, C). __ |__| Remarque 3.23. Le fait que ß : sS ! ØC est un adjoint `a gauche implique que ß pr'eserve toutes les colimites. D'autre part, il est int'eressant de noter que NC est un complexe de Kan (cf. [14] page 100). D'efinition 3.24. L'espace classifiant BC d'un complexe crois'e C est la r'ealisation g'eom'etrique du nerf de C : BC = |NC|. Cela d'efinit un foncteur B : ØC ! Top. Un complexe crois'e C peut toujours ^etre filtr'e par son squelette C(n) o`u C(n) co"incide avec C en dimensions n et est trivial en dimensions sup'erieures. En appliquant l'espace classifiant B `a C dot'e de cette filtrati* *on, nous obtenons un espace filtr'e, not'e BC. Nous pouvons donc consid'erer le foncteur B : ØC ! FTop o`u FTop est la cat'egorie des espaces filtr'es. Proposition 3.25. Avec les notations ci-dessus, nous avons un isomor- phisme naturel ßBC ~=C. D'emonstration. La preuve se trouve dans [3]. Elle est l'analogue de la preuve __ du m^eme r'esultat pour des ensembles cubiques d'emontr'e dans [9]. |__| Remarque 3.26. Il est important de bien comprendre que la filtration de l'espace filtr'e BC n'est pas induite par la filtration en n-simplex du nerf de C, mais par la filtration du complexe crois'e C par son squelette. Dor'enavant, le foncteur du complexe crois'e fondamental ß : sS ! ØC que nous consid'erons est la composition ß O | - |. Avec cette mani`ere de d'efinir le foncteur ß, nous obtenons le pendant de la remarque 3.18 : 3 LES COMPLEXES CROISE'S 88 Lemme 3.27. Soit K un ensemble simplicial. Alors ß(K) est un complexe crois'e de type libre (cf. d'efinition 3.52). D'emonstration. La r'ealisation g'eom'etrique de tout ensemble simplicial est un CW-complexe [40, page 90]. Le point 3 de la remarque 3.20 permet de __ conclure. |__| 3.3 La structure mono"idale sym'etrique ferm'ee de ØC La cat'egorie ØC est munie d'une structure mono"idale sym'etrique ferm'ee. Cet 'etat de fait est expos'e et d'emontr'e de deux mani`eres diff'erentes. Cha* *cune de ces approches apporte son lot d'avantages et d'inconv'enients. Ne pouvant trancher pour une meilleure approche, nous nous permettons de les r'esumer. Pour tous d'etails, nous prions le lecteur de consulter les r'ef'erences donn'e* *es dans le texte. 3.3.1 L'approche via les !-groupo"ides Notre propos ici est de r'esumer cette approche pour munir ØC d'une structure mono"idale. Elle est due `a R. Brown et `a P. J. Higgins et les d'eta* *ils se trouvent dans les articles [8, 11]. En particulier dans [8] il est montr'e q* *ue la cat'egorie ØC est 'equivalente `a la cat'egorie des !-groupo"ides, not'ee !-* *Gpd . Un c^ot'e de l''equivalence fl : !-Gpd ! ØC est plut^ot directe. En revanche, l''equivalence inverse ~ : ØC ! !-Gpd est d'efinie en utilisant une op'eration compliqu'ee et en utilisant le lemme d'addition homotopique [45, section IV.6]. Cette d'efinition du foncteur ~ met en jeu certains choix. Il y a par cons'equent plusieurs conventions possibles. Nous utilisons celles adopt'ees dans [8]. Il est possible de munir !-Gpd d'une structure mono"idale ferm'ee (cf. [8, section 2]) via une pr'esentation en termes de g'en'erateurs et de relateurs. Il suffit ensuite de la transf'erer vers ØC par le biais des 'equivalences fl et ~. Le probl`eme est alors de d'ecrire cette pr'esentation intrins`equement `a la cat'egorie ØC. La cl'e de la traduction repose sur la notion d'homotopie m-dimensionnelle (`a droite ou `a gauche) analogue `a celle des !-groupo"ides. Les ensembles cubiques et les !-groupo"ides. Comme annonc'e dans le pr'eambule, nous omettons les d'etails (cf. [11]). n off=0,1 D'efinition 3.28. Un ensemble cubique K = Kn, @ffi, ffli 1 i n consiste en une famille d'ensembles Kn (n 0) et de morphismes @ffi: Kn ! Kn-1 et ffli : Kn-1 ! Kn satisfaisant les relations cubiques usuelles (cf. [8]). 3 LES COMPLEXES CROISE'S 89 Une application cubique f : K ! L est une famille d'applications fn : Kn ! Ln (n 0) qui pr'eservent les @ffiet les ffli. Nous obtenons alors la cat'egorie Cub des ensembles cubiques. D'efinition 3.29. Le produit tensoriel de deux ensembles cubiques H et K est donn'e par : 0 1 a OE (H K)n = @ Hp x KqA p+q=n ~ o`u ~ est la relation donn'ee par (fflr+1x, y) ~ (x, ffls+1y) pour x 2 Hr, y 2 * *Ks et r + s = n - 1. La classe d''equivalence de (x, y) est not'ee x y. Nous nous int'eressons maintenant au foncteur öH m" interne. Il nous faut d'ailleurs distinguer entre des op'erations `a gauche et `a droite car le produ* *it tensoriel d'ensembles cubiques n'est pas sym'etrique. Tout d'abord, pour tout ensemble cubique L, nous d'efinissons P L comme l'ensemble cubique tel que (P L)r = Lr+1. Pour simplifier nous omettons les morphismes @ffiet ffli. R'ecursivement, nous d'efinissons (P nL)r = Ln+r. Ainsi nous pouvons d'efinir le foncteur öH m" interne par la relation CUBn(K, L) = Cub (K, P nL). La famille CUB(K, L) des ensembles CUBn 0(K, L) h'erite d'une structure d'ensemble cubique. En outre, dans [11] il est montr'e que les 'el'ements de CUB0(K, L) sont les applications cubiques de K vers L, que les 'el'ements de CUB1(K, L) sont les homotopies `a gauche entre telles applications, que les 'el'ements de CUB2(K, L) sont les homotopies entre homotopies, et caetera. En d'efinitive, nous obtenons le r'esultat suivant. Proposition 3.30. Le foncteur CUB(K, -) est un adjoint `a droite du fonc- teur - K. De plus, pour tout ensemble cubique H, K, L, nous avons des isomorphismes naturels d'ensembles cubiques (H K) L ~=H (K L) et CUB(H K, L) ~=CUB(H, CUB(K, L)) ce qui muni Cub d'une structure mono"idale ferm'ee. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 90 Passons maintenant en revue les !-groupo"ides. Un !-groupo"ide est un ensemble cubique muni d'une structure suppl'ementaire, `a savoir des öc nnec- tions" (qui sont des d'eg'en'erescences suppl'ementaires) et des öc mpositions" donnant n structures de groupo"ide en dimension n (une structure pour cha- qu'une des n directions). La d'efinition pr'ecise se trouve dans [8, section 2]. En consid'erant les applications entre !-groupo"ides, nous obtenons la cat'egorie !-Gpd . Le foncteur CUB(K, -) se g'en'eralise facilement `a la cat'e* *go- rie !-Gpd . Il est alors not'e !-GP D(G, -), o`u G est un !-groupo"ide. Sa description en terme d'homotopies n-dimensionnelles est analogue `a celle des ensembles cubiques. En revanche, la d'efinition d'un produit tensoriel dans !-Gpd est plus compliqu'ee. Nous imposons que - G soit adjoint `a gauche de !-GP D(G, -) en tant que foncteur de !-Gpd vers !-Gpd . Cela d'etermine le produit tensoriel `a isomorphisme naturel pr`es. De plus, des th'eor`emes g'en'eraux permettent d'affirmer que !-Gpd est compl`ete et cocompl`ete. La validit'e d'utiliser des pr'esentations dans ce contexte nous permet de suivre la construction usuelle pour d'efinir le produit tensoriel de modules. Soient F, G deux !-groupo"ides. Nous d'efinissons F G en en donnant une pr'esentation en tant qu' !-groupo"ide. La propri'et'e universelle de la pr'esentation fournit alors l'adjonction d'esir'ee. Ainsi, nous d'efinissons F * * G comme l'!-groupo"ide engendr'e, en dimension n, par des 'el'ements de la forme x y o`u x 2 Fp, y 2 Gq et p + q = n. Ces g'en'erateurs sont soumis `a des relations mettant en jeu les op'erations @ffiet ffli ainsi que les connections * *et les compositions des !-groupo"ides (cf. [11]). En d'efinitive, nous avons le r'esultat analogue `a celui des ensembles cubiques. Proposition 3.31. Le foncteur - G est un adjoint `a gauche du foncteur !-GP D(G, -). De plus, pour tous !-groupo"ides F, G, H, nous avons des isomorphismes naturels d'!-groupo"ides (F G) H ~=F (G H) et !-GP D(F G, H) ~=!-GP D(F, !-GP D(G, H)) ce qui muni !-Gpd d'une structure mono"idale ferm'ee. Remarquons encore que le produit tensoriel de !-Gpd est sym'etrique. Cette sym'etrie n'est pas 'evidente et il est plus facile de la d'ecrire pour les complexes crois'es et d'utiliser ensuite l''equivalence de cat'egories pour la d'ecrire dans !-Gpd . 3 LES COMPLEXES CROISE'S 91 Le produit tensoriel de ØC. Nous utilisons pleinement l''equivalence de cat'egorie fl : !-Gpd $ ØC : ~. Nous d'efinissons alors simplement le produit tensoriel de ØC. Soient A et B deux complexes crois'es. Il existe donc deux !-groupo"ides F et G tels que A = flF et B = flG. Nous posons alors A B = fl(F G). L'expression du produit tensoriel de !-Gpd en terme de pr'esentation nous permet de faire de m^eme pour ØC et nous obtenons une pr'esentation pour le produit tensoriel de complexes crois'es. Notation 3.32. Pour tout complexe crois'e C, nous notons par fi(c) le point d'arriv'ee de c 2 C. C'est-`a-dire, si c 2 C0 alors fi(c) = c. Si c 2 C1(x, y) * *ou c 2 Cn 2(y, y) alors fi(c) = y. Th'eor`eme 3.33. Soient A et B deux complexes crois'es. Le produit tensoriel A B est le complexe crois'e engendr'e par les 'el'ements a b en dimension m + n o`u a 2 Am et b 2 Bn satisfaisant les relations suivantes 1. fi(a b) = fi(a) fi(b) 2. a bb1= (a b)fi(a) b1 sim 0, n 2, b1 2 B1 3. aa1 b = (a b)a1 fi(b) sim 2, n 0, a1 2 A1 4. Si b0O b est d'efini dans Bn alors 8 < (a b0) O (a b) sim = 0, n 1 ou si m 1, n 2 a (b0Ob) = : (a b) O (a b0)fi(a)sbim 1, n = 1 5. Si a0O a est d'efini dans Am alors 8 < (a0 b) O (a b) sim 1, n = 0 ou si m 2, n 1 (a0Oa) b = : (a0 b)a fi(b)O (a b)sim = 1, n 1 6. ffi(a b) = 8 m >>>(a ffi(b))(-1) O ffi(a) b sim 2, n 2 >>> >>>(ffi0(a) b)a fi(b)O (ffi1(a) b)-1 O (a ffi(b))-1sim = 1, n 2 >>< m m+1 ffi(a) b O (a ffi0(b))(-1) (fi(a)Ob)(a ffi1(b))(-1)sim 2, n = 1 >>>a ffi (b) O ffi (a) b O (a ffi (b))-1 O (ffi (a)simb)-1= 1, n = 1 >>> 1 0 0 1 >>>a ffi(b) sim = 0, n 2 >>: ffi(a) b sim 2, n = 0. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 92 7. Soit ff = 0 ou 1, 8 < a ffiff(b)sim = 0, n = 1 ffiff(a b) = : ffiff(a) bsim = 1, n = 0 , auxquelles il faut encore ajouter les relations pour un complexe crois'e. Homotopie m-dimensionnelle et structure ferm'ee dans ØC. Nous 'etudions ici la notion d'homotopie m-dimensionnelle dans la cat'egorie des complexes crois'es. En effet, nous avons vu que les homotopies m-dimension- nelles permettent de d'ecrire les foncteurs CUB(K, -) et !-GP D(G, -). Il en est de m^eme avec le foncteur öH m" interne des complexes crois'es, not'e CRS(B, C) pour deux complexes crois'es B et C. A ce propos, rappelons en- core que la cat'egorie des groupes ne poss`ede pas de foncteur öH m " interne. En effet, il n'y a aucune raison en g'en'eral pour qu'un ensemble d'homomor- phismes entre groupes ait une structure de groupe. En revanche, la cat'egorie des groupo"ides et leurs morphismes poss`ede un tel foncteur öH m ". Pour esp'erer une structure mono"idale ferm'ee sur ØC, il nous est donc indispensable de travailler avec des groupo"ides plut^ot qu'avec des groupes. A l'instar de [11], nous d'efinissons les homotopies m-dimensionnelles `a gauche entre deux complexes crois'es dimension par dimension. D'efinition 3.34. Une homotopie 0-dimensionnelle `a gauche B ! C est simplement un morphisme B ! C de complexes crois'es. Une homotopie m-dimensionnelle `a gauche B ! C, avec m 1, est une paire (H, f) o`u f : B ! C est un morphisme de complexes crois'es et H est un morphisme de degr'e m de B vers C (ie. H : Bk ! Ck+m pour tout k 0) qui satisfont les conditions suivantes : 1. fiH(b) = fif(b) pour tout b 2 B. 2. Si b, b02 B1 et b O b0 est d'efini, alors 0) 0 H(b O b0) = H(b)f(b O H(b ). 3. Si b, b02 Bm 2 et b O b0 est d'efini, alors H(b O b0) = H(b) O H(b0). 4. Si b 2 Bm 2 , b1 2 B1 et bb1 est d'efini, alors H(bb1) = H(b)f(b1). Le morphisme f ci-dessus est appel'e morphisme de base de l'homotopie. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 93 En utilisant les 'equivalences de cat'egories, nous obtenons ex machina le r'esultat concernant la description du foncteur öH m" interne CRS(B, -) de ØC en termes d'homotopies, analogue `a ceux pour les ensembles cubiques et les !-groupo"ides : Proposition 3.35. Soient B et C deux complexes crois'es. La structure de complexe crois'e de CRS(B, C) est d'efinie comme suit : Dimension 1. Si (H, f) est une homotopie 1-dimensionnelle `a gauche B ! C, alors ffi1(H, f) = fi(H, f) = f et ffi0(H, f) = f0 o`u 8 i j >>> -H(fi(b)) < ffi(H(b)) O H(ffi(b)) O f(b) sib 2 Bn 2 f0(b) = > H(ffi1(b))-1 O ffi(H(b)) O f(b) O H(ffi0(b))sib 2 B1 >>: ffi0(H(b)) sib 2 B0. Si (K, g) est une autre homotopie 1-dimensionnelle `a gauche telle que ffi0(K, g) = ffi1(H, f) = f, alors (H, f) O (K, g) = (H O K, g) o`u nous avons pos'e 8 < H(b)K(fi(b))O K(b) si b 2 Bn 1 (H O K)(b) = : H(b) O K(b) si b 2 B0. Dimension m 2. Si (H, f) et (K, f) sont deux homotopies m-dimensionnelles (`a gauche) B ! C sur le m^eme morphisme de base, et si (H1, f1) est une homotopie 1-dimensionnelle `a gauche telle que ffi0(H1, f1) = f, alors 1. ffi(H, f) = (ffi(H), f) o`u 8 m+1 >> ffi(H(b)) O H(ffi1(b))(-1)m O H(ffi0(b))(-1)m+1(f(b))sib 2* * B1 >: ffi(H(b)) sib 2 B0 o`u n 2. 2. (H, f) O (K, f) = (H O K, f) o`u (H O K)(b) = H(b) O K(b) pour tout b 2 B. 3. (H, f)(H1,f1)= (HH1 , f1) o`u HH1 (b) = H(b)H1(fi(b))pour tout b 2 B. Remarque 3.36. Le r'esultat pr'ec'edent n'est pas 'etonnant puisqu'un r'esu* *l- tat du m^eme genre, remontant `a J. H. Whitehead [46], dit essentiellement le fait suivant. Sp'ecifier une homotopie m-dimensionnelle h : f w g est 3 LES COMPLEXES CROISE'S 94 'equivalent `a sp'ecifier le morphisme g ainsi qu'un morphisme de degr'e m sa- tisfaisant certaines relations similaires `a celles de la proposition pr'ec'ede* *nte. De plus, le morphisme f est compl`etement d'etermin'e par des relations met- tant en jeu les morphismes "de bord" ffim 0 . Pour plus de d'etails, le lecteur se r'ef'erera `a [46] et [41, Proposition 2.1.4]. En ce qui concerne la sym'etrie du produit tensoriel de ØC, nous avons le r'esultat suivant (cf. [11]). Proposition 3.37. Soient A et B deux complexes crois'es. Il existe un iso- morphisme naturel A B ! B A qui, pour a 2 Am et b 2 Bn, envoie le mn g'en'erateur a b vers (b a)(-1) . Id'ee de la d'emonstration.La preuve consiste essentiellement `a v'erifier que les relations du th'eor`eme 3.33 sont pr'eserv'ees par le morphisme a b 7! mn __ (b a)(-1) . |__| En r'esum'e, nous avons le r'esultat suivant. Th'eor`eme 3.38. Dans la cat'egorie ØC, le foncteur - B est un adjoint `a gauche du foncteur CRS(B, -) pour tout complexe crois'e B. En outre, pour des complexes crois'es A, B et C, nous avons les isomor- phismes naturels de complexes crois'es suivants : (A B) C ~=A (B C) et CRS(A B, C) ~=CRS(A, CRS(B, C)) ce qui munit la cat'egorie ØC d'une structure mono"idale sym'etrique ferm'ee. 3.3.2 L'approche de A. P. Tonks Cette approche, parfaitement 'equivalente `a la pr'ec'edente, est plus alg'e* *b- rique dans sa description. Premi`erement, nous consid'erons la notion de com- plexe crois'e double, analogue `a celle d'un ensemble bisimplicial ou d'un com- plexe de bicha^ine dans le cas ab'elien. La d'efinition d'un complexe crois'e double adopt'ee est essentiellement celle d'un complexe crois'e de groupo"ides interne `a la cat'egorie des complexes crois'es de groupo"ides (semblable `a la d'efinition d'une double cat'egorie en tant que cat'egorie interne `a la cat'eg* *orie des petites cat'egories). Deuxi`emement, un foncteur öt tal" est d'efini de la cat'egorie des doubles groupo"ides vers la cat'egorie des modules crois'es. Nous l''etendons ensuite en un foncteur ØC(2)-Tot!ØC de la cat'egorie des complexes crois'es doubles vers les complexes crois'es. Le complexe crois'e total D d'un complexe crois'e 3 LES COMPLEXES CROISE'S 95 double C est essentiellement donn'e par des g'en'erateurs ci,j2 Dn pour tous les 'el'ements de Ci,javec i + j = n. Ces g'en'erateurs sont sujets `a certaines relations "g'eom'etriques" semblables `a celle de la d'efinition de produit ten- soriel de complexes crois'es vu dans l'approche pr'ec'edente. La d'efinition du produit tensoriel de complexes crois'es est construite de mani`ere `a ce que, 'etant donn'e une paire de complexes crois'es A, B, il existe un complexe crois* *'e double 'evident dont le complexe crois'e total est le produit tensoriel A B. Tout est fait pour que les d'efinitions du produit tensoriel dans les deux ap- proches co"incident. A nouveau, nous nous contentons de r'esumer les points principaux et nous omettons les d'etails qui se trouvent dans [41]. Complexes crois'es doubles D'efinition 3.39. Un complexe crois'e double consiste en : 1. une collection d'ensembles Ci,javec i, j 0, 2. des morphismes ös urce" s, üb t" t et identit'e e s1,t1 s2,t2 Ci,jÆ C0,j Cj,iÆ Cj,0 e1 e2 pour i 1, j 0, tels que s1 = t1 et s2 = t2 d`es que i 2, 3. des actions C1,jx Ck,j-ff1!Ck,j Cj,1x Cj,k-ff2!Cj,k pour i 1, j 0 et k 2, 4. des morphismes "de bord" horizontaux et verticaux ffihi ffivi Ci,j-! Ci-1,j Cj,i-! Cj,i-1 de sorte que pour tout j 0 la structure horizontale d'efinit un complexe crois'e, et pour tout i 0 la structure verticale d'efinit un complexe crois'e. En outre, les morphismes de la structure horizontale commutent avec ceux de la structure verticale. Un complexe crois'e double peut donc ^etre repr'esent'e graphiquement de 3 LES COMPLEXES CROISE'S 96 la mani`ere suivante : .. . . . (6) . .. .. .. h ffih ffih s1=ffih0 . . .ffi4C3,3 3 C2,3 2 C1,3 C0,3 t1=ffih1 ffiv3 ffiv3 ffiv3 ffiv3 h ffih ffih s1=ffih0 . . .ffi4C3,2 3 C2,2 2 C1,2 C0,2 t1=ffih1 ffiv2 ffiv2 ffiv2 ffiv2 h ffih ffih s1=ffih0 . . .ffi4C3,1 3 C2,1 2 C1,1 C0,1 t1=ffih1 t2=ffiv1s2=ffiv0t2=ffiv1s2=ffiv0t2=ffiv1s2=ffiv0s2=ft2=ffiv1fiv0 h ffih ffih s1=ffih0 . . .ffi4C3,0 3 C2,0 2 C1,0 C0,0. t1=ffih1 La cat'egorie des complexes crois'es doubles et de leurs morphismes est not'ee ØC(2). Le complexe total d'un complexe crois'e double. Nous d'efinissons directement le foncteur total ØC(2)-Tot!ØC. D'efinition 3.40 (Esquisse). Soit C un complexe crois'e double. Le com- plexe crois'e total associ'e est le complexe crois'e Tot(C) d'efini comme suit : o L'ensemble Tot(C)0 est C0,0. o Le groupo"ide Tot (C)1 not=P est donn'e par le produit libre de C1,0et C0,1sur C0,0. o Le module crois'e ffi2 : Tot (C)2 ! P est donn'e par le coproduit des P -modules crois'es induits C*2,0, C*0,2et le P -module crois'e total ass* *oci'e au double groupo"ide (C1,1, C0,1, C1,0, C0,0) cf. [41, d'efinition 1.2.1]. o Pour m 3, les P -modules ab'eliens Tot(C)m sont d'efinis comme des coproduits de certains P -modules ab'eliens M0, M1, . .,.Mm . Ces der- niers sont d'efinis de mani`ere assez compliqu'ee `a l'aide de g'en'erate* *urs et de relations (cf. [41, paragraphe 1.2.2] pour la d'efinition exacte). Remarque 3.41. Le foncteur Tot agit comme une öc diagonale" dans le diagramme (6). Il est possible d'exprimer enti`erement le complexe crois'e Tot (C) d'un complexe crois'e double uniquement en termes de g'en'erateurs et de relations (cf. [41, proposition 1.2.2]). 3 LES COMPLEXES CROISE'S 97 Produits tensoriels. Premi`erement nous consid'erons le foncteur (2) (2) ØC x ØC -! ØC . Ensuite nous d'efinissons le produit tensoriel dans ØC pour deux complexes crois'es C et D par la relation C D = Tot(C (2)D). D'efinition 3.42. Soient C et D deux complexes crois'es. Alors le complexe crois'e double C (2)Diest d'efinijcomme suit : o Chaque ensemble C (2)D i,jest donn'e par le produit cart'esien Cix Dj. Les 'el'ements (c, d) sont not'es c (2)d. o Les structures horizontales de complexe crois'e sont d'efinies par la str* *uc- ture de complexe crois'e de C, et celles verticales par celle de D. En rassemblant toutes ces informations, nous obtenons (cf. [41, propo- sition 1.2.5]) une pr'esentation du produit tensoriel dans ØC en termes des m^emes g'en'erateurs et satisfaisant les m^emes relations que celles dans l'ap- proche via les !-groupo"ides (cf. th'eor`eme 3.33). 3.3.3 Exemples de calcul d'un produit tensoriel Afin d'expliciter un peu le produit tensoriel de deux complexes crois'es, nous consid'erons les exemples suivants. Exemple 3.43. Consid'erons un complexe crois'e quelconque C, et C(1) le complexe crois'e de l'exemple 3.14. Le produit tensoriel C C(1) est donn'e dimension par dimension. Nous omettons, comme convenu, les inverses des morphismes. Nous notons 1p,n le morphisme identit'e sur le sommet p en dimension n. Dimension 0 : L'ensemble des sommets est (C C(1))0 = C0 x {0, 1}. Nous avons donc deux copies, index'ees par 0 ou 1, pour chaque sommet de C0. Ainsi nous pouvons s'eparer les sommets en deux parties : C0x {0} et C0 x {1}. Dimension 1 : Les morphismes de (C C(1))1 entre sommets de la copie C0x {0} sont engendr'es par l'ensemble {c1 1{0},0}c12C1[ {1c,0 1{0},1}c2C0. Pour la copie C0x{1} de sommets nous avons les morphismes engendr'es par l'ensemble {c1 1{1},0}c12C1[ {1c,0 1{1},0}c2C0. De plus, nous avons les morphismes engendr'es par {1c,0 g}c2C0, o`u g est le g'en'erateur de dimension 1 de C(1), entre un sommet de C0x {0} et un sommet de C0 x {1}. Pour 'eviter une confusion dans les indices, 3 LES COMPLEXES CROISE'S 98 nous avons not'e {0} ou {1} le sommet 0 ou 1. Les morphismes en dimension 1 sont donc tous les morphismes engendr'es par les ensembles ci-dessus de morphismes. Dimension 2 : Le groupo"ide (C C(1))2 est totalement non connexe. Les morphismes de (C C(1))2 pour les sommets de C0x {0} sont les mor- phismes engendr'es par l'ensemble {1c,0 1{0},2}c2C0[{1c,1 1{0},1}c2C0[ {1c,2 1{0},0}c2C0[{c1 1{0},1}c12C1et {1c,1 g-1}c2C0[{c1 g-1}c12C1. Pour les morphismes des sommets de C0x{1} nous avons les ensembles similaires de morphismes en rempla,cant partout 1{0},-par 1{1},-. La seule diff'erence r'eside dans le fait qu'il n'y a pas ici de morphismes * *de la forme - g-1. Bien entendu, ils sont remplac'es par les morphismes de la forme - g. Les morphismes en dimension 2 sont donc tous les morphismes engendr'es par les ensembles ci-dessus de morphismes. Dimension n 3 : Les morphismes entre sommets de C0x{0} sont engendr'es par les morphismes de la forme ci 1{0},javec i, j 2 {0, 1, . .,.n}, i + j = n et ci 2 Ci, ou bien de la forme ck g-1 avec ck 2 Ck et k + 1 = n. Pour les morphismes des sommets de C0x{1} nous avons les ensembles similaires de morphismes en rempla,cant partout 1{0},-par 1{1},-. Les morphismes de la forme ck g-1 sont remplac'es ici par ceux de la forme ck g avec ck 2 Ck et k + 1 = n. Les morphismes en dimension n 3 sont donc tous les morphismes engendr'es par les ensembles ci-dessus de morphismes. Il est important de remarquer que, pour n 2, le morphisme 1c,n g avec c 2 C0 peut ^etre omis. En effet, la relation 5 du th'eor`eme 3.33 implique que 1c,n g = (1c,nO 1c,n) g = (1c,n g) O (1c,n g). Ainsi 1c,n g est trivi* *al pour tout n 2. De m^eme, tous les morphismes ci 1{ff},jen dimension i + j 1 (j 6= 0 et ff = 0, 1) peuvent ^etre omis dans ce qui pr'ec`ede. Les morphismes de bords ffi0, ffi1, ffi2, . .s.ont donn'es par les relations* * 6 et 7 du th'eor`eme 3.33 et l'action de (C C(1))1 satisfait les relations 2 et 3 * *du th'eor`eme 3.33. Exemple 3.44. Tout groupe G peut ^etre vu comme un complexe crois'e C avec C0 = {p}, C1 = G et Cn trivial pour n 2. De m^eme, consid'erons D le complexe crois'e d'un groupe H. Alors clairement (C D)0 est un singleton. D'autre part, pour n 3, (C D)n est trivial. En effet, les relations (4) et (5) du th'eor`eme 3.33 rendent triviaux, lorsque n 3, tous les morphismes de la forme 1p,n-1 d1 ou de la forme c1 1p,n-1o`u c1 2 C1, d1 2 D1 et 1p,k est l'identit'e en dimension k sur le point p. Or ces morphismes sont les seuls qui apparaissent en dimension n 3. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 99 Proposition 3.45. Le produit tensoriel de deux groupes, vus comme des complexes crois'es concentr'es en dimension 1, est le module crois'e ffi2 ffi1=ffi0 G H G * H {o} o`u G * H est le produit libre de G et H et G H est le noyau du morphisme G * H ! G x H. De plus, si g 2 G et h 2 H, alors g h est le commutateur [g, h] dans G * H. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [11, proposition 6.1]. |__| Exemple 3.46. L'exemple pr'ec'edent se g'en'eralise facilement au cas du pro- duit tensoriel de deux groupo"ides G et H, vus comme des complexes crois'es de rang 1, c'est-`a-dire triviaux en dimension sup'erieure `a 1. Pour cela, il * *faut remplacer le groupe G * H par un groupo"ide, not'e G]H, d'efini de la mani`ere suivante : G]H est la somme amalgam'ee, dans la cat'egorie des groupo"ides sur G0 x H0, du diagramme id(G) x id(H) G x id(H) id(G) x H G]H o`u, pour tout groupo"ide K, id(K) d'esigne le sous-groupo"ide contenant tous les morphismes identit'e de K. Ainsi G]H est un groupo"ide sur G0 x H0 engendr'e par les 'el'ements (1p, h) et (g, 1q) o`u g 2 G, h 2 H, p 2 G0 et q 2 H0. Pour simplifier, lorsque le contexte est clair, nous nous permettrons de noter g au lieu de (g, 1q) et h au lieu de (1p, h). Par exemple, si g est un morphisme de p ! q et h un morphisme de r ! s, o`u p, q 2 G0 et r, s 2 H0, alors -1 h-1 O g-1 O h O g = (p, r) h (p, s) g g-1 (q, r) h (q, s) est un morphisme de G]H. Les d'etails de ce qui suit se trouvent dans [11, pages 27-28]. Le sous- groupo"ide G H est le noyau du morphisme G]H ! G x H. Ce noyau G H est alors librement engendr'e, en tant que groupo"ide, par tous les commutateurs [g, h] o`u g 2 G, h 2 H sont distincts des identit'es. Nous avons utilis'e ici la simplification annonc'ee. Proposition 3.47. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 100 1. Le sous-groupo"ide G H de G]H est la r'eunion disjointe de groupes libres, un pour chaque sommet. Le groupe libre sur le sommet (p, q) est engendr'e par tous les commutateurs [g, h] avec ffi1g = p, ffi1h = q et g* * et h sont distincts de l'identit'e. 2. Le produit tensoriel de groupo"ides G et H, vus comme des complexes crois'es de rang 1, est le complexe crois'e ffi1 . . . 0 G H ffi2G]H G0 x H0 ffi0 avec g h = [g, h], p h = (1p, h), g q = (g, 1q) pour g 2 G, h 2 H, p 2 G0 et q 2 H0. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [11, proposition 6.2]. |__| Exemple 3.48. L'exemple du calcul du produit tensoriel entre un complexe crois'e quelconque et un groupo"ide (vu comme complexe crois'e) est donn'e dans [11, proposition 6.3]. 3.3.4 Th'eor`eme de Eilenberg-Zilber pour ØC Notre intention ici est de comparer ß(KxL) `a ßK ßL o`u K et L sont des ensembles simpliciaux. Le th'eor`eme classique d'Eilenberg-Zilber [19] donne une d'eformation de r'etraction forte des complexes de cha^ine d'un produit cart'esien d'ensembles simpliciaux vers le produit tensoriel correspondant de complexes de cha^ine. Ce th'eor`eme se g'en'eralise aux complexes crois'es. Nous voulons 'enoncer bri`evement cette g'en'eralisation, tout en relevant qu'elle e* *st due `a A. Tonks [42]. Th'eor`eme 3.49. Il existe une d'eformation de r'etraction forte de complexes crois'es a ß(K x L) ßK ßL b naturelle en K et L et OE : ß(K x L) ! ß(K x L) est une homotopie contrac- tante b O a ~ Id relativement `a K0 x L0. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [42, Th'eor`eme 3.1]. |__| Les morphismes a et b sont donn'es explicitement dans [42, proposition 2.1] et [42, proposition 2.6]. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 101 3.4 Enrichissement simplicial des complexes crois'es L'adjonction de foncteurs ß : sS ø ØC : N et la structure mono"idale sym'etrique ferm'ee de ØC fait de la cat'egorie des complexes crois'es une cat'egorie enrichie sur sS. Pour expliquer ce fait, nous nous inspirons compl`e* *te- ment de [13, p. 161]. La structure mono"idale ferm'ee de ØC en fait une cat'egorie ØC-enrichie avec la composition cA,B,C : CRS(A, B) CRS(B, C) ! CRS(A, C) o`u CRS(-, -) est le foncteur öH m" interne `a ØC. D'autre part, nous avons i j i j N CRS(A, B) n = ØC ß [n], CRS(A, B) . Notons par ØC_(A, B) l'ensemble simplicial N(CRS(A, B)). Alors, les mor- phismes f 2 ØC_(A, B)n et g 2 ØC_(B, C)n poss`edent une composition "exter- ne" donn'ee par cA,B,C O (f g) : ß [n] ß [n] ! CRS(A, C). En outre, nous avons un analogue du morphisme d'Alexander-Whitney, `a savoir OE : ßK ! ß(K x K) ! ßK ßK pour tout ensemble simplicial K. En appliquant ce morphisme `a K = [n], nous obtenons : cA,B,C O (f g) O OE : ß [n] ! CRS(A, C) ce qui d'efinit la composition f * g 2 ØC_(A, C)n dans sS. En r'esum'e, la cat'egorie ØC poss`ede une structure sS-enrichie avec la com- position ØC_(A, B) x ØC_(B, C) ! ØC_(A, C) donn'ee par (f, g) 7! f * g. D'autre part, le seul moyen raisonnable d'obtenir un produit tensoriel ^ : sS x ØC ! ØC est de prendre, pour tout C 2 ØC et tout K 2 sS, l'objet K ^C = ßK C. N'eanmoins, ce tenseur ne permet pas de faire de la cat'egorie des complexes crois'es une cat'egorie tensoris'ee sur sS. En effe* *t, nous n'avons pas d'isomorphisme naturel ØC_(K ^C, C0) Æ sS_(K, ØC_(C, C0)) d'ensembles simpliciaux. Le mieux que nous puissions dire est r'esum'e dans la proposition suivante : 3 LES COMPLEXES CROISE'S 102 Proposition 3.50. Soient K un ensemble simplicial et C un complexe crois'e. Alors il existe une d'eformation de r'etraction forte naturelle b sS_(K, NC) a ØC_(ßK, C) o`u a O b = id, et munie d'une homotopie naturelle h : sS_(K, NC) ! sS_( [1], sS_(K, NC)) entre b O a et l'identit'e. D'emonstration. L'argument de trouve dans [13, proposition 3.1]. C'est en fait un corollaire du th'eor`eme d'Eilenberg-Zilber 3.49 pour les complexes __ crois'es. |__| Remarque 3.51. Quand bien m^eme les foncteurs N et ß sont adjoints, ils ne le sont pas au niveau enrichi. D'autre part, le fait que nous ne pouvons pas faire mieux qu'`a homotopie pr`es, est une cons'equence de ce que les mor- phismes a et b du th'eor`eme d'Eilenberg-Zilber 3.49 sont des 'equivalences naturelles d'homotopie, mais ne sont, h'elas, pas des isomorphismes naturels. Par cons'equent, la cat'egorie ØC n'est pas simpliciale au sens de la d'efin* *ition de [23, d'efinition 2.1]. Notre cat'egorie n'est, par cons'equent, pas une cat'* *egorie mod`ele simpliciale (cf. d'efinition 2.195). En fait, `a homotopie pr`es, tou* *tes ces notions sont vraies . . .mais `a homotopie pr`es seulement. Dans ce cas, le chapitre 4 de [41] traite tous les d'etails de cette affirmation. 3.5 Structure mod`ele sur ØC Nous nous int'eressons maintenant `a la mise en oeuvre d'une structure mod`ele sur la cat'egorie ØC des complexes crois'es. Elle nous permet d'avoir une bonne notion d'homotopie. D'ailleurs, lorsque nous consid'erons des ob- jets cofibrants, la notion d'homotopie obtenue par les objets cylindres est la m^eme que celle d'efinie dans [41]. Pour obtenir la structure mod`ele, nous nous inspirons largement de l'article [12]. En sus, nous montrerons que cette structure est engendr'ee de mani`ere cofibrante. Nous rappelons des r'esultats permettant d''etablir que ØC est bicompl`ete, v'erifiant ainsi le premier axiome d'une structure mod`ele. Il s'agit ensuite de d'efinir les classes des 'equivalences faibles, des fibrations et des cofibrati* *ons dans ØC. Bien choisies, ces classes m`enent `a une structure mod`ele. Toutefois, avant de d'efinir les trois classes de morphismes en question, nous pr'esentons un type de morphisme de complexes crois'es important car il permet de mieux d'ecrire et de d'eterminer des propri'et'es importantes de ces classes de mor- phismes. Il s'agit des morphismes de complexes crois'es de type relativement libre. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 103 Compl'etion et cocompl'etion. En ce qui concerne la bicompl'etion de ØC nous mentionnons les r'ef'erences suivantes qui d'emontrent ce fait. L'exis- tence de colimites pour ØC est d'emontr'ee dans [9, section 6] donnant une description des colimites. La compl'etion d'ecoule de diff'erents r'esultats du m^eme article. D'autre part, l'article [8, p. 238] d'emontre que la cat'egorie * *des !-groupo"ides est bicompl`ete. Par 'equivalence de cat'egories il s'ensuit que * *ØC est bicompl`ete. Morphisme de complexes crois'es de type relativement libre. Nous introduisons d'abord une notation utile pour la construction qui suit. Nous notons C(n) le complexe crois'e libre engendr'e par un g'en'erateur26 cn en dimension n. Ainsi C(0) = * est le complexe vide, C(1) est le complexe crois'e de l'exemple 3.14 et pour n 2 le complexe crois'e C(n) est, en dimensions n et n - 1, un groupe cyclique infini de g'en'erateur cn et fficn respectivemen* *t. Nous notons encore par S(n-1) le (n - 1)-squelette de C(n). D'efinition 3.52 (Construction). Nous construisons un morphisme de type relativement libre. Soit A un complexe crois'e. Par r'ecurrence nous d'efinisso* *ns une suite de morphismes jn : Dn-1 ! Dn de la mani`ere suivante. Posons D0 = A. Supposons avoir Dn-1, et choisissons n'importe quelle famille de morphismes f~n: S(m~ - 1) ! Dn-1 o`u m~ est un entier pour tout ~ dans une famille d'indices n. Ensuite, pour construire le morphisme jn : Dn-1 ! Dn nous consid'erons le diagramme de somme amalgam'ee suivant : ` f~n ~2 nS(m~-1) Dn-1 i jn ` n ~2 n C(m~) D o`u i est l'inclusion 'evidente. Posons D = colimn Dn. Soit enfin le morphisme canonique j : A ! D. Un tel morphisme j : A ! D est appel'e un morphisme de complexes crois'es de type relativement libre. Si A = ; l'objet initial dans la construction ci-dessus, alors l'objet D du morphisme j : ; ! D est appel'e complexe crois'e de type libre. Remarque 3.53. La construction pr'ec'edente est semblable `a la mani`ere de d'efinir un CW-complexe relatif en attachant des cellules. En outre, dans la ______________________________ 26ie. un morphisme. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 104 d'efinition ci-dessus, le morphisme de complexe crois'e de type relativement libre l'est relativement `a l'objet A. Remarque 3.54. Soit I = {S(n-1) ,! C(n)}n 0. Alors il est clair que les morphismes de complexes crois'es de type relativement libre sont exactement les complexes cellulaires relatifs `a I. De m^eme, un complexe crois'e de type libre est pr'ecis'ement un I-cell complexe. Lemme 3.55. Avec les notations de la remarque pr'ec'edente, un complexe crois'e de type libre est petit relativement `a I. D'emonstration. D'apr`es le corollaire 2.116, il suffit de montrer que S(n-1) et C(n) sont petits relativement `a I pour tout n 0. Ceci est montr'e dans la preuve de [12, proposition 2.7]. Nous proposons un autre argument. Nous d'emontrerons dans le para- graphe 4.1.1 que les objets S(n - 1) et C(n) sont compacts relativement `a I. De plus nous verrons (cf. remarque 4.1) que les cofibrations sont des monomorphismes. Ainsi, les complexes cellulaires relatifs `a I sont des mo- nomorphismes. Il ne reste plus qu'`a appliquer la proposition 2.133 pour __ conclure. |__| Lemme 3.56. Le foncteur ß : sS ! ØC pr'eserve les petits objets. D'emonstration. Dans sS, tout objet est petit. Par le lemme 3.27, nous savons qu'il suffit de d'emontrer que les complexes crois'e de type relativement libre __ sont petits. Le lemme 3.55 permet de conclure. |__| Nous profitons encore d'introduire une notation qui sera utile par la suite. Notation 3.57. Soit j : A ! D un morphisme de complexes crois'es de type relativement libre. Les images dans D des 'el'ements cm~ sont not'ees xm~ . Nous pouvons ainsi noter D = A [ {xm~ }~2 n,n 0. De plus, si C est un complexe crois'e de type libre et si {x~}~2 sont les cellules de C, alors, `a l'instar de [12, page 66], nous avons i j C(n) C = S(n-1) C [ {cn x~}~2 . 'Equivalences faibles. Soit C un complexe crois'e et soit p 2 C0. En imitant [31], nous d'efinissons : D'efinition 3.58. H0(C) = l'ensemble des composantes du groupo"ide C1 . H1(C, p) = C1(p, p) ffi2(C2(p, p)) . Hn 2(C, p) = ker ffin(p) Imffin+1(p) 3 LES COMPLEXES CROISE'S 105 o`u ffik(p) : Ck(p, p) ! Ck-1(p, p). Remarque 3.59. Notons que le noyau de ffi1(p) est l'ensemble des mor- phismes dont le but est le point p 2 C0. Par cons'equent kerffi1(p) = C1(p, p) et H1(C, p) = ker ffi1(p)=Imffi2(p). Nous avons donc quelque chose qui res- semble beaucoup `a l'homologie de complexes de cha^ine, la diff'erence 'etant en dimension 0 et en dimensions 1 et 2 o`u nous avons des groupes non ab'eliens. D'ailleurs, H0(-) n'est rien d'autre que l'homotopie ß0(-). D'efinition 3.60. Un morphisme f : B ! C dans ØC est une 'equivalence faible si les morphismes induits H0(B) ! H0(C) et Hn(B, p) ! Hn(C, f(p)) sont des isomorphismes pour tout n 1 et pour tout p 2 B0. Fibrations et cofibration. Pour d'efinir les fibrations dans ØC nous pla- gions [31] en d'efinissant d'abord une fibration de groupo"ides, puis nous l''etendons aux complexes crois'es. D'efinition 3.61. Un morphisme de groupo"ides f : G ! H est une fibration de groupo"ides si, pour tout choix de p 2 Ob (G) et de y 2 H tels que s(y) = f(p), il existe un morphisme z 2 Mor (G) tel que f(z) = y et s(z) = p. D'efinition 3.62. Un morphisme f : B ! C dans ØC est une fibration de complexes crois'es si chaque morphisme de groupo"ides fn : Bn ! Cn (n 1) est une fibration de groupo"ides. Au vu de cette d'efinition, pour tout complexe crois'e C, l'unique mor- phisme C ! *, o`u * est le complexe crois'e C(0), est une fibration. Par cons'equent, tout complexe crois'e est fibrant. Pour d'efinir les cofibrations dans ØC nous utilisons la m'ethode originale de [36]. D'efinition 3.63. Les cofibrations de complexes crois'es sont les morphismes qui poss`edent la propri'et'e de rel`evement `a gauche par rapport aux fibratio* *ns acycliques (ie. `a la fois des fibrations et des 'equivalences faibles). Proposition 3.64. Les assertions suivantes, pour un morphisme f : E ! B dans ØC, sont 'equivalentes : 1. f est une fibration acyclique 2. f poss`ede la propri'et'e de rel`evement `a droite relativement aux mor- phismes S(n - 1) ,! C(n) pour tout n 0 3. si C est un complexe crois'e de type libre, alors f poss`ede la propri'et* *'e de rel`evement `a droite relativement aux morphismes S(n - 1) C ! C(n) C pour tout n 0 3 LES COMPLEXES CROISE'S 106 4. si C est un complexe crois'e de type libre, alors le morphisme induit f* : CRS(C, E) ! CRS(C, B) est une fibration acyclique. __ D'emonstration. cf [12] p. 70. |__| Corollaire 3.65. Soit C un complexe crois'e de type libre. Alors le mor- phisme S(n - 1) C ! C(n) C est une cofibration pour tout n 0. Corollaire 3.66. Soit j : A ! D un morphisme de type relativement libre. Alors j est une cofibration. En particulier, tout complexe crois'e de type libre est cofibrant. D'emonstration. Par d'efinition, l'objet D est une colimite colimn Dn o`u D0 = A et chaque jn : Dn-1 ! Dn est une somme amalgam'ee d'un coproduit d'inclusions de la forme S(m~ - 1) ! C(m~). Par la proposition 3.64 partie 2, ces inclusions sont des cofibrations. Par cons'equent jn est une cofibration __ et j l'est donc aussi. Ceci clos la d'emonstration. |__| Lemme 3.67. Le foncteur ß : sS ! ØC pr'eserve les objets cofibrants. D'emonstration. Dans sS, tout objet K est cofibrant. Par le lemme 3.27, nous __ savons que ß(K) est un complexe crois'e de type libre, donc cofibrant. |__| Proposition 3.68. Les assertions suivantes, pour un morphisme j : A ! D dans ØC, sont 'equivalentes : 1. j est une cofibration acyclique 2. j poss`ede la propri'et'e de rel`evement `a gauche relativement aux fibra- tions 3. j est une cofibration et une d'eformation forte de r'etraction. __ D'emonstration. Par analogie `a la preuve de Quillen [36] p. 3.4. |__| Nous mettons maintenant au point les outils n'ecessaires pour d'emontrer l'axiome M5 de la structure mod`ele pour ØC. Nous avons vu qu'il est utile d'utiliser l'argument du petit objet. C'est l'objectif de la prochaine proposi- tion. Proposition 3.69. Tout morphisme f : A ! B dans ØC peut se factoriser f = p O j o`u j est de type relativement libre (donc une cofibration), et p est une fibration acyclique. D'emonstration. Le point essentiel de la preuve est que l'ensemble de mor- phismes {S(n-1) ! C(n)}n 0 permet l'argument du petit objet. Or les fibra- tions acycliques poss`edent, par la proposition 3.64, la propri'et'e de rel`eve* *ment `a droite relativement `a cet ensemble de morphismes. L'argument du petit objet nous permet alors de construire la factorisation souhait'ee. __ |__| 3 LES COMPLEXES CROISE'S 107 Les corollaires suivants permettent de mieux d'ecrire les objets cofibrants dans ØC. Corollaire 3.70. Tout complexe crois'e B est faiblement 'equivalent 27 `a un complexe crois'e de type libre. D'emonstration. Il suffit de factoriser le morphisme ; ! B par la proposition 3.69 pour obtenir ; B ~ j p D * *__ l''equivalence faible cherch'ee. Ceci clos la d'emonstration. |* *__| Corollaire 3.71. Si f : A ! D est une cofibration, alors f une r'etraction d'un morphisme de type relativement libre. En particulier, tout objet cofibrant dans ØC est un r'etract d'un complexe de type libre. __ D'emonstration. voir [12] p.76. |__| Corollaire 3.72. Soit C un objet cofibrant dans ØC. Si A ! D est une cofibration, alors A C ! D C est aussi une cofibration. En particulier, si D est cofibrant, alors D C est aussi cofibrant. Corollaire 3.73. Tout morphisme f : B ! C dans ØC peut se factoriser f = p O i o`u i est une cofibration acyclique et p est une fibration. __ D'emonstration. L'argument se trouve dans [12, corollaire 2.11] |__| Nous r'esumons tout cela dans un th'eor`eme. Th'eor`eme 3.74. La cat'egorie ØC des complexes crois'es, munie des classes des fibrations, cofibrations et 'equivalences faibles d'efinies pr'ec'edemment,* * est une cat'egorie mod`ele. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [12, th'eor`eme 2.12] |__| 3.6 Homotopie dans ØC Nous d'efinissons d'abord un objet intervalle pour les complexes crois'es et nous montrons ensuite que cela donne lieu a un objet cylindre permettant de d'efinir la notion d'homotopie entre morphismes de complexes crois'es. Cette notion d'homotopie est donc celle provenant de la structure mod`ele. Fixons la notation suivante : I = ß( [1]). ______________________________ 27C'est-`a-dire qu'il existe une 'equivalence faible entre les deux complexes* * crois'es. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 108 Le complexe crois'e I est l'objet intervalle28 pour les complexes crois'es (cf. [5, section 2]). Le complexe crois'e I ne poss`ede qu'un seul g'en'erateur g - * *en degr'e 1 - `a savoir le morphisme g : 0 ! 1, o`u I0 = {0, 1}. Le complexe crois* *'e I n'est rien d'autre que le complexe crois'e not'e C(1) dans l'exemple 3.14. De plus, pour un complexe crois'e C, nous avons les inclusions canoniques et la projection suivantes : i0 p C C I C i1 avec, pour ff = 0, 1, les relations iff(cn) = cn ff, p(cn ff) = cn et p(cn g* *) = ids(cn)2 Cn+1. Ici cn d'esigne un g'en'erateur en degr'e n de C. Ce choix des morphismes i0, i1 et p est le m^eme que celui de [42]. Comme dans la partie 2.3.3, supposons que C soit un complexe crois'e cofibrant. Montrons que C I est bien un objet cylindre pour la structure mod`ele consid'er'ee sur ØC. L'objet en question est calcul'e dans l'exemple 3.43. Nous y avons vu que C I est essentiellement engendr'e par deux copies de C avec des morphismes additionnels de la forme - g. Le morphisme C t C -!i C I est ainsi donn'e par l'inclusion de chaque copie de C dans la p copie correspondante de C I. Le morphisme C I -! C est donn'e ci-dessus. Nous avons ainsi la relation de commutation p O i = r o`u r : C t C ! C est le morphisme de pliage. Comme C est cofibrant, nous utilisons le corollaire 3.65 pour n = 1 et le corollaire 3.72 pour obtenir que C t C -!i C I est une cofibration (cf. [12, pp. 78-79]). D'autre part, les fibrations de complexes crois'es sont des sur- jections par niveau (cf. d'efinition 3.62). Le calcul de l'exemple 3.43 montre clairement que le morphisme p : C I ! C est une fibration. Enfin, le m^eme calcul montre que p induit une bijection entre les composantes connexes de (C I)1 et celles de C1. De plus, les groupo"ides (C I)n sont totalement non connexes pour n 2. Comme le morphisme p satisfait, pour ff = 0, 1, les relations p(cn ff) = cn et p(cn g) = ids(cn)2 Cn+1, il est clair que p indu* *it un isomorphisme Hn 2(C I, v) ~=Hn 2(C, p(v)) pour tout v 2 (C I)0. Reste donc `a consid'erer la dimension 1. Fixons-nous un sommet v = c0 0 dans (C I)0. Tout morphisme de (C I)1(v, v) peut ^etre exprim'e comme une composition de morphismes des cinq situations d'ecrites dans la figure (3), o`u c0, c002 C0, ff, fi 2 C1(c0, c00), fl 2 C1(c0, c0) et g 2 I1. Les morphisme* *s des situations I, II, III, IV et V appartiennent `a l'image de ffi2 : (C I)2 ! (C I* *)1. ______________________________ 28analogue `a I = [0, 1] pour les espaces topologiques. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 109 Fig. 3: Morphismes de (C I)1(v, v) En effet, ffi2(Idc0 0)= (ff 0)-1 O (ff 0) ffi2(Idc0 0)= (c0 g)-1 O (c0 g) ffi2(Idc0 0)= (fl 0)-1 O (fl 0) ffi2(fi-1 g-1)= (fi 0)-1 O (c00 g)-1 O (fi 1) O (c0 g) ffi2(fl g-1)= (fl 0) O (c0 g)-1 O (fl 1)-1 O (c0 g). Ainsi, tous les morphismes des situations I, II, III, IV et V sont identifi'es * *`a 1v dans H1(C I, v). Enfin, consid'erons les morphismes dans (C I)1(v, v) de la forme m = (ffl 0) O (c00 g)-1 O (fi 1) O (c0 g) o`u ffl 2 C1(c00, c0) est distinct de fi-1 , et de la forme m0= (i 0) O (c00 g)-1 O (fl 1)-1 O (c0 g) o`u i 2 C1(c0, c0) est distinct de fl. Posons c = (c0 g)-1 O (fi 1)-1 O (c00 g)-1 O (fi 0) c0 = (c0 g) O (fl 1) O (c00 g)-1 O (fl 0). Il est clair que c et c0 sont des cycles29. Or m O c = (ffl 0) O (fi 0) et m0O c0= (i 0) O (fl 0). Autrement dit, H1(m, v) = H1((ffl 0) O (fi 0), * *v) et H1(m0, v) = H1((i 0) O (fl 0), v). Sym'etriquement, en 'echangeant "0" et "1", nous avons le m^eme r'esultat. Il est alors clair que H1(C I, v) ~= H1(C, p(v)). Nous avons donc d'emontr'e que, si C est cofibrant, C I est un objet cylindre. ______________________________ 29ie. appartiennent `a l'image de ffi2. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 110 D'efinition 3.75. Deux homomorphismes de complexes crois'es f, g : C ! D sont homotopes30 s'il existe une homotopie h : C I ! D entre f et g qui fait commuter le diagramme standard : C f i0 C I h D. i1 g C Nous utilisons la notation f ~ g pour dire que f est homotope `a g. La relation d'homotopie d'efinie ci-dessus est une relation d''equivalence. Ce r'esultat peut ^etre d'emontr'e ä` la main" et nous le reproduisons ci-desso* *us. Il est d^u `a A. Tonks [41]. Proposition 3.76. La relation d'homotopie ~ est une relation d''equivalence. D'emonstration. Pour la r'eflexivit'e, l'homotopie entre f et f est d'efinie par p f h : C I -! C -! D. Ainsi f ~ f. Pour la sym'etrie nous utilisons le morphisme m : C I ! C I tel que m(c g) = c g-1. Ainsi, si h est une homotopie entre f et g, alors h O m est une homotopie entre g et f. Pour la transitivit'e, nous consid'erons le complexe crois'e J dont l'ensemb* *le des sommets est {0, 1, 2} et dont les seuls morphismes non triviaux sont en degr'e 1 et sont j : 0 ! 1, k : 1 ! 2, k O j : 0 ! 2 et leurs inverses. Si f0 ~ f1 par l'homotopie h1 et f1 ~ f2 par l'homotopie h2 alors h1 O h2 est une homotopie entre f0 et f2 d'efinie par C I id-t!C J h1th2-!D o`u t : g 7! k O j et h1 t h2 est donn'ee par c j 7! h1(c g) et c k 7! __ h2(c g). |__| Par cons'equent, la relation d'homotopie est une relation d''equivalence ind'ependamment de la structure mod`ele. Lorsque C est cofibrant, alors la notion d'homotopie donn'ee par l'objet cylindre est celle de la d'efinition 3.7* *5. Enfin, il nous faut encore faire le lien avec les homotopies m-dimension- nelles introduites dans la d'efinition 3.34. Soit donc (H, f) une homotopie m-dimensionnelle avec f : C ! D et H : Ck ! Dk+m pour tout k 0. Lorsque m = 0, l'homotopie H est simplement donn'ee par H(c) = h(c g) ______________________________ 30C'est la notion d'homotopie `a gauche pour la structure mod`ele. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 111 o`u c 2 C et h : C I - ! D dans le diagramme de la d'efinition 3.75. En g'en'eral, pour une homotopie m-dimensionnelle (H, f), H est donn'e par H(c) = h(c g m ) o`u h : C I m -! D. 3.7 La cat'egorie ØC* point'ee Nous consid'erons maintenant la cat'egorie point'ee des complexes crois'es au sens de la section 2.10. Nous avons d'ej`a vu que l'objet terminal de ØC est* * le complexe crois'e C(0) que nous avons not'e * selon la notation usuelle. L'objet * consiste donc en un sommet s de C(0)0 et aucun morphisme - autre que l'identit'e Id* sur * - en dimension sup'erieure. En appliquant la construction de ØC* de la d'efinition 2.228, nous obtenons bien que la cat'egorie ØC* est la cat'egorie des complexes crois'es o`u chaque objet poss`ede le sommet distingu'e s de C(0) et seuls les morphismes de complexes crois'es pr'eservant ce sommet ne sont consid'er'es. Nous abuserons un peu de la notation en notant par * simultan'ement l'objet terminal et le sommet distingu'e s. L'objet initial ; de la cat'egorie ØC est le complexe crois'e vide31. En effet, il n'existe qu'un seul morphisme de ; vers tout complexe crois'e C. Par cons'equent la cat'egorie ØC n'est pas point'ee au sens de la d'efinition 2.227. Nous noterons par la suite ØC(*)pour d'esigner indiff'eremment ØC ou ØC*. De plus, l'objet * est cofibrant puisque c'est un complexe crois'e de type libre. C'est aussi l'unit'e du produit tensoriel non point'e. En effet, en tensorisant C par * = C(0) cela revient `a consid'erer le complexe crois'e (C *)0 = C0 x * ~=C0 et (C *)n ~=Cn. Notons encore que pour le produit tensoriel point'e ^ de la cat'egorie ØC*, il faut ajouter aux relations (cf. th'eor`eme 3.33) du produit tensoriel A B de complexes crois'es les relations suivantes : a ^ * = * pour a 2 A0 * ^ b = * pour b 2 B0 a ^ * = Id* pour a 2 An 1 * ^ b = Id* pour b 2 Bn 1. En outre, pour avoir une structure mono"idale ferm'ee sur ØC* il faut encore d'ecrire le foncteur öH m" interne ØC*(-, -). Nous avons vu (cf. proposition 3.35) que ce foncteur öH m" interne est d'ecrit `a l'aide des homotopies m- dimensionnelles. Dans le cas de la cat'egorie point'ee ØC*, une homotopie m- dimensionnelle point'ee B ! C est une homotopie m-dimensionnelle (H, f) (cf. d'efinition 3.34) satisfaisant f(*) = * et H(*) = Id* 2 Cm . ______________________________ 31qui ne contient aucun sommet et aucun morphisme. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 112 3.8 Structure engendr'ee de mani`ere cofibrante sur ØC(*) La structure engendr'ee de mani`ere cofibrante sur ØC n'est pas une surprise et, au vu de la proposition 3.64, devait ^etre connue de [12]. Cependant, autant que nous puissions en attester, cela n'a jamais 'et'e 'ecrit in extenso. D'autre part, la proposition 3.64 sugg`ere fortement que l'ensemble {S(n- 1) ,! C(n)}n 0 soit un ensemble de cofibrations triviales. En fait, nous avons la proposition suivante : Th'eor`eme 3.77. La structure mod`ele sur ØC est engendr'ee de mani`ere co- fibrante et est donn'ee par I = {S(n-1) ,! C(n)}n 0 J = {; ,! C(n)}n 0 o`u I est l'ensemble des cofibrations triviales et J est l'ensemble des cofibra- tions acycliques triviales. D'emonstration. Il nous faut v'erifier les conditions suivantes : 1. les objets S(n-1) sont petits relativement `a I-cell, 2. l'objet initial est petit relativement `a J-cell, 3. Fib=PRD(J), 4. FIB\WE=PRD(I). La deuxi`eme condition est triviale. La premi`ere condition est assur'ee par le lemme 3.55. La quatri`eme est v'erifi'ee gr^ace `a la proposition 3.64. Il rest* *e `a montrer la troisi`eme condition. Le diagramme commutatif suivant ; A f C(n) h B est 'equivalent `a pr'eciser un 'el'ement bn 2 Bn. En effet, h(cn) = bn et h(@c* *n) = @bn o`u cn est le g'en'erateur en degr'e n de C(n). Dans notre situation, f est* * une fibration, `a savoir une surjection par degr'e. Il existe donc un 'el'ement an * *2 An __ tel que f(an) = bn. Nous avons donc un rel`evement OE : C(n) ! A. |__| Corollaire 3.78. La cat'egorie ØC* des complexes crois'es point'es est une cat'egorie mod`ele engendr'ee de mani`ere cofibrante. D'emonstration. Ce r'esultat est une cons'equence des r'esultats de la section __ 2.10. |__| 3 LES COMPLEXES CROISE'S 113 3.9 Structure mod`ele mono"idale sym'etrique ferm'ee sur ØC(*) Nous avons vu dans la partie 3.3 que la cat'egorie des complexes crois'es est munie d'une structure mono"idale sym'etrique ferm'ee. D'autre part, cette cat'egorie est 'egalement munie d'une structure mod`ele (cf. 3.5). Notre ob- jectif maintenant est de montrer qu'il existe une compatibilit'e (cf. 2.3.6) entre ces deux structures, munissant ØC d'une structure mod`ele mono"idale sym'etrique ferm'ee. Nous n'avons trouv'e aucune trace dans la litt'erature d'une compatibilit'e similaire pour la cat'egorie ØC(*). Les r'esultats qui suivent dans cette secti* *on sont enti`erement nouveaux. Nous allons utiliser pleinement le fait que la structure mod`ele de ØC est engendr'ee de mani`ere cofibrante. Nous 'enon,cons donc les axiomes d'une cat'egories mod`ele mono"idale dans le cas o`u la structure mod`ele est engendr* *'ee de mani`ere cofibrante. Proposition 3.79. Soit M une cat'egorie mod`ele engendr'ee de mani`ere cofi- brante avec I comme ensemble des cofibrations triviales et J comme ensemble des cofibrations acycliques triviales. Munissons de plus M d'une structure mono"idale ferm'ee. Alors M est une cat'egorie mod`ele mono"idale si 1. I I Cof 2. I J Cof \ W E et J I Cof \ W E 3. l'axiome de l'unit'e est satisfait (cf. remarque 2.93). D'emonstration. L'argument est une simple adaptation du corollaire [28, 4.2.5]. __ |__| Dans notre cas, le produit tensoriel est sym'etrique et le deuxi`eme cas de la deuxi`eme condition est redondant. Th'eor`eme 3.80. La cat'egorie ØC est munie d'une structure mod`ele mono"i- dale sym'etrique. D'emonstration. Premi`erement, soient f : S(k -1) ! C(k) et g : S(i-1) ! C(i). Nous utilisons le corollaire 3.65 et nous construisons le diagramme de 3 LES COMPLEXES CROISE'S 114 somme amalgam'ee suivant : f 1 S(k-1) S(i-1) C(k) S(i-1) 1 g 1 g ` S(k-1) C(i) S(k-1) C(i)S(k-1) S(i-1)C(k) S(i-1) f g f 1 C(k) C(i). Pour montrer que f g est une cofibration, nous utilisons la notation 3.57 pour obtenir C(k) C(i) = S(k-1) S(i-1) [ {ck ci} [ {ck @ci} [ {@ck ci} et de l'autre c^ot'e, gr^ace `a la description de la colimite en terme de r'eu* *nion disjointe (p. 81), nous avons a S(k-1) C(i) C(k) S(i-1) = S(k-1) S(i-1)[{ck @ci}[{@ck ci}. S(k-1) S(i-1) Il est alors clair que f g est une cofibration, car c'est un morphisme de type relativement libre. Deuxi`emement, soient f : S(n-1) ! C(n) et g : ; ! C(k). Nous utilisons le corollaire 3.65 et nous construisons le diagramme de somme amalgam'ee suivant : f 1 S(n-1) ; C(n) ; 1 g 1 g ` S(n-1) C(k) S(n-1) C(k)S(n-1) ;C(n) ; f g f 1 C(n) C(k). Pour montrer que f g est une cofibration acyclique, il suffit donc de montrer que f 1 : S(n-1) C(k) ! C(n) C(k) est une 'equivalence faible. Le g'en'erateur @cn ck de S(n-1) C(k) n'est pas un cycle. Il ne reste alors plus que le cycle @cn @ck qui est 'egalement un bord. De l'autre c^ot'e, les g'en'erateurs cn ck, cn @ck et @cn ck de C(n) C(k) ne sont pas des cycles. Il ne reste que le g'en'erateur @cn @ck qui est un cycle et un bord. Ainsi f 1 induit un isomorphisme en homologie de complexes crois'es. 3 LES COMPLEXES CROISE'S 115 Par cons'equent, nous avons bien une structure mod`ele mono"idale sym'et- rique sur ØC. __ |__| Corollaire 3.81. La cat'egorie ØC* des complexes crois'es point'es est une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique. D'emonstration. Ce r'esultat est une cons'equence des r'esultats de la section __ 2.10. |__| Chapitre 4 4 Structures cellulaire et propre sur ØC(*) Cette partie constitue la charni`ere de la th`ese et tout s'articule autour.* * A notre connaissance, les propri'et'es que nous d'emontrons ci-apr`es n'ont jamais 'et'e 'ecrites. La structure cellulaire n'est pas une surprise et 'etait peut-* *^etre connue auparavant. En revanche, la propret'e de la cat'egorie des complexes crois'es (point'es) est, autant que nous puissions en attester, enti`erement no* *u- velle. 4.1 Structure cellulaire sur ØC(*) Les diff'erentes propri'et'es de ØC nous font fortement suspecter que la cat'egorie des complexes crois'es est cellulaire. C'est effectivement le cas et nous nous int'eressons maintenant `a le d'emontrer. Nous utilisons la structure engendr'ee de mani`ere cofibrante donn'ee dans le th'eor`eme 3.77. D'apr`es la d'efinition 2.147, il nous faut v'erifier les * *trois conditions suivantes : 1. les objets S(n-1) et C(n) sont compacts relativement `a I pour tout n 0, 2. l'objet initial ; est petit relativement `a I, 3. les cofibrations sont des monomorphismes effectifs. La deuxi`eme condition est trivialement v'erifi'ee. Attachons-nous `a d'emon- trer la premi`ere. 4.1.1 Compacit'e de S(n-1) et C(n) Fixons-nous une pr'esentation arbitraire d'un complexe cellulaire f : X ! Y relativement `a I. Nous nous fixons donc un ordinal ~ et, pour tout ordinal fi < ~, un ensemble T fide cellules avec les cellules efii: S(ki-1) ,! C(ki) pour chaque i 2 T fi. Chaque terme Xfi+1de la ~-suite se construit `a partir du terme pr'ec'edent Xfi`a l'aide de la somme amalgam'ee ` ` i2TfiS(ki-1) i2TfiC(ki) Xfi Xfi+1. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 117 Pour que S(i-1) soit compact relativement `a I, il faut que tout morphisme g : S(i-1) ! Y se factorise par un sous-complexe cellulaire de f, de taille fl < ~ pour un certain ordinal fl. A chaque 'etape de la ~-suite de f, nous avons des inclusions. En outre, la colimite de complexes crois'es est la colimi* *te prise degr'e par degr'e (cf. partie 3.1.2). Par cons'equent,Sen degr'e 0, la colimite (colimfi<~Xfi)0 n'est rien d'autre que X0 fi<~(Xfi)0, autrement dit, nous rajoutons tous les sommets de chacun des Xfi. S'ajoute `a cela que, pour tout sommet p 2 (Xfi)0, nous avons des groupes Xfin(p, p) et la colimite (colimfi<~Xfi)n(p, p) est une colimite de groupes. Premi`erement, tout morphisme g : S(i-1) ! Y consiste, en degr'e i - 1, `a envoyer le g'en'erateur ffiici (cf. page 103) sur un 'el'ement de Y de sorte* * que cela soit compatible (cf. d'efinition 3.11) avec les morphismes de bord et les actions des groupo"ides (S(i-1))1 et (Y )1. Le morphisme g est trivial dans les autres degr'es. Mais, d'apr`es la description de la colimite et le fait que c'e* *st la colimite d'un t'elescope d'inclusions, le g'en'erateur ffiici est envoy'e su* *r un 'el'ement qui est d'ej`a pr'esent `a une 'etape fl de la ~-suite de f : X ! Y .* * Par cons'equent, le sous-complexe cellulaire recherch'e pour la factorisation n'est rien d'autre que la restriction de la ~-suite de f `a la fl-suite de f. Deuxi`emement, tout morphisme h : C(i) ! Y consiste, en degr'e i, `a envoyer le g'en'erateur ci sur un 'el'ement y 2 Yi et, en degr'e i - 1, `a envo* *yer le bord ffiici du g'en'erateur ci sur l''el'ement ffiiy 2 Yi-1 de sorte que cel* *a soit compatible avec les morphismes de bord et les actions des groupo"ides (C(i))1 et (Y )1. A nouveau, les 'el'ements y et ffiiy sont d'ej`a pr'esents dans la ~-* *suite `a une 'etape fl0. Par cons'equent, le sous-complexe cellulaire recherch'e pour la factorisation n'est rien d'autre que la restriction de la ~-suite de f `a la fl0-suite de f. 4.1.2 Monomorphismes effectifs La derni`ere condition `a v'erifier pour obtenir une structure cellulaire, e* *st que les cofibrations soient des monomorphismes effectifs. D'apr`es la d'efiniti* *on 2.134, il nous faut donc v'erifier que toute cofibration f : A æ B est l''egali* *seur i0 ` de la paire de morphismes B B AB . De plus, comme le montre i1 la prochaine remarque, nos cofibrations sont des injections. Soit donc un morphisme g : A0! B, tel que i0Og = i1Og. Ceci implique que g(A0) f(A) et ainsi notre morphisme g se factorise par A0! A ! B. Par cons'equent, la propri'et'e universelle de l''egaliseur est v'erifi'ee. Remarque 4.1. Notons au passage que si f : A ! X est une cofibration, alors c'est une injection. En effet, toute cofibration est un r'etract d'un mor- phisme de type relativement libre. Or un morphisme de type relativement 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 118 libre est clairement une injection. Enfin, un r'etract d'une injection est une injection. En r'esum'e, nous avons le r'esultat suivant : Th'eor`eme 4.2. La cat'egorie ØC des complexes crois'es est une cat'egorie cel- lulaire. Il n'est d'ailleurs pas 'etonnant que cette propri'et'e est conserv'ee dans le * *cas point'e : Proposition 4.3. La cat'egorie ØC* des complexes crois'es point'es est une cat'egorie cellulaire. D'emonstration. Les arguments sont similaires `a ceux du cas non point'e. La structure engendr'ee de mani`ere cofibrante sur ØC* est donn'ee par les en- sembles I+ = {S(n-1)+ ,! C(n)+ }n 0 et J+ = {* ! C(n)+ }n 0. Puisque tous les objets sont point'es, l'objet * est petit. D'autre part, les cofibrati* *ons de ØC* sont par d'efinition celles de ØC en oubliant le point de base. Ainsi les cofibrations des complexes crois'es point'es sont des monomorphismes effectifs. Pour la compacit'e de S(n-1)+ et C(n)+ , fixons nous une pr'esentation arbitraire d'un complexe cellulaire point'e f : (X, v) ! (Y, w) (cf. notation de la d'efinition 2.228) relativement `a I+ . Nous nous fixons donc un ordinal ~ et, pour tout ordinal fi < ~, un ensemble T fide cellules avec les cellules efii: S(i-1)+ ,! C(i)+ pour chaque i 2 T fi. Chaque terme (Xfi+1, vfi+1) de la ~-suite point'ee32 se construit `a partir du terme pr'ec'edent (Xfi, vfi) `a* * l'aide de la somme amalgam'ee W W i2TfiS(i-1)+ i2TfiC(i)+ (Xfi, vfi) (Xfi+1, vfi+1). Pour que S(i-1)+ soit compact relativement `a I+ , il faut que tout morphisme point'e g : S(i-1)+ ! (Y, w) se factorise par un sous-complexe cellulaire point* *'e de f, de taille fl < ~ pour un certain ordinal fl. A chaque 'etape de la ~-suite point'ee de f, nous avons des inclusions. En outre, la colimite de complexes crois'es point'es est la colimite prise degr'e par degr'e (cf. partie 3.1.2). P* *our simplifier la notation, nous ne notons pas les morphismes vfi: * ! Xfi. Par cons'equent,Sen degr'e 0, la colimite (colimfi<~Xfi)0 n'est rien d'autre que X0 fi<~(Xfi)0, autrement dit, nous rajoutons tous les sommets de chacun des Xfi. Bien entendu, le sommet * fait partie de cette r'eunion. S'ajoute `a cela que, pour tout sommet p 2 (Xfi)0, nous avons des groupes Xfin(p, p) et la colimite (colimfi<~Xfi)n(p, p) est une colimite de groupes. ______________________________ 32c'est-`a-dire que la suite est constitu'ee de morphismes point'es. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 119 Premi`erement, tout morphisme point'e g : S(i-1)+ ! Y consiste `a envoyer le point de base de S(i-1)+ sur le point de base de Y et, en degr'e i - 1, `a envoyer le g'en'erateur ffiici(cf. page 103) sur un 'el'ement de Y de sorte que* * cela soit compatible (cf. d'efinition 3.11) avec les morphismes de bord et les actio* *ns des groupo"ides (S(i-1)+ )1 et (Y )1. Le morphisme point'e g est trivial dans l* *es autres degr'es. Mais, d'apr`es la description de la colimite et le fait que c'e* *st la colimite d'un t'elescope d'inclusions, le g'en'erateur ffiici est envoy'e su* *r un 'el'ement qui est d'ej`a pr'esent `a une 'etape fl de la ~-suite point'ee de f * *: X ! Y . En outre, `a chaque 'etape de cette ~-suite point'ee, les morphismes pr'eservent le point de base. Par cons'equent, le sous-complexe cellulaire point'e recherch* *'e pour la factorisation n'est rien d'autre que la restriction de la ~-suite point* *'ee de f `a la fl-suite point'ee de f. Deuxi`emement, tout morphisme point'e h : C(i)+ ! Y consiste `a envoyer le point de base de C(i)+ sur le point de base de Y et, en degr'e i, `a envoyer le g'en'erateur ci sur un 'el'ement y 2 Yi et, en degr'e i-1, `a envoyer le bor* *d ffiici du g'en'erateur ci sur l''el'ement ffiiy 2 Yi-1 de sorte que cela soit compatib* *le avec les morphismes de bord et les actions des groupo"ides (C(i))1 et (Y )1. A nouveau, les 'el'ements y et ffiiy sont d'ej`a pr'esents dans la ~-suite point'* *ee `a une 'etape fl0. De m^eme, `a chaque 'etape de cette ~-suite point'ee, le point de b* *ase est pr'eserv'e. Par cons'equent, le sous-complexe cellulaire point'e recherch'e pour la factorisation n'est rien d'autre que la restriction de la ~-suite point* *'ee de f `a la fl0-suite point'ee de f. __ |__| 4.2 Structure propre sur ØC(*) Le but de cette partie est de d'emontrer le th'eor`eme suivant. Th'eor`eme 4.4. La cat'egorie ØC(*)des complexes crois'es est propre. Ce r'esultat r'epond `a une question ouverte pos'ee par R. Brown et M. Golasinski dans [12, probl`eme ouvert 4.2]. Remarque 4.5. Dans ØC(*)tout objet est fibrant. Par cons'equent le corol- laire 2.97 nous permet d'affirmer que la cat'egorie ØC(*)est propre `a droite. Nous allons donc nous atteler `a d'emontrer que ØC est propre `a gauche. Autrement dit pour tout diagramme de somme amalgam'ee dans ØC(*) s X W (7) f ~ g Y Z o`u s est une cofibration et f une 'equivalence faible, il faut montrer que g e* *st encore une 'equivalence faible. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 120 Premi`ere 'etape de la preuve de 4.4: simplification. Nous utilisons bien s^ur la structure mod`ele engendr'ee de mani`ere cofibrante sur ØC(*). Dans le diagramme (7), le morphisme s est une cofibration. Ainsi, par la proposi- tion 2.146, c'est une r'etraction d'un morphisme t 2 I-cell. Il faut d'ailleurs noter que cette r'etraction fixe la source de s : X ! W . Ainsi nous avons le diagramme de somme amalgam'ee t2I-cell X U (8) f ~ h v Y V. En comparant les diagrammes (7) et (8) nous observons que le morphisme g est alors une r'etraction du morphisme h. Il nous suffit donc de d'emontrer que dans la situation du diagramme (8) le morphisme h est une 'equivalence faible. En effet, comme la classe des 'equivalences faibles est ferm'ee sous r'etraction, si h est une 'equivalence f* *aible alors g l'est aussi. Soit donc t : X ! U 2 I-cell. Nous pouvons donc 'ecrire ce morphisme comme la composition transfinie de morphismes ji : Xi ! Xi+1 d'efinis par la somme amalgam'ee S(ni-1) Xi ji C(ni) Xi+1. Les morphismes ji consistent donc `a attacher une "cellule" en dimension ni 0 `a Xi pour obtenir Xi+1. Ainsi nous avons j0 1 j1 2 j2 i X = X0 X X . . . colimiX = U. t A l'instar de [28, p. 32], notons encore qu'une somme amalgam'ee d'un complexe cellulaire relatif `a I est encore un complexe cellulaire relatif `a I. Par cons'equent, dans le diagramme (8), le morphisme v : Y ! V 2 I-cell et nous avons la situation similaire : k0 1 k1 2 k2 i Y = Y 0 Y Y . . . colim iY = V v o`u les morphismes ki s'obtiennent des morphismes ji par somme amalgam'ee, 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 121 `a savoir ji Xi Xi+1 (9) ki Y i Y i+1 est un diagramme de somme amalgam'ee. Cons'equemment, nous avons r'eduit le probl`eme illustr'e dans le diagramme (7) au deux points suivants: Proposition 4.6. Pour montrer que la cat'egorie ØC(*)est propre, il suffit de : 1. montrer que si dans le diagramme (9), le morphisme Xi ! Y iest une 'equivalence faible, alors le morphisme Xi+1 ! Y i+1l'est aussi ; 2. montrer ensuite que, par cons'equent, le morphisme colimiXi ! colimiY i est une 'equivalence faible. __ D'emonstration. C'est une cons'equence imm'ediate de ce qui pr'ec`ede. |__| Deuxi`eme 'etape : d'emonstration du point 1 de 4.6. Notre strat'egie est d'imiter la d'emonstration dans le cas des complexes de cha^ines. Nous rappelons bri`evement cette situation. Pour montrer que dans le diagramme de somme amalgam'ee f A B ~ C g D l'application B -! D est aussi une 'equivalence faible, nous construisons les cofibres Cf et Cg des applications f et g respectivement. Les suites exactes 0 -! A -! B -! Cf -! 0 et 0 -! C -! D -! Cg -! 0 induisent des suites exactes longues en homologie et nous obtenons le diagramme commu- tatif . . . H*+1(Cf) H*(A) H*(B) H*(Cf) H*-1(A) . . . ~= ~= ~= ~= . . . H*+1(Cg) H*(C) H*(D) H*(Cg) H*-1(C) . . . car A - ! C est une 'equivalence faible et les cofibres Cf et Cg co"incident. Enfin, en utilisant le lemme "des 5" nous concluons que H*(B) ~= H*(D) impliquant que B -! D est une 'equivalence faible. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 122 En supposant que de tels outils sont valables pour la cat'egorie des com- plexes crois'es, nous d'emontrons rapidement le point 1 de la proposition 4.6. En effet, il suffit de construire les cofibres de Xi -! Xi+1 et Y i- ! Y i+1 induisant des suites exactes longues en homologie de complexes crois'es et d'appliquer le lemme "des 5" pour ØC(*)pour conclure que Xi+1 -! Y i+1 est une 'equivalence faible de complexes crois'es d`es que Xi -! Y il'est. Il s'agit donc maintenant de d'emontrer ces r'esultats techniques pour la cat'egorie des complexes crois'es. 4.2.1 Cofibre et suite exacte longue pour ØC(*) Dans la cat'egorie des complexes crois'es (point'es), la construction de la cofibre d'une cofibration f : D æ D0de complexes crois'es est la construction classique, `a savoir la somme amalgam'ee f D D0 ff cf * fi Cf. f 0 cf La suite de morphismes D - ! D -! Cf - ! * est exacte. En effet, par construction, cf(f(D)) = fi(ff(D)) = fi(*) = * et f(D) = kercf. En outre, cf : D0! Cf est clairement un 'epimorphisme. f cf Lemme 4.7. Une suite exacte courte D æ D0 -! Cf ! * de complexes crois'es induit une suite exacte longue en homologie de complexes crois'es, pour chaque p 2 D0 : f* 0 cf* d . . . H*+1(Cf, p) d H*(D, p) H*(D , p) H*(Cf, p) H*-1(D, p) . .* * . o`u les H*(-, p) sont donn'es dans la d'efinition 3.58. D'emonstration. Les morphismes f* : H*(D) ! H*(D0) et cf* : H*(D0) ! H*(Cf) sont les morphismes induits par f et cf respectivement. Il nous faut donc construire le morphisme connectant d : H*(Cf, p) ! H*-1(D, p) et montrer que nous avons bien une suite exacte longue. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 123 Par hypoth`ese, nous avons la situation suivante : .. . . (10) . .. .. fn+1 0 cfn+1 Dn+1 Dn+1 (Cf)n+1 * ffin+1 ffin+1 ffin+1 fn 0 cfn Dn Dn (Cf)n * ffin ffin ffin fn-1 0 cfn-1 Dn-1 Dn-1 (Cf)n-1 * ffin-1 ffin-1 ffin-1 .. . . . .. .. o`u les colonnes repr'esentent chaque complexe crois'e 'ecrit in extenso et les lignes sont des suites exactes courtes de groupo"ides ou d'ensembles selon la dimension. Nous construisons le connectant dimension par dimension. Dimension n 3 : Dans ce cas, l'homologie de complexes crois'es co"incide avec l'homologie des complexes de cha^ine et le connectant est d'efini de la fa,con habituelle. Dimension 2 : Ici H2(D, p) = kerffi2(p)=Imffi3(p) qui est non ab'elien. De m^eme pour H2(D0, p) et H2(Cf, p). Nous utilisons les notations du diagramme (10). Soit donc u 2 kerffi2(p). Consid'erons sa classe [u] 2 H2(Cf, p). Comme cf2 est un 'epimorphisme de groupe, il existe u0 2 D02(p, p) tel que cf2(u0) = u. Puisque u 2 kerffi2(p) nous avons cf1(ffi2* *(u0)) = ffi2(cf2(u0)) = ffi2(u) = id. Par cons'equent ffi2(u0) 2 kercf1 = Imf1. * * Il existe donc un unique w 2 D1 tel que f1(w) = ffi2(u0). Nous d'efinissons alors le connectant d : H2(Cf, p) ! H1(D, p) par la relation d([u]) = [w]. Montrons encore qu'il est bien d'efini. Il faut juste faire attention au caract`ere non ab'elien en dimension 2. Soit donc [u] = [~u] 2 H2(Cf, p). Ainsi u~u-12 Imffi3 et il existe t 2 (Cf)3 tel que ffi3(t) = u~u-1. Comme cf2 est surjectif, il existe u0, ~u02 D02et t0 2 D03tels que cf2(u0) = u, cf2(~u0) = ~uet cf3(t0) = t. Nous avons cf2(u0~u0-1ffi3(t0)-1)=cf2(u0)cf2(~u0)-1cf2(ffi3(t0))-1 = u~u-1ffi3(cf3(t0))-1 = ffi3(t)ffi3(t)-1 = id. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 124 Ainsi u0~u0-1ffi3(t0)-1 2 kercf2 = Imf2 et il existe ff 2 D2 tel que f2(f* *f) = u0~u0-1ffi3(t0)-1. Soient encore w et ~wtels que f1(w) = ffi2(u0) et f1(w* *~) = ffi2(~u0). Calculons f1(ww~-1ffi2(ff)-1)= f1(w)f1(w~)-1f1(ffi2(ff))-1 = ffi2(u0)ffi2(~u0)-1ffi2(f2(ff))-1 i * * j -1 = ffi2(u0)ffi2(~u0)-1 ffi2(u0)ffi2(~u0)-1ffi2ffi3* *(t0)-1 = ffi2(u0)ffi2(u0)-1 = id. Le morphisme f : D ! D0 'etant une cofibration de complexes crois'es, nous avons ww~-1 = ffi2(ff) ce qui implique que ww~-1 2 Imffi2, d'o`u [w] = [w~]. Enfin, le connectant d : H2(Cf, p) ! H1(D, p) est un homomorphisme de groupes car les morphismes f1, f2, ffi2 et ffi3 le sont clairement. Dimension 1 : Rappelons que H1(D, p) = D1(p, p)=Imffi2(p). De m^eme pour H1(D0, p) et H1(Cf, p). De plus H0(D) est l'ensemble des compo- santes connexes du groupo"ide D1. Soit donc [u] 2 H1(Cf1, p). Nous d'efinissons alors le connectant d : H1(Cf, p) ! H0(D) en envoyant toute classe [u] sur la composante connexe du sommet p. Cette appli- cation est clairement bien d'efinie. Il reste encore `a montrer que la suite longue induite est bien exacte. Pour les dimensions n 3, c'est la situation des complexes de cha^ine sur Z et il n'y a rien `a d'emontrer. Pour les dimensions 1 n 2, l'argument est similaire `a celui des complexes de cha^ine sur Z, il faut juste prendre garde `a l'ordre dans l''ecriture des facteurs - comme dans le calcul ci-dessus -. __ |__| Remarque 4.8. Un r'esultat analogue existe pour une fibration et sa fibre. Plus pr'ecis'ement : soit f : C ! D une fibration de complexes crois'es, soit x 2 C0, et soit y = f(x). Notons F la fibre de f le long de y. Alors f F ! C i D induit une suite exacte longue en homologie de complexes crois'es : . . .H*+1(D, y) H*(F, x) H*(C, x) H*(D, y) H*-1(F, x) . . .. Ce r'esultat est 'enonc'e dans [31, page 284]. 4.2.2 G'en'eralisation du lemme "des 5" et applicationsa`ØC(*) Nous d'emontrons maintenant une g'en'eralisation du lemme "des 5" pour des groupes non ab'eliens. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 125 Lemme 4.9. Soit ff1 ff2 ff3 ff4 A B C D E ~= f1 ~= f2 f3 ~= f4 ~= f5 fi1 fi2 fi3 fi4 A0 B0 C0 D0 E0 un diagramme commutatif dont les lignes sont des suites exactes de groupes ('eventuellement non ab'eliens) et o`u E et E0 peuvent 'eventuellement ^etre des ensembles point'es, et dont les morphismes f1, f2, f4 et f5 sont des isomor- phismes. Alors, le morphisme f3 est un isomorphisme. D'emonstration. Montrons le cas o`u E et E0 sont des ensembles. Nous utilisons la technique d'esormais classique de la öc urse-poursuite"33 dans le diagramme de l''enonc'e. Montrons l'injectivit'e de f3. Soit donc c 2 C tel que f3(c) = id. Alors f4ff3(c) = fi3f3(c) = id. Comme f4 est un isomorphisme, ff3(c) = id et ainsi c 2 kerff3 = Imff2. Il existe donc b 2 B tel que ff2(b) = c. De plus fi2f2(b) = f3ff2(b) = f3(c) = id. Ainsi f2(b) 2 kerfi2 = Imfi1. Il existe donc a02 A0tel que fi1(a0) = f2(b). Comme f1 est un isomorphisme, il existe a 2 A tel que f1(a) = a0. Ainsi f2ff1(a) = fi1f1(a) = fi1(a0) = f2(b). Par l'isomorphisme de f2 nous obtenons ff1(a) = b et donc c = ff2(b) = ff2ff1(a) = id. Par cons'equent, f3 est une monomorphisme. Montrons encore que f3 est un 'epimorphisme. Soit c02 C0. Comme f4 est un isomorphisme, il existe d 2 D tel que f4(d) = fi3(c0). De plus f5ff4(d) = fi4f4(d) = fi4fi3(c0) = *0 o`u *0 d'esigne le point de base de E0. Comme f5 est une bijection d'ensembles point'es, ff4(d) = * o`u * d'esigne le point de base * *de E. Ainsi d 2 kerff4 = Imff3. Il existe donc ~c2 C tel que ff3(~c) = d. En outre fi3(c0f3(~c)-1) = fi3(c0)fi3f3(~c)-1 = f4(d)f4ff3(~c)-1 = f4(d)f4(d)-1 = id. Ai* *nsi c0f3(~c)-1 2 kerfi3 = Imfi2. Il existe donc b0 2 B0 tel que fi2(b0) = c0f3(~c)-* *1. Comme f2 est un isomorphisme, il existe ~b2 B tel que f2(~b) = b0. Enfin, f3(ff2(~b)~c) = f3ff2(~b)f3(~c) = fi2f2(~b)f3(~c) = fi2(b0)f3(~c) = c0f3(~c)-1f* *3(~c) = c0. Par cons'equent f3 est un 'epimorphisme. Le cas o`u E et E0 sont des groupes est plus simple et d'ecoule de ce qui __ pr'ec`ede. |__| Corollaire 4.10. Soit ff1 ff2 ff3 ff4 Hn+1(A, p) Hn(B, p) Hn(C, p) Hn(A, p) Hn-1(B, p) ~=f1 ~=f2 f3 ~=f4 ~=f5 fi1 0 0 fi2 0 0 fi3 0 0 fi4 0 0 Hn+1(A0, p0) Hn(B , p ) Hn(C , p ) Hn(A , p ) Hn-1(B , p ) ______________________________ 33la terminologie anglaise est "diagram chasing". 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 126 un diagramme commutatif dont les lignes sont des suites exactes longues d'homologie de complexes crois'es, et dont les morphismes f1, f2, f4 et f5 sont des isomorphismes. Alors, pour n 1, le morphisme f3 est un isomorphisme. __ D'emonstration. C'est une cons'equence imm'ediate du lemme 4.9. |__| Remarque 4.11. Il faut noter que le corollaire pr'ec'edent est faux lorsque n = 0. En effet, la simple structure d'ensemble ne permet pas d'assurer l'injectivit'e de f3. Consid'erons le contre-exemple o`u les ensembles H0(-) sont munis d'un point de base 0. Prenons des 'egalit'es pour les morphismes f1, f2, f4 et f5. Consid'erons le diagramme id {0, 1, 2} 0 {0, 1, 2} f3 0 0 _ {0, 1} o`u _(ffl) = 1 avec ffl = 1, 2 et _(0) = 0. Notons bien qu'ici un noyau nul n'implique pas l'injectivit'e - pour cela il faut une notion de lin'earit'e - d* *'un morphisme d'ensemble. Il est clair que les hypoth`eses du lemme sont satis- faites, mais f3 ne peut pas ^etre une bijection d'ensembles. Nous utilisons maintenant les deux pr'ec'edents lemmes pour d'emontrer le premier point de la proposition 4.6. Soit donc le diagramme j Xi Xi+1 Cj * ~ k i+1 Y i Y Ck * o`u Cj et Ck sont les cofibres de j et k respectivement, et les lignes sont des suites exactes. De plus Xi ! Y iest une 'equivalence faible. Rappelons que Xi+1 est obtenu `a partir de Xi en y ajoutant une cellule d'une certaine di- mension n. Ainsi les cofibres Cj et Ck ne contiennent que la m^eme cellule de dimension n. Il est alors clair que les cofibres co"incident. Ces suites exactes induisent des suites exactes longues en homologie de complexes crois'es. Ex- cept'e pour le degr'e 0 (cf. remarque 4.11), nous pouvons alors appliquer le lemme "des 5" (cf. corollaire 4.10) pour les complexes crois'es et obtenir imm'ediatement que le morphisme Xi+1 ! Y i+1est une 'equivalence faible. Inspectons le cas du degr'e 0. Il nous faut montrer que H0(Xi+1) est en correspondance bijective avec H0(Y i+1). Comme H0(Xi) ~= H0(Y i) et que la cellule coll'ee `a Xi et `a Y iest la m^eme, les composantes des groupo"ides Xi+11et Y1i+1sont les m^emes d'o`u la bijection cherch'ee. 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 127 Troisi`eme 'etape : d'emonstration du point 2 de 4.6. Nous avons obtenu la situation suivante : j0 j1 j2 i X = X0 X1 X2 . . . colimiX = U ~ ~ ~ k0 k1 k2 i Y = Y 0 Y 1 Y 2 . . . colimiY = V. Il nous faut montrer que colimiXi ! colimiY iest encore une 'equivalence faible. La difficult'e r'eside ici dans le fait que nous avons affaire avec des compositions transfinies. Nous nous fixons alors une pr'esentation (cf. nota- tions de la d'efinition 2.125) des complexes cellulaires t : X ! colimfi<~Xfi et v : Y ! colimfi<~Y fi. La relation H*(Xfi, p) ~=H*(Y fi, p0) pour tout ordinal fi < ~ implique la rela- tion colimfi<~H*(Xfi, p) ~= colimfi<~H*(Y fi, p0) car une colimite quelconque d'isomorphismes est un isomorphisme. En degr'e sup'erieur ou 'egal `a 1, l'ho- mologie de complexes crois'es est l'homologie des complexes de cha^ine sur Z en chaque sommet, `a la diff'erence pr`es de la non commutativit'e en degr'es 1 et 2 qui ne pose pas de probl`eme comme nous l'avons constat'e auparavant. Comme cette homologie commute avec toutes les colimites filtr'ees (cf. [40, th'eor`eme 4.2.4]), nous avons H* 1(colimfi<~Xfi, p) ~=H* 1(colimfi<~Y fi, p0). (11) En cons'equence, il ne nous reste plus qu'`a d'emontrer l'isomorphisme (11) pour le degr'e 0. Seules les cellules attach'ees en dimension 0 et 1 ont une influence sur les ensembles H0(-) et nous ne nous occupons pas des autres cellules. En ne collant que des 0-cellules `a X et `a Y , c'est-`a-direSajouter* * les m^emes sommets `a X0 et `a Y0, nous obtenons (colimfi<~Xfi)0 = X0 fi<~{e0fi} o`u e0fisont les 0-cellules attach'ees `a X jusqu'`a l''etape fi de la pr'esent* *ation. De m^eme pour (colimfi<~Y fi)0. Par cons'equent, les composantes du groupo"ide (colimfi<~Xfi)1 et celles du groupo"ide (colimfi<~Y fi)1 sont en correspondance bijective d'o`u H0(colimfi<~Xfi) ~=H0(colimfi<~Y fi). Pour les 1-cellules, nous utilisons une r'ecurrence transfinie en faisant usage de la compacit'e de C(1), autrement dit, tout morphisme de C(1) vers colimfi<~Xfise factorise par un sous-complexe cellulaire (cf. d'efinition 2.129) de taille fl < ~. Ainsi la cel* *lule de dimension 1 correspondant `a C(1) est d'ej`a pr'esente `a l''etape fl dans le complexe cellulaire t : X ! colimfi<~Xfi. De m^eme elle est pr'esente `a l''eta* *pe fl dans le complexe cellulaire v : Y ! colimfi<~Y fi. Supposons avoir une bi- jection entre H0(colimfi<~Xfi) et H0(colimfi<~Y fi) pour tout ordinal fi < ~. Montrons alors que cette propri'et'e est vraie pour l'ordinal ~. Supposons ab absurdo que deux 1-cellules x, y appartenant `a des composantes diff'erentes de 4 STRUCTURES CELLULAIRE ET PROPRE SUR ØC(*) 128 (colimfi<~Xfi)1 sont envoy'ees dans la m^eme composante de (colimfi<~Y fi)1. Les cellules x et y sont pr'esentes `a partir d'une certaine 'etape ~ (~ < ~) dans le complexe cellulaire t. A cette 'etape, elles appartiennent d'ej`a `a d* *es composantes diff'erentes de (X~)1 et de (Y ~)1 par hypoth`ese de r'ecurrence. A partir d'une certaine 'etape ant'erieure `a ~, ces cellules doivent, dans le complexe cellulaire v, appartenir `a la m^eme composante du groupo"ide sous- jacent. Par hypoth`ese de r'ecurrence, elles doivent l'^etre dans le complexe cellulaire t ce qui est une contradiction car, `a partir de l''etape ~, elles r* *estent dans des composantes diff'erentes du complexe cellulaire t. En utilisant un ar- gument similaire, nous d'emontrons qu'`a toute 1-cellule dans colimfi<~Y filui correspond la m^eme cellule dans colimfi<~Xfi. En d'efinitive, nous obtenons H0(colimfi<~Xfi) ~=H0(colimfi<~Y fi). Par cons'equent, nous avons d'emontr'e que U = colimfi<~Xfi-~! colim fi<~Y fi= V. d'o`u la propret'e `a gauche de ØC. De plus, d'apr`es la proposition 2.234, la cat'egorie point'ee ØC* est propre `a gauche. Ceci clos la d'emonstration du th'eor`eme 4.4 et r'epond donc affirmativement `a [12, probl`eme ouvert 4.2]. Chapitre 5 5 Stabilisation des complexes crois'es Tout le travail fourni jusqu'`a pr'esent a consist'e `a d'emontrer que la ca* *t'ego- rie des complexes crois'es (point'es) est munie de toute la structure n'ecessai* *re pour appliquer une localisation de Bousfield (`a gauche) `a la structure mod`ele projective des spectres (sym'etriques) de complexes crois'es. De plus nous dis- posons d'une structure mono"idale sur la cat'egorie homotopique des complexes crois'es. Cette partie est un aboutissement conjoint des parties 2.2 `a 2.10 et de notre travail sur les complexes crois'es. Notre objectif maintenant est de stabiliser la cat'egorie des complexes crois'es relativement `a l'endofoncteur - S(1) : ØC ! ØC que nous voulons inverser. Cet endofoncteur joue le r^ole de la suspension pour les complexes crois'es. Pour pouvoir l'inverser, nous avons vu qu'il est n'ecessaire que - S(1) soit un foncteur de Quillen `a gauche. Avant de v'erifier cette hypoth`ese, rappelons que le complexe crois'e S(1) est le 1-squelette du complexe crois'e C(2). Autrement dit, S(1) est le complexe crois'e de type libre engendr'e par un g'en'erateur b : p ! p en dimension 1, o`u p est l'unique sommet de (S(1))0. Nous pouvons aussi voir S(1) comme le groupe libre engendr'e par b 2 (S(1))1. C'est 'egalement l'image par le foncteur ß : sS ! ØC du cercle simplicial [1]=@ [1]. Lemme 5.1. Soit M une cat'egorie mod`ele mono"idale. Si C est un objet cofibrant de M et si f : X ! Y est une cofibration (resp. une cofibration acyclique), alors C f : C X ! C Y est une cofibration (resp. une cofibration acyclique). D'emonstration. Soit g : ; æ C l'unique cofibration. Consid'erons le dia- gramme de somme amalgam'ee ; f ; X ; Y g X ` g Y C X C X; X ; Y g f C f C Y. Observons d'abord que ; W ~= ; ~=W ; pour tout objet W . En effet, pour tout Y 2 M, nous avons M(; W, Y ) ~=M(;, Hom r(W, Y )) ~=M(;, Y ) puisque 5 STABILISATION DES COMPLEXES CROISE'S 130 le terme de droite ne contient qu'un seul morphisme. Ainsi ; W ~= ;. De m^eme pour W ; ~=;. Par cons'equent, dans le diagramme ci-dessus, le morphisme g f n'est rien d'autre que le morphisme C f. Comme l'axiome de la somme amalgam'ee est satisfait et puisque g est une cofibration, nous avons imm'ediatement que __ C f = g f est une cofibration (resp. une cofibration acyclique). |__| Corollaire 5.2. L'endofoncteur - S(1) est un foncteur de Quillen `a gauche. D'emonstration. Nous savons par le th'eor`eme 3.38 que - S(1) admet comme adjoint `a droite le foncteur ØC(S(1), -). Il nous suffit donc de montrer que - S(1) pr'eserve les cofibrations et les cofibrations acycliques. La cat'egor* *ie des complexes crois'es (point'es) est mod`ele mono"idale sym'etrique et S(1) est cofibrant. Par cons'equent, si f est une cofibration (resp. une cofibration acyclique) alors f S(1) est une cofibration (resp. une cofibration acyclique). __ |__| Terminologie 5.3. Par analogie avec la terminologie dans le cadre des es- paces topologiques, le foncteur - S(1) sera appel'e la suspension de complexe crois'e. Son adjoint `a droite ØC(S(1), -) sera appel'e le la,cage34 de complexe crois'e. Avant de commencer le processus de stabilisation, nous mentionnons le fait que la suspension de complexes crois'es n'est pas la m^eme que la suspen- sion de complexes de cha^ine de Z-modules, `a savoir un simple d'ecalage sur la gauche. Pour le montrer, nous effectuons le calcul S(1) S(1) : Calcul 5.4. Le complexe crois'e S(1) peut ^etre vu comme un groupe libre engendr'e par le g'en'erateur b. Pour distinguer les deux copies de S(1), nous notons la premi`ere copie < b > et la deuxi`eme < b0 >. Nous voulons donc calculer le produit tensoriel de ces deux groupes. Pour cela nous utilisons la proposition 3.45. Nous obtenons ainsi le complexe crois'e S(1) S(1) : . . . 0 0 < [b, b0] >ffi2< b, b0> ffi1=ffi0{p} o`u < b, b0> est le groupe libre non ab'elien engendr'e par les deux g'en'erate* *urs b et b0 et < [b, b0] > est le groupe libre engendr'e par le commutateur de b et b0. A isomorphisme pr`es, nous avons donc : ffi2 ffi1=ffi0 S(1) S(1) ~= . . . 0 Z Z * Z 0 o`u Z * Z est le produit libre de deux copies de Z. ______________________________ 34öl op functor" en anglais. 5 STABILISATION DES COMPLEXES CROISE'S 131 Comparons maintenant ce calcul de suspension avec le calcul analogue pour les complexes de cha^ine de Z-modules. Rappelons que le produit tenso- riel de deux complexes de cha^ine X et Y est donn'e dimension par dimension par la relation M (X Y )n = Xk Z Yn-k k o`u l'indice k parcourt l'ensemble {0, 1, . .,.n}. Notons par S1 le complexe de cha^ine . .!.0 ! 0 ! Z ! 0 ne comportant qu'une copie de Z en dimension 1 et trivial partout ailleurs. En calculant S1 S1, nous obtenons facilement S1 S1 ~= . .!.0 ! Z ! 0 ! 0. Il est alors clair que la suspension de complexes de cha^ine de Z-modules n'est pas celle des complexes crois'es, qui contient, elle, de l'information non ab'elienne en dimension 1. Autrement dit, la suspension de complexes crois'es n'est pas un simple d'ecalage vers la gauche. Remarque 5.5. Le complexe de cha^ine S1 peut ^etre vu comme un com- plexe crois'e. Mais il est important de remarquer que le produit tensoriel de complexes crois'es S1 S1 n'est pas interne `a la cat'egorie des complexes de cha^ine. En effet, en dimension 2, nous obtenons le groupe non ab'elien Z * Z. 5.1 Stabilisation de ØC via les spectres usuels Nous effectuons maintenant le processus de stabilisation d'ecrit dans les sections 2.9.1 et 2.9.2 pour la cat'egorie des complexes crois'es et le foncteur de suspension - S(1). Nous ferons plusieurs liens avec l'article [30] lorsque nous utiliserons les spectres sym'etriques (cf. partie 5.2). Un spectre de complexes crois'es C est une suite de complexes crois'es C0, C1, C2, . . .munie de morphismes de structure oe : Cn S(1) ! Cn+1 pour tout n 0. Un morphisme de spectres de complexes crois'es f : C ! D est une famille de morphismes de complexes crois'es fn : Cn ! Dn qui, pour tout n 0, font commuter le diagramme ffC Cn S(1) Cn+1 fn S(1) fn+1 Dn S(1) ffD Dn+1. Terminologie 5.6. Un spectre de complexes crois'es sera appel'e spectre croi* *s'e et un morphisme de spectres de complexes crois'es sera appel'e morphisme de spectres crois'es, donnant ainsi la cat'egorie des spectres crois'es, not'ee SpN(ØC). 5 STABILISATION DES COMPLEXES CROISE'S 132 Notation 5.7. Nous notons par S(1) m le produit tensoriel de m copies de S(1). D'autre part, afin de simplifier l''ecriture nous posons f = ØC(S(1), -) le la,cage de complexe crois'e. Le foncteur d''evaluation Evn(C) = Cn poss`ede l'adjoint `a gauche Fn : ØC ! SpN(ØC) donn'e par (Fn(C))m = C S(1) (m-n) si m n, et par l'objet initial de ØC (`a savoir le complexe crois'e vide) sinon. Nous prolongeons l'adjonction de foncteur - S(1) : ØC ø ØC : f `a la cat'egorie des spectres crois'es. Pour ce faire, nous d'efinissons la suspensi* *on - S(1) : SpN(ØC) ! SpN(ØC) par la relation (C S(1))n = Cn S(1) pour tout spectre crois'e C. Le morphisme de structure est donn'e par oe S(1) : (Cn S(1)) S(1) ! Cn+1 S(1) o`u oe est le morphisme de structure du spectre crois'e C. De m^eme le prolongement du foncteur de la,cage `a SpN(ØC) est donn'e par la relation (fC)n = fCn et le morphisme de structure est f~oe: fCn ! f(fCn+1 ) o`u ~oeest l'adjoint de oe. Nous obtenons alors l'adjonction prolong'ee `a la cat'egories des spectres crois'es (cf. lemme 2.168). Nous munissons ensuite la cat'egorie des spectres crois'es de la structure mod`ele engendr'ee de mani`ere cofibrante h'erit'ee de ØC. Pour cela, posons [ I- S(1) = FnI n 0 [ J- S(1) = FnJ n 0 o`u 8 0 et (s+ X)0 = ;. Corollaire 5.24. Les foncteurs de suspension - S(1) et de d'ecalage `a gauche s+ sont des 'equivalence de Quillen relativement `a la structure stable de Sp (ØC). __ D'emonstration. C'est un corollaire imm'ediat du th'eor`eme 2.215. |__| Pour r'ecompenser l'effort consenti en tenant compte de l'action du groupe sym'etrique sur les spectres crois'es, il nous faut encore montrer que nous pouvons munir la cat'egorie stable d'une structure mono"idale. Corollaire 5.25. La structure mod`ele stable sur Sp (ØC) est une structure mod`ele mono"idale sym'etrique. D'emonstration. Comme les domaines des cofibrations triviales dans ØC sont __ tous cofibrants, le th'eor`eme 2.216 permet de conclure. |__| 5.3 Le cas point'e Tout ce qui a 'et'e fait dans les sections 5.1 et 5.2 reste valable dans le * *cas de la cat'egorie ØC* des complexes crois'es point'es. Il faut n'eanmoins tenir compte que le produit tensoriel point'e A ^ B est le produit tensoriel A B non point'e quotient'e par les relations a ^ * = * pour a 2 A0 * ^ b = * pour b 2 B0 a ^ * = Id* pour a 2 An 1 * ^ b = Id* pour b 2 Bn 1. En cons'equence, la suspension de complexes crois'es point'es est l'endo- foncteur - ^ S(1). Cette suspension reste un endofoncteur de Quillen et est effectivement un d'ecalage vers la gauche. Pour illustrer cela nous calculons la suspension S(1) ^ S(1) ^ S(1) et nous obtenons : b^b0^b00 ffi1 . . . ffi4 * ffi3 * ffi2 * * ffi0 5 STABILISATION DES COMPLEXES CROISE'S 140 o`u b, b0, b00sont les g'en'erateurs en dimension 1 des trois copies de S(1). * *En effet, dans le produit tensoriel S(1) S(1) S(1), les morphismes b * *, * b0 * et * * b00en dimension 1 et les morphismes b b0 *, b * b00 et * b0 b00en dimension 2, disparaissent lorsque le produit tensoriel est point'e. Plus g'en'eralement, en suspendant un morphisme c de degr'e m d'un com- plexe crois'e C point'e, nous obtenons le morphisme c ^ b de degr'e m + 1, o`u b est le g'en'erateur de dimension 1 de S(1). De plus, le morphisme c ^ * de degr'e m est 'elimin'e dans le cas point'e. D'o`u le d'ecalage vers la gauche. Il est alors rassurant, bien que d'ecevant, de constater que la stabilisation des complexes crois'es point'es relativement `a la suspension -^S(1) est homo- topiquement 'equivalente `a celle de complexes de cha^ine sur Z. C'est-`a-dire que la cat'egorie homotopique de la structure stable de ØC* est 'equivalente36 `a la cat'egorie homotopique des complexes de cha^ine gradu'es sur Z. Autre- ment dit, `a homotopie pr`es, un spectre crois'e stable n'est rien d'autre qu'un complexe de cha^ine gradu'e sur Z. En effet, nous venons de voir que la suspension - ^ S(1) est un simple d'ecalage vers la gauche. De plus, pour un complexe crois'e point'e C sur un groupo"ide, la relation c ^ * = * pour c 2 C0 force le complexe crois'e point'e C ^ S(1) `a ^etre un complexe crois'e point'e sur un groupe. En outre nous avons vu que la suspension - ^ S(1) d'un spectre crois'e (sym'etrique) C est donn'ee par (C ^ S(1))n = Cn ^ S(1). Il est alors clair qu'en suspendant un spectre crois'e (sym'etrique), nous obtenons un spectre crois'e (sym'etrique) dont les complexes crois'es `a chaque niveau sont tous d'ecal'es vers la gauche. En effectuant cette op'eration suffisamment de fois, les complexes crois'es ne contiennent plus que de l'information ab'elienne (d`es la dimension 3). Autre- ment dit, un spectre crois'e (sym'etrique) stable a le type d'homotopie d'un spectre (sym'etrique) de complexes de cha^ine gradu'es sur Z. ______________________________ 36en tant que cat'egorie. Chapitre 6 6 Le test de la fibration de Hopf Soit M une cat'egorie mod`ele mono"idale sym'etrique cellulaire et propre `a gauche telle qu'il existe des foncteurs mono"idaux adjoints F : sS ø M : G. Le test que nous proposons ici, et qui fait suite `a une discussion avec Stefan Schwede, `a pour but de d'emontrer que la stabilisation de M est diff'erente de celle des complexes de cha^ine de groupes ab'eliens. Ce test consiste `a montrer que les suspensions it'er'ees de l'image de l'application de Hopf sous F ne sont jamais homotopiquement nulles. C'est un test que nous avons appliqu'e `a ØC* avant de nous rendre compte que la stabilisation des complexes crois'es point'es n'est pas diff'erentes de * *celle des complexes de cha^ine. En revanche, dans le cas des complexes crois'es non point'es, ce test garde toute sa valeur. Mais alors, il s'agit d'une stabilisa- tion relativement `a un produit non point'e et il faut encore donner un sens topologique `a cette construction (cf. section 7). Pour comprendre la pertinence de ce test, nous faisons une br`eve incur- sion dans le territoire des espaces topologiques (point'es). En suspendant l'application de Hopf S3 ! S2, nous obtenons les applications Sn+1 ! Sn pour n > 2. Le groupe d'homotopie ß3(S2) est cyclique infini. Ceci est d'ailleurs rest'e myst'erieux de nombreuses ann'ees. En fait, l'application de Hopf d'etermine un g'en'erateur de ß3(S2). Cons'equemment, les suspensions de l'application de Hopf d'eterminent les g'en'erateurs des groupes ßn+1(Sn) pour n > 2. En outre, la suspension S4 ! S3 compos'ee avec S3 ! S2 en- gendre le groupe ß4(S2) et les suspensions de S4 ! S2 engendrent les groupes ßn+2(Sn). De plus, le prochain th'eor`eme montre que les groupes ßn+k(Sn) sont ind'ependants de n lorsque n devient suffisamment grand : Th'eor`eme 6.1 (Freudenthal). Pour n 1, l'homomorphisme de suspen- sion ßn+k(Sn) -! ßn+k+1 (Sn+1 ) est un isomorphisme pour n > k + 1 et un 'epimorphisme pour n = k + 1. D`es que n d'epasse k + 1, une sorte de "stabilit'eä pparait dans les groupes d'homotopie des sph`eres ci-dessus. Cette stabilit'e est atteinte par des proc'* *ed'es de stabilisation. Notre stabilisation des complexes crois'es en est un exemple. Il appara^it alors clairement que si les suspensions de l'image de l'application de Hopf sous F persistent 37 toujours sous l'effet de la suspension, alors la ______________________________ 37c'est-`a-dire qu'elles ne deviennent jamais homotopiquement triviales. 6 LE TEST DE LA FIBRATION DE HOPF 142 stabilisation que nous avons construite est diff'erente de celle des complexes de cha^ine, puisque dans ce dernier cas, l'application de Hopf est triviale. Ce qui a rendu difficile, pendant plusieurs ann'ees, de se rendre compte que ß3(S2) n''etait pas trivial 'etait le choix d'un bon mod`ele pour l'application de Hopf. En effet, un choix na"if - et simpliste - ne permet pas de r'ev'eler la structure de ß3(S2). Le complexe de cha^ine avec une copie de Z en degr'e 3 et trivial partout ailleurs mod'elise S3. Pour S2, nous avons une seule copie de Z en degr'e 2. Il est alors clair que le mod`ele de S3 ! S2 ne peut qu'^etre l'application triviale. Tout autre mod`ele de l'application de Hopf `a l'aide de complexes de cha^ine, doit envoyer le g'en'erateur de degr'e 3 sur un bord et la conclusion est la m^eme `a homotopie pr`es. Pour ce qui concerne la cat'egorie M, nous devons donc y trouver un öb n" mod`ele pour l'application de Hopf. L'id'ee est de trouver un mod`ele convenable simplicial pour cette applica- tion et ensuite de lui appliquer le foncteur adjoint F : sS ! M. Un tel mod`ele simplicial doit ^etre suffisamment riche. En fait, les ensembles simpliciaux qui font notre affaire sont les complexes de Kan. Nous nous permettons de relever que nous n'avons pas trouv'e dans la litt'erature une description simpliciale convenable de l'application de Hopf. Cette description est innovante et son utilisation l'est probablement aussi. C'est l'aboutissement d'un effort initi'e avec Kathryn Hess et Andrew Tonks. 6.1 Le mod`ele simplicial de l'application de Hopf Pour obtenir un mod`ele simplicial `a l'aide de complexes de Kan pour l'application de Hopf, nous proposons l'approche qui consiste `a mod'eliser S3 par un produit cart'esien tordu de S1 et S2. En prenant un öb n" mod`ele de S1, nous pouvons prendre n'importe quel mod`ele de S2 et l'application de Hopf est alors simplement la projection sur la deuxi`eme composante du produit cart'esien tordu. D'efinition 6.2. Soient F et B deux ensembles simpliciaux. Soit encore H un groupe simplicial qui agit `a gauche sur F . Un produit cart'esien tordu 38, de fibre F , base B et groupe H est un ensemble simplicial, not'e F x``B, qui satisfait (F x``B)n = Fn x Bn et poss`ede les faces et d'eg'en'erescences : 1. @i(f, b) = (@if, @ib) pour i > 0. 2. @0(f, b) = (i(b)@0f, @0b), i(b) 2 H 3. si(f, b) = (sif, sib) pour i 0. ______________________________ 38"twisted cartesian product" en anglais. 6 LE TEST DE LA FIBRATION DE HOPF 143 Le morphisme i : Bn ! Hn-1 est appel'ee le morphisme de torsion 39. Si F = H alors F x``B est appel'e un produit cart'esien tordu principal 40. Remarque 6.3. Notons que le fait que F x``B soit un ensemble simplicial implique les identit'es suivantes sur i : @0i(b) = (i(@0b))-1i(@1b) @ii(b) = i(@i+1b) pour i > 0 sii(b) = i(si+1b) pour i 0 i(s0b) = idn pour b 2 Bn. Terminologie 6.4. Nous d'esignerons 'egalement par "produit cart'esien tor- du" la projection p : F x``B ! B. Proposition 6.5. Soit p : F x``B ! B un produit cart'esien tordu avec groupe H. 1. Si la fibre F est un complexe de Kan, alors p est une fibration de Kan. 2. Si F = H, alors p est une fibration principale. __ D'emonstration. La preuve se trouve dans [34, proposition 18.4]. |__| Pour trouver un mod`ele int'eressant de S1, nous consid'erons S2 vu comme un complexe de cha^ine concentr'e en degr'e 2 et nous lui appliquons un foncteur pour obtenir un groupe ab'elien simplicial. Comme un groupe ab'elien simplicial est un complexe de Kan (cf. th'eor`eme 17.1 de [34]), nous sommes sur la bonne piste. Nous obtenons ensuite un mod`ele de S1 en appliquant encore un foncteur G 'equivalent `a un groupe de la,cage 41. D'efinition 6.6. Soient sAb la cat'egorie des groupes ab'eliens simpliciaux et CC la cat'egorie des complexes de cha^ine de groupes ab'eliens. Nous d'efiniso* *ns le foncteur : CC ! sAb de la mani`ere suivante. Pour (X, @) 2 CC , le groupe ab'elien simplicial (X) est donn'e par : 1. n-1MX n(X) = Xn oejk. .o.ej1Xr r=0k=n-r o`u oejk. .o.ej1Xr est le groupe ab'elien dont lesP'el'ements sont les sy* *m- boles oejk. .o.ej1x avec x 2 Xr et o`u la somme k=n-r est effectu'ee sur toutes les suites d'indices {ji} telles que 0 j1 < j2 < . . .< jk < n. L'addition des symboles est d'efinie par la relation oejk. .o.ej1x + oejk. .o.ej1y = oejk. .o.ej1(x + y). ______________________________ 39"twisting morphism" en anglais. 40"principal twisted cartesian product" en anglais. 41öl op group" en anglais. 6 LE TEST DE LA FIBRATION DE HOPF 144 2. @i : n(X) ! n-1(X) est d'efinie par (a) @nx = @(x) et @ix = 0 si i < n et x 2 Xn. (b) si k = n - r et x 2 Xr alors 8 8 >>> oehk . .o.eh1@(x)si@isjk. .s.j1= shk . .s.h1@r >: >>: 0 shk . .s.h1@j j < r o`u @isjk. .s.j1est 'ecrit sous forme canonique. 3. si : n(X) ! n+1(X) est d'efinie par (a) six = oeix pour x 2 Xn (b) si k = n - r et x 2 Xr alors sioejk. .o.ej1x = oehk+1. .o.eh1x d`es que sisjk. .s.j1= shk+1. .s.h1o`u sisjk. .s.j1est 'ecrit sous forme canonique. D'efinition 6.7. Soit K un groupe ab'elien simplicial. Nous d'efinissons un foncteur G de la cat'egorie des groupes ab'eliens simpliciaux vers la cat'egorie des groupes simpliciaux de la mani`ere suivante : Gn(K) est le groupe libre engendr'e par les 'el'ements de Kn+1 modulo les relations s0x = idn pour tout x 2 Kn. Si x 2 Kn+1, notons i(x) la classe de x dans Gn(K). Les faces et les d'eg'en'erescences de G(K) sont d'efinies sur les g'en'erateurs par les relatio* *ns : i(@0x)@0i(x) = i(@1x) @ii(x) = i(@i+1x) si i > 0 sii(x) = i(si+1x) si i 0. Nous 'etendons ensuite @i et si en des homomorphismes Gn(K) ! Gn-1(K) et Gn(K) ! Gn+1(K). Il est alors clair que G(K) est un groupe simplicial. Remarque 6.8. Dans la d'efinition pr'ec'edente, le morphisme i est un mor- phisme de torsion par la remarque 6.3 et nous obtenons un produit cart'esien tordu G(K) x``K pour tout groupe ab'elien simplicial K. Tous les d'etails de cette affirmation se trouvent dans [34, pp. 118-123]. Notons Z(2) le complexe de cha^ine ab'elien consistant en une copie de Z en dimension 2 et trivial partout ailleurs. Alors nous pouvons construire un produit cart'esien tordu principal p : G (Z(2)) x''S2 -! S2 6 LE TEST DE LA FIBRATION DE HOPF 145 dont la fibre est F = G (Z(2)) et o`u G (Z(2)) agit sur lui-m^eme par multiplication `a gauche. Le morphisme de torsion j est ici la composi- tion de i : S2 ! G(S2) suivi du connectant de la suite de la fibration ffi : G(S2) ! G (Z(2)). De plus, nous avons vu que p est une fibration principale (et donc de Kan) non triviale. En r'esum'e, nous avons mod'elis'e simplicialement, `a une multiplication pr`es, la fibration de Hopf S3 ! S2 dont la fibre est S1 par le produit cart'es* *ien tordu principal G (Z(2)) x''S2 -! S2 dont la fibre est G (Z(2)) - qui est un mod`ele de S1 - et o`u S2 est vu comme l'ensemble simplicial contenant un seul g'en'erateur y en degr'e 2 et que des d'eg'en'erescences de ce g'en'erateur en degr'es sup'erieurs `a 2. Proposition 6.9. Le mod`ele simplicial, `a une multiplication pr`es, de la fi- bration de Hopf que nous recherchons est donn'e par la projection p : G (Z(2)) x''S2 -! S2 pour n'importe quel mod`ele simplicial de S2. __ D'emonstration. C'est une cons'equence imm'ediate de ce qui pr'ec`ede. |__| Lemme 6.10. Le morphisme ß(p) : ß(G (Z(2)) x''S2) -! ß(S2) de com- plexes crois'es est une fibration. D'emonstration. Pour tout n 0, le morphisme ß(p)n est clairement une surjection, d'o`u la conclusion. __ |__| Consid'erons maintenant le complexe de cha^ine, not'e Z(2), consistant en une copie de Z en dimension 2 et trivial partout ailleurs. La diff'erentielle @ est triviale en toute dimension. Alors, le groupe simplicial ab'elien Z(2) est donn'e par : M Z(2)n = oejn-2. .o.ej1Z. 0 j1<... 0 et sii(oejn-1. .o.ej1z) = i(si+1oejn-1. .o.ej1z) pour i 0, sans oublier la relation i(@0oejn-1. .o.ej1z)@0(oejn-1. .o.ej1z) = i(@1oejn-1. .o.ej1z). Explicitons maintenant le morphisme de torsion j : S2 ! GS2 ! G Z(2). Simplifions la notation, en notant ~xla classe de x 2 Kn+1 dans (GK)n. Pour GS2, nous avons (GS2)0 = {e}, (GS2)1 = F{~y} (GS2)2 = F{____s1y, ____s2y} (GS2)3 = F{______s2s1y, ______s3s2y, ______s3s1y} (GS2)4 = F{________s3s2s1y, ________s4s3s2y, ________s4s3s1y, * *______s4s2s1} .. . 6 LE TEST DE LA FIBRATION DE HOPF 147 En g'en'eral, gr^ace aux identit'es simpliciales et au fait que nous supprimons tous les termes qui contiennent s0, (GS2)n est un groupe libre engendr'e par n g'en'erateurs de la forme __________sjn...s.j1y Pour G Z(2), nous avons (G Z(2))0 = {e}, (G Z(2))1 = F{Z\{0}} (G Z(2))2 = F{oe2Z oe1Z} (G Z(2))3 = F{oe2oe1Z oe3oe2Z oe3oe1Z} (G Z(2))4 = F{oe4oe2oe1Z oe4oe3oe2Z oe4oe3oe1Z oe3oe2oe1Z} .. . 8 9 < M = (G Z(2))n = F : oejn-1. .o.ej1Z. 0